Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings universitet Datum för tentamen 25-6-5 Sal () TER2 (Om tentan går i flera salar ska du bifoga ett försättsblad till varje sal och ringa in vilken sal som avses) Tid 8: 3: Kurskod TSRT3 Provkod TEN Kursnamn/benämning Reglerteknik Institution ISY Antal uppgifter som ingår 5 i tentamen Jour/kursansvarig Tianshi Chen (Ange vem som besöker salen) Telefon under skrivtiden 3-28726,7266328 Besöker salen cirka kl. 9:, :3, 2: Kursadministratör/ kontaktperson Ninna Stensgård, 328725, ninna.stensgard@liu.se (Namn, telefonnummer, mejladress) Tillåtna hjälpmedel Övrigt Vilken typ av papper Rutigt ska användas, rutigt eller linjerat Antal exemplar i påsen. T. Glad & L. Ljung: Reglerteknik. Grundläggande teori eller liknande bok i reglerteknik 2. Tabeller och formelsamlingar, t.ex.: L. Råde & B. Westergren: Mathematics handbook, C. Nordling & J. Österman: Physics handbook, S. Söderkvist: Formler & tabeller 3. Miniräknare utan färdiga program Inläsningsanteckningar får finnas i böckerna.
SAL: TER2 TENTAMEN I TSRT3 REGLERTEKNIK TID: 25-6-5 kl. 8: 3: KURS: TSRT3 Reglerteknik PROVKOD: TEN INSTITUTION: ISY ANTAL UPPGIFTER: 5 ANSVARIG LÄRARE: Tianshi Chen, tel. 3-28726,7266328 BESÖKER SALEN: Tianshi Chen, tel. 3-28726,7266328, cirka kl. 9:, :3, 2: KURSADMINISTRATÖR: Ninna Stensgård, 328725, ninna.stensgard@liu.se TILLÅTNA HJÄLPMEDEL:. T. Glad & L. Ljung: Reglerteknik. Grundläggande teori eller liknande bok i reglerteknik 2. Tabeller och formelsamlingar, t.ex.: L. Råde & B. Westergren: Mathematics handbook, C. Nordling & J. Österman: Physics handbook, S. Söderkvist: Formler & tabeller 3. Miniräknare utan färdiga program Inläsningsanteckningar får finnas i böckerna. LÖSNINGSFÖRSLAG: Finns på kursens websida efter skrivningens slut. VISNING av tentan äger rum preliminärt, 25-6-, kl. 9:3 :, 2A-595, B-huset, ingång 25, A-korridoren till höger. PRELIMINÄRA BETYGSGRÄNSER: betyg 3 23 poäng betyg 33 poäng betyg 5 3 poäng OBS! Lösningar till samtliga uppgifter ska presenteras så att alla steg (utom triviala beräkningar) kan följas. Bristande motiveringar ger poängavdrag. Lycka till!
. (a) I en tank med syra/bas vill man reglera ph-värdet, som beskriver koncentrationen vätejoner. Tanken har ett konstant inflöde av en syra eller bas med känt ph-värde. För att reglera ph-värdet i utflödet kan vi tillsätta en syra eller bas med konstant ph-värde, där vi kan reglera flödet. Tanken har också ett utflöde som är summan av de två inflödena (volymen är alltså konstant). En modell av systemet ges av där c i, c o, c u q V u p o dc o (t) dt = u(t) ( cu c o (t) ) + q ( ci c o (t) ) V V [.25 ( c o (t) ) ] 2 + +.5c o (t) p o (t) = log betecknar överskottet av vätejoner i inflödet, utflödet respektive flödet vi kan reglera (styrflödet) inflödeshastigheten tankens volym flödeshastigheten i flödet vi kan reglera (styrsignalen) ph-värdet Är systemet linjärt när vi betraktar u(t) som insignal och c o (t) som utsignal (motivera)? (b) Vilket av systemen nedan har kortast stigtid? Motivera! G (s) = s 2 +2s + (c) Antag att insignalen till systemet G 2 (s) = 6 s 2 +s +6 Y (s) = 2 s + U(s) ges av u(t) = sin3t. Ange utsignalen i stationärt tillstånd. (d) Ett system ges av tillståndsmodellen ẋ(t) = ( ) α x(t)+ ( ) ( ) u(t) y(t) = α x(t) För vilka α är systemet styr- och observerbart? (e) Ett system beskrivs av sambandet Y (s) =G(s)U(s)+V (s) där v(t) är en sinusformad störning v(t) =A sin ωt. Systemet styrs med återkoppling U(s) =F (s)(r(s) Y (s)) där r(t). Absolutbeloppet för den resulterande känslighetsfunktionen ges i figuren nedan. För vilka vinkelfrekvenser hos v(t) gör återkopplingen nytta? För vilken frekvens är den allra sämst? 2
Amplitude 2 2 Angular frequency Figur : Amplitudkurva för känslighetsfunktionen i uppgift (e) 3
2. (a) Ett system Y (s) =G o (s)u(s) återkopplas så att U(s) =R(s) Y (s). i. I figur 2 finns bodediagram för öppna systemet G o för två olika system (överst), de återkopplade systemen G c (rad två), stegsvar för de återkopplade systemen (rad tre) och polerna för de återkopplade systemen (nederst). Para ihop rätt öppet system, slutet system, stegsvar och poler. Motivera! (3p) ii. I figur 3 finns bodediagram för öppna systemet G o för två olika system (överst), de återkopplade systemen G c (rad två), stegsvar för de återkopplade systemen (rad tre) och polerna för de återkopplade systemen (nederst). Para ihop rätt öppet system, slutet system, stegsvar och poler. Motivera! (3p)
2 Gm =.6 db (at 3.87 rad/sec), Pm = 87.9 deg (at.666 rad/sec) Gm =.62 db (at 3.87 rad/sec), Pm = 5.3 deg (at 3.52 rad/sec) 5 5 5 5 5 5 9 9 35 35 8 8 225 225 27 3 2 2 3 Frequency (rad/sec) 27 3 2 2 3 Frequency (rad/sec) (a) Öppet system A (b) Öppet system B 5 2 6 5 8 2 6 8 5 2 9 8 9 8 27 3 2 2 3 Frequency (rad/sec) (c) Återkopplat system a 27 3 2 2 3 Frequency (rad/sec) (d) Återkopplat system b Step Response Step Response.8.8.6.6...2.2 Amplitude Amplitude.8.8.6.6...2.2 2 3 5 6 7 8 9 Time (sec) 2 3 5 6 7 8 9 Time (sec) (e) Stegsvar (f) Stegsvar 2 Pole Zero Map Pole Zero Map 5 5 3 3 2 2 Imaginary Axis Imaginary Axis 2 2 3 3 5 8 7 6 5 3 2 2 Real Axis (g) Poler I 5 5 8 7 6 5 3 2 2 Real Axis (h) Poler II Figur 2: Figurer till 2(a)i. Det är samma frekvensskala i bodediagrammen och samma tidsskala i stegsvarsfigurerna.
2 Gm =.6 db (at 3.87 rad/sec), Pm = 87.9 deg (at.666 rad/sec) Gm = 2.7 db (at 3.87 rad/sec), Pm = 76 deg (at.59 rad/sec) 5 5 5 5 5 5 9 2 9 35 35 8 8 225 225 27 3 2 2 3 Frequency (rad/sec) 27 3 2 2 3 Frequency (rad/sec) (a) Öppet system A (b) Öppet system B 2 2 6 6 8 2 8 2 6 6 8 8 2 2 9 8 9 8 27 3 2 2 3 Frequency (rad/sec) (c) Återkopplat system a 27 3 2 2 3 Frequency (rad/sec) (d) Återkopplat system b Step Response Step Response.8.8.6.6...2.2 Amplitude Amplitude.8.8.6.6...2.2 2 3 5 6 7 8 9 Time (sec) 2 3 5 6 7 8 9 Time (sec) (e) Stegsvar (f) Stegsvar 2 Pole Zero Map Pole Zero Map 5 5 3 3 2 2 Imaginary Axis Imaginary Axis 2 2 3 3 5 8 7 6 5 3 2 2 Real Axis (g) Poler I 6 5 8 7 6 5 3 2 2 Real Axis (h) Poler II Figur 3: Figurer till 2(a)ii. Det är samma frekvensskala i bodediagrammen och samma tidsskala i stegsvarsfigurerna.
