Föreläsning 6, FMSF45 Linjärkombinationer Stas Volkov 2017-09-26 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F6: linjärkombinationer 1/20
sum/max/min V.v./var Summa av två oberoende, Z = X + Y p Z (k) = p X (i) p Y (j) = p X (i) p Y (k i) f Z (z) = i+j=k i= f X (x) f Y (z x) dx Maximum/Minimum av fler oberoende n Z = max(x 1,..., X n ) F Z (z) = F Xi (z) Z = min(x 1,..., X n ) F Z (z) = 1 n [1 F Xi (z)] Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F6: linjärkombinationer 2/20
sum/max/min V.v./var Väntevärde Väntevärdet anger tyngdpunkten för fördelningen { E(X) = x f X(x) dx kont. k k p X(k) diskr. Varians Variansen anger hur utspridd X är kring sitt väntevärde. [ ] } 2 V(X) = E{ X E(X) = E(X 2 ) E(X) 2 0 Standardavvikelse, D(X), σ, σ X D(X) = V(X) Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F6: linjärkombinationer 3/20
Betingat väntevärde Det betingade väntevärdet för X givet att Y = y blir (inget nytt) { E(X Y = y) = x f X Y=y(x) dx kont. k k p X Y=y(k) diskr. Lagen om total förväntan E(E(X Y)) = E(X), dvs E(X Y = y) f Y (y) dy E(X) = E(X Y = k) p Y (k) k Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F6: linjärkombinationer 4/20
Ex (forts): Om f X,Y (x, y) = e y, 0 x y Vi hade tidigare att f X Y=y (x) = 1, 0 x y dvs X Y = y R(0, 1) y f Y X=x (y) = e (y x), y x dvs Y X = x x + Exp(1) f X (x) = e x, x 0 dvs X Exp(1) f Y (y) = ye y, y 0 dvs Y Γ(2, 1) Vad blir E(X Y = y) och E(Y X = x)? Vad blir E(X) och E(Y)? Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F6: linjärkombinationer 5/20
Linjärkombination Oberoende Exempel Beroendemått Kovarians Kovarians, C(X, Y) C(X, Y) = E{[X E(X)][Y E(Y)]} = E(XY) E(X) E(Y) Kovariansen anger hur mycket linjärt beroende som finns mellan X och Y. Ur definitionen fås C(X, X) = V(X) X och Y oberoende C(X, Y) = 0 dvs X och Y är okorrelerade. Men obs! C(X, Y) = 0 X och Y oberoende Korrellationskoefficient, ρ, ρ X,Y C(X, Y) ρ X,Y = D(X)D(Y) 1 ρ X,Y 1 (p.g.a. Cauchy Schwarz olikhet) Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F6: linjärkombinationer 6/20
Linjärkombination Oberoende Exempel Korrellation Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F6: linjärkombinationer 7/20
Linjärkombination Oberoende Exempel Ex.: Civilingenjörer som tar doktorsexamen korrelerar med konsumtionen av mozzarellaost åtminstone i USA. (ρ = 0.96) Ex.: USA råolja import från Norge korrelerar med antalet bilförare dödades i kollision med tåg (ρ = 0.95) Se även http://tinyurl.com/orsakssamband Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F6: linjärkombinationer 8/20
Linjärkombination Oberoende Exempel Linjärkombination E(aX + b) = ae(x) + b V(aX + b) = a 2 V(X) D(aX + b) = a D(X) där a, b R; X s.v. Allmänt ( E V ( b + b + ) a i X i = b + ) a i X i = a i E(X i ) a i a j C(X i, X j ) a 2 i V(X i) + 2 i<j }{{} =0 om okorrelerade Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F6: linjärkombinationer 9/20
Linjärkombination Oberoende Exempel Kovariansen är bilinjär dvs linjär i båda argumenten (jfr polynommultiplikation) C a j X j, b k Y k = a j b k C(X j, Y k ) j k j k Exempel: 1. Beräkna E(X 1 + 2X 2 ) och E(3Y 1 4Y 2 ) 2. Beräkna V(X 1 + 2X 2 ) och V(3Y 1 4Y 2 ) 3. Beräkna C(X 1 + 2X 2, 3Y 1 4Y 2 ) C(X 1 + 2X 2, 3Y 1 4Y 2 ) =1 3 C(X 1, Y 1 ) 1 4 C(X 1, Y 2 )+ + 2 3 C(X 2, Y 1 ) 2 4 C(X 2, Y 2 ) Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F6: linjärkombinationer 10/20
Linjärkombination Oberoende Exempel Specialfall av oberoende och likafördelade s.v. Låt E(X i ) = μ, V(X i ) = σ 2 Summa: Y = n X i ( ) E(Y) = E X i = E(X i ) = ( ) V(Y) = V X i = μ = nμ 1 2 V(X i ) = Medelvärde: X n = 1 X n i E( X n ) = 1 E(X i ) = 1 n n V( X n ) = 1 n 2 σ 2 = nσ 2 μ = 1 n nμ = μ V(X i ) = 1 n 2 σ 2 = 1 n 2 nσ2 = σ2 n Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F6: linjärkombinationer 11/20
