SJÄLVSTÄNDIGA ARBETEN I MATEMATIK

SJÄLVSTÄNDIGA ARBETEN I MATEMATIK MATEMATISKA INSTITUTIONEN, STOCKHOLMS UNIVERSITET Kedjebråk av Joel Carlgren 206 - No 7 MATEMATISKA INSTITUTIONEN, STOCKHOLMS UNIVERSITET, 06 9 STOCKHOLM

Kedjebråk Joel Carlgren Självständigt arbete i matematik 5 högskolepoäng, grundnivå Handledare: Qimh Xantcha 206

Sammanfattning Kedjebråken har en flera tusen år gammal historia och har därmed utvecklats under lång tid Det skulle dock dröja fram till slutet av 500-talet innan de fick sitt riktiga genombrott Många av historiens stora matematiker har varit inblandade i utvecklingen, namn som Euklides, Euler och Lagrange känner de flesta ämneskunniga till Arbetet kommer att bevisa några satser för kedjebråk gällande rationella och irrationella tal och kulminerar i en metod att lösa Pells ekvation i

Abstract Continued fractions has a several thousand year history and has been developing for a long time The breakthrough in the subject would not come until late 6th century Many of history s great mathematicians has been involved in the development of continued fractions Euclid, Euler and Lagrange are names that most mathematicians have heard This paper will prove some of the theorems of continued fractions regarding real and irrational numbers The final part will show a method to solve Pell s equation ii

Innehåll Sammanfattning Abstract i ii Inledning 2 Varför kedjebråk? 2 2 Vad är kedjebråk? 2 3 Kort om kedjebråkens historia 3 4 Uppsatsens upplägg 3 2 Kedjebråk och rationella tal 5 3 Konvergenter 9 4 Kedjebråk och irrationella tal 6 5 Periodiska kedjebråk 2 5 Reducerade kvadratiskt irrationella tal 29 6 Pells ekvation 33 Referenser 37

INLEDNING Inledning Varför kedjebråk? Euler [3, 356, s 303] trodde att kedjebråken skulle komma till användning inom flera områden av matematiken Framförallt nämner han aritmetik och algebra där han tror att ämnet kommer vara till stor hjälp Han visade själv exempelvis på hur kedjebråk kan användas för att räkna ut hur ofta ett skottår verkligen behövs för att kompensera vårt kalenderårs 365 dagar [2, 7, s 306-307] Vi kommer nedan att få se hur kedjebråk kan användas för att till exempel uppskatta värdet av ett irrationellt tal, eller ge en approximation av en kvadratrot Det kommer även visa sig att kedjebråk har kopplingar till Euklides algoritm för att hitta största gemensamma delare och på så sätt till diofantiska ekvationer Idag används kedjebråk exempelvis inom numerisk analys, datalogi och elektronik men de dyker även upp på många andra ställen, väntade som oväntade Ett exempel är i samband med trassel eller knutar 2 Vad är kedjebråk? Leonard Euler [3, 356] beskriver kedjebråk som upprepade bråk där nämnarna är summan av ett heltal och ett bråk i vilket nämnaren också består av ett heltal och ett bråk av samma ty och så vidare Euler beskriver två typer av kedjebråk: x = a 0 + a + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + (2) y = a 0 + a + a 2 + a 3 + b b 2 b 3 b 4 b 5 a 4 + a 5 + (22) I den första typen, som ibland kallas enkla kedjebråk(se ekvation 2), är täljaren i bråken alltid en :a, a 0 Z och a, a 2, Z + I den andra (ekvation 22) typen tillåts täljaren vara vilket heltal som helst En ännu mer generell typ av kedjebråk fås om vi i ekvation 2 och 22 låter a 0, a, a 2, samt b, b 2, b 3,, vara vilka reella eller komplexa tal som helst och kallas då generaliserade kedjebråk Uppsatsen kommer fokusera på de mindre generella enkla kedjebråken Termen kedjebråk kommer därmed hänvisa till kedjebråken av den typ som ses i ekvationerna 2 ovan Termerna a 0, a, a 2,, kallas på engelska för partial quotients [8, kap 2] och kommer här att översättas till partiella kvoter, är heltal och a, a 2, är dessutom positiva Eftersom kedjebråken tar stor plats och är omständliga att skriva ut kommer även en förenklad form att förekomma Den förenklade formen av ekvation 2 ser ut som följer: x = [a 0 ; a, a 2, a 3, a 4, a 5, ] Kedjebråk kan också delas in i två andra grupper, nämligen de som fortsätter i oändlighet och de För mer ingående kunskaper kring knutar och trassel se exempelvis Classifying and Applying Rational Knots and Rational Tangles [4] 2

3 Kort om kedjebråkens historia INLEDNING som är ändliga Ändliga kedjebråk beskriver rationella tal 2 z = a 0 + a + a 2 + an + a n (23) som i ekvation (23) där a 0 Z, a,, a n Z + och n N Ekvation 23:s förenkling får den här formen: z = [a 0 ; a, a 2, a 3,, a n, a n ] Värdet av varje oändligt kedjebråk är ett irrationellt tal 3 som ekvation 2 ovan En slutsats, som kommer bevisas senare, är att varje kedjebråk beskriver ett reellt tal och omvänt kommer det också att bevisas att varje reellt tal kan skrivas som ett kedjebråk 3 Kort om kedjebråkens historia I stora drag är den historiska delen hämtad från History of Continued Fractions and Padé Approximants [], som jag starkt kan rekommendera för den intresserade Kedjebråk liksom de flesta andra områden inom matematiken har vuxit fram och utvecklats genom århundradena Exempelvis använde den indiska matematikern Aryabhata kedjebråk runt 550 före vår tideräkning Det finns också spår av kedjebråk från exempelvis det antika Grekland men även från arabiska matematiker Som vi ska se senare så finns starka kopplingar mellan Euklides algoritm och kedjebråk; dock finns inga bevis för att Euklides själv räknade med dem Under andra hälften av 500-talet började europeiska matematiker intressera sig för kedjebråk Två italienare vid namn Rafael Bombelli respektive Pietro Antonio Cataldi utvecklade då tekniker för att hitta approximationer till kvadratrötter genom kedjebråk Utvecklingen fortsatte så först med engelsmannen John Wallis som visade flertalet grundläggande egenskaper hos kedjebråken och som dessutom var först med att använda termen continued fraction [8, 7, s 30] Det går att argumentera för att nästa steg i den processen togs av framförallt Leonard Euler men också av Joseph Louis Lagrange vilka tog fram bevis för rationella och irrationella tals kopplingar till kedjebråken Det gyllene århundradet för kedjebråken får ändå anses vara 800-talet Varje matematiker visste då vad kedjebråk var och många av dem bidrog därmed till ämnets utveckling En hel del fokus lades nu också på kedjebråkens användningsområden Några exempel är transcendenta tal, ortogonala polynom och Padé-approximationer [, kap 5, s4] 4 Uppsatsens upplägg Uppsatsen kommer alltså behandla kedjebråk Fokus ligger på en del grundläggande definitioner och satser som kommer att bevisas Exempel för att göra metoder eller räkningar tydligare kommer att finnas i varje kapitel Utgångspunkten blir en sats som gäller de rationella talen och hur dessa kan skrivas som ändliga och, nästan, unika kedjebråk Följande avsnitt behandlar konvergens och att ett kedjebråk kan definieras som ett gränsvärde vilket leder in på approximationer av irrationella tal I nästa kapitel bevisas att varje irrationellt tal kan skrivas som ett oändligt kedjebråk, men också att det omvända gäller, det vill säga, varje oändligt kedjebråk representerar ett irrationellt tal Här kommer vi bland annat att överskådligt behandla talet π och några approximationer av det Den avslutande delen kommer behandlar vi de lite mer intrikata satserna om kedjebråk och vi kommer nu att gå in på de kvadratiska irrationella talen, på engelska ofta kallade quadratic surds Det kommer bevisas att dessa tal har periodiska kedjebråk vilket mynnar ut i en metod för att approximera 2 Rationella tal Q = { p q ; p, q Z och q 0 } [9, s 4] 3 Irrationella tal är de reella tal som inte kan skrivas som en kvot av heltal [9, s 5] 3

