Lotto. Singla slant. Vanliga missuppfattningar vad gäller slumpen. Slumpen och hur vi uppfattar den - med och utan tärning

Relevanta dokument
Matematisk statistik - Slumpens matematik

Föreläsning G70 Statistik A

4 Diskret stokastisk variabel

Föreläsning G60 Statistiska metoder

Betingad sannolikhet och oberoende händelser

Veckoblad 3. Kapitel 3 i Matematisk statistik, Blomqvist U.

FÖRELÄSNING 3:

7-2 Sammansatta händelser.

SOS HT Slumpvariabler Diskreta slumpvariabler Binomialfördelning. Sannolikhetsfunktion. Slumpförsök.

Föreläsning 7 FK2002

Kapitel 4 Sannolikhetsfördelningar Sid Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin

1 Mätdata och statistik

Slumpförsök för åk 1-3

händelsen som alltid inträffar. Den tomma mängden representerar händelsen som aldrig inträffar.

MATEMATIKSPELET TAR DU RISKEN

Sannolikhet DIAGNOS SA3

Arbetsblad 5:1. Tolka diagram. 1 a) Vilket var kilopriset år 2003? 2 a) Vad kallas den här typen av

5.3 Sannolikhet i flera steg

Lösningar tentamensskrivning i stokastik MAGB64 den 7 juni 2013

Finansiell statistik, vt-05. Slumpvariabler, stokastiska variabler. Stokastiska variabler. F4 Diskreta variabler

Laboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar

Kap 3: Diskreta fördelningar

Övning 1(a) Vad du ska kunna efter denna övning. Problem, nivå A. Redogöra för begreppen diskret och kontinuerlig stokastisk variabel.

Tema Förväntat värde. Teori Förväntat värde

F5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT , samt del av 5.4)

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, VT 2009) Föreläsning 2. Diskreta Sannolikhetsfördelningar. (LLL Kap 6) Stokastisk Variabel

F2 Introduktion. Sannolikheter Standardavvikelse Normalapproximation Sammanfattning Minitab. F2 Introduktion

Sannolikhetslära. 19 februari Vad är sannolikheten att vinna om jag köper en lott?

Stat. teori gk, ht 2006, JW F7 STOKASTISKA VARIABLER (NCT 5.7) Ordlista till NCT

Kap 2: Några grundläggande begrepp

Explorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION

Kombinatorik och sannolikhetslära

Matematikcentrum 1(6) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 - Biostatistisk grundkurs VT2014, lp3. Laboration 2. Fördelningar och simulering

Grundläggande matematisk statistik

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen

Aktiviteten, (Vad är mina chanser?), parvis, alla har allt material,

Kunna definiera laplacetransformen för en kontinuerlig stokastisk variabel. Kunna definiera z-transformen för en diskret stokastisk variabel.

MATEMATIK ARBETSOMRÅDET LIKABEHANDLING Kränkande handlingar, nätmobbning, rasism och genus

SF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 1 Mängdlära Grundläggande sannolikhetsteori Kombinatorik Deskriptiv statistik

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I

1 Föreläsning I, Mängdlära och elementär sannolikhetsteori,

Sannolikhetslära till pdf.notebook. May 04, Sannolikhetslära.

Fördelningsfunktionen för en kontinuerlig stokastisk variabel. Täthetsfunktionen för en kontinuerlig och en diskret stokastisk variabel.

5Chans och risk. Mål. Grunddel K 5. Ingressen

SF1901: Övningshäfte

Konkret kombinatorik. Per Berggren och Maria Lindroth

Grundläggande matematisk statistik

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

STYRANDE SATSER. 1) Skriv ett program som räknar ut hur många år du har till pensionen. Vi räknar här med att man pensioneras det år man fyller 65 år.

Exempel för diskreta och kontinuerliga stokastiska variabler

Three Monkeys Trading. Tärningar och risk-reward

Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar

Föreläsning 2. Kapitel 3, sid Sannolikhetsteori

Övning 1. Vad du ska kunna efter denna övning. Problem, nivå A

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I

Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar

Finns det över huvud taget anledning att förvänta sig något speciellt? Finns det en generell fördelning som beskriver en mätning?

