Om konvergens av serier Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I den här artikeln diskuteras några av de grundläggande satserna som hjälper oss att avgöra om en serie är konvergent eller inte. Vi inför också begreppen absolutkonvergent och betingat konvergent och visar att i det senare fallet kan man få vilken summa man vill om man bara ändrar summationsordningen (Riemanns omordningssats).
Om konvergens av serier () Introduktion Den geometriska serien är en utomordentligt viktig serie, men långt ifrån den enda. Har vi en oändlig talföljd { } så definierar summan av dem serien s = a 0 + a + a 2 +... =. En sådan behöver inte konvergera, d.v.s definiera ett tal. I det här kapitlet ska vi titta närmare på någrriterier på talen för att serien skonvergera och i anslutning till det formulera och bevisa några användbara satser. Ett villkor för konvergens är nästan självklart: termerna måste gå mot noll, 0 då k. Men det räcker långt ifrån att det är uppfyllt för att vi skonvergens! Men för att kunna diskuteronvergens ordentligt måste vi använda de reella talens viktigaste egenskap att de är fullständiga. Det innebär att om vi närmar oss en punkt på den reella axeln så finns det verkligen ett reellt tal i den punkten. 2 Konvergensens reella fundament Vi vet vad vi menar med att a n a då n, nämligen att oavsett hur litet vi väljer ɛ > 0 så finns ett N sådant att a n a < ɛ då n N. Vi säger då att talföljden { } är konvergent och dess gränsvärde är a. Exempel Eftersom vi behöver resultatet nedan, låt oss bevisa att om a > 0 så gäller att n a =. För det skriver vi lim n a = + hn a = ( + h n ) n > nh n, där h n > 0. Sista olikheten följer t.ex. ur binomialsatsen. Men det betyder att 0 < h n < a/n och då n följer att h n 0. Därmed är påståendet visat. Att serien konvergerar betyder att det finns ett tal s sådant att partialsummorna s n = s då n. Så långt definitionerna. Det vi behöver nu är att det finns tillräckligt många reella tal. Det brukar formuleras som axiomet om övre gräns, eller supremumaxiomet, som innebär att
Om konvergens av serier 2 () En uppåt begränsad delmängd S av reella tal har en minsta övre begränsning, som kallas supremum av S och betecknas sup S. På motsvarande sätt har en nedåt begränsad delmängd S av reella tal en största nedre begränsning, som infimum av S och betecknas inf S. Ur detta följer nu två för oss viktiga observationer: a) en växande, uppåt begränsad, talföljd är konvergent, och b) talföljden a n är konvergent om och endast om a n a m 0 då n, m. Det sista formuleras ofta som att {a n } är en Cauchyföljd och innebär att vi inte måste veta vad en följd konvergerar mot för att kunna bevisa att den är konvergent. För en serie k innebär det att den konvergerar om och endast om 0 då n, m En mer ingående diskussion om de reella talen och axiomet om övre gräns finns i kapitlet Om de reella talen. 3 Absolutkonvergens och alternerande serier Om serien s = består endast av termer som är 0, så gäller att partialsummorna bildar en växande talföljd, vilket betyder att antingen konvergerar serien eller så är s =. Det betyder inte att det nödvändigtvis är lätt att avgöra om en viss positiv serie är konvergent eller inte. Ett trick är att se om man kan hitta tal b k om vilka man vet att serien k b k är konvergent och är sådana att 0 b k. I så fall måste k varonvergent. Man kan också hitta nedre begränsning för att visa att serien är divergent. Exempel 2 Den harmoniska serien s = k är divergent. Dettan vi se genom att om s vore ett positivt tal skulle vi ha att s = ( 2k + 2k ) > ( 2k + 2k ) = s 2 + s 2 = s. Detta ger en motsägelse, och alltså är s = och serien divergent.