4 Uppsatsens upplägg INLEDNING kvadratrötter Slutligen kommer än mer specifika irrationella tal, de reducerade kvadratiska irrationella talen, undersökas och vi kommer då kunna använda dessa bevis för att lösa Pells ekvation 4

2 KEDJEBRÅK OCH RATIONELLA TAL 2 Kedjebråk och rationella tal Vi börjar med att visa på ändliga kedjebråks koppling till rationella tal Det finns flera olika vägar att visa kopplingen men satserna och bevisen är här i stort byggda på CD Olds [8, kap 4] variant eftersom jag tycker att de är lättöverskådliga Leonard Euler [3, 362-363, s 306-308] bevisade dock att varje rationellt tal kan skrivas som ett ändligt kedjebråk men använder då inte :or i täljarna Nedan gäller om inget annat uppges att a 0 Z och a, a 2, Z + Sats 2 Varje rationellt tal kan skrivas som ett ändligt kedjebråk och omvänt representerar varje ändligt kedjebråk ett rationellt tal Borträknat undantaget [a 0 ; a,, a n ] = [a 0 ; a,, a n, ] är dessutom kedjebråket unikt De partiella kvoterna a 0, a, a 2,, a n är de successiva kvoterna i Euklides algoritm Bevis För att bevisa detta utgår vi från ett rationellt tal, x = p q x = p q = a 0 + r q, där p, q Z och q > 0 Vi får då 0 r < q där a 0 Z är valt så att q > r 0, det vill säga a 0 är det minsta heltal som är mindre än p q Om r = 0 är vi klara, annars fortsätter vi processen och skriver ekvationen enligt Vi fortsätter för q r p q = a 0 + r q = a 0 + q och får r, 0 < r < q q r = a + r 2 r, 0 r 2 < r, a > 0 Om r 2 = 0 är vi klara, annars kan vi på samma sätt som ovan skriva Vi kan då alltså skriva in q r q = a +, 0 < r 2 < r r r r 2 i det ursprungliga uttrycket p q och får p q = a 0 + a + r, 0 < r 2 < r < q r 2 Samma uträkningar iterativt leder slutligen, eftersom r > r 2 > > r n = 0, till att kedjebråket är avslutat Vi får alltså x = a 0 + a + a 2 + + a n Vi har ovan visat att rationella tal kan skrivas som kedjebråk på formen [a 0 ; a,, a n ] där a 0 Z och a,, a n Z + Eftersom vi här utgår från att a 0, a,, a n i ett kedjebråk är heltal (och a,, a n dessutom positiva) består kedjebråket endast av rationella tal Då de operationer som utförs är division 5

2 KEDJEBRÅK OCH RATIONELLA TAL och addition så kommer inga irrationella tal kunna uppstå och alltså måste x vara rationellt Detta går också att visa induktivt genom att använda formeln [a 0 ; a,, a n ] = a 0 + [a, a 2,, a n ] Vi visar nu att kedjebråket för det rationella talet x är unikt, med undantaget som visas nedan Låt x = a 0 + a + + a n där a 0 enligt vår definition av kedjebråk är det största heltalet mindre än eller lika med talet självt Eftersom a + + a n >, och 0 < a + + a n < och x = a 0 + a + + a n x a 0 = a + + a n Alltså är a 0 = x Låt R = a +, vi vet då att R också är ett rationellt tal enligt beviset + a n ovan och vi kan då använda samma resonemang som för x Det vill säga a är ett heltalsdelen av R och vi vet att 0 < < Den här processen görs iterativt och vi ser att a 0,, a n, a n Z + + a n När vi sedan kommer fram till a n, vilket är det sista heltalet i kedjebråket, har vi nu inget bråk att lägga till Eftersom varje rationellt tal kan skrivas som en summa av ett heltal och en kvot så leder detta a n oss till undantaget i unikheten Ett kedjebråk på formen [a 0 ; a,, a n ] där a n kan också skrivas [a 0 ; a,, a n, ] eftersom a n = (a n ) + Ett kedjebråk på formen [a 0 ; a,, a n, ] kan å sin sida skrivas [a 0 ; a,, a n +] av samma anledning som ovan Exempel 2 Vi har exempelvis för talet 29 5 29 5 = 25 5 + 4 5 = 5 + 4 5 = 5 + 5 4 = 5 + + 4 = [5;, 4] 6

2 KEDJEBRÅK OCH RATIONELLA TAL men vi kan också skriva 29 5 = 5 + + = [5;, 3, ] 3 + Eftersom vi söker heltalsdelen av ett rationellt tal för att bilda a i så ses en tydlig koppling till Euklides algoritm 4 och här bevisas därför samma sak igen på ett nytt sätt: Bevis med Euklides algoritm Vi låter x = p q där p, q Z och q > 0 Sätt r 0 = p och r = q Det ger oss med hjälp av Euklides algoritm följande r 0 = r a 0 + r 2 r = r 2 a + r 3 r 2 = r 3 a 2 + r 4 r n = r n a n + r n+ r n = r n+ a n, 0 < r n < r n < < r 2 < r, a 0 Z, a, a 2,, a n Z + Vi ser att a i är det heltal som multiplicerat med r i+ ger det största heltalet mindre än r i och r i+2 är då resttermen Dessa kan vi sedan skriva i form av kedjebråk genom att först skriva om ekvationerna ovan på formen r 0 = r a 0 + r 2 r 0 r = a 0 + r 2 r = a 0 + r r 2 r = r 2 a + r 3 r r 2 = a + r 3 r 2 = a + r 2 r 3 r 2 = r 3 a 2 + r 4 r 2 r 3 = a 2 + r 4 r 3 = a 2 + r 3 r 4 r n = r n a n + r n+ r n r n = a n + r n+ r n = a n + r n r n+ r n = r n+ a n r n r n+ = a n Om vi sätter in dessa i ekvationen för x ovan där x = p q = r 0 r så får vi x = p q = a 0 + a + + a n + a n Exempel 22 Exempelvis för det rationella talet x = 07 462 får vi 07 = 2 462 + 47 4 Euklides algoritm är en algoritm för att hitta största gemensamma delare för två heltal p och q 7

2 KEDJEBRÅK OCH RATIONELLA TAL 462 = 3 47 + 2 47 = 7 2 + 0 Om vi istället skriver x som ett kedjebråk får vi enligt beviset med Euklides algoritm och alltså har vi 07 462 = 2 + 47 462 = 2 + 462 47 = 2 + 3 + 2 47 x = 07 462 = 2 + 3 + 7 = 2 + = [2; 3, 7] 3 + 47 2 = 2 + 3 + 7 Genom att använda Euklides algoritm ser vi snabbt vilka de partiella kvoterna i ett ändligt kedjebråk är, i det här exemplet alltså 2, 3 och 7 Vi ska nu i nästa avsnitt gå in lite djupare i en kedjebråkens beståndsdelar 8

