Beräkning av integraler

Relevanta dokument
f(x + h) f(x) h f(x) f(x h) h

f (a) sin

LABORATION 2. Trapetsregeln, MATLAB-funktioner, ekvationer, numerisk derivering

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664

Laboration 3. Funktioner, vektorer, integraler och felskattning

Laboration 3. Funktioner, vektorer, integraler och felskattning

Tentamen i Beräkningsvetenskap I och KF, 5.0 hp,

Matematisk analys för ingenjörer Matlabövning 2 Numerisk ekvationslösning och integration

LABORATION cos (3x 2 ) dx I =

Sammanfattning (Nummedelen)

Kurs DN1215, Laboration 3 (Del 1): Randvärdesproblem för ordinära differentialekvationer

Laboration 4. Numerisk behandling av integraler och begynnelsevärdesproblem

med tillgång till värden på f: vi anser att vi kan evaluera f för alla x i (a,b) och använder kvadraturformler av typen n

DATORLABORATION FÖR KURSEN ENVARIABELANALYS 2

André Jaun, HT-2005 Anteckningar från lektioner i Numeriska Metoder fys-åk2. (Sid 93) Trapetsregeln Adaptiva metoder ODE-metod Förbehandlande metoder

Tentamen i Teknisk-Vetenskapliga Beräkningar

Euler-Mac Laurins summationsformel och Bernoulliska polynom

Tentamen del 1 SF1546, , , Numeriska metoder, grundkurs

Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna

Laboration 4. Numerisk behandling av integraler och begynnelsevärdesproblem

SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder Lösningsförslag till tentamen DEL A

Kontrollskrivning KS1T

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 16 mars 2015

Teorifrågor. 6. Beräkna konditionstalet för en diagonalmatris med diagonalelementen 2/k, k = 1,2,...,20.

Maclaurins och Taylors formler. Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

DN1212 för M: Projektrapport. Krimskramsbollen. av Ninni Carlsund

Del I: Lösningsförslag till Numerisk analys,

Dubbelintegraler. 1 Inledning. 2 Rektangelregeln. CTH/GU LABORATION 5 MVE /2018 Matematiska vetenskaper

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

KTH 2D1240 OPEN vt 06 p. 1 (5) J.Oppelstrup

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Torsdagen den 4 juni 2015

Uppgift 1 R-S. Uppgift 2 R-M. Namn:...

Uppgift 1. (SUBPLOT) (Läs gärna help, subplot innan du börjar med uppgiften.) 1 A) Testa och förklara hur nedanstående kommandon fungerar.

Facit Tentamen i Beräkningsvetenskap I (1TD393) STS ES W K1

de uppgifter i) Under m-filerna iv) Efter samlade i en mapp. Uppgift clear clc Sida 1 av 6

TENTAMEN I GRUNDKURS I NUMERISKA METODER - DEL 20

TATA42: Föreläsning 3 Restterm på Lagranges form

Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA132 Numeriska Metoder Avdelningen för tillämpad matematik Datum: 2 juni 2014

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Numeriska metoder, grundkurs II. Dagens program. Exempel Kubiska splines. Ögna igenom de gamla övningsanteckningarna.

Kap Dubbelintegraler.

Flervariabelanalys och Matlab Kapitel 3

Information Coding / Computer Graphics, ISY, LiTH. Integrationsmetoder

Denna föreläsning. DN1212 Numeriska metoder och grundläggande programmering FN Differentialekvationer. Repetition av FN5 (GNM kap 6.

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A

Studio 6: Dubbelintegral.

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.

Välkomna till Numme och MATLAB, 9 hp, för Materialdesign och Energi&Miljö, årskurs 2

Lösningsförslag till Tentamen i SF1602 för CFATE 1 den 20 december 2008 kl 8-13

F 4 Ch Numerisk integration, forts.; Ch.4 Numerisk derivering.

Meningslöst nonsens. December 14, 2014

Planering för Matematik kurs D

Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna

4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horisontella och vertikala asymptoter till y = 1 x 1 + x, och rita funktionens graf.

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.

Ordinära differentialekvationer,

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Modul 5 Integraler

Från förra gången: Newton-Raphsons metod

Polynomanpassning i MATLAB

Kapitel 7. Numerisk derivering och integration

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e 50k = k = ln 1 2. k = ln = ln 2

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Symboliska beräkningar i Matlab

TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den 11 januari, 2014

Tentamen i Beräkningsvetenskap I/KF, 5.0 hp,

Lösningsförslag Tentamen i Beräkningsvetenskap I, 5.0 hp,

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Jonny Lindström MVE475 Inledande Matematisk Analys

x) 3 = 0. 1 (1 + 2x) Bestäm alla reella tal x som uppfyller att 0 x 2π och att tangenten till kurvan y = sin(cos(x)) är parallell med x-axeln.

