Det var enklare att slå ihop 4 hjärnor än att tänka själv

Det var enklare att slå ihop 4 hjärnor än att tänka själv En fallstudie om gruppdiskussionens betydelse för elevlösningar av rika matematiska problem hos elever i årskurs 8 Ulrihca Malmberg LAU690 Handledare: Mikael Holmquist Examinator: Biörn Hasselgren Rapportnummer: HT08-2611-05P

Abstrakt Examensarbete inom lärarutbildningen Titel: Det var enklare att slå ihop 4 hjärnor än att tänka själv En fallstudie om gruppdiskussionens betydelse för elevlösningar av rika matematiska problem hos elever i årskurs 8 Författare: Ulrihca Malmberg Termin och år: Höstterminen 2008 Kursansvarig institution: Sociologiska institutionen Handledare: Mikael Holmquist Examinator: Biörn Hasselgren Rapportnummer: HT08-2611-05P Nyckelord: rika matematiska problem, problemlösning, grupparbete Studiens övergripande syfte är att analysera vilken roll några betydelsefulla faktorer har på hur högstadieelever i gruppsamverkan kommer till konsensus om lösningen för ett rikt matematiskt problem. De faktorer som studeras är grupp-processens och tidsramens betydelse samt för- och nackdelar med en kunskapsmässigt heterogen gruppkonstellation. Undersökningen har genomförts som en fallstudie, där triangulering använts för att studera frågeställningarna utifrån olika perspektiv. Elever i två högstadieklasser har vid tre tillfällen arbetat med problemuppgifter där tre lektioner avsatts per problem. Datainsamling och analys har skett utifrån insamlade enskilda elevlösningar och grupplösningar, audio- och videoinspelade observationer, enkäter samt audioinspelade intervjuer. Resultaten visar att gruppen vid framtagande av grupplösningen i första hand strävar efter att få alla i gruppen att förstå de enskilda lösningarna. Därefter utgår gruppen från de elevlösningar som löst flest av deluppgifterna och som är mest lättbegripliga. I de fall då gruppen löser fler deluppgifter än vad gruppmedlemmarna enskilt klarat, bygger gruppen som regel vidare på de lösningsstrategier som eleverna enskilt har påbörjat. Studien indikerar att mycket tid bör avsättas för gruppdiskussionen, då observationer visar att eleverna efter att de bedömer sig vara klara med uppgiften, börjar analysera problemet och sin egen lösning mer på djupet. Arbete i heterogena grupper visar att högpresterande elever ofta får förklara sina lösningar för övriga elever men inte själva får motsvarande kunskapsmässiga utmaning. Studien indikerar att dessa elever kunskapsmässigt skulle få ut mer av att arbeta i homogena grupper, vilket avviker från den refererade forskningen. Inte heller forskningens syn att medelpresterande elever blir passiva i heterogena grupper bekräftas i studien då dessa deltar lika aktivt som övriga i gruppen. Studien visar att denna arbetsform i hög utsträckning uppfyller de ledord om kommunikation och lärande genom problemlösning som återspeglas i skolans styrdokument och att den är ett bra komplement till övrig matematikundervisning. i

Förord Detta examensarbete har utförts enskilt under höstterminen 2008. Ett särskilt tack vill jag rikta till mina underbara elever i årskurs 8 som beredvilligt har ställt upp på att arbeta i påtvingade grupper med mikrofon under näsan och videokamera rakt i ansiktet. De har utan att knota fyllt i enkät efter enkät och med bara mindre suckar ställt upp på intervjuer. Utan er alla hade det inte blivit något av med detta examensarbete och jag hoppas att ni åtminstone fått ut bråkdelen av det som jag har av det vi gått igenom denna termin. Jag vill också sända ett tack till min handledare Mikael Holmquist, som haft förmåga att strama upp alla mina vildflugna tankar för att fokusera på några få och som fått mig att inse att arbetet lämpligen borde utformas som en fallstudie, trots att det inledningsvis var det sista jag önskade. Nu i efterhand är jag dock mycket tacksam över att så blev fallet. Uppsatsens titel är ett direkt citat från en elev där denne i en av enkäterna skulle ange några fördelar med den gruppdiskussion som eleverna precis haft; Det var enklare att slå ihop 4 hjärnor än att tänka själv ii

Innehållsförteckning Abstrakt... i Förord... ii Innehållsförteckning... iii Figur- och tabellförteckning... v 1 Inledning... 1 2 Forskningsanknytning... 2 2.1 Styrdokumentens syn på problemlösning... 2 2.2 Några lärteoriers koppling till arbete med problemlösning... 4 2.3 Matematiska problem och rika sådana... 4 2.4 Matematiken i problemuppgifter... 6 2.5 Den matematiska diskursen... 8 2.6 Matematisk problemlösning i grupp... 9 2.7 Undervisning i problemlösning... 12 2.8 Begreppsdefinitioner... 14 3 Syfte och problemformulering... 16 3.1 Studiens syfte... 16 3.2 Problemformulering... 16 4 Design, metoder och tillvägagångssätt... 17 4.1 Övergripande beskrivning av metodval... 17 4.2 Beskrivning av deltagande elever... 18 4.3 Sammansättning av elevgrupper... 19 4.4 Lektionsupplägg... 21 4.5 Val av rika matematiska problem... 22 4.6 Datainsamling och dataanalys... 24 4.7 Externt och internt bortfall... 27 4.8 Studiens tillförlitlighet... 28 4.9 Etiska överväganden... 30 5 Resultat och analys... 31 5.1 Elevernas inställning till matematik i skolan... 31 5.2 Resultatpresentation utifrån studiens frågeställningar...31 6 Diskussion... 39 6.1 Sammanfattning av resultat... 39 6.2 Resultat i förhållande till tidigare forskning... 39 6.3 Reflektioner om metodval... 42 6.4 Relevans för läraryrket... 44 6.5 Förslag till fortsatt forskning... 45 6.6 Avslutande reflektion... 46 iii

7 Referenser... 47 Bilaga A : Medgivandeförfrågan till vårdnadshavare och elever... 51 Bilaga B : Rikt problem # 1... 52 Bilaga C : Rikt problem # 2... 53 Bilaga D : Rikt problem # 3... 54 Bilaga E : Skriftliga instruktioner för arbete enskilt och i grupp... 55 Bilaga F : Enkät... 56 Bilaga G : Observationsschema... 63 iv

