De matematiska objektens natur - en matematikfilosofisk pragmatism. Rasmus Blanck

De matematiska objektens natur - en matematikfilosofisk pragmatism Rasmus Blanck Filosofiska institutionen Göteborgs universitet 2007

De matematiska objektens natur - en matematikfilosofisk pragmatism Rasmus Blanck 9 september 2007 Sammanfattning Den matematikfilosofiska diskussionen präglas av frågor kring de matematiska objektens existens samt deras natur. Vi argumenterar för att detta kan ha ett nog så stort filosofiskt värde, men att en mer pragmatisk ståndpunkt verkar fruktbar. Sällan beror sanningshalten hos matematiska eller logiska påståenden av existensen eller naturen hos de behandlade objekten. Snarare tycks de gå att använda i tillämpningar och mer abstrakta resonemang, oberoende av ontologisk status. Vi undersöker möjligheten att ontologiska antaganden påverkar matematiska resonemang och begreppsbildning, och ger ett förslag till fortsatta efterforskningar.

Innehåll 1 Det matematikfilosofiska problemet 1 1.1 Matematisk realism....................... 1 1.1.1 Platonism........................ 1 1.1.2 Logicism......................... 2 1.1.3 Empirism........................ 2 1.2 Formalism............................ 3 1.3 Intuitionism och konstruktivism................ 3 1.4 Strukturalism.......................... 4 2 Den ontologiska frågan 4 3 Den matematiska verksamheten 5 3.1 Två klassiska exempel..................... 5 3.1.1 De naturliga talen................... 5 3.1.2 De reella talen och analysen.............. 6 3.2 Modeller till mängdteorin................... 6 3.2.1 Den kumulativa hierarkin............... 6 3.2.2 Oavgörbara problem.................. 7 3.2.3 Skolem och kardinalitetsproblemet.......... 8 3.2.4 De reella talen och kontinuumproblemet....... 9 3.2.5 Existensen av 0.................... 10 4 De två svaren 10 4.1 Klassiska problem....................... 10 4.2 Oavgörbara problem...................... 11

1 Det matematikfilosofiska problemet I många år har människan förundrats över matematikens häpnadsväckande tillämpbarhet i de mest varierande sammanhang. Redan de grekiska geometrikernas abstraktion från linjer i sanden till ideala sträckor och odelbara punkter ter sig som en märklig manöver, om man ser till applikationerna främst. Dock hade detta många tillämpningar, liksom mycket av den matematik som bedrivits sedan deras dagar. Ibland har teorin föregått tillämpningarna, och emellanåt har andra vetenskaper krävt ny matematik för att kunna utföra önskade beräkningar eller modelleringar. En rad frågor hopar sig nu, varav de mest centrala är de ontologiska och epistemologiska frågorna: 1. Vad är matematiska objekt? 2. Hur kan vi ha kunskap om matematiska objekt? Ett svar på dessa ger oss även svar på andra intressanta frågor mest påträngande är väl frågan om hur det är möjligt att tillämpa matematik på processer i världen. Många typer av lösningar på de två centrala frågorna har getts, men ännu har ingen lösning presenterats som ger ett tillfredsställande, oproblematiskt svar på båda frågorna samtidigt. Ett tydligt, konkret svar på den ena tenderar att kräva mer luddig argumentation kring den andra. En exposé över några av de huvudsakliga strömningarna kan vara på sin plats, och ges här utan inbördes ordning. 1.1 Matematisk realism Realistens lösning på de centrala matematikfilosofiska frågorna är vid första anblicken enkel. Matematiska objekt existerar oberoende av de medvetanden som uppfattar och bearbetar dem, och matematik är sålunda en upptäckande inte en uppfinnande verksamhet. 1.1.1 Platonism Termen platonism går uppenbarligen tillbaka till Platon. Föreställningen om en idévärld, där fullkomliga versioner av vardagliga föremål existerar vid sidan av abstrakta begrepp, utvidgas till att omfatta även alla matematiska entiteter. Här och ingen annanstans finns de objekt matematikern hanterar: de naturliga talen, trianglar, oändliga mängder av komplexvärda funktioner, och allt annat matematikern kan önska sig. Dessa objekt saknar rumslig och tidslig utsträckning såväl som möjlighet till kausal påverkan, dessutom är de evigt bestående och oföränderliga. Våra teorem och definitioner är mer eller mindre lyckade försök att utförligt och korrekt beskriva de matematiska objekten. Som ett resultat av detta upplever platonisten att alla korrekt ställda matematiska frågor har ett sanningsvärde; antingen har frågan ett positivt svar, eller också har den det inte. Kanhända är våra sinnen inte skarpa nog att nå fram till sanningen, men likväl finns den där, oberoende av oss. Som vi skall se senare intar denna uppfattning en särställning bland de andra, både vad gäller 1