Laboration 3. Ergodicitet, symplektiska scheman och Monte Carlo-integration

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Christoffer Standar LMA033a Matematik BI

% Föreläsning 4 22/2. clear hold off. % Vi repeterar en liten del av förra föreläsningen:

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Mer om texter i MATLAB och om iterativ lösning av linjära ekvationssystem

Inbyggda funktioner i MATLAB

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Lösningsförslag till tentamensskrivningen i Numerisk analys

Matlab övningsuppgifter

x 2 = lim x 2 x 2 x 2 x 2 x x+2 (x + 3)(x + x + 2) = lim x 2 (x + 1)

SAMMANFATTNING TATA41 ENVARIABELANALYS 1

Flervariabelanlys och Matlab Kapitel 3

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål

MVE465. Innehållsförteckning

Numeriska metoder för ODE: Teori

TENTAMEN I GRUNDKURS I NUMERISKA METODER - DEL 2

Låt vara en reell funktion av en reell variabel med definitionsmängden som är symmetrisk i origo.

Tentamen SF e Januari 2016

Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna

Monte Carlo-metoder. Bild från Monte Carlo

Omtentamen i DV & TDV

FÖRSÄTTSBLAD TILL TENTAMEN. ELLER (fyll bara i om du saknar tentamenskod): Datum: 16 januari Bordsnummer:

LAB 3. INTERPOLATION. 1 Inledning. 2 Interpolation med polynom. 3 Splineinterpolation. 1.1 Innehåll. 3.1 Problembeskrivning

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Kapitel 5: Primitiva funktioner

Kap Generaliserade multipelintegraler.

Fallstudie: numerisk integration Baserad på läroboken, Case Study 19.9

Transkript:

Beräkning av integraler a b f(x) dx = {ytan mellan kurvan och x-axeln från a till b} Många tekniska beräkningsproblem kan formuleras som integraler. En del integraler kan beräknas exakt men flertalet kan bara beräknas approximativt med hjälp av numeriska metoder. Med MATLABs symboliska matematik kan man hitta exakta, både obestämda och bestämda integraler: syms x; int(x^2) ger x^3/3 int(x^2,3,6) ger 63 int(x^2,6,3)) ger 63 int(x*sin(x)) ger sin(x)-x*cos(x) int(x*exp(x)*sin(x)) ger (exp(x)*(cos(x)-x*cos(x)+ x*sin(x)))/2 diff(ans) ger (exp(x)*(x*cos(x) - cos(x) + x*sin(x)))/2 + (exp(x)*(cos(x) - x*cos(x) + x*sin(x)))/2 simplify(ans) ger x*exp(x)*sin(x) int(x^2*log(x)) ger (x^3*(log(x) - 1/3))/3 int(exp(-x^2)) ger (pi^(1/2)*erf(x))/2 icke-elementär funktion int(sin(x^3)) ger int(sin(x^3), x) går inte med elementära Yngve Sundblad Föreläsning 5 sid.1, uppdatering SF 1518/19 ht 2015 14 sept.

Numeriska metoder summerar ytor Dela in I strimlor Fälla, klaras normalt av metoderna Beräkna ytor av Beräkna rektanglar, ytor av höjd är parallellvärdet i Trapetser mittpunkter Rektangelregeln (mittpunktsregeln) Trapetsregeln Yngve Sundblad Föreläsning 5 sid.2, uppdatering SF 1518/19 ht 2015 14 sept.

Formler för ytsummeringarna Alla metoder för integralberäkning består av en summa av N stycken funktionsvärden (k går från 1 till N): I = a b f(x) dx k w k f(x k ) och k w k = b-a, sätt in f(x)=1 Enklast är rektangelregeln, där man summerar ytorna av lika breda remsor (h) med höjden funktionsvärdet i mitten: h=b-a/n med x = a + (k-1/2)*h I = a b f(x) dx h * k f(x k ) Man kan visa att trunkationsfelet blir proportionellt mot h. Bättre är trapetsregeln, där man summerar ytorna av parallelltrapetser med två hörn på kurvan, två på x-axeln I = a b f(x) dx h(f(a)/2+f(a+h)+f(a+2h)+f(a+(n-1)h)+f(b)/2) Här kan man visa att trunkationsfelet blir proportionellt mot h 2. Yngve Sundblad Föreläsning 5 sid.3, uppdatering SF 1518/19 ht 2015 14 sept.

