Bevis i gymnasieskolans matematik

School of Mathematics and Systems Engineering Reports from MSI - Rapporter från MSI Bevis i gymnasieskolans matematik Tomas Nilsson Jun 2006 MSI Report 06073 Växjö University ISSN 1650-2647 SE-351 95 VÄXJÖ ISRN VXU/MSI/MDI/E/--06073/--SE

Bevis i gymnasieskolans matematik Tomas Nilsson 15 juni 2006 Handledare: Lars Gustafsson och Irina Asekritova. Examinator: Lennart Hellström

Sammanfattning I detta examensarbete har intervjuer med gymnasieelever och gymnasielärare genomförts för att ta reda på hur lärarna arbetar med bevisbegreppet i matematiken, vad lärarna anser om matematiska bevis, hur elever förklarar begreppet bevis samt om elever kan känna igen matematiska bevis och skilja mellan generella matematiska bevis och enskilda exempel. Syftet har varit att undersöka hur elever förklarar bevisbegreppet och om eleverna har några felaktiga föreställningar om vad ett matematiskt bevis är. Resultatet av elevintervjuerna, tillsammans med lärarintervjuerna, bildar sedan en grund till ett förslag på några lektioner som syftar till att introducera viktiga matematiska begrepp hos eleverna. Intervjuerna visar att eleverna har svårt att förklara vad ett matematiskt bevis är. De har inte tillägnat sig de grundläggande begrepp som behövs för att kunna förklara bevisbegreppet. Några elever verkar också ha svårt att skilja mellan de olika betydelserna av begreppet bevis i matematiken och i naturvetenskaperna. Lärarintervjuerna visar att lärarna uppfattar bevis som något viktigt som skall ingå i matematikkurserna, men att det kan vara svårt att motivera eleverna och att det är stor skillnad i hur stort intresse eleverna visar för matematiska bevis. Några av lärarna har också tyckt att matematiska bevis och kravet på elevernas beviskunskaper har minskat alltför mycket i dagens matematikkurser.

Innehåll 1 Inledning 4 2 Syfte och frågeställningar 5 2.1 Avgränsningar... 5 3 Metod 6 3.1 Intervjuer... 6 3.2 Val av intervjufrågor....................... 6 3.3 De fyra bevisförslagen... 7 3.4 Elever:Urvalochbeskrivningar... 8 3.5 Lärare:Urvalochbeskrivningar... 8 3.6 Genomförande och bearbetning av data............. 8 3.7 Bortfall... 9 4 Teoretisk bakgrund 10 4.1 Vad ärettmatematisktbevis?... 10 4.2 Valavaxiom... 11 4.3 Vad ärmeningenmedbevis?... 12 4.4 Olika nivåeravbevis... 13 4.5 Vad utgår de vanligaste gymnasieläromedlen ifrån?... 14 4.6 Bevisbegreppet i gymnasieskolans styrdokument........ 15 4.7 Bevisbegreppet i den nya gymnasieskolan............ 16 4.8 En närliggande undersökning... 16 5 Resultat och analys 17 5.1 Resultatavelevintervjuerna... 17 5.2 Kan eleverna förklara vad ett matematiskt bevis är?... 21 5.3 Har eleverna några felaktiga föreställningar om matematiskabevis?... 21 5.4 Vad anser lärareommatematiskabevis?... 22 5.5 Hur arbetar lärare med bevis i undervisningsgrupperna?... 23 5.6 Sammanfattning... 24 6 Diskussion och förslag till åtgärder 25 6.1 Förslag på lektioner om matematiska bevis........... 25 6.2 Förslagtillvidarestudier... 28

1 Inledning Att matematiska bevis bör vara en viktig del av skolans matematikundervisning är säkert något som de flesta matematiker och matematiklärare är överens om. Samtidigt får man lätt uppfattningen att många elever inte riktigt förstår vad ett matematiskt bevis är och har mycket svårt att genomföra bevis även för de mest grundläggande satserna och sambanden som ingår i skolmatematiken. Jag har även fått uppfattningen att dagens läroböcker i matematik lägger mindre tonvikt på bevis än vad som var fallet för 30-40 år sedan. Det verkar också vara så att många elever inte tycker att de behöver förstå och kunna genomföra matematiska bevis för att få ett godkänt betyg i matematikkurserna, trots att det i samtliga kursplaner står som krav för godkänt betyg att Eleven skiljer gissningar och antaganden från givna fakta och härledningar eller bevis [14]. Om det är sant att eleverna inte anser att förståelse för bevis krävs för ett godkänt betyg i ämnet så kan det vara intressant att studera de nationella proven närmare. Är det så att de nationella proven inte testar elevernas förståelse för bevisbegreppet tillräckligt? Undersökningar har visat att examinationen ofta styr undervisningen, att det som testas också är det som lärs in [5]. Det är också vanligt att lärare anpassar undervisningen för att elever ska klara de nationella proven, så om matematiska bevis inte finns med i tillräcklig omfattning på de nationella proven så finns det en risk att lärare väljer att lägga den mesta undervisningstiden på andra delar av matematikämnet. Jag anser personligen att bevis är en av de viktigaste beståndsdelarna av gymnasieskolans matematikkurser. Bevisen är, enligt min uppfattning, det som skiljer matematik från räkning och det som skiljer matematiken från empiriska vetenskaper. Därför bör ingen elev kunna få ett godkänt betyg i en matematikkurs utan att ha arbetat ordentligt med bevisbegreppet och i alla fall ha tillägnat sig en viss förmåga att skilja matematiska bevis från gissningar och empiriska tester. 4

2 Syfte och frågeställningar Syftet med detta examensarbete är att ge förslag på hur man kan undervisa elever om bevisbegreppet på ett framgångsrikt sätt. Som grund för detta undersöks elevers och lärares inställningar till matematiska bevis och hur de arbetar med bevisbegreppet i undervisningen och inlärningen. Hos eleverna undersöks även förståelsen för bevisbegreppet. Syftet leder till följande frågeställningar: Kan eleverna förklara vad ett matematiskt bevis är? Har eleverna några felaktiga föreställningar om matematiska bevis? I så fall vilka? Hur arbetar lärare med matematiska bevis i sina undervisningsgrupper? Hur kan man på ett framgångsrikt sätt arbeta med matematiska bevis i en undervisningsgrupp? 2.1 Avgränsningar Jag har valt att begränsa mig till gymnasiets B-kurs i matematik. Dessutom har jag valt att koncentrera mig på de geometriska delarna av kursen. Motiveringen till mitt val av begränsningar är att kurs B är den första kursen som förväntasgelitemerkunskaperän vad som anses behövas som allmänbildning. Matematik B är den första matematikkurs som inte läses på alla program, och man kan därför förutsätta att en relativt stor del av eleverna som läser eller har läst kursen har ett visst intresse för matematik och att många av dem kommer att läsa högre kurser i ämnet. Kursen måste därför ge eleverna en stabil grund att ståpåinför kommande kurser. Geometrin har jag valt för att bevisbegreppet nämns som mål i kursplanerna för första gången i samband med geometrin i kursplanen för Matematik B. Det är därför inom geometrin som de flesta elever blir introducerade till matematiska bevis. 5