3 KONVERGENTER 3 Konvergenter Låt k n = [a 0 ; a, a 2,, a n ] Vi kan då dela upp kedjebråket i exempelvis k = [a 0, a ], k 2 = [a 0 ; a, a 2 ] eller k 3 = [a 0 ; a, a 2, a 3 ] och så vidare Dessa kallas på engelska convergents och kommer här kallas konvergenter Varje konvergent ger en uppskattning av det tal som kedjebråket representerar Uppskattningen blir dessutom bättre och bättre ju högre värde på n = 0,, 2, i konvergenten Om vi undersöker talet x så kommer, intressant nog, vartannat värde på k ligga under x och vartannat ligga över x men alltså närma sig x för varje steg på n Härifrån kommer också namnet convergent, då kedjebråkets för talet x:s konvergenter alltså konvergerar mot x [3, 362] Ovan nämnda egenskap hos kedjebråken visar sig ha en viktig roll när det kommer till exempelvis uppskattning av irrationella tal som π eller e Det finns flera olika sätt att räkna ut dessa och jag kommer här visa ett par Det första sättet hämtar jag från CD Olds [8, kap 5] Jag vill dock reservera mig för vem som tog fram denna metod först då till exempel Euler [3, 6-8, s 299-300] visar hur formeln kan tas fram men utan själv ge någon referens eller källa Vi börjar med att definiera några värden och en formel som senare används i satsen Definition 3 p =, p 2 = 0, q = 0, q 2 = (30) p n = a n p n + p n 2 (302) q n = a n q n + q n 2 Notera att eftersom q 0 = och a n > 0 för n så får vi q = a q 0 > q 0 och q 2 = a 2 q + q 0 > q och så vidare så q n och alltså har vi: Vi ska nu visa att = q 0 q < q 2 < q 3 < < q n < (303) k n = [a 0 ; a,, a n ] = p n q n Här är några motiverande ekvationer för att visa tankesättet och för att formeln håller för några givna värden på n där vi hämtar värdena för p, p 2, q och q 2 från definition 30 k 0 = a 0p + p 2 a 0 q + q 2 = a 0 + 0 a 0 0 + = a 0 = p 0 q 0 (304) k = a 0 + a = a 0a a + a = a 0a + a + 0 = a p 0 + p a q 0 + q = p q (305) k 2 = a 0 + a + a 2 = a 0 + p p = a {}}{ 0 {}}{ 2( a 0 a + ) + ( a 0 ) a 2 ( a }{{} ) + (}{{} ) q q 0 k 3 = a 0 + a + a 2 = a 0 + a a 2 + a a 2 + = a 0a a 2 + a 0 + a 2 a a 2 + a 2 = a 2p + p 0 a 2 q + q 0 = p 2 q 2 a 2 + a 3 p 2 p = a {}}{{}}{ 3( a 0 a a 2 + a 0 + a 2 ) + ( a 0 a + ) a 3 (a a 2 + }{{} = (306) = a 0a a 2 a 3 + a 0 a + a 0 a 3 + a 2 a 3 + a a 2 a 3 + a + a 3 = (307) ) + ( a }{{} q 2 q ) = a 3p 2 + p a 3 q 2 + q = p 3 q 3 och så vidare Vi använder oss nu av ovanstående räkningar samt definition 30 till följande lemma 9

3 KONVERGENTER Tabell : Konvergenter n 2 0 i a n a 0 a a i p n 0 p 0 p p i q n 0 q 0 q q i k n = pn p 0 p 0 q n q 0 q 0 p n = a n p n + p n 2 q n = a n q n + q n 2 n = 0,,, i p i q i Lemma 32 För varje x R + håller [a 0 ; a,, a n, x] = xp n + p n 2 xq n + q n 2 (308) Bevis Vi visar likheten för n = 0 och n = genom att stoppa in dessa värden i ekvationen (308) n = 0 : n = : xp + p 2 = x + 0 xq + q 2 x 0 + = x xp 0 + p xq 0 + q = xa 0 + x + 0 = a 0 + x = [a 0; x] Om vi nu gör antagandet att ekvation 308 håller för varje x så kan vi se att [ [a 0 ; a,, a n, x] = a 0 ; a,, a n, a n + ] = x = (a n + x )p n + p n 2 (a n + x )q n + q n 2 = a np n + x p n + p n 2 a n q n + x q n + q n 2 = = x(a np n + p n 2 ) + p n x(a n q n + q n 2 ) + q n = xp n + p n xq n + q n Induktivt kan vi då dra slutsatsen att formeln då håller för alla reella tal Sats 33 Om [a 0 ; a, a 2, ] är ett kedjebråk och k n är den n:te konvergenten så gäller [a 0 ; a,, a n ] = k n = p n q n, n 0 (309) Bevis Vi använder nu lemma 32 men byter ut det reella talet x till heltalet a n och sätter sedan in detta i ekvationen så får vi k n = [a 0 ; a,, a n ] = a np n + p n 2 a n q n + q n 2 = p n q n Användningen av denna formel blir smidig och överskådlig om vi sätter in värdena i en tabell (se tabell ) Att sätta in värdena som i tabell ovan gör också de faktiska räkningarna mycket lättare vilket vi ser i följande exempel Exempel 33 Låt talet x ges av kedjebråket [; 2, 3, 4, 5, 6] Nu använder vi formeln och sätter sedan upp resultaten i en tabell p n = a n p n + p n 2 p 0 = a 0 p + p 2 = + 0 = p = a p 0 + p = 2 + = 3 0

3 KONVERGENTER Tabell 2: Exempel 33 n 2 0 2 3 4 5 a n 2 3 4 5 6 p n 0 3 0 43 225 393 q n 0 2 7 30 57 972 k n = p n 3 0 43 225 393 q n 2 7 30 57 972 Motsvarande räkningar för q i ger p 2 = a 2 p + p 0 = 3 3 + = 0 p 3 = a 3 p 2 + p = 4 0 + 3 = 43 p 4 = a 4 p 3 + p 2 = 5 43 + 0 = 225 p 5 = a 5 p 4 + p 3 = 6 225 + 43 = 393 q 0 = 0 + = q = 2 + 0 = 2 q 2 = 3 2 + = 7 q 3 = 4 7 + 2 = 30 q 4 = 5 30 + 7 = 57 q 5 = 6 57 + 30 = 972 Sedan sätter vi in våra värden för a i, p i och q som vi fick fram ovan i tabell 2 Tabellen visar att x = 393 972 Konvergenterna går naturligtvis också att finna genom att ställa upp kedjebråket i sin uppställda form och därifrån helt enkelt räkna ut dem Nedan visas hur det går till, notera dock att detta blir mer och mer omständligt ju längre kedjebråket är Exempel 332 Samma exempel som ovan skulle ge k 0 = [] = k = [; 2] = + 2 = 2 2 + 2 = 3 2 k 2 = [; 2, 3] = + 2 + = + 6 3 + = + 3 7 = 7 7 + 3 7 = 0 7 3 3 k 3 = [; 2, 3, 4] = + 2 + 3 + 4 = + 2 + 3 4 = + 2 + 4 = + 30 = + 3 30 = 43 30 3 3 k 4 = [; 2, 3, 4, 5] = + = 57 57 + 68 57 = 225 57 2 + 3 + 4 + 5 = + 2 + 3 + 2 5 = + 2 + 68 2 = + 57 = 68

3 KONVERGENTER k 5 = [; 2, 3, 4, 5, 6] = + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = + 2 + 3 + 4 + 3 6 = + 2 + 3 + 30 3 = = + 2 + 42 30 = + 972 = 972 972 + 42 972 = 393 972 42 Sats 34 Talen p n och q n är relativt prima det vill säga största gemensamma delare för p n och q n är Bevis Satsen kommer att bevisas genom att använda våra värden från definition 3 och visa att denna formel håller: Kom ihåg värdena p n q n p n q n = ( ) n, n (300) p 2 = 0, p =, q 2 =, q = 0 Vi börjar nu med att visa att formeln håller för några värden på n och använder att vi i ekvation 304 definierat a 0 = p 0, q 0 samt definitionen 30 Då får vi: p n = a n p n + p n 2 q n = a n q n + q n 2 n = : p q 0 p 0 q = (a 0 a + ) a 0 a = n = 2 : p 2 q p q 2 = (a 0 a a 2 + a 0 + a 2 )a (a 0 a + )(a a 2 + ) = (30) = a 0 a 2 a 2 + a 0 a + a a 2 a 0 a 2 a 2 a 0 a a a 2 = Vi ser alltså i ekvationerna ovan att formeln från ekvation 300 håller för n = och n = 2 och vill därför visa att den håller för alla n Vi gör induktionsantagandet att formeln faktiskt håller för n = i och vill visa att om den gör det så håller den även för n = i + Från definition 30 vet vi att Om vi sätter in detta i vår formel får vi p i+ = a i+ p i + p i, q i+ = a i+ q i + q i p i+ q i p i q i+ = (a i+ p i + p i )q i p i (a i+ q i + q i ) = = a i+ p i q i + p i q i p i a i+ q i p i q i = = p i q i p i q i = ( )( p i q i p i q }{{} i ) =( ) i, enligt antagande Eftersom vi antagit att formeln håller för n = i så ser vi att p i+ q i p i q i+ = ( )( ) i = ( ) i och alltså drar vi slutsatsen att om formeln håller för n = i så håller den även för n = i + Vi har i ekvation 30 visat att formeln håller för n = 2 och vi kan då dra slutsatsen att den håller för n = 3 och så vidare 2