Figur- och tabellförteckning Figurförteckning Figur 1 Olika steg i problemlösningsprocessen (efter Taflin, 2007:36)... 8 Figur 2 Diagrammet visar antal lösta deluppgifter per grupp och individ för problem 1, Stenplattorna. Staplarna visar antalet lösta deluppgifter per grupp och punkterna innanför respektive stapel markerar gruppmedlemmarnas antal lösta deluppgifter vid det enskilda arbetet. Staplar och punkter till vänster om mellanrummet är låg-medelpresterande grupper och till höger medel-högpresterande. Avsaknad av punkter utgör elever som varit frånvarande vid det enskilda arbetet... 33 Figur 3 Diagrammet visar antal lösta deluppgifter per grupp och individ för problem 2, Skolan. Diagramkonstruktionen är densamma som för figur 2... 33 Figur 4 Diagrammet visar antal lösta deluppgifter per grupp och individ för problem 3, Skolvägen. Diagramkonstruktionen är densamma som för figur 2. Den punkt för grupp 2F-MH som ligger utanför stapeln utgör en elev i gruppen som i sin enskilda lösning klarat två deluppgifter, men som inte deltog i gruppdiskussionen... 34 Tabellförteckning Tabell 1 Design av datainsamlingen för fallstudien... 18 Tabell 2 Bedömningskriterier för kategorisering av elever inför indelning i elevgrupper.... 20 Tabell 3 Gruppernas sammansättning under arbetet med rika matematiska problem med avseende på antal, kön och kunskapsnivå. Avgränsningen markerar delning mellan de två klasserna.... 20 Tabell 4 Det matematiska huvudinnehållet i problemuppgifterna (Hagland m fl., 2005; Malmberg, 2007).... 23 v

1 Inledning Som praktiserande matematiklärare på högstadiet har jag vid ett flertal tillfällen arbetat med matematiskt rika problem i mina klasser. Problemen har hämtats från litteraturen, bl.a. Rika matematiska problem (Hagland, Hedrén & Taflin, 2005) och 32 rika problem i matematik (Larsson, 2007). Lektionerna har varit upplagda enligt rekommendationer från litteratur och forskning, där eleverna inledningsvis arbetar enskilt med problemen för att därefter i grupp diskutera olika lösningsförslag och avslutningsvis i helklass diskutera lösningarna och deras för- och nackdelar. Trots detta, och trots de positiva ord om arbete med rika problem och gruppdiskussioner som tas upp inom forskningen, har inte alltid fördelarna som framhålls i litteraturen varit uppenbara i min egen undervisning. Några kritiska punkter som identifierats är att diskussionerna i grupperna inte alltid varit konstruktiva och lett till en fördjupad förståelse hos eleverna, att tiden för arbetet varit för kort, samt att jag som lärare känt att jag inte hunnit med att stötta grupperna på det sätt som forskningen rekommenderar. Därför har jag i detta examensarbete valt att fokusera på vad som sker i elevgrupper när de arbetar med rika matematiska problem utan stöd av lärare. Trots de svårigheter jag själv mött i min lärarroll, ser jag stora fördelar med att ha gruppdiskussioner om rika matematiska problem i min undervisning. Detta kopplar också till läroplanens (Utbildningsdepartementet, 1994) och kursplanens (Skolverket, 2000) skrivningar om problemlösning som ett medel för lärande och elevers samtal för utveckling av den matematiska diskursen samt förmågan att analysera och värdera olika lösningar. Både inom forskning och examensarbeten har olika frågeställningar analyserats och diskuterats rörande rika matematiska problem och elevers arbeten med dessa. Som exempel kan nämnas Taflin (2007) som i sin avhandling behandlar vad som avses med ett rikt matematiskt problem samt Ahlberg (2000; 1995; 1991) som bl.a. fokuserar på arbete med problemlösning i grupp. Vidare relateras till forskning om hur en undervisning utgående från problemlösning lämpligen struktureras (Bell, Burkhardt, Crust, Pead & Swan, 2007; Lester & Lambdin, 2007, 1996; Taflin, 2007; Emanuelsson, Wallby, Johansson & Ryding, 1996; Ahlberg, 1995; Wyndhamn, 1991). I examensarbeten från lärarstuderande diskuteras bl.a. elevers strategival vid lösning av matematiska problem (Niclasson & Sandén, 2007; Runborg Johansson & Moberg, 2006; Helmertz 2007; Shkala & Zdrnja, 2007), hur grupper samarbetar och löser uppgifter (Fyrhag & Himanen, 2007) och hur lärare använder sig av problemlösning inom matematiken (Fälth & Svensson, 2006). Dock saknar jag i ovanstående texter mer specifika studier om hur enskilda lösningar utvecklas när de tas upp i grupp. Kunskap om detta är till stort gagn för den enskilde läraren vid planering och genomförande av arbete med problemlösning i klassrummet. Därför har jag valt att i mitt examensarbete fokusera på några faktorer som jag i min undervisning identifierat som betydelsefulla för hur högstadieelever i gruppsamverkan kommer till konsensus vid framtagande av en gemensam lösning för ett rikt matematiskt problem. Faktorerna är i vilken utsträckning enskilda lösningar utvecklas vid gruppdiskussion, hur avsatt tid för diskussionen påverkar resultatet samt vilka för- och nackdelar som kan ses med en heterogen gruppsammansättning. 1

