UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Vårterminen 2012 Flervariabelanalys för F1, KandMa1, KandFy1 och Gylärare Kursen behandlar följande ämnen: 1. Flervariabelanalys. Kursbok är Calculus: a complete course, 7th av Robert A. Adams, Christopher Essex, Pearson Canada, 2010. Följande avsnitt ingår i kursen: Kap. 10.1-7; 11.1,3; 12.1-9; 13.1-3,5; 14; 15; 16.1-6, 16.6. 17.2-3, 17.6. 2. Linjära förstaordningens system av ordinära differentialekvationer. Kursmaterial finns i studentportalen. 3. Topologi och konvergens. Kursmaterial finns i studentportalen. Kurshemsida och registrering: All material finns eller kommer att läggas i studentportalen. Studenten registrerar sig på egen hand. Detaljerad information om hur detta går till finns på websidan www.math.uu.se/student. Man kan registrera sig på studentportalen till och med den 5 februari. Undervisning Undervisning sker i form av föreläsningar (39 st) och lektioner (20 st). Preliminär tidsplan (F står för föreläsningstillfälle): F 1-4, Kap.10: Introduktion. Koordinatgeometri i rummet. Andragradsytor. Grundläggande topologiska begrepp. F 5-6 Kap.11: Vektorvärda funktioner av en variabel och rumskurvor. F 7-14 Kap.12: Funktioner av flera variabler: kontinuitet och likformig kontinuitet, partiella derivator, differentierbarhet, kedjeregeln, gradient, riktningsderivata, harmoniska funktioner, inversa- och implicita funktionssatsen, Taylorserier. Något om analytiska funktioner. F 15-17 Kap.13: Kvadratiska former (från Kap 10). Lokala egenskaper hos kritiska punkter. Globala extremvärdesproblem. Extremvärdesproblem med bivillkor, Lagranges multiplikatorer. F 18-23 Kap.14: Multipelintegraler: itererade integraler, generaliserade integraler, variabelbyte. F 24-27 Kap.15: Vektorfält, konservativa vektorfält. Kurvintegraler. Ytor och delmångfalder av R n. Ytintegraler. 1
F 28-30 Kap.16: Vektoranalys: divergens och rotation, Greens sats, Gauss sats och Stokes formel. F 31-33 Kap.16: Tillämpningar av vektoranalys. Mer om harmoniska funktioner och potentialteori. F 34 Kap.17: Derivering av integraler med parametrar. Existens och entydighet av lösningar till första ordningens ordinära differential ekvationer. Exakta ekvationer. Variation av parametrar för inhomogena andra ordningens ekvationer. F 35 Material i portalen: Linjära system av första ordningens ODE. F 36-38 Material i portalen: Funktionsföljder och funktionsserier. Punktvis konvergens och likformig konvergens. 39: Repetition Dugga En dugga äger rum den 28 mars från 8:00 till 10:00. Denna innehåller 4 uppgifter var och en värda 5 poäng. Om man får minst 10 poäng av 20 möjliga på duggan får man 5 bonuspoäng som kan tillgodoräknas inför uppgift 1 på tentamen. Således skall vederbörande inte lösa första uppgiften på tentamen. Inlämningsuppgift En inlämningsuppgift som berör linjeintegraler kommer att delas ut till F1 studenterna efter det 27-de föreläsningstillfället (d.v.s efter behandflingen av ytintegraler). Detta är ett obligatoriskt projekt för F1 och lösningarna skall vara prydligt skrivna för hand och lämnas in senast 2 veckor