3 KONVERGENTER Från den här egenskapen kan vi också få fram några andra formler Genom att helt enkelt dividera formel 300 med q n q n får vi först ( ) n q n q n = p nq n p n q n q n q n = p nq n q n q n p n q n q n q n = p n q n p n q n = k n k n (302) Vi vet sedan ekvation 303 att q n > 0 när n 0 Om vi då sätter in några värden för n i ekvation 302 får vi n = : k k 0 = ( )0 q q 0 = q q 0 > 0 n = 2 : k 2 k = ( ) q 2 q = q 2 q < 0 n = 3 : k 3 k 2 = ( )2 q 3 q 2 = q 3 q 2 > 0 n = 4 : k 4 k 3 = ( )3 q 4 q 3 = q 4 q 3 < 0 Från dessa ekvationer kan vi läsa ut att k 0 < k, k 2 < k, k 2 < k 3 och k 4 < k 3 Vi kan också se att ett jämnt värde på n ger en udda exponent i ( ) n vilket ger oss ett negativt värde på kvoten ( )n q nq n Motsatt förhållande följer också naturligt för udda värden på n där kvoten blir positiv Därför kan vi generellt säga att k 2i < k 2i+ Vi kan också använda att och då generellt p 0 q 2 p 2 q 0 = a 0 0 = a 0 p n q n 2 p n 2 q n = (a n p n + p n 2 ) q n 2 p n 2 (a n q n + q n 2 ) = (303) = a n p n q n 2 + p n 2 q n 2 a n p n 2 q n p n 2 q n 2 = a n (p n q n 2 p n 2 q n ) = ( ) n a n Ekvation 303 kan sedan delas på samma sätt som ekvation 302 och vi får då ( ) n a n q n q n 2 = p nq n 2 p n 2 q n q n q n 2 = p n q n p n 2 q n 2 = k n k n 2 (304) Här kan vi liksom i ekvation 302 använda egenskapen hos q n och sätta in några värden på n så får vi n = 2 : k 2 k 0 = ( )2 a 2 q 2 q = a 2 q 2 q 0 > 0 (305) n = 3 : k 3 k = ( )3 a 3 q 3 q = a 3 q 3 q < 0 n = 4 : k 4 k 2 = ( )4 a 4 q 4 q 2 = a 4 q 4 q 2 > 0 Ur dessa ekvationer kan vi då läsa ut att k 0 < k 2, k 3 < k och k 2 < k 4 Om vi nu sätter ihop dessa samband med k 0 < k, k 2 < k, k 2 < k 3 och k 4 < k 3 så får vi Generellt kan vi då för jämna värden på n visa att k 0 < k 2 < k 4 < k 3 < k k 2i > k 2i 2, i 0 3

3 KONVERGENTER Vi visar det genom att använda ekvation 304 Hur ser det då ut för k 2(i+) > k 2(i+) 2? Vi använder formeln från ekvation 304 k n k n 2 = ( )n a n q n q n 2 k 2(i+) k 2(i+) 2 = k 2i+2 k 2i = ( )2i+2 a 2i+2 q 2i+2 q 2i > 0 (306) Eftersom exponenten 2(i + ) är jämn och alla a n, n är positiva så får vi en positiv term i täljaren Vi har ovan i ekvation 303 visat att q n, n 0 vilket ger en positiv nämnare och alltså är kvoten positiv Samma resonemang för udda värden på n ger ty k 2i+ < k 2i, i 0, k 2i+3 k 2i+ = ( )2i+3 a 2i+3 q 2i+3 q 2i+ < 0 (307) Eftersom exponenten 2i + 3 denna gång är udda, vilket ger en negativ etta, och resten av termerna är positiva så får vi en kvot som är negativ Så från ekvation 302 får vi ut att varje konvergent med jämnt värde på n är mindre än konvergenten med det udda värdet n + men också mindre än konvergenten med det udda värdet n Samtidigt får vi enligt ovan att konvergenter med jämna värden på n bildar en monotont växande följd k 0 < k 2 < k 4 <, till skillnad från konvergenterna med udda värde på n som bildar en monotont avtagande följd k > k 3 > k 5 > Vi ser här ovan att vi har två stycken följder, den första bestående av konvergenterna med jämnt värde på n Z +, det vill säga k 2n Och den andra där konvergenterna med udda värde på n Z + återfinns, k 2n+ Vi ser också att följden k 2n har en övre gräns i k vilket innebär att k 2n är en monotont växande följd med en övre gräns Det innebär att k 2n växer mot ett gränsvärde På motsvarande sätt kan vi konstatera att k 2n+ avtar mot ett gränsvärde Sats 35 Konvergenterna med jämnt respektive udda index av ett kedjebråk bildar två följder, den ena växer monotont och den andra avtar monotont När dessa följder är oändliga har de gränsvärden och gränsvärdena är lika Bevis Att följderna är monotont växande respektive avtagande bevisades ovan i ekvationerna 306 respektive 307 Eftersom a n är positiva för n och q n är positiva för n 0 så kan vi från ekvationerna 302 och 304 konstatera att k 2n < k 2n+2, k 2n > k 2n+ och k 2n < k 2n Vi kan alltså ställa upp konvergenterna enligt k 0 < k 2 < k 4 < < k 2n < < k 2n < < k 5 < k 3 < k Vi kan direkt läsa ut att k 0 är en undre gräns när i 0 för k 2n+ och på samma sätt är k en övre gräns för k 2n Vi vet från tidigare att k n k n = ( )n q nq n (ekv 302), och ser också att k n k n går mot noll när i går mot oändligheten eftersom q n växer med n enligt ekvation 303 Alltså är gränsvärdena samma värde, vi kan kalla det x, och vi får k 0 < k 2 < < k 2n < x < k 2n < < k 3 < k Beviset ovan ger oss följande definition Definition 36 Värdet av ett kedjebråk definieras som: x = lim n k n = lim n [a 0; a,, a n ] 4

3 KONVERGENTER Tabell 3: Exempel 36 n 2 0 2 3 4 a n 4 2 p n 0 4 5 9 4 37 q n 0 2 3 8 p n q n 4 5 9 2 4 3 37 8 k n numeriskt 4 5 4, 5 4, 667 4, 625 När det gäller rationella tal blir gränsvärdet det samma som den sista konvergenten alltså k n för maximalt värde på n, vilket kanske lättast visas med ett exemplel Exempel 36 För det rationella talet 37 8 får vi 37 8 = 4 + 8 5 = 4 + + 5 3 = 4 + + + 3 2 = 4 + + + + 2 Och vi ser i tabell 3 att k 0 = 4 < k 2 = 4, 5 < k 4 = 4, 625 < k 3 4, 667 < k = 5 = [4;,,, 2] Konvergenter och gränsvärden blir också viktiga i nästa avsnitt som rör de irrationella talens relation till kedjebråk 5

4 KEDJEBRÅK OCH IRRATIONELLA TAL 4 Kedjebråk och irrationella tal Ovan i avsnitt 2 har kopplingen mellan rationella tal och kedjebråk visats Här kommer vi gå in på kopplingen mellan irrationella tal och kedjebråk vilket görs genom att använda konvergenter som beskrivs i avsnitt 3 Lemma 4 Om x = [a 0 ; a, a 2, ] så är a 0 = x och om vi låter x beteckna [a ; a 2, ] så kan vi skriva x = a 0 + x Bevis Enligt sats 35 så vet vi att k 0 < x < k Vi vet också från avsnittet om konvergenter (3) att formeln k n = an p n +p n 2 a n q n +q n 2 håller och enligt den är k 0 = a 0 och k = a 0 + a Därför kan vi skriva a 0 < x < a 0 + a Vi vet också sedan tidigare att a och kan då härleda olikheten vilket ger oss a 0 < x < a 0 + 0 < x a 0 < (408) x = a 0 Sats 42 Varje irrationellt tal kan skrivas som ett unikt oändligt kedjebråk Bevis För att specificera sats 42 till att gälla irrationella tal så visar vi att kedjebråket aldrig slutar vilket innebär att resten i den partiella kvoten aldrig blir 0 Låt nu x 0 vara ett givet irrationellt tal och skriver det i form av ett kedjebråk x 0 = [a 0 ; x ] = a 0 + x, a 0 Z, x R x = x 0 a 0 Från detta kan vi dra slutsatserna att 0 < x < enligt ekvation 408 och x är irrationellt eftersom att subtrahera ett rationellt tal från ett irrationellt tal ger ett irrationellt tal 5 Eftersom x är ett irrationellt tal så kan det uttryckas i form av ett kedjebråk precis på samma sätt som x 0 Vi får x = [a ; x 2 ] = a + x 2, a Z, x 2 R x 2 = x a Precis samma slutsatser kan dras från x 2 som vi gjorde ovan för x det vill säga x 2 är irrationellt och 0 < x 2 < x 2 > Till detta lägger vi att a eftersom a enligt vår definition är det största positiva heltal som är mindre än x Dessa uträkningar kan vi fortsätta med så länge resttermen inte blir 0, vilket alltså aldrig inträffar då x n 0: x 0 = a 0 + x, x >, (409) x = a + x 2, x 2 >, a, x 2 = a 2 + x 3, x 3 >, a 2, 5 Vi använder oss av regeln att användning av de fyra räknesätten på med rationella tal alltid ger ett rationellt resultat Exempelvis måste ζ vara rationellt om α och β är rationella i: α + β = ζ I vårt fall har vi att ζ är irrationellt och α rationellt vilket ger ζ α = β ζ = β + α om då β också vore rationellt så måste ζ vara rationellt vilket är en motsägelse, alltså är β irrationellt [7, kap 4] 6

