Övningstentamen i matematisk statistik för kemi Uppgift 1: Bill och Georg har gått till puben tillsammans. De beslutar sig för att spela dart (vilket betyder kasta pil mot en tavla). Sedan gammalt vet de att Bill träffar tavlan med sannolikheten 0.7 medan Georg oberoende av Bills resultat träffar tavlan med sannolikheten 0.4. De båda vännerna kastar var sin pil mot tavlan samtidigt. a) Anta att endast en pil träffar tavlan. Vad är sannolikheten att det är Georg som har kastat den? b) Anta att tavlan träffas av minst en pil. Vad är sannolikheten att Georgs pil har träffat den? Uppgift : Anta att man har stokastiska variabler, ξ och η. Sannolikhetsfördelningen för ξ beskrivs i nedanstående tabell: ξ x P(ξ x) 0 0.1 1 0.1 0. 3 0.1 4 0.3 5 0. Den stokastiska variabeln η kan beräknas med hjälp av sambandet η (ξ ). Beräkna väntevärdet och variansen för η. Uppgift 3: Ett slumpmässigt urval på 10000 skaderapporter tas på ett försäkringsbolag vid avdelningen för bilförsäkringar. Man ser då att 75 % av alla rapporter innehåller ersättningskrav på minst 3000 kronor. Man vill nu studera nästa 400 skaderapporter som kommer in. Vad är sannolikheten att fler än 7 % av dessa 400 nyinkomna rapporterna har ersättningskrav på minst 3000 kronor?
Uppgift 4: I ett fullständigt 3 -faktorförsök ville man undersöka effekten av 3 faktorer A, B och C. För att kunna göra en bättre analys kompletterade man med 3 försök i centrumpunkten. Resultatet blev enligt nedan: Följande effekter beräknades: Försöksordning A B C resultat 7 - - - 4 3 + - - 9 1 - + - 1 6 + + - 16 4 - - + 1 5 + - + 13 - + + 8 + + + 1 9 M M M 7 10 M M M 4 11 M M M 3 l A 15.75 l B 5.5 l C 3.75 l AB.5 l AC 0.75 l BC 0.5 l ABC 0.5 a) Beräkna ett referensintervall och avgör vilka effekter som är signifikanta. b) Beskriv försöksresultatet med hjälp av en matematisk formel. c) Genomför en residualanalys och avgör om de antaganden man gör på försöksresultaten är uppfyllda. (9 poäng) Uppgift 5: I ett 4 -faktorförsök behövde man korta ner tiden för försökens genomförande. Ett lämpligt sätt att göra detta är att använda blockning. Man beslöt att försöken skulle genomföras av olika operatörer med hjälp av olika maskiner. Hjälp till att genomföra blockningen så att beräkning av huvudeffekter och faktorsamspel inte påverkas av blockningen. Ange vilka försök som skall genomföras av respektive operatör och vilken maskin han/hon skall använda. Till din hjälp finns en 4 -designmatris som bilaga i tentamen. (4 poäng) Uppgift 6: Ett reducerat 6-3 -försök skall genomföras. a) Ange generatorer (de du tror är lämpliga. De behöver inte vara de bästa.) b) Vilken upplösning får du? c) Ange vilka alias som faktorn B får.
Uppgift 7: Vid upprepade vägningar av ett föremål fick man en genomsnittsvikt på x 15.10 gram. Vågen ger ett slumpmässigt fel som kan antas vara normalfördelat med µ 0 gram och σ 0.10 gram. Anta att man har gjort 5 vägningar. a) Ange ett 95%-igt konfidensintervall för föremålets verkliga vikt. b) Testa på 5%:s signifikansnivå om den sanna genomsnittsvikten kan vara större än 15.05 gram. (7 poäng) Uppgift 8: En plastfabrikant ville undersöka om 3 olika kemiska ingredienser, A, B och C, hade olika genomsnittseffekt på elasticiteten hos produkten. Han genomförde några experiment med följande resultat: Produkt Resultat A 5 6 5 8 6 7 6 5 6 7 B 8 9 8 7 9 9 10 8 C 10 10 9 8 8 9 10 9 8 9 10 8 Följande kvadratsummor beräknades: Variationskälla SS Produkt 49.8 Totalt 7.7 a) Använd ovanstående uppgifter för att fylla i en ANOVA-tabell. b) Använd variansanalys för att testa om de tre ingredienserna samma genomsnittliga effekt på elasticiteten.
