3137 Bestäm ekvationen för den räta linje som går genom punkterna med koordinaterna a) (5, 3) och (3, 5)

Relevanta dokument
Förkortning och förlängning av rationella uttryck (s. 27 Origo 3c)

Förkortning och förlängning av rationella uttryck (s. 29 Origo 3b)

Lektion Kapitel Uppgift Lösning med programmering

Låt eleverna lösa uppgifterna med huvudräkning och sedan jämföra med resultatet av ett program, t.ex. print(6 + 4 * 3)

Fler uppgifter på andragradsfunktioner

vux GeoGebraexempel 2b/2c Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker

Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker. GeoGebraexempel

Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker. GeoGebraexempel

Matematik 2b (Typ) E-uppgifter på hela kursen

Sidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c

Repetition kapitel 1, 2, 5 inför prov 2 Ma2 NA17 vt18

Studieplanering till Kurs 2b Grön lärobok

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet april

matematik Lektion Kapitel Uppgift Lösningg T.ex. print(9-2 * 2) a) b) c) d)

6 cm. 106 Beräkna a) 3 ( 4) b) ( 2) 5 c) 4 ( 2,5) d) ( 8) 1,5. T.ex. print(3 * -4) 13 Beräkna cirkelns a) diameter b) omkrets

Del A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret.

Repetitionsprov på algebra, p-q-formeln samt andragradsfunktioner

Matematik 2b 1 Uttryck och ekvationer

Lös uppgiften med ett program, t.ex. print("jag kan ha köpt två bullar och en läsk och ska betala", 2 * , "kr.") T.ex. print(5 + 3 * 10) T.ex.

vux GeoGebraexempel 3b/3c Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker

Formelhantering Formeln v = s t

Sidor i boken KB 6, 66

Provet består av Del I, Del II, Del III samt en muntlig del och ger totalt 76 poäng varav 28 E-, 24 C- och 24 A-poäng.

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet.

Matematik CD för TB. x + 2y 6 = 0. Figur 1:

Provet består av Del I, Del II, Del III samt en muntlig del och ger totalt 76 poäng varav 28 E-, 24 C- och 24 A-poäng.

Vektorn w definieras som. 3. Lös ekvationssystemet algebraiskt: (2p) 4. Förenkla uttrycket så långt det går. (2p)

Uppgift 1-9. Endast svar krävs. Uppgift Fullständiga lösningar krävs. 120 minuter för Del B och Del C tillsammans. Formelblad och linjal.

Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker. GeoGebraexempel

NpMa2c vt Provet består av tre skriftliga delprov (Delprov B, C och D). Tillsammans kan de ge 57 poäng varav 20 E-, 20 C- och 17 A-poäng.

Lösningar och kommentarer till Övningstenta 1

Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen.

UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER

matematik Programmering SANOMA UTBILDNING Daniel Dufåker Attila Szabo Niclas Larson

Träningsprov funktioner

NpMa2b vt Kravgränser

5 Blandade problem. b(t) = t. b t ln b(t) = e

6 Derivata och grafer

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014

Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker. GeoGebraexempel

När vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort. x 2 x 1 +2 = 1. x 1

a) Ange ekvationen för den räta linjen L. (1/0/0)

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet.

Matematiska uppgifter

Repetition inför tentamen

Uppgiftshäfte Matteproppen

a) Ange ekvationen för den räta linjen L. (1/0/0)

NpMa2b vt Provet består av tre skriftliga delprov (Delprov B, C och D). Tillsammans kan de ge 57 poäng varav 20 E-, 19 C- och 18 A-poäng.

Bedömningsanvisningar

7. Max 0/1/0. 8. Max 0/2/1. 9. Max 0/0/ Max 2/0/0

Konsultarbete, Hitta maximal volym fo r en la da

Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker. GeoGebraexempel

2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat

Teori och teori idag, som igår är det praktik som gäller! 1 (Bokens nr 3216) Figur 1:

1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1

Räknarinstruktioner för CASIO FX-9750GII till Matematik Origo 2b

Precis som var fallet med förra artikeln, Geogebra för de yngre i Nämnaren

Uppgift 1-9. Endast svar krävs. Uppgift Fullständiga lösningar krävs. 120 minuter för Del B och Del C tillsammans. Formelblad och linjal.

Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade.

