Strategier och representationer En studie med 25 elevers lösningar på ett rikt matematiskt problem

Självständigt arbete II, 15 hp Strategier och representationer En studie med 25 elevers lösningar på ett rikt matematiskt problem Författare: Veronica Kronlund Handledare: Andreas Ebbelind Examinator: Torsten Lindström Termin: VT 2015 Ämne: Matematikdidkatik Nivå: Avancerad nivå Kurskod: 4GN04E

Strategier och representationer En studie med 25 elevers lösningar på ett rikt matematiskt problem Strategies and representations A study with 25 students' solutions to a rich mathematical problem Abstrakt Denna studie syftar till att ta undersöka vilka olika lösningsstrategier elever i årskurs 2 använder då de får ett rikt matematiskt problem. Metoderna som används för att undersöka detta är ett elevtest med ett rikt matematiskt problem och intervjuer av några elever. Respondenterna valdes utifrån sina lösningsförslag på testet. Det som visar sig i resultatet är att 24 av 25 elever väljer att använda sig av strategin och representationen rita. Andra representationer som var vanligt förekommande var att genomföra operationer det vill säga räkna. Nyckelord Representationer, strategier, problemlösning, rika matematiska problem Veronica Kronlund Antal sidor: 21 2

Innehåll 1 Inledning 4 2 Syfte och frågeställningar 5 2.1 Frågeställningar: 5 3 Teoribakgrund 6 3.1 Problemlösning 6 3.1.1 Allmänna förutsättningar för problemlösning 7 3.2 Representationsformer 8 3.3 Strategier 10 4 Studiens matematiska problem 11 4.1.1 Mål ur Lgr11 12 4.1.2 Strategier och representationer i problemet 12 5 Metod 14 5.1 Metodval 14 5.2 Urval 14 5.3 Datainsamlingsmetod 15 5.4 Genomförande 15 5.5 Etiskt övervägande 16 5.6 Databearbetning 16 5.7 Undersökningens tillförlitlighet 17 6 Resultat och analys 18 6.1 Vilken matematik och matematiska strategier är synliga i elevernas lösningar? 18 6.1.1 Analys 21 6.2 Vilka representationsformer är synliga i elevlösningen? 22 6.2.1 Analys 24 6.3 Hur resonerar eleverna kring det rika matematiska problemet? 24 6.3.1 Analys 25 7 Reflektion och Diskussion 26 7.1 Metoddiskussion 26 7.2 Resultatdiskussion 27 7.2.1 Förslag på fortsatt forskning 27 8 Referenser 29 Bilagor 31 Bilaga A Missivbrev 31 Bilaga B Elevstencil med rika matematiska problem 32 Bilaga C Intervjuguide 33 Bilaga D brev till föräldrarna 34 3

1 Inledning Att lösa problem som uppstår är en del av människans natur. Redan i ett tidigt stadie har förmågan att lösa problem hjälpt människan att utvecklas och finna nya lösningar (Sundin, 2006). Idag är förmågan att lösa problem en stor del av samhällets fortlevnad. Skolans styrdokument framhäver problemlösningsförmåga som en viktig egenskap som eleverna ska utveckla inom olika områden med. Ett övergripande mål med problemlösning är att fostra ett entrepenöriellt förhållningssätt. Då det talas om problemlösning förs oftast tankarna till ämnet matematik, där problemlösningsförmåga är en central och viktig del inom ämnet (Skolverket, 2011). Skolans styrdokument poängterar begreppet entreprenörskap som en grundläggande förutsättning för det kommande samhället. Enligt Skolverket (2015) är en entreprenör en individ som tar sig för något, är nyskapande och risktagande, kan organisera och utveckla nätverk samt ser möjligheter i stället för problem. En undervisning som främjar entreprenörskap innehåller sammanhängande processer och bygger på ett problembaserat lärande. Detta kan tydligt ses i kursplanen i matematiken framförallt i relation till problemlösning. Någon klar definition av vad problemlösningsförmåga i skolsammanhang är, framkommer dock inte i läroplanen (Skolverket, 2011). Forskare så som Lester (1983) och Pólya (1945) har båda tolkat och försökt definiera begreppet problemlösning i relation till skolan. Det de kommit fram till är att ett tecken på problemlösningsförmåga är när någon utan vetskap om metod som bör användas klarar, med viss ansträngning, lösa ett problem. I detta arbete kommer en specifik sorts av problemlösning tas upp, nämligen problem som benämns som rika. Ett rikt matematiskt problem kan definieras som en uppgift som har bredd och fördjupning som innebär att alla elever skall kunna utmanas oavsett vilka förkunskaper de har (Hagland, Hedrén, Taflin, 2005). Elevers lösningar av matematiskt rika problem erbjuder ofta en stor variation av lösningsstrategier i form av matematiska strategier och olika representationsformer (Hagland, Hedrén, Taflin, 2005). Under utbildningens sista VFU, Verksamhets Förlagd Utbildning, arbetade elever och lärare mycket med problemlösning. Intresset för denna studie väcktes då jag upptäckte på hur många olika sätt eleverna förklarade sin lösning för mig då jag ställde den didaktiska frågan hur tänker du? Detta är anledningen till mitt ämnesval. I min kommande yrkesroll behövs en fördjupad förståelse för elevers olika lösningsstrategier och val av representationsformer. Detta då problemlösningsuppgifter kommer att vara en stor del av matematiklektionerna och för att de utgör en central del i läroplanen. Detta arbete kommer därför fokusera på elevers lösning av ett så kallat rikt matematiskt problem. 4

2 Syfte och frågeställningar Syftet med studien är att analysera elevers, årskurs 2, lösningsstrategier av ett specifikt rikt matematiskt problem som fokuserar algebra genom mönster. 2.1 Frågeställningar: Vilken matematik och matematiska strategier är synliga i elevernas lösningar? Vilka representationsformer är synliga i elevlösningen? Hur resonerar eleverna kring det rika matematiska problemet? 5

3 Teoribakgrund I den teoretiska bakgrunden diskuteras centrala begrepp för denna studie. Först diskuteras problemlösning och de olika matematiska processer som elever behöver behärska för att kunna lösa problem inom matematik. Sist diskuteras begreppen matematiska representationsformer och matematiska strategier. 3.1 Problemlösning Som nämnts i inledningen är problemlösning en del av människans natur. I det tidiga samhället användes problemlösningsförmågan framför allt för att överleva olika situationer (Sundin, 2006). I dagens samhälle löser vi problem för att skapa enklare och bättre liv, detta ofta utan att definiera eller tänka på det som problemlösning. Inom matematikdidaktik finns det flera forskare som har försökt definiera vad problemlösning är. En av dem är Lester (1983) som menar att för det ska räknas som ett problem måste lösaren vilja lösa problemet utan att lösaren har en klar metod för hur detta ska gå till. Lester menar att en uppgift är ett problem först när det krävs en ansträngning av problemlösaren för att hitta lösningen på problemets (a.a.). Taflin (2007) utvecklar i sin avhandling definitionen för problemlösning. Hon menar att problemet inte får vara av standardtyp. Med standardtyp menas att det inte ska vara en rutinuppgift som eleverna vanligtvis räknar i sina matematikböcker. Det krävs istället att eleverna ska ha förmågan att kunna tolka problemet och på så sätt veta hur det ska lösas (a.a.). Detta arbete använder sig av Taflin s (2007) definition av ett problem. Den definition hon kommit fram till grundar sig på att ett problem måste uppfylla 7 stycken kriterier. Att det introducerar viktiga matematiska idéer. Alla elever ska ha en möjlighet att arbeta med problem Det upplevas som en utmaning. Det tar tid. Det ska kunna lösas på flera olika sätt. Det ska inspirera till matematiskt resonemang. Det fungera som en brobyggare. Problem som uppfyller dessa 7 kriterier definieras, av Taflin, som matematiskt rika problem. Rika matematiska problem ska möjliggöra en diskussion om det lösta problemet. Viktigt är också att problemet ska kunna integrera olika områden i matematiken. Det ska även kunna leda till att lärare och elever kan formulera nya intressanta problem (Taflin, 2007). En del av de kriterier som tas upp för ett rikt problem går även att återfinna i kursplanen för matematik. I kursplanen beskrivs ett antal förmågor som från början grundar sig på en rapport om elev- och lärarkompetens (Kilpatrick, Swafford & Findell, 2002). De förmågor som beskrivs är analysförmåga, kommunikativ förmåga, förmåga att hantera information, begreppsförmåga och metakognitiv förmåga (Skolverket, 2011). Genom ett rikt matematiskt problem ska eleverna få chansen att träna på alla dessa förmågor. I Lgr11:s syfte för matematik står det även att eleverna ska formulera och lösa problem med hjälp av matematik och där med också värdera valda strategier och metoder. De ska kunna föra och följa matematiska resonemang, och kunna använda matematikens 6

uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser (Skolverket, 2011:63). Även dessa kriterier går att återfinna i kriterierna för ett rikt problem. För att kunna uppnå målen som beskrivs i Lgr11 behöver eleven utveckla ett strukturerat matematiskt resonemang för problemlösning. För detta finns en modellbeskriven med fyra faser som man går igenom när ett problem löses. Den första fasen är att förstå problemet, den andra att göra en plan för hur problemet ska lösas, den tredje är att genomföra planen och den fjärde att se tillbaka och kontrollera resultatet. Dessa olika faser ingår i problemlösningsprocessen (Pólya, 1945). Då ett problem löses kan olika frågor ställas exempelvis, vad är det jag vet och vad vet jag inte? Har jag stött på ett liknande problem förut? Om det finns ett liknande problemen som tidigare lösts kan då samma lösningsstrategi användas? Den viktigaste frågan är dock: hur går jag till väga för att lösa problemet, var börjar jag och hur börjar jag? (Pólya, 1945) Om en elev använder sig av detta reflekterande tänkande är den på god väg att lösa problem på ett givande sätt. För att en elev ska kunna använda denna tankemodell krävs dock erfarenhet inom problemlösning. 3.1.1 Allmänna förutsättningar för problemlösning För att matematiskt lärande ska ske krävs en samverkan mellan olika processer (Duval, 2006). En del är minnesprocessen och en annan inlärningsprocessen. En tredje påverkningsfaktor för problemlösning är förståelsen för det matematiska teckensystemet. När man lär sig registreras upplevelser, fakta och händelser i minnet. Minnet är uppdelat i tre delar. Det första är det sensoriska minnet som lagrar impulser som tas upp av hjärnan genom hörsel, syn, känsel och lukt. Det andra är korttidsminnet som lagrar information om behov finns att lagra det, annars hamnar intrycken i långtidsminnet. Det tredje är det långsiktiga minnesprocesserna som lagrar minnen som vi vid behov kan plocka fram igen. Vid problemlösning då eleverna löser en uppgift använder de information från långtidsminnet för att övergå till arbetsminnet. Detta minne är väldigt begränsat vilket kan bidra till att en lång matematisk process kan blir svår att komma ihåg (Spence & Taylor, 1968). När lärande sker pågår det även andra saker i hjärnan än minnesprocessen. För att kunna skapa en förståelse behöver eleverna kunna välja, organisera och integrera informationen. Dessa tre kan vara svåra att behärska för nybörjarelever, vilket beror på att eleverna inte har tillräckligt med förkunskaper. För att kunna välja, organisera och integrera informationen behöver eleverna utveckla olika strategier (Duval, 2006). För att kunna bearbeta matematisk information krävs en användning av ett organiserat matematiskt teckensystem. Ingen matematik kan fungera utan det, eftersom matematisk bearbetning alltid innebär att ersätta vissa representationer med någon annan. När man ersätter en representation med en annan kallas det för att man gör en omvandling. Exempel kan en siffra omvandlas till en bild eller en text med ett resonemang. Den del som tecken spelar i matematik går dock inte att ersättas med föremål, utan enbart med andra tecken. En 1 kan till exempel skrivas som en siffra, med bokstäver eller ritas med prickar eller språkligt benämnas som 1, men ett föremål blir inte en etta enbart för att antalet föremål är ett. Det finns alltså olika representationsformer för ettan. 7

Eleverna kan genom strategin lösa ett liknande enklare problem ofta lösa uppgifter, men för att de ska kunna använda informationen från tidigare lösta uppgifter krävs det att de kan omvandla sin kunskap och sina representationsformer för att matcha det uppgiften kräver (Goldin, 2000). På grunda av att representationer och strategier är en stor viktig del vid problemlösning kommer dessa att definieras vidare nedan. 3.2 Representationsformer Den grundläggande definitionen för representation är mycket gammalt. Definitionen av en representation är något som står för något annat. Begreppet kan på samma gång definieras på andra sätt (Duval, 2006, Goldin, 2000). Begreppet representationsformer kan användas i många olika sammanhang. Detta beror på om det är en individs upplevelser och sinnesstrukturer man syftar på när begreppet representationsformer används eller om det är den teoretiska kunskapen som individen innehar om ett objekt. Representationer kan också vara en individs övertygelser, uppfattningar eller missuppfattningar. Dessa kan man få tillgång till genom individers kommunikationer(a.a.). Inom matematiken när begreppet representationsformer används syftar man ofta på elevers användning av representationen rita, beräkning, skriva eller tala. Genom att exempel skriva tio använder eleven sig av att skriva. Genom att dra tio streck visar eleven tio med hjälp av representationen bild. Genom att använda sifforna ett och noll dvs. 10 visar eleven representationsformen symboler (Duval, 2006). I denna uppsats då begreppet representationsformer används syftar det på representationsformer så som bild, operation, text och tala/resonera, det vill säga olika sätt för eleven att redogöra för sin lösning på problem. Dessa representationsformer benämns ofta som externa representationer (Anisworth, 1999). Begreppet representation är centrala i Lgr11:s ämnesplaner för grundskolan. I skolverkets egen beskrivning av ämnet matematik och dess syfte står det att undervisningen ska innehålla varierande arbetsformer och arbetssätt. Det står att undersökande aktiviteter ska utgöra en del av undervisningen. Den undervisning som bedrivs ska ge elever möjlighet att använda och kommunicera med olika uttrycksformer (Skolverket, 2011). Då dessa representationer är centrala i Lgr11 har Skolverket tagit fram en särskild modell som grundar sig på Lesh s (1981) tankar om representationsformer som hjälp för lärare vad gäller tolkning av olika representationer. Lesh s (1981) modell har fem bubblor med rubriker så som manipulativa modeller, statiska bilder, skrivtecken, talat/skriftspråk och verkliga situationer eller sammanhang. Pilarna i modellen går mellan de olika rubrikerna och bildar till synes en stjärna. Lesh (1981) menar att när en elev har en förståelse för idéen kan den också utföra några av omvandlingarna i den beskrivna figuren. Ett exempel på en omvandling som en elev kan göra är att ritar en bild exempel där eleven beskriver hur många äpplen en person har och ger bort. Under bilden gör sedan eleven en beräkning, för att sedan beskriva vad som händer på bilden både verbalt och skriftligt. Eleven kan då utnyttja idén och omvandlingen till olika syften och i olika sammanhang (a.a.). 8

