Institutionen för fysik 2012-05-21 Umeå universitet SVÄNGNINGSTIDEN FÖR EN PENDEL SAMMANFATTNING Ändamålet med experimentet är att undersöka den matematiska modellen för en fysikalisk pendel. Vi har mätt perioden för två fysikaliska pendlar och undersökt hur den påverkas av utfallsvinkel och avståndet mellan masscentrum och upphängningspunkt, l. Metoder som använts för att analysera data är polynomisk regression, linjärisering och dimensionsanalys. Enligt våra resultat ökar perioden med större vinklar, men för mindre vinklar kan perioden beskrivas som en funktion oberoende av vinkeln. Våra resultat visar även att den matematiska modellen stämmer. Viktiga slutsatser är att korrektionensfaktorn beroende av vinkeln är olinjär, samt att perioden beror på två konstanter varav den ena är g -1 och den andra beror på pendeln. Förutom vinkeln beror perioden även på l.
1. INTRODUKTION I denna laboration ska fysikaliska pendlar användas för att bestämma vilka parametrar som bestämmer en fysikalisk pendels svängningstid och bekräfta en given matematiska modell, samt besvara hur hur mycket periodtiden påverkas av utslagsvinkelns storlek. Vi ska genom experiment undersöka om följande matematiska modell är riktig: ( ),,där T = Periodtiden l = Avståndet mellan upphängningspunkt och masscentrum = Utslagsvinkeln, samt ( ) = korrektionsfaktorn Genom att göra en dimensionsanalys så kan man bestämma storheterna för konstanterna a och b. Sedan kan man genom upprepade mätningar av perioden med varierande pendellängd bestämma konstanterna a och b numeriskt för varje enskild pendel. Korrektionsfaktorn för olika vinklar kan fås genom att utföra en polynomisk regressionsanalys på mätdatat. Genom att plotta periodtiden som en funktion av vinkeln får man ut korrektionsfaktorn ( ). Vi har undersökt svängningstiden för två olika pendlar. 2. TEORI Vi skriver om ekvationen på ett sådant sätt så att vi kan lösa ut konstanterna a och b numeriskt med hjälp av regressionsanalys. ( ) ( ) ( ), där T = Periodtiden l = Avståndet mellan upphängningspunkt och masscentrum = Utslagsvinkeln, samt ( ) = korrektionsfaktorn Om man plottar upp den linjära ekvationen med hjälp av en dator kan man att bestämma konstanterna a och b numeriskt. - 2/10 -
(2) Y = kx + m, där ( ),. Där a är konstanttermen m och b är riktningskoefficienten k. Dimensionsionerna på a och b kan bestämmas genom att göra en dimensionsanalys, eftersom ( ) och 2π är dimensionslösa så har vi att: (3) [ [ [ => a = [ [, b = [ [ där [T] = tidenhet, [L] = längdenhet 3. EXPERIMENT Pendelarna bestod av två masonitskivor med ett stort antal hål för att avståndet mellan masscentrum och upphängningspunkten skulle kunna varieras. Upphängningspunkten var en gängstav fastsatt på väggen i vilken pendeln skruvades fast. På denna gängstav satt även ett lod för att kunna mäta utslagsvinklarna. Fig. 1: Den osymetriska skivan, S 2 : - 3/10 -
Fig. 2: Den symmetriska skivan, S 1 : För att kontrollera de vinklar som redan var utsatta på den runda pendel, S 1, kontrollerade vi att två av gradersmarkeringarna var korrekta. Detta gjordes genom att mäta båglängden från lodlinjen till markeringen samt pendelns radie. Då den andra pendeln, S 2, ej var regelbundet formad bestämdes dess masscentrum genom att hitta den punkt på vilken den kunde balanseras på ett finger. För att kontrollera att den utsatta markeringen för 10 grader var korrekt för S 2 mätte vi triangeln som bildades mellan markeringen, upphängningspunkten och lodlinjen. Vi började med att göra ett stort antal mätningar av perioden för S 1 då utslagsvinkeln hölls konstant vid 10 grader. Avståndet mellan masscentrum och upphängningspunkten hölls också konstant. Då vi använde en rund pendel antogs masscentrum ligga i pendelns mittpunkt. Med ett tidtagarur mättes tiden för tre perioder då tidtagaren satte igång klockan samtidigt som han eller hon startade pendeln i vändläget och stannade klockan tre perioder senare i samma vändläge. I senare experiment är detta standardsättet för mätning av perioden. Som jämförelse mättes även perioden då pendeln först startades och tidtagaren sen startade klockan i jämviktsläget för att sen stanna klockan tre perioder senare. För att se hur perioden eventuellt påverkas av utslagsvinkeln gjorde vi upprepade mätningar av perioden för S 1 vid olika vinklar. I dessa försök hölls avståndet mellan upphängningspunkten och masscentrum konstant. - 4/10 -
