LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Ulf Janfalk Kurskod: TATA Provkod: KTR Kontrollskrivning i Linjär algebra 7 8, 8. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. På uppgift skall endast svar ges. Varje rätt svar ger poäng, fel svar poäng. Flera svar får och bör ges på samma blad Uppgift 5 och 6 ger tre poäng vardera; fullständiga och välmotiverade lösningar krävs. Minst poäng tillgodoräknas som tre poäng på uppgift på tentamen. Minst 6 poäng ger ytterligare en bonuspoäng på tentamen. Rätten att tillgodoräkna sig bonus består under läsåret 7-8. Resultatet meddelas via e-post. Lösningar läggs ut efter skrivtidens slut på http://courses.mai.liu.se/gu/tata/tentor.html Om inget annat sägs, är alla koordinater för vektorer i planet och rummet givna relativt en högerorienterad ON-bas.. Ange, i parameterform, lösningsmängden (kalla variablerna x,x,x,x,x 5,x 6 ) till ekvationssystemet som i matrisform har totalmatrisen. Betrakta matriserna ( ) A, B. Beräkna den/de av uttrycken nedan som är definierade: A+B t, BA, AB, AB t.. Rita ett vanligt rätvinkligt koordinatsystem (höger ON) och låt fem rutor svara mot en längdenhet.låtevaraenon-basdäre pekaridenhorisontellakoordinataxelns riktningoche idenlodrätaaxelnsriktning.ritaidettakoordinatsystem in,såexakt ( ) ( som möjligt, vektorerna u e, v e 5 u på v och den ortogonala projektionen av v på u.. Låt u e +e, u 7e +e och v e +e. Skriv v som linjärkombination av u och u. ), den ortogonala projektionen av
5. Låt P (,) och Q (5,7). Bestäm ekvationen på normalform till den linje som går genom mittpunkten på sträckan mellan P och Q och som är vinkelrät mot vektorn PQ. 6. Ange en enhetsvektor som är ortogonal mot u e och v e. 7. En parallellogram har hörn i punkterna (,,),(,,),(,,)och (,,). Bestäm dess area. 8. LinjenLhar riktningsvektorn ve +e +e ochgårgenompunkten P (,,). Bestäm avståndet mellan L och punkten P (,,). 9. Bestäm skärningspunkten, om det finns en, mellan linjerna L och L nedan: x x L :e y +te, t R, L :e y +te t R. z z. Betrakta underrummet U av R definierat genom U (x,x,x,x ) R : och låt x x + x och x + x x + x v (,,,), v (,,, ), v (,,, ), v (,,,). Vilken/vilka av v,...,v tillhör U?. Skriv vektorn v (7,,) som v v +v där v ligger i planet x y +z och v är vinkelrät mot samma plan.. Betrakta matriserna A b 7 och B Bestäm, om möjligt, talen a,b R så att B A. a. 6. Beräkna determinanten e ln e π π.. Lös matrisekvationen X XA+B t där ( ) A och B ( ). 5 6
(p) (p) 5. Planet Π går genom punkterna (,,),(,,),(,,). Bestäm avståndet mellan Π och punkten P (,, ) samt vilken punkt i Π som ligger närmast P. 6. Betrakta U a [(a,,,), (,,,), (a,,, ), (5,,, )]. För vilket(vilka) värde(n) på a R är vektorerna som genererar U a linjärt beroende? För det (dessa) värde(n) på a, beskriv U a med så få vektorer som möjligt och avgör därefter för vilka värden på b R som (,,b,) U a.
Lösningsförslag till TATA. Linjär algebra, 7 8. x x x x x 5 x 6 7 5 +s +t, s,t R. Den enda som inte är definierad är AB t. ( ) A+B t 7, BA, AB 8 6 7. y 5 u u v v u v x ( ) ( ) ( ) ( )) 7 +. v u +u ( e +e e e + 5. x+y 6 6. w e 5 eller w 5 7. 8.
9. (,,). v U, v,v,v /U. v (,, ), v (6,,). a, b. πln. X 9 9 5 5. Bestäm planets ekvation på normalform. Sätt P (,,),P (,,),P (,,) så att P P OP OP e e e P P OP OP e e e, och beräkna sedan planets normal. n P P P P e e e e så att Π:s ekvation på normalform blir Π: x y +z D, P Π + 6 D, dvs Π : x y +z 6. Rita själv figur eller se figur.9, sid 5 i boken. Beräkna vektorn P P och dess ortogonalprojektion på n. P P OP OP e e e, P P n P P n n n 6 e avståndet e P P n n 6. n 6 n n 5
Ortsvektorn för den närmsta punkten, P p fås sedan som OP p OP P P n e e e e 5, dvs P p (/,5/, ). 8 6 8 +e 6. Kalla de genererande vektorerna u,u,u,u och ställ upp beroendeekvationen, I matrisform blir detta λ u +λ u +λ u +λ u. a a 5 e } {{ } A a λ λ λ λ e Enligt Korollarium.7., sid 9 gäller att denna matrisekvation är entydigt lösbar omm deta a. Då det är ett homogent ekvationssystem och sådana alltid är lösbara (Sats..6, sid 7) följer det att ekvationssystemet har oändligt många lösningar om deta a. Ur detta följer då att vektorerna u,u,u,u är linjärt oberoende om deta a och linjärt beroende om deta a. deta a a a 5 a a a.. k +k a a k k 5 a a ( )( ) + 5 ( )+ a 8 (+a) 6 6a k k k +k De genererande vektorerna är alltså linjärt beroende då a och linjärt oberoende för a. Med a, lös beroendeekvationen samt ekvationen Vi får systemen λ u +λ u +λ u +λ u (,,b,). 5 b r +r r r 6 5 8 b 6 r +r r +r
5 8 6 6 b r r r r / Vi börjar med att lösa beroendeekvationen. Vi får λ λ λ 5λ t λ λ λ 8λ t λ t t λ t 5 8 b, t R. Insättning i beroendeekvationen (välj t för enkelhets skull) ger då u u u +u u u +u +u, dvs enligt Sats 5..6, sid kan u strykas utan att höljet ändras. Vad gäller ekvationen λ u +λ u +λ u +λ u (,,b,) ger kalkylen ovan att ekvationen är lösbar omm b, dvs (,,,) U och (,,b,) /U om b.. 7