Skolverkets modell ser inte riktigt ut som föregående beskrivna modell utan bildar en rektangel med ett kryss inuti sig och innehåller rubrikerna laborativa modeller, skrivna symboler, omvärldssituationer och talande symboler. Mitt i modellen placeras rubriken, bilder och från denna och mellan övriga rubriker dras pilar, dessa fungerar då som översättningar mellan de olika rubrikerna. Skolverkets modell är tänkt att användas av lärare för att de ska kunna välja rätt arbetssätt till rätt innehåll i undervisningen. Den innehåller några av de viktigaste omvandlingarna som eleverna använder i arbetet med att översätta mellan olika uttrycksformer. Med utgångspunkt i dessa modeller har jag valt att konstruera en tydlig modell för de representationer som behandlas i detta arbete. Figur 1 beskriver en egenskapad modell för de representationer som behandlas i detta arbete, nämligen bilder, laborativt material, resonera/tala, omvärlds situationer och symboler. I denna modell står symbol i centrum till skillnad från i skolverkets. Anledningen till detta är att människans utvecklade kunnande om teckensystem och dess symboler är en avgörande faktor för att utveckla tänkande (Vygotskij, 1995). De övriga rubrikerna är bilder, laborativa modeller, resonera/tala och omvärldssituationer. Med bilder menas det bildspråk som eleverna ser och använder. Laborativa modeller är olika sätt som eleverna jobbar med exempel laborativt material, men även när de väljer att laborera med lösningsförslagen. Omvärldssituationer är alla faktorer som påverkar elevernas val runtomkring som exempel andra elevers kommentarer, material och tidigare erfarenheter. Resonera/ tala är då eleverna diskuterar och kommunicerar med varandra eller läraren. Då eleven använder flera av representationerna samtidigt kallas detta multipla representationer (Ainsworth, 1999). Många problemlösningsuppgifter förespråkar att eleven använder flera olika representationer parallellt. En elev kan börja med en verklig händelse exempel att handla i en affär, för att sedan gå över till att rita det som handlades. Därefter beskriver eleven antingen med ord eller siffror händelsen det vill säga eleven går över till att använda symboler (Lesh, 1981). Det finns stora fördelar med inlärning genom en kombination av representationer. Då begränsas nämligen inte eleverna av styrkorna och svagheterna från en enda 9

representation. Ainsworth (1999) förespråkar växelvis/samtidigt användande av flera olika representationsformer för att lära ut matematik. Om elever får översätta mellan olika representationer som visar olika aspekter av den representerade världen lär de sig en robustare och mer flexibel matematisk kunskap. Den blir mer anpassad till deras egen förmåga (a.a.). Genom att använda multipla representationer undviker elever att hamna i en situation där minnet inte räcker till genom att processen blir lättare att komma ihåg (Duval, 2006). 3.3 Strategier Det finns olika strategier som eleverna kan använda sig av vid problemlösning. Lester (1983) beskriver några av dessa olika strategier. Merparten av dessa återfinns också i Taflin s (2007) beskrivning. Taflin påtalar att [s]trategier är speciella metoder för att lösa problem, t.ex. välja en eller flera operationer, rita bilder, söka mönster, göra en tabell, teckna en ekvation, gissa och pröva, arbeta baklänges, lösa ett liknande enklare problem. (Taflin, 2007:108) Inom matematiken samverkar representationer och problemlösningsstrategier med varandra. Genom en undersökning om algebra identifierades sex externa representationer som kunde associeras med fyra strategier. Det som visade sig då var att genom användning av enbart en strategi blev resultatet inte lika effektivt som hos dem som använde flera. Detta beror på att varje strategi har sina begränsningar, men om man växla mellan strategierna blir problemlösningen mer framgångsrik (Ainsworth, 1999). Att använda sig av multipla representationer kan vara en gynnsam strategi inom matematiken. Genom att redovisa på flera olika sätt skapas möjlighet till olika angreppsvinklar och då bildas också tillfällen att använda olika strategier. Flera forskare har också visat på nödvändigheten av att elever tränar på att klara olika räkne rutiner och problemlösningar. Eleverna behöver få lösa problem med en mängd olika metoder och strategier för att bli framgångsrika i problemlösning (Askew & Wiliam, 1995) 10

4 Studiens matematiska problem Till denna studie har valts ett problem som kallas stenplattorna. I detta avsnitt kommer jag att resonera utifrån de 7 kriterierna som definierar ett rikt matematiskt problem, detta för att kunna beskriva och resonera om problemet. Fokus då problemet genomförs i testklassen, är inte att eleverna ska lära sig något utan att strikt se hur de tänker och resonerar kring problemet. Problemet grundar sig i ett rikt problem utformat av Taflin (2007). I problemet som Taflin beskriver bildar två figurer kvadrater med olika areor. Den ljusa kvadraten placeras i den mörka och den mörka bildar på så sätt en ram runt den ljusa. Till figuren hör även ett antal frågor lösaren ska besvara (a.a.). Med utgång från ovan beskrivna problem har ett liknande problem skapats för denna studie. De förkunskaper eleverna behöver för att klara detta rika problem är att veta vad ett mönster är, kunna räkna högre än till 100, veta de olika geometriska formerna och veta vilka olika strategier de kan använda. Förkunskaper som underlättar för eleverna är om de vet vad en tabell är. Den matematik som detta problem behandlar är naturliga tal, proportionalitet, tabell, mönster och area. Då eleverna i denna studie går i årskurs 2 kommer inte all, här ovan beskriven matematik, behandlas utan enbart finnas som en utvecklingsmöjlighet, då elevernas matematiska kunskaper utvidgas. I problemet eleverna ska lösa får de följande figur. Figur 2visar den figur som eleverna får i problemet de ska lösa. Utifrån bilden ska eleverna besvara några frågor. Frågorna ställs skriftligen och kräver en matematisk lösning och resonemang för att kunna besvaras. Frågorna som eleverna får besvara är på olika nivåer, detta så att alla elever ska kunna arbeta med problemet. Fråga a Hur många plattor användes i figur 1? kan eleverna besvara genom att räkna antal kvadrater som bildar figur 1 på bilden, d.v.s. lätt antalsberäkning. Nästkommande frågor bygger på varandra, det vill säga eleven måste besvara fråga b för att kunna besvara fråga c. Frågor eleven får är Hur många plattor går det åt till figur 5? och Hur många mörka plattor behöver du till figur 5? Genom att på olika sätt lösa hur många plattor det är i hela figur 5, kan eleverna sedan räkna ut hur många mörka plattor det är. Strategierna eleverna kan använda sig av är 11