2 Forskningsanknytning Vid val av referenslitteratur har utgångspunkten varit primärkällor av etablerade och välrefererade forskare, som i sina studier fångar upp de faktorer som denna studie fokuserar på. 2.1 Styrdokumentens syn på problemlösning 2.1.1 Lärande genom problemlösning I läroplanen för det obligatoriska skolväsendet, förskoleklassen och fritidshemmet [Lpo 94] står i strävansmålen angivet att eleverna ska kunna använda erhållna kunskaper för att formulera och pröva antaganden och lösa problem; reflektera över erfarenheter och kritiskt granska påståenden och förhållanden (Utbildningsdepartementet, 1994). Detta återspeglas även i den nationella kursplanen i matematik för grundskolan (Skolverket, 2000) där strävan för undervisningen bl.a. är att eleven; utvecklar intresse för matematik samt tilltro till det egna tänkandet och den egna förmågan att lära sig matematik och att använda matematik i olika situationer, inser värdet av och använder matematikens uttrycksformer, utvecklar sin förmåga att förstå, föra och använda logiska resonemang, dra slutsatser och generalisera samt muntligt och skriftligt förklara och argumentera för sitt tänkande, utvecklar sin förmåga att formulera, gestalta och lösa problem med hjälp av matematik, samt tolka, jämföra och värdera lösningarna i förhållande till den ursprungliga problemsituationen, utvecklar sin förmåga att använda enkla matematiska modeller samt kritiskt granska modellernas förutsättningar, begränsningar och användning (Skolverket, 2000:26-27). I kursplanen för matematik påtalas problemlösningens roll i undervisningen; Problemlösning har alltid haft en central plats i matematikämnet. Många problem kan lösas i direkt anslutning till konkreta situationer utan att man behöver använda matematikens uttrycksformer. / / För att framgångsrikt kunna utöva matematik krävs en balans mellan kreativa, problemlösande aktiviteter och kunskaper om matematikens begrepp, metoder och uttrycksformer. (Skolverket, 2000:27-28) Skolverket säger t.o.m. att ett karakteristiskt motiv för och syfte med all matematikutbildning är att utveckla problemlösningsförmåga (Skolverket, 1997:12). Motivet för detta är att eleven ska kunna känna tilltro till och använda matematiken. Vidare ses problemlösning som ett medel för att utveckla begrepp och matematiskt tänkande (Skolverket, 1997:12), det som benämns problembaserat lärande. I detta ingår även att kunna bedöma om resultaten är rimliga och att värdera olika lösningar, att utveckla förmågan att dra slutsatser och generalisera samt att muntligt och skriftligt kunna redogöra för sina tankar och även argumentera för dessa (Skolverket, 2003:13; 2000:26-27). I kommentarerna till kursplanen framhålls vikten av en utvidgad problemlösningsprocess, där eleverna inte bara löser färdiga problemuppgifter enligt en given lösningsmetod utan även själva formulerar problem, finner en lämplig lösningsmetod och bedömer resultatets rimlighet (Skolverket, 1997:18). För de högre betygsstegen betonas dessa färdigheter ytterligare och eleven ska även ha förmåga att värdera olika metoders för- och nackdelar. För högsta betygsgrad, Mycket väl godkänt, ska eleven kunna ta del av andras argument och framför utifrån dessa egna matematiskt grundade idéer (Skolverket, 2000:30). 2

De idéer som ligger bakom Lpo 94 och kursplanen i matematik har sin grund i aktuell forskning kring problemlösning, där det framhålls att ett förståelsebaserat lärande lämpligen tränas genom problemlösning. Lester och Lambdin menar att eleverna på så sätt tvingas in i ett mentalt tillstånd där de behöver förstå hur man kan koppla ihop olika slag av kunnande (Lester & Lambdin 2007:98). Eleverna tränas i att utveckla sina matematiska tankar och idéer, att se förtjänsterna med användandet av matematiska symboler samt att hitta matematiska samband och kunna resonera kring och argumentera för olika lösningsförslag (Taflin, 2007:54; Wyndhamn, Riesbeck & Schoultz, 2000). Även den matematiska diskursen, d.v.s. användandet av det matematiska språket muntligt och skriftligt, framhålls som viktigt för elevens kunnande. I kursplanens beskrivning av bedömningens inriktning framhålls förmågan att använda, utveckla och uttrycka kunskaper i matematik samt att följa, förstå och pröva matematiska resonemang (Skolverket, 2000:29-30). Exempel på sådana förmågor är att eleven kan ge förslag till lösningar och bedöma rimligheten i svaret och kunna kommunicera detta i ord och skrift, men även att kunna följa och pröva andra elevers sätt att resonera (Skolverket, 2000:29-30). I den internationella PISA-undersökningen från 2006 (Programme for International Student Assessment) framkom att svenska 15-åringar ligger ungefär på OECD-genomsnittet i matematik, vilket är i nivå med tidigare undersökningar år 2000 och 2003 (Skolverket, 2007:14). Vid analys av resultaten konstateras att bristerna främst rör analytisk förmåga, reflektion, kommunikation och argumentation (Myndigheten för skolutveckling, 2007:17). Några av orsakerna till dylika svagheter lyfts fram i den nationella utvärderingen från 2003 [NU 03] som genomfördes av Skolverket. Där framkom bl.a. att matematikundervisningen har färre gemensamma genomgångar och diskussioner än andra teoretiska ämnen och att de intentioner som finns i kursplanen rörande kommunikation och resonemang i matematiken inte återspeglas i den undervisning som bedrivs (Myndigheten för skolutveckling, 2007:27-28). Skolverket drar utifrån detta slutsatsen att om matematiksamtal inte förekommer i någon större utsträckning begränsas elevernas språk- och begreppsutveckling (Myndigheten för skolutveckling, 2007:30). 2.1.2 Historisk tillbakablick på styrdokumentens syn på problemlösning I Skolverkets kommentarer till kursplanen i matematik (Skolverket, 1997:21,41) visar man på en önskad förskjutning från en matematikundervisning som betonar färdighets- och procedurträning till en mer problemorienterad matematik, där avsikten bl.a. är att eleven ska utveckla det egna tänkandet och förmåga att resonera matematiskt. I en forskningsstudie vid Linköpings universitet studerades bl.a. hur synen på problemlösning har ändrats över tid i skolans styrdokument (Wyndhamn m fl., 2000). Problemlösning i Läroplan för grundskolan 1969 [Lgr 69] sågs som ett övergripande mål i undervisningen och tekniker lärdes ut för att eleverna slutligen skulle kunna lösa problem matematik för problemlösning. Vidare låg fokus på att utveckla elevernas förmåga att föra över den kunskap de bar med sig från ett sammanhang till ett annat något som benämns transfer (Taflin, 2007:40). I Läroplan för grundskolan 1980 [Lgr 80] skulle man även undervisa om problemlösning där eleverna fick välja och använda lämpligt räknesätt för att lösa problemet (Wyndhamn m fl., 2000:47). Det kunde t.ex. handla om att lära ut Pólyas modell för problemlösning som en metod för eleverna att tillämpa (Taflin, 2007:40; Pólya 1970). I Lpo 94 och nuvarande kursplanen i matematik (Skolverket, 2000) har synen på problemlösning förändrats till att även ses som ett medel att nå matematiskt tänkande enligt Wyndham, Riesbeck och Schoultz (2000:305). De menar att den nuvarande synen har ett konstruktivistiskt perspektiv, där utgångspunkten är att människan vid inlärning ställer ny 3

