Department of Phsics and Astronom Mekaniska Vågor för KandF Föreläsningsanteckningar med kompletteringar till och sammanfattningar av Hecht: Optics Jan-Erik Rubensson/03-0-6 Postal address Deliver address Telephone Fa Department of Phsics Ångström Laborator +46 (08-47 00 00 +46 (08-47 35 4 P.O. Bo 56 Regementsvägen SE-75 0 UPPSALA SE-75 37 UPPSALA
. Grundläggande begrepp och formler Vågfunktionen En våg är en störning i ett medium. En sådan störning måste vara en funktion av läge och tid. I en rumsdimension: f (, t ( Vid en viss tid, t=0, har vi en funktion bara av, dvs en specifik form på störningen. ( t 0 f ( ( Om denna form är konstant och flttar sig med den konstanta HASTIGHETEN v längs den positiva -aeln, kan vi låta ett koordinatsstem, S, följa med pulsen, så att f ( (3 Transformationen mellan det ursprungliga koordinatsstemet och det primmade är vt (4 så att f ( vt (5 Detta kallar vi för VÅGFUNKTION. Vi ska se att den uppfller en av fsikens viktigaste ekvationer, eller omvänt, vi använder denna form för att härleda den:
3 Vågekvationen Derivera (partiellt två gånger med avseende på tiden och läget. Först läget: f f f (6 f f f f (7 sedan samma sak med tiden ( v f t f t (8 ( ( f v t v f f v t t (9 när vi kombinerar dessa ekvationer ser vi att: t v (0 DETTA ÄR VÅGEKVATIONEN (i en dimension! Harmoniska vågor och grundläggande begrepp Periodiska vågor har en återkommande form. Ett specialfall av dessa är harmoniska vågor, som är SINUSVÅGOR av formen: ( sin vt k A (
4 Utifrån denna funktion definieras en rad centrala begrepp. Den maimala störningen, A kallas AMPLITUD Den kan ha många olika enheter, beroende på vågens natur. Argumentet i sinusfunktionen, k( vt kallas FAS och dess enhet är radianer. Konstanten k kallas VÅGTAL och har enheten [rad/m]. På engelska är detta propagation number. Ibland defineras också ett vågtal, med enheten [period/m] och relationen till k blir k. På engelska kallas detta wave number eller spatial frequenc. Då detta begrepp används på svenska kallas det också vågtal, och då kallar man k CIRKULÄRT vågtal. I princip råder alltså en viss förvirring på svenska, men det ska alltid framgå av sammanhanget vad man menar. Vid en viss tidpunkt (till eempel t=0 kan man mäta den spatiala perioden, dvs hur långt man måste gå för att fasen ska ändras, k, ( Avståndet, brukar betecknas och kallas VÅGLÄNGD och dess enhet är [m]. Relationen mellan våglängd och vågtal är viktig: k (3
5 Vid ett visst läge (till eempel =0 kan man mäta tiden det tar innan vågen upprepar sig. Denna tid, T, kallas PERIODTID och mäts is [s]. kvt (4 vi ser att T kv v (5 Inversen av periodtiden kallas FREKVENS och mäts i [s - ]. f (6 T Relationen mellan frekvens, våglängd och vågens hastighet är mcket användbar: v f (7 Ett vanligt fundamentalt begrepp, som motsvarar det cirkulära vågtalet, k i tidsdimensionen, är f som kallas VINKELFREKVENS, och dess enhet är [rad/s]. Det är viktigt att man får en känsla för hur de här fundamentala storheterna är kopplade till varandra. Den harmoniska vågfunktionen ( kan nu skrivas på många olika sätt med dessa storheter. Några vanliga omskrivningar (kontrollera att det stämmer: t Asin k( vt Asin( k t Asin ( (8 T