genomföra en eller flera matematiska operationer, rita bilder, söka mönster eller gissa och pröva, Frågorna fortsätter sedan med Hur många mörka plattor går det åt till figur 10? och Hur många mörka plattor går det åt till figur 100? om eleverna har hittat ett mönster i föregående frågas svar, kan eleven genom en matematisk operation komma fram till svaret. De elever som inte funnit mönstret kan trots detta lösa problemet genom att rita bilder eller gissa och pröva. Om eleven väljer de senare alternativen kommer problemet att ta längre tid att lösa än om en operation genomförs. De sista två frågorna Hur kan du förenkla uträkningen? och Hitta på ett liknande problem och lös det! kräver att eleven har förstått problemet och dess matematiska innehåll. Problemet kan upplevas som en utmaning för eleverna allt beroende på vilken årskurs och klass det presenteras för. Då eleverna i denna studie går i årskurs 2 kan det matematiska innehåll detta problem erbjuder upplevas som svårt att greppa. Det är därför till stor fördel att låta eleverna kommunicera och resonera kring problemet på något sätt. 4.1.1 Mål ur Lgr11 Genom problem som är beskrivet ovan är det tänkt att eleverna ska kunna uppnå följande mål ur Lgr11(skolverket, 2011) i årskurs 3. Eleverna ska: kunna de olika symbolerna för tal. Ha en vetskap om naturliga tal och deras egenskaper och hur de kan användas för att ange antal och ordning. använda likhetstecknet korrekt. ha förståelse för hur positionssystemet kan användas för att beskriva naturliga tal. redovisa för användning av de fyra räknesätten, antingen alla eller någon av dem. Detta antingen genom huvudräkning eller uppställning. kunna rimlighets bedöma sitt lösningsförslag. känna igen den geometriska figuren kvadrat. uppvisar någon slags strategier för matematisk problemlösning i enkla situationer. kunna göra enkla tabeller och diagram och kan använda dem för att sortera data och beskriva resultat från enkla undersökningar(a.a.). 4.1.2 Strategier och representationer i problemet För att lösa problemet kan eleverna använda sig av olika strategier, så som att välja en eller flera operationer, rita bilder, söka mönster, göra en tabell, teckna en ekvation eller gissa och pröva. Eleverna kan även redovisa problemet med olika representationer, så som bild, operation, text och tala/resonera. Då problemet i många avseende uppfyller alla kriterier för att vara ett rikt problem är det troligt att eleverna kommer kombinera de olika representationsformerna och där med använda sig av multipla representationer. Vilken strategi och vilka representationer eleverna använder beror på vad som tidigare har presenterats för dem och vad som har tränats mest. Strategin som eleverna kan använda för första frågan är att göra en operation, rita bilder, teckna en ekvation eller gissa och pröva. Att rita figuren som en bild fungerar till de första frågorna, men när 12

eleven sedan går vidare med de andra blir det svårare. Även att använda konkret material blir svårare ju större figur som ska konstrueras. Ett annat sätt för eleverna att ta sig an problemet är att göra en matematisk operation. Denna operation kan genomföras med hjälp av bild eller textstöd eller genom tecknandet av en ekvation. För att kunna teckna en ekvation krävs dock mycket högre matematiska kunskaper än vad många elever besitter i årskurs 2. Om strategin, göra en tabell, har blivit presenterat för eleverna är det även troligt att denna används, så även att söka mönster. 13

5 Metod Metodavsnittet är uppdelad i olika rubriker som beskriver hur studien har genomförts. Under metodval sammanfattas vilka metoder som valdes ut specifikt för denna studie. Urvalet beskriver hur och vilka val som har gjorts. Datainsamlingsmetoden beskriver hur och i vilken form som material har samlats in. Under rubriken genomförande beskrivs i detalj hur studien gick till. Under metod diskuteras även etniska överväganden, databearbetning och studiens tillförlitlighet. 5.1 Metodval Då valet av metod för tänkt forskningsområde är betydande för resultatets karaktär och värde (Hermerén, 2011) valdes metoder så som insamling av elevdokument och intervju ut. För att få så användbar information som möjligt valdes metoder med utgångspunkt i ställda frågeställningar. Olika metoder ger svar på olika sorters frågor. För att få svar på vilken eller vilka som gör något krävs det något slags underlag, i detta fall dokument i form av elevtest. För att få klarhet i hur någon gör något, krävs metoden observation eller intervju (a.a.). Studiens syfte är att utforska elevers förmåga att lösa rika matematiska problem därför kommer elevdokument att samlas in i form av elevtester. Intervjuer kommer även genomföras för att få djupare information om hur eleverna löser rika matematiska problem. Eftersom de elever som deltog i intervjuerna var handplockade med hjälp av underlag från elevtesten blev intervjun kvalitativ. En av anledningarna till valet av att göra en kvalitativ intervju var att denna fokuserar på informantens upplevelsedimension och inte bara förhållandena kring den intervjuade eller ämnet (Dalen, 2011). Upplevelse dimensionen är intressant därför att den bidrar till något annat och kompletterar lösningarna 5.2 Urval De urval som gjordes i denna studie av klasser och specifika elever inför intervjuer, var ett subjektivt urval. Det vill säga urvalet har handplockats för undersökningen. Urval grundades på kännedom om de människor som skulle delta i studien och förhoppningen att detta urval av elever skulle ge värdefull data för att kunna besvara frågeställningarna. De utvalda klasserna erbjuder en spridning vad gäller elevernas kunskapsnivåer och intresse för matematik som kan vara intressant för resultatet. Klasserna valdes också ut beroende på deras lärares entusiasm vad gäller problemlösning och att eleverna tack vare detta hade en stor chans att lösa problemet på många olika intressanta sätt. Eleverna inför intervjun valdes ut utifrån deras svar på testet och med hänsyn till deras olika lösningsmetoder. Det skedde även ett urval av rikt matematiskt problem. Med vetskap om hur lätt det är att som lärare ta ett rikt problem och sedan förenkla det eller göra om det så att det inte längre är ett rikt problem (Taflin, 2007) gjordes ett urval av elevtestets uppgift med utgångspunkt i undervisningsförslag ur boken Rika matematiska problem (Hagland, Hedrén, Taflin, 2011). För att säkra att problemet förblir rikt trots att det modifierats, kontrollerades problemet mot Taflins (2007) 7 kriterier. Valet av rikt matematiskt problem grundade sig i att ge eleverna så många möjliga lösningsmetoder som möjligt. I många av de andra 14

problemen som var med i urvalsprocessen, var olikheten i lösningsförförandet för begränsat. 5.3 Datainsamlingsmetod I detta arbete används metoderna insamling av dokument och intervju som datainsamlingsmetoder. Det finns många olika sätt att besvara frågeställningar på, men det som valts ut till denna studie är att samla in dokument. De dokument som valts att samlas in är privata handlingar i form av elevtester. I detta fall är källan primär det vill säga en förstahandsrapportering (Patel & Davidson, 2011) Den intervjuform som användes var strukturerad intervju med öppna frågor. Frågorna var bestämda från början, men gav eleven en frihet att besvara frågorna med ett resonerande svar (Johansson & Svedner, 2010). Denna intervjuform används för att ta reda på vad eleven tänker och tycker. Detta kan vara ett redskap för att hjälpa eleverna att synliggöra sitt eget tankesätt och hjälpa dem att komma vidare. När en intervju genomförs kan olika sorters frågor användas. I genomförd intervju användes öppna frågor. Syftet med intervjun var att få så kvalitativa, dvs. så användbara svar som möjligt gällande elevens strategier vid lösning av rika matematiska problem (Dimenäs, 2007). När intervjufrågorna utformades gjordes de för att få svar på följande frågor: Hur löser eleven det rika matematiska problemet? Vilka olika strategier använder eleverna för att lösa rika matematiska problem? De frågor som är valda till intervjuguiden är direkt kopplade till frågeställningarna. Det är först och främst frågeställningarna: Hur löser eleven det rika matematiska problemet och vilka olika strategier använder eleverna för att lösa rika matematiska problem, som besvaras med hjälp av intervju, resterande av frågorna besvaras med hjälp av elev testerna. En inledningsfråga består ofta av lättsammare frågor så som vad du heter, eller hur gammal är du (Dalen, 2011). Genom att börja med inledningsfrågor får informanten chansen att känna en trygghet i att ge ut sina svar. Intervjuguiden (bilaga D) är indelad i fyra rubriker; inledningsfrågor, innehållsfrågor, sammanfattande fråga och avslutande fråga. Dessa rubriker kallas för områdes principer och är nödvändigt för att dela upp sin intervju, så att känsliga frågor inte kommer upp för tidigt. 5.4 Genomförande Det första som gjordes då datainsamlingsmetoderna var bestämda var att skicka ut ett missivbrev till de ansvariga lärarna för klassen som var av intresse. I detta brev presenterades bland annat syftet (se bilaga A). Det skickades även ett informationsbrev till föräldrarna (se bilaga D). Utifrån analys av olika rika matematiska problem och deras innehåll valdes problemet stenplattorna ut. Problemet valdes ut med hänsyn till vilket matematiskt innehåll eleverna 15