4 KEDJEBRÅK OCH IRRATIONELLA TAL x n = a n + x n+, x n+ >, a n Här är alltså x n irrationella tal och a n heltal Det enda sättet som processen kan ta slut är om något x i = a i vilket ju alltså är en omöjlighet Substituerar vi då in de partiella kvoterna av x, x 2, i ekvation 409 så får vi därför ett oändligt kedjebråk x 0 = a 0 + = a 0 + x a + = a 0 + a + x 2 = a 2 + x 3 Vidare kan vi visa entydigheten genom att först låta x = [a 0 ; a, a 2, ] = [b 0 ; b, b 2, ] Då vet vi enligt lemma 4 att x = a 0 = b 0 och eftersom x = a 0 + [a ;a 2,] = b 0 + [b ;b 2,] så är ju även [a ; a 2, ] = [b ; b 2, ] Iterativt kan vi då fortsätta med samma uträkning och induktivt dra slutsatsen att a n = b n för alla n Vi har nu ovan visat att varje irrationellt tal kan skrivas som ett unikt oändligt kedjebråk Nästa steg blir att visa att även det omvända gäller Detta gör Niven [6, Avsnitt 73] på ett smidigt sätt och beviset nedan är därför baserat på det Sats 43 Det tal som ett oändligt kedjebråk representerar är irrationellt Bevis Varje tal x = [a 0 ; a, a 2, ], ligger enligt sats 35 mellan sina jämna och udda konvergenter, det vill säga Vi kan skriva om denna olikhet till k 2n < x < k 2n+ 0 < x k 2n < k 2n+ k 2n (4020) Nu använder vi oss av ekvationen k i k i = ( )i q i q i (ekv 302) och får k 2n+ k 2n = ( ) 2n q 2n+ q 2n = q 2n+ q 2n Om vi nu lägger in detta i olikheten från ekvation 4020, multiplicerar med q 2n och kommer ihåg att k i = p i q i så får vi q 2n 0 < x q 2n k 2n q 2n < q 2n+ q 2n 0 < x q 2n p 2n < q 2n+ Om då x vore rationellt så skulle vi kunna skriva x = a b vilket om vi multiplicerar med b ger 0 < a b q 2n p 2n < q 2n+, 0 < a q 2n b p 2n < b q 2n+ där a, b Z och b > 0: Vi vet från tidigare (ekv 303) att q 2n+ växer med n vilket ger oss möjligheten att välja ett n tillräckligt stort så att q 2n+ > b Nu har vi dock hamnat i ett problem: a och b är heltal, q 2n och p 2n är också heltal Om vi subtraherar ett heltal från ett heltal så får vi ett heltal men för tillräckligt stora n så är alltså b q 2n+ < och olikheten blir då en motsägelse Alltså måste x vara irrationellt 7

4 KEDJEBRÅK OCH IRRATIONELLA TAL Ett intressant exempel på ett irrationellt tal 6 är π Här exemplifieras några uträkningar av dess kedjebråksform genom att använda konvergenter Exempel 43 Det irrationella talet π kan, som ovan beskrivits i sats 42, skrivas som ett oändligt kedjebråk Att få fram kedjebråket i sin helhet är lika omöjligt som det är att numeriskt skriva ut π med alla sina alla decimaler Jag ska här därför visa och i tabeller åskådliggöra först hur ett kedjebråk gjort från en vanlig approximation av π π 3, 459 (402) kan hittas Sedan jämföra den med en approximation som bildas genom att använda de partiella kvoter som Euler [3, s 326] skriver ut i kedjebråksutvecklingen för talet π, nedan kallad Eulers π som ger en bättre approximation av π π 3, 459 = 3459 00000 = 3 + 459 00000 = 3 + 00000 = 3 + = 3 + = 3 + = 3 + 7 + 459 7 + 7 + 7 + 887 5 + 5 + 5 + = 3 + + 33 854 + + 7 + = 3 + 25 + 33 25 + 29 [3; 7, 5,, 292,, ] (4022) 5 + 854 887 7 + = 3 + + 7 + 4 = 3 + 5 + 7 + 459 7 + + 854 5 + 33 + = 3 + 5 + 887 = 854 25 + 7 + 887 459 = + 4 29 = [3; 7, 5,, 25,, 7, 4] = = (4023) 6 Euler [3, s 0] skriver att om man låter radien till en cirkel vara så går det inte att exakt bestämma omkretsen men att en approximation till halva cirkelns omkrets är 345926535897, men för korthets skull så kommer han att använda π Detta är förmodligen första gången som Euler använder bokstaven π för ändamålet Enligt David Eugene Smith [, s 346-347] ska den grekiska bokstaven π först ha använts av William Jones (675-749), en självlärd matematiker, som i ett samlingsverk skrivet 706 använder π Verket sägs vara skrivet till intresserade vänner som inte förväntas orka läsa alla böcker om matematik 8

4 KEDJEBRÅK OCH IRRATIONELLA TAL Tabell 4: Approximation av pi n 2 0 2 3 4 5 6 7 a n 3 7 5 25 7 4 p n 0 3 22 333 355 9208 9563 7649 3459 q n 0 7 06 3 293 3044 24239 00000 k n = p n 3 22 333 355 9208 9563 7649 3459 q n 7 06 3 293 3044 24239 00000 Tabell 5: Eulers π n 2 0 2 3 4 5 6 a n 3 7 5 292 p n 0 3 22 333 355 03993 04348 20834 q n 0 7 06 3 3302 3325 6637 k n = p n 3 22 333 355 03993 04348 20834 q n 7 06 3 3302 3325 6637 ( Vi använder mu formeln från ekvation 309 k n = p n = a ) np n + p n 2 och sätter in respektive värde q n a n q n + q n 2 i tabell 4 Här har vi alltså i uträkningen avrundat π till 3, 459 och utifrån dessa decimaler räknat ut kedjebråket och dess konvergenter Konvergenterna ger oss i sin tur bättre och bättre uppskattningar av talet som vi utgår från och vi ser att den sista konvergenten helt överensstämmer med talet Tabell 5 visar motsvarande värden för Eulers π, en bättre approximation av π [3; 7, 5,, 292,, ] Vi ser i tabellerna att konvergenterna överensstämmer till och med i = 3 och vid jämförelse av de numeriska värdena som fås från konvergenterna så går det att avgöra från vilken decimal som talen skiljer sig åt Detta åskådliggörs i tabell 6 Talet π = 3, 45926535897 = [3; 7, 5,, 292,,,, 2,, 3, ] kan jämföras med några av konvergenterna från 3, 459: 3 = 3, 0 har rätt heltal men fel från första decimalen, 22 7 = 3, 4286 rätt heltal och två rätta decimaler och 355 3 = 3, 45929 Redan vid i = 3 får vi alltså ett värde som är rätt till sjunde decimalen Det bör dock noteras att efter i = 3 så skiljer sig kedjebråken och konvergenterna av 3, 459 från π s I tabell 6 ser vi att 3, 459 s konvergenter just konvergerar mot 3, 459 och efter i = 4 ser vi att konvergenterna och de numeriska värdet för Eulers π, istället konvergerar mot ett tal närmre π än 3, 459 En intressant detalj kring just π är att dess partiella kvoter inte heller senare verkar visa upp någon regelbundenhet till skillnad mot en annan känd utveckling nämligen den som ges av e e = [2;, 2,,, 4,,, 6, ] = 2 + + 2 + + + 4 + + + 6 + Om vi manipulerar kedjebråket för e genom att subtrahera så ser vi att regelbundenheten blir än 9