vilka ontologiska frågor som kan besvaras, som frågan om de oavgörbara problemens natur. Nackdelen med den platonistiska uppfattningen är att vår varseblivning av dessa matematiska objekt blir mycket problematisk. Om de existerar för sig själva i en egen värld, på alla sätt oberoende av vår, hur kan vi då få någon som helst information om dem? För att kunna nå någon som helst kunskap om ett objekt verkar det krävas någon form av kausal koppling mellan oss och det betraktade objektet, annars kan det knappast ens vara fråga om ett betraktat objekt. Gödel hävdade att vi besitter en särskild typ av matematisk intuition, som låter oss betrakta matematiska objekt direkt. Den epistemologiska frågan kan kanske inte betraktas som tillfredsställande besvarad. 1.1.2 Logicism Logicismen vill göra gällande att alla frågor som rör matematik kan reduceras till frågor om logik och dess natur. Sålunda är all matematisk kunskap bara en del av vår analytiska logiska kunskap, kan vetas a priori, och därmed är alla matematiska påståenden logiska sanningar. Redan Frege gjorde försök att reducera aritmetik till logik (tillsammans med lämpliga definitioner), även om hans formulering visade sig vara inkonsistent. Tanken var att naturliga tal sålunda skulle vara de objekt vars existens implicerades av denna expanderade logik. På senare år har dock konsistenta formuleringar av Freges aritmetikfilosofi givits, men det är inte så många som drar stora växlar på detta idag. Logicismen verkar inte heller lösa det ontologiska problemet. Frågan om vilka matematiska objekt som existerar reduceras till frågan om vilka logiska objekt som existerar, vilket inte heller kan anses besvarat. Kanske vill vi inte ens att logiken i sig själv skall göra existenspåståenden. 1.1.3 Empirism Empirismen hävdar att matematiska sanningar inte på något vis är a priori, i själva verket bedriver vi här empirisk forskning på samma sätt som inom vilken (natur)vetenskap som helst. Detta ger vissa svårbegripliga föreställningar om matematisk sanning. En tidig version av empirismen gav till exempel bilden att påståenden som 2 + 2 = 4 är empiriska upptäckter, något vi inte kan förstå på något annat sätt än genom vad vi observerat i världen. En modern naturalistisk version av empirism ges av bland andra Quine och Putnam. Den försvaras med den så kallade indispensability-tesen: 1 Eftersom matematiska objekt är oumbärliga i hart när alla empiriska vetenskaper är vi berättigade att postulera existensen av dessa objekt, på samma sätt som vi i någon mening hävdar att till exempel elektroner existerar. Matematik är helt enkelt den bästa förklaringsmodellen vi har, och den detroniseras från sin plats som den renaste, exakta vetenskapen, och placeras jämbördigt med annan empirisk vetenskap. 1 Termen används frekvent även i svenskspråkiga sammanhang, och jag har inte hittat någon tillfredsställande översättning. Oumbärlighets-tesen? 2