6 Fashastighet och vågens riktning Eftersom sinusvågen är periodisk saknar den början och slut. Hastighet blir ändå meningsfull om man tittar på vågens fas, dvs argumentet för sinusfunktionen, som kan skrivas till eempel kt. Antag nu att man vill följa en punkt på vågen där utslaget är konstant. Det gäller bara är om fasen är konstant. Differentierar man fasen och sätter d 0 får man d kd dt 0 (9 Punkten med konstant fas rör sig alltså med FASHASTIGHETEN d dt (0 k Fashastigheten för en sinusvåg är samma som vågens hastighet som den definierades redan i ekvation (4, och vi kan se genom att jämföra ekvation (7 och (0: v f k k d dt ( Vågens riktning kan man direkt utläsa ur ekvation (9. Antag att både k och är positiva tal. När tiden ökar, dt 0, ser vi att också d 0. Dvs. punkten med konstant fas flttar sig mot större -värden. Vågen flttar sig i positiv -riktning. Observera att detta stämmer med vår utgångspunkt (ekvation (-4. För att vågens ska gå i andra riktningen måste någon av konstanterna (k eller bta tecken. Ekvivalent: med positiva konstanter skrivs fasen för en våg som utbreder sig i negativ - riktning: kt och vågen blir: Asin( kt ( Notera att man inte vänder på vågens riktning genom att bta tecken på amplituden, detta leder istället till en fasförskjutning på, det vill säga en förskjutning av vågens absoluta läge:
7 A sin( kt Asin( kt (3 där m, och m är ett heltal. För att fullständigt fastlägga vågens absoluta läge krävs generellt att FASKONSTANTEN specificeras. När man bara har en sinusvåg är det enklast att välja koordinatsstem så att =0.
8. Mekaniska vågor Ett medium i jämvikt utsätts för en störning. Vågen utbreder sig när mediet försöker återställa jämvikten. Vi skiljer på transversella vågor, där förskjutningarna från jämviktsläget är vinkelräta mot vågens riktning, och longitudinella vågor, där förskjutningarna är parallella med vågens riktning. Vågens hastighet beror på mediets tröghet och återförande verkan Här ska vi se vad detta innebär konkret för några olika tper av mekaniska vågor. Vi använder kända samband från elasticitet och termodnamik, samt Newtons andra lag för att härleda en vågekvation där vi kan identifiera fashastigheten. Transversella vågor i en sträng: Man kan härleda vågekvationen och fashastigheten direkt ut Newtons andra lag. Betrakta strängsegmentet: F F F F F F +d
9 Strängen accelererar inte i -riktningen F F F ( Men i -riktningen! Krafterna är parallella med strängen: Strängens lutning motsvarar kraftkomposanterna. F F ( Alltså blir nettokraften (tänk på tecknen: F F F F (3 Enligt Newtons andra lag är nettokraften lika med accelerationen i -led multiplicerat med massan, Ad m, där är densiteten och A är tvärsnittstan. För att förenkla definerar vi linjär densitet : A l. Detta leder till: t F l (4 det vill säga: t F l (5 eller:
0 l F t (6 Dvs. en vågekvation där fashastigheten är F v (7 l Då utslagen är små är F F, spännkraften som står för den återförande verkan. Den linjära densiteten motsvarar trögheten. Känn efter vad som händer i etremfallen (när variablerna går mot noll och oändligheten! Longitudinella vågor i stav Samma tp av härledning som för strängen. Hookes lag (repetera Elasticitet Phsics Handbook.3 för ett segment som har tvärsnittstan A och längden. Segmentet förlängs med av krafterna. Y är elasticitetsmodulen (Youngs modul. A F F + + F A l Y l Y (8
