Repetitionsföreläsning

Population / Urval / Inferens Repetitionsföreläsning Ett företag som tillverkar byxor gör ett experiment för att kontrollera kvalitén. Man väljer slumpmässigt ut 100 par som man utsätter för hård nötning och mäter den tid det tar innan byxorna går sönder. Populationen är alla byxor som företaget tillverkar och kommer att tillverka av denna modell. Urvalet är de 100 par man väljer att testa Inferens handlar om hur man med hjälp av information från ett urval kan dra slutsatser om populationen. En variabel kan mätas på 4 olika typer av skalor, som har en inbördes rangordning utifrån hur mycket information vi har tillgång till: 1. Nominalskala Innehåller minst information 2. De olika utfallen kan rangordnas 3. Intervallskala De olika utfallen kan rangordnas och avståndet mellan utfallen har en innebörd. 4. Kvotskala De olika utfallen kan rangordnas, avståndet mellan utfallen har en innebörd och noll betyder avsaknad av egenskapen. Skaltypen avgör vilka beräkningar, diagram och statistiska test som vi kan använda. Vi kan alltid använda en metod som är avsedd för en lägre skaltyp men aldrig en metod som är avsedd för en högre skaltyp. Oftast är det dock ett sämre alternativ att välja en metod som är avsedd för en lägre skaltyp. Test av en hypotes om att en variabel i en population har ett visst medelvärde, eller att en variabel i en population har en viss fördelning. I dessa tester har vi enbart en variabel. Skaltyp Test av Test metod Intervallskala eller eller nominalskala eller nominalskala Medelvärde Andel som har ett visst utfall Fördelningöver variabelns alla utfall Hypotestest på medelvärde från en population Hypotestest på andel från en population Chi 2 Men i de här fallen är det oftast bättre att göra konfidensintervall. Test av en hypotes om vilken av två variabler i en population som är störst, test av beroende urval. (Vi har en grupp och jämför två variabler i den gruppen, för varje individ har vi då två utfall och kan beräkna differensen mellan dem) Skaltyp Test av Test metod Intervallskala eller Medelvärdeav differenser Vilket tecken som har störst rangsumma Vilket tecken har flest observationer t-test på beroende urval Wilcoxons teckenrangtest teckentest Testerna på föregående 2 slideär i första hand deskriptiva test. Vi testar om en variabel i en population ser ut på ett visst sätt eller vilken av två variabler som är störst. (Testerna om vilken variabel som är störst kan dock användas för att undersöka samband, exempelvis om de båda variablerna är hälsotillstånd före respektive efter en behandling. Vi ska nu övergå till analytiska test, finns det ett samband mellan två variabler. Om den ena av dessa båda variabler är en variabel mätt på nominalskala, kan vi använda den för att dela in populationen i två eller flera grupper och se om dessa avviker från varandra med avseende på den andra variabeln. På nästa slidesammanfattas de olika tester vi har för att jämföra olika grupper. Vi kan dela in grupperna med hjälp av en variabel som är mätt på nominalskala. 1

Att jämföra oberoende urval/populationer Att undersöka samband mellan två variabler mätta på ordinalskala: Nominalskala Kvotskala 2 populationer Flera populationer Hypotestest på andelar från två populationer, Chi 2 i korstabell Wilcoxon rangsummetest Hypotesttestpå medelvärde och/eller varians från två populationer Chi 2 i korstabell Kruska Wallis ANOVA testet Om vi vill testa om två variabler har ett samband där båda variablerna mäts på minst ordinalskala kan vi använda spearmanskorrelationskoefficient för att mäta styrkan i sambandet. Dock fångas enbart linjära samband av korrelationskoefficienter. I det här fallet kan vi också klassindela den ena variabeln, använda den för att dela in materialet i grupper och göra en Kruska Wallis. Det är en svagare test i den meningen att vi inte utnyttjar informationen om att utfallen kan rangordnas på den variabel vi använder till gruppindelning. Men vi kan fånga icke linjära samband och vi får resultaten redovisat per grupp. Vi kan också klassindela båda variablerna och använda chi2 i korstabell. Testen blir ännu svagare men vi får frekvenserna redoisade parvis för variablerna. Dessa tre tester kan komplettera varandra. Att undersöka samband mellan två variabler mätta på intervall eller. Om vi vill testa om två variabler har ett samband där båda variablerna mäts på minst intervallskala kan vi använda pearssonskorrelationskoefficient för att mäta styrkan i sambandet. Om vi kan utesluta en kausal påverkan i en av riktningarna, dvs om vi kan hävda att den ena variabeln är oberoende av den andra och därmed säga att det är den beroende variabeln som beror av oberoende kan vi beräkna hur stor den kausala effekten är genom att beräkna en regressionskoefficient. Men hjälp av en multipel regressionsmodell kan vi beräkna storleken på den kausala effekten från var och en av de oberoende variablerna givet att övriga oberoende variabler är oförändrade. Detta är vår kaxigaste metod. Vi säger inte enbart att det finns ett samband utan beräknar också storleken på kausala effekter. Därmed behöver vi starka antaganden som ska vara uppfyllda och intervall eller på variablerna. (Eller dummyvariabler som oberoende variabler) Några exempel på metodval: Att jämföra oberoende urval/populationer Övning 19d, icke parametriska Erbjuder de hotell som tillhör en kedja mer eller mindre relevant kompetensutbildning till sin personal? nominalskala ordinalskala Nominalskala 2 populationer Flera populationer Hypotestest på andelar från två populationer, Chi 2 i korstabell Wilcoxon rangsummetest Chi 2 i korstabell Kruska Wallis Kvotskala Hypotesttestpå medelvärde eller varians från två populationer ANOVA testet 2