Att vi därmed skulle vara berättigade till att tro att dessa objekt existerar verkar oproblematiskt, men svaret är fortfarande otillfredsställande. Indispensability-tesen gör gällande att matematiska objekt existerar på samma sätt som till exempel elektroner, men just dessa hanteras ofta enbart som förklaringsmodeller till vissa typer av fenomen, och inte som faktiskt existerande objekt. 1.2 Formalism Formalisten betraktar matematisk verksamhet blott och bart som en lek med symboler. Givet en uppsättning symbolsekvenser (axiom och symbolmanipuleringsregler) kan vi bilda nya symbolsekvenser som följer ur de tidigare. I denna tolkning är matematiska påståenden tomma de handlar inte om någonting utöver de symboler vi skriver på papper. Detta skall inte behöva betyda att den matematiska symbolmanipulationen är meningslös; en tolkning av den formalistiska tanken är att givet någon tilldelning av mening till symbolsekvenserna, sådan att axiomen är sanna och manipuleringsreglerna sanningsbevarande, så skall de nya symbolsekvenserna också vara sanna inom den givna ramen. Därmed kan matematiker fortsätta göra vad matematiker gör bäst, och lämna de filosofiska spörsmålen till filosofer. Formalisten är realist i meningen att symbolmanipulationerna trots allt kan ge oss intressanta resultat om världen. De matematiska spelreglerna bottnar i uppförandet hos de fysikaliska strukturer vi observerar, och teorierna som skapas antas ha en riktig, meningsfull tolkning i dessa strukturer. D. Hilbert, en av de främsta företrädarna för den formalistiska ståndpunkten kan snarast betraktas som ren realist vad gäller enklare matematik den som har en uppenbar koppling till världen omkring oss. Det formalistiska synsättet uppträder då de matematiska teorierna går utöver dessa basala relationer, till exempel i fallet med oändliga mängder. Oändligheter betraktas i Hilberts formalism som ideala element: dessa entiteter behöver inte ha en konkret existens i världen, utan fungerar enbart som förenklingande element i formuleringen av teorin. Ontologin är alltså tydlig för formalisten: inga matematiska objekt existerar i någon annan mening än som streck på pappret, och vår kunskap om dem är därmed inte heller så svår att göra reda för. Däremot tycks det mer än besvärligt att förklara varför dessa symboler kan användas för att beskriva vår omvärld. 1.3 Intuitionism och konstruktivism I en något orättvis hantering av dessa båda ståndpunkter behandlar jag dem tillsammans. Intuitionisten menar att matematik är en verksamhet som bedrivs enbart i våra medvetanden. Det grundläggande begreppet för att förklara sanning är för intuitionisten inte satisfierbarhet, utan bevisbarhet. Därigenom blir sanningshalten, eller till och med meningsfullheten, hos ett matematiskt påstående enbart beroende av huruvida vi har ett bevis för det eller ej. Ett påstående som varken bevisats eller motbevisats saknar helt enkelt mening. Existensen hos ett matematiskt objekt är ekvivalent med möjligheten att explicit konstruera detta objekt. Som 3

ett resultat av dessa idéer blir en klassiskt gångbar typ av motsägelsevis oacceptabla i intuitionistens mening; bevis där vi antar ϕ, härleder en motsägelse och drar slutsatsen att ϕ måste gälla. Det enda sättet att bevisa ϕ är istället genom ett direkt, konstruktivt bevis. Oändliga mängder är problematiska för intuitionisten, den aktualiserade oändligheten kan inte existera, eftersom vi inte har någon empirisk upplevelse av den. Å andra sidan existerar potentiell oändlighet: givet ett naturligt tal kan vi konstruera dess efterföljare, dock har vi ingen metod för att samla alla dessa tänkbara efterföljare i en oändlig mängd. 1.4 Strukturalism Strukturalisten betraktar inte matematiska objekt som objekt i någon verklig mening, snarare fungerar de som platshållare i en större abstrakt struktur. Upptäckten att flera typer av mängdteoretiska konstruktioner kan användas för att representera de naturliga talen ledde till tanken att det inte är vilket objekt det är fråga om, eller vilka axiom objektet uppfyller, som är viktigt istället koncentreras uppmärksamheten till vilken plats objektet i fråga fyller i en viss struktur. Matematiska objekt har inga andra egenskaper än de som kan uttryckas i termer av de i strukturen tillgängliga relationerna. Den epistemologiska frågan anses därmed löst; vi betraktar helt enkelt de (tanke)strukturer vi har tillgång till, och ser hur platshållarna i den är relaterade till varandra. Ontologin ger större problem. Matematiska objekt behöver inte existera i sig själva, men däremot postuleras existensen av dessa abstrakta strukturer i vilka platshållarna uppträder, vilket knappast kan betraktas som ett mindre problematiskt ontologiskt åtagande. Som vi tidigare sett exempel på 2 är detta en vanlig lösning på de matematikfilosofiska problemen. Istället för att direkt försöka besvara de matematikfilosofiska frågorna reducerar vi problemet till en fråga av allmänfilosofisk natur; svaret på den ontologiska frågan blir i strukturalistens mening att överföra den ontologiska frågan till en annan typ av entiteter. Därmed finns inga specifika matematikfilosofiska problem, men inte heller har vi kommit särskilt mycket närmare ett svar. 2 Den ontologiska frågan Ingen av de ovan nämnda matematikfilosofiska skolorna 3 lyckas göra reda för och på tillfredsställande vis besvara både den ontologiska frågan och den epistemologiska frågan. Fokus kommer här att ligga på den förstnämnda problemställningen: vilka matematiska objekt existerar, och på vilket sätt har de existens? Mer specifikt kan vi som en följd av detta ställa oss den pragmatiska ontologiska frågan: Spelar det någon roll vilka matematiska objekt som existerar, och på vilket sätt de har existens? 2 Sektion 1.1.3. 3 Dessa är inte att betrakta som organiserade grupper, snarare som en samling av liknande åsikter. 4