kunskap i relation till det som personen redan känner till eller förstår. Problemlösning ger eleven möjlighet att pröva och utvidga den egna förståelsen, d.v.s. lärande genom problemlösning. Träning kan ske genom att lösa skilda typer av problem med hjälp av flera olika metoder, men även genom att gemensamt diskutera och resonera kring olika idéer och lösningar. Genom att arbeta med problemlösning kan eleverna även träna rutinfärdigheter (Hedrén, Hagland & Taflin, 2005:14), men läroplanerna lyfter i allt högre utsträckning fram arbete med problem av mer öppen karaktär där det inte alltid finns givna svar och där problemuppgifterna kan innehålla stor komplexitet (Wyndhamn m fl., 2000:45). 2.2 Några lärteoriers koppling till arbete med problemlösning De styrdokument som gäller för skolan idag är främst influerade av de konstruktivistiska undervisningsteorierna med en mer förståelseinriktad undervisning (Bärring & Landström, 2008). Kunskap ses som något som utvecklas steg för steg, där eleven bygger sin kunskap utifrån den egna erfarenheten, men som genom konfrontation med lärarens eller andra elevers uppfattningar tvingas till reflektion (Wyndhamn m fl., 2000:93). Den sociala konstruktivismen fokuserar på processen snarare än resultatet för att underlätta kunskapsbyggandet. Här relateras till Vygotskys zon för proximal utveckling, även kallad den närmaste utvecklingszonen som kan ses som det kunskapsområde där eleven behöver ringa stöd från en annan person för att kunna lösa en uppgift (Hedrén m fl., 2005:18). Under konstruerandet av den nya kunskapen tar eleven avstamp från sina tidigare erfarenheter och kunskaper, vilket medför att en grupp elever som får identiska intryck likväl bygger upp en subjektiv kunskap (Taflin, 2007:115; Hedrén m fl., 2005:17; Wyndhamn m fl., 2000:94). Wyndhamn, Riesbeck och Schoultz (2000:110) förordar dock att man inför kommande revisioner av läroplanen bör få in mer av det sociokulturella perspektivet. Säljö (enligt Persson & Svensson, 2007) beskriver de sociokulturella teorierna som något som länkar samman de individuella processerna hos den enskilde eleven med det som sker i samverkan med andra och även här relateras till Vygotskys utvecklingszon. Läraren bör enligt denna teori inta en mer stöttande roll, där frågor snarare än svar ges till eleven, som därmed tvingas reflektera kring de frågor som ställs och på så sätt utveckla sitt lärande. Eleven kan även få stöd för sitt lärande med hjälp av andra elever, läroböcker samt texter och laborationsmaterial (Wyndhamn m fl., 2000:103). 2.3 Matematiska problem och rika sådana Det finns ingen entydig definition av vad ett matematiskt problem är. Grevholm (1991:151) avser med problemlösning uppgifter där det inledningsvis inte är uppenbart för eleven hur denne ska lösa uppgiften utan måste använda sig av sitt matematiska kunnande och förnuft. Lester har definierat ett problem som: En uppgift som en person vill eller behöver lösa. Personen i fråga har inte en på förhand given procedur för att lösa uppgiften. Det krävs en ansträngning av henne eller honom för att lösa den (Lester, 1996:85) I kursplaneförslaget i matematik för den sedermera avblåsta gymnasiereformen Gy07, avsåg man med ett problem en uppgift där man inte direkt kan använda sig av de standardmetoder 4

man behärskar, vilket skiljer ett problem från en rutinuppgift. Den sistnämnda betraktades därmed som en procedurförmåga och inte problemlösningsförmåga (Mouwitz, 2007:61). Gemensamt för dessa definitioner är att ett matematiskt problem snarast är en relation mellan en uppgift och den som ska lösa den och att det som är ett problem för en elev inte behöver vara det för en annan. Taflin beskriver det som att en matematisk uppgift blir ett problem först när det krävs att problemlösaren måste göra en särskild ansträngning för att finna lösningen (Taflin, 2007:11) och hon betonar även viljan hos problemlösaren att lösa uppgiften. Detta skiljer därmed ett problem från en rutinuppgift, där eleven vet hur problemet ska lösas (Taflin, 2007:11, Olsson, 2000:189) och medför att en uppgift som för en elev utgjort ett problem som blivit löst, som regel inte kommer att vara ett problem vid ett senare tillfälle (Taflin, 2007:38). Begreppet rikt matematiskt problem har inte heller någon entydig definition och är inte allmänt vedertaget. För liknande typer av problem kan man även finna ordval som t.ex. berikande uppgifter (Silver & Smith, 2002b:39), öppna problemuppgifter (Wyndhamn m fl., 2000:47) och rika matematikuppgifter (Björkqvist, 1999:35). Silver och Smith refererar till Professional Standards for Teaching Mathematics från 1991, som använder begreppet berikande uppgifter för sådana uppgifter som inte åtskiljer matematiskt tänkande från begrepp eller färdigheter, som fångar elevernas nyfikenhet och som inbjuder dem att spekulera och följa upp sina ingivelser (Silver & Smith, 2002b:39). Björkqvist (1999:35-36) å sin sida, använder begreppet matematisk rik matematikuppgift, och avser då en uppgift som är värdefull på grund av sitt matematiska innehåll. Han menar att sådana uppgifter har potentialen att fungera som en nyckel till elevens förståelse och för att utveckla elevernas lärande vidare genom generalisering eller modifiering och där uppgiften kan fungera som brobyggare mellan olika teman, metoder och över tid. Svårigheten att finna någon entydig definition kring begreppet rika problem, föranledde Hagland, Hedrén och Taflin (2005:28) att ta fram sju kriterier för ett rikt matematiskt problem, och dessa förfinades ytterligare av Taflin i hennes avhandling (Taflin, 2007:11). Dessa kriterier med kommentarer är: 1. Problemet ska introducera till viktiga matematiska idéer /.../ Eleven ska inspireras att använda sig av sådana matematiska idéer, som hon redan tidigare stiftat bekantskap med, men också känna ett behov av att lära sig tidigare okända begrepp eller att pröva för henne nya procedurer och tekniker /.../ 2. Problemet ska vara lätt att förstå och alla ska ha en möjlighet att arbeta med det /.../ alla ska känna att de kommer någonstans, att de kan klara av en bit av lösningen. Det blir sedan i gruppdiskussionen eller i det gemensamma samtalet i klassen som problemet i sin helhet kommer att redas ut, så långt gruppens eller klassens samlade förmåga sträcker sig. /.../ 3. Problemet ska upplevas som en utmaning, kräva ansträngning och tillåtas ta tid /.../ Problemet ska alltså ha ett sådant djup och en sådan bredd att eleverna alltefter förmåga och intresse kan komma en längre eller kortare bit mot dess fullständiga lösning. 4. Problemet ska kunna lösas på flera olika sätt, med olika matematiska idéer och representationer /.../ På motsvarande sätt ska eleverna kunna arbeta på och redovisa sina lösningar med hjälp av många olika uttrycksformer eller som man ofta säger representationer /.../ 5. Problemet ska kunna initiera till matematiska resonemang utifrån elevernas skilda lösningar, ett resonemang som visar på olika matematiska idéer /.../ Dessa samtal ska leda eleverna in på väsentliga matematiska idéer och lösningsmetoder, oftast aktualiserade av någon av elevlösningarna men ibland direkt av läraren. 6. Problemet ska kunna fungera som brobyggare /.../ Det kan finnas en risk att läraren i sin undervisning tar upp aritmetiken algebran, geometrin, sannolikhetsläran och så vidare var för sig, och att eleverna därför får svårt att se sammanhang mellan matematikens olika delar. Om läraren har förmåga att peka på sådana samband vid 5