Om konvergens av serier 3 () Sats (Leibniz) Om talföljden { } är avtagande och lim a n = 0, så gäller att den alternerande serien ( ) k är konvergent. Bevis. Låt s n beteckna partialsummorna. Då gäller att s 2n+2 = s 2n + (a 2n+2 a 2n+) s 2n eftersom a 2n+ a 2n+2. Det följer att talföljden {s 2n } n=0 är avtagande och konvergerar därför mot ett tal A eller. På samma sätt ser vi att s 2n+ = s 2n + (a 2n a 2n+ ) s 2n, så talföljden {s 2n+ } n=0 är växande och konvergerar mot ett tal B eller. Men vi har att s 2n+ = s 2n a 2n+ och om vi nu låter n följer att B = A 0 eftersom termerna går mot noll. Gränsvärdet är alltså detsamma för de två talföljderna, vilket medför att partialsummorna konvergerar mot ett ändligt tal. Exempel 3 Den alternerande harmoniska serien ( ) k+ konvergerar enligt Leibniz sats. Däremot konvergerar inte serien ( ) k. Visserligen konvergerar de jämna och udda partialsummorna var för sig som i satsen, men termerna går inte mot noll. De jämna partialsummornonvergerar mot 0 eftersom de alltid är 0, och de udda mot, eftersom de alltid är det. Dessa är inte lika eftersom termerna i summan inte går mot noll. Vi inför nu en definition. Definition Serien sägs vara absolutkonvergent om serien är konvergent. Sats 2 En absolutkonvergent serie är konvergent. Bevis. Sätt s n = n. Om n > m gäller då att s n s m = + k + och eftersom antas konvergent följer att detta går mot noll då n, m. Det följer att {s n } är en Cauchy-svit och alltså konvergerar.,
Om konvergens av serier 4 () Men omvändningen gäller inte: en serie kan varonvergent utan att var absolutkonvergent. Ett enkelt exempel har vi ovan med den alternerande harmoniska serien. Den är ju konvergent, men motsvarande serie av absolutbelopp är den harmoniska serien, och den är divergent. Definition En serie som är konvergent men inte absolutkonvergent sägs vara betingat konvergent. Vi ska strax se att det finns en väsentlig skillnad mellan serier som är absolutkonvergenta och de som endast är betingat konvergenta i det att för absolutkonvergenta serier kan man summera termerna som man vill, medan man för betingat konvergenta serier kan få olika resultat. Leibniz sats ovan är egentligen endast ett specialfall av en mer allmän sats. För att formulera bevisa den behöver vi följande ofta använda omskrivning. Lemma (Partialsummation) Om { } och {b k } är två talföljder och vi skriver s k = n, så gäller för n > m 0 att där vi satt s = 0. b k = s n b n s m b m + n s k (b k b k+ ), Anmärkning Denna formel svarar mot partialintegration inom integrationsteorin. Mer precist svarar summorna k s k mot den primitiva funktionen till k, medan derivatan är de enskilda termerna. För att förstå det bättre ska man tänka på partialsummorna till en serie som som integralen av en styckvis konstant funktion. Vi återkommer till det längre fram i denna artikel. Beviset är en enkel räkning: vänsterledet är lika med b k (s k s k ) = s k b k n s k b k+ = n s k (b k b k+ ) + s n b n s m b m. Om vi nu antar att s n M för alla n och att b n är en avtagande svit av positiva tal så gäller att n n s k (b k b k+ ) M (b k b k+ ) = M(b b n ) Mb. Det följer att serien k s k(b k b k+ ) är konvergent. Om vi vidare antar att b n 0 då n, så gäller att s n b n 0 och summan k b k är konvergent. Vi har visat Sats 3 Om den oändliga serien k har begränsade partialsummor och {b n } är en avtagande svit av reella tal som går mot noll, så gäller att serien k b k är konvergent. Exempel 4 Med a n = ( ) n har vi att s n och vi får Leibniz sats om alternerande serier som en konsekvens.