3 Metod Jag kommer att använda en kvalitativ undersökning i form av intervjuer med lärare och elever för att undersöka vad elever har för uppfattningar och kunskaper om matematiska bevis och hur lärare brukar arbeta med bevis i sina undervisningsgrupper. Resultatet av intervjuerna ska bilda en grund att utgå ifrån för att ta fram förslag på hur undervisningen om matematiska bevis kan läggas upp. 3.1 Intervjuer Elevernas kunskaper om och inställningar till matematiska bevis undersöks med personliga intervjuer. På grund av att intervjuerna är relativt omfattande har en liten grupp elever, fyra stycken, intervjuats. Eleverna har valts ut slumpmässigt ur en klass på det samhällsvetenskapliga programmet. Det enda krav som ställts är att samtliga elever ska ha fåttminstettgodkänt betyg i matematik kurs B. Då samtliga elever har fyllt 18 år krävs inte målsmans samtycke, utan det räcker med elevernas personliga samtycke för att kunna genomföra intervjuerna. Jag har valt intervjuer framför skriftliga enkäter för att en intervju oftast ger djupare information än vad man kan få ut ur en enkätfråga [8]. Frågorna till elevintervjuerna presenteras i Bilaga 1. Elevintervjuerna har genomförs enskilt, med en elev i taget. Jag har också genomfört intervjuer med ett antal lärare (fem stycken) för att ta reda på vad de har för erfarenheter av undervisning om bevis och hur de brukar arbeta med bevisbegreppet i sina undervisningsgrupper. Intervjuerna med elever och lärare bildar en grund för detta arbetes huvudresultat, förslag på hur man som lärare kan arbeta med bevis i en klass eller undervisningsgrupp för att så många elever som möjligt ska förstå och få ut något positivt av det. Frågorna till lärarintervjuerna finns i bilaga 2. Samtliga intervjuer, både intervjuerna med elever och med lärare, kan beskrivas som strukturerade intervjuer [8]. Frågorna/frågeområdena är bestämda i förväg, men den exakta formuleringen av frågorna kan variera. På frågorna finns inga givna svarsalternativ, det är alltså inte fråga om någon form av muntlig enkät. 3.2 Val av intervjufrågor Intervjufrågorna togs fram genom att utgå från syftet och frågeställningarna. Intervjufrågorna valdes så att de kunde ge svar på alla frågeställningar, men så att de ibland ger lite mer information än vad som krävs. Eftersom undersökningarna varit intervjundersökningar, och inte enkätundersökningar, 6

har jag inte ställt frågorna exakt som de är formulerade och ibland inte i samma ordning, utan de har fungerat mer som ett stöd för mig som intervjuare. Vid formulering av frågorna till elevintervjuerna har jag till viss del utgått ifrån och inspirerats av Johanssons [9] frågor. Denna metod, att utgå från en tidigare genomförd enkät/intervju, är vanligt förekommande i vetenskapligt arbete och ger ofta bättre resultat jämfört med att formulera helt egna frågor [8]. 3.3 De fyra bevisförslagen För att testa om eleverna har förmåga att avgöra om ett bevis är ett bevis i matematisk mening eller inte ska de få studera fyra förslag på bevis till Pythagoras sats. De fyra bevisförslagen finns bifogade i bilaga 1. Följande typer av bevisförslag testas: 1. Kontrollräkning av ett enda specialfall, varifrån man drar generella slutsatser. Detta förslag är inte i närheten av att vara ett matematiskt bevis. 2. Generellt resonemang som bygger på likformighet. Detta är ett klassiskt bevis som tas upp i flera gymnasieböcker, exempelvis Deltaserien [3]. Beviset är generellt och korrekt, men förutsätter att likformighetsbegreppet och ett likformighetsfall är känt hos eleverna. 3. Ett specialfall av en rätvinklig triangel, med bestämda mått på sidorna, ritas upp och kvadrater ritas på kateterna respektive hypotenusan. Genom att addera areorna av kvadraterna på kateterna ser man att summan av dessa blir lika med arean av kvadraten på hypotenusan, och därifrån dras slutsatsen att Pythagoras sats är sann. Detta förslag på bevis säger inte mer än förslag 1, men många elever har troligen sett figuren i grundskolans matematikkurser. Då de kanske känner igen figuren från tidigare matematikstudier finns det kanske en risk för att de tror att detta är ett riktigt bevis för Pythagoras sats. 4. Geometriskt resonemang som utgår från en rätvinklig triangel utan bestämda mått. Beviset är inte helt fullständigt, det påstås att det vita området i mitten av figuren är en kvadrat utan att detta förklaras. Lyckas man reda ut detta, och visa att området faktiskt är en kvadrat, så är detta förslag ett godtagbart bevis för Pythagoras sats [6]. 7