lösandet av rika problem, är vi övertygade om att eleverna kommer att få många viktiga ahaupplevelser. 7. Problemet ska kunna leda till att elever och lärare formulerar nya intressanta problem. Ett sätt att få eleverna att visa upp sina kunskaper men även att samtidigt bygga på och fördjupa dem är att be dem hitta på egna problem, som bygger på samma matematiska idéer som det problem de nyss har löst (Hagland m fl., 2005:28; Taflin, 2007:11) Sammanfattningsvis menar Taflin att ett rikt problem definieras som ett problem som är utvecklingsbart och metodiskt mångdimensionellt (Taflin, 2007:46), men att man enbart kan avgöra om ett problem är rikt genom att pröva det i en elevgrupp (Taflin, 2007:99). En reservation kan dock göras mot Taflins bild att problemets rikedom först avgörs i sitt möte med eleverna. Min personliga reflektion är att ett rikt problem bör åsyfta den inneboende potential som finns i en uppgift. Ett berikande problem är enligt min tolkning av Silver och Smith (2002b:39) ett problem som i sin kontakt med eleverna ger dem ett vidgat matematiskt synsätt och/eller lärande, d.v.s. ett rikt problem ska uppfylla de sju kriterier som presenterats ovan, men att den kan anses berikande först i sitt möte med eleven om denne utvecklas matematiskt i kontakt med problemet. 2.4 Matematiken i problemuppgifter 2.4.1 Problemlösningsprocessen Pólya beskrev 1945 problemlösning som bestående av fyra faser: att förstå problemet, att göra upp en plan, att genomföra planen och slutligen att se tillbaka och kontrollera sitt resultat. Att förstå problemet handlar om att veta vad som eftersöks och vilka fakta som finns tillgängliga. Därefter lägger eleven upp en plan för hur uppgiften ska lösas genom att hitta sambandet mellan den information som finns tillgänglig och det man söker. Vid genomförandet av planen måste varje steg kontrolleras, och denna kontroll gäller även det slutliga resultatet (Pólya, 1970). En modell för den matematiska problemlösningsprocessen, inspirerad av Pólya, har tagits fram av Garofalo, Kroll och Lester (beskriven av Ahlberg, 1995:28). Den innehåller fyra olika aktiviteter - Problemorientering som rör strategier elever använder för att förstå problemet; Organisation som rör planerandet och val av handlingar som ska utföras; Utförande som rör tillvägagångssättet för att i realiteten lösa uppgiften, samt; Verifikation där eleven utvärderar resultatet och de beslut som fattats under processens gång. Lester (1996:85) betonar att problemlösningsförmåga i matematik utvecklas långsamt och är tidskrävande, eftersom den innehåller fler krav än att bara direkt tillämpa befintliga kunskaper. Han har kategoriserat fem olika faktorer som påverkar problemlösningsförmågan (1) kunskapande och användning, (2) kontroll, (3) uppfattningar av matematik, (4) attityder och känslor samt (5) socio-kulturella sammanhang. För kunskapande och användning (1) handlar det om kännedom om olika problemtyper och att använda sig av denna kunskap. Dessutom rör det förmågan att växla mellan olika uttrycksformer. Kontroll (2) handlar om metakognition, d.v.s. kunskap om och kontroll över sitt eget tänkande och lärande. Uppfattningar av matematik (3) rör tilltron till den egna förmågan och hur denna självkänsla påverkar elevens möjligheter att lösa uppgiften. Attityder (4) rör egenskaper hos personer och handlar om inställning för eller emot något, det kan handla om t.ex. motivation, intresse, självförtroende och förmåga att inte ge upp. Känslor (4) är mer situationsspecifika. Det sociokulturella sammanhanget (5) handlar om igenkänning av problemet och dess förankring i verkligheten för den enskilde eleven (Taflin, 2007b). 6

2.4.2 Matematiska idéer och lösningsstrategier När man talar om matematiska idéer avser man koncept och verktyg som eleven kan använda för att lösa ett matematiskt problem. Begreppet matematiska idéer innehåller både generella och specifika idéer, där det förstnämnda inkluderar begrepp, procedurer och operationer, konventioner, formler och strategier, medan man med specifika idéer avser de verktyg som eleven använder sig av för att lösa ett specifikt problem (Taflin, 2007:97). Definitionen för dessa begrepp hittas i slutet av detta kapitel. Begreppskunskap avser faktakunskap medan procedur- eller operationskunskap handlar om att behärska olika tekniker, t.ex. algoritmräkning, ekvationsförenkling och användande av formler. Med strategisk kunskap menas olika tekniker för att öppna upp ett problem eller igenkänning av olika problemtyper. Ibland inkluderas även metakognitiv kunskap där eleven kan kontrollera sitt eget lärande samt självkännedom som rör den mer känslomässiga inställningen till hur uppgifter ska lösas (Wyndhamn m fl., 2000:300). Forskning av Boaler (beskriven av Taflin, 2007:112) har visat att elever som behärskar både procedurer och begrepp kan använda sina kunskaper i olika matematiska sammanhang, medan elever som är duktiga på procedurer men inte på begrepp har svårigheter att bedöma när eller hur de kan använda sina kunskaper. Att resonera när man söker finna en lösning är ett inslag i problemlösningssituationen och kan ses som en form av målmedvetet tänkande, där eleven genom logiska resonemang steg för steg når fram till en slutsats (Wyndhamn m fl., 2000:301). Att resonera kan utföras av den enskilde eleven men är vanligast i kommunikation med andra. På detta sätt kan man länka samman problemlösning, resonemang och kommunikation som en treenighet för den egentliga problemlösningen (Wyndhamn m fl., 2000:301). När eleverna arbetar med uppgifterna och väljer sina lösningsstrategier finns det olika metoder som är användbara. Ju fler strategier eleverna har med sig att välja mellan, desto lättare är det att anpassa strategin efter problemuppgiftens art (Eriksson, 1991:104). Det finns olika typer av strategier, t.ex. gissa och pröva, rita en bild, göra en lista eller tabell, tänka baklänges, söka mönster, resonera logiskt eller ställa upp en ekvation (Eriksson, 1991:105; Taflin, 2007:68). Lösningsstrategierna kan placeras in i olika representations- eller uttrycksformer. Enligt en modell, ibland kallad KLAG-modellen, som har hämtats från McCoy (Hagland m fl., 2005:32, Taflin 2007:69) delas uttrycksformerna in i fyra huvudområden. För den konkreta uttrycksformen använder eleven något slag av material, t.ex. klossar, för att lösa uppgiften. Vid behov kan eleven välja att därefter avbilda detta i en figur. För den logiskt/språkliga uttrycksformen förklarar eleven sin lösning med hjälp av vardagsspråk och inget matematiskt språk eller symboler används. Vid den algebraisk/aritmetiska uttrycksformen uttrycks lösningen i stället med algebraiska eller aritmetiska symboler, t.ex. bokstäver och siffror. För den grafisk/geometriska uttrycksformen slutligen, ritar eleven en bild, graf, träddiagram eller en tabell för att visa på lösningen. I realiteten visar eleven ofta upp en kombination av dessa olika uttrycksformer i en och samma lösning. I figur 1 speglas hur valet av problemuppgift och elevens arbete med denna styr mot det långsiktiga målet med problemlösning. 7