Vidare får vi S 10 = 8, = 76, Och då är 76

1. Inledning, som visar att man inte skall tro på allt man ser. Betrakta denna följd av tal, där varje tal är dubbelt så stort som närmast föregående

F6 STOKASTISKA VARIABLER (NCT ) Används som modell i situation av följande slag: Slh för A är densamma varje gång, P(A) = P.

Kapitel 2. Grundläggande sannolikhetslära

STA101, Statistik och kvantitativa undersökningar, A 15 p Vårterminen 2017

Övningshäfte 2: Induktion och rekursion

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp, HT 2008) Föreläsning 2

Sannolikhetsbegreppet

inte följa någon enkel eller fiffig princip, vad man nu skulle mena med det. All right, men

Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

Uppgifter 6: Kombinatorik och sannolikhetsteori

Vad kan hända? strävorna

Jörgen Säve-Söderbergh

LUNDS UNIVERSITET 1(6) STATISTISKA INSTITUTIONEN Per-Erik Isberg

1.1 Diskret (Sannolikhets-)fördelning

Sannolikhetslära. 1 Grundläggande begrepp. 2 Likformiga sannolikhetsfördelningar. Marco Kuhlmann

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 4 juni 2004, kl

Explorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION

STA101, Statistik och kvantitativa undersökningar, A 15 p Vårterminen 2017

Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar

Manual. till. Cantor Madison Medri

FÖRELÄSNING 8:

Sannolikheten att vinna ett spel med upprepade myntkast

TMS136. Föreläsning 2

7-1 Sannolikhet. Namn:.

Föreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012

TMS136. Föreläsning 1

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I

3, 6, 9, 12, 15, 18. 1, 2, 4, 8, 16, 32 Nu är stunden inne, då vill vill summera talen i en talföljd

F2 SANNOLIKHETSLÄRA (NCT )

Matematikcentrum 1(7) Matematisk Statistik Lunds Universitet Per-Erik Isberg. Laboration 1. Simulering

18 juni 2007, 240 minuter Inga hjälpmedel, förutom skrivmateriel. Betygsgränser: 15p. för Godkänd, 24p. för Väl Godkänd (av maximalt 36p.

Samplingfördelningar 1

Tentamentsskrivning: Matematisk Statistik med Metoder MVE490 1

Matematikcentrum 1(7) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 - Biostatistisk grundkurs HT2007. Laboration. Simulering

Kapitel 12: TEST GÄLLANDE EN GRUPP KOEFFICIENTER - ANOVA

Kort om mätosäkerhet

Extramaterial till Matematik X

LULEÅ TEKNISKA UNIVERSITET Ämneskod S0002M, MAM801, IEK600,IEK309 Institutionen för matematik Datum Skrivtid

Grundläggande matematisk statistik

Transkript:

Slumpen och hur vi uppfattar den - med och utan tärning Ingemar Holgersson Högskolan Kristianstad grupper elever Gr, 7, 9 och. grupp lärarstudenter inriktning matematik Ca i varje grupp Gjord i Israel Fischbein, E. and Schnarch, D.: 997, The evolution with age of probabilistic intuitively based misconceptions, Journal for Research in Mathematics Education 8, 9. Lotto I Lotto satsar man på 7 nummer Kalle satsar på,,,,,, 7 och Lisa satsar på, 8, 7,, 7,, 9 Vem har störst chans att vinna? Kalle störst chans Lisa störst chans Så 7 Så Båda samma chans 78 Singla slant Lisa singlade slant gånger och fick klave alla gångerna. Hur stor är chansen att få klave i hennes :e kast Mindre än att få krona Så Så Lika som krona 7 9 9 Större än krona Andra svar