Om konvergens av serier 5 () 4 Rot- och kvotkriterierna för konvergens När man ska undersökonvergens av en talföljd är det ibland bekvämt att använda några relaterade begrepp som alltid finns, även när talföljden inte konvergerar. Vitsen med dem är att de tillsammans försöker mäta hur nära det är att talföljden konvergerar. Låt { } vara en godtycklig talföljd. Delföljden a n, a n+,... är då en annan talföljd och vi kan bestämma dess supremum och infimum: M n = sup, k n m n = inf k n. Dessa är då nya talföljder, och vi har hela tiden att m n a n M n. Men dessutom gäller att {M n } är en avtagande talföljd, och {m n } en växande talföljd. Det följer att gränsvärdena lim sup a n = lim M n, lim inf a n = lim m n existerar, om vi tillåter värdena ±. Ett ögonblicks eftertanke visar nu att Exempel 5 Vi ser att a n konvergerar lim inf a n = lim sup a n. lim sup ( ) n = och lim inf ( )n =, så talföljden ( ) k är inte konvergent. Den ytterligare information vi får är att nära oändligheten oscillerar talföljden mellan ±. Det är i denna mening som limes superior och inferior ger information om hur långt ifrån det är att en talföljd är konvergent. En stunds eftertanke visar följande. Om M = lim sup a n, så finns det till varje ɛ > 0 finns ett N sådant att a n < M + ɛ då n N. I ord, varje tal större än M är till slut en övre begränsning för sviten. Endast ändligt många a n är större än M + ɛ. På samma sätt gäller att om m = lim inf a n så finns till ett godtyckligt ɛ > 0 ett N sådant att a n > m ɛ då n N, dvs endast ändligt många a n är mindre än m ɛ. Följande lemma är viktigt i diskussioner kring konvergens av serier. Lemma 2 För varje svit a positiva tal {a n } gäller att lim inf a n+ a n lim inf n an lim sup n an lim sup a n+ a n.
Om konvergens av serier 6 () Bevis. Mittolikheten är alltid giltig och de två övriga bevisas på liknande sätt. Vi nöjer oss med den högra. Antag att uttrycket längst till höger är ändligt och kalla det M. Till varje ɛ > 0 finns då ett N sådant att 0 < a n+ /a n < M + ɛ då n N. För n > N gäller då att a n = a N an+ an+2 a n... < a N (M + ɛ) n N. a N a N+ a n Drar vi n:te roten ur det får vi att n an < n a N (M + ɛ) N (M + ɛ) < M + 2ɛ om bara n är tillräckligt stort. Detta därför att n a när a > 0. Det följer att lim sup n an M + 2ɛ för varje ɛ > 0. Det följer att lim sup n a n M, vilket bevisar påståendet. Låt vara en svit positiva tal. Följande två satser är ofta användbara för att avgöra om serien k är konvergent eller inte. Sats 4 (Rot-testet eller Cauchys kriterium) Serien k av positiva termer är a) konvergent om lim sup k k <, och b) divergent om lim sup k k >. Bevis. Sätt β = lim sup k k och antag först att β <. Till varje r sådant att β < r < finns då ett N sådant att k r då k N. Det följer att r k och alltså att serien k är absolutkonvergent. Om β > kan vi ta < ρ < β och har då att k ak > ρ för oändligt många indices k, och alltså att > ρ k då k. Sats 5 (Kvot-testet eller d Alemberts kriterium) Serien k av positiva termer a) konvergerar om lim sup k + b) divergent om lim inf k + >. Beviset är nästan identiskt med det ovan. Exempel 6 Serien <, och konvergerar för alla a > 0. Med = /k! har vi nämligen att + / = a/(k + ) 0 då k. Exempel 7 För serien gäller att + k k = ( k + )p, k p = e p(ln k)/k då k. För bådriterierna får vi alltså gränsvärdet ett, och det fallet säger satserna ingenting om. Vi kan därför inte avgöra om vi har konvergens eller inte med hjälp av dessriterier i detta fall. k! k p