Att välja uppgift Att tolka uppgift Att välja metod Mål för problemlösningen PROBLEM? Förstå texten Uppfatta uppgiften som problem Matematiska idéer Strategier Rutinfärdigheter Samtal Utveckla kreativitet Uppfatta estetiska värden Formulera egna uppgifter Lära matematiska begrepp Lära matematiska metoder Utveckla ett matematiskt språk Figur 1 Olika steg i problemlösningsprocessen (efter Taflin, 2007:36). 2.5 Den matematiska diskursen I bedömningens inriktning i kursplanen för matematik framhålls att en viktig del av elevens kunnande är dennes förmåga att uttrycka sina tankar muntligt och skriftligt med hjälp av det matematiska symbolspråket och med stöd av konkret material och bilder (Skolverket, 2000:29-30). Det betonas också att bedömning sker utifrån hur eleven t.ex. kan lyssna till, följa och pröva andras förklaringar och argument (Skolverket, 2000:29-30), vilket återkopplar till ämnets syfte att utveckla elevens förmåga att använda det matematiska språket och dess uttrycksformer och att även kunna kommunicera detta (Skolverket, 2000:26). Att kommunicera matematik faller inom begreppet diskurs, som kan ses som olika typer av samtal (Riesbeck, 2008:19), där man inom matematikundervisningen talar om matematisk samt vardaglig diskurs. I detta sammanhang blir då en del i själva lärandet en fråga om att behärska diskursen för det aktuella området, där vetenskapliga begrepp är ett verktyg för att ge struktur åt elevens sätt att resonera kring och lösa problem. Inom matematikundervisningen skulle därmed diskursen kunna ses som ett sätt för elever och lärare att på olika sätt kommunicera matematik (Riesbeck, 2008:22). I en skolmiljö pendlar ofta kommunikationen mellan en mer vardaglig diskurs och den matematiska, och med utökad matematisk kunskap och användande av det matematiska språket ökar även abstraktionsnivån inom språket. Att behärska den matematiska diskursen innebär dock inte att enbart förstå och behärska det matematiska språket, utan även att vara medveten om övergången mellan den vardagliga och matematiska diskursen (Riesbeck, 2008:36). Läraren kan fungera som översättare och visa på hur man uttrycker sig korrekt matematiskt och hur man kan förenkla sitt språk genom att använda det matematiska symbolspråket (Olsson, 2000:187; Emanuelsson m fl., 1996:56; Berggren & Lindroth, 1998:18). Klasskamrater kan å sin sida överföra de abstrakta matematiska begreppen till ett mer vardagligt språk och på så sätt skapas en dubbelsidig länk mellan den vardagliga och den matematiska diskursen (Skolverket, 2003a). Ahlberg noterar att det informella matematiska språk som elever ofta använder som regel är av muntlig karaktär, medan det mer formella matematikspråket i huvudsak är skriftligt. Att arbeta med problemlösning av mer öppen karaktär låter den muntliga och skriftliga delen mötas och därmed även den matematiska och vardagliga diskursen (Riesbeck, 2008:65; Ahlberg, 1995:48). 8

2.6 Matematisk problemlösning i grupp 2.6.1 Mervärden vid problemlösning i grupp I kursplanen för matematik framhålls att bedömning sker utifrån hur eleven t.ex. kan lyssna till, följa och pröva andras förklaringar och argument (Skolverket, 2000:29-30). Detta kan praktiseras genom organiserade diskussioner i grupp eller helklass. Många forskare lyfter fram samtalets betydelse för att utveckla elevernas begreppsbildning, där arbete i smågrupper framhålls som en metod för att få eleverna att formulera och försvara sina tankar, men även för att lyssna på och värdera kamraternas förslag (Ahlberg, 1995:43; Hagland m fl., 2005:68, Olsson, 2000:184). Detta öppnar upp problemet och visar det ur nya perspektiv, men kan även få eleven att inse att man kan tänka på olika sätt (Ahlberg, 2000:81). Ahlberg (1995:43) refererar till Vygotskys syn på samspelet mellan människor som en viktig faktor, där förhoppningen är att eleverna kommer att ta till sig gruppens kompetens så att eleven i sinom tid kan prestera samma som gruppen som enhet. Inom skolan används ibland benämningen arbete i grupp både vid arbete i mer informella grupper där eleverna spontant bildar grupper av egen fri vilja, och mer formella grupper där grupperna har bildats utifrån ett visst syfte som inte nödvändigtvis är kopplat till vad eleverna anser om varandra (Svedberg 2007:17). I detta arbete åsyftas med elevgrupper den formella gruppen där läraren satt samman grupperna enligt vissa kriterier och där gruppen har en uppgift att utföra. Jag har valt att utgå från Svedbergs definition av den formella gruppen som en grupp där minst tre medlemmar samspelar för att utföra en uppgift eller nå ett givet mål (Svedberg, 2007:17). När man studerar en grupp och de individer som ingår i den, så kan man inta olika perspektiv. I den individuella grupp-processnivån ser man gruppen som en samling individer, och situationer som inträffar förklaras utifrån individernas egenskaper och beteenden. När man intar ett interpersonellt perspektiv, så fokuserar man på de relationer och det samspel som sker i gruppen och man intresserar sig då mest för kommunikationer och roller. Om man studerar gruppen som en enda enhet, så talar man om gestaltegenskaper hos gruppen, d.v.s. att den är något annat, men inte nödvändigtvis mer, än summan av sina medlemmars egenskaper. Man menar då att gruppen kan ha givna koder eller mönster som återspeglas i de enskilda gruppmedlemmarnas agerande, och att därmed alla kan sägas vara delaktiga i allt som sker (Svedberg, 2007). I denna studie ligger fokus på att studera gruppdynamiken ur ett interpersonellt perspektiv. Vid problemlösning använder eleven sina befintliga kunskaper och erfarenheter men samarbetar även med andra elever för att bearbeta information samt analysera och värdera olika tankegångar (Wyndhamn m fl., 2000:18). Wyndhamn betonar övergången från den subjektiva elevuppfattningen till en mer objektiv form; När kunskapen senare delas och diskuteras med andra elever och med läraren (i den sociala interaktionen) och därmed blir tydlig- och medvetandegjord får kunskapen sin objektiva form och karaktär. (Wyndhamn, 1991:54) Ett mervärde med grupparbete är att missuppfattningar och felaktiga beslut kan korrigeras när eleverna samverkar med varandra. På det sättet kan kommunikationen bli en stöttning under lärandeprocessen (Wistedt, 1996:65). Samtidigt varnar dock Wistedt för att eleverna ibland inte kan dra nytta av varandra under lösningen av en gemensam uppgift (Wistedt, 1996:21-23,67). Anledningen till detta är att eleverna gradvis utvecklar sin förståelse för en uppgift och eftersom elever har olika inlärningsstilar kan en elev som arbetar med en uppgift få svårt att förstå hur övriga elever tänker och resonerar. 9

