LUNDS TEKNISK HÖGSKOL MTEMTIK TENTMENSSKRIVNING Linjär algebra 0 0 kl 8 3 ING HJÄLPMEDEL Förklara dina beteckningar och motivera lösningarna väl Om inget annat anges är koordinatsystemen ortonormerade och positivt orienterande nge en ekvation på affin form för planet som innehåller linjen (x, y, z) (,, 4) + t(,,), t R, och som är parallellt med linjen (x, y, z) (,, ) + s(,,3), s R Beräkna dessutom det minsta avståndet mellan de båda linjerna a) Vad är definitionen för att k vektorer u, u,, u k i rummet R n är linjärt beroende? (0) b) För vilka värden på parametern b blir vektorerna u (,,), u (,, b) och u 3 (b,, ) är linjärt beroende? Lös vektorekvationen λ u + λ u + λ 3 u 3 0 för varje sådant värde på b (08) 3 En linjär avbildning F : R R uppfyller F(e +3e ) 3e e och F(e ) 3e +4e Bestäm avbildningsmatrisen för F och beräkna dennes egenvärden och egenvektorer nvänd resultatet till att ge en geometrisk tolkning av F x l ê 4 Figuren till höger visar en rät linje l, origo O, samt två baser i planet, e, e respektive ê, ê nge en ekvation på affin form för l i koordinatsystemet Oe e Härled sedan l:s ekvation på affin form i det nya koordinatsystemet Oê ê ê e O e x Lös matrisekvationen BX B(B + X) där 0 och B 3 0 0 6 Skalärprodukten av två vektorer x (x, x, x 3, x 4 ) och y (y, y, y 3, y 4 ) i R 4 definieras som x y x y + x y + x 3 y 3 + x 4 y 4, och längden av x som x x x Låt nu L beteckna det plan i R 4 som spänns upp av de två vektorerna u (,,0,) och v (,,,) Man säger att L är ett två-dimensionellt underrum av R 4 Bestäm den vektor x i underrummet L vars avstånd till vektorn w (,0,3,) är minst (Ledning: Vilken geometrisk relation har differensen w x till vektorerna i L?) LYCK TILL!
LUNDS TEKNISK HÖGSKOL MTEMTIK SVR OCH NVISNINGR Linjär lgebra 0 0 kl 8 3 (Svar och fullständiga lösningar samt vissa kommentarer) Svar: Planets ekvation på affin form är 4x y 3z 37 vståndet mellan linjerna är 6 Lösning Planet innehåller punkten (,, 4) och har vektorerna (,, ) och (,, 3) som sina riktningsvektorer vilket ger parameterframställning (x, y, z) (,, 4) + t(,,) + s(,,3) där s, t R En ekvation på affin form fås genom elimination av parametrarna s och t, t + s x t s y + t + 3s z + 4 t + s x 3s x + y + 0 s x + z + 9 t + s x 3s x + y + 0 0 4x + y + 3z + 37 vilket leder till resultatet, 4x y 3z 37 0 För att bestämma avståndet mellan linjerna väljar vi en punkt på vardera linje och bildar vektorn mellan dessa, tex v (,, 4) (,, ) (0, 4, 3) Sen beräknas den ortogonala projektionen, v, av v på en vektor n, där n är en gemensam normal till de båda linjerna Som gemensam normal kan vi ta normalvektorn till planet ovan, n (4,, 3) Projektionsformeln ger nu v v n (0, 4, 3) (4,, 3) n n 4 + ( ) + ( 3) (4,, 3) (4,, 3) Det sökte avståndet blir nu längden av v, alltså v (4,, 3) 4 + ( ) + ( 3) 6 (4,, 3) (4,, 3) a) Svar: Se boken s 00 där både definition 3 eller villkoret i sats duger b) Svar: Vektorerna är linjärt beroende då b eller b 3 För b ges lösningen till den homogena vektorekvationen av (λ,λ,λ 3 ) t(0,,) där t R För b 3 fås (λ,λ,λ 3 ) t(,,) där t R Lösning De tre vektorerna u, u och u 3 är linjärt beroende om (och endast om) vektorekvationen λ u + λ u + λ 3 u 3 0 har fler lösningar än den triviala lösningen (λ,λ,λ 3 ) (0,0,0) Utskriven koordinatvis blir vektorekvationen till följande homogena ekvationssystem: λ λ + bλ 3 0 λ + λ + λ 3 0 λ + bλ λ 3 0 Huvudsatsen säger att systemet har en entydig lösning, i det här fallet den triviala lösningen, då determinanten till koefficientmatrisen (b ) 4 är skiljd från noll Eftersom att systemet är homogent följer att systemet har oändligt många lösningar (däribland icke-triviala sådana) för värden på b där (b ) 4 0, det vill säga då b eller b 3 För dessa b-värden är alltså vektorerna linjärt beroende och den fullständiga lösningen till vektorekvationen blir som angett i svaret ovan,
