Fö 4 - TSFS11 Energitekniska system Enfastransformatorn Christofer Sundström 9 april 2018
Kursöversikt Fö 11 Fö 5,13 Fö 4 Fö 2 Fö 6 Fö 3 Fö 7,9,10 Fö 13 Fö 12 Fö 8
Outline 1 Transformatorns grunder 2 Omsättning 3 Ideal transformator, kretsschema och övertransformering 4 Icke ideal transformator Tomgångsprov Kortslutningsprov 5 Beräkningsexempel
Transformatorns grunder En elektromagnetisk maskin utan rörliga delar. Arbetar enligt induktionsprincipen Användbar endast för växelström Huvuduppgiften är att omvandla (transformera) spänningen för en växelström Kan även användas för att isolera elektriska kretsar från varandra. N1 - varv N2 - varv
Primär- och sekundärlindning Primärlindningen tar emot energi från källan Sekundärlindningen avger energi till förbrukaren Upplindning är lindningen med högre spänning Nedlindningen är lindningen med lägre spänning Ok Ben Ben Energi inmatas Energi utmatas Primärlindning Sekundärlindning
Figur: Transformatorn och dess referensriktningar. En spänning u 1 (t) läggs på på primärsidan varpå en annan spännning u 2 (t) uppstår på sekundärsidan. Transformatorns arbetssätt 1 Spänningen u 1 (t) läggs på transformatorns primärsida 2 Det pulserande flödet som uppstår alstrar den inducerade emk n e 1 (t) och e 2 (t). Riktningen på spänningarna är sådana att de försöker motverka strömförändringar. 3 Den inducerade spänningen e 2 (t) driver en ström i 2 (t) 4 Förluster i transformatorn ger ett spänningsfall och utspänningen från transformatorn är u 2 (t) i 1 (t) i 2 (t) u 1 (t) e 1 (t) N1 - varv N2 - varv e 2 (t) u 2 (t) Magnetflöde Φ 1
Omsättning vid tomgång Storleken av de inducerade spänningarna är e n (t) = N n dφ(t) dt Uttryckt i magnetflöde Utgående från ett givet magnetflödet Φ = ˆΦ sin(ωt) får vi alltså emk erna dφ(t) e 1 (t) = N 1 dt dφ(t) e 2 (t) = N 2 dt = N 1 d dt ˆΦ sin(ωt) = ωn 1 ˆΦ cos(ωt) Med komplex notation för spänningarna och flödet så fås E 1 = ωn 1 Φ j E 2 = ωn 2 Φ j
Omsättning forts. Spänningarna E 1 och E 2 hänger alltså ihop enligt Spänningslagen E 1 = E / / 2 ideal transformator U 1 = N 1 (1) N 1 N 2 U 2 N 2 För en ideal transformator så är dessutom instoppad effekt lika med uttagen effekt, dvs S 1 = S 2. Alltså gäller att E 1 I 1 = E 2 I 2 Vilket ger oss Strömlagen I 1 I 2 = N 2 N 1 (2)
Kretsschema för ideal transformator För en ideal transformator så är spänningarna e n (t) = u n (t) lika. Symbolen för en ideal transformator brukar ritas enligt I 1 I 2 U 1 U 2 N1 N2 Figur: Symbol och referensriktningar för en ideal transformator.
Övertransformering av impendans Alla laster på sekundärsidan av en ideal transformator kan övertransformeras till en ekvivalent last på primärsidan. I 1 I 2 I 1 U 1 N1 N2 U 2 U 1 Z 2 Z 2 (1) (2) 1 : U 1 U 2 I2 I 1 = N 1 N 2 N1 N 2 = /Z = U 2 I 2, Z 2 = U 1 I 1 / Z 2 Z 2 = ( ) 2 N1 N 2 I fallet ovan blir I 1 lika stor för ett visst U 1 under förutsättning att ( ) 2 Z 2 N1 = Z 2 N 2
Icke ideal transformator: Förluster I en verklig transformator så har vi förluster Magnetiseringsförluster, eller Järnförluster, dvs förluster som uppkommer p.g.a. ommagnetisering av järnet. Strömförluster, eller Kopparförluster, dvs R I 2 förluster i lindningarna. Magnetflödet bestäms av spänningen så järnförluster är tomgångsförluster medan kopparförlusterna bestäms av strömmen och därmed belastningsgraden. Kopparförluster P Cu = P FB = Belastningsförluster Järnförluster P Fe = P F 0 = Tomgångsförluster
Icke ideal transformator: Modell och Kretsschema R 1 jx 1 I I 1 I 2 R 2 jx 2 I 0 U 1 R 0 jx 0 U 2 Z B N 1 N 2 Figur: Tomgångsförlusterna uppstår i R 0 och belastningsförlusterna i R 1 resp. R 2. P P FB I F 0 I 1 I 2 R 2 jx 2 I 0 U 1 R 0 jx 0 U 2 Z B N 1 N 2 Figur: Förenklad modell av en icke ideal transformator. Här har strömförlusterna från primärsidan övertransformerats till sekundärsidan. Felet hos modellen blir litet eftersom I 0 är litet i förhållande till I 1