Sist gjordes mätningar av perioden för olika avstånd mellan upphängningspunkten och masscentrum för de två pendlarna. Under dessa mätningar hölls utslagsvinkeln under 15 grader. 4. RESULTAT OCH DISKUSSION Den uppmätta båglängden från lodlinjen till tiogradersmarkeringen blev 18,0(5) cm, samt 89,0(5) cm för 50 grader. Den runda pendelns radie mättes och blev 50,5(5) cm. Genom att använda randvinkelsatsen fick vi att vinklarna var 10,2(4) grader resp 50,5(3) grader. För den oregelbundna pendeln kom vi fram till att markeringen för tio grader var korrekt genom att använda tangens och våra mätvärden. Vi drog då slutsatsen att alla utsatta vinklar på pendlarna var utsatta med tillräcklig precision för våra experiment. De värden vi fick då vi mätte tre perioder för S 1 med konstant utfalls vinkel på 10 grader varierade mer än väntat, se tabell 1 för värden. Tabell 2 visar statistik av mätvärdena i tabell 1. Denna statistik är framtagen i programmet Octave. Då standardavvikelsen var minst för båda tidtagare när denne startade klockan samtidigt som han släppte pendeln är det detta sätt som används under resterande mätningar. Teoretiskt sett borde dock standardavvikelsen vara mindre då klockan startas och stannas i jämviktsläget eftersom pendeln befinner sig där under kortare tid än i vändpunkterna. Vårt avvikande resultat beror antagligen på att samma person startade klockan och pendeln samtidigt för vändpunktsmätningarna, vilket minimerade starttidsfelet. Om vi istället först startat pendeln och sen startade klockan vid en senare vändpunkt hade vårt resultat antagligen blivit detsamma som det teoretiska. Då Christers standardavvikelse var mindre än Madeleines fick han utföra resterande tidtagningar. Tabell 1 Tabell över mätvärden för tre perioder när klockan startade och stannades vid jämviktspositionen respektive vändläget. Mätdata 3T (s) Christer Madeleine Vändpunkt (A) Jämvikt (B) Vändpunkt (C) Jämvikt (D) 5,09 5,20 5,18 5,27 5,09 5,36 5,05 5,36 5,14 5,27 5,18 5,14 5,05 5,36 5,14 5,18 5,18 5,24 5,02 5,27 5,09 5,27 5,20 5,36 5,02 5,20 5,14 5,27 5,05 5,27 5,24 5,24 5,09 5,24 5,11 5,27 5,14 5,27 5,18 5,36-5/10 -
Tabell 2 Tabell över statistik av mätvärdena från tabell 2. Rad A i tabell 2 svarar mot värden från kolumn 1-Vändpunkt (A)- i tabell 1, osv. Tabell 3 visar mätdata för olika utfallsvinklar för den runda pendeln. Som väntat blir periodtiden längre för större vinklar, dvs korrektionsfaktorn kan ej antas vara 1 för större vinklar. Figur 1 visar perioden som en funktion av vinkeln. Av denna figur är det tydligt att sambandet mellan vinkel och period är olinjärt. P.g.a. summeringen av två termer under rottecknet i ekvation (0) går ej standardmetoden med linjärisering och logaritmering att använda i detta fall. Andragradspolynomet representerar värdena bättre än linjäriseringen men mätdata för fler vinklar skulle vara önskvärt, samt mer mätdata för varje vinkel. Då det var svårt att mäta perioden för vinklar mindre än tio grader saknas mätdata i intervallet 0-10 grader, men man kan ändå från figur 1 se att antagandet att korrektionsfaktorn är 1 för mindre vinklar ger en godtagbar approximation för vinklar under 15 grader, men ännu bättre approximation fås av vinklar som är max 10 grader. Detta ses i figur 1 genom att andragradspolynomets graf planar ut för mindre vinklar. Korrektionsfaktorn kan beräknas genom att räkna förhållandet mellan periodtiden för en specifik vinkel och interceptet. Tabell 3 Tabell över mätdata och uträknad medelperiod, T, för olika vinklar för den runda masonitskivan. Utfallsvinkel mätning 1 [3T] mätning 2 [3T] (grader) (s) (s) T (s) 10 1,70* 20 5,14 5,18 1,72 25 5,18 5,24 1,74 30 5,24 5,20 1,74 40 5,27 5,27 1,76 50 5,42 5,42 1,81 60 5,57 5,54 1,85 *Värde från tidigare mätningar (medelvärdet för perioden för Christers mätningar då vinkeln är 10 grader, se tabell 2, rad A) - 6/10 -