4 KEDJEBRÅK OCH IRRATIONELLA TAL Tabell 6: Konvergenter och numeriska värden n 0 2 3 4 5 6 Konvergenten till Konvergenten till Numeriskt värde Numeriskt värde p n p n 3, 459, Eulers π, 3, 459 Eulers π q n 3 22 7 333 06 355 3 9208 293 9563 3044 3459 00000 q n 3 22 7 333 06 355 3 03993 3302 04348 3325 20834 6637 3, 0 3, 0 3, 4285 3, 4285 3, 450 3, 450 3, 45929 3, 45929 3, 4589 3, 45926530 3, 45900 3, 45926539 3, 459 3, 4592653467 mer tydlig e = [;, 2,,, 4,,, 6, ] Det går även att manipulera kedjebråket av π för att få regelbundenhet men då måste vi frångå den enkla form som här har använts Euler [3, 368, s 30-32] visar exempelvis att π 4 = 2 + 2 + 2 + 3 2 5 2 2 + 72 Vi ska nu gå in på mer specifika typer av irrationella tal 2 + 20

5 PERIODISKA KEDJEBRÅK 5 Periodiska kedjebråk I det här avsnittet ska bland annat visas att periodiska kedjebråk representerar det som på engelska heter quadratic surd och här översätts till kvadratiskt irrationellt tal Definition 5 Ett kvadratiskt irrationellt tal är ett tal som kan skrivas på formen a + b d, a, b, c Z, c > 0 och där d inte är en perfekt kvadrat c Ett ekvivalent villkor till definitionen är följande lemma Sats 52 Ett tal är kvadratiskt irrationellt om och endast om det är en lösning på en kvadratisk ekvation αx 2 + βx + γ = 0, α, β, γ Z, där d = β 2 4αγ inte är en perfekt kvadrat (5024) Bevis Ett kvadratiskt irrationellt tal, x, kan enligt definition 5 skrivas som x = a+b d c c är heltal c 0 och d är inte en perfekt kvadrat x = a + b d cx a = b d c (cx a) 2 = b 2 d c 2 x 2 2cxa + a 2 b 2 d = 0 (c 2 )x 2 (2ca)x + (a 2 b 2 d) = 0, där a, b, c och d är konstanter där a, b och Så vi ser att x ges av en kvadratisk ekvation Men om vi använder oss av ekvation 5024 så ser vi att vi kan skriva varje lösning för ekvationen på formen P ± D Q αx 2 + βx + γ = 0 x 2 + βx α = γ α ( x + β ) 2 ( ) β 2 = γ ( 2α 2α α x + β ) 2 = β2 2α 4α 2 γ α β 2 x = ± 4α 2 γ α β β 2α = ± 2 4αγ 4α 2 β 2α = ± β 2 4αγ β 2α Nu ser vi att ekvationen är på rätt form om P = β, D = β 2 4αγ och Q = 2α Nu kan vi skriva det kvadratiska irrationella talet x = P + D Q där P, Q och D är heltal Q 0 och D > 0 är inte en perfekt kvadrat Dessutom kan vi se att Q delar D P 2 β 2 4αγ ( β) 2 = 4αγ = 2γ (5025) 2α 2α Det finns egentligen två olika typer av periodiska kedjebråk som, för den här uppsatsen, är av intresse Den första typen är de kedjebråk som är fullständigt periodiska, på engelska purely periodic continued fractions, det vill säga att samma partiella kvoter upprepas om och om igen ett oändligt antal gånger Den andra typen är de kedjebråk som efter en viss punkt blir periodiska, det vill säga efter en viss partiell kvot blir periodiskt och de resterande partiella kvoterna därmed upprepas oändligt, i en bestämd ordning I bevisen och exemplen nedan kommer vi använda R n som resten av kedjebråket Definition 53 Om x = [a 0 ; a, a 2, ] så kallar vi R 0 resten eller den kompletta kvoten från a n Vi definierar så R n enligt: R 0 = [a 0 ; a, a 2, a 3, ] = x R = [a ; a 2, a 3, ] R 2 = [a 2 ; a 3, ] R n = [a n, a n+, ] 2

5 PERIODISKA KEDJEBRÅK Det innebär också att vi kan skriva x = a 0 + R R = x a 0 (5026) Ett exempel på den första typen av kedjebråk som nämnts ovan, alltså ett fullständigt periodiskt, är kedjebråket som ges av det gyllene snittet + 5 2 = + + + + = [;,,, ] Vi ser här då att om x ges av kedjebråket [;,, ] så gäller x = R 0 = R = R 2 =, enligt definition 53 Om vi då använder ekvation 5026 så får vi x = + R = + x Alltså får vi x = + x och vi får då den kvadratiska ekvationen x 2 x = 0 (x 2 )2 4 = 0 x = 2 ± 5 4 = 2 ± 5 2 x = + 5 2, x 2 = 5 2 Vi ser att det gyllene snittet är en av lösningarna på ekvationen medan den andra lösningen är negativ och faller således bort eftersom kedjebråket uppenbarligen är positivt Ett par exempel på den andra typen, de som blir periodiska efter en viss partiell kvot, är 2 och 3 Dessa förklaras också nedan i förtydligande exempel På sidan 24 visas hur vi går från kedjebråket till talet 3 och det omvända, hur vi går från 2 till dess kedjebråk, visas senare på sidan 27 2 = + 2 + 2 + 2 + < 0 = [; 2, 2, 2, ] 3 = + + 2 + + 2 + = [;, 2,, 2, ] Periodiska kedjebråk brukar i sin förkortade form skrivas med ett streck över de partiella kvoter som upprepas fallen ovan blir det då alltså [;,,, ] = [] [; 2, 2, 2, ] = [; 2] [;, 2,, 2, ] = [;, 2] Exemplen ovan ger oss de generella fallen nedan där vi i båda fallen förutsätter att det inte finns någon kortare upprepande form av partiella kvoter Nedan är talet α ett fullständigt periodiskt kedjebråk och 22

5 PERIODISKA KEDJEBRÅK talet β ett kedjebråk som blir periodiskt efter en viss partiell kvot I fall två, β, förutsätter vi dessutom att den icke upprepande delen av partiella kvoter inte innehåller en kopia av de partiella kvoter som sedan upprepas α = [a 0 ; a, a 2,, a n ] β = [b 0 ; b,, b n, b n+,, b m ], m n + I avsnittet 4 bevisades sats 43 som säger att varje oändligt kedjebråk representerar ett irrationellt tal och därför kan slutsatsen dras att de periodiska kedjebråken representerar irrationella tal Det går dock att specificera denna slutsats till en ny sats som bevisas av Euler [2, 20, s 309-3] Beviset nedan är dock i stora delar baserat på Rockett och Szüsz [0, kap 3, Theorem, s 40-4] som använder konvergenter och annan liknande terminologi från tidigare avsnitt Sats 5 Om talet x har ett periodiskt kedjebråk så är x ett kvadratiskt irrationellt tal Bevis Låt x = [a 0 ; a,, a n ] Vi kan då skriva x = [a 0 ; a,, a n, x] och enligt lemma 32 så kan vi då skriva x = [a 0 ; a,, a n, x] = xp n + p n xq n + q n x(xq n + q n ) xp n p n = 0 q n x 2 + (q n p n )x p n = 0 (5027) Eftersom kedjebråket är oändligt vet vi att x är irrationellt Vi vet också sedan tidigare att q n, q n och p n är heltal och dessutom att q n > 0 Det betyder att det bara finns irrationella lösningar till ekvationen 5027 och alltså är x ett kvadratiskt irrationellt tal Låt nu x = [a 0 ; a,, a n, a n+, a n+2,, a n+i ] Vi kan då sätta m = n + i och låter R n+ = [a n+ ; a n+2,, a m ] och vi ser nu att R n+ är ett periodiskt kedjebråk av längd i Sedan använder vi beviset ovan för att få R n+ = [a n+ ; a n+2,, a m, R n+ ] Vi har nu alltså två ekvivalenta ekvationer för x och x = [a 0 ; a,, a n, R n+ ] = R n+ p n + p n R n+ q n + q n (5028) x = [a 0 ; a,, a n, a n+, a n+2,, a m, R n+ ] = R n+ p m + p m 2 R n+ q m + q m 2 (5029) Vi kan då lösa ut R n+ ur ekvationerna enligt och på samma sätt fås x = R n+ p n + p n R n+ q n + q n x(yq n + q n ) p n = R n+ p n xq n p n = R n+ p n xr n+ q n R n+ = xq n p n p n xq n x = R n+ p m + p m 2 R n+ q m + q m 2 R n+ = xq m 2 p m 2 p m xq m (5030) Dessa ekvationer ställs sedan mot varandra och vi får en kvadratisk ekvation i x: xq n p n = xq m 2 p m 2 p n xq n p m xq m (xq n p n )(p m xq m ) = (xq m 2 p m 2 )(p n xq n ) 23