I de två följande avdelningarna kommer vi att försöka besvara denna fråga negativt; argumentera för att ontologiska åtaganden inte påverkar matematikerns förmåga att bedriva matematisk verksamhet. 3 Den matematiska verksamheten 3.1 Två klassiska exempel 3.1.1 De naturliga talen Betrakta sekvensen av de naturliga talen: 0, 1, 2, 3,... Dessa tal används i mängder av sammanhang, allt från vardagliga observationer till verksamhet av specifikt vetenskaplig karaktär. Vi kan räkna hur många kor vi har på ängen; vi kan hålla ordning på hur många kor vi har på ängen, genom att ordna korna i en en-entydig korrespondens till en påse med stenar; vi kan dessutom bedriva avancerad matematisk vetenskap, som till exempel försöka bevisa Goldbachs hypotes. Vilken typ av ontologiska antaganden behöver vi göra för att dessa typer av verksamheter skall gå att bedriva? Som tidigare noterats finns en mängd olika svar tillgängliga. Realisten hävdar att talen existerar oberoende av oss, möjligtvis i en platonistisk himmel, som en avslutad, aktualiserad oändlig mängd av alla naturliga tal. Med den epistemologiska frågan lagd åt sidan, tillsammans med till exempel frågor om tillämpbarhet, framstår detta som en rimlig förklaring till hur vi kan bedriva matematik i någon abstrakt mening. Oavsett hur vi kommer i kontakt med dessa objekt ger dess egen existens oss möjlighet att förklara vad vår matematiska verksamhet bottnar i. En liknande förklaring kan ges vad gäller den strukturalistiska hållningen. Här är det inte existensen av naturliga tal som garanterar att vi kan begripa vad vi gör garanten är snarare strukturen hos denna sekvens. En mängd tänkbara sådana strukturer finns; alla tillräckligt lika för att, oavsett vilken vi väljer, kunna beskriva aritmetiska tankegångar. Formalistens syn på verksamheten är ännu mer rättfram. Det enda vi gör är att manipulera symboler på ett papper; symboler för vilka vi själva ställt upp regler. Inget ontologiskt åtagande alls behöver göras existensen av de streck vi drar är självklar och för alla uppenbar, och vår verksamhet går aldrig utöver detta. Den konstruktivistisk-intuitionistiska synen ger heller inget problem, naturliga tal är något vi skapar i våra huvuden. Vart och ett av dessa objekt kan vi explicit konstruera; däremot ingen avslutad oändlig mängd av dem allihop. Å andra sidan kan vi i alla vardagliga fall begränsa oss till mängden av de tal som är mindre än något visst (möjligtvis mycket stort) tal. Vad gäller frågor kring egenskaper hos alla naturliga tal besvaras dessa bäst med hjälp av induktionsprincipen, vilken också finns tillgänglig. Mot bakgrund av detta verkar det rimligt att hävda att åtminstone aritmetisk verksamhet går att bedriva på ett meningsfullt sätt, oavsett 5

