Matematisk statistik 9hp för: C,D,I, Pi Föreläsning 1, Sannolikhet Stas Volkov September 12, 2017 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F1: Sannolikhet 1/27
Tillämpningar Praktiska detaljer Matematisk statistik slumpens matematik Sannolikhetsteori: Hur beskriver man slumpen? Statistikteori: Vilka slutsatser kan man dra av ett datamaterial? Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F1: Sannolikhet 2/27
Tillämpningar Praktiska detaljer Slumpmässig Variation Inom population Mätosäkerhet Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F1: Sannolikhet 3/27
Tillämpningar Praktiska detaljer Vad kan vi veta om slumpmässig variation? Inte exakt vad som ska hända, men hur ofta olika saker händer. Vad vi kan säga är hur sannolika olika händelser är. Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F1: Sannolikhet 4/27
Tillämpningar Praktiska detaljer Tillämpningar för matematisk statistik Miljö Ozonlagret bild Våghöjd bild Ekonomi Aktiedata bild Försäkringar bild Signalbehandling EEG/EKG bild Hitta sprängämnen bild Hitta narkotika bild Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F1: Sannolikhet 5/27
Tillämpningar Praktiska detaljer Tillämpningar för matematisk statistik (forts) Mobil kommunikation Elmarknad Försäkringar Spel/Lotterier Biologi Geologi osv Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F1: Sannolikhet 6/27
Tillämpningar Praktiska detaljer Praktiska detaljer Ny kurs på 9hp. Äldre årskullar som inte läst eller inte är godkända på FMS012, ska kontakta programmet! Kräver 12 hp inom Endim och/eller Flerdim och/eller Linalg. Vi inväntar augustitentorna innan vi kastar ut er från kursen. 1 föreläsningar i veckan med några undantag se http://tinyurl.com/fmsf45-ht2017 1 räkneövning i veckan 4 obligatoriska datorövningar 1 obligatoriskt färdighetsprov (deadline: se hemsida) skriftlig tentamen 11 januari 2018 Kurshemsida: http://tinyurl.com/fmsf45 Föreläsare: Stanislav Volkov, MH:316 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F1: Sannolikhet 7/27
Venn Ex Kolmogorov Frekvens Grundläggande sannolikhetsteori Grundläggande begrepp Utfall resultatet av ett slumpmässigt försök. Bet. ω 1, ω 2,... Händelse en samling av ett eller flera utfall. Bet. A, B,... Utfallsrum mängden av möjliga utfall. Bet Ω Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F1: Sannolikhet 8/27
Venn Ex Kolmogorov Frekvens Exempel: Tärningskast Ex. Kasta en tärning. Utfallsrum Ω = {1:a, 2:a, 3:a, 4:a, 5:a, 6:a} En händelse A : Minst 4:a = {4:a, 5:a, 6:a} B : Högst 5:a = {1:a, 2:a, 3:a, 4:a, 5:a} C : 3:a = {3:a} Ex. Kasta två tärningar. Ej uppenbart hur man skall välja utfallsrum. T.ex. Ω = {(1, 1), (1, 2),..., (6, 6)}. Totalt 36 utfall. Om man bara är intresserad av summan: Ω = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. 11 utfall. Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F1: Sannolikhet 9/27
Venn Ex Kolmogorov Frekvens Händelser Venn-diag. Mängdteori Utfallsrummet Ω Händelsen A; A inträffar Komplementhändelsen. A till A; A inträffar ej Unionhändelsen A B; A eller B eller båda inträffar Snitthändelsen A B = AB; både A och B inträffar A och B oförenliga hndlser; kan ej inträffa samtidigt Grundmängden Delmängden A Komplementet A till A Unionen A B Snittet A B A och B disjunkta Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F1: Sannolikhet 10/27
Venn Ex Kolmogorov Frekvens Exempel (kasta en tärning rep, forts) A : Minst 4:a = {4:a, 5:a, 6:a} B : Högst 5:a = {1:a, 2:a, 3:a, 4:a, 5:a} C : 3:a = {3:a} Några exempel på snitt och union A B = {4:a, 5:a} A B = Ω B C = C = {3:a} A C = {} =. Kan inte inträffa, eftersom A och C är oförenliga. Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F1: Sannolikhet 11/27
Venn Ex Kolmogorov Frekvens Sannolikhet Sannolikheten att en händelse A skall inträffa bet. P(A) En sannolikhet måste uppfylla följande, Kolmogorovs axiomsystem: 0 P(A) 1 (En sannolikhet är ett tal mellan 0 och 1) P(Ω) = 1 (Sannolikheten att något skall hända är 1) P(A B) = P(A) + P(B) såvida A och B är oförenliga Därav följer att även t.ex. Komplementsatsen P(A ) = 1 P(A). Om det är slh 1/100 att vinna på ett lotteri är slh 99/100 att inte vinna. Additionssatsen P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) OBS! 3:e axiomet borde faktiskt hålla för även uppräknelig mängd av A i : P(A 1 A 2... ) = i=1 P(A i) ifall A i är parvis oförenliga Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F1: Sannolikhet 12/27