Räknarinstruktioner för CASIO FX-9750GII till Matematik Origo 2c

PROGRAMMERING A VC# 2012 EXPRESS UTVECKLINGSVERKTYGET VISUAL C#

KS övning 1. Problem 1. Beräkna Problem 2. Förenkla. (x 1 3 y

Tips 1. Skolverkets svar 14

Matematik 2 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS

20 Gamla tentamensuppgifter

Moment 1.15, 2.1, 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3. Polynomekvationer. p 2 (x) = x 7 +1.

Bedömningsanvisningar

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004

2320 a. Svar: C = 25. Svar: C = 90

MATEMATIK. Ämnets syfte

Algebra Negativa tal, Parenteser, Potenser, Bråk, Kvadreringsreglerna, Konjugatregeln

Funktioner. Räta linjen

Bedömningsanvisningar

7E Ma Planering v45-51: Algebra

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN

Uppgift Endast svar krävs. Uppgift Fullständiga lösningar krävs. 120 minuter för Del B och Del C tillsammans.

Gamla tentemensuppgifter

f(x) = x 2 g(x) = x3 100 h(x) = x 4 x x 2 x 3 100

13 Potensfunktioner. Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till

NpMa2b Muntlig del vt 2012

Planering för matematik 2a OBS: Provdatumen är endast förslag, kontakta läraren innan du kommer och vill ha prov

NpMa2a vt Provet består av tre skriftliga delprov (Delprov B, C och D). Tillsammans kan de ge 55 poäng varav 22 E-, 19 C- och 14 A-poäng.

Ekvationer & Funktioner Ekvationer

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista)

Undersökande arbetssätt i matematik 1 och 2

Matematik A Testa dina kunskaper!

MATEMATIK. Ämnets syfte

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner

Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9

Inledande kurs i matematik, avsnitt P.2. Linjens ekvation kan vi skriva som. Varje icke-lodrät linje i planet kan skrivas i formen.

8F Ma Planering v45-51: Algebra

Lösningar till udda övningsuppgifter

Polynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0

Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = 1 x.

7. Max 0/1/1. Korrekt kombinerad ekvation och påstående i minst två fall med korrekt svar

Ma7-Per: Algebra. Det andra arbetsområdet handlar om algebra och samband.

MATEMATIK 5 veckotimmar

Transkript:

vux Lektion Kapitel Uppgift Lösning med programmering 3 Input Räta linjens ekvation 4 For 1 Algebra, Rita grafen till en andragradsfunktion 3137 Bestäm ekvationen för den räta linje som går genom punkterna med koordinaterna a) (5, 3) och (3, 5) 1303 Skriv av värdetabellen och fyll i funktionsvärdena. a) y = x 2 + 3 Låt eleverna skriva ett program där man kan mata in två punkters koordinater och få reda på linjens ekvation: x_1 = float(input("ange första punktens x-koordinat:")) y_1 = float(input("ange första punktens y-koordinat:")) x_2 = float(input("ange andra punktens x-koordinat:")) y_2 = float(input("ange andra punktens y-koordinat:")) k = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1) m = y_2 - k * x_2 print("linjens ekvation är y =", k, "x +", m) Syftet med den här uppgiften är att beräkna funktionsvärden för hand. När eleverna har gjort det, kan de få i uppgift att skriva ett program som löser uppgiften, t.ex. for n in range (-2, 3): print(n, ",", n**2 + 3) ekvationssystem Grafisk lösning av ekvationssystem (Se s. 90 i Origo 2bc vux) Låt eleverna skriva ett program som tar fram 100 olika lösningar till ekvationen i teoritexten, y = x 1. for x in range (1,101): y = x - 1 print(x,",", y) Plotta sedan lösningarna i ett koordinatsystem. Det kan man göra genom att kopiera värdena till ett kalkylblad i Geogebra. Då kan eleverna upptäcka att alla lösningar ligger på en rät linje.