vilken matematikfilosofisk lösning som åberopas, eller vilka ontologiska åtaganden som gjorts. 3.1.2 De reella talen och analysen I. Newton och G. Leibniz utvecklade under senare halvan av 1600-talet oberoende av varandra teorier för att beräkna tangenter till kurvor i planet. Dessa metoder innefattade bruket av infinitesimaler: tal som ligger tillräckligt nära noll för att kunna bortses från, men ändå är nollskilda så de kan förekomma som nämnare i divisioner. Varken Newtons eller Leibniz framställningar var konsistenta i någon egentlig mening, men idéerna var extremt fruktbara, och användes flitigt i olika typer av fysikaliska beräkning-ar. Mot slutet av 1800-talet ville man bringa reda i den infinitesimala härvan, och grunda teorierna i något konsistent system. Ett flertal defintioner av reella tal gavs, som tillät godtyckligt små element i termer av gränsvärdesbegreppet. Resultatet var definitioner av reell analys i termer av bland annat Cauchysekvenser och Dedekindsnitt. Oberoende av vilka grundvalar som används är dessa nog för att bedriva fysikaliskt intressant analys på ett koherent sätt. Med ett konstruktivistiskt synsätt ger flertalet av de olik a definitionerna upphov till icke-ekvivalenta strukturer, men för den klassiske matematikern sammanfaller de olika strukturerna till en. Inte heller inom detta område synes det uppenbart att vi finner exempel på konkreta resultat vars status påverkas av matematikerns ontologi. 3.2 Modeller till mängdteorin Mängdteorin och dess modeller bjuder på en betydligt mer komplicerad bild, vilket vi skall argumentera för här. I de tidigare presenterade, enklare fallen, tycks det vara ett oantastligt faktum att ontologi inte påverkar den praktiska matematiken. I fallet med mängdteorin verkar det oftare tänkbart att ontologiska antaganden kan vara betydelsefulla, men vi skall argumentera för att åtminstone inget av de här behandlade exemplen ger något övertygande bevis för detta. Det kan vara värt att notera att frågorna i sektionerna 3.2.1-3.2.5 är en smula svåra att strikt skilja från varandra, och kanske kan ses som olika sidor av samma(?) mynt. 3.2.1 Den kumulativa hierarkin Betrakta nu någon formulering av mängdteori, till exempel Skolem- Zermelo-Fraenkels axiomatisering tillsammans med urvalsaxiomet, ZFC. Denna teori är avsedd som en bakgrundsteori till all matematik den skall garantera existensen av alla de mängder och objekt (eller objekt kodade som mängder) som matematikern behöver för sin verksamhet. Tanken är god, men finns någon modell till ZFC? Enligt Gödels andra ofullständighetssats kan vi inte bevisa att ZFC är konsistent (och därmed har en modell) med hjälp av någon svagare teori, och inte ens med hjälp av ZFC själv. För att kunna bevisa konsistensen hos ZFC måste vi därför 6

ta till en starkare teori, men hur skall vi kunna veta att denna nya teori är konsistent? Denna teori behöver ju en än starkare teori för att vi skall kunna bevisa konsistensen. Betrakta till exempel följande sekvens av teorier: ZFC, ZFC + Con ZFC, ZFC + Con ZFC+ConZFC,... Var och en av teorierna bevisar konsistensen hos sin föregångare, tack vare att konsistenspåståendet är tillagt som ett nytt axiom, men vi kommer aldrig att nå ett slutmål där teorin bevisar sin egen konsistens. Om vi iställer angriper problemet genom att bygga upp en annan, från mängdteorin väsenskild teori kan vi möjligtvis i denna teori bevisa att ZFC är konsistent men hur skall vi kunna garantera att denna nya, starkare teori är konsistent? Vi befinner oss återigen i motsvarande situation. Den kumulativa mängdhierarkin definieras enligt: 8 < : V 0 = V n+1 = P(V n) V λ = S α<λ Vα Denna struktur används för att ge en intuitiv bild av hur modeller till mängdteorin ser ut. Vad gäller dessa är situationen något annorlunda jämfört med de tidigare behandlade exemplen. Upp till någon nivå (till exempel V ω, eller någon lämplig motsvarighet) är vår mängdstruktur rigid, och sålunda densamma i alla mängdteoretiska modeller. Denna del av hierarkin, bestående av alla hereditärt ändliga mängder, är tillräckligt lik de naturliga talen för att kunna betraktas som oantastlig. Längre upp i hierarkin kan strukturen skilja sig radikalt mellan olika modeller. Resultat från Gödel, Cohen, med flera, visar att kanske redan vid V ω+1 är bilden inte helt klar. Vi har mängdteoretiska påståenden som är oavgörbara inom ramen för ZFC, och vars svar hänger på hur en viss modell till teorin ser ut. Här är den faktiska existensen av vissa objekt direkt intressanta för att avgöra dessa typer av frågor. 3.2.2 Oavgörbara problem Hur kommer det sig att vissa frågor kan bevisas vara oavgörbara relativt ZFC? I ett svar på denna fråga tycks ontologiska antaganden spela en stor roll. De matematiska objektens status påverkar i hög grad vad det faktiskt innebär att ett påstående är oavgörbart. Givet en realistisk hållning har vi helt enkelt inte kommit tillräckligt långt i vår intuition. De matematiska objekten existerar oberoende av oss, och är konstituerade på ett visst sätt, oberoende av vår bild av dem. Problemet med oavgörbara påståenden är att vi inte med vårt inre öga har skådat de matematiska strukturerna tillräckligt klart. Frågan har ett svar, och vi behöver bara förfina vår bild av den faktiska, existerande strukturen för att avgöra problemet. Formalisten, å sin sida, är i ett annat läge. Mängdteori är en lek med symboler; vi har bestämt vilka symboler som får uppträda, vilka sekvenser av symboler som skall betraktas som acceptabla formler, vilka sekven- 7