Nettokraften, df, på segmentet är skiljt från noll. Newtons andra lag för att beräkna hur segmentet rör sig: F df d Ad (9 dt Derivera (8 med avseende på och sätt in i (9: F YA A t (0 Detta kan vi skriva om till:, ( Y t vilket är en vågekvation med fashastigheten Y v ( Youngs modul motsvarar återförande verkan, densiteten motsvarar trögheten. Känn efter vad som händer i etremfallen! Longitudinella vågor i en fluid (gas eller vätska Härledningen av en vågekvation är fullständigt analog. Istället för Youngs modul bestämmer kompressibilitetsmodulen, B, (bulk modulus, se fluidmekanik, Phsics Handbook.3, som definieras genom uttrcket dv dp B, (3 V
Lägg märke till att uttrcket är närmast identiskt med Hookes lag för elastiska kroppar. Fashastigheten blir, helt analogt: B v (4 Om man har adiabatisk (se termodnamik, Phsics Handbook. kompression gäller pv const. (5 där C p (6 C V är en konstant som är specifik för varje fluid. Om vi deriverar (5 med avseende på volmen får vi: dp dv V pv 0, (7 vilket kan skrivas om på en form där kompressibilitetsmodulen kan identifieras: dp dv V p, (8 dvs: B p, (9 genom ekvation (3 och (8. Då blir fashastigheten:
3 p v (0 Det är rimligt att den återförande verkan är proportionell mot trcket, och trögheten igen proportionell mot densiteten. För en ideal gas är pm ( RT vilket ger fashastigheten: RT v T ( M Det vill säga: Fashastigheten beror bara på temperaturen och en konstant som är specifik för fluiden. För luft är =0.055 ms - K -/. Insatt i denna ekvation blir ljudhastigheten i luft av rumstemperatur 344m/s. Skjuvvågor (transversella vågor i en stav Återförande verkan bestäms av skjuvmodulen, G (se elasticitet, Phsics Handbook.3. Analog härledning som för longitudinella vågor och ger en fashastighet: G v (3 Vattenvågor Vattenvågor är mera komplicerade, dels eftersom de måste beskrivas som en kombination av longitudinella och transversella vågor, dels för att återförande verkan både är gravitation och tspänning. Om djupet är mcket större än våglängden kan visa att fashastigheten blir
4 g S v (4 där S är tspänningen. Våglängdsberoendet gör att grupphastigheten och fashastigheten blir olika. Notera att inga av de andra mekaniska vågorna vi har gått igenom är beroende av våglängd. När djupet, d, är mcket mindre än våglängden, deltar vattnet ända ner till botten och då blir det istället djupet som bestämmer hastigheten. v gd (5 För det mesta sker detta på mcket grunt vatten och därför kallas detta för shallow waves. Ett undantag är tsunamivågor, som då, lite förvirrande blir shallow waves på djupt vatten. Är djupet stort blir hastigheten mcket stor: den återförande verkan beror på gravitationen och den förskjutna massan som är proportionell mot djupet och förstås: väldigt stor. Vi kommer in på energitransport senare. Sammanfattning: Bestämmande för fashastigheten hos mekaniska vågor är alltid mediets tröghet (ju trögare medium desto lägre hastighet. I våra härledningar har detta alltid att gör med densiteten,, och återförande verkan (ju större verkan desto högre hastighet Beroende på vågens natur har vi identifierat variablerna: F, Y, B och G. Märk att fashastigheten bestäms fullständigt av mediet: Den är oberoende av frekvens (och därmed också av våglängd! Senare ska vi se att det inte alls är så för elektromagnetiska vågor: Bara i vakuum är ljusets hastighet oberoende av frekvens (elektromagnetiska vågor behöver inget medium. I materia är ljusets fashastighet frekvensberoende, vilket medför komplikationer... och möjligheter.