4 Potenser, budgetering, Exponentialekvationer och logaritmer 2b/2c 5 If 2 Andragradsekvationer, pqformeln 4247/4286 Värdet av tiologaritmerna lg 7 lg 70 lg 700 lg 7000 lg 70 000 följer ett visst mönster. a) Beräkna tiologaritmerna och beskriv mönstret. b) Förklara varför mönstret får just det här utseendet. 2202 Lös ekvationerna. a) x 2 + 4x 21 = 0 b) x 2 6x 55 = 0 c) x 2 14x + 13 = 0 Programmering kan vara ett förtjänstfullt verktyg när man vill undersöka mönster. Det här programmet undersöker mönstret i a)-uppgiften: import math a = 7 for n in range (1, 10): a = a * 10 print(a, math.log10(a)) Genom att ändra värdet på a, eller på värdena i for-slingan, kan man enkelt undersöka andra och flera värden. Låt eleverna skriva ett program där man kan mata in värdet av p och q i ekvationen x 2 + px + q = 0 och få reda på ekvationens rötter. print("det här programmet löser en andragradsekvation i formen x^2 + px + q = 0") p = float(input("ange p =")) q = float(input("ange q =")) x_1 = ((-p/2 - (p**2/4 - q)**0.5)) x_2 = ((-p/2 + (p**2/4 - q)**0.5)) if ((p**2/4 - q) < 0): print("andragradsekvationen saknar reella rötter.") print("det icke-reella rötterna är x =:",x_1,"och x =",x_2) elif ((p**2/4 - q) == 0): print("andragradsekvationen har en dubbelrot",x_1) print("andragradsekvationen har två rötter, x =",x_1," och x =",x_2) Utvidga genom att låta eleverna skriva program som löser allmänna andragradsekvationer i formen ax 2 + bx + c = 0.

2 Andragradsekvationer, Andragradsfunktionen och grafen Från graf till ekvation 2248 Bestäm extrempunkten och dess karaktär till funktionerna. a) f(x) = x 2 20x + 125 b) g(x) = x 2 2x + 6 c) h(x) = 3x 2 + 18x 27 3112 Ligger punkten med koordinaterna ( 10, 22) på linjen y = 2x + 3? En utmaning kan vara att lösa uppgiften med ett program där man kan mata in konstanterna a, b och c för en andragradsfunktion f(x) = ax 2 + bx + c och få fram symmetrilinje, nollställen och extrempunktens koordinater. print("det här programmet bestämmer symmetrilinje, nollställen och extrempunkt till en andragradsfunktion i formen f(x) = ax^2 + bx + c") a = float(input("ange a =")) b = float(input("ange b =")) c = float(input("ange c =")) x_1 = ((-b + (b**2-4 * a * c)**0.5)/(2 * a)) x_2 = ((-b - (b**2-4 * a * c)**0.5)/(2 * a)) print("symmetrilinjen är x =", -b/2 * a) if ((b**2-4 * a * c) < 0): print("andragradsfunktionen saknar reella nollställen.") elif ((b**2-4 * a * c) == 0): print("dubbelt nollställe i x =",x_1) print("nollställena är, x =",x_1,"och x =",x_2) print("koordinaterna för extrempunkten är (", -b/2 * a, ",",a * (-b/2*a)**2 + b * (-b/2*a + c), ")") Skriv ett program där användaren matar in en punkts koordinater och programmet avgör om punkten ligger på linjen y = 2x + 3 eller inte. x = float(input("ange punktens x-koordinat:")) y = float(input("ange punktens y-koordinat:")) if y == -2 * x + 3: print("ja, punkten ligger på linjen.") print("nej, punkten ligger inte på linjen.")

6 If, and och or Från graf till ekvation 8 Räknare 4 Potenser, budgetering, Grafisk lösning av exponentialekvationer 4 Potenser, budgetering 3112 Ligger punkten med koordinaterna ( 10, 22) på linjen y = 2x + 3? 4205 Antalet bakterier N(t) i en bakteriekultur ökar med tiden t timmar enligt N(t) = 4 300 1,045t. c) Beräkna hur lång tid det tar för antalet bakterier att öka till 10 000. Kapiteltest, 13 Agnes och Ken betalade 1 250 000 kr för sin lägenhet. Priset på bostäder i deras område har sedan dess stigit med 8 % per år. c) Efter hur lång tid är värdet av bostaden ca 2 000 000 kr? Utvidga uppgiften till att låta eleverna skriva ett program som undersöker två villkor, t.ex. om en inmatad punkt ligger både på linjen y = 2x + 3 och på linjen y = 3x + 28, eller både på linjen y = 3x + 28 och i första kvadranten. x = float(input("ange punktens x-koordinat:")) y = float(input("ange punktens y-koordinat:")) if y == -2 * x + 3 and y == 3 * x + 28: print("ja, punkten ligger på båda linjerna.") print("nej, punkten ligger inte på båda linjerna.") Lös uppgiften med ett program, t.ex. t = 0 while 4300 * 1.045**t < 10000: t = t + 1 print("efter", t, "minuter är det ",4300 * 1.045**t, "bakterier i odlingen." ) Låt sedan eleverna ändra i programmet för att lösa uppgift 4206 c). Lös uppgiften med ett program, t.ex. t = 0 while 1250000 * 1.08**t < 2000000: t = t + 1 print("efter", t - 1, "år är lägenheten värd",1250000 * 1.08**(t - 1), "kr.") print("efter", t, "år är lägenheten värd",1250000 * 1.08**t, "kr.")

