Frågetimmar inför skrivningarna i oktober

MATEMATIK Frågetimmar inför skrivningarna i oktober (Tomas Carnstam, Johan Richter, ) fredag 9 oktober 55 7 (Obs) tisdag 2 oktober 05 2 onsdag 24 oktober 05-2 torsdag 25 oktober 05 2 fredag 26 oktober 05-2 Lokal: MH: Lokal: MH: Lokal: MH: Lokal: MH: Lokal: MH: Individuell rådgivning på alla aktuella kurser Anders Holst Studierektor

LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING LINJÄR ALGEBRA 20-2- kl 49 INGA HJÄLPMEDEL Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar Alla koordinatsystem får antas vara ortonormerade och positivt orienterade Lös, för varje värde på a, ekvationssystemet x + y + z = 0 ax y + z = 0 x ay z = 0 2 a) Bestäm en ekvation på an form för planet π genom punkterna P : (, 0, ), P 2 : (,, ), och P : (,, ) (0) b) Bestäm skärningen mellan planet π ovan och linjen som går genom punkterna Låt P 4 : (, 4, ) och P 5 : (4, 6, 4) (0) c) Ange den punkt i π som ligger närmast P 5, dvs nn den ortogonala projektionen av punkten P 5 på planet π (04) A = ( ) 4 a) Bestäm alla egenvärden och egenvektorer till A (05) b) Diagonalisera A, dvs ange en inverterbar matris S och en diagonalmatris D sådana att S AS = D (02) c) Lös matrisekvationen (AX I) T = A (0) 4 Bestäm en positivt orienterad ortonormerad bas ê, ê 2, ê sådan att ê är ortogonal mot planet π : 2x + 2y + z = 0 och ê 2 är ortogonal mot linjen l : (x, y, z) = (, 0, 2) + t(2,, 2) Bestäm också en ekvation för π i den nya basen ê, ê 2, ê 5 Låt F vara en linjär avbildning som avbildar vektorerna (, 0, 0), (,, 0) och (,, ) på (2,, 0), (0, 0, ) respektive (0,, ) Låt vidare G vara avbildningen som speglar rummets vektorer i xz-planet, dvs i planet y = 0 Låt slutligen H vara den sammansatta avbildning som innebär att vi först tillämpar F och därefter G a) Bestäm avbildningsmatrisen för H (08) b) Blir volymen av en parallellepiped större eller mindre då vi tillämpar H på den? (02) Var god vänd!

6 Antag att vi vrider rummets vektorer vinkeln θ kring linjen (x, y, z) = t (9, 52, 267), i positiv led sett från spetsen av vektorn (9, 52, 267), och låt A vara avbildningsmatrisen för denna avbildning a) Bestäm, för varje värde på θ, rangen av A (0) b) Bestäm, för varje värde på θ, alla (reella) egenvärden till A (0) c) Bestäm, för varje värde på θ, huruvida A är diagonaliserbar eller ej (04) GOD JUL!

LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING LINJÄR ALGEBRA 202-0- kl 8 INGA HJÄLPMEDEL Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar Alla koordinatsystem får antas vara ortonormerade och positivt orienterade, om inte annat anges a) Ange en ekvation på affin form för planet π genom punkten (,, ) och linjen (x, y, z) = ( t, + t, t), t R (05) b) Beräkna avståndet mellan punkten (, 2, 2) och π (05) 2 Låt u = ( a,, ), u 2 = (,, a) och u = (,, ) Bestäm för varje värde på parametern a alla lösningar till vektorekvationen λ u + λ 2 u 2 + λ u = 0 För vilka värden på a är u, u 2, u linjärt beroende? Bestäm alla symmetriska matriser X sådan att AX + (XA) T = B, där ( ) ( ) 2 4 4 A = och B = 2 4 a) Låt v = (, 0, ), v 2 = (, 2, 2) och v = (,, ) Bestäm volymen av parallellepipeden med kanterna v, v 2 och v Bestäm arean av parallellogrammen med sidorna v och v 2 (02) b) Låt F vara den linjära avbildningen sådan att F (, 0, 0) = ( 2, 0, 0), F (0,, ) = (0, 2, 2) och F (0,, ) = (0, 4, 2) Bestäm avbildningsmatrisen för F (04) c) Beräkna volymen av den parallellepiped som fås genom att tillämpa F på parallellepipeden i a) Beräkna arean av den parallellogram som fås genom att tillämpa F på parallellogrammen i a) (04) 5 Bestäm en bas e, e 2, e sådan att e är parallell med linjen l : (x, y, z) = ( + t, 2 t, 5), t R, e 2 är ortogonal mot e och parallell med planet π : x + 2y z = och e är ortogonal mot e 2 och mot linjen l 2 : (x, y, z) = (, 0, 2) + t(,, 2), t R Är e, e 2, e en ON-bas? Ange en ekvation för π i det nya koordinatsystemet Oe e 2e 6 Matrisen 6 A = 0 4 har egenvektoren Är A diagonaliserbar? 0 SLUT!

LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Linjär algebra 20 0 0 kl 8 INGA HJÄLPMEDEL Förklara dina beteckningar och motivera lösningarna väl Om inget annat anges är koordinatsystemen ortonormerade och positivt orienterande Bestäm, för varje reellt tal s, lösningarna till det homogena ekvationssystemet BX = 0 där s x 0 B = s 2 0 0, X = x 2, och 0 = 0 2 s 2 x 0 2 Beräkna det minsta avståndet mellan punkten P : (0,, 5) och planet med parameterframställningen π : (x, y, z) = s(,, ) + t(,, 0), s, t R Bestäm dessutom den punkt Q i π som ligger närmast P Definiera egenvärde och egenvektor till en matris Vad menas med att en matris är diagonaliserbar? Diagonalisera matrisen A = ( ) 4 2 5 4 Låt u = (4,, 5) och v = (4, 2, 0) a) Beräkna den minsta vinkeln, [u, v], mellan vektorerna u och v (05) b) Bestäm de vektorer w som uppfyller [u, w] = [v, w], dvs bildar en lika stor vinkel med u som med v (05) 5 a) Formulera definitionen för att tre vektorer, ê, ê 2, ê, bildar en ortonormerad bas i rummet (04) b) Konstruera en ny ortonormerad bas ê, ê 2, ê sådan att ê har samma riktning som vektorn (,, ) och ê är parallell med xy-planet Ange även koordinaterna till vektorn u = (0, 0, ) i den nya basen (06) 6 Du sitter i ett vintermörkt studentrum In genom nyckelhålet P tränger en smal solstråle som reflekteras av en spegel varpå den träffar en punkt Q på väggen I en idealiserad matematisk modell beskrivs nyckelhålet som en punkt P : (8, 5, 4) Det antages dessutom att ljusstrålen inledningsvis har riktningen v = ( 5, 5, ), att spegelytan ligger i planet σ : x + 2y = 0 och att väggens punkter uppfyller ekvationen π : 2x y + 5 = 0 Bestäm koordinaterna för Q LYCKA TILL!

LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Linjär algebra 202 08 0 kl 4 9 INGA HJÄLPMEDEL Förklara dina beteckningar och motivera lösningarna väl Om inget annat anges är koordinatsystemen ortonormerade och positivt orienterande Ange en ekvation på affin form för det plan som innehåller punkterna P : (,2,0), Q : (,,) och R : (,,2), och bestäm avståndet från origo till planet 2 a) Beräkna vinkeln [x, y] då x = (8, 5,) och y = (2,,6) (05) b) Låt x och y vara samma vektorer som ovan Bestäm två nya vektorer u och v sådana att y = u+v, och där u är parallell med x samt v är otrogonal mot x (05) Lös matrisekvationen (XA 2 ) = A B, där A = 0 och B = 2 2 2 2 0 0 2 2 y F(v) u 4 Figuren till höger visar hur en linjär avbildning F i planet avbildar två vektorer u och v på vektorerna F(u) respektive F(v) Bestäm avbildningsmatrisen för F med avseende på x y-koordinatsystemet F(u) v x 5 a) Ge definitionen för att en kvadratisk matris A är diagonaliserbar Härled utifrån denna definition en formel för potensen A n, där n är ett positivt heltal (04) b) Diagonalisera matrisen A = 7 [ ] 4 4 Ange den matris B som uppfyller A n B då n (06) 6 Låt π beteckna ett plan i rummet som går genom origo och har normalvektorn N Ange en formel för avbildningsmatrisen A för spegling i planet π Beräkna dessutom A 202 och A (Man kan anta att normalvektorn har längden ett, dvs N T N = ) LYCKA TILL!

Ì ÃÆÁËà À ËÃÇÄ Æ Á ÄÍÆ Å Ì Å ÌÁËà ÁÆËÌÁÌÍÌÁÇÆ Æ Ä ËÆÁÆ