red Föreläsning, Taylors formel, och att approximera en funktion med ett polynom. Taylorpolynom. Fakultet 0! =, läses noll-fakultet.! =. Vidare är! = = och 3! = 3 =. Allmänt fˆr n =,,,..., n! =... n n. Ex.vis är 5! 0 7 antalet k! ordningar som korten i en kortlek med 5 kort kan ligga. Speciellt är = k! k. Några funktioners kurvor och dito Taylorpolynom Ex Vi ritar funktionen y = fx = e x och y = + x där x 0. Vi ser att kurva och linje approximativt är lika då x nära 0 och exakt lika i x = 0. Genom att även rita kurvan y = +x+x /, får vi en ännu bättre överensstämmelse mellan funktionskruva y = fx och polynomkurvan. 3.0 y.5.0.5.0 0.5.0 0.5 0.0 0.5.0 Kurvan y = fx = e x och kurvan y = x +, då x 0 x Hur man bestämmer ett sådant polynom Ex I den sista figuren kallar vi polynomet p x. Vi ser att fx och p x sammanfaller i x = 0, d.v.s. f0 = p 0. Likaså är f 0 = p 0. I detta exempel är x = 0 den punkt som vi identifierar funktion och polynom. Polynomet är ett Maclaurinpolynom ty utveckling kring = a = 0, ett specialfall av ett
Taylorpolynom utveckling kring. Vi Taylorutvecklar fx = f0 + f tdt = {P.I.} = f 0 x + [ t xf t ] x t xf tdt = [ ] t x = {P.I.} = f 0 x + x f x f t x t + f tdt = = f 0x + x f + = f 0x + x f + x x0 x x0 = f 0 x + x f + x f t x + [ t x f 3 + 3 f tdt = {P.I.} = ] x t x 3 3 f 4 tdt = f + x 3 f t x 3 f 4 tdt. 3 3 Vi får för en funktion fx som är n + ggr kontinuerligt deriverbar att fx = f x 0! + f x! + f x! +...+ + f n x n n! + n t x n f n+ tdt = n! = p n x + R n x. Ex 3 Vi skall bestämma Maclaurinpolynomet för fx = e x av grad n. f0 = f 0 = f 0 =... = f n 0 =. Alltså är Maclaurinpolynomet e x + x + x! + x3 xn +... + 3! n!. Man kan få en bra numerisk uppskattning av e. Sätt x = och n =. Detta ger p x = +x+ x och p =.5. P.s.s. är p 4.70833, p.780. De första 00 siffrorna i decimalutvecklingen av e är e =.78888459045353087473549775747093999595749 9777407303535475945738785547....3 Taylor- och Maclaurinserie En oändlig summa a k =: lim n a k n kallas serie. När det är Taylor- resp. Maclaurinpolynom där antal termer talar man om Taylor- respektive Maclaurinserie. Vi har att Maclaurinserien för fx = e x är e x = + x + x! +... + xn n! +... = x k k!. Ex 4 Vi byter x mot ix i. Vi får då e ix = cos x + i sin x = + x x! + x4 4!... + i x3 3! + x5 5!... Detta ger alltså Maclaurinserierna fˆr cos x och sin x Identifiera realdelarna med varandra och p.s.s. med imaginärdelarna.
Ex 5 a Bestäm Taylorpolynomet av grad, och 3 av fx = x 3 x + 3 i x = =. fx = x 3 x+3, f x = x, f x = x, f 3 x =, så att f = 3, f = 4, f =, f 3 =. p 0 x = 3 p x = p 0 x + 4x = + 4x x p x = p x + = + 4x + x / x + = 5 8x + x! p 3 x = 3 x + x 3 b Bestäm Maclaurinpolynomet av e x cos x av grad 3. Det gäller att utveckla de två faktorerna tillräckligt långt. e x = + x + x! Detta ger + x3 3! +... och cos x = x! + x4 4! +... e x cos x = +x+x +4x 3 /3+... x /+x 4 /4+... = +x+ 3x +x3 3 +... Svar: + x + 3x + x3 3. c Beräkna av grad 3. 0 e sin x dx, genom att integrera motsvarande Maclaurinpolynom e sin x = + sin x + sin x + x x 3 / + + sin x3 +... x x 3 / + x x 3 / 3 +... = + x + x x4 = p 3 x = x + x + En numerisk beräkning ger.387. 0 p 3 xdx =... = 5 3.7. 3
Fler Maclaurinserier Ex Den geometriska serien är a+ax+ax +ax 3 +... = a+x+x +x 3 +... = a, om x <. x Vi kan modifiera den. Först sätter vi a = och sedan byter vi x mot x och får x + x x 3 +... = + x, x <. Om vi integrerar denna serie pâ intervallet [0, x] och samtidigt byter x mot t som integrationsvariabel, och om termvis integration är tillåten, får vi lnx + = x x x3 3 +... = k= k xk som är Maclaurinserien för lnx +. Vi skall senare visa att den är konvergent för x <. P.s.s. kan vi byta x mot x i och få + x = x k, som vi integerar på intervallet [0, x]. Detta ger arctan x = Man kan visa att HL är konvergent om x <. k xk+ k +. k, Ex 7 Beräkna gränsvärdet lim x 0 x sin x arctan x Man kan lˆsa gränsvärdet ovan m.h.a. Taylorutveckling, eller med Taylorserie. I detta fall beräknar vi serien i = 0, d.v.s. en Maclaurinserie. Täljaren är x sin x = xx x 3 /3! + x 5 /5! +... och nämnaren är x x3 3 + x5 5 +... sâ att fx gx = xx x3 /3! + x 5 /5! +... /x + termer av högre grad = x x3 3 + x5 5 +... /x + termer av högre grad + 0 + 0 =. Lite knep för att bestämma Taylorutveckling m.m.. För funktionen fx = cos x, kan man utnyttja omskrivningen fx = + cos x och sedan utnyttja att cos x = x! + x4 4!... Ex.vis är Maclaurinpolynomet av cos x av grad 3 lika med + x = x.! 4
. För den sammansatta funktionen e cos x kan Maclaurinpolynomet av grad 4 tas fram genom att se att x = 0 ger cos x = cos 0 =. Där skall den yttre funktionen e z med z = cos x utvecklas i z =. Vi vill dock utnyttja att vi känner Maclaurinpolynomen för e z. Därför skriver vi om funktionen som e cos x = e cos x + cos x = e e och nu är den inre funktionen z = cos x, som är noll om x = 0. Därför kan vi utveckla e cos x = e z i = 0. Den inre funktionen z = cos x = x! + x4... Fortsättningen blir 4! e cos x = e e cos x = e e z = e + z + z /! + z 3 /3! +... = = e + x! + x4 4!... + x! + x4 4!... + 3 x! + x4 4! +... = [ = e x + x4 4 + ] +... = e x 8 + x4 +... Maclaurinpolynomet av grad 4 av funktionen e cos x är alltså e x + x4 Svar. 3. Man brukar säga att allt som liknar ett Taylorpolynom också är ett Taylorpolynom. Ex 8 Rörelseenergi enligt Einstein och enligt Newton. Enligt Newton W k,n = mv 0 Enligt Einstein W k,e = mc m 0 c där m = m 0 v/c. m 0 kalla vilomassa och m kallas relativistisk massa. Vi bestämmer Maclaurinpolynomet av och sätter v/c v/c =: x. Vu utvecklar funktionen fx = x : f0 =, f x = x 3/ = f 0 =. Alltså är p x = + x. Det ger att för låg hastighet v << c, alltså x litet, är W k,e m 0 + v/c c m 0 c = m 0 v = W k,n. 5