9 Listor 6 Statistik, Spridning kring medelvärdet 11 Turtle Avståndsformeln 6134 Beräkna medelvärde och standardavvikelse för talen 3, 4, 7, 9 och 12 i ett stickprov. 3305 En triangel har hörnen i punkterna (3, 1), (6, 1) och (2, 4). Är triangeln likbent? Om man vill öva mer på kommandona i Lektion 9 kan eleverna få skriva ett program som kan beräkna medelvärde och standardavvikelse för talen i uppgift 6134, t.ex. lista = [3, 4, 7, 9, 12] kvadrater = [] medel = sum(lista)/len(lista) for index in range (0, 5): kvadrater.append((lista[index]-medel)**2) print(kvadrater) standardavvikelse = (sum(kvadrater)/(len(kvadrater)-1))**0.5 print("medelvärdet är", medel, "och standardavvikelsen är", standardavvikelse) Genom att definiera en funktion som kan beräkna avståndet mellan två punkter, kan uppgiften lösas med ett program: print("ange koordinaterna för punkt 1.") x_1 = float(input("x =" )) y_1 = float(input("y =" )) print("ange koordinaterna för punkt 2.") x_2 = float(input("x =" )) y_2 = float(input("y =" )) print("ange koordinaterna för punkt 3.") x_3 = float(input("x =" )) y_3 = float(input("y =" )) def avstånd (x_1, x_2, y_1, y_2): a = ((x_1 - x_2)**2 + (y_1 - y_2)**2)**0.5 return a print(avstånd(x_1, x_2, y_1, y_2)) print(avstånd(x_1, x_3, y_1, y_3)) print(avstånd(x_2, x_3, y_2, y_3))

12 Nästlade satser Substitutionsmetoden 3218 Biljetten till en fotbollsmatch kostar 120 kr för vuxna och 30 kr för barn. Totalt såldes 340 biljetter och man fick in totalt 40 800 kr i biljettintäkter. Hur många barn och vuxna hade köpt biljetter? I Matematik Origo 2bc får eleverna lösa ekvationssystem både grafiskt och algebraiskt. När lösningarna är heltal, går det också ganska lätt att lösa ekvationssystemen med programmering. Då utnyttjar man en sorts strukturerad prövning. Låt eleverna skriva ett program som löser uppgift 3218, t.ex. for vuxna in range (0, 341): barn = 340 - vuxna intäkter = 120 * vuxna + 30 * barn if intäkter == 40800: print(vuxna, "vuxna och", barn, "barn hade köpt biljetter.") En fördjupning är att skriva ett program som tar fram heltalslösningar till den första ekvationen i exemplet, 2x + y + z = 6. Genom att kopiera över lösningarna som taltripplar till t.ex. Geogebra kan man plotta lösningarna i ett tredimensionellt koordinatsystem och se att de bildar ett plan. Ekvationssystem med tre obekanta 2c Exempel 1 (s. 101 i Origo 2bc vux) for x in range (-10, 11): for y in range (-10, 11): z = 6-2 * x - y print(x, ",", y,",",z)

4 Potenser, budgetering, Tiologaritmer 4217 Bestäm med hjälp av figuren så noggrant som möjligt. a) lg 10 b) lg 20 c) lg 60 Med hjälp av en typ av intervallhalvering kan man numeriskt bestämma tiologaritmen av ett inmatat tal. En övning som utmanar resonemangsförmågan kan vara att visa följande program och låt eleverna förklara hur det fungerar. n = float(input("det här programmet beräknar lg n. Ange n:")) print("ange ett tal som är större än tiologaritmen av", n, ".") gissning_hög = float(input()) print("ange ett tal som är mindre än tiologaritmen av", n, ".") gissning_låg = float(input()) medel = (gissning_hög + gissning_låg)/2 for x in range (0, 100): if ((10**medel) > n): gissning_hög = medel medel = (medel + gissning_låg)/2 print (medel) gissning_låg = medel medel = (medel + gissning_hög)/2 print (medel)