Om konvergens av serier 7 () 5 Riemanns omordningssats Om vi har en konvergent serie s =, är det då självklart att vi får samma summa om vi summerar termerna i en annan ordning? För att utreda det behöver först precisera vad vi menar med att summera termerna i en annan ordning. Man kan beskriva en annan ordning av de naturliga talen N, alltså 0,, 2,..., genom att definiera en bijektiv funktion σ : N N. Om N vore en ändlig mängd skulle en sådan definiera en permutation, alltså ett sätt att räkna upp mängden, så vårt σ definierar en permutation av den oändliga mängden N. Frågan är då om det gäller att serien också summerar sig till s. a σ(k) = a σ(0) + a σ() +... Vi kan börja med att konstatera att så är fallet om alla termer är positiva. Detta inses nog lättast genom att man tänker efter, men en mer matematisk förklaring är som följer. Till varje n kan vi ta ett N så stort att mängden {0,,..., n} är innehållen i {σ(k)} N, och får då de två olikheterna. Låter vi n följer att N a σ(k) s. = N a σ(k). I ord: om termerna är positiva spelar det ingen roll i vilken ordning vi summerar dem, resultatet blir alltid detsamma. Frågan är vad som gäller i allmänhet. För att utreda det ska vi titta på de positiva och de negativa termerna för sig. Inför därför a + k = max(, 0) = + 2 Då gäller att dessa tal är 0 och att = a + k a k., a k = max(, 0) =. 2 Här ser vi att om s = k är absolutkonvergent, så konvergerar de båda positiva serierna s + = k a+ k och s = k a k och vi har att s = s + s. Men för s + och s gäller att summationsordningen inte spelar någon roll, så då spelar den ej heller någon roll för s. Vi har alltså Sats 6 För en absolutkonvergent serie spelar summationsordningen ingen roll. Men om k endast är betingat konvergent, så att k =, så divergerar både s + och s. Vi får därför att s =, vilket är odefinierat. Faktum är att man kan vilket tal man vill här.
Om konvergens av serier 8 () Sats 7 (Riemanns omordningssats) Om k är betingat konvergent kan man genom att summera termerna i lämplig ordning få serien att anta vilket värde som helst. Bevis. Säg att vi vill att summan ska bli lika med b, som vi först antar är positivt. Då finns ett p sådant att p p a + k b a + k, vilket går, eftersom s + är divergent. Kasta de termer som är noll och definiera σ så att värdena av de första heltalen är just indexen för de positiva termerna. Härigenom ar vi fått en summa m a σ(k) > b. Subtrahera sedan tillräckligt många av termerna i början av s från denna summa, så att totalsumman blir < b. Sedan utökar vi definitionen av σ genom att lägga till motsvarande termer. Sedan tar vi termer från den del av s + som är kvar, tills vi åter kommer över b och utökar σ ytterligare. Därefter subtraherar vi på motsvarande sätt en delsumma av s, och så vidare. På detta sätt bygger vi upp en permutation σ som är sådan att partialsummorna ligger omväxlande över och under b. Vi ser att varje gång vi passerar b-nivån så gör vi det med högst a + k eller a k för index k som bara blir större och större. Men eftersom vi antagit att k konvergerar vet vi att 0 då k, och det följer att a σ(k) M då n. Detta bevisar satsen. Exempel 8 Låt s beteckna den alternerande harmoniska serien och betrakta följande omordning av den: t = + 3 2 + 5 + 7 4 + 9 + 6 +... Låt s n, t n beteckna motsvarande partialsummor och låt σ n = n /k vara partialsummorna till den harmoniska serien. Då gäller att s 2n = σ 2n σ n och t 3n = + 3 +... + 4n 2 4... 2n = σ 4n 2 σ 2n 2 σ n = s 4n + 2 s 2n. Låter vi n ser vi att t = 3s/2, så genom att ändra summationsordningen har vi ändrat seriens värde, som Riemanns omordningssats säger ska hända. 6 Lite om dubbelsummor Beteckningen N