(b) Betrakta ett återkopplat system enligt figur. Med en viss regulator fås överföringsfunktionerna G o (s) =F (s)g(s) i figur 5, G c (s) = S(s) = +F (s)g(s) ifigur7. F (s)g(s) +F (s)g(s) ifigur6samt i. Antag att mätbruset n(t) huvudsakligen innehåller frekvenser ω>. Kommer mätbruset att förstärkas eller dämpas i utsignalen y(t)? Kom ihåg att även här motivera ditt svar! (p) ii. Antag att modellens överföringsfunktion G(s) har ett fel på % i den statiska förstärkningen dvs det sanna systemet beskrivs av G (s) =α G(s) där α =.. Använd robusthetskriteriet för att avgöra om det sanna återkopplade systemet är stabilt. (3p) Figur : Blockschema till uppgift 2b. 7
Gm = 2.8 db (at 3.6 rad/s), Pm = 7. deg (at.78 rad/s) 5 5 5 9 35 8 225 27 2 2 3 Frequency (rad/s) Figur 5: Bodediagram för G o (s) =F (s)g(s) i uppgift 2b. 5 5 5 9 8 27 2 Frequency (rad/s) Figur 6: Bodediagram för G c (s) = F (s)g(s) +F (s)g(s) i uppgift 2b. 8
5 5 5 2 35 9 5 5 2 Frequency (rad/s) Figur 7: Bodediagram för S(s) = +F (s)g(s) i uppgift 2b. 9
3. Ett uppvärmningssystem har överföringsfunktionen G(s) = (s +)(s +2)(s +5) från u till y. Det styrs med en PI-regulator vars överföringsfunktion är F (s) =K s + a s Som ledning för inställning av parametrarna har man tagit upp rotorter som funktion av K för tre olika a-värden.
a =.5: Root Locus 3 2 Imag Axis 2 3 7 6 5 3 2 Real Axis Kryssen markerar K =,, 2, 5,, 2, 5. Området nära origo visas uppförstorat nedan..5..3.2 Root Locus Imag Axis...2.3..5.5..3.2.. Real Axis
a =.5: Root Locus 3 2 Imag Axis 2 3 7 6 5 3 2 Real Axis Kryssen markerar K =,, 2, 5,, 2, 5. a =3: Root Locus 3 2 Imag Axis 2 3 7 6 5 3 2 Real Axis Kryssen markerar K =,, 2, 5,, 2, 5. (a) Vilket av de tre a-värdena tillåter högst K-värde utan att man får instabilitet? (b) Låt oss anse att en pol är väl dämpad om beloppet av dess imaginärdel är mindre än beloppet av dess realdel och låt avståndet till origo vara ett mått på snabbhet. Vilket av de tre a-värdena och vilket K-värde (av de markerade) bör man välja om man vill ha ett stabilt återkopplat system som är väl dämpat och är så snabbt som möjligt? (6p) 2
(c) Antag att man överväger andra a-värden än de som testats ovan. Går det att hitta ett värde på a som gör det återkopplade systemet stabilt för alla K >? 3
. En tillståndsbeskrivning för systemet ges av ( ) ẋ(t) = x(t)+. ( ) y(t) = x(t) (. (a) Kan man med en tillståndåterkoppling placera det återkopplade systemets poler godtyckligt? (b) Antag att alla tillståndsvariabler kan mätas. Ta fram en tillståndsåterkoppling så att det återkopplade systemets poler är i ochy = r stationärt. (3p) (c) Antag att endast positionen y(t) kan mätas. Kan man ta fram en observatör sådan att observatörsfelet avtar godtyckligt snabbt? Var skulle du placera observatörens poler och varför? (Du behöver inte ta fram observatören.) (3p) (d) Antag att man kan välja mellan att mäta positionen y(t) och hastigheten ẏ(t). Finns det teoretiskt sett något skäl att föredra positionsmätning eller hastighetsmätning? (Du kan bortse från eventuella mättekniska problem och anta att det är lika lätt att mäta hastighet som position.) ) u(t)
5. Ett system med överföringsfunktionen G(s) =.8(s +3) s 3 +.6s 2 +s ska regleras med en standard återkoppling enligt Med den nuvarande P-regulatorn U(s) =F (s)(r(s) Y (s)). F (s) = fås ett Bodediagram för det öppna systemet enligt figur 8. Det slutna systemets beteende med denna regulator är för långsamt och för svängigt. Figur 8: Bodediagram till uppgift 5. (a) Vilken egenskap hos det givna systemet G(s) är det som gör att det är olämpligt att köra detta system utan en återkoppling, d.v.s. öppen styrning (glöm inte motivera)? (b) Konstruera en så enkel regulator som möjligt sådan att vi får en skärfrekvens på 3 rad/s samt ökar fasmarginalen med jämfört med det ursprungliga P-reglerade systemet. Det får inte finnas något stationärt fel vid konstanta referenssignaler. (8p) 5