Spolen och Kondensatorn motverkar förändringar Spolen och kondensatorn motverkar förändringar, tex vid inkoppling eller urkoppling av en källa till en krets. Hur går det då om källan avger en sinusformad växelström som ju ändrar sig kontinuerligt??
Växelström genom resistor En sinusformad växelström i R (t) genom en resistor R ger ett proportionellt sinusformat spänningsfall u R (t) enligt OHM s lag. Strömmen och spänningen blir i fas. ngen energi lagras i resistorn. Visarna R och R blir parallella med varandra. i R ( t) R sin( t) ur ( t) ir ( t) R ur ( t) R R sin( t) R ˆ R R Vektor visare ˆ R R R Komplexa visare Visarna kan vara toppvärdesvisare eller effektivvärdesvisare så länge man inte blandar olika typer.
Växelström genom spole t t t u t t i t u t t i ) 2 sin( ˆ ) cos( ˆ ) ( d ) ( d ) ( ) sin( ˆ ) ( En sinusformad växelström i (t) genom en spole ger på grund av självinduktionen ett spänningsfall u (t) som ligger 90 före strömmen. Energi som lagras i magnetfältet används till denna spänning. Visaren fås som och den ligger 90 före. Storheten är beloppet av spolens växelspänningsmotstånd, reaktansen X []. När man räknar med komplexa visare multiplicerar man med talet j, detta vrider spänningsvisaren +90. Metoden håller automatiskt reda på fasvinklarna! j j X Vektor visare Komplexa visare
Växelström genom kondensator ) 2 sin( ˆ ) cos( ˆ ) ( ) sin( ˆ ) ( )d ( ) ( ) ( d d d ) ( d t t t u t t i t t i t u t i t q t t u Q En sinusformad växelström i (t) genom en kondensator laddar upp denna med spänningsfallet u (t) som ligger 90 efter strömmen. Energi lagras i det elektriska fältet. Visaren fås som /() och den ligger 90 efter. Storheten /() är beloppet av kondensatorns växelspänningsmotstånd, reaktansen X []. Vektor visare
Komplexa visare och reaktansens tecken Om man använder komplexa visare får man med spänningsvisarens fasvridning -90 genom att dividera /() med konstanten j. Metoden med komplexa visare håller automatiskt reda på fasvinklarna om vi betraktar kondensatorns reaktans X som negativ, och därmed spolens X som positiv. j - j X Komplexa visare
R allmänhet innehåller våra nät en blandning med olika R och. Fasvinkeln mellan och är då inte 90 utan kan ha vilket värde som helst. En positiv fasvinkel innebär att induktanserna dominerar över kapacitanserna, induktiv karaktär ND. En negativ fasvinkel innebär att kapacitanserna dominerar över induktanserna, kapacitiv karaktär KAP. Kvoten mellan spänning och ström, växelströmsmotståndet, kallas för impedans []. OHM s växelströmslag:
Exempel. Visardiagram. 2.8 Vid en viss frekvens f har kondensatorernas reaktans X och resistorn R samma växelströmsmotstånd []. Använd de elementära visardiagrammen för R och som byggstenar för att rita hela kretsens visardiagram ( vid frekvensen f ).
Exempel. Visardiagram. ) 2 riktfas ( = horisontell ) 2) R 2 2 3) 2 R R 4) R 2 5) R 2 R 2 2 6) 2
mpedansen Kretsens växelströmsmotstånd, impedansen, får man som kvoten av och visarna. Fasvinkeln är vinkeln mellan och visarna. Strömmen ligger före spänningen i fas, så kretsen har kapacitiv karaktär, KAP. ( Något annat hade väl knappast varit att vänta eftersom det inte finns några spolar i kretsen )
Gör själv
Reaktansens frekvensberoende X X 2 f c f
Reaktansens frekvensberoende X [] X [] f [Hz] f [Hz] X X
OG OG diagram log( X ) skala [] log( X ) skala [] log( f ) skala [Hz] log( f ) skala [Hz] Spolens och kondensatorns frekvensberoende blir symmetriskt i log-log - skala
nnan Mathematica!
Komplexa visare, j-metoden 90 ) arg( j ) j arg( j j 90 ) arg( j j j 0 ) arg( R R X X R R Komplexa visare. OHM s lag för R och. Komplexa visare. OHM s lag för. ] m[ ] m[ arctan ] Re[ ] m[ arctan ) arg( ] Re[ ] Re[ ) arg( ) arg( arg ) arg( R X själva verket blir det fyra användbara samband! Re, m, Abs, Arg
Exempel. Komplexa visare. 2.8 = 20 V = 320 F R = 0 f = 50 Hz 2.8.nb Mathematica kan vara till hjälp!