Om konvergens av serier 9 () innehåller egentligen mycket mer komplicerade summor i det att vi med hjälp av den kan definiera en summa i I a i där I är en godtycklig uppräknelig mängd. T.ex. kan vi definiera dubbelsumman j, härigenom. Det vi har här är en rektangulärt schema av tal a jk a a 2 a 3... a 2 a 22 a 23... och det vi vet från ovan är att om summan är absolutkonvergent, alltså... a jk j, konvergerar för någon uppräkning av talparen (och då för alla uppräkningar av talparen), så konvergerar dubbelsumman med samma resultat oberoende av i vilken ordning vi räknar upp talparen. Från det följer att om serien är absolutkonvergent så gäller att. a jk = j, ( a jk ) = j= ( a jk ). j= Exempel 9 Om och b k båda är absolutkonvergenta, så gäller att ( )( b k ) = c k, c k = k a j b k j. Vi har nämligen att produkten är lika med dubbelsumman a j b k j, som är absolutkonvergent (ty serien med absolutbelopp är produkten av de två absolutserierna) och alltså kan summeras på diagonalen: a j b k = j, k ( a j b k j ). Faktum är att det räcker att den ena av serierna här är absolutkonvergent. Sats 8 (Merten) Om och b k bådonvergerar och den första är absolutkonvergent, så gäller att ( )( b k ) = c k, där c k = k a j b k j.
Om konvergens av serier 0 () Bevis. Skriv Då gäller att A n =, B n = b k, R n = b k. k=n+ k c k = a j b k j = a j B n j = A n B a j R n j. Men R n 0 så till varje ɛ > 0 finns ett N sådant att [R n < ɛ då n N. Vi har då att n N a j R n j a j R n j + j=n N+ a j R n j ɛ Eftersom a n 0 då n följer att a j R n j ɛ( + ) n + j=n N+ a j R n j. och eftersom k antas absolutkonvergent följer att vänsterledet går mot noll då n. Detta visar satsen. 7 Om summor och integraler Vi kan geometriskt åskådliggöra en summa som en area. Mer precist kan vi åskådliggöra summan som arean av de n m + rektanglarna med bas och höjder såsom illustreras i figuren till höger. Om vi därför definierar en trappfunktion (alltså en sträckvis konstant funktion) genom f(x) = då k < x k (plus att vi kan sätta f(m ) = a m ), så har vi alltså att n m f(x)dx =. Detta ger oss direkt metoder att uppskatta summor med hjälp av integraler. Exempel 0 För att uppskatta summan kan vi notera som i figuren till höger att k 2 k=2 s = k 2 dx x 2 k. 2
Om konvergens av serier () Eftersom integralen är lika med följer att k 2 2. Det sanna värdet är π 2 /6. Anmärkning Notera att vi använder att funktionen /x 2 är avtagande. I allmänhet bör man rita ut en figur för att försäkra sig om vilka olikheter som gäller. Som avslutning låt oss återvända till partialsummationen ovan. Låt f(x) vara som ovan och låt g(x) = b k då k < x k. Liksom tidigare går här k från m till n. Då gäller att n m f(x)g(x)dx = b k. Formeln för partialintegration om f och g vore kontinuerliga är då att d.v.s. n m f(x)g(x)dx = [F (x)g(x)] n m b k = F (n)b n F (m )b m n m n F (x)g (x)dx, F (k) g(k). Här är g(k) = b k+ b k medan F (k) = k a j = s k. Vi ser att vi får precis formeln för partialsummation. Anmärkning Ta inte detta som ett bevis! Vi är bara ute efter att visa på analogin mellan partialsummation och partialintegration. T.ex. är det inte helt klart varför g (k) ska svara mot just g(k). Vi ersätter en derivata med hoppet i en punkt! Utan närmare förklaring än att t.ex. g g(k + ) g(k) (k) = = b k+ b k. (k + ) k Noteringar. Detta diskuteras utförligare i kapitlet Om de reella talen.