ser av symboler som skall tas som axiom, samt vilka symbolmanipulationer vi får göra för att konstruera nya formler. För formalisten är ett oavgörbart påstående oavgörbart för att vi valt ett otillräckligt axiomsystem. Lösningen är att komplettera ett nuvarande system med nya axiom, eller att helt börja från början, med nya symboler, nya axiom, och nya regler. Här kan valet av axiom inte heller styras av några ontologiska aspekter det spelar ingen roll vilka dubiösa formuleringar eller existensantaganden vi gör valet styrs helt av matematikerns preferenser. Problemet har ingen riktig lösning, vi behöver bara omformulera vad vi trodde att vi menade. En i någon mening mellanliggande situation befinner sig intuitionisten i. Matematiska objekt är mentala konstruktioner, och existerar enbart som sådana. Vi kan inte gå ut och titta i världen för att få svar på oavgörbara problem, för några svar finns inte att få där. Strukturerna vi betraktar har inga andra egenskaper än de vi ger dem; möjligtvis kan vi omformulera våra konstruktionsmetoder, eller skärpa vår intuition, men något annat ges inte. Här tycks finnas en dikotomi mellan realister och strukturalister å ena sidan, och intuitionister, konstruktivister och formalister å den andra. De förstnämnda vet att det finns ett svar på den ställda frågan, de behöver bara skärpa sina matematiska sinnesorgan till den grad att de begriper vilket det är. Finns någon modell till mängdteorin? Om någon sådan finns behöver vi bara leta tillräckligt länge för att hitta den, eftersom den existerar oberoende av oss. Den andra gruppen kan bara acceptera att den bild de har idag inte ger svaret; nöja sig med det, eller ändra bilden. 3.2.3 Skolem och kardinalitetsproblemet Ett teorem av L. Löwenheim och T. Skolem säger att varje första ordningens teori som har en oändlig modell har en uppräknelig modell. Trots att detta är tekniskt oproblematiskt tycks det finnas några intressanta filosofiska problem kopplade till teoremet. I fallet med till exempel Peanos aritmetik är påståendet självklart: att denna teori har en uppräknelig modell lär inte förvåna någon. Ett flertal liknande fall finns, men vad gäller mängdteori uppstår en mer komplicerad situation. Om vi utgår från någon (överuppräknelig) modell A till ZFC kan vi via Löwenheim-Skolems teorem konstruera en modell B med uppräknelig domän där precis samma satser är sanna i B som i A. Bland dessa påståenden finns till exempel bevis för att det finns överuppräkneliga kardinaltal. Att det skulle finnas överuppräkneliga kardinaltal i A verkar inte så konstigt, men hur kan en modell med uppräknelig domän innehålla överuppräkneliga mängder? Lösningen ligger i själva definitionen av kardinalitetsbegreppet: två mängder sägs ha samma kardinalitet om det finns en bijektion mellan dem. En mängd som är uppräknelig i A kan alltså betraktas som överuppräknelig i B på så sätt att det i B inte finns någon bijektion mellan N och mängden i fråga. Slutsatsen som dras av detta är att kardinalitet inte kan vara ett absolut begrepp en mängd som är överuppräknelig i en modell kan mycket väl vara uppräknelig i en annan modell. 8