Samtalet har även stor betydelse för att ge eleven en utökad eller ny förståelse för problemet. När eleven måste kommunicera sina tankar eller komma med frågor och förslag, så medvetandegörs eleven om sitt eget tänkande och kan på så vis utveckla den egna förståelsen (Ahlberg, 1991:87; Wallby, Carlsson & Nyström, 2001:73; Emanuelsson m fl., 1996:70). Det finns även andra fördelar med grupparbete för att lösa problem. Läraren kan med denna arbetsform få goda tillfällen att höra eleverna resonera och ge adekvat stöd. För eleverna är det ett mervärde att inte bara få hjälp av andra elever för den egna förståelsen, utan även att se att andra elever har likartade svårigheter vilket kan stärka självkänslan. Motivationen och engagemanget ökar också när eleverna själva tar ett ökat ansvar för sin egen inlärning (Ahlberg, 2000:33; 1991:96). Eleverna kan agera annorlunda i en gruppsituation i jämförelse med annan form av undervisning. Multiplikatoreffekten är det mervärde som uppstår då eleverna anstränger sig extra för att passa in i gruppen och på detta sätt ökar lärandet (Skolverket, 2003b) och elever som normalt sett inte gör sig hörda i klassrummet, kan i en mindre grupp ges ökade möjligheter till aktivt deltagande (Ahlberg, 1995:53). Senaste årens forskning visar på en positiv effekt av elevernas kunskapsutveckling i matematik vid arbete i smågrupper (Skolverket, 1997:8) och elever som i sin undervisning gemensamt diskuterat matematik, t.ex. olika lösningsstrategier, är mer positiva till matematikämnet än elever som inte arbetat på detta sätt (Skolverket, 2003a). Trots detta har man vid jämförelse mellan den nationella undersökningen NU 03 och NU 92 sett att grupparbeten inte blivit vanligare, trots att både lärare och elever är positiva till arbetssättet (Myndigheten för skolutveckling, 2007:29). 2.6.2 Gruppstorlek Antalet elever som anses lämpligt för grupparbete varierar i litteraturen. Ju fler medlemmar gruppen har, desto större blir nätverket av relationer samt det antal subgruppsbildningar som kan förekomma. I en mindre grupp får varje individ ett relativt sett stort utrymme vilket underlättar inflytande och känsla av delaktighet och därmed möjligheten till återkoppling (Svedberg 2007:114). Ju mer gruppstorleken ökar, desto mindre utrymme får den enskilde och därmed kan både det egna engagemanget och sammanhållningen i gruppen minska. Svedberg (2007:115) menar att grupper om två eller tre medlemmar får starkare fokus på relationer mellan gruppmedlemmarna, medan den större gruppen blir mer uppgiftsorienterad. Enligt Caplow (refererad av Svedberg, 2007:98), är det som mest utmärker en grupp på tre personer att den lätt splittras så att två personer bildar en koalition mot den tredje. Svedberg tar också upp problematiken med att en del personer kan åka snålskjuts på andra när det är många som arbetar med samma uppgift, något som av Skolverket benämns easy riders. Dessa personer låter inte enbart bli att bidra, utan lär sig också mindre än de skulle ha gjort vid traditionell undervisning (Skolverket, 2003b). Svedbergs ideala gruppstorlek, om man tittar på effektivitet, produktivitet och problemlösningsförmåga, är ett antal på fler än fyra men färre än tio gruppmedlemmar (Svedberg, 2007:116). Jag vill dock göra en reservation för att detta gäller vuxna människor med vana att arbeta i grupp och inte elever som, utöver att gemensamt lösa en given uppgift, även ska lära sig att samverka i grupp. Inom skolforskningen ser man rekommendationer på mindre elevgrupper, som regel mellan tre till fem personer. I Nämnarens tema Matematik ett kommunikationsämne rekommenderar man grupper om tre till fyra personer eftersom detta möjliggör för varje elev att delta aktivt (Emanuelsson m fl., 1996:70). Ahlberg anger två till tre personer vid enklare uppgifter eller om tiden är begränsad och fyra personer vid större uppgifter eller om eleverna är vana att arbeta i grupp. Hon menar att fler än fyra medlemmar 10