5 3. Reflektion och transmission (orientering: hoppa över här Här kommer härledningen av reflektionskoeffiecient och transmissionskoefficient för en transversell våg i en sträng. Bli inte avskräckt av antalet ekvationer. De flesta stegen inses lätt och jag har gjort det speciellt detaljerat här därför att principen för härledningen är precis samma som när vi sedan härleder reflektions- och transmissionskoefficienter för elektromagnetiska vågor, dvs FRESNELS FORMLER. I kvantmekaniken kommer ni att se att det blir samma härledning när partiklar (som beskrivs av vågfunktioner sprids mot potentialer. Alltså: Det lönar sig att vänja sig vid den här tpen av resonemang. Som också är väldigt vackra därför att enkla och egentligen självklara antaganden får långtgående och generella slutsatser. F I: l,i I: l,ii F Vi har en sträng som är sammanfogad av två strängar med olika linjär densitet, l,i i område I och l,ii i område II. Spännkraften är F. Antag att en harmonisk våg som rör sig i positiv riktning, med en viss vinkelfrekvens in och vågtal k in i område I faller in mot sammanfogningspunkten: in (, t Asin( t k ( in in Detta kan ge upphov till en reflekterad våg med vinkelfrekvens refl och vågtal k refl (lägg märke till teckenväling i fasen: vågen går i motsatt riktning, refl (, t Bsin( t k, ( refl refl
6 och en transmitterad våg med vinkelfrekvens trans och vågtal k trans (som går i samma riktning som den inkommande vågen: trans (, t Csin( t k (3 trans trans Hur mcket av vågen som reflekteras och transmitteras får man fram genom beräkna förhållandet mellan på dessa olika vågors amplituder. Detta bestäms fullständigt genom RANDVILLKOREN Välj =0 i sammanfogningspunkten. Eftersom strängen ska hänga ihop måste in ( 0, t (0, t (0, t, dvs: (4 refl trans Asin( t Bsin( t Csin( t (5 in refl trans Eftersom detta gäller vid alla tidpunkter måste (6 in refl trans Det vill säga: Vinkelfrekvensen ändras inte vid reflektion/transmission! Därför kan man också förkorta bort sinusfunktionen i (5 och vi får: A B C (7 Nu måste också derivatan vara väldefinierad i =0. Strängens lutning ändras inte abrupt (Detta är ett krav om kraften i -riktningen (som bestämmer lutningen ska kunna vara väldefinierad, jfr, härledningen av fashastigheten.
7 t in(0, t refl (0, trans(0, t (8 Derivera (,(,(3 och sätt in i (8: k A k B k C (9 in refl trans För att komma vidare försöker vi utröna något om vågtalen. Vi vet nu att alla vågor har samma frekvens. Vi vet också att vågorna har olika hastighet i de olika områdena: v I F, respektive (0 l, I v II F, ( l, II för område I och II. Vågtalet är entdigt bestämt av hastighet och vinkelfrekvens genom: k. ( v Hastighet och våglängd ändras inte vid reflektion, men vid transmission: Den transmitterade vågen är nu i ett annat medium: Den har samma frekvens som den infallande, men en annan hastighet. Därför är våglängden, och därmed k annorlunda. Eplicit har vi: k in k refl v I l, I F k I, och (3 k trans v II l, II F k II (4
8 där vi förutom ( har använt (0 och (. Kombinerar vi nu (7, (9, (3 och (4 får vi: k ( A B k ( A B (5 I II och vi har allt som behövs för att bestämma förhållandet mellan den reflekterade och den inkommande vågens amplituder, som vi kallar reflektionskoefficient. Omformning av (5 ger: R B A k k I II (6 I k k II För att få fram förhållandet mellan den transmitterade och den infallande vågens amplituder skriver vi om (7 och (9 på följande sätt: k ( A ( C A k C, (7 I II som vi kan omforma och bestämma transmissionskoefficienten: T C A ki k k I II (8 Reflektions- och transmissionskoefficienterna beror alltså bara på vågtalet i de olika medierna. Genom ekvation (6 och ( ser vi att vi också skulle kunna säga att endast fashastigheten spelar roll. Eftersom spännkraften är konstant kan vi uttrcka koefficienterna direkt i linjär densitet, genom att sätta in (3 och (4 i (6 och (8: l, I l, II R (9 l, I l, II och l, I T (0 l, I l, II