Kasta tärning Om du kastar tärningar, vilket är mest sannolikt, att få och eller och? Att få och Så Så Att få och Båda samma chans 7 7 7 7 78 Andra svar I en stad med ett mindre sjukhus och ett större, föds det i genomsnitt barn om dagen på det mindre och barn om dagen på det större. Man räknar dagar då mer än % (dvs 9 resp 7) av de födda barnen är flickor. Vilket sjukhus kommer att ha flest sådana dagar? A B barn/dag barn/dag Antal dagar > % flickor Det stora sjukhuset, dvs B Det lilla sjukhuset dvs A Båda lika många dagar Andra svar Inget svar Så Barnfödslar 7 Så 8 89 Jämför sannolikheten att få klave på åtminstone av mynt när du singlar mynt samtidigt Sannolikheten att få klave åtminstone gånger av när du singlar en slant Singla slant eller gånger Mindre chans vid gånger Lika chans Större chans vid gånger Andra svar Så Så 7 Inget svar

Falkfenomenet Kalle och Lisa har varsin låda med två vita och två svarta kulor. Så Så Kalle drar en kula från sin låda och ser att den är vit. Utan att lägga tillbaka den drar han en ny kula. Är sannolikheten att denna kula är vit större, mindre eller lika med att den är svart? Båda rätt Första rätt Andra fel 7 9 Lisa dra en kula från sin låda och lägger den åt sidan utan att titta på den. Därefter drar hon en ny kula och ser att den är vit. Är sannolikheten att den första kulan hon drog är vit större, mindre eller lika med att den är svart? Båda fel Andra 7 Kasta tärning gånger och notera udda eller jämnt Gissa hur en sådan serie kommer att se ut Utför experimentet Jämför resultaten Verkligheten har längre serier än vad man tror 8 Gissa Ex pr 7 8 Vilken siffra är vanligast? Om man studerar data från något område och gör statistik över vilken siffra som talen börjar med, hur blir då fördelningen? Ja, det beror ju på. Men om data har en hög grad av slumpmässighet över sig? Vilken siffra är vanligast? De flesta av oss förväntar sig säkert att siffrorna till 9 förekommer ungefär lika ofta Men 88 Newcomb logaritmtabeller 98 Benford föreslog logaritmisk fördelning Exempel

Vilken siffra är vanligast? Egna undersökningar Typ av Städer Städer Kommuner Fonder Benfords lag data area täthet area 9 9 7 8 8 9 9 7 8 9 7 7 9, 8 9, Antal 9 877 Vilken siffra är vanligast? Fibonaccitalen följer däremot Benford närmast perfekt Typ av data Fibonaccital Benfords lag,, 7, 7,,, 9, 9,7 8, 7,9,,7 7,8,8 8,, 9,, Antal Hur förklara lagen? Fördelning av första siffra bör vara oberoende av enhet Normering ger då att P(x)dx= och P(kx)d(kx)= vilket medför att P(kx)=(/k)*P(x) Derivera med avseende på k och sätt k= ger xp (x) = - P(x) som har lösningen P(x) = /x Om x täcker många -potenser blir då P(D) = log(+/d) vilket är Benfords lag Siffra 7 8 9 Benfords lag utvidgad Första Andra Tredje,,8,,, 7,,9,,,, 9,7,, 7,9 9,7 9,98,7 9, 9,9,8 9, 9,9, 8,8 9,8, 8, 9,8 Fjärde,8,,,, 9,998 9,99 9,99 9,98 9,98 Användning? Progressiv analys Benfords lag har använts för att upptäcka förfalskningar i ekonomiska data Redovisningar Deklarationer Valresultat? Numbers Första siffran Andra siffran Första två siffrorna Första tre siffrorna

BENFORD'S LAW First Digit BENFORD'S LAW Second Digit Count 8 7 7 8 9 Count 7 8 9 Digit Sequence Digit Sequence ACTUAL EXPECTED HIGHBOUND LOWBOUND ACTUAL EXPECTED HIGHBOUND LOWBOUND Count BENFORD'S LAW First Two Digits 7 8 Digit Sequence ACTUAL EXPECTED HIGHBOUND LOWBOUND Count BENFORD'S LAW First Three Digits 8 7 7 8 8 Digit Sequence ACTUAL EXPECTED HIGHBOUND LOWBOUND Centrala gränsvärdessatsen i statistik Om ett slumpmässigt experiment upprepas tillräckligt många gånger närmar den sig en och samma typ av fördelning - Normalfördelningen Formulerades först av Abraham de Moivre på 7-talet För slantsingling (binomialfördelningen) brukar man räkna med n= För allmän fördelning n= Normalfördelningen Dess matematiska form beskrevs först av Gauss N(μ,σ) = exp(-(x-μ) /σ) bild