3.2.4 De reella talen och kontinuumproblemet G. Cantor formulerade kontinuumhypotesen enligt: 2 ℵ 0 = ℵ 1 Detta kan omformuleras till kontinuumproblemet: Finns något kardinaltal κ sådant att: ℵ 0 < κ < 2 ℵ 0 Om svaret är nej är kontinuumhypotesen sann; annars är kontinuumhypotesen falsk. Man har visat att givet att det finns någon modell till ZFC, finns modeller både där ett sådant κ existerar, såväl som modeller där inget sådant κ finns. Betrakta nu mängden av reella tal som mängden av alla delmängder till de naturliga talen. Kardinaliteten hos denna mängd är 2 ℵ 0 och frågan kan också uttryckas som: Hur många är de reella talen? Hur ett svar på frågan om de reella talens antal skall begripas är inte helt lätt att förstå. Som vi såg i sektion 3.2.3 är kardinalitet ett relativt begrepp, som varierar mellan modeller. Ett överuppräkneligt kardinaltal i en modell är inte nödvändigtvis överuppräkneligt i en annan modell, eftersom det kan finnas fler bijektioner mellan mängder i den sistnämnda. Kontinuet är sålunda olika stort i olika modeller. Vilket svar på frågan är det eftersökta, eller med andra ord: vilken av dessa modeller var det vi avsåg då vi formulerade mängdteorins axiom? Mycket har skrivits i frågan kring avsedda/oavsedda 4 modeller. I vilken mening kan en modell vara den rätta? Tag till exempel Gödels axiom V = L, som säger att det enbart är de konstruerbara mängderna (och därmed enbart de konstruerbara reella talen) som finns i modellen. I en modell där detta gäller är 2 ℵ 0 trivialt lika med ℵ 1, men varför skulle bara konstruerbara mängder finnas? 5 Trots ett konkret svar leder detta oss inte heller vidare varför skulle just en modell där V = L gäller vara den rätta modellen till mängdteorin? I realistens värld kan det mycket väl existera en avsedd modell, standardmodellen till mängdteorin. I annat fall finns åtminstone de reella talen i sig, och det krävs bara djupare tankeinsatser för att avgöra hur många de reella talen är på riktigt. Andra matematiskfilosofiska ställningstaganden ger upphov till andra svar. I de fall då matematik är konstruktioner av något slag; i medvetandet, på papper, som sociala strukturer; är det svårare att tänka sig en definitiv lösning på kontinuumproblemet, eller att hitta den avsedda modellen. Varför en modell skulle vara att föredra framför en annan tycks kräva någon typ av värdebegrepp den ena modellen skall vara bättre än den andra. Problemets lösning handlar alltså bara om vilken modell man väljer, om ens nu någon modell finns. 4 Intended/unintended i den engelska litteraturen. 5 Se vidare sektion 3.2.5. 9

3.2.5 Existensen av 0 I uppsatsen A non-constructible 1 3 set of integers [7] ger R. Solovay en definition av 0, ett exempel på en icke-konstruerbar mängd av naturliga tal, som kan definieras enligt följande: 0 existerar omm j : L L, där j är en icke-trivial inbäddning, och L är Gödels konstruerbara universum. Om 0 existerar innebär detta att det finns en obegränsad äkta klass av ordinaltal som är indiscernibilia i L, och 0 är det reella tal som kodar gödelnumren för de sanna formlerna om dessa indiscernibilia i L. Existensen implicerar också att alla överuppräkneliga kardinaltal i vårt mängdteoretiska universum V är en mängd av indiscernibilia i L, och satisfierar alla kardinaltalsaxiom som är realiserade i L. Detta innebär alltså att existensen av 0 motsäger Gödels axiom V = L. Det är inte klart huruvida 0 existerar i ZFC. Det är konsistent med ZFC att mängden inte existerar, och det har ännu inte visats vara inkonsistent att motsatsen skulle gälla. I själva verket tror många mängdteoretiker att existensen av 0 är oavgörbar inom ramen för vår vanliga mängdteori. Vid åminnelse av att reella tal kan betraktas som oändliga mängder av naturliga tal är detta alltså ett exempel på ett specifikt reellt tal, vars existens ZFC inte säger någonting om. Här föreligger sålunda ett tänkbart exempel på ett problem vars lösning tycks vara beroende av ontologi. I väntan på ytterligare mängdteoretiska landvinningar återstår dock bara att fortsätta till: 4 De två svaren 4.1 Klassiska problem Det går lätt att tänka sig att det finns en skillnad mellan olika typer av matematiska problem: vissa problem står opåverkade av ontologisk status hos de ingående objekten, medan andra har helt olika svar beroende på var, hur och om objekten existerar. De problemställningar som faller inom den första gruppen kallar vi ontologiskt invarianta; de övriga följaktligen ontologiskt varianta. I en perfekt värld är kanske alla relevanta matematiska frågor ontologiskt invarianta, och matematikfilosofi blir åtminstone för pragmatikern en fråga om tycke och smak. En annan möjlighet är att det finns en skiljelinje mellan de ontologiskt varianta och de ontologiskt invarianta frågorna, kanske i termer av något komplexitetsbegrepp eller i termer av formulerbarhet i någon viss teori. I nuläget tycks det dock inte gå att dra någon intressant slutsats om vilka frågor som faller under vilken kategori. En förhoppning var att finna någon konkret fråga där ontologisk ståndpunkt påverkade svaret. Den kanske största dikotomin är här mellan klassiska matematiker och konstruktivister. Det finns en mängd begrepp som differentieras i ett konstruktivistiskt system, men som klassiskt sammanfaller till exempel de olika definitionerna av reella tal i 3.1.2. Även 10