Venn Ex Kolmogorov Frekvens Frekvenstolkning av sannolikhet Upprepa ett slumpmässigt försök n gånger Antal ggr A inträffar n P(A), n Ex Kasta tre tärningar 100 000 ggr och räkna ut relativa frekvensen treor i varje kast för var och en av tärningarna 1 Relativa frekvensen av antal treor Relativ frekvens 0.8 0.6 0.4 0.2 0 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 Antal tärningskast 1/6? Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F1: Sannolikhet 13/27
Venn Ex Kolmogorov Frekvens Den klassiska sannolikhetsdefinitionen Om ett försök kan utfalla på m möjliga sätt som alla är lika sannolika (har vi en likformig sannolikhetsfördelning) och en händelse A inträffar vid g st av dessa gäller P(A) = g m Ex Dra ett kort ur en kortlek. Vad är sannolikheten att det är ett hjärter? Lsg Det finns m = 52 kort varav g = 13 är hjärter så P( ) = 13/52 = 1/4 Ex Dra två. Vad är sannolikheten att båda är hjärter? Lsg Med lite kombinatorik blir det lite mer komplicerat P(båda ) = ( 13 ) Antal sätt att välja två Antal sätt att välja två kort = 2 ) = 78 1326 = 1 17 ( 52 2 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F1: Sannolikhet 14/27
Bayes Oberoende Flera händelser Betingad sannolikhet Ex. För en tärning har vi P(Etta) = 1/6, men om vi vet att utfallet är udda får vi P(Etta om udda utfall) = 1/3. Def. Den betingade sannolikheten att A skall inträffa om vi vet att B inträffat betecknas P(A B) och definieras som P(A B) = P(A B) P(B) Ur detta (och P(B A)) får vi två räkneregler för P(A B) P(A B) = P(A B) P(B) = P(B A) P(A) Ex (igen) Dra två kort. Vad är sannolikheten att båda är hjärter? Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F1: Sannolikhet 15/27
Bayes Oberoende Flera händelser Betingad risk Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F1: Sannolikhet 16/27
Bayes Oberoende Flera händelser Satsen om total sannolikhet Om vi har n st händelser H 1,..., H n som är Parvis oförenliga, dvs H i H j =, i j n Tillsammans täcker utfallsrummet, dvs H i = Ω gäller för varje händelse A i=1 P(A) = n P(A H i ) P(H i ) i=1 samt Konsten att vända en betingad sannolikhet eller Bayes sats P(H i A) = P(H i A) P(A) = P(A H i) P(H i ) P(A) Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F1: Sannolikhet 17/27
Bayes Oberoende Flera händelser Oberoende händelser Om det visar sig att P(A B) = P(A), påverkas inte A av att B inträffat eller ej, de är oberoende. Detta kan med definitionen av betingad sannolikhet skrivas om som P(A B) = P(A) P(B). Def. Händelserna A och B är oberoende av varandra P(A B) = P(A) P(B) Obs. Skilj mellan oberoende och oförenliga. Kan två oberoende händelser vara oförenliga? Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F1: Sannolikhet 18/27
Bayes Oberoende Flera händelser Exempel: Oberoende Kasta två tärningar och låt A = Första tärningen visar sexa B = Summan är sju C = Summan är åtta Vilka av händelserna A, B och C är oberoende av varandra? 6 A B C 5 Tärning 2 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 Tärning 1 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F1: Sannolikhet 19/27
Bayes Oberoende Flera händelser Alla, ingen och någon Om vi har n st oberoende händelser A 1,..., A n kan vi räkna ut sannolikheten att alla inträffar P(A 1 A n ) = P(A 1 )... P(A n ) ingen inträffar, dvs alla inträffar inte P(A 1 A n) = P(A 1 )... P(A n) = = [1 P(A 1 )]... [1 P(A n )] någon inträffar, dvs minst en, eller inte ingen P(A 1 A n ) = 1 P(A 1 A n) = = 1 [1 P(A 1 )]... [1 P(A n )] Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F1: Sannolikhet 20/27
Ozon i Dobson enheter Tillbaka Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F1: Sannolikhet 21/27
Våghöjd Tillbaka Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F1: Sannolikhet 22/27
OMXS30 aktieindex Tillbaka OMXS30 1400 1200 1000 800 600 400 200 1993 1995 1997 1999 2001 2003 2005 2007 2009 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F1: Sannolikhet 23/27
Kostnad stormskador Tillbaka Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F1: Sannolikhet 24/27
EKG och R-R variation Tillbaka Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F1: Sannolikhet 25/27
Detektion av sprängämne Tillbaka Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F1: Sannolikhet 26/27
NQR signal meta-amfetamin Tillbaka Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F1: Sannolikhet 27/27