kunde tänkas ha kunskaper inom. Problemet valdes också med vetskapen att det skulle lösas av elever i årskurs 2. Insamling av elevtest gjordes under två lektionstillfällen båda under förmiddagen. Anledningen till att testen gjordes under dessa lektioner på ca 60 minuter, var att eleverna under dessa matematiklektioner vanligtvis arbetar med problemlösning. På så vis skulle inte studien störa ordinarie undervisning. Lektionerna inleddes men en kort genomgång om vad studien handlar om. Eleverna blev införstådda med att studien genomfördes anonymt och att deras lösningsförslag kan komma att ligga som grund för ett arbete. Eleverna fick först en kort genomgång och repetition av olika representationsformer som de tidigare jobbat med, nämligen rita, konkretmaterial, mattespråk och skriva. Därefter fick eleverna enskilt ta sig an uppgiften. Denna tog ca 15 minuter. Därefter fick eleverna 45 min på sig att lösa uppgiften så långt de hann. Därefter samlades pappren in. Efter testet valdes fem elever som var relevanta för arbetet ut för intervju. Detta baserat på hur eleverna valt att lösa problemen. Intervjuerna ägde rum ute i korridoren då klassrum eller grupprum ej fanns att tillgå. Genom att intervjuaren sedan innan var känd för eleverna fanns det redan en social anknytning. Detta hjälpte för att skapa en trygg miljö för respondenterna (Dimenäs, 2007). Eleverna och föräldrarna godkände att intervjuerna spelades in. Detta var en klar fördel vid bearbetning och analys av intervjuerna. De lyssnades sedan igenom och transkriberades. 5.5 Etiskt övervägande I denna studie har de forskningsetiska principerna legat som grund vad gäller förhållningssätt. Dessa är de viktigaste principerna att ta hänsyn till, när forskning sker inom lärarutbildningen: samtyckeskravet, nyttjandekravet, informationskravet och konfidentialitetskravet. Samtyckeskravet innebär att alla som deltar i undersökningen, själva avgör om de vill vara med eller inte (Dimenäs, 2010). Genom ett brev till föräldrar och till ansvarig lärare uppfylldes samtyckeskravet. Eleverna blev även införstådda med varför insamlingen skedde vid presentationen av problemet. Eleverna informerades om att testet var anonymt och att det inte skulle vara möjligt att se vem som gjort lösningarna. Eleverna blev införstådda med att en del av lösningarna kan komma att redovisas i studien i form av inskannade papper. 5.6 Databearbetning Materialet grupperades efter frågeställningarna då detta underlättar för databearbetning (Johansson & Svedner, 2010). Varje intervju transkriberades och skrevs in i ett dokument. Intervjuerna döptes till intervju 1, intervju 2 osv. Efter att alla intervjuer var utskrivna sammanställdes alla svaren i ett gemensamt dokument. Detta gjordes för få en överblick på respondenternas svar och för att lättare kunna besvara frågeställningarna. Målet med detta var att genom jämförelse av samma dokument men från olika personer kunna finna mönster och avvikelser och på så vis synliggöra faktiska förhållanden (Patel & Davidson, 2011). Därefter bearbetades elevtester och innehållet kategoriserades och analyserades för att kunna besvara de olika frågeställningarna. Elevernas lösningar redovisas genom 16

att kategoriseras utifrån vilken matematik de uppvisar, vilken strategi använder de och vilka representationsformer använder de? 5.7 Undersökningens tillförlitlighet Det finns olika sätt att mäta undersökningens tillförlitlighet. Antingen kan man mäta den genom att definiera reliabilitet och validitet eller kan man mäta trovärdigheten. Trovärdighet kan påvisas genom att visa att val av teoretiskt perspektiv och begrepp är relevanta för studien syfte. Också genom att det finns en tydlig beskrivning av hur studien genomförts och att syfte och frågeställningar har besvarats och diskuterats. (Bryman och Bell, 2005). I denna studie finns relevanta begrepp och teoretiska perspektiv lyfts fram. Det finns en klar struktur för hur studien har genomförts och alla frågeställningar har besvarats och diskuterats. Reliabiliteten i denna studie är relativt låg. Begreppet reliabilitet hänvisar till resultatets pålitlighet och hur beprövat det är. Frågor som kan ställas för att undersöka ifall resultatet har en hög reliabilitet är: Om samma undersökning hade gjorts av andra forskare, som använt sig av samma metoder, hade de då kommit fram till samma resultat? Om denna studie hade gjorts med andra klasser eller en annan skola skulle resultatet inte bli det samma alltså är reliabiliteten låg (Eriksson och Wiedersheim-Paul, 2008). Validitet beskrivs som ett begrepp som hänger ihop med reliabilitet. Validiteten avgör om resultatet är giltigt. Validiteten innefattar ifall vi mäter det vi avser att mäta (Johansson och Svedner, 2010). Validiteten i denna studie är giltig, då frågeställningar kan besvaras med hjälp av intervjufrågor och elevtest. 17

6 Resultat och analys Resultatet och analysen kommer att redovisas utifrån de ställda frågeställningarna i denna studie. Först kommer resultatet att redovisas och därefter sker en analys i direkt anslutning. I denna studie och det redovisade resultatet deltog sammanlagt 25 elever, varav 5 blev intervjuade. 6.1 Vilken matematik och matematiska strategier är synliga i elevernas lösningar? I sina lösningar uppvisar eleverna olika matematiska områden. Enbart ett fåtal elever har valt att angripa uppgiften på enbart ett sätt. De flesta av eleverna har använt sig av olika matematiska områden beroende på uppgiften. Den matematik som eleverna uppvisar i sina lösningar är, antalsberäkning, addition, multiplikation, 10- hopp, 5-hopp och viss förståelse för geometriska figurera. Många av eleverna uppvisar i sina lösningar någon form av antalsberäkning. De har antingen skrivit i varje ruta i sin figur 1,2,3 osv eller så har de gjort en punkt i varje ruta. Det senare alternativet visar på att eleverna har använt sig av huvudräkning för att lista ut hur många rutor det är allt som allt. Figur 3 visar ett elevexempel på hur antalsberäkning kan se ut. På en del lösningsförslag finns uträkningar med i form av addition eller multiplikation. I lösningarna då eleverna använt sig av addition syns ett tydligt mönster där eleverna först har använt sig av antalsberäkning för att sedan addera. I alla additionsuträkningar finns det tiotalsövergångar. 18