som regel medför sämre kvalitet eftersom det blir svårare för eleverna att lyssna koncentrerat på varandra ju fler medlemmar gruppen innehåller (Ahlberg, 1991:93). 2.6.3 Gruppsammansättning En gruppkonstellation ger i sig inte något resultat, det är undervisningen som måste leda fram till det man vill uppnå. En grupp kan däremot vara ett medel för att antingen underlätta eller försvåra vägen till målet. Viktigt är att medlemmarna ska ges möjlighet att bygga upp ett förtroende för varandra så att de känner sig trygga i gruppen. Det rekommenderas därför att gruppen inte förändras för ofta, utan att eleverna får möjlighet att samarbeta under en längre period (Emanuelsson m fl., 1996:70; Ahlberg, 1991:93; Hagland m fl., 2005:60). Utöver att skapa grupper av lämplig storlek har läraren även att ta hänsyn till hur grupperna sätts samman. I skriften Elevgrupperingar ger man som exempel att eleverna själva sätter samman grupperna, att läraren gör en egen bedömning, att testresultat får fungera som underlag eller att grupper lottas (Wallby m fl., 2001:68). Om man utgår från elevernas egna val kan man få relativt homogena grupper med avseende på intresse, men risken är också att det blir kamratval där andra parametrar än de som läraren eftersträvar får stor betydelse (Wallby m fl., 2001:68). Internationellt sett är tester ett vanligt underlag för att sätta samman grupper, men det är svårt att konstruera tester som verkligen mäter det man är intresserad av att mäta och dessutom finns inga garantier för att testet ska kunna fånga upp hur elever kan ta till sig nya kunskapsområden (Wallby m fl., 2001:69). Den rekommendation som ofta ges är att läraren sätter samman grupperna, men motiven för gruppindelningen kan variera (Hagland m fl., 2005:60). Det finns skilda idéer om hur elevgrupper lämpligen sätts samman för att maximera lärandet. Om man ska kunna använda sig av de skilda tankar, uppfattningar och förståelse som olika elever visar upp, så är det nödvändigt med en viss grad av heterogen nivågruppering (Wallby m fl., 2001:65). När man talar om nivågrupperingar vid gruppsammansättningar, åsyftas en indelning av eleverna utifrån deras prestationer eller förmågor. Med homogena grupper avses då grupper som består av elever med likartade förmågor, medan heterogena grupper är sammansatta utifrån en blandning av olika förmågor (Wallby m fl., 2001:82). När man jämför elever eller grupper med varandra används ofta värdeladdade uttryck som bättre/sämre eller högre/lägre. Man syftar då inte på individen eller gruppen som sådan, utan enbart i relation till övriga elever eller grupper. I Nämnarens tema Matematik ett kärnämne menar man dock att man med homogena och heterogena grupper kan åsyfta annat än prestationer. Det kan t.ex. vara önskemål om arbetssätt och arbetsformer, möjlighet att få stöd hemifrån eller intresse för vissa ämnesområden (Emanuelsson, Johansson, Nilsson, Olsson, Rosén & Ryding, 1995:135). I denna studie avses dock elevernas kunskapsnivå när det talas om homogena och heterogena grupper. Det finns mycket forskning kring hur elever gynnas av grupper sammansatta utifrån kunskapsnivå. I Skolverkets rapport Elevgrupperingar, refereras till forskning av bl.a. Lou, Harlen och Malcolm (enligt Wallby, m fl., 2001:106) som säger att det främst är medeleleverna som gynnas av homogena grupper. För högpresterande elever spelar gruppsammansättningen ingen större roll, medan de svagaste eleverna främst gynnas av heterogena grupper. Förklaringen till detta sägs vara sambandet mellan att få ge förklaringar och dra nytta av arbete i grupp i blandade grupper frågar de lågpresterande mest och de högpresterande svarar, medan medeleleven varken frågar eller svarar och skulle därmed missgynnas. I Matematik ett kommunikationsämne (Emanuelsson m fl., 1996:73) hänvisar man dock till studier som visar att lågpresterande elever intar en mer passiv roll, även om de 11

uppskattar att arbeta i grupp. Huruvida elever likväl kan gynnas av att lyssna på en diskussion även om de själva inte deltar aktivt säger dock rapporten inget om. I studier av Sture Sjödin i början av 90-talet (beskriven av Wallby, m fl., 2001:106-108) påtalas det att särskilt en homogen grupp av svaga elever kraftigt missgynnas, då gruppen sannolikt kommer att anpassa sig till den svagaste eleven. För en högpresterande grupp är detta inte kritiskt och där är det som regel den starkaste eleven som oftast styr arbetet. Dessa studier indikerar att starka elever inte är lika beroende av om de arbetar i en homogen eller heterogen grupp, medan svaga elever gynnas av heterogena grupper och medeleleverna möjligen gynnas av homogena grupper. I Nämnarens tema Matematik ett kärnämne summerar man detta genom att förorda grupper i kombinationerna hög/medel, medel/låg eller enbart medelpresterande elever (Emanuelsson m fl., 1995:74). Hagland, Hedrén och Taflin (2005:60) rekommenderar att man bör undvika extremt heterogena eller homogena grupper och Ahlberg (1991) menar att könsfördelningen i gruppen bör vara jämn. 2.6.4 Arbetsflöde i gruppen I en grupp måste varje person dels ge utrymme för andra, dels ta plats för egen del. Denna balansgång bör fungera så smidigt som möjligt för att gruppen ska verka på bästa sätt. Hur individen hanterar denna situation varierar, en del är mer passiva, d.v.s. inriktar sig på att lyssna och på så sätt lämnar utrymme för andra, medan andra är aktiva och tar plats. Det medför att varje medlem i gruppen får en roll, mer eller mindre frivilligt, som har påverkan på den diskussion som sker i gruppen. En elevs tystnad behöver med andra ord inte nödvändigtvis bero på att eleven inte kan bidra till den matematiska diskussionen, utan på att denne valt en mer passiv roll (Svedberg 2007:103). När grupperna väl är sammansatta kan läraren på olika sätt leda arbetet framåt. Viktigt är att eleverna får klart för sig vilka förväntningar på resultat och beteende som finns, att de är klara över innehållet i arbetet, arbetsprocessen och meningen med uppgiften (Svedberg, 2007:192). Det innebär att läraren inte enbart ger grupperna arbetsuppgifter utan även instruktioner för hur de lämpligen bör arbeta så att de på bästa sätt kan klara uppgiften. Man kan även välja att antingen medvetet tilldela eleverna olika ansvarsområden eller låta slumpen styra vem som t.ex. i slutändan får göra redovisningen. Det sistnämnda alternativet medför att eleverna måste förbereda ett material som samtliga i gruppen kan förstå och förklara (Steinberg, 2006:61). Ahlberg (1995:53) har i en studie använt sig av en gruppledare som har ansvaret för att alla i gruppen kommer till tals, men att gruppmedlemmarna i övrigt inte har några specifika roller. Att arbeta i grupper medför också att eleverna tränas i att låta en uppgift ta tid och att man inte behöver ge upp om man inledningsvis inte kommer någonvart. Vid samarbete kan elever angripa problemet på varierande sätt, testa olika strategier och hjälpas åt att finna en lämplig väg att gå (Ahlberg 2000:81, Olsson, 2000:191). 2.7 Undervisning i problemlösning I Skolverkets skrift Lusten att lära (2003a:14) beskrivs hur lektioner i matematik varit utformade då elever visat stark lust för lärande. Undervisningsinnehåll och arbetsformer har varit varierade och gemensamma matematiska samtal med lärare och elever har förts om olika sätt att tänka kring och lösa matematiska uppgifter. Vid problemlösning i grupp måste läraren ha ett mål med undervisningen. Grunden är att utgå från elevens eget sätt att arbeta med problem för att eleven på så sätt ska kunna förbättra 12