3.4 Elever: Urval och beskrivningar De fyra elever som ingått i undersökningen valdes, som nämnts tidigare, ut slumpmässigt från en klass samhällsvetare. Då intervjuerna genomfördes läste eleverna sista terminen på utbildningen och hade egentligen bara ett nationellt prov i matematik C kvar i sin matematikutbildning. B-kursen i matematik hade eleverna läst för ungefär ett år sedan. De fyra eleverna kallas i denna rapport för Elev 1, Elev 2, Elev 3 och Elev 4. Eleverna hade följande betyg från B-kursen: Elev 1: Mycket väl godkänd (MVG) Elev 2: Godkänd (G) Elev 3: Väl godkänd (VG) Elev 4: Mycket väl godkänd (MVG) 3.5 Lärare: Urval och beskrivningar De fem lärare som ingått i undersökningen är alla anställda på samma skola. För att få en någorlunda rättvisande bild av vad svenska lärare anser om matematiska bevis i undervisningen har jag valt ut lärarna från olika åldersgrupper, beroende på vilket år de tog studenten. En av lärarna tog studenten på 60-talet, en på 70-talet, en på 80-talet och två på 90-talet. Då den svenska matematikundervisningen fokuserat olika mycket på bevis under olika tidsperioder så är det sannolikt att den tidsperiod då läraren själv gick iskolanpåverkar dennes åsikter. Jag har valt att inte gå djupare in på den frågan i detta arbete. 3.6 Genomförande och bearbetning av data Intervjuerna med lärarna genomfördes i lärarrummet, där det i de flesta fall gick lätt att hitta avskilda platser utan alltför mycket störande ljud runt omkring. Lärarintervjuerna genomfördes enskilt, med en lärare i taget. Elevintervjuerna genomfördes i trapphuset utanför elevernas klassrum, där jag ställt fram ett bord och två stolar, en för mig och en för eleven. Elevintervjuerna genomfördes alltså, precis som lärarintervjuerna, med en elev i taget. Platsen var egentligen inte särskilt lämplig för intervjuer, eftersom det ibland var hela klasser som gick förbi på väg till sina lektioner. Detta kan ha påverkat koncentrationen hos intervjupersonerna negativt, så att de haft svårare att sätta sig in i och försöka förstå de olika bevisförslagen. 8

I samtliga intervjuer antecknade jag intervjupersonens svar på papper. Jag använde alltså ingen bandspelare eller annan inspelningsutrustning. När man genomför strukturerade intervjuer, som i detta fall, nöjer man sig oftast med att anteckna svaren [8]. 3.7 Bortfall Av de lärare jag frågde gick alla med på att ställa upp som intervjupersoner. I elevgruppen, där jag valt ut de fyra eleverna helt slumpmässigt, var det en av eleverna som ersattes av en annan. Detta berodde inte så mycketpåatt den elev som valts ursprungligen inte ville ställa upp, utan mer på atten annan elev väldigt gärna ville vara med. Min uppskattning är att detta inte påverkar resultaten i någon stor omfattning. 9

4 Teoretisk bakgrund 4.1 Vad är ett matematiskt bevis? Det som är utmärkande för matematiken är att man söker samband som är sanna inte bara för enskilda specialfall, utan för hela klasser av objekt. Objekten kan vara exempelvis heltal, reella tal, trianglar eller cirklar. Till exempel säger Pythagoras sats att om en triangel är rätvinklig så är summan av kvadraterna på kateterna lika med kvadraten på hypotenusan. Detta samband gäller inte bara för rätvinkliga trianglar med vissa speciella mått, utan för alla rätvinkliga trianglar. Pythagoras sats är alltså ett samband som gäller för ett oändligt antal objekt, eftersom det finns oändligt många rätvinkliga trianglar. Detta medför att det är omöjligt att bevisa att satsen är sann genom att testa alla fall. Visar vi att satsen är sann för 100 olika rätvinkliga trianglar så kan vi vara säkra på att satsen är sann för dessa 100 trianglar, men det finns ju fortfarande oändligt många trianglar kvar att testa. Testar vi istället satsen på en miljard trianglar så är vi inte på något sätt närmare ett generellt bevis i matematisk mening, möjligen kan man personligen tro mer på att satsen är sann när man ser att den stämmer i fler fall. För att vi ska vara säkra på att satsen är sann i det allmänna fallet krävs en annan typ av bevis. Ivårt vardagliga liv, och även i många vetenskaper, används ofta empiriska data för att dra slutsatser [4]. En fysiker påstår kanske att en viss formel kan användas för att beskriva ett fysikaliskt förlopp, och gör sedan experiment som visar att det resultat som formeln förutsäger faktiskt stämmer överens med det experimentella resultatet. Varje lyckat experiment ser man som ett bevis för att formeln är sann. Ett klassiskt exempel är Einsteins allmänna relativitetsteori från 1915. Enligt den teorin böjs ljuset av gravitation och är gravitationen tillräckligt stark såbör man kunna observera ljusets böjning [11]. År 1919 gjordes ett berömt experiment under en solförmörkelse. Man observerade att ljuset från två avlägsna stjärnor böjdes av solens gravitation och att böjningen verkade vara precis så stor som Einstein förutsade med hjälp av den allmänna relativitetsteorins ekvationer [11]. Resultatet blev en förstasidenyhet i tidningarna, där man skrev att Einsteins relativitetsteori nu var bevisad. Senare har man gjort ytterligare tester, som även de har visat att teorin verkar vara sann. Dessa bevis är emellertid inga bevis i matematisk mening. Relativitetsteorin ska ju vara sann i alla möjliga fall, oavsett vilken massa det är som böjer ljuset. Då en massa kan anta vilket värde som helst är det omöjligt att testa teorin i alla möjliga fall. Ändå accepteras den av de flesta fysiker. Det är alltså skillnad mellan vad matematiker och företrädare för andra vetenskaper kallar för bevis. Detta kan vara förvirrande för många 10

nybörjare inom matematiken. I matematiken har bevis en annan, mycket mer strikt, betydelse [4]. Den naturvetenskapliga metoden att testa specialfall för att verifiera en teori kan med framgång användas även av matematiker för att komma fram till ett samband eller en sats som verkar vara sann, men oavsett hur många tester man gör så är det, som sagt, inte tillräckligt för ett generellt matematiskt bevis. Matematiken handlar om att ta fram allmänna samband som gäller för alla objekt av en viss typ, och då satserna uttalar sig om ett oändligt antal objekt så har det ingen betydelse hur många objekt man testar med, det finns ju ingen möjlighet att testa alla fall [4]. Ett matematiskt bevis kräver alltså en form av resonemang som är oberoende av speciella exempel. Ett matematiskt bevis är alltså inte samma sak som ett empiriskt bevis. För att visa att en sats gäller för ett oändligt antal fall (t.ex. för alla heltal, alla rätvinkliga trianglar, alla cirklar osv.) krävsenheltannanutgångspunkt. Ett matematiskt bevis kan sägas vara en logisk härledning som, i ett ändligt antal steg, bygger på tidigare bevisade satser, definitioner och axiom [4]. Axiomen är de mest grundläggande satserna. De går inte att bevisa då detinte finns några tidigare satser att bygga dem från, men kan sägas vara matematikens spelregler. Något speciellt för matematiken är alltså att man frigör sig från det specifika och istället, med hjälp av strikt logik, resonerar om det allmänna. Styrkan hos matematiken som ämne/disciplin är just detta, att kunna formulera påståenden som inte bara är sanna i enstaka exempel utan gäller generellt [6]. Den typ av bevis som används i matematiken brukar kallas för deduktiva bevis, till skillnad från de empiriska bevis som används inom många andra vetenskaper. Förenklat kan man säga att empiriska bevis genomförs genom att testa ett stort antal fall, medan deduktiva bevis genomförs genom att resonera om det allmänna på ett strikt och logiskt sätt. 4.2 Val av axiom En viktig fråga är hur man ska välja axiomen. En matematiker är relativt fri när axiom för en ny teori ska väljas, men vissa krav måste naturligtvis ställas. Ett system av axiom skall exempelvis vara motsägelsefritt och ett axiom ska inte kunna härledas ur något annat axiom [15]. Följande krav måste ställas på ett axiomsystem: 1. Systemet skall vara motsägelsefritt, vilket innebär att det inte ska vara möjligt att härleda både en sats och dess negation ut axiomen. 2. Axiomsystemet skall vara fullständigt. Man ska kunna avgöra om ett påstående som säger något om objekten i systemet är sant eller falskt. 11