Några exempel på metodval: Övning 19c, icke parametriska Är yngre anställda mer eller mindre nöjda med relevansen i den kompetensutbildning som arbetsgivarna arbjuder Några exempel på metodval: Övning 19b, icke parametriska Har stora hotell yngre anställda än små hotell? ordinalskala Spearmans rangkorrelationskoefficient är möjlig eftersom båda variablerna har minst ordinalskala. (Dock ej pearsons korrelationskoefficient) Om sambandet är icke linjärt kan Kruska Wallis avslöja att de i mellangruppen anser kompetensutbildningen mindre relevant. Vi kan använda regressionsanalys eftersom båda variablerna har. Om sambandet är icke linjärt kan vi prova en kvadratisk modell eller en log linjär modell. (Vi kan dela in hotellen i grupper efter hur många anställda de har och göra ANOVA analys eller klassindela båda och göra korstabell, men eftersom regressionsanalys är vår kraftfullaste metod är det svårt att argumentera för något annat.) En forskare vill undersöka om det går att lindra huvudvärk med hjälp av en ny behandling. Han drar ett slumpmässigt urval av 11 patienter som har sökt för problem med återkommande huvudvärk. Patienterna får ange sina huvudvärksproblem på en skala mellan 1 och 10, där 10 är stora problem och 1 små problem, före respektive efter en tioveckors behandling med den nya metoden. Gör en hypotestest för att se om vi kan bevisa att behandlingen har effekt på huvudvärk. Använd 5 % signifikansnivå. : Behandlingen har ingen effekt på huvudvärk. : Huvudvärken antingen förbättras eller försämras av behandlingen. Här har vi två variabler mätta på ordinalskala, men vi ska inte se om de korrelerar utan om den ena är större än den andra. Därför är det inte spearmans korrelationskoefficient i det här fallet. Test av en hypotes om vilken av två variabler i en population som är störst, test av beroende urval. (Vi har en grupp och jämför två variabler i den gruppen, för varje individ har vi då två utfall och kan beräkna differensen mellan dem) Skaltyp Hypotes om Test metod Intervallskala eller Medelvärdeav differenser Vilket tecken som har störst rangsumma Vilket tecken har flest observationer t-test på beroende urval Wilcoxons teckenrangtest teckentest Sammanfattning av regressionsanalys: Att tolka regressionskoefficienterna Om den beroende variabeln är en icke logaritmerad variabel och den oberoende variabeln är: En vanlig kvantitativ variabel: Ökningen av Y när X ökar med en enhet, vid oförändrade värden på övriga oberoende variabler. En dummy variabel: Skillnaden i Y jämfört med referenskategorin, vid oförändrade värden på övriga oberoende variabler. En kvadrerad variabel. Parametern före den okvadrerade variabeln ger oss effekten av X på Y när X är lågt. Parametern före den kvadrerade variabeln ger oss förändringen av effekten av X på Y när X ökar. Sammanfattning av regressionsanalys: Att tolka regressionskoefficienterna Om den beroende variabeln är en logaritmerad variabel och den oberoende variabeln är: Också en logaritmerad variabel Den procentuella ökningen av Y när X ökar en procent, vid oförändrade värden på övriga oberoende variabler. En vanlig kvantitativ variabel: Antilogav koefficienten minus ett och multiplicerat med hundra ger oss den procentuella ökningen av Y när X ökar en enhet, vid oförändrade värden på övriga oberoende variabler. En dummy variabel: Antilogav koefficienten minus ett och multiplicerat med hundra gerossden procentuella skillnaden i Y jämfört med referenskategorin, vid oförändrade värden på övriga oberoende variabler. 3