efter att projektet har tillhandahållits. Namn och personnummer måste skrivas på alla inlämnade blad. Tentamen Tentamen äger rum den 24 maj från 8:00 till 13:00. Denna innehåller 8 uppgifter var och en värda 5 poäng. Om man erhåller 5 bonuspoäng från duggan löser man enbart uppgifter 2-8. OBS! Resultatet från duggan tillgodoräknas enbart vid det första tentamenstillfället. Mål För godkänt betyg på kursen skall studenten kunna redogöra för begreppen gränsvärde, kontinuitet, partiell derivata, gradient och differentierbarhet för funktioner av flera variabler; kunna parametrisera kurvor och ytor; 2
Tips kunna beräkna partiella derivator till elementära funktioner; kunna använda sig av partiella derivator för att beräkna lokala och globala extremvärden - med eller utan bivillkor; kunna redogöra för multipelintegralens definition, beräkna multipelintegraler samt använda sig av multipelintegraler för att beräkna areor och volymer; kunna redogöra för begreppen kurv- och ytintegral samt kunna beräkna sådana integraler; kunna använda sig av Greens, Stokes och Gauss satser; kunna redogöra för satser om existens och entydighet av lösningar till ordinära differentialekvationer, lösa enkla exakta ekvationer och enkla linjära system av ODE; känna till begreppen likformig konvergens och likformig kontinuitet, samt kunna avgöra om en enkel funktionsföljd är likformigt konvergent; kunna exemplifiera och tolka viktiga begrepp i konkreta situationer; kunna formulera viktigare resultat och satser inom kursens område; kunna översätta problem från relevanta tillämpningsområden till för matematisk behandling lämplig form; kunna använda kursens teori, metoder och tekniker för att lösa problem inom kursens område; kunna presentera matematiska resonemang för andra. Bearbeta varje föreläsning, helst samma dag men senast till nästa föreläsning, genom att läsa och skriva rent dina föreläsningsanteckningar och genom att läsa de motsvarande avsnitten i kursboken. Anteckna det som är oklart. Fråga vid nästa undervisningstillfälle. Diskutera uppgifter och teori med dina kurskamrater. Om något är oklart under en föreläsning eller en lektion, fråga direkt. Inför lektionerna, gör så många uppgifter du hinner (bland de som finns angivna på den utdelade listan) före lektionen. På själva lektionen kan du då be om hjälp med sådana uppgifter som du har fastnat på. Ta vara på den s k Mattesupporten. Där finns amanuenser att fråga om man behöver hjälp. Uppsala, den 16 januari 2012. Wulf Staubach Jordi-Lluís Figueras Axel Husin Anders Israelsson 3
Lektionsanvisningar Inför lektion nr 1 Till lektion nr 1 bör ni förbereda (helst lösa) följande uppgifter: avs.10.1, s.567-568: 3, 5, 10, 15-19, 21, 22, 25-27, 31, 33-40 avs.10.5, s.596: 1, 5-15, 17, 19, avs.11.1, s.627-628: 5, 7, 27, 28. Inför lektion nr 2 Till lektion nr 2 bör ni förbreda följande uppgifter: avs.11.3, s.641-642: 5, 7, 9, 13, 19, avs.12.1, s.675-677: 1-5, 13-15, 17, 21, 33, 37, 39, 40, avs.12.2, s.680-681: 1, 4, 7, 9, 15-18, 20. Tillägsövning Parametrisera skärningskurvan mellan ytorna z = x 2 + 4y 2, 2x + 8y + z = 4. Svar: r(t) = ( 1 + 3 cos(t), 1 + 3 2 sin(t), 14 6 cos(t) 12 sin(t)), 0 t 2π, Inför lektion nr 3 Till lektion nr 3 bör ni förbereda följande uppgifter: avs.12.3, s.687-688: 3-8, 11, 12, 26, 27, 28, 31, 36 avs.12.4, s.692-693: 1, 5, 7, 9-11, 15, 16 avs.12.6, s.712-714: 17, 22, 23 Tillägsövningar 1. Låt f : R R vara en deriverbar funktion med begränsad derivata, dvs f (x) M för något M > 0. Visa att f är likformigt kontinuerlig. 