Icke ideal transformator: Tomgångsprov Tomgångsprov P F 0 kan mätas vid ett s.k. tomgångsprov. Detta görs genom att transformatorn drivs i tomgång vid märkspänning på primärsidan U 1 = U 1M och den tillförda effekten P F 0 och tomgångsströmmen I = I 0 mäts. P I F 0 I 1 I 2 R 2 jx 2 U 1 = U 1M I 0 R 0 jx 0 N 1 N 2 Tomgång I 1 = I 2 = 0 Vi har då att P F 0 = U 0 I 0 cos(ϕ 0 )
Icke ideal transformator: Kortslutningsprov Kortslutningsprov P FB vid märkström, P FBM, kan mätas vid ett s.k. kortslutningsprov. Nedsidan kortsluts medan uppsidan matas med märkström I 1M. Spänningen U 1K justeras så att I 1K = I 1M. Försummas P F 0 så är kortslutnigsförlusterna samma som belastningsförlusterna vid märkström. Nedsidan, t.ex. sekundärsidan, kortsluts I 1K P FB I 1 I 2K R 2 jx 2 U 1K N 1 N 2 Kortslutning I 0 << I 1K I 0 försummas Vi har då att P FKM = P FBM = R 2 I2K 2 = R 2I2M 2 Z 2K = U 2K I 2K, Z 2K = R2K 2 + X 2K 2 X 2K = Z2K 2 R2 2K
Icke ideal transformator: Spänningsfall Utspänningen från en transformator U 2 är lägre än den ideala utspännigen U 20 och skillnaden kallas transformatorns spänningsfall. I I 1 I2 R 2K jx 2K I 0 U 1 R 0 jx 0 Z B U20 U 2 cos ϕ 2 ind. N 1 N 2 För en given induktiv last Z B med cos ϕ 2 så kan vi skriva U 20 = (U 2 + R 2K I 2 cos ϕ 2 + X 2K I 2 sin ϕ 2 ) 2 + (X 2K I 2 cos ϕ 2 R 2K I 2 sin ϕ 2 ) 2 eller förenklat U 20 (U 2 + R 2K I 2 cos ϕ 2 + X 2K I 2 sin ϕ 2 )
Icke ideal transformator: Spänningsfall I 2 R 2K jx 2K U 20 ϕ 2 z Z B U 20 U 2 cos ϕ 2 ind. jx 2K I 2 x ϕ 2 y R 2K I 2K U 2 x = R 2K I 2 cos ϕ 2 y = X 2K I K sin ϕ 2 Spänningsfallsformeln ϕ 2 I 2 z = X 2K I 2 cos ϕ 2 R 2K I 2 sin ϕ 2 U 20 (U 2 + R 2K I 2 cos ϕ 2 + X 2K I 2 sin ϕ 2 )
Belastningsgrad, förluster och verkningsgrad Märkeffekten för en transformator är alltid den skenbara effekten S M = U 1M I 1M = U 2M I 2M Anledningen är att transformatorns lindningar tål en viss ström innan isoleringen smälter. En märkbelastad transformator avger märkeffekten i lasten på sekundärsidan med en viss effektfaktor cos ϕ 2 P 2M (ϕ 2 ) = U 2 I 2M cos ϕ 2 Belastningsgraden x definieras som förhållandet mellan lastström och märkström eller avgiven effekt och märkeffekt enligt x = I 2 I 2M = P 2 P 2M
Belastningsgrad, förluster och verkningsgrad Verkningsgraden beror på instoppad effekt och avgiven effekt enligt η = P 2 P 1 = P 2 P 2 + P F 0 + P FB Tomgångsförlusterna P F 0 är konstanta Belastningsförlusterna P FB ökar med strömmen i kvadrat P FB = x 2 P FKM Verkningsgraden blir då uttryckt i belastningsgrad η = P 2 P 1 = x P 2M x P 2M + P F 0 + x 2 P FKM
Beräkningsexempel Enfastransformator Enfastransformator 10k/230 V 50 kva R 1 = 19 Ω X 1 = 55 Ω R 2 = 1, 5 mω X 2 = 4, 0 mω Beräkna U 2 om transformatorn märkbelastas med cos ϕ = 0, 8 ind.
Beräkningsexempel Enfastransformator Enfastransformator 10k/230 V 50 kva R 1 = 19 Ω X 1 = 55 Ω R 2 = 1, 5 mω X 2 = 4, 0 mω Beräkna U 2 om transformatorn märkbelastas med cos ϕ = 0, 8 ind. Lösning: U 20 U 2 + R 2K I 2 cos ϕ 2 + X 2K I 2 sin ϕ 2 (*) U 20 = U 2M = 230 V, om U 1 = U 1M = 10 kv S M = U 2M I 2M = 50 10 3 = 230 I 2M = = I 2M = 217, 4 A. Märkbelastning = I 2 = I 2M = 217, 4 A
Beräkningsexempel Enfastransformator, forts. Lösning, forts.: R 1 R 2K = R 2 + (U 1M /U 2M ) 2 = 19 = 0, 0015 + (10 4 2 0, 011551 Ω /230) X 1 X 2K = X 2 + (U 1M /U 2M ) 2 = 55 = 0, 004 + (10 4 2 0, 033095 Ω /230) ( ) = 230 U 2 + 0, +1155 217, 4 0, 8 + 0, 033095 217, 4 0, 6 = U 2 230 2, 0 4, 3 = 223, 67 V Om U 20 = (U 2 + R 2K I 2 cos ϕ 2 + X 2K I 2 sin ϕ 2 ) 2 + (X 2K I 2 cos ϕ 2 R 2K I 2 sin ϕ 2 ) 2 används blir U 2 = 223, 63 V.