9 Och nu till de (utlovade långtgående slutsaterna: Ekvation (9 och (0 är i sig kraftfulla: Utifrån radvilllkoren kan man beräkna hur mcket av en våg som reflekteras och transmitteras. Liknande samband kan man härleda (på samma sätt för andra mekaniska vågor (ska vi inte göra, för elektromagnetiska vågor (detta är Fresnels formler; de är centrala i kursen, och för kvantmekaniska partiklar (som ni kommer att läsa om i höst. Vi kan få lite allmän känsla för ekvationerna om vi tittar på vad som händer med reflektionen (ekvation (9 i etremfallen: a. Lös ände Denna situation kan beskrivas med att linjära densiteten i område II är noll. Ekvation (9 ger att R=+, dvs totalreflektion. Den reflekterade vågens amplitud är lika stor som den infallande vågens. Att R är positiv betder att det inte blir något fasskift vid reflektionen: utslaget är i samma riktning som den i den inkommande vågen.. b. En vägg En fast ändpunkt betder att linjära densiteten i område II är oändlig. Vi ser att R=-. Också här har vi totalreflektion. Att R är negativ betder att det blir ett fasskift vid reflektionen: utslaget är i motsatt riktning jämfört med den i den inkommande vågen. men nu också 80-graders fasskift. c. Tecknet på R i allmänhet
0 När linjära densiteterna är samma i de båda områdena är R=0 och T=. Dvs. Inget händer, som väntat, men vi ser att när densiteterna varierar runt så välar R tecken, och vi l, I l, II ser att i allmänhet är R 0 då l, I l, II (eller ci cii R 0 då l, I l, II (eller ci cii Ett fasskift på 80 grader får man alltså när reflektionen sker mot ett medium där fashastigheten är mindre än i det ursprungliga d. Transmission För transmissionen (ekvation(0 ser vi att vi inte har några teckenvälingar. Den transmitterade vågen är alltid i fas med den inkommande. I ekvation (0 ser vi också att T kan vara större än när linjära densiteten i medium II är liten jämfört med linjära densiteten i område I (I fallet lös ände är T=. Amplituden för den transmitterade vågen kan alltså vara större än för den inkommande vågen. Något brott mot energiprincipen är det dock inte: Vågens energi beror (som vi ska se också på bland annat på vågens hastghet i mediet. I allmänhet är: R T Ovanstående observationer för transversella vågor i en sträng är allmänna: Motsvarande gäller också för: andra mekaniska vågor, elektromagnetiska vågor kvantmekaniska partiklar.
4. Att addera vågor Superpositionsprincipen Superpositionsprincipen lder: Om två olika funktioner är lösningar till vågekvationen så är summan av dem också en lösning. Detta betder att när två vågor (två störningar överlappar blir den resulterande vågen summan av de båda vågorna. Vi ska titta på några konsekvenser. Addition av vågor som går i samma riktning, har samma frekvens, men är fasförskjutna relativt varandra: Asin t ( B sin( t ( Addera och använd trigonometriska samband ger: Asint B(sin t cos cos t sin (3 Separera ut tidsberoendet ( A Bcos sint Bsin cos t (4 och substituera: C cos ( A Bcos (5 Csin Bsin (6 så att:
C cos sint Csin cos t Csin( t (7 Det vill säga: Den sammansatta vågen har samma frekvens som de ursprungliga vågorna. Fasen och amplituden är olika. Amplituden fås genom att kvadrera och addera (5 och (6: C ( A Bcos Bsin A B AB cos (8 Det trevliga är nu att denna ekvation liknar vektoraddition, där amplituderna motsvarar vektorernas längd och fasförskjutningen vinkeln mellan dem. Addition av harmoniska vågor med samma frekvens reduceras alltså till ett GEOMETRISKT PROBLEM: vektoraddition ( phasor addition på engelska. För två vågor kan man också använda cosinussatsen för trianglar C B Fasförskjutningen mellan den resulterande vågen och får man genom att dividera (6 med (5: A Bsin tan (9 A Bcos Även denna vinkel räknar man lättast ut genom en geometrisk betraktelse.