2. Låt f : R R vara en kontinuerlig funktion. Visa att om f är periodisk, dvs om f(x + T ) = f(x) for något T > 0, så är f likformigt kontinuerlig. 4
Inför lektion nr 4 Till lektion nr 4 bör ni förbereda följande uppgifter: avs.12.5, s.702-703: 1, 3, 9, 21, 24, 33, 34 avs.12.7, s.723-724: 5, 7, 11, 14, 15, 16, 19, 26. Inför lektion nr 5 Till lektion nr 5 bör ni förbereda följande uppgifter: avs.12.8, s.734-735: 1, 3, 11, 13, 15, 16, 25-27 avs.12.9, s.740: Tillägsövningar (gamla tentaproblem) (i de tre första uppgifterna nöjer vi oss med Taylorpolynomet av grad 2) 7, 8, 9, 10. 1. Visa att sambandet ln(xy) (x 1)e y 1 = 0 definierar y som funktion av x i en omgivning av (1, 1). Visa också att denna funktion har en stationär punkt i x = 1. 2. Visa att sambandet x 2 xyz + y 2 + z 3 = 4 definierar z som funktion f av (x, y) i en omgivning av punkten (2, 1, 1) och beräkna f(2, 1). 3. Visa att sambandet z 3 + xyz 2 x 2 y 8 = 0 definierar en funktion z = f(x, y) i någon omgivning av punkten (x, y, z) = (4, 0, 2). Visa vidare att (x, y) = (4, 0) är en stationär punkt till f(x, y), dvs. att de båda partiella förstaderivatorna är noll där. Svar: (2) f(2, 1) = ( 3, 0). Inför lektion nr 6 Till lektion nr 6 bör ni förbereda följande uppgifter: avs.10.7, s.610: 23-26, avs.13.1, s.750: 1, 3, 4, 5, 9, 14, 17, 19, 22, avs.13.2, s.756: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 10. Tillägsövning (som illustrerar skillnaden mellan funktioner av flera variabler och funktioner av 1 variabel vad gäller deras möjliga lokala och globala extrempunkter) Låt f(x, y) = x 2 (1 + y) 3 + y 2. Visa att f har en enda stationär punkt (a, b), som är lokalt minimum. Visa att f(a, b) inte är funktionens minsta värde, eftersom f antar alla reella värden. (Lägg märke till skillnaden mellan detta fall och situationen för funktioner av 1 variabel där inget sådant vore möjligt.) 5
Inför lektion nr 7 Till lektion nr 7 bör ni förbereda följande uppgifter: avs.13.3, s.764-765: 1, 2, 7, 8, 9, 11, 19, 22, 24, avs.14.1, s.795-796: 13-19, 21 avs.14.2, s.802-803: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 12, 13, 15, 19, 23. Inför lektion nr 8 Till lektion nr 8 bör ni förbereda följande uppgifter: avs.14.3, s.807-808: 1, 3, 4, 5, 7, 8, 23, 26, avs.14.4, s.817-818: 1, 3, 5, 9, 11, 13, 24, 17,18, 21, 30, 37, 38. Inför lektion nr 9 Till lektion nr 9 bör ni förbereda följande uppgifter: avs.14.5, s.823-824: 1, 2, 3, 4, 7, 9, 30, avs.10.6, s.600: 1, 2, 3, 5, 7, avs.14.6, s.830: 1, 3, 6, 8, 11, avs.14.7, s.838-840: 1, 3, 5, 7. Inför lektion nr 10 Till lektion nr 10 bör ni förbereda följande uppgifter: avs.15.1, s.848-849: 2, 3, 5, 6, 13, avs.15.2, s.857: 1-4, 7, 8, avs.15.3, s.861-862: 1, 8, avs.15.4, s.869-870: 1, 2, 3, 5, 7, 8, 21, 24. Inför lektion nr 11 Till lektion nr 11 bör ni förbereda följande uppgifter: avs.16.3, s.906: 1-5, samt 1. Beräkna kurvintegralen C (e x+y y) dx + (e x+y 1) längs halvcirkelbågen i första kvadranten från origo till punkten (1, 0). 6
