Innehåll föreläsning 5 Reglerteknik I: Föreläsning 5 Frekvensbeskrivning, Bodediagram Fredrik Lindsten fredrik.lindsten@it.uu.se Kontor 2236, ITC Hus 2, Systemteknik Institutionen för informationsteknologi 1. Sammanfattning av föreläsning 4 2. Frekvensbeskrivning, forts. Sinus in sinus ut Frekvensfunktionen 3. Bodediagram 4. Stabilitet och Bodediagram Sammanfattning från föreläsning 4, forts. En plott som visar polernas lägen som funktion av en parameter kallas rotort. En rotort är alltså ett systematiskt sätt att studera hur ett systems kvalitativa egenskaper varierar med en viss parameter. Mer specifikt är det rötterna till polpolynomet Sammanfattning från föreläsning 4, forts. Att skissa en rotort för hand Skriv polpolynomet på formen Startpunkter: ges av lösningarna till stycken. Ändpunkter: ges av lösningarna till stycken. Asymptoter: stycken. Riktningar: Skärning med Re-axeln: som studeras som funktion av parametern K. Delar av Re-axeln: De delar av reella axeln som har ett udda antal reella start- eller ändpunkter till höger om sig tillhör rotorten. Skärning med Im-axeln: Sätt och lös
Frekvensbeskrivning: Från förra föreläsningen Frekvensbeskrivning: Från förra föreläsningen u G(s) y Om u(t) är en sinus blir y(t) också en sinus med samma frekvens. Amplituden förstärks med och fasen förskjuts med sinus in sinus ut Studera y(t) då transienterna har dött ut (stationäritet). Svarar mot att anta att u(t) har legat på sedan. A.6 faltningsintegral (OBS: Denna integral visar tydligt på det faktum att dynamiska system beror på tidigare insignaler.) Det komplexa talet beskriver entydigt systemets svar när insignalen är är en komplexvärd funktion i en variabel. Den kallas frekvensfunktion. Statisk förstärkning förstärkningen av en konstant insignal, dvs. med frekvens 0. Exempel, sinus in sinus ut Sinusar kan approximera mycket u y Vi kan approximera många signaler som inte ser ut som sinusar med sinusar. Ex. fyrkantspuls, N anger hur många sinusar som används.
Frekvensanalys Frekvensanalys av ögondynamik Om frekvensfunktionen G(iω) är känd kan vi enkelt beräkna y t om u(t) är en sinus (eller summa av sinusar). Omvänt, vi kan ta reda på vad G(iω) är för ett visst system (systemidentifiering) genom att applicera sinussignaler med olika frekvens och mäta utsignalens amplitud of fas detta kallas frekvensanalys Ögat har en reglermekanism som ser till att lagom ljusmängd kommer till näthinnan genom att pupillens storlek anpassas till det infallande ljuset. Grafisk framställning av frekvensfunktionen Frekvensfunktionen kan skrivas Bodediagram består av: Amplitudkurva Faskurva Hendrik W. Bode (1905-1982) Bodediagrammets upphovsman 1905 född i Wisconsin, USA 1926 Bell Labs Jobbade t ex med filter och utjämnare Sen mer med teoretiska aspekter (Math Research Department) relaterat till bl a långdistanstelefoni PhD 1935 Columbia University, NYC 1938 belopps- och faskurva för stabilitet WW II : var med och utvecklade elektriska styrsystem för avfyring. Senare också inom missilsystem.
Varför är bodediagram bra? Första ordningens system U(s) G 1 (s) G 2 (s) Y(s) Lågfrekvensasymptot Högfrekvensasymptot + = Brytpunkt 20dB 10 rad/s Sätt in några värden och interpolera Lutningen ges i db-skalan av 20 db per 10 rad/s, eller 20 db per dekad. Dekad = 10-potens 1. Seriekoppling av system blir enkelt (addera kurvorna). 2. Potenser av s blir räta linjer. Första ordningens system Andra ordningens system Lågfrekvensasymptot Högfrekvensasymptot Bodediagram för Lågfrekvensasymptot Högfrekvensasymptot Brytpunkt Amplitudkurva (beloppskurva) log-log-skala (ofta i db). Faskurva (argumentkurva) lin-log-skala. Den asymptotiska approximationen är dålig nära resonanstoppen. Jämför med stegsvaren för dessa system! Resonanstopp
Bodediagram för allmänna system Exempel, två reella poler Allmän rationell överföringsfunktion: [0] [-1] Amplitudkurva: Brytpunkter [-2] Statisk förstärkning: Faskurva: Brytpunkt i täljaren Asymp. ampl. kurvans lutning ökar med 1. Brytpunkt i nämnaren Asymp. ampl. kurvans lutning minskar med 1. Asymptotiska bodediagram ger en oftast bra approximation av den exakta kurvan, undantag är frekvensområden där flera närliggande brytpunkter bryter åt samma håll och nära en resonanstopp. Bodediagram för ögondynamik Ett tankeexperiment (I/II) 22 Genom att utföra en rad sinus in sinus ut experiment kan vi skissa upp ett bodediagram för ögondynamiken. Vi har experimentellt tagit reda på systemets dynamik genom att göra mätningar på systemet. Låt G o (s)=f(s)g(s) vara öppna systemet och antag att är en frekvens sådan att A B G o (s) -1 y(t) Omkopplaren i läge A, stationärt tillstånd: sin in sin ut ger
Ett tankeexperiment (II/II) 23 Stabilitet och Bodediagram A I punkten B är signalen G o (s) y(t) Självsvängning (stabilitetsgräns): B -1 Momentan förändring från A till B leder till: Fall 1: = 1, systemet självsvänger med konstant amplitud 1 Fall 2: > 1, amplituden ökar (G c (s) är instabilt) Fall 3: < 1, amplituden minskar och svängningen dör ut (G c (s) är stabilt) Stabil Instabil Några begrepp som får summera föreläsning 5 Bodediagram: Figurer som var för sig visar amplitudkurvan och faskurvan som funktion av 1. - Amplitudkurva (beloppskurva), log-log-skala (ofta i db). 2. - Faskurva (argumentkurva), lin-log-skala. Brytpunkt: Den frekvens där 2 asymptoter skär varandra i ett Bodediagram.