3. Ett axiom skall inte kunna härledas ur ett annat axiom. I så fall bör detta axiom istället formuleras som en sats, som visas med hjälp av de andra axiomen i systemet. Om det visar sig att ett axiomsystem är motsägelsefullt så måste de satser/bevis som bygger på axiomen förkastas och nya axiom måste väljas. Att visa att de tre villkoren ovan är uppfyllda för ett visst axiomsystem är svårare än man kan tro. I ett berömt bevis från 1931 visade faktiskt matematikern Gödel att det inom varje axiomsystem finns satser som är oavgörbara, dvs. att man utgående från axiomen inte kan visa vare sig att påståendet är sant eller falskt. Detta innebär att det är omöjligt att bevisa att ett system av axiom är fullständigt [15]. Vi fördjupar oss inte mer i detta, då det ligger långt utanför uppsatsens syfte. I den klassiska matematiken (exempelvis Euklides geometri) valde man samband som är lätta att tro på med utgångspunkt i den fysiska världen (se bilaga 3). I den moderna matematiken väljer man istället axiomen utan koppling till den intuitiva föreställningen. Genom att byta ut Euklides axiom, främst det femte, mot ett annat axiom har man utvecklat andra geometrier [15]. I en sådan geometri gäller helt andra satser, till exempel kan vinkelsumman i en triangel vara större än 180 grader. En sådan geometri stämmer inte med vår vanliga intuitiva uppfattning, som gäller för geometrin i planet, men den är sann med utgångspunkt från de valda axiomen. Den nya typ av geometri som man får gäller inte i planet, utan på ytan av exempelvis en sfär. Eftersom vi inte är vana vid att tolka en sådan geometri kan vi inte använda vår vanliga intuition utan har bara axiomen att utgå ifrån. Valet av axiom är alltså grundläggande för en matematisk teori och det är därför mycket viktigt att man som matematiker klart och tydligt redovisar vilka axiom man utgår ifrån. Sammanfattningsvis kan man alltså säga att en matematisk sats är sann under förutsättning att de axiom den bygger på är sanna, och om den följer logiskt ur dessa axiom. Om axiomen sedan stämmer med människans uppfattning av den världen är i matematisk mening helt irrelevant. 4.3 Vad är meningen med bevis? Meningen med matematiska bevis är, enligt Tengstrand [15], att 1. Förklara varför en matematisk sats är sann. 2. Övertyga någon om att en sats är sann. Man kan säga att bevis inte bara visar varför en sats är sann, utan även visar hur man kom fram till att satsen är sann [10]. Till exempel kan elever 12

se hur man kommer fram till formeln för den allmänna andragradsekvationens lösningar (pq-formeln) genom att studera beviset för formeln. Formeln blir då (under förutsättning att eleverna förstår beviset/härledningen) mer begriplig för eleverna, de accepterar inte bara att den är sann utan de vet också varför den är sann och hur man kan komma fram till den. 4.4 Olika nivåer av bevis Att läsa igenom en sats man aldrig sett förr och därefter direkt sätta sig in i och försöka förstå satsens formella bevis kan vara en mycket svår uppgift för många elever. Om man inte förstår ett formellt bevis så blir man knappast övertygad om att den sats som beviset ska förklara är sann. Det kan därför vara bra att börja på en mindre formell nivå för att bekanta sig med satsen innan man går in på det formella beviset. Det är då viktigt att man betonar för eleverna att det resonemang eller de experiment man gör för att övertyga sig om satsens giltighet inte är bevis i matematisk mening, och man bör inte heller kalla det för bevis [1]. Det är viktigt att inte ge elever felaktiga föreställningar om vad ett bevis är. Elever skall, enligt betygskriteriet för godkänt betyg, kunna skilja mellan ett matematiskt bevis och ett antagande eller en gissning [14]. Det finns alltså olikasätt att övertyga sig om att en sats är sann. Det kan vara bra att dela in dessa i olika nivåer, ordnade efter grad av formalism. Ett förslag på indelning är följande [15]: 1. Naiv erfarenhet. Eleven övertygar sig om att satsen är sann genom att testadeniettfåtal specialfall, valda utan eftertanke. Ett exempel kan vara att eleven, för att övertyga sig själv om att vinkelsumman i en triangel är 180 grader, ritar upp en triangel, vilken som helst, på ett papper, river av hörnen och ser att vinklarna bildar en halvcirkel om de läggs ihop. Utifrån detta specialfall drar eleven slutsatsen att detta samband är sant för trianglar i allmänhet. 2. Kritiskt experimenterande. Eleven testar satsen i ett antal kritiska fall. Ett exempel kan vara att eleven kontrollerar om vinkelsumman i en triangel är 180 grader genom att rita upp en trubbvinklig, en rätvinklig och en spetsvinklig triangel och för varje triangel riva av hörnen och se att de tre vinklarna bildar en halvcirkel om de läggs ihop. 3. Det typiska exemplet. Eleven genomför ett korrekt bevis för ett specialfall. Beviset ska vara möjligt att generalisera till det allmänna fallet. 4. Tankeexperiment. Eleven genomför ett korrekt bevis i en generell situation. 13