3 Interferens Interferens är ett centralt begrepp i vågrörelselära. Det står för det fenomen som uppstår när vågor adderas. Interferens (där man betonar sista stavelsen innebär ingen väelverkan. Jämförelsen med interferens i ishocke (där man betonar näst sista stavelsen för helt fel. Men jämförelsen åskådliggör också en skillnad mellan vågor och partiklar (eller massiva kroppar. När vågor möts adderas de utan att påverka varandra, när kroppar möts händer helt andra saker. Det essentiella i interferens kan man förstå i ekvation (8. Det kan verka enkelt, men har en del förvånande konsekvenser: När man lägger ihop vågor blir ett plus ett inte lika med två, utan beror på fasskillnaden. Antag att att A=B=. Då ger ekvation (8: C ( cos (0 Ett plus ett (den resulterande amplituden blir alltså något mellan 0 och, beroende på. Vi kommer att prata mcket om detta när det gäller elektromagnetiska vågor. Här ska vi nöja oss med två vanliga interferensfenomen: Stående vågor och svävningar. Stående vågor Stående vågor uppkommer när en våg reflekteras på två ställen (se kapitlet om reflektion och transmission, så att vi på en sträcka får vågor som rör sig i motsatta riktningar. Om beloppet av reflektionskoefficienten är lika med är amplituderna samma och vi vet att frekvensen inte ändras vid reflektion. Vi adderar följande två vågor: Asin( k ( t Asin( k ( t Det vill säga: Asin( kt Asin( kt (3 Nu kan vi använda det trigonometriska sambandet (Phsics Handbook:
4 sin sin sin ( cos ( (4 vilket leder till Asin ( kt ktcos ( kt kt Asin kcost (5 Det vill säga: - och t-beroendet är separerat och vi har inte länge någon propagerande våg, ingen våg på formen f ( vt. Vid sin k 0 (alltså när m eller (6 m händer ingenting: utslaget är alltid 0. Detta kallar vi NOD. Vid sin k (alltså när (n eller har vi n maimal svängning med amplituden A. Detta kallar vi buk. Eakt var bukar och noder återfinns beror på geometrin (randvillkoren i de särskilda fallen. Titta på bild 7.0 Hecht, kom ihåg demonstrationer och datoranimeringar på föreläsningen.
5 Svävningar (beats Svävningar är ett annat interferensfenomen uppstår när man adderar vågor som går i samma riktning med något olika frekvens: Acos( k t (7 Acos( k t (8 För enkelhets skull säger vi att vågorna har samma amplitud. Summan blir: A cos( k t cos( k t (9 Om vi använder det trigonometriska sambandet (se Phsics Handbook cos cos cos ( cos ( (0 (Visst är det likt härledningen av stående våg? Det finns sstem i vansinnet... ser vi att: A cos ( k k ( tcos ( k k ( t ( Den ekvationen kan vi tolka på följande sätt. Den första cosinusfaktorn ser ut som en fortskridande våg med vinkelfrekvensen ( ( och vågtalet k ( k k (3
6 Det vill säga: Denna faktor representerar en fortskridande våg med medelfrekvens och medelvågtal Den andra cosinusfaktorn har också fortskridande-våg-form, men här är vinkelfrekvensen m ( (4 och vågtalet k m ( k k (5 Det vill säga: Denna cosinusfaktor representerar en fortskridande våg med halva frekvensskillnaden och halva vågtalsskillnaden. Om k k och varierar denna faktor långsamt. Vi säger att amplituden för en våg med medelfrekvensen varierar med denna faktor. En amplitudmodulation, eller en svävning. Eftersom en våg har två nollgenomgångar per period blir svävningsfrekvensen: svävning (6 se bild 7.6 i Hecht, och kom ihåg de rörliga bilderna på föreläsningen. Kom också ihåg hur det låter om de två stämgafflarna. Komplea metoden (hoppa över Vi har genomgående använt trigonometriska funktioner för att representera vågor. Oftast är det lättast att rita upp det geometriskt. Ibland är det en fördel använda komple notation. Det komplea talet har realdel och imaginärdel:
7 ~ z i (7 som kan representeras i ett vektordiagram. Im r Re Vi ser att r cos och r sin, och vi kan använda Eulers formel för att uttrcka det komplea talet i vektorns längs (som motsvarar vågens amplitud och vinkel i komplea planet (som motsvarar vågens fas: ~ i z re r(cos isin (8 Ofta skriver man vågfunktionen på den komplea formen i( kt Ae (9 När man använder komple representation förenklas ibland räkningarna av att man kan använda enkla räkneregler för komplea tal och eponenter. Om vi, till eempel, lägger ihop två vågor med samma frekvens med komple notation så blir motsvarigheten till härledningen av ekvation (8 från ekvation ( och (: i t Ae (30 i( t Be (3 Ae it Be i( t Ae it Be e it i ( A Be i e it (3