Lösningar till övningstentamen i matematisk statistik för kemi Uppgift 1: G Georg träffar tavlan B Bill träffar tavlan P(G) 0.4 P(B) 0.7 P(G precis en träff) a) P(G precis en träff) P(precis en träff) C P(G B ) (oberoende) C C P(G B ) + P(G B) P(G) P( B ) C C P(G) P(B ) + P(G ) P(B) C 0.4 0.4 0.3 0.3 + 0.6 0.7 9 0. P(G minst en träff) b) P(G minst en träff) P(minst en träff) P(G) (oberoende) 1 P(ingen träff) P(G) 1 P(G C C ) P(B ) 0.4 1 0.6 0.3 0 41 0.4878 Uppgift : ξ x η (ξ ) P(ξ x) 0 4 0.1 1 1 0.1 0 0. 3 1 0.1 4 4 0.3 5 9 0. Ovanstående värden sammanställs till en sannolikhetsfördelning för η. η (ξ ) P(η y) 0 0. 1 0.1+0.1 0. 4 0.1+0.3 0.4 9 0. E(η) 0 0. + 1 0. + 4 0.4 + 9 0. 3.6 Var(η) 0 0. + 1 0. + 4 0.4 + 9 0. 3.6 9.84
Uppgift 3: 10000 skaderapporter studeras. 75% av dessa innehåller ersättningskrav på minst 3000 kronor. Att så många rapporter har studerats betyder att vi kan anta att andelen skaderapporter med ersättningskrav på minst 3000 kronor är 0.75. P(en slumpmässigt vald skaderapport har ett krav på minst 3000 kr) 0.75 ξ antal skadeståndskrav med ett ersättningskrav på minst 3000 kr ξ är Bin(n, p) Bin(400, 0.75) Eftersom np(1 p) 400 0.75 0.5 75 > 10 så används normalapproximation. E(ξ) np 400 0.75 300 Var(ξ) np(1 p) 400 0.75 0.5 75 P(ξ > 0.7 400) P(ξ > 88) 1 P(ξ < 88) 1 P(Z < 88 300 ) 75 1 P(Z < 1.39 ) 1 (1 P(Z < 1.394 )) P(Z < 1.39 ) 0. 9177 Uppgift 4: a) De tre observationerna i centrumpunkten används till att göra en beräkning av s. (7 + 4 + 3) 7 + 4 + 3 s 3 4. 3333 3 1 med df ett 95%-igt referensintervall: 0 ± t s N 0 ± 4.303 4.3333 8 0 ± 6.33 Endast effekten av A är signifikant. b) l A ŷ l M + x A där lm beräknas på de 8 observationerna som inte ligger i centrumpunkten 1 l M ( 4 + 9 1+ 16 1+ 13 + + 1 ) 6.875 8 ŷ 6.875 + 15.75 x A
c) försöksordning y ŷ ε y ŷ. 7 4 6.875 7.875 1 4 + 1 3 3 9 6.875 + 7.875 14.75 9 14.75 5.75 1 1 6.875 7.875 1 1 + 1 0 6 16 6.875 + 7.875 14.75 16 14.75 1.5 4 1 6.875 7.875 1 1 + 1 0 5 13 6.875 + 7.875 14.75 13 14.75 1.75 6.875 7.875 1 + 1 3 8 1 6.875 + 7.875 14.75 1 14.75 6.5 residualer 6,5 3,00 1,5 0,00-1,75-3,00-5,75 Residualplot ε -1.77 + 0.39x Plotten visar att residualerna mycket väl kan vara oberoende normalfördelade med samma varians. Däremot verkar det som om det finns en svag tidstrend i materialet. Om detta är sant eller ej är svårt att avgöra eftersom det är så få observationer. 0 1 3 4 5 6 7 8 9 försöksordning Uppgift 5: Använd t.ex. teckenkolumnerna för BCD och ABCD BCD används till maskinisterna. Om det finns i teckenkolumnen så skall försöket genomföras av maskinist 1. Om det finns + i teckenkolumnen så skall försöket genomföras av maskinist. ABCD används till maskinerna. Om det finns i teckenkolumnen så skall försöket genomföras på maskin 1. Om det finns + i teckenkolumnen så skall försöket genomföras av maskin. Vi ställer nu samman ovanstående: Maskinist 1 på maskin 1: de försök med BCD - och ABCD - d.v.s. försök, 8, 1, 14 Maskinist 1 på maskin : de försök med BCD - och ABCD + d.v.s. försök 1, 7, 11, 13 Maskinist på maskin 1: de försök med BCD + och ABCD - d.v.s. försök 3, 5, 9, 15 Maskinist på maskin : de försök med BCD + och ABCD + d.v.s. försök 4, 6, 10, 16
Uppgift 6: a) generatorer: D AB E AC F BC b) definierande relationer: I 1 ABD I ACE I 3 BCF I 4 I 1 I ABD ACE BCDE I 5 I 1 I 3 ABD BCF ACDF I 6 I I 3 ACE BCF ABEF I 7 I 1 I I 3 ABD ACE BCF DEF Upplösningen III c) faktorn B får följande alias: B I 1 B ABD AD B I B ACE ABCE B I 3 B BCF CF B I 4 B BCDE CDE B I 5 B ACDF ABCDF B I 6 B ABEF AEF B I 7 B DEF BDEF l B B + AD + CF + CDE + AEF + ABCD + BDEF + ABCDF Uppgift 7: x 15.10 gram n 5 vägningar felet kan antas vara normalfördelat med µ 0 gram och σ 0.10 gram Vikten den sanna vikten + ett slumpmässigt fel a) Ett 95%-igt konfidensintervall blir σ x ± 1.96 d.v.s. 15.10 ± 1.96 n b) Steg 1: H 0 : µ 15.05 H 1 : µ > 15.05 Steg : α 0.05 0.10 5 15.10 ± 0.039 5% 1.645
x µ Steg 3: Välj testvariabeln z σ n Steg 4: Urval gav x 15.10 z 15.10 15.05 0.10 5.5 Steg 5: H 0 förkastas. Undersökningen tyder på att den genomsnittliga vikten är Större än 15.05 gram. Uppgift 8: Antal kemiska ingredienser 3 och antal experiment 30 Steg 1 H0: µ 1 µ µ 3 H 1 : alla ej lika (,7) df Steg α 0. 05 3.35 Steg 3 Välj testvariabeln F MSG MSE Steg4 Urval gav variationskälla Pr odukt okänd SS 49.8.9 df 7 MS SS df 4.9 0.8481 Totalt 7.7 9 F 4.9 0.8481 9.36 Steg5 H0 förkastas. Undersökningen tyder på att de3 kemiska ingredienserna ger genomsnittseffekt på elasticiteten. olika