Hur illustrera satsen? Otympligt med binomialfördelningen som grund Kan man inte använda tärning istället för mynt? Mödosamt att bestämma fördelningen för mer än kast Normalt görs detta via genererande funktioner (x+x +x +x +x +x ) n för n kast Men detta är inte så enkelt Antal kombinationer vid tärningskast Två kast sätt sätt sätt sätt sätt sätt sätt sätt sätt etc Tre kast sätt sätt sätt sätt sätt sätt sätt 7 sätt sätt sätt sätt etc Fyra kast sätt sätt sätt sätt!/(!*!) 7 sätt sätt!/(!*!*!) sätt 8 sätt sätt sätt sätt sätt etc kast kast kast Hur fortsätter det? kast kast 7 7 etc kast 8 etc Finns det ett mönster? Upprepade kast med en tärning Summor om värden ger värdena i nästa kolumn 7 8 7 7 7 78 78 7 8 7 9 777

,,8,,, 7 7 8 9 Antal kombinationer för n=,,, 8 7 8 9 7 8 7 8 9 7 8 9 Hypotes Antag att vi kastar en tärning n gånger. Då ges antalet kombinationer K n (p) för att få p poäng av K n- (p-)+k n- (p-)+ +K n- (p-) p antar värden mellan n och n och K n (p) sätts = utanför dessa värden Bevis Induktion Hypotesen är sann för n= och n=. Detta är lätt att kolla. Antag att den gäller för n- kast. Om man kastar ytterligare en gång kan man få p poäng på följande sätt: (p-)+, (p-)+,, (p-)+. Därför fås K n (p) som summan av kombinationer för dessa fall. Är detta speciellt för tärningar? Inget i beviset är specifikt för sidor Går att generalisera till s sidor, där s antar värden från och uppåt Justering för s sidor Summorna innehåller s termer som går från K n- (p-s) till K n- (p-) Att jämföra med normalfördelningen har en inbyggd funktion =NORMFÖRD(x;medelvärde;standardavvi kelse;falskt) Bestäm medelvärde och standardavvikelse för fördelningen Gör om fördelningen till en sannolikhetsfördelning Generera motsvarande normalfördelning Mått avvikelse absolut differens Hur är det med fördelningar som ej är likformiga? Ex Kast med tärningar notera differensen - Fördelningen blir alltså Från till blir det 8 Vilket kan reduceras till Vad händer om man upprepar experimentet? För blir vikten * = 9 För *+* = För *+*+* = 9 För *+*+*+* = 8 För *+*+*+*+* = 8 Weights Score 7 7 8 7 8 9 7 8 9 7

9 8 7 7 8 9 7 8 7 8 9 7 8 9 7 8 9 Mönster? Modifiera beviset för en tärning Upprepa experimentet n gånger. p antar värden mellan och n och V n (p) sätts = utanför dessa värden Antag att den gäller för n-. Om man kastar ytterligare en gång kan man få p poäng på följande sätt: p+, (p-)+,, (p-)+ Då ges vikterna V n (p) för att få p poäng av V n- (p)*v () + V n- (p-)*v () + + V n- (p-)*v () Upprepade kast med två tärningar och addera differenserna Viktade summor med termer ger värdena i nästa kolumn Differens tärningar Vikter 8 87 78 9 7 98 87 9 9 7 9 78 78 8 888 88 878 8 889 97 9 77 9 9 8 798 7 7 97 9 98 7 78 88 8 8 987 8 7 8 8 97 8898 Fördelningar differens tärningar Jämförelse med normalfördelningen Görs på motsvarande sätt som för en tärning Slutsatser Det går att illustrera centrala gränsvärdessatsen ganska enkelt för olika diskreta fördelningar Schemat för en tärning är en generalisering av Pascals triangel och gäller för alla likformiga fördelningar Schemat för differensen av tärningar är en ytterligare generalisering och gäller för alla diskreta fördelningar För slantsingling (binomialfördelningen) brukar man räkna med n= För allmän fördelning n= För tärning räcker det med n=8 8