5 PERIODISKA KEDJEBRÅK Tabell 7: Exempel 5 n 2 0 2 a n 2 p n 0 2 5 q n 0 3 (q m 2 q n q n q m )x 2 + (q n p m + p n q m q m 2 p n q n p m 2 )x + + (p m 2 p n p n p m ) = 0 Vi kan dra slutsatsen direkt från ett oändligt kedjebråk att x är irrationellt och eftersom det är en lösning på en kvadratisk ekvation så är det kvadratiskt irrationellt Men det följer även av resonemanget att enligt ovan är x ett kvadratiskt irrationellt tal såvida inte q m 2 q n = q n q m, vilket skulle innebära att q m delar q m 2 q n Men vi ser från ekvation 300 att q m och q m 2 är relativt prima vilket innebär att q m måste dela q n vilket ju är omöjligt eftersom q m > q n Vilket innebär att x är ett kvadratiskt irrationellt tal Ett förtydligande exempel: Exempel 5 Vi kan utgå från exempelvis det periodiska kedjebråket x = [;, 2] och räkna ut vilket tal detta representerar Vi har alltså [;, 2] = + om vi sätter R = [; 2] så kan vi enligt 5 skriva + 2 + + 2 + x = [;, 2] = [, R ] = [;, 2, R ] Vi kan då skapa en tabell utifrån konvergenterna (se kap 3) till x: Vi kan sedan använda ekvationerna 5028 och 5029 för att få fram två ekvationer för x i R x = R + R = R + R I nästa steg löser vi ut R i båda ekvationerna Vi kan nu fortsätta med x = R 5 R 3 + = 5R + 2 3R + x = R + R xr = R + R (x ) = R = x x = 5R + 2 3R + (3R + )x = 5R + 2 3xR 5R = 2 x (3x 5)R = 2 x R = 2 x 3x 5 x = 2 x 3x 5 = (2 x)(x ) 3x 5 24

5 PERIODISKA KEDJEBRÅK 3x 5 = 2x x 2 2 + x x 2 = 3 x = 3, eftersom x uppenbarligen är positivt Sats 52 Om x är ett kvadratiskt irrationellt tal så är x ett periodiskt kedjebråk Beviset är baserat på Rockett och Szüsz [0, Second proof, Theorem 2, Chapter III] och är en version av Lagranges [5, 34-35, ss 606-609] bevis vilket anses vara det första beviset för satsen Bevis Vi vet sedan tidigare att om x = [a 0 ; a, a 2, ] så är x = a 0 och om R = [a ; a 2, ] så är x = a 0 + R vilket ger R = x a 0 Vi vet att x är ett kvadratiskt irrationellt tal, alltså på formen x = P 0+ D Q 0 Vi vill visa att R är ett kvadratiskt irrationellt tal som kan skrivas på formen P + D Q Vi söker en formel för R och vill således ha ett allmänt uttryck för P samt Q Vi samlar ihop detta och får x = R 0 = P 0 + D Q 0 R = Q 0 = x a 0 P 0 + = D Q 0 a 0 P 0 a 0 Q 0 + D ( förlänger med konjugatet av (P 0 a 0 Q 0 ) + ) D Q 0 (P 0 a 0 Q 0 ) D Q 0 (P 0 a 0 Q 0 ) D = ( P 0 a 0 Q 0 + ) ( D P 0 a 0 Q 0 ) = D P0 2 2P 0a 0 Q 0 + (a 0 Q 0 ) 2 D ( ( )) multiplicerar täljare och nämnare med = a 0 Q 0 P 0 + D ( ) D+2P0 a 0 Q 0 (a 0 Q 0 ) 2 P0 2 Q 0 Här kan vi nu plocka ut P och Q, nämligen P = a 0 Q 0 P 0 Q 0 Q = D + 2P 0a 0 Q 0 (a 0 Q 0 ) 2 P 2 0 Q 0 Notera att P är ett heltal då a 0, Q 0 och P 0 alla är heltal och Q är ett heltal, ty Q = D + 2P 0a 0 Q 0 (a 0 Q 0 ) 2 P 2 0 Q 0 = D (P 0 a 0 Q 0 ) 2 Q 0 = = D P 2 Q 0 Z, enligt ekvation 5025 Här ser vi också att Q är skilt från 0 eftersom D inte är en perfekt kvadrat Vi kan fortsätta på samma sätt för att få P 2 = a Q P Q 2 = D + 2P a Q (a Q ) 2 P 2 Q = D P 2 2 Q Nu har vi sett att även R kan skrivas på formen P + D Q och på samma sätt kan vi bestämma R 2, R 3, och alltså allmänt P n+ = a n Q n P n (503) Q n+ = D + 2P na n Q n (a n Q n ) 2 P 2 n Q n = D P 2 n+ Q n (5032) 25

5 PERIODISKA KEDJEBRÅK vilket ger Detta kan vi använda tillsammans med sats 5 och får då R n+ = P n+ + D Q n+ (5033) x = R 0 = [a 0 ; a, a 2,, R n ] = R np n + p n 2 R n q n + q n 2 Vi har ovan också visat att R n = Pn+ D Q n Vi kan då införa den konjugerade formen av R n, R n = c n som c n = P n D Q n Observera att R n alltså inte är det komplexa konjugatetvi får då c 0 = c np n + p n 2 c n q n + q n 2 c 0 (c n q n + q n 2 ) = c n p n + p n 2 c 0 c n q n + c 0 q n 2 c n p n = p n 2 c n (c 0 q n p n ) = p n 2 c 0 q n 2 c n = p n 2 c 0 q n 2 c 0 q n p n = c 0q n 2 p n 2 c 0 q n p n = q n 2 Nu använder vi att q n > q n > q n 2 > och ser att kvoten Vi kan också använda att pn q n p n 2 q n 2 q n c0 q n c 0 p n q n 2 q n < (5034) x när n (definition 36) vilket gör att vi kan skriva c 0 p n 2 q n 2 c 0 p n q n = + ɛ n, där ɛ n 0, när n (5035) Tillsammans ger då ekvationerna 5034 och 5035 att < c n < 0 för stora värden på n Detta resultat tillsammans med att vi redan vet att R n > medför att vi för stora värden på n kan dra flera slutsatser: R n c n > 0 2 D Q n > 0 Q n > 0 ty 0 < R n c n = P n + D Q n = 2 D Q n Q n > 0 P n D = P n + D (Pn D ) = Q n Q n 2 R n + c n > 0 2P n Q n > 0 P n > 0 ty 0 < R n + c n = P n + D Q n = 2P n Q n P n > 0 + P n D = P n + D + (Pn D ) = Q n Q n 3 c n < 0 P n D < 0 P n < D 26

