Algebra och Geometri SF1624 Agenda 28/8/2017: 1 Information om kursen 2 vektorer Sandra Di Rocco dirocco@kth.se professor, institution för Matematik https://people.kth.se/~dirocco/
Webbsida: Canvas logga in!
Information: Canvas 3-2-1 varje vecka! 6 moduler 6 seminarier Uppgifter under moduler Max 6 bonus poäng à Tentamen Del A 12p Del B 12p Del C 12p E 16p
mer info Ø Läs info on seminarier!! Ø Boken: Läs boken! Under lektionen går vi inte genom allt som står i boken! Ø Omregistrerade och äldre studenter ska anmäla sig till seminarierna. Anmälningsblanketten finns på webbsidan.
Hjälp Ø Mattejour, https://www.kth.se/sci/institutioner/math/utb/ matematikjour-1.38507 Det kommer att ordnas. Ø Kursnämnd 4-6 representanter anmäl din intresse till mig genom att maila mig senast sept. 15. Ø Frågor om anmälning och administration till elevexp@math.kth.se
Nu kör vi! Gymnasie KTH träningstempo tävlingstempo Läs materialet innan ni kommer till föreläsning! Viktigt att ni inte tappar tempo!
Varför Matematik? Man kan säga att det finns tre språk man måste behärska på framtidens arbetsmarknad: engelska, kinesiska och matematik. De är helt avgörande för att vi ska kunna hålla levnadsstandarden i Sverige. Börje Ekholm, VD Investor, juni 2013 VD Eriksson
Algebra (?) Bild (pixels) -> Matris Operationer med matriser (Matris algebra) Tranformationer (Linjära transformationer) Optimala rotationer (eigenvektorer)
Geometri (?) Modellering Beskrivning av olika positioner (vink1, vink2, vink3)= vektor Operationer (vekotralgebra) Positioner (linjära transformationer) Vilka positioner når en viss punkt: Linjära system
Many confuse Mathematics with arithmetic, and consider it an arid science. In reality, however, it is a science which requires a great amount of imagination. Sonya Kovalevski, 1850-1891 4 (r 2 x 2 y 2 )(r 2 y 2 z 2 )(r 2 z 2 -x 2 ) (1 + 2r)(x 2 + y 2 + z 2 w 2 ) 2 w 2 = 0 r = (1+51/2)/2 Algebra Geometri 2x+3y+z=0 x+y+z=0 Linjär algebra Linjär Geometri
Modul 1 v. 35 28/8 Vektorer 1.1-1.2 29/8 Linjära ekvationer och Gauss 31/8 Trappstegform och rang 2.1 2.2
System av linjära ekvationer System av 3 linjära ekvationer i 3 variabler 8 < : 2x + y + z = 0 2x +3z = 2 5y 23z = 5 Att lösa systemet = bestämma alla (a,b,c) som uppfyller de tre ekvationer samtidigt. Ex: BARA (71/26, -56/13,-15/13)
Vertyg 2x + y + z = 0 2x +3z = 2 5y 23z = 5 2 4 2 1 1 0 3 2 0 3 25 0 5 23 5 x y z z y (2, 2, 0) x Ekvations system Matriser vektorer
Vektorer Plan Rum P=(2,2) P=(2,1,3) 0=(0,0) Strecket 0P= vektor som punkten P representerar. Måste bestämma ett referens-system(xyz) Beteckning: ~v = ~ OP =(x, y) = apple x y ~0 =(0, 0)
Operationer genom koordinater ~v ± ~u =(v 1,v 2 ) ± (u 1,u 2 )= apple v1 v 2 ± apple u1 u 2 = apple v1 ± u 1 v 2 ± u 2 =(v 1 ± u 1,v 2 ± u 2 ) Ex: ~v ~u
( 1, 3) ( 1, 3) (5, 1) (5, 1) (-1,3)-(5,-1)=(-6,4) (5,-1)-(-1,3)=(6,-4)
längden t~v = t(v 1,v 2 ) Frågor: Kan ni rita, för alla t, Beräkna 3~v 1 2 t~0 =t(0, 0) ~w där ~v =(1, 1, 1), ~w =(6, 6, 6)
Linjer i planet Q =(c, d) P=(x,y) L ~u =(a, b) Linje genom en punkt Q och med riktning ~u 0P ~ =(x, y) = 0Q ~ + t QP ~ =(c, d)+t(a, b) x = ta + c y = tb + d Parametrisk ekvation EN PARAMETER=EN DIMENSION
Fråga: Skriv EN ekvation i variablerna x,y, som beskriver linjen i planet med riktning (12,3) och som passerar genom punkten (2,1).
Fråga: Skriv EN ekvation i variablerna x,y, som beskriver linjen i planet med riktning (12,3) och som passerar genom punkten (2,1). Parametrisk beskrivning x = 12t +2 y =3t +1 Kan eliminera t x 4y =2 4= 2 Svar: x 4y +2=0 Ekvation till linjen
Fråga: Bestäm den parametriska ekvation till linjen i planet som går igenom två punkter P och Q: Q =(c, d) P =(a, b) 1 Riktning : ~ PQ =(c, d) (a, b) =(c a, d b) 2 linje med denna riktning och som går genom Q x =(c y =(d a)t + c b)t + d (x, y) =((c a)t + c, (d b)t + d)
En linje i planet: Dimensioner En godtycklig punkt på linjen har två koordinater (x,y). En parametrisk ekvation ska bestå av två parametriska ekvationer: x = ta + c y = tb + d En linje i planet kan tänkas som ett en dimensionellt objekt i en två dimensionell värld. Man ska därför gå ned en dimension vilket betyder att man ska kunna beskriva linjen genom en ekvation, ex: Förklara hur! x 4y +2=0
Dimensioner En linje i rummet: En godtycklig punkt på linjen har tre koordinater (x,y,z). En parametrisk ekvation an en linje med riktning (a,b,c) och som går genom punkten (d,e,f) 8 < : x = at + d y = bt + e z = ct + f En linje i planet kan tänkas som ett en dimensionellt objekt i en tre dimensionell värd. Man ska därför gå ned två dimensioner som betyder att en beskrivning ska ges genom Två ekvationer: x +2y +3z =0 x +3y +5z + 75 = 0
Nykelbegrepp från idag Ø Hur representerar man en vektor? Ø Vektorerna kan adderas och multipliceras med skalär Ø Hur representerar man en linje i planet? parametriskt ekvation