Inflytande av osäkerhet i funktionsvärdena Av I = a b f(x) dx k w k f(x k ), k w k = b-a följer att om alla funktionsvärdena är behäftade med samma absoluta osäkerhet, E, vilket är vanligt vid datorbeäkningar så är totala osäkerheten k w k *E = E* k w k = (b-a)*e Yngve Sundblad Föreläsning 5 sid.4, uppdatering SF 1518/19 ht 2015 14 sept.

Trapetsregeln I T(h) = h(f(a)/2+f(a 1 )+f(a 2 )+f(a n-1 )+f(b)/2)), a k =a+k*h, h=(b-a)/n Exempel: 0 2 ( 0.5+2e x sin2x 2 ) dx, med steget 0.2 och 0.1 t=0:0.01:2; f=sqrt(0.5+2*exp(-t).*sin(2*t.^2)); subplot(1,3,1); plot(t,f) for i=1:2 end n=10*i; h=2/n; x=(0:h:2); f=sqrt(0.5+2*exp(-x).*sin(2*x.^2)); T(i)=h*(sum(f)-f(1)/2-f(n+1)/2); subplot(1,3,i+1); plot(x,f) disp(t) ger 1.6426 1.6418, dvs tre decimalers noggrannhet Yngve Sundblad Föreläsning 5 sid.5, uppdatering SF 1518/19 ht 2015 14 sept.

Kurvan exakt och med trapetser Yngve Sundblad Föreläsning 5 sid.6, uppdatering SF 1518/19 ht 2015 14 sept.

Trunkationsfel vid trapetsregeln Euler-Maclaurins formel (1735) för naturliga tal a, b I = a b f(x) dx; S = (f(a+)+f(a+2)+ f(b-1)+f(b)) I S = k=1 p Bk /k! (f (k-1) (b) - f (k-1) (a)) + R p, f (k) är k:te-derivatan, B k är Bernoullitalen, B 0 =1,B 1 =1/2,B 2 =1/6,B 3 =0,B 4 =-1/30,B 5 =0,B 6 =1/42, R p är resttermen efter p termer. Detta går att bevisa med induktion, inte trivialt! Tillämpad på trapetsregeln: I = T(h) - (f (b)-f (a))/12*h 2 + (f (b)-f (a))/720*h 4 + O(h 6 ) Fotnot: B k definieras som koefficienterna i serieutvecklingen av x/(e x 1) = k B k x k /k!, där k går från 0 till Yngve Sundblad Föreläsning 5 sid.7, uppdatering SF 1518/19 ht 2015 14 sept.

Richardsonextrapolation Låt I = a b f(x) dx Eftersom trunkationsfelet i Trapetsmetoden är c*h 2 E trunk = T(h) I c*h 2 T(2h) I 4c*h 2 och varur T(2h)-T(h) 3c*h 2, c*h 2 (T(2h)-T(h))/3 gäller Vi drar denna felskattning från T(h) och får det bättre värdet S(h) = T(h) + (T(h)-T(2h))/3, Simpson/Rombergs metod, fel ~ h 4 Denna extrapolationsmetod kan användas också i andra sammanhang, där man vet hur felet är beroende av steglängden, och kallas richardsonextrapolation. Yngve Sundblad Föreläsning 5 sid.8, uppdatering SF 1518/19 ht 2015 14 sept.

Upprepad richardsonextrapolation S(h)=T(h) + (T(h)-T(2h))/3, fel d*h 4 S(2h)=T(2h) + (T(2h)-T(4h))/3, fel 16d*h 4 varur S (2h)-S (h) 15c*h4, c*h 4 (S(2h)-S(h))/15 B(h)=S(h) + (S(h)-S(2h))/15, fel ~ h 6 Kan användas i triangulärt schema, exempel: Trapetsregeln på integralen 0 2 ( 0.5+2e x sin2x 2 ) dx ger för h=0.05, 0.025 och 0.0125 h T(rapets) S(impson),+ /3 B(oole),+ /15 0.05 1.642000905 0.025 1.642053159 1.642070577 0.0125 1.642066167 1.642070503 1.642070498 1.6420705 med sju säkra decimaler, kanske t.o.m. åtta Yngve Sundblad Föreläsning 5 sid.9, uppdatering SF 1518/19 ht 2015 14 sept.