Figur 4 visar hur en elev har använts sig av beräkningar i form av addition och multiplikation. 4 elever har i sina lösningar använt sig av multiplikation. Två av dessa elever har använt det som stöd och komplement i sina additionsuträkningar, exempel en elev skrev 4+4+4+4=16 och under sedan 4x4= 16. En annan elev har räknat att det är 4 sidor och att det i uppgift 100 går hundra plattor på en sida och där med skrivit 4x100= 400. Två av eleverna har i sin uträkning om alla plattor i figur 5, räknat 5x9= 45. Det finns alltså nio rader med fem plattor i varje rad. Alla dessa elever har räknat ut hur många mörka plattor det är i figur 10 genom att räkna 10x 10= 100 dvs. höjden gånger bredden på kvadraten. Två av eleverna har sedan använt sig av samma metod för att lösa figur hundra genom att multiplicera 100x100= 10 000. Figur 5 visar hur en elev har använt sig av multiplikation för att lösa uppgiften. Figur 6 visar hur en elev har använt sig av multiplikation i flera steg för att lösa uppgiften. 19

Sex elever har använt sig av metoden 10-hopp och en elev av 5-hopp i sina uträkningar. Vid 10-hopp har eleverna då antingen ritat figuren och sedan i rutorna skrivit 10, 20, 30 etc. Andra elever har inte riktigt visat hur de tänkt med 10-hoppen utan enbart skrivit det löst på sitt papper någonstans. Figur 7 visar hur en elev har använt sig av 10-hopp. Figur 8 visar hur en elev har räknat 10-hopp. En elev har i de första uppgifterna använt sig av 5-hopp. På lösningsförslagen förfaller det inte självklart att eleven har använt sig av 5-hopp. Dock beskriver eleven i intervjun hur hen tänker och räknar då 5, 10, 15, 20, 25. Hen förklarar även att det var 5-hopp som användes då lösningen gjordes. Nedan visas det eleven själv redovisar som 5-hopp. 20

Figur 9 visar hur en elev har använt sig av 5-hopp för att lösa uppgiften. De flesta eleverna uppvisar en förståelse för geometri genom att rita kvadratiska plattor och även en ökande kvadrat i figurerna. Eleverna är där med väl medvetna om det geometriska begreppet kvadrat. 6.1.1 Analys Det matematiska innehåll som eleverna uppvisar i sina lösningsförföranden visar på en förståelse inom problemlösning, strategier och representationer. Utifrån elevernas lösningar framkommer det att många av eleverna har gjort upp en plan för hur problemet ska lösas. De har då använt sig av Pólyas (1945) fyra faser. Då det organiserade matematiska teckensystemet inte har räckt till har eleverna i stället valt en annan representation för att lösa uppgiften. Eleverna har då använt sig av omvandlingar d.v.s. en siffra ersättas med en bild eller en text med ett resonemang. En 1 kan tillexempel skrivas som en siffra, med bokstäver eller ritas med prickar eller språkligt benämnas som 1. Det finns alltså olika representationsformer för ettan och detta har eleverna vid flera lösningar påvisat (Goldin, 2000). Eleverna uppvisar att de genom uppgiften når alla de till tänkta målen för denna uppgift utifrån Lgr11 för årskurserna 1-3. De mål som eleverna uppnår i denna uppgift är: vetskap om naturliga tal och deras egenskaper och hur de kan användas för att ange antal och ordning. Många av eleverna visar även prov på hur positionssystemet kan användas för att beskriva naturliga tal. Eleverna kan de olika symbolerna för tal. Många av eleverna visar prov på två av de fyra räknesätten. Eleverna använder sig av huvudräkning, detta då det inte finns några uppställningar i lösningsförslagen. Några elever väljer att använda sig av hjälpmedlet miniräknare och visar där på en kunskap om hur den används. Många elever uppvisar en förmåga att rimlighetsbedömning, dock inte alla. Alla elever som använder likhetstecknet använder det korrekt. De flesta av eleverna ser det geometriska mönstret och kan känna igen och definiera en kvadrats form. Alla elever uppvisar någon slags strategier för matematisk problemlösning i enkla situationer (Skolverket, 2011). Ett av de mål som eleverna skulle kunna uppfylla genom uppgiften, men som ingen uppfyllde är att kunna göra enkla tabeller och diagram och sedan sortera in data. Detta kan antingen bero på att detta ännu 21

inte har presenterats som en strategi för eleverna eller att eleverna inte kunde applicera strategin på uppgiften. Eleverna visar på förståelse för olika strategier och använder sig även av multipla representationer i sina lösningar(ainsworth, 1999). 6.2 Vilka representationsformer är synliga i elevlösningen? I elevtesten framkommer att eleverna valde att använd olika representationer och att de flesta skiftade mellan dem under uppgiftens gång. Representationen som var mest förekommande var bild. Exemplet nedan visar en av de mest förekommande bilderna på elevernas lösningar. Figur 10 visar den mest förekommande bilden i elevernas lösningar. Representationen som också förekom frekvent i elevlösningarna var att göra operationer och skriva symboler. Figur 11 visar hur en elev har genomfört tre operationer för att räkna ut antal rutor figuren har och hur en elev har skrivit symbolerna för siffrorna 10,20 etc. 22

Antal elevtester Ett fåtal elever valde att med ord förklarat eller att kompletterat sin operation eller bild. Figur 12 visar en elevs hela process för att lösa uppgiften, då inklusive en skriftlig kommentar. Utifrån elevernas lösningar av de första fyra uppgifterna kan man dela in deras tester i olika högar. En hög för de tester som enbart innehöll svar, en annan för de som bara använt representationen bild en annan för de som använt sig av båda representationerna bild och symbol. I högen för bild och symbol ingår även att eleven i fråga har skrivit en förklaring på sitt test. 25 Elevernas användning av representationer 20 17 15 10 6 5 0 Bild/symbol Bild Endast svar Använda representationer 2 Tabell 1 redovisar antal representationer som har använts i elevtesten. 23