2. Bevisa att kurvintegralen (3x 2 + 2xy 2x y + 1) dx + (x 2 x), C där C är en väg från punkten (0, a) till punkten (1, b), är oberoende av valet av a, b och C; och bestäm integralens värde. 3. Beräkna γ y dx + x x 2 + y 2, (1) där γ löper i positiv led längs ellipsen x 2 + y2 4 = 1 från (1, 0) till (0, 2). (Svar: 1. e 1 π/8. 2. 1. 3. 3π/2.) Inför lektion nr 12 Till lektion nr 12 bör ni förbereda följande uppgifter: avs.15.5, s.880-881: 1, 2, 15, samt: Beräkna arean av en sfärisk zon, dvs. den del av en sfär som ligger mellan två parallella plan. Konkret: den yta som beskrivs av x 2 + y 2 + z 2 = a 2, b z c. (Svar: Area = 2π a (c b) för a b c a.) Vidare avs.15.6, s.886: 1, 2, 5, 7. Inför lektion nr 13 Till lektion nr 13 bör ni förbereda följande uppgifter: avs.16.1, s.896: 3, 12, 13, avs.16.3, s.906: 1, 2, 6, avs.16.4, s.912-913: 1, 19, 20, 22. Inför lektion nr 14 Till lektion nr 14 bör ni förbereda följande uppgifter: avs.16.4, s.912-913: 23-30, avs.16.5, s.916-917: 2, 3, 5. 7
Inför lektion nr 15 Till lektion nr 15 bör ni förbereda följande uppgifter: avs.16.6, s.924-925: 2, 4-8, 10, 12, 14, 15 Inför lektion nr 16 Till lektion nr 16 bör ni förbereda följande uppgifter: avs.17.2, s.945-946: 11-14, avs.17.6, s.967-968: 2, 22 Inför lektion nr 17 Till lektion nr 17 bör ni förbereda följande uppgifter: 1. { dx = 3x + 4y = 2x + 3y 2. { dx = 4x 2y = 5x + 2y 3. { dx = 5x + 4y = x + y 4. { dx = 4x 3y = 8x 6y 5. Betrakta systemet { dx med det motsvarande homogena system = a 1(t)x + b 1 (t)y + f 1 (t) = a 2(t)x + b 2 (t)y + f 2 (t) (2) Antag att { dx = a 1(t)x + b 1 (t)y = a 2(t)x + b 2 (t)y (3) { x = x1 (t) y = y 1 (t) 8
and { x = x2 (t) y = y 2 (t) är linjärt oberoende lösningar till (3) så att den allmänna lösningen av detta system ges av { x = c1 x 1 (t) + c 2 x 2 (t) Visa att y = c 1 y 1 (t) + c 2 y 2 (t). { x = v1 (t)x 1 (t) + v 2 (t)x 2 (t) y = v 1 (t)y 1 (t) + v 2 (t)y 2 (t) är en partikikulärlösning till (2), om v 1 och v 2 uppfyller ekvationssystemet { v 1 (t)x 1(t) + v 2 (t)x 2 (t) = f 1 (t) v 1 (t) y 1 (t) + v 2 (t) y 2 (t) = f 2 (t). (4) Inför lektion nr 18 Till lektion nr 18 bör ni förbereda följande uppgifter: 1. Visa att funktionsföljden ( x n 2 +1 ) 1 konvergerar likformigt i varje begränsat intervall. 2. Är följden ( nx 1+n 2 x 4 ) 1 likformigt konvergent i [0, )? 3. Låt f n (x) = nx n+x n. Beräkna lim n f n (x) och visa att konvergensen är likformig i [ 1, 1]. 4. Visa att serien n=1 nx konvergerar likformigt i (, a] där a > 1. 5. Visa att konvergensen ej är likformig i (, 1] i föregående uppgift. 6. Visa att funktionsserien k=1 k2 x k e x konvergerar likformigt för x a om a < 1. Lektionerna nr 19 och 20 kommer att ägnas åt repetitioner och diverse problemdemonstrationer relaterade till föregende lektionerna. 9