Det är viktigt att göra klart för eleven att det endast är nivå 4somär ett korrekt, generellt matematiskt bevis. Nivå 3 leder också till ett korrekt bevis, men endast för ett specialfall. Nivåerna 1 och 2 är inga matematiska bevis på något sätt, men kan användas för att övertyga sig själv om att satsen verkar vara sann. 4.5 Vad utgår de vanligaste gymnasieläromedlen ifrån? För inte så länge sedan ingick Euklides geometri som en obligatorisk del av skolmatematiken, både inom det som idag motsvarar högstadiet och i gymnasieskolan [16]. Med tiden gick man emellertid mer och mer ifrån Euklides klassiska framställning, och på 1960-talet var den euklidiska geometrin nästan helt försvunnen ur grund- och gymnasieskolan [16]. Den kanske viktigaste förklaringen till detta är att Euklides axiom (se bilaga 3) är på en för låg nivå, det blir alltför omständligt och svårt att bevisa satser som verkar självklara för eleverna [16], som exempelvis att om två parallella linjer skärs av en tredje så är alternatvinklarna lika stora eller att de två vinklarna vid basen hos en likbent triangel är lika stora. Det visade sig också att många elever inte förstod särskilt mycket av bevisen, utan lärde sig dem utantill [16]. Man insåg alltså att en geometriundervisning som utgår från Euklides axiom blir i stort sett meningslös för många elever. Dagens gymnasielitteratur utgår från andra axiom än Euklides för att bevisen för exempelvis Pythagoras sats eller vinkelsumman för en triangel inte ska kräva alltför mycket förarbete. I läroboksserien Delta [3] tar man exempelvis upp kongruensfallen, ett likformighetsfall, satsen om att alternatvinklar och likbelägna vinklar är parvis lika stora om två parallella linjer skärs av en tredje samt att basvinklarna i en likbent triangel är lika stora. Dessa satser formuleras utan bevis, och kan därmed sägas utgöra de axiom från vilka geometrin byggs upp. Ur dessa samband bevisas sedan satser som exempelvis Pythagoras sats och att vinkelsumman i en triangel är 180 grader. Matematik 3000, som är en av de vanligaste gymnasieläroböckerna, tar en liknande utgångspunkt [2]. Här skriver man att satser som att basvinklarna i en likbent triangel är lika stora, att alternatvinklar och likbelägna vinklar är parvis lika stora om två parallella linjer skärs av en tredje samt att vertikalvinklar är lika stora är välkända satser. Därefter tas ett likformighetsfall upp utan bevis. Delta och Matematik 3000 verkar alltså utgå från samma axiom. Även läroboksserien Matematik från A till E [7] tar samma satser som utgångspunkter. Samtliga böcker nämner emellertid att det eller de likformighetsfall som tas upp kan bevisas, men att man hoppar över beviset. De vanligaste gymnasieläroböckerna för B-kursen verkar alltså acceptera följande geometriska satser utan bevis: 14

Om två parallella linjer skärs av en tredje så är likbelägna vinklar och alternatvinklar parvis lika stora. Med beteckningar i figur 1 så är alltså u = v (likbelägna vinklar) och u = w (alternatvinklar). Alltså är u = v = w. u w v Figur 1: v är likbelägen med u, w är alternatvinkel till u. I en likbent triangel är basvinklarna lika stora. Två trianglar är likformiga om vinklarna i den ena triangeln är lika stora som motsvarande vinklar i den andra triangeln. Dessa axiom ligger på en högre nivå än axiomen för Euklides klassiska geometri. Hade gymnasieböckerna istället utgått från Euklides så hade dessa satser istället fått härledas ur axiom och satser på lägre nivå och mycket arbete och tid hade krävts för att härleda och bevisa satser som många elever intuitivt uppfattar som självklara. 4.6 Bevisbegreppet i gymnasieskolans styrdokument Skolverket skriver om matematikämnet i allmännhet att ett mål att sträva efter är att eleverna utvecklar sin förmåga att följa matematiska resonemang samt redovisa sina tankegångar muntligt och skriftligt [13]. Vidare skriver man, under rubriken Ämnets karaktär och uppbyggnad, att man i matematiken arbetar med väldefinierade begrepp och bygger upp teorier genom att logiskt och strikt bevisa att formulerade hypoteser är giltiga [13]. Redan här kan man alltså se att matematiska bevis är något som skall ingå i gymnasiets matematikkurser. Första gången ordet bevis dyker upp som mål i en kurs är i kursplanen för B-kursen. Där anges som mål att eleven skall kunna förklara, bevisa och vid problemlösning använda några viktiga satser från klassisk geometri [14]. Dessutom skriver man som betygskriterium för betyg godkänt i samtliga 15

kurser (alltså även för A-kursen) att eleven skall kunna skilja gissningar och antaganden från givna fakta och bevis [14]. Av Skolverkets styrdokument för matematikämnet framgår alltså att eleverna förutsätts tillägna sig viss kunskap om matematiska bevis under gymnasietiden. 4.7 Bevisbegreppet i den nya gymnasieskolan I kursplanerna för matematikämnet i den nya gymnasieskolan (GY07) verkar bevisbegreppet fåennågot större plats. Den första kurs som nämner bevisbegreppet är Matematik 2, som innehållsmässigt påminner om den nuvarande B-kursen och som främst kommer att läsas på de teoretiska utbildningarna. I förslaget till kursplan skriver Skolverket [12] att kursen ska innehålla matematisk argumentation i ett historiskt perspektiv och begreppen sats, bevis, definition och ekvivalens utifrån geometriska exemplifieringar samt jämförelser med argumentation i vardagliga sammanhang. 4.8 En närliggande undersökning Vid Linköpings universitet gjordes år 2004 en större undersökning om elevers attityder till, syn på och kunskaper om matematiska bevis [9]. Undersökningen utfördes i form av ett examensarbete av lärarstudenten Jimmy Johansson. Undersökningen var kvalitativt inriktad och genomfördes i form av en enkät och ett test. I enkäten, som delades ut i nio naturvetarklasser vid en gymnasieskola, ställdes allmänna frågor om matematiska bevis. Testet genomfördes endast av eleverna i årskurs 3, och bestod av större uppgifter där eleverna själva skulle bevisa satser, avgöra om bevis var riktiga eller ej samt förklara bevisbegreppet. Arbetet omfattade inte lärares åsikter om matematiska bevis. I Johanssons arbete drogs slutsatsen att många elever har diffusa uppfattningar om matematiska bevis. Många elever hade svårt att förklara bevisbegreppet och endast någon enstaka elev nämnde ordet axiom. Undersökningen visade dessutom att en grupp elever har en uppfattning om matematiska bevis som ligger nära det naturvetenskapliga förhållningssättet. Undersökningen visade också att det finns elever som har goda kunskaper om matematiska bevis och som ser bevisen som en del i ett större sammanhang. Johansson fann också att många elever har svårtolkade uppfattningar om vad ett matematiskt bevis handlar om. Han förklarar detta som att dessa elever troligen inte har funderat djupare kring bevisbegreppet tidigare. 16