3 vbildningsmatrisen för F är [ ] 3 4 4 3 Matrisen har egenvärdena λ och λ Egenvektorerna hörande till egenvärdet λ är x t(, ), t 0 Egenvektorerna hörande till λ är x t(,), t 0 Den linjära avbildningen F kan tolkas geometriskt som spegling i linjen x y 0 Lösning Betecknas avbildningsmatrisen för F med så kan sambanden F(e + 3e ) 3e e och F(e ) 3e + 4e skrivas som [ ] [ ] 3 3 respektive [ ] 0 [ ] 3 4 Dessa kan sammanställas kolonnvis i ett ekvationssystem, [ ] 3 0 [ 3 ] 3 4 med lösningen [ ] [ 3 3 4 3 0 ] [ ] 3 4 4 3 Egenvärdena till avbildningsmatrisen är rötterna till det karakteristiska polynomet, p (λ) det(λi ) λ 3 4 4 λ + 3 λ, alltså λ och λ Det är därefter enkelt att bestämma de motsvarande egenvektorerna: För λ fås egenvektorerna genom att lösa det homogena systemet { x 4y 0 { x y 0 { x t 4x + 8y 0 0 0 y t och för λ fås { 8x 4y 0 { x + y 0 { x t 4x y 0 0 0 y t, så x t(,), t 0,, så x t(, ), t 0 För att ge en geometrisk tolkning av den linjära avbildningen F införar vi en ny ortonormerade bas bestående av egenvektorer till, ê (e + e ), ê (e e ) Med avseende på den nya basen blir avbildningsmatrisen för F den diagonala matrisen, [ ] 0 D 0 (diagonalisering S S D med S [x x ]) I de nya koordinaterna är F alltså avbildningen ( ˆx, ŷ) ( ˆx, ŷ), det vill säga spegling i ˆx-axeln (dvs linjen ŷ 0) Därför kan F tolkas i det ursprungliga koordinatsystemet som spegling i linjen x y 0
4 Svar: Med avseende på koordinatsystemet Oe e blir linjens ekvation på affin form l : x + x 4 I det nya koordinatsystemet Oê ê blir ekvationen l : ˆx Lösning vläsning i figuren ger att linjen innehåller punkterna P : (0,4) och Q : (,0) Linjen har därför PQ (,0) (0,4) (, 4) som riktningsvektor och därmed parameterframställningen l : (x, x ) (,0) + t(, 4), t R Elimineras parametern t, tex genom beräkningen (x )/ t x /( 4), fås en ekvation på affin form, l : x + x 4 () Genom att återigen avläsa figuren finner vi basbytet { ê e + e ê 3e + 4e med basbytesmatrisen S [ ] 3 4 Motsvarande koordinattransformation är X SX, där X [x x ] T och X [ ˆx ˆx ] T, som utskriven i koordinater blir { x ˆx + 3 ˆx x ˆx + 4 ˆx () Linjens ekvation på affin form i det nya koordinatsystemet fås nu genom substitution av sambandet () i ekvationen (), vilket ger 0 x + x 4 ( ˆx + 3 ˆx ) + ( ˆx + 4 ˆx ) 4 0 ˆx 4, vilket leder till svaret ovan nmärkning Uppgiften kan lösas på andra sätt, tex genom att använda formeln X S X till att transformera parameterframställningen för l i det gamla koordinatsystemet till det nya, efterföljd av att man eliminerar parametern Den lösning som presenteras ovan, baserad enbart på substitution, är i särklass den enklaste Svar: Lösningen till matrisekvationen är X B( I) 4 3 8 7 3 3 0 Lösning Vi härledar först en formel för X Eftersom att B är ortogonal är den inverterbar Genom multiplikation från vänster med inversen B förkortar vi bort B i ekvationen BX B(B + X), vilket ger X B + X Därnäst flyttas samtliga termer innehållande X till vänsterleder, X X B, vilket kan faktoriseras som X( I) B Genom att multiplicera från höger med inversen till I fås X B( I), under förutsättning av att inversen ( I) existerar Det är nu lätt att verifiera att matrisen I 0 har inversen ( I), 0 0 där vi utelämnat de detaljerade stegen i Gauss-Jordans metod för inversberäkning Svaret följar nu direkt ur formeln för X genom en enkel matrisekvation
6 Svar: Den sökte vektorn är x (,,3,4) Lösning: Vi låter L beteckna det plan som spänns upp av vektorerna u (,, 0, ) och v (,,, ) Varje vektor i L kan alltså skrivas på formen x su+ tv där s, t R För att bestämma den vektor x i L som ligger närmast w (, 0, 3, ) gäller det alltså att bestämma värden på s, t så att längden w x blir minst möjlig Det geometriska villkoret för att x ligger närmast w är att differensen w x är ortogonal mot samtliga vektorer i L (Man kan här dra parallell till motsvarande problem i tre dimensioner; rit en figur!) Eftersom att L spänns upp av u och v räcker det att w x är ortogonal mot båda u och v, alltså { u (w x) 0 v (w x) 0 eller { u (w su tv) 0 v (w su tv) 0 Det senare ekvationssystemet kan skrivas på matrisformen [ u u v v u v ][ s t ] [ ] u w v w som blir [ 6 4 ][ s t ] [ ] 6, (3) 7 efter insättning av u, v och w:s koordinater Denna ekvation har lösningen (s, t) (,3) som leder till x u + 3 v (,,0,) + 3 (,,,) (,,3,4), precis som angett i svaret ovan nmärkning Uppgiften ovan är ett exempel på ett minsta kvadratproblem, som har många tillämpningar inom statistik och ingenjörsvetenskaperna Ekvationssystemet till vänster i (3) kallas normalekvationerna hörande till minsta kvadratproblemet Skriver man U [u v] och s [s t] T, så kan normalekvationerna skrivas på matrisformen U T U s U T w, som är den form som känns igen av de flesta (Observera här att U är en 4 -matris varför U T U blir en -matrix)