Linjärkombination Oberoende Exempel Exempel: Brädor Kapa brädor med oberoende längder X i. E(X i ) = 1 m och V(X i ) = 0.1 m 2. Bestäm E(Y) och V(Y) om Y ges av: a) Y, sammanlagda längden av 10 stycken. b) dvs... Ỹ,sammanlagda längden av en bräda och dess nio kloner (tag en bräda, kapa nio till exakt lika långa). a) Y = X 1 + X 2 + + X 10 b) Ỹ = X 1 + X 1 + + X }{{ 1 = 10X } 1 Y! 10 stycken Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F6: linjärkombinationer 12/20
Tio oberoende realiseringar för succesiva medelvärden av standard exponential fördelning Vi har här E(X) = 1. 4 Succesiva medelvärden standard exponentialfördelning 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 n Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F6: linjärkombinationer 13/20
Stora talens lag Om X 1, X 2,..., X n är oberoende och likafördelade med E(X i ) = μ så gäller P( X n μ > ε) 0, n för alla ε > 0. Det vill säga medelvärdet konvergerar i sannolikhet mot väntevärdet då n växer mot oändligheten! (STL i svag form) Vi har till och med att: ({ }) P X n existerar och är lika med μ = 1 (STL i stark form) lim n Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F6: linjärkombinationer 14/20
Exempel n variabler Exempel Linjärisering av g(x) kring punkten μ = E(X) (tangent) g(x) g(µ) + g (µ)(x µ) g(µ) g(x) µ Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F6: linjärkombinationer 15/20
Exempel n variabler Exempel Gauss approximationsformler i en variabel Y = g(x). Taylorutveckla funktionen g kring μ = E(X) g(x) g(μ) + (X μ) g (μ) = E(Y) g(e(x)) V(Y) (g [E(X)]) 2 V(X) Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F6: linjärkombinationer 16/20
Exempel n variabler Exempel Exempel Låt E(X) = μ och V(X) = σ 2. a) Bestäm approx t väntevärde och varians för Y = g(x) = πx 2. E(Y) g(e(x)) = πμ 2 V(Y) [g (E(X))] 2 V(X) = [g (X) = 2πX] = (2πμ) 2 σ 2 b) Bestäm väntevärdet för Y utan approximation. Lösning: eftersom V(X) = E(X 2 ) E(X) 2 fås E(X 2 ) = V(X) + E(X) 2 och det sökta väntevärdet blir E(Y) = E(πX 2 ) = πe(x 2 ) = π(v(x) + E(X) 2 ) = πσ 2 + πμ 2 Vi ser att approximationen av väntevärdet alltid är för liten men stämmer bra om σ är liten i förhållande till μ. Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F6: linjärkombinationer 17/20
Exempel n variabler Exempel Gauss approximationsformler i n variabler För en funktion av n variabler fås på samma sätt Y = g(x 1,..., X n ) E(Y) g(e(x 1 ),..., E(X n )) V(Y) ci 2 V(X i ) + 2 c i c j C(X i, X j ) i<j där c i = g(x 1, x 2,..., x n ) x i x1 =E(X 1 ),...,x n=e(x n). Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F6: linjärkombinationer 18/20
Exempel n variabler Exempel Gaussaproximation för två variabler För en funktion av två variabler g(x, Y) blir Gauss approximationsformler (med E(X) = μ X, E(Y) = μ Y ) E ( g(x, Y) ) g(μ X, μ y ) V ( g(x, Y) ) [ g X (μ X, μ Y ) ] 2 V(X) + [ g Y (μ X, μ Y ) ] 2 V(Y) + 2 [ g X (μ X, μ Y ) ] [ g Y (μ X, μ Y ) ] C(X, Y) där sista termen är noll då X och Y är okorrelerade. g X och g Y är partiell derivata map X resp. Y. Jämför detta med det generella uttrycket för en funktion av n variabler. Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F6: linjärkombinationer 19/20
Exempel n variabler Exempel Exempel Bestäm approximativa värden på variansen för X Y; X/Y om X och Y är oberoende av varandra. Uttryck svaren i μ X, μ Y, V(X) och V(Y). Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F6: linjärkombinationer 20/20