5 Resultat och analys I detta kapitel presenteras resultatet av undersökningen och därefter används resultatet till att ge svar på de tre första frågeställningarna. I redovisningen av elevintervjuerna beskrivs ingående vad varje elev sagt under intervjun. Redovisningen av lärarintervjun är upplagd på ett något annorlunda sätt. Istället för att presentera vad varje lärare sagt har jag valt att redovisa en sammanfattning av det som samtliga lärare sagt under intervjuerna. Då undersökningen inte tar hänsyn till om elever/lärare är män eller kvinnor har jag valt att genomgående använda han som pronomen när jag refererar till personer. Skälet till detta är att förenkla språket och undvika konstruktioner som han/hon eller liknande i texten. I elevintervjuerna refererar jag ofta till Bevisförslag 1, 2, 3 och 4. Dessa bevisförslag finns beskrivna i avsnitt 3.2. Bevisförslagen, i den form eleverna fick se dem, finns bifogade som bilaga 1. 5.1 Resultat av elevintervjuerna De fyra eleverna som intervjuats har svårt att förklara vad ett matematiskt bevis är. En elev säger att han inte hållit på såmycketmeddet ochdärför inte riktigt kan förklara vad det är. Efter att ha tänkt efter en stund kommer samtliga elever att tänka på matematiska formler, som Pythagoras sats eller formeln för andragradsekvationens lösningar. Elev 1 förklarar bevis som något som bevisar en formel, och använder alltså begreppet bevis för att förklara vad ett bevis är. Eleven verkar inte tycka att bevis är så viktigtför att klara matematikkurserna, utan tycker att det räcker med att lära sig satser som glosor. Eleven vet att det är någon som kommit på att satsen är sann och accepterar detta. Eleven tycker det är viktigare att lära sig använda en sats än att förstå varför den ser ut som den gör. Eleven har övertygat sig om att Pythagoras sats är sann genom att utgå från att läraren vet vad han pratar om och utgår därför ifrån att allt som läraren sagt är sant. Eleven tycker inte att man behöver ifrågasätta detta. Trots att eleven har svårt för att förklara vad ett bevis är tycker han ändå atthanhänger med bra när läraren går igenom bevis på tavlan. Han är med på varje steg, men skulle inte kunna genomföra det själv. Elev 1 tycker inte att bevisförslag 1 är ett matematiskt bevis, för man har bara utgått från en triangel med bestämda mått. Det betyder inte att satsen gäller för andra trianglar. 17

Bevisförslag 2 tycker han verkar vara ett riktigt bevis, eftersom den inte utgår från en triangel med bestämda mått. Om det tredje bevisförslaget sägerelevenattdet stämmer, men man har bara satt in siffror. Han tycker inte att det är ett allmänt bevis eftersom det utgår från en speciell triangel. Förslag 4 tycker eleven verkar riktigt, eftersom det utgår från vilken rätvinklig triangel som helst. Eleven är med på resonemanget och ser inga svagheter i beviset. Elev 2 anser att bevis betyder att man ser att något fungerar, t.ex. när man löser andragradsekvationer med den allmänna lösningsformeln, pq-formeln och ser att formeln ger rätt svar. Det skulle då varaett bevis för att formeln är sann. Eleven har en emprisk syn på matematiska bevis, som ligger närmare naturvetenskapen än matematiken. Han säger att man egentligen inte kan veta om t.ex. Pythagoras sats är sann, utan att det troligen var någon som för länge sedan provade sig fram till den och lyckades övertyga andra om att den är sann. Sedan har satsen förts vidare till kommande generationer. Eleven tror att man i framtiden kanske kommer fram till att pq-formeln inte är sann. Han jämför här med astronomin, där man först trodde att solen rörde sig runt jorden men senare övergav denna modell till dagens, där jorden rör sig runt solen. Eleven tycker inte att han har någon nytta av att se klassiska bevis, då han tycker att de använder gamla och omoderna metoder. Då eleven ser en sats som är ny för honom så övertygar han sig om att den är sann genom att använda den och räkna många uppgifter. När han sett att han får rätt svar på uppgifterna blir han övertygad om att satsen är sann. Eleven håller med om att man kan fråga sig varför man kan lita på facit i läroboken, men säger att man nog kan utgå ifrån att den som skrivit facit vet vad han gör. Eleven tycker alltså inte att svaren i facit behöver ifrågasättas. Elev 2 tycker att bevisförslag 1 är ett riktigt bevis för Pythagoras sats. Han är med på att3 2 +4 2 =5 2 och accepterar därför att satsen är sann. Eleven nämner inget om att detta bevis utgår från ett specialfall, utan verkar acceptera det som ett allmänt bevis. Bevisförslag 2 tycker han inte är något bevis, eftersom han inte får ihop beräkningarna på slutet. På grund av dåliga kunskaper i algebra förstår eleven inte de algebraiska förenklingarna och tycker därför att beviset inte säger honom något. Om bevisförslag 3 säger eleven att det är ett riktigt bevis och att det 18

fungerar bra. Han ser inga svagheter med beviset, utan accepterar det som bevis för att Pythagoras sats är sann. Bevisförslag 4 tycker eleven inte är ett bevis, eftersom han inte tror på att det vita området är summan av kvadraterna på kateterna. Eleven tycker att det låter konstigt och att bevisförslag 4 därför inte är något godtagbart bevis. Elev 3 säger att bevis betyder att man visar att ett påstående stämmer genom att räkna ut det grundligt. Eleven kan inte förklara mer ingående vad han menar med räkna ut det grundligt. Den här eleven tycker att det är kul att jobba med matematiska bevis. Han tycker inte det är så svårt att hänga med på bevisgenomgångar och tycker att det är mycket lärorikt. Han tycker att matematiska bevis ökar förståelsen och gör att det blir lättare att komma ihåg formlerna. Som exempel på en sats tar eleven upp derivatans definition, dvs. att derivatan i en punkt med x-koordinat a är gränsvärdet av (f(a + h) f(a))/h då h går mot noll. Eleven säger att han sett bevis för att formeln är sann, men kommer inte ihåg hur man gjorde och kan inte genomföra beviset nu. Att eleven tar upp denna formel beror antagligen på atthanläser C-kursen och har jobbat mycket med derivata under kursen. Man kan se här att eleven har svårt att skilja mellan sats och definition, han tar upp derivatans definition som en sats och ser definitionens motivering som ett bevis för satsen. Eleven säger att han har övertygat sig om att Pythagoras sats är sann genom att ha räknat många uppgifter och sett att han alltid får rätt svar när han använder den. Efter lite eftertanke inser han dock att det inte räcker med att använda en sats för att övertyga sig om att den är sann. Han inser att det behövs någon form av bevis. Eleven säger att han vet att det finns bevis för Pythagoras sats och att han därför kan tro på den. Han tror att han skulle kunna bevisa pythagoras sats om man fick mäta, men kan inte utveckla detta vidare. Bevisförslag 1 tycker eleven inte är ett allmänt bevis. Han säger att om måtten är riktiga så är det ett bevis för att satsen stämmer i det fallet, men inte för andra trianglar. Bevisförslag 2 tycker han är ganska krångligt. Eleven säger att han inte hängde med riktigt, men tycker att det verkar OK. Han säger att det är bra att sidorna betecknas med bokstäver och inte med siffror. Om bevisförslag 3 säger han att det stämmer för detta fall, men det hade varit bättre att göra det med bokstäver. 19