Exempel. Komplexa visare. = 20 V = 320 F R = 0 f = 50 Hz j j2 f j2 50320 0 6 0 j
Exempel. Komplexa visare. = 20 V = 320 F R = 0 f = 50 Hz j R// j2 f j2 50320 0 6 0 j R j 0 ( 0 j) (0 0 j) 5 5 j R 0 0 j (0 0 j) j
Exempel. Komplexa visare. = 20 V = 320 F R = 0 f = 50 Hz j R// j2 f j2 50320 0 6 0 j R j 0 ( 0 j) (0 0 j) 5 5 j R 0 0 j (0 0 j) j
Exempel. Komplexa visare. = 20 V = 320 F R = 0 f = 50 Hz j R// j2 f j2 50320 0 6 0 j R j 0 ( 0 j) (0 0 j) 5 5 j R 0 0 j (0 0 j) j
Exempel. Komplexa visare. = 20 V = 320 F R = 0 f = 50 Hz j R// j2 f j2 50320 0 6 0 j R j 0 ( 0 j) (0 0 j) 5 5 j R 0 0 j (0 0 j) j j R // 20-0 j (5-5 j) 4-3 j ( 3 j) ( 3 j) 0,4,2 j 0, 4, 2 j 0,4 2,2 2,26
Exempel. Komplexa visare. = 20 V = 320 F R = 0 f = 50 Hz j R// j2 f j2 50320 0 6 0 j R j 0 ( 0 j) (0 0 j) 5 5 j R 0 0 j (0 0 j) j
Exempel. Komplexa visare. = 20 V = 320 F R = 0 f = 50 Hz j j R// 2 4 j j2 f j2 50320 0 6 0 j R j 0 ( 0 j) (0 0 j) 5 5 j R 0 0 j (0 0 j) j (0,4,2 j) (-0 j) 2 4 j 2 2 ( 4) 2 2,65
Exempel. Komplexa visare. 2 = 20 V = 320 F R = 0 f = 50 Hz j R// j2 f j2 50320 0 6 0 j R j 0 ( 0 j) (0 0 j) 5 5 j R 0 0 j (0 0 j) j
Exempel. Komplexa visare. 2 Spännings delning 2 2 R // j 8 4 j 8 2 R // 4 2 = 20 V = 320 F R = 0 j R// 8,94 j2 f R j R j 5-5 j 20-0 j (5-5 j) j2 50320 0 f = 50 Hz 6 0 j 0 ( 0 j) (0 0 j) 5 5 j 0 0 j (0 0 j) j ( 3 j) 20-3 j ( 3 j) 8 4 j
Exempel. Komplexa visare. = 20 V = 320 F R = 0 f = 50 Hz j R// j2 f j2 50320 0 6 0 j R j 0 ( 0 j) (0 0 j) 5 5 j R 0 0 j (0 0 j) j
Exempel. Komplexa visare. = 20 V = 320 F R = 0 f = 50 Hz j R// j2 f j2 50320 0 6 0 j R j 0 ( 0 j) (0 0 j) 5 5 j R 0 0 j (0 0 j) j 2 j 8 4 j -0 j 0,4 0,8 j 0,4 0,8 j 0,4 2 0,8 2 0,89
Exempel. Komplexa visare. R = 20 V = 320 F R = 0 f = 50 Hz j R// j2 f j2 50320 0 6 0 j R j 0 ( 0 j) (0 0 j) 5 5 j R 0 0 j (0 0 j) j
Exempel. Komplexa visare. R = 20 V = 320 F R = 0 f = 50 Hz j R// j2 f j2 50320 0 6 0 j R j 0 ( 0 j) (0 0 j) 5 5 j R 0 0 j (0 0 j) j R R 2 8 4 j 0 0,8 0,4 j R 0,8 0,4 j 0,8 2 0,4 2 0,89
Vrida diagrammet När vi ritade visardiagrammet var det naturligt att använda 2 som riktfas (=horisontell), med j-metoden var den naturliga riktfasen (=reell). Eftersom det är enkelt att vrida diagrammen, så har man i praktiken frihet att välja vilken storhet som helst till riktstorhet. arg( 2) arg(8 4j) arctan (cos( 26,7) jsin( 26,7)) 4 8 26,7 Multiplicera alla komplexa tal med denna faktor så genomförs vridningen!
Mathematica (2.8) u = 20; c = 320*0^-6; r = 0; f = 50; w = 2*Pi*f; xc = /(*w*c); N[xc] zrc = r*xc/(r+xc); N[zrc] i = u/(xc+zrc); N[i] N[Abs[i]] u = i*xc; N[u] N[Abs[u]] u2 = u*zrc/(xc+zrc); N[u2] N[Abs[u2]] ic = u2/xc; N[ic] N[Abs[ic]] ir = u2/r; N[ir] N[Abs[ir]] Mathematica förstår komplexa tal ( ) och har funktionerna Abs[] Arg[] (80/Pi)*Arg[] ger grader 2.8.nb
Mathematica (2.8) Phasor plot 2.8.nb
Sammanfattning Sinusformade växelstorheter kan representeras som visare, phasors, belopp fasvinkel. En visare (phasor) kan antingen ses som en vektor angiven i polära koordinater, eller som ett komplext tal. Det är viktigt att kunna beskriva växelströmsfenomen utan att för den skull behöva kräva kunskaper om komplexa tal därav vektormetoden. De komplexa talen och j-metoden är kraftfulla verktyg som underlättar behandlingen av växelströms-problem. nom elektroniken har de generaliserats till olika transform-metoder som Fourier-transformen och aplace-transformen, så elektroingenjörens användning av komplexa tal är omfattande.
Admittans, konduktans, susceptans R jx R Re[ ] X m[ ] Y Y G jb G Re[ ] B m[ ] Y Vid parallellkopplade komponenter kan det ibland vara bekvämare att räkna med impedansens inverterade värde. mpedansen består av realdel R, resistans, och imaginärdel X, reaktans. Kondensatorns reaktans är negativ. Admittansen Y består av realdel G, konduktans, och imaginärdel B, suceptans. Spolens suceptans är negativ.