flertalet klassiskt bevisbara teorem går igenom för konstruktivisten bara med märkbara försvagningar i slutsatsen eller förstärkningar i premissen. En sedan länge känd observation är att konstruktivisten, i flertalet intressanta teorier, kan bevisa ϕ för varje klassiskt teorem ϕ. Detta slår hål på många, annars tänkbara, argument i denna riktning. Ett tydligt exempel är fallet med icke-kontinuerliga funktioner. Den klassiske matematikern kan bevisa ϕ = det finns en icke-kontinuerlig funktionf : R R samtidigt som konstruktivisten inte kan bevisa detta, utan bara ϕ. Å andra sidan ställer det inte till något problem för klassikern, som gärna använder lagen om det uteslutna tredje och konstaterar att ϕ följer ur detta dubbelt negerade påstående. Sålunda dög detta inte som ett exempel på en fråga som accepteras som ett problem oberoende av matematikfilosofisk ståndpunkt, och dessutom ger olika svar. Alla exempel vi studerat faller i denna eller liknande fällor, och ger därför ingen ledning eller grund för att det ens skulle vara fruktbart med ett begrepp som ontologisk invarians. Frågan kvarstår dock finns det fall där ontologin påverkar svaret på en matematisk fråga? 4.2 Oavgörbara problem Vad gäller de begrepp som studerats i sektion 3.2 finns intressanta frågor kvar. De oavgörbara problemen, till exempel, har uppenbart olika status som påståenden betraktade, beroende på ontologiska bakgrundsantaganden. De som ser matematiken som ett studium av världen har bara att titta mer noggrant på sina observationer och därefter komma till djupare insikt om problemets natur. Den andra gruppen de som betraktar matematiken som någon typ av mental konstruktion kan inte titta efter någonstans, utan kan bara hoppas på att utöka sin mentala bild med nya axiom som förklarar dessa teoretiska anomalier. Hur jakten på, och rättfärdigandet av, dessa nya axiom går till är ämnet för en kommande uppsats. 11

Referenser [1] J. R. Brown, Philosophy of Mathematics an introduction to the world of proofs and pictures, Routledge, London and New York, 1999. [2] M. Colyvan, Indispensability Arguments in the Philosophy of Mathematics in The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2004 Edition), Edward N. Zalta (ed.), URL = http://plato.stanford.edu/archives/fall2004/entries/mathphil-indis/ [3] D. Hilbert, On the infinite reprinted in From Frege to Gödel, Jean van Heijenoort (ed.), Harvard University Press, 1967. [4] V. Klenk, Intended Models and the Löwenheim-Skolem Theorem in Journal of Philosophical Logic, Vol. 5, pp. 475-489, 1976. [5] E. H. Reck & M. P. Price, Structures and Structuralism in Contemporary Philosophy of Mathematics in Synthese, Vol. 125, pp. 341-383, 2000. [6] S. Shapiro (ed.), The Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic, Oxford University Press, New York, 2005. [7] R. M. Solovay, A non-constructible 1 3 set of integers in Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 127, pp. 50-75, 1967. [8] A. S. Troelstra & D. van Dalen, Constructivism in mathematics, an introduction, North-Holland, Amsterdam, 1988. [9] W. H. Woodin, The continuum hypothesis, part 1 in Notices of the AMS, Vol. 48, Nr. 6, pp. 567-576, 2001. [10] W. H. Woodin, The continuum hypothesis, part 2 in Notices of the AMS, Vol. 48, Nr. 7, pp. 681-690, 2001. 12