Fig. 1 Periodtiden som en funktion av utslagsvinkeln, med en linjär och en andragradspolynom anpassning. Tabell 4 visar de värden vi fick på medelperioden då vi ändrade längden, l, mellan upphängningspunkten och masscentrum för den runda pendeln. I detta experiment var vinkeln tänkt att vara konstant 10 grader men då vi använde samma markering på pendeln och ej tog med i beräkningarna att vinkeln ändras med l, (randvinkelsatsen gäller ej längre), blev vinkeln något större för mindre l. Samma experiment utfördes med den andra oregelbundna pendeln. Dessa värden finns i tabell 5. Även här varierade vinkeln något. Tabell 4 Tabell över mätdata och uträknad medelperiod för olika längder på l för den runda masonitskivan. l (m) tid 1 [3T] (s) tid 2 [3T] (s) tid 3 [3T] (s) T (s) 0,12 6,85 6,63 6,66 2,24 0,24 5,14 5,24 5,2 1,73 0,32 5,02 5,02 5,02 1,68 0,36 5,02 5,06 5,02 1,68 0,40 5,06 5,06 5,02 1,68 0,44 5,09 5,02 5,02 1,68 0,48 1,70* *Värde från tidigare mätningar - 7/10 -
Tabell 5 Tabell över mätdata och uträknad medelperiod för olika längder på l för den oregelbundna masonitskivan. längd m tid 1 tid 2 tid 3 medel T 0,09 6,09 5,97 5,85 1,99 0,14 4,94 4,82 5,06 1,65 0,21 4,51 4,49 4,51 1,50 0,28 4,49 4,36 4,49 1,48 0,34 4,36 4,49 4,58 1,49 0,40 4,51 4,57 4,58 1,52 0,49 4,89 4,82 4,73 1,61 Med hjälp av programmet Octave kunde vi med dessa mätdata bestämma konstanterna a och b numeriskt för de två pendlarna, genom att ansätta X och Y enligt ekvation (2). Resultatet för den runda pendeln visas i figur 2 och för den oregelbundna i figur 3. Linjäranpassningen i figur 2 ger a=0,0133 och b=0,0939 för den runda pendeln. För den andra pendeln ger linjäranpassningen istället a=0,0077 och b=0.0993. Fig. 2 X som en funktion av Y för den runda pendeln. - 8/10 -
Fig. 3 X som en funktion av Y för den oregelbundna pendeln. För att bestämma tyngdaccelerationen g, betraktade vi enheterna för g samt a och b som vi kommit fram till genom dimensionsanalys. [a]=s 2 m [b]=s 2 /m [g]=m/s 2 Inspektion ger att 1/b har samma enhet som g och eftersom våra två värden på b var ungefär lika för båda pendlar kan man misstänka att b kan vara en konstant som är oberoende av pendeln. Vi testade därför att ansätta g=1/b vilket med våra värden ger g=1/b=1/0.0939=10.6 m/s 2 för den runda pendeln, S 1 g=1/b=1/0.0993=10.1 m/s 2 för den oregelbundna pendeln, S 2 Framförallt för den oregelbundna pendeln är detta en skaplig uppskattning av g och vi drog slutsatsen att antagandet g=1/b är korrekt men att våra värden på konstanterna a och b inte är helt korrekta p.g.a. mätfel. 5. SLUTSATSER En slutsats är att den givna matematiska modellen för perioden för en fysikalisk pendel, ekv (0), stämmer väl överens med verkligheten. Samt att korrektionsfaktorn blir större för större vinklar. Sambandet mellan perioden och utfallsvinkeln approximeras bäst med ett polynom. För små vinklar är korrektionsfaktorn ungefär 1, och kan därmed försummas. Perioden blir då - 9/10 -
bara beroende av längden från masscentrum till upphängningspunkten och två konstanter. Konstanten b i modellen är i själva verket g -1 och ska därför vara densamma för alla pendlar, även om b i våra resultat skiljer sig något för de två pendlarna. Konstanten a däremot beror på pendeln, och kan bestämmas genom linjärisering av den matematiska modellen. - 10/10 -