5 PERIODISKA KEDJEBRÅK 4 c n > P n D Q n > D P n < Q n 5 R n > P n + D Q n > P n + D > Q n Nu har vi alltså att P n, Q n Z +, 0 < P n < D och 0 < D P n < Q n < D + P n vilket innebär att det finns ett ändligt antal möjliga värden på på P n och Q n och eftersom kedjebråket är oändligt så måste de upprepas Vi ser också i ekvationerna 503, 5032 och 5033 att R n+ bara är beroende av termerna från R n Det innebär att när en partiell kvot a i upprepas, det vill säga när a i = a j för i < j och när samtidigt P i = P j och Q i = Q j så kommer sekvensen av partiella kvoter efter a i och fram till a j att upprepas i samma ordning [a 0 ; a,, a i, a i+,, a j, a j+, ] = [a 0 ; a,, a i, a i+,, a j ], a i = a j Alltså är kedjebråket periodiskt efter en viss partiell kvot Ett exempel för att förtydliga hur räkningarna går till i praktiken: Exempel 52 För att hitta kedjebråket till 2 använder vi alltså formlerna Vi har sedan tidigare också att R n+ = P n+ + D Q n+ P n+ = Q n a n P n Q n+ = D P 2 n+ Q n x = [R 0 ] = R 0 x = [a 0 ; R ] = a 0 + R x = [a 0 ; a, R 2 ] = a 0 + a + R 2 och så vidare Vi börjar nu med att ta fram a 0, P 0 och Q 0 till 2 För att finna a 0 utnyttjar vi att a 0 = x och eftersom < 2 < 2 så är a 0 = Nästa steg blir att på ett enkelt vis skriva om 2 så att vi får talet på formen P 0+ D Q 0 : 2 = 0 + 2 och vi ser att D = 2, P 0 = 0 och Q 0 = Nu använder vi formlerna från ovan: P = Q 0 a 0 P 0 = 0 = Q = D P 2 = 2 2 = Q 0 R = P + D = + 2 = + 2 Q och vi kan nu skriva 2 = a 0 + R = + + 2 vilket leder till nästa steg i processen, att hitta a Precis som ovan använder vi att a = R och eftersom 2 < + 2 < 3 så får vi att a = 2 och vi kan nu använda formeln igen: P 2 = Q a P = 2 = 27

5 PERIODISKA KEDJEBRÅK Q 2 = D P 2 2 = 2 2 = Q R 2 = P 2 + D = + 2 = + 2 = R Q 2 Vi ser redan nu att processen kommer upprepas i all oändlighet och alltså får vi 2 = + Ett exempel med lite mer räkning är 29 2 + 2 + = [; 2] Exempel 522 Vi använder som tidigare formlerna P n+ = Q n a n P n, Q n+ = D P n+ 2, R n+ = P n+ + D Q n Q n+ Nästa steg är att skriva om 29 på formen P + D Q och sedan ta fram Q 0, a 0 och P 0 : Vi fortsätter med R, R 2, : 29 = R0 = 0 + 29 P 0 = 0, Q 0 =, 5 < 29 < 6 29 = a 0 = 5 P = 5 0 = 5, Q = R = 5 + 29 4 29 = a0 + R = 5 + 29 52 = 4 5+ 29 4 a = R = 2, P 2 = 4 2 5 = 3, Q 2 = 29 9 = 5 4 R 2 = 3 + 29 5 29 = [5; 2, R2 ] = 5 + 2 + 3+ 29 5 a 2 = R 2 =, P 3 = 5 3 = 2, Q 3 = 29 4 = 5 5 R 3 = 2 + 29 5 29 = [5; 2,, R3 ] = 5 + 2 + + 2+ 29 5 a 3 = R 3 =, P 4 = 5 2 = 3, Q 4 = 29 9 = 4 5 R 4 = 3 + 29 4 28

5 Reducerade kvadratiskt irrationella tal 5 PERIODISKA KEDJEBRÅK 29 = [5; 2,,, R4 ] = 5 + 2 + + + 3+ 29 4 a 4 = R 4 = 2, P 5 = 4 2 3 = 5, Q 5 = R 5 = 5 + 29 = 5 + 29 29 = [5; 2,,, 2, R5 ] = 5 + 29 25 4 2 + + + 2 + 5 + 29 a 5 = R 5 = 0, P 6 = 0 5 = 5, Q 6 = R 6 = 5 + 29 4 29 25 Nu ser vi att R 6 = R eftersom P 6 = P, Q 6 = Q och D är alltid 29 Det innebär att från och med R 6 så kommer kedjebråket att upprepa de partiella kvoterna 2,,, 2 och 0 vilket alltså innebär att kedjebråket ges av 29 = [5; 2,,, 2, 0] = = 4 I de båda exemplen ovan så kan vi notera ett intressant mönster Vi har 2 = [a 0 ; a ] där a 0 = och a = 2 Vi har också 29 = [a 0 ; a, a 2, a 3, a 4, a 5 ] där a 0 = 5, a = 2, a 2 =, a 3 =, a 4 = 2 och a 5 = 0 Vi ser då mönstret att den sista partiella kvoten i perioden är 2 a 0 i båda fallen och det ska visa sig att detta inte är någon slump 5 Reducerade kvadratiskt irrationella tal Vi har ovan visat att om x är ett kvadratiskt irrationellt tal så ges x av ett periodiskt kedjebråk Vi ska nu visa att alla reducerade kvadratiska irrationella tal, från engelskans reduced quadratic irrational [0, stycke 44, s 00], ges av fullständigt periodiska kedjebråk Dessutom ska vi visa att de irrationella tal som är kvadratrötter av icke-kvadratiska tal ges av kedjebråk på formen [a 0 ; a,, 2a 0 ] Definitionen av ett kvadratiskt irrationellt tal återfinns på sidan 2 Vi kan nu lägga till vad som gäller för att ett kvadratiskt irrationellt tal också ska vara reducerat Vi definierar ett reducerat kvadratiskt irrationellt tal som ett specialfall av kvadratiskt irrationella tal enligt följande: Definition 5 Om x = P + D Q > och < x 2 = P D Q < 0 är två rötter till en kvadratisk ekvation αx 2 + βx + γ = 0, där P = β, Q = 2α > 0 och D = β 2 4αγ > 0 och D är inte en jämn kvadrat, så säges x vara ett reducerat kvadratiskt irrationellt tal Lägg märke till att x 2 ges av det konjugerade värdet av x Utöver att P, Q och D är heltal kan vi från definitionen dra flera slutsatser: P > 0 ty x + x 2 > 0 P + D Q + P D Q = 2P Q > 0 29

5 Reducerade kvadratiskt irrationella tal 5 PERIODISKA KEDJEBRÅK 2 D > P ty x 2 = P D Q < 0 3 D P < Q ty < P D Q Q < P D 4 Q < D + P ty < P + D Q Q < P + D Så vi har alltså 0 < P < D, D P < Q < D + P < 2 D och < D Dessa olikheter gör att vi för varje fixt värde på D endast kan ha ett ändligt antal P :n och Q:n, vilket i sin tur innebär att det finns ett ändligt antal kvadratiska irrationella tal för varje fixt värde på D Observera också att det alltid finns minst ett reducerat kvadratiskt irrationellt tal för varje värde på D Låt x = b + D där b = D Då får vi trivialt att x > Låt också x 2 = b D så får vi lika trivialt att < x 2 < 0 Nu ser vi att x och x 2 är rötter till den kvadratiska ekvationen x 2 2bx + b 2 D = 0 Vi har ovan i sats 52 visat att om så kan vi skriva där R = P + D Q x = R 0 = P + D Q R 0 = a 0 + R Vi använder oss fortsättningsvis precis som tidigare att: c n = R n = x n = P D Q < 0 Låt x vara ett reducerat kvadratiskt irrationellt tal Nu ska vi visa att R också är ett reducerat kvadratiskt irrationellt tal genom att visa att R > 0 och det konjugerade värdet, R = c, ligger mellan och 0 Vi har tidigare visat att R = a + R 2 > och kan således fokusera på att visa att < c < 0 Vi har att R 0 = a 0 + R = R R 0 a 0 och om vi då tar det konjugerade värdet av R så får vi c = c 0 a 0 c = c 0 a 0 Vi vet enligt förutsättningarna att c 0 < 0 och a 0 vilket ger oss c 0 a 0 < och alltså < c < 0 Iterativt kan vi nu visa R n är ett reducerat kvadratiskt irrationellt tal, för varje n, och således är < c n < 0 Sats 52 Låt x vara ett kvadratiskt irrationellt tal Kedjebråksutvecklingen för x är då fullständigt periodisk om och endast om x är reducerat 30