Sammanfattning av regressionsanalys: =3,2+1,5 +0,11 10, =1,29 Om x 1 ökar med en procent ökar y med 1,5 procent, vid oförändrade värden på övriga oberoende variabler. Om x 2 ökar med en enhet ökar y med 29 procent, vid oförändrade värden på övriga oberoende variabler. Om x 2 är en dummy: skillnaden mot referenskategorin är 29 procent, vid oförändrade värden på övriga oberoende variabler. Att tolka regressionskoefficienter när variablerna är andelar. = + + Y = antal allergiker per 100 000 invånare. X = antal personer som bor i städer per 100 000 invånare tolkas som ökningen av antal allergiker per 100 000 invånare, om andelen som bor i städer ökar med 1 person per 100 000 invånare. Att tolka regressionskoefficienter när variablerna är andelar. = + + Y = andel allergiker. X = andel som bor i städer. Att tolka regressionskoefficienter när variablerna är andelar. = + + Y = andel allergiker, procent. X = andel som bor i städer, procent. tolkas som ökningen av andelen allergiker om andelen som bor i städer ökar med 1. Dock en lite märklig tolkning eftersom en andel knappast kan öka med ett. Bättre att dela med 10 eller hundra och gära tolkningen om andelen som bor i städer ökar med en tiondel eller en hundradel. tolkas som ökningen av andelen allergiker uttryckt i procentenheter om andelen som bor i städer ökar med en procentenhet. log = + log + tolkas som procentuella ökningen av andelen allergiker om andelen som bor i städer ökar med en procent. Antag att vi får följande resultat: = +0,4 + Om andelen som bor i städer ökar med en procentenhet ökar andelen allergiker med 0,4 procentenheter. log = +2 log + Om andelen som bor i städer ökar med en procent ökar andelen allergiker med en procent. I ett land där 50 % av befolkningen bor i städer och 5 % är allergiker innebär första regressionsmodellen att: Om andelen som bor i städer ökar till 51 % ökar andelen allergiker till 5,4 % Andra regressionsmodellen att Om andelen som bor i städer ökar till 50,5 % ökar andelen allergiker till 5,1 % ( 51% => 5,2% ) Problem som kan uppstå vid regressionsanalys. Ej normalfördelade residualer Heteroskedasticitet Endogenitet Multikollinearitet Felspecificerad modell linjär icke linjär felaktigt utelämnade oberoende variabler 4

Sannolikhetslära Sannolikhet är ett tal mellan noll och ett som beskriver hur stor chans det är att något händer. Olika sätt att bestämma sannolikheter Klassisk sannolikhetsteori Fungerar enbart om alla utfall har samma sannolikhet Sannolikheten för ett specifikt utfall: 1 ö Sannolikheten för en händelse: å ä ö Olika sätt att bestämma sannolikheter Räkneregler för sannolikheter Empirisk sannolikhetsteori Baseras på historiska realiserade utfall. Sannolikheten för en händelse: å ä å ö The lawoflargenumbers : Ju fler gånger ett försök utförs desto säkrare blir den empiriska sannolikheten Slumpvariabel - random variable. En kvantitet (eller kategori) som är resultatet av ett experiment och som kan anta olika värden. Diskret slumpvariabel - discrete random variable. En slumpvariabel som enbart kan anta vissa distinkta värden. Kontinuerlig slumpvariabel - continous random variable. En slumpvariabel som kan anta alla värden inom ett intervall. Egenskaper hos en sannolikhetsfördelning. En sannolikhetsfördelning är ett sätt att visa en slumpvariabels alla utfall och de olika utfallens sannolikheter. Sannolikheten för ett enskilt utfall är ett tal mellan 0 och 1. Utfallen är ömsesidigt uteslutande händelser. Summan av sannolikheten för alla möjliga utfall är 1 5