8 i Amplituden av denna vågfunktion, C, är nu beloppet av ( A Be : C A A Be B i ( A Be AB cos i ( A Be i A ABe i ABe i B (33 vilket alltså är samma resultat som ekvation (8. Fas får man om man skriver om i ( A Be A Bcos Bi sin (34 Vinkeln i komplea planet motsvarar fasen, dvs: Im Bsin tan (35 Re A Bcos
9 5. Vågorna transporterar ingen materia: Däremot ENERGI och IMPULS Här härleder vi energiflödet som en transversell våg i en sträng orsakar. På samma sätt kan man härleda energiflödet för de andra mekaniska vågorna vi har gått igenom. Speciellt viktig är definitionen av vågors intensitet som MEDELVÄRDET AV ENERGIFLÖDET PER YTENHET Denna definition är allmän. Den kommer vi att använda också för elektromagnetiska vågor. Vi kommer också att se att intensiteten för harmoniska vågor alltid är proportionell mot kvadraten på amplituden. Transversell våg i sträng (jämför härledningen av hastigheten: Ett strängsegment rör sig med hastigheten v t ( medan det påverkas från vänstersidan av kraften F F ( i -riktningen (där F är spännkraften. Strängen på vänstersidan uträttar alltså ett arbete på detta strängsegment. Detta arbete, W [J],per tidsenhet motsvarar det energiflöde, P [J/s], som passerar strängsegmentet. Vi sätter in ( och (: W P Fv F (3 t t Om vi nu har en harmonisk våg:
30 Asin( kt (4 kan vi derivera och sätta in i ekvation (3: Ak cos( kt (5 A cos( kt t (6 så att: P FkA cos ( kt (7 Vi kan förenkla genom att använda uttrcket för fashastigheten F v (8 k l så att vi till slut får: P F A cos ( k t l (9 Lägg märke till att energiflödet är proportionellt mot amplituden i kvadrat! Detta gäller alla harmoniska vågor! Energiflödet är alltid riktat åt samma håll! Det blir aldrig negativt och varierar mellan 0 och ett positivt maimalvärde. Eftersom medelvärdet av cos (k-t över en period är ½ : cos d 0 cos sin cos 0 (0
3 blir medelvärdet av energiflödet: P ave Fl A ( Härledningen för longitudinella harmoniska vågor i en stav är helt analog, och vi får ett energiflöde per tvärtsnittsarea, S: P ave S Y A ( Detta medelflöde per tenhet kallas intensitet! Intensitet har enheten [J/s/m ] I en gas blir intensiteten helt analogt: Pave I S B A (3 Detta gäller alltså ljudvågor. För att anpassa till örats känslighet (som är logaritmisk, mäter man ofta ljudintensitet i decibel som definieras på följande sätt I B 0log (4 0 Wm
3 6. Dopplereffekt a. Mekaniska vågor Sändare v s T vt Observatör v o T Sändarens rörelse Sändaren skickar ut vågor med frekvensen f. Om nu alla håller sig stilla blir våglängden i mediet v f, där v är vågornas hastighet i mediet. Men om sändaren rör sig med hastigheten v s relativt mediet blir våglängden riktningsberoende. Antag att vågorna rör sig i samma riktning som sändaren mot observatören enligt figuren. En period av vågen emitteras under tiden T. Under denna tid rör sig vågfronten sträckan vt, men samtidigt rör sig sändaren sträckan v s T. Våglängden bestäms nu av relativa förskjutningen mellan källa och vågfront. T( v vs ( v vs ( f Observatörens rörelse Om observatören rör sig med hastigheten v o relativt mediet upplever han eller hon vågornas hastighet som v-v o, och den hörda frekvensen blir därför c v f o ( Sätt ihop ( och (:
33 f v v f v v o (3 s Detta är den fullständiga formeln så länge vi bara rör oss i en dimension. I allmänhet måste man också tänka på vinklarna. Tänk på tecknen vid problemlösning. Var noga med koordinatsstemen och den relativa placeringen av sändare och observatör, eller använd sunt förnuft för att avgöra om en rörelse höjer eller sänker den hörda frekvensen. Fundera på vad som händer i etremfallen: v o v, v s v, v o v, v Vi ska se att det blir helt annorlunda för elektromagnetsiska vågor. v o, etc...