Simpsons formel Istället för att efter beräkningarna korrigera med ett stegs Richardsonextrapolation kan man bygga in det i metoden och får då Simpsons formel: S(h) = T(h) + (T(h) T(2h))/3 = h/3 (f(a)+4f(a+h)+2f(a+2h)+4f(a+3h)+ 2f(a+(n-2)h)+4f(a+(n-1)h)+f(b)) Här blir alltså felet av storleksordningen h^4. Exempel, vår integral: 0 2 ( 0.5+2e x sin2x 2 ) dx med steg 0.025, n=80; n=80; h=2/n; xodd=(h:2*h:2-h); xeve=(0:2*h:2); fodd=sqrt(0.5+2*exp(-xodd).*sin(2*xodd.^2)); feve=sqrt(0.5+2*exp(-xeve).*sin(2*xeve.^2)); S=h/3*(4*sum(fodd)+2*sum(feve)-feve(1)-feve(n/2+1)) Ger S=1.642070577, samma som Richardson Yngve Sundblad Föreläsning 5 sid.10, uppdatering SF 1518/19 ht 2015 14 sept.

Härledning av Simpson Låt f k = f(a+k*h) T(h) = h*(f 0 + 2 f 1 + 2f 2 + 2f 3 + 2f n-2 + 2f n-1 + f n )/2 T(2h) = 2h*(f 0 + 2 f 2 + 2f 4 + 2f 6 + 2f n-4 + 2f n-2 + f n )/2 Richardsonextrapolation: S(h) = T(h) + (T(h) T(2h))/3 = 4/3 T(h) 1/3 T(2h) S(h) =h*((4/3-2/3)f 0 +8/3f 1 +(8/3-2)f 2 + +(8/3-2)f n-2 +8/3f n-1 +(4/3-2/3)f n )/2 S(h) = h*(f 0 + 4 f 1 + 2f 2 + 4f 3 + 2f n-2 + 4f n-1 + f n )/3 som är Simpsons formel med trunkationsfel d*h 4, d konstant Yngve Sundblad Föreläsning 5 sid.11, uppdatering SF 1518/19 ht 2015 14 sept.

Förbehandling med exempel För att underlätta den numeriska integrationen kan man + dela upp integranden: -10 10 (0.51 + 25e 81(11x+45)^2 dx Första termen ger 10.2 till resultatet, andra 0.44 + dela upp intervallet Samma exempel, andra delen ger bidrag bara kring -45/11, räcker väl för maskinnoggrannhet att räkna i intervallet [-5,-3.5] + kapa av (vid oändligt intervall) 1 e x^2 / x dx, B xe x^2 /(x x) dx 1/(B B) B xe x^2 dx = = e B^2 /(2B B), som är mindre än 10-9 redan för B=4. Yngve Sundblad Föreläsning 5 sid.12, uppdatering SF 1518/19 ht 2015 14 sept.

Förbehandling med exempel, forts + substituera 0 1 e x^2 / x dx, samma integrand men annat intervall. I origo blir det problem, täljaren är 1, nämnaren 0, men inte värre än med x. Substituera x=t 2, {dx=2tdt} varvid integralen blir lätthanterliga 0 2 2e t^4 dt + partialintegrera Samma exempel, 0 1 e x^2 / x dx = (e x^2 *2 x) 0 1 ( 0 1 2xe x^2 *2 x dx) = 2/e + 4 0 1 e x^2 x x dx, utan problem Yngve Sundblad Föreläsning 5 sid.13, uppdatering SF 1518/19 ht 2015 14 sept.

Integrationsmetoder i MATLAB quad bygger på Simpsons formel och är en adaptiv metod, som anpassar steglängden genom att minska den när kurvans krökning är stor. Toleransen är 10-6 om inte annat sägs. Anropas med en s.k. inline-funktion, exemplet 0 3 e x / (1 + 2x 3 ) dx beräknas med 7 decimaler av format long I = quad(inline( exp(x)/(1+2*x^3) ),0,3,0.5e-7) Mer om inline-funktioner och andra funktioner i MATLAB nästa gång. quadl l för Lobatto är en alternativ metod som för starkt varierande integrander ofta ger bättre noggrannhet. Yngve Sundblad Föreläsning 5 sid.14, uppdatering SF 1518/19 ht 2015 14 sept.

Överkurs I NAM (Eriksson), kapitel 5 beskrivs för Numerisk integration 5.2.4 Integration av hermiteinterpolationspolynom och splines 5.2.5 Integration av kubiska bezierkurvor (från kap.4, som inte ingår) 5.4 Gauss-Kronrods metod 5.6 Dubbelintegraler 5.7 Parametrarna i Gausskvadratur Avsnitt i kapitel 5 i Pohl 5.2 Adaptiva metoder 5.3 ODE-metoder Dessa ingå inte i kursen och kommer inte på tentan, men är läsvärda för speciellt intresserade. Yngve Sundblad Föreläsning 5 sid.15, uppdatering SF 1518/19 ht 2015 14 sept.