Det fjärde bevisförslaget har eleven först lite svårt att förstå, då haninte kommer ihåg vad ordet katet betyder. Efter att ha fått det förklarat, och han läst igenom beviset igen, tycker han att det verkar stämma. Eleven tycker att det verkar vara ett bevis för satsen. Elev 4 förklarar bevis med att man kan visa hur det är, t.ex. Pythagoras sats. Eleven kan inte förklara vad det innebär att visa och går istället in på hurmankanräkna ut okända sträckor i rätvinkliga trianglar genom att använda satsen. Eleven sägeratthantyckeratt visa-uppgifter är svårare än andra uppgifter och tycker bästomatt lösa vanliga uppgifter, där man kommer fram till ett svar och kan kontrollera mot facit om man gjort rätt. Han tycker ändå att genomgångar av bevis kan vara intressanta, dåmanfår förklaringar till varför satsen ser ut som den gör. Som exempel på en sats tar eleven upp lutningen på en linje, att den kan beräknas med formeln y/ x. Eleven har inte funderat närmare påvarför man räknar ut lutningen på det viset, utan har lärt sig det utantill genom att räkna många uppgifter. Elev 4 har övertygat sig om att Pythagoras sats är sann genom att räkna många uppgifter där den används och har sett att han alltid får rättsvardå han använder satsen. Eleven inser att han egentligen inte vet säkert om satsen är sann, men har lärt sig det och utgår från att det är sant. Om bevisförslag 1 säger elev 4 att det inte är något bevis, eftersom man bara utgår från ett fall. Bevisförslag 2 har eleven svårt för, han säger att han aldrig sett en sådan uträkning. Efter att ha läst igenom beviset ytterligare en gång säger han att det verkar OK, om man antar att likformigheten är sann. Här visar eleven på ennågot djupare kunskap om bevis, då han ifrågasätter varför likformigheten gäller. Han tycker att det skulle behövas bevis även för detta. Bevisförslag 3 tycker eleven är rätt bra. Han tycker inte att det är ett fullständigt bevis, eftersom det innehåller siffror och att man inte kan veta om längderna är exakta. Han ser alltså längderna på sidorna som något man mätt upp med linjal eller något annat mätinstrument. Eleven tycker att det hade varit bättre om man inte haft siffror, utan bokstäver på triangelns sidor. Det fjärde bevisförslaget tycker eleven är mer rätt än det förra (förslag 3). Eleven tycker att det verkar stämma, han säger att det är bra 20

att det inte står några siffror på triangelns sidor. 5.2 Kan eleverna förklara vad ett matematiskt bevis är? Intervjuerna med de fyra eleverna visar att de i allmänhetverkarhaen ganska oklar uppfattning om vad som menas med ett matematiskt bevis. De har svårt att förklara vad som allmänt kännetecknar ett matematiskt bevis. Ingen av de fyra eleverna nämner begreppet axiom, vilket kan förklaras med att begreppet inte ingår i kursplanerna och inte nämns i läroböckerna. Detta resultat stämmer med Johanssons [9], undersökning, som kom fram till att många elever har en diffus och oklar uppfattning om vad ett matematiskt bevis är och att eleverna knappast verkar känna till begreppet axiom och hur det förhåller sig till bevisbegreppet. Man kan även se att elever kan ha svårt för att skilja mellan matematiska bevis och bevis i andra vetenskaper, som naturvetenskap. Ordet bevis används i de flesta vetenskaper och därför kan det vara svårt för elever att inse att ordet bevis inte betyder samma sak i matematik som i t.ex. naturvetenskapen. Trots att vissa elever verkar ha en oklar uppfattning om vad ett bevis är, verkar de ändå tyckaattdetär viktigt och i någon mening intressant. Några elever tycker att det går bra att följa de olika stegen då läraren går igenom ett bevis på tavlan, men skulle inte kunna göra det själva. Eftersom de har en oklar uppfattning om vad ett matematiskt bevis är har de troligen svårt att strukturera ett bevis. De förstår varje enskilt steg i ett bevis, men har svårare att se hur de olika stegen bildar en helhet. 5.3 Har eleverna några felaktiga föreställningar om matematiska bevis? Tre av de elever som intervjuats inser att det inte räcker med att undersöka ett speciellt fall för att dra allmänna slutsatser. Trots att de har svårt att förklara vad ett bevis är, förstår de ändå att matematiken kräver något mer än kontroll av specialfall. Dessa elever verkar kunna skilja resonemang som bygger på allmänna fall från tester av enskilda specialfall. En av de elever som intervjuats (elev 2) har däremot klart felaktiga föreställningar. Eleven kan inte skilja mellan matematiska bevis och bevis inom naturvetenskapen och tycker att kontroll av satsen i enskilda specialfall räcker som bevis. Även eleverna 3 och 4 har en viss dragning åt det naturvetenskapliga hållet i sina funderingar, deras uppfattning om matematiska bevis är mer empirisk än deduktiv. Exempelvis funderar elev 3 på om måtten är 21