Några specialfall av diskreta sannolikhetsföredelningar: Uniform diskret sannolikhetsfördelning. Alla utfall har samma sannolikhet Binomial sannolikhetsfördelning Vi räknar något och sannolikheten att det vi räknar ska uppkomma är hela tiden densamma Kontinuerliga sannolikhetsfördelningar 1. Uniform sannolikhetsfördelning 2. Normalfördelning 3. Exponentialfördelning Hypergeometrisk sannolikhetsfördelning Vi tar ett urval av en population utan återläggning och räknar antalet som har en viss egenskap Poisson fördelningen ingår ej i kursen Senare kommer vi att gå igenom fler kontinuerliga sannolikhetsfördelningar: -fördelningen Chi2-fördelningen F-fördelningen Sannolikhetsfunktion för en uniform fördelning. (Density function) Sannolikheten att x hamnar mellan c och d är lika med den andel av arean som ligger mellan c och d. The Empirical Rule 1 b - a P ( c < x < d ) = d - c b - a a c d b Vad är sannolikheten att ur den standardiserade normalfördelningen dra ett tal som är mindre än 2? <2.00 = 0< < 2.00 + <0.00 = 0< < 2.00 +0.5=0.4772+0.5=0.9772 6

Ett annat exempel: Vad är sannolikheten att ur den standardiserade normalfördelningen dra ett tal som är mindre än minus 1,5. < 1.5 = >1.5 = 0.5 0< <1.5 = 0.5 0< <1.5 =0.5 0.4332=0.0668 Alla normalfördelningar kan konverteras till den standardiserade normalfördelningen. Exempel på beräkning Antag att svenska kroppslängden hos svenska män är normalfördelad med medelvärdet 181 cm och standardavvikelsen 6 cm. Kroppslängden hos svenska män kan noteras som: = 181,6 Hur stor andel av svenska män är längre än 187.4 cm? 187,4 181 6,4 z = = 1,07 6 6 P ( x > 187.4) = P( z > 1,07 ) = 0.5 P( 0 < z < 1,07 ) Alla normalfördelningar kan konverteras till den standardiserade normalfördelningen. Beräkning av index över sysselsättningen i Sverige Exempel på beräkning Antag att svenska kroppslängden hos svenska män är normalfördelad med medelvärdet 181 cm och standardavvikelsen 6 cm. Hur stor andel av svenska män är längre än 187.4 cm? Kroppslängden hos svensk män kan noteras som: = 181,6 år antal sysselsatta Index 2005 4262600 100,0 2006 4340600 101,8 2007 4444500 104,3 2008 4484100 105,2 2009 4380800 102,8 2010 4429400 103,9 4 262 600 4 262 600 100 4 484 100 4 262 600 100 4 429 400 4 262 600 100 187,4 181 6,4 z = = 1,07 6 6 Det år då indexet sätts till 100 kallas basår, i det här fallet 2005. P ( x > 187.4) = P( z > 1,07 ) = 0.5 P( 0 < z < 1,07 ) = 0.5 0.3577 = 0. 1423 14 % av svenska män är längre än 187.4 cm 7

Laspeyre Prisindex, = 100 Där: p. 0= Pris vid tidpunkt 0 p. t= Pris vid tidpunkt t q. 0= Kvantitet vid tidpunkt 0 q. t= Kvantitet vid tidpunkt t Paasches Prisindex, = 100 Jordgubbar Pris per liter Jordgubbar Antal sålda liter Yougurt Pris per liter Yougurt Antal sålda liter Laspeyres 22 50+ 33 130 100= 140 20 50+ 22 130 År 1 År 2 prisökning 20 22 10% 50 000 60 000 22 33 50% 130 000 95 000 Paasche 22 60 + 33 95 100 = 135 20 60 + 22 95 Principen för kedjeindex Antag att A och B är två variabler för vilka vi inte känner nivån men vet den årliga förändringen. Årlig förändring År A B 1 2% 1% 2 1.5% 0.5% 3 2.5% 1% 4 3% -0.5% 5 2% 1% 6 1% 1.5% Index serier, basår:1 År A B 1 100 100 2 101,5 100,5 3 104,0 101,5 4 107,2 101,0 5 109,3 102,0 6 110,4 103,5 107,2 1,02 101,5 0,995 Användning av prisindex ö = ä = ö 100 ä ä 100 8