Två elever har enbart använt sig av att skriva svaren. En av dessa elever använde sig av konkretmaterial i form av multilänkar (små kopplingsbara kuber) för att komma fram till sitt svar och har enbart skrivit svaren i form av ord och siffror på sitt papper. Den andra eleven har även hen enbart skrivit svar i form av siffror, med undantag för sista uppgiften om att hitta på ett liknande problem. Där har eleven uppvisat representationsformerna bild, och symbol genom att skriva. Då denna elev även blivit intervjuad har den även använt sig av representationsformen tala. Sex elever har under testet använt sig enbart av representationen bild. 17 elever har använt sig av representationerna bild och symbol. Utav de 17 elever har även fyra använt sig av representationsformen tala och redovisa genom intervjuer. 6.2.1 Analys Nästan alla elever har använt en bildlig representation på sitt lösningsförförande, det vill säga av 25 elever valde 24 elever att någon gång i sin lösning använda sig av representationsformen bild. En av anledningarna till detta kan vara elevernas ålder och det faktum att arbetsminnet inte är tillräckligt utvecklat för att klara av större operationer och eleverna väljer då bilder som stöd (Spence & Taylor, 1968). Alla elever fick inte chansen att uppvisa alla representationer. De elever som blev intervjuade fick möjligheten att använda sig av representationen tala och redovisa. Övriga elever fick ingen chans att uppvisa representationen tala, då uppgiften genomfördes enskilt. Enligt Taflin (2007) är att få redovisa och samtala om det rika problemet en viktig del av lösningsförförandet. Genom att diskutera och resonera i grupp eller helklass får eleverna exempel på flera lösningsförförande och matematiska idéer. Detta är även ett av de kriterier som hon nämner för rika matematiska problem(a.a.) Det man klart och tydligt ser i elevernas lösningsförslag är att de använder sig av multipla representationer. Utav 25 elever är det enbart 8 elever som inte använder sig av denna förmåga eller i alla fall inte uppvisar den genom denna uppgift. Genom att eleverna använder multipla representationer begränsas inte elevernas styrkor och svagheter. Genom att kunna skifta strategi och representationer blir den matematiska kunskapen hos eleverna mer flexibel och den blir mer anpassad till elevernas egen förmåga (Ainsworth, 1999). 6.3 Hur resonerar eleverna kring det rika matematiska problemet? Strategier man kan se utifrån elevtester som eleverna har gjort är att rita bilder, gissa och pröva. Att eleverna har gissat och prövat framgår genom att många har suddat/ strukit över bilder, för att sedan rita en annan slags bild. En annan strategi som framkommer är också att eleverna genomfört matematiska operationer. Under intervjuerna framkom att eleverna sökte mönster genom att bearbeta kunskapen de fått i föregående uppgift. Många av de intervjuade eleverna beskriver när det blir för svårt att rita så övergår de till att räkna antingen multiplikation eller addition för att komma fram till större figurers plattantal. En av de intervjuade eleverna beskriver hur hen beräknar uppgiften genom att först antalsräkna och i senare uppgifter övergå till att använda 10-hopp. Denna elev genomför 24

en rad matematiska operationer då hen löser alla uppgifter. Hen finner även stöd i sina ritade bilder. En annan av de intervjuade eleverna använder sig också av att beräkna, skillnaden är att denna elev då talet blir för avancerade tar till hjälpmedlet miniräknare. Eleven förklarar under intervjun att de tidigare har fått använda miniräknare då talen blivit för stora. 6.3.1 Analys De intervjuade eleverna uppvisar en användning av multipla representationer. Då strategin inte längre fungerar väljer de flesta eleverna att testa något annat. Detta visar på att eleverna gör effektiva val i sitt matematiska resonemang. Som Ainsworth(1999) skriver så blir användningen av enbart en strategi en begränsning, då varje strategi har sin begränsning (a.a.) Ett exempel på detta kan vara strategin bild. Några av eleverna som valde att rita svaret på de första frågorna gick sedan över till att utföra operationer. Anledningen till detta enligt eleverna var att pappren inte var tillräckligt stora för att kunna rita figur hundra. Det eleverna kom fram till var att resultatet inte skulle bli lika framgångsrik i fall de inte bytte strategi (Ainsworth, 1999). Utifrån elevlösningarna kan man dra slutsatsen att eleverna tränar på att lösa problem med en mängd olika metoder och strategier, detta då problemlösningen i den tilldelade uppgiften var så framgångsrik (Askew & Wiliam, 1995). 25

7 Reflektion och Diskussion Diskussion och reflektion är indelad i metod diskussion och resultatdiskussion. Reflektioner sker invävt i båda rubrikerna. 7.1 Metoddiskussion De metoder jag använt är insamling av elevdokument och intervju. Från början reflekterade jag över om jag skulle använda mig av observation, men kom fram till att detta kunde påverka resultatet. Under en observation är det viktigt att vara objektiv, vilket är svårt när man känner eleverna och lätt kan tolka in i situationen. Om eleverna i stället får uppgifter som de löser på papper bygger etc. och jag enbart dokumenterar och analyserar i efterhand, anser jag att resultatet blir mindre påverkat och mer objektivt. Tanken var att som avslutning på testet hålla en diskussion om hur eleverna valde att lösa problemet. En sådan diskussion kan dock leda till att resultatet av intervjuerna blir missvisande, där av uteblev den. Anledningen till att jag ville ha en diskussion i slutet är som Taflin (2007) skriver i sin studie att det är viktigt att samtala och diskutera om problemet. Om detta intet görs uppfylls inte alla av de sju kriterierna för ett rikt matematiskt problem. Genom att inte diskutera problemet i helklass har alltså inte alla elever fått hela upplevelsen av ett rikt matematiskt problem, till skillnad från de intervjuade eleverna. Då denna studie dock inte gick ut på att eleverna skulle lära sig, utan att enbart studera deras val av strategier och representationer, har detta ingen påverkan i detta fall. Från början var tanken att utnyttja ett grupprum för intervjuerna dock kan man ju inte alltid styra vart intervjuerna hålls och i detta fall blev det korridoren som användes. Ett problem med detta är som Dimenäs (2007) skriver att det under intervjun uppkom en del störningsmoment. Planen var att använda mig av strukturerade intervjufrågorna vid intervjuerna med eleverna. Efter första intervjun märktes det dock tydligt att, detta inte fungerade. Under resterande intervjuer fanns frågorna med som underlag, men själva intervjun blev mer ostrukturerad med fokus på att låta eleverna besvara den sammanfattande frågan istället. En anledning till att det blev svårt att hålla en strukturerad intervju var för att jag hållit i lektionen, där problemet presenterades. Jag var även närvarande i klassrummet när den genomfördes. Om intervjuerna hade gjorts en tid efter elevtestet och inte i direkt anslutning skulle antagligen intervjuformen blivit strukturerad. 26

7.2 Resultatdiskussion Då elever börjar i årkurs 2 är det rimlig att anta att de kan räkna lätt addition och subtraktion. Antalsberäkning och talföljd är något som de bör kunna och även att på något sätt kunna förklara sina tankar kring problemet de löst. Beroende på vilken sorts undervisning eleverna fått och hur läraren i fråga undervisar, kan begrepp så som geometriska figurer, lätt multiplikation och problemlösning också vara matematiska begrepp som ska vara bekanta i årskurs 2. Utifrån elevtesten framkommer det tydligt vilket matematiskt innehåll eleverna uppvisar, så som antalsberäkning, addition, multiplikation, 10- hopp, 5-hopp och viss förståelse för geometriska figurera. Det går även lätt att läsa av vilka representationer eleverna använder sig av för att lösa olika moment i uppgiften. Vilka strategier eleverna väljer är dock inte lika lätt att se på elevtestet. För att kunna synliggöra tydligare vilka strategier eleverna använde skulle fler intervjuer behöva genomföras (Dimenäs, 2005). En intressant reflektion utifrån tabellen på sidan 23, är trots att eleverna är så tidigt i sin skolgång har 17 elever utav 25 använt sig av multipla representationer. Det finns stora fördelar för lärande med kombinationer av representationer vilket syns i dessa elevers lösningar. En orsak till elevernas framgångsrika lösningar kan ha varit att matematiken har blivit mer anpassad efter elevens egen förmåga då de kombinerat representationer. Deras framgångsrika resultat beror på att varje strategi har sina begränsningar, men om man växlar mellan strategierna blir problemlösningen mer framgångsrik. Slutsatsen blir då att genom användning av enbart en strategi blev resultatet inte lika effektivt som hos dem som använde flera. (Ainsworth, 1999). En annan reflektion vad gäller elevernas svar är att trots att det i uppgiften står att plattorna är kvadratiska och att eleverna vid genomgång har beskrivit en kvadrat, har en del elever ritat rektanglar. Dessa elever har heller inte upptäckt mönstret med den ökande kvadraten i mitten. Det kan finnas många anledningar till att eleven inte ritat en kvadrat. En anledning kan vara att begreppet kvadrat inte är automatiserat. En annan att då det är många steg i uppgiften och begreppet kvadrat står i inledningstexten, kanske det sorterades bort av eleven som oviktig information. Detta kan bero på det begränsade arbetsminnet och då att eleven har svårt att hålla all fakta i huvudet samtidigt (Spence & Taylor, 1968). Det kan också bero på att omvandling av representationen kräver en stor process för eleven och ställer krav på bearbetning och detta kan då leda till att omvandlingen misslyckas (Goldin, 2000). 7.2.1 Förslag på fortsatt forskning Det hade varit intressant att se en liknande studie med högre reliabilitet än denna. En studie där flera skolor deltog och kanske även elever från olika årskurser. Det hade varit intressant att jämföra elever i årskurserna 2:an, 4:an och 8:ans lösningar med varandra och se en progressiv utveckling. 27