riktiga och att han kanske skulle kunna genomföra ett bevis om man fick mäta. Eftersom mått och mätningar hör hemma i den fysiska världen och är ett verktyg i naturvetenskap kan man säga att elev 3 och elev 4 också tänker lite åt det naturvetenskapliga hållet och har lite svårt att skilja matematiska bevis från mätningar i den fysiska världen. Hur vanlig denna missuppfattning är går inte att spekulera i på grund av det begränsade empiriska materialet, men man kan i alla fall konstatera att denna missuppfattning förekommer bland gymnasieelever som är godkända på B-kursen. Även Johansson [9] har kommit fram till att denna missuppfattning existerar bland gymnasieelever, i detta fall bland elever på det naturvetenskapliga programmet. Jag fick också enkänsla av att någon/några av de elever som ingick i intervjun tycker att ett bevis är riktigt om man använder bokstäver (variabler) och inte siffror. Enligt elev 4 hade bevisförslag 3 varit bättre om man inte använt siffror på triangelns sidor, så det verkar troligt att denna elev uppfattat bevisförslag 3 som ett riktigt bevis om man bytt ut 3 mot a, 4 mot b och 5 mot c. 5.4 Vad anser lärare om matematiska bevis? Samtliga lärare tycker att bevis är en viktig del av gymnasiets matematikkurser, men att alla satser inte behöver bevisas formellt. En av lärarna skiljer mellan visa och bevisa, där bevisa innebär att man utgår från axiom och definitioner medan visa innebär mindre formella resonemang, där man utgår från kända samband och satser. Hur mycket man kan jobba med bevis ochvilkakravmankanställa beror på vilka elever man har. I exempelvis NV-klasser kan man jobba mer formellt med bevis än i t.ex. ES-klasser på grund av att eleverna oftast har en annan inställning och ett större intresse i NV-klasserna. Allmäntverkarlärarna tycka att man ska bli mer och mer formell ju högre upp man kommer. I A-kursen kan det räcka med resonemang, i B-kuren kan det vara läge att bli lite mer formell i samband med de geometriska satserna. Lärarna tycker att det finns flera skäl till varför man ska jobba med bevis. Ett viktigt skäl är att eleverna ska se varifrån en sats kommer. Det ska inte vara trolleri för dem, utan de ska se att en sats kommer någonstans ifrån. En av lärarna tycker att bevis är ett bra sätt för eleverna att utveckla sitt matematiska språk. Får de arbeta med bevis får de ett språkligt förhållande till matematikämnet, och det är viktigt att de kan uttrycka sig med matematikspråket både muntligt och skriftligt. Bevis kan också ge intellektuell stimulans och roliga utmaningar för eleverna, och ge en tillfredsställelse när de förstår ett bevis. I frågan om eleverna är intresserade av matematiska bevis eller inte har 22

lärarna olika uppfattningar. En lärare säger att många elever hellre accepterar än förstår. En annan tycket att det beror på vilken klass man har, NV-klasser är oftast mer intresserade än andra. En av lärarna tycker att det är antingen-eller. Antingen är de väldigt intresserade och koncentrerade, eller helt ointresserade. Intresset kan bero på vilket område man jobbar med. En av lärarna har uppfattningen att de flesta verkar intresserade av geometriska bevis, men inte alls lika intresserade av algebraiska bevis eller härledningar av deriveringsregler. Flera av lärarna har uppfattningen att det är de starkare eleverna som är intresserade av bevis och tycker det är kul, medan de svagare oftast blir frustrerade när de inte förstår. De lärare som ingått i intervjun verkar vara överens om att eleverna inte tycker att beviskunskaper är viktiga för att klara matematikkurserna, i alla fall inte för att uppnå betygg.möjligen kan de tro att det nog krävs för högre betyg. 5.5 Hur arbetar lärare med bevis i undervisningsgrupperna? Genomgång på tavlan verkar vara det vanligaste sättet att undervisa om matematiska bevis. Samtliga lärare försöker få eleverna delaktiga under genomgångarna. Det är viktigt att eleverna är aktiva. Lärarna verkar tycka att det är viktigt att eleverna får bidra med någon del av beviset, så att de känner sig delaktiga. En av lärarna brukar skriva upp kända satser innan de börjar med beviset, så att man vet vad som kan vara lämpligt att utgå ifrån. Lärarna brukar inte genomföra gruppuppgifter om bevis. En av lärarna uttryckte det så att eleverna inte är riktigt mogna för att arbeta i grupp med uppgifter som de inte riktigt förstår sig på. Det blir lätt så att eleverna istället börjar prata om annat. En lärare säger att han brukar utgå från speciella exempel och sedan generalisera. Till exempel kan det vara lämpligt att, när man bevisar formeln för den allmänna andragradsekvationens lösningar, lösa en speciell ekvation parallellt. Då ser eleverna att räkningarna fungerar precis likadant i det allmänna som i det speciella fallet och inser då förhoppningsvis att det allmänna fallet egentligen inte är svårare att genomföra. En av de intervjuade lärarna har uppfattningen att matematiska bevis används väldigt lite i dagens gymnasieskola. En annan lärare jämför med när han själv läste realskolans matematik, och tycker att det har blivit för lite bevis idag. Eleverna får inte den träningen i logiskt tänkande som eleverna fick förr, vilket är olyckligt. 23

5.6 Sammanfattning Eleverna verkar i allmänhet ha en ganska dålig uppfattning om matematiska bevis. De vet inte riktigt hur ett bevis är uppbyggt eller vad det bygger på. Missuppfattningar finns också, som till exempel att det räcker med att undersöka specialfall, även om de elever som ingått i intervjun verkar ha insett att det krävs en annan typ av resonemang. Trots att eleverna har en dålig uppfattning om hur ett bevis i allmänhet är uppbyggt, verkar de ändå kunna följa varje enskilt steg i ett bevis. Det svåra är att se dessa steg som en helhet och se den logiska röda tråden i beviset. Lärarna verkar vara överens om att bevis bör ingå i gymnasiekurserna, men skiljer sig något i uppfattningen om hur mycket som ska bevisas och hur formella bevisen ska vara. De är överens om att det är viktigt för elever att ha sett bevis och att eleverna kan ha nytta av bevis, inte minst för att det utvecklar ett logiskt tänkande som de kan ha nytta av i andra ämnen och utanför skolan. Lärarna har skilda uppfattningar i frågan om elevernas intresse för matematiska bevis. Några lärare tycker att de flesta elever är intresserade, medan andra tycker att eleverna mer verkar vara intresserade av att kunna räkna med satserna än att förstå. Förklaringen till att eleverna inte tycker att de behöver förstå kan vara att proven (som är det som har störst betydelse vid betygsättning) knappt kräver eleverna på bevis. Om proven inte testar bevis så finns det en stor risk för att eleverna inte heller bryr sig om att lära sig hur bevis är uppbyggda och hur man tänker när man bevisar satser, eftersom det som testas ofta är det som lärs in [5]. 24