Ett annat förslag på vidare forskning är att testa ett matematiskt problem som inte uppfyller alla de 7 kriterierna och ett rik matematiskt problem mot varandra. Hur mycket skiljer sig elevernas lösningar, tankar, strategier och representationer sig åt? 28

8 Referenser Ainsworth, Shaaron (1999) The functions of multiple representations, Computers & Education 33, 131-152 Askew, M. & Wiliam, D. (1995). Recent Research in Mathematics Education 5 16. London, UK: Her Majesty s, Stationery Office. Bryman, Allan & Bell, Emma (2005). Företagsekonomiska forskningsmetoder. Malmö: Liber Dalen, Monica (2011). Intervju som forskningsmetod. Malmö: Gleerups Utbildning AB Dimenäs, Jörgen (2007). Lära till lärare. Stockholm: LIBER Duval, Raymond (2006). A cognitive analysis of problems of comprehension in a learning of mathematics. Educational Studies in Mathematics vol 61 (ss. 103 131) Eriksson, Torsten, Lars & Wiedersheim-Paul, Finn (2008). Att utreda, forska och rapportera. Malmö: Liber AB Goldin, Gerald A (2000) Representation in School Mathematics: A Unifying Research Perspective. A Research Companion to Principles and Standards for School Mathematics 36 Hagland, Kerstin, Hedrén, Rolf, Taflin, Eva. (2005). Rika matematiska problem, inspiration till variation. Malmö: Elanders Berglings förlag AB. Hagland, Kerstin, Hedrén, Rolf, Taflin, Eva (2011) Rika matematiska problem inspiration till variation Stockholm: LIBER Hermerén, Göran (2011). God forskningssed. Bromma: Vetenskapsrådet Johansson, Bo & Svedner, Per Olov (2010). Examensarbetet i lärarutbildningen. Uppsala: Kunskapsföretaget AB Kilpatrick, Jeremy; Swafford, Jane & Findell, Bradford (2002). Adding + it up, helping children learn mathematics. National Academy Press:Washington, DC Lesh, Richard. (1981). Applied mathematical problem solving. In Educational studies in mathematics,vol. 12, pp 235-264. Lester, Frank.(1983), Trends and Issues in Mathematical Problem Solving Research. In Lesh & Landau, eds. (1983), págs. 229-261. Patel, Runa & Davidson, Bo (2011). Forskningsmetodikens grunder Att planera, genomföra och rapportera en undersökning. Lund: Studentliterature AB Pólya, G. (1945). How to Solve it. Second Edition. Princeton: Princeton University Press. 29

Skolverket (2011). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011. Västerås: Edita Skolverket (2015). Skapa och våga -Om entreprenörskap i skolan Stockholm: DanagårdLITHO AB Spence, Kenneth, Taylor Janet (1968) The psychology of learning and motivation advances in research and theory. Texas: academic Press Sundin, Bosse (2006). Den kupade handen. Stockholm: Carlssons Taflin, Eva (2007). Matematikproblem i skolan för att skapa tillfällen till lärande. Umeå University Vygotskij, Lev(1995) Fantasi och kreativitet. Göteborg: Daidalos 30

Bilagor Bilaga A Missivbrev Hej! Jag är en student från lärarutbildningen på Linnéuniversitettett. Jag Veronica Kronlund läser inriktningen förskoleklass till årskurs 3. Jag har nu börjat skriva mitt självständiga arbete 2 (mitt andra examensarbete) inom matematikdidaktik, och vill få tillåtelse att samla in elevdokument med syftet att göra en jämförelse och synliggöra elevers lösningsmetoder i problemlösning. Alla dokument behandlas i enighet med Vettenskapsrådets forskningsetiska principer. Detta innebär att deltagandet är frivilligt och om eleven skulle vilja avbryta sitt deltagande är detta helt okej. Alla dokument som samlas in kommer behandlas konfidentiellt och resultatet kommer enbart att användas i forskningsändamål. Alla dokument som samlas in är anonyma. Om ni har några frågor är ni välkommen att höra av er till mig. Med vänliga hälsningar Veronica Kronlund Din underskrift Namnförtydligande Datum och ort 31

Bilaga B Elevstencil med rika matematiska problem En stenläggare lägger ett mönster. Han använder sig utav ljusa och mörka plattor. Så här ser mönstret ut: a) Hur många plattor användes i figur 1? b) Hur många plattor går det åt till figur 5? c) Hur många mörka plattor behöver du till figur 5? d) Hur många mörka plattor går det åt till figur 10? e) Hur många mörka plattor går det åt till figur 100? f) Hur kan du förenkla uträkningen? Hitta på ett liknande problem och lös det! 32

Bilaga C Intervjuguide Uppgiften som eleven har fått göra finns med under intervjun som samtalsunderlag. Inledandefrågor: Vad är roligast i matematiken? Innehållsfrågor: Vart började du med när du fick uppgiften? Vad fick dig att börja där? Sammanfattandefråga: Hur löste du uppgiften? Avslutandefrågor: Vad tyckte du om uppgiften? Hur kändes det att bli intervjuad? Är det något mer du tänker på, och vill lägga till? 33

Bilaga D brev till föräldrarna Hej! Jag heter Veronica Kronlund och går fjärde och sista året på lärarutbildning med inriktning F-3 på Linnéuniversitettett. Jag var student i klasserna 2AB under veckorna 9-13. Jag skriver nu mitt andra och avslutande självständiga arbete. I arbetet skriver jag om hur elever i årkurs 2 tar sig an och löser problemlösningsuppgifter. Min fråga till dig/er är om din son/dotter får delta i studien? Alla uppgifter kommer att behandlas konfidentiellt. Vid studien kommer jag att utgå ifrån de forskningsetiska principerna. Eleverna kommer att få lösa en problemlösningsuppgift som jag sedan samlar in. Eleverna kommer också bli intervjuade angående sin lösning av problemet. Alla elevers svar kommer vara anonyma, d.v.s. inga namn skrivs på papperna. För att få använda ditt/ert barns svar behöver jag ditt/ert medgivande. Jag ber er därför vänligen att fylla i nedanstående talong och snarast skicka med den tillbaka till klassläraren. Tack på förhand! Student: Veronica Kronlund vk222ay@student.lnu.se Handledare: Andreas Ebbelind andreas.ebbelind@lnu.se Jag/vi samtycker till att material där mitt/vårt barn finns med får användas enligt ovan JA ( ) NEJ ( ) Barnetts namn: Vårdnadshavarens underskrift: 34

Fakulteten för teknik 391 82 Kalmar 351 95 Växjö Tel 0772-28 80 00 teknik@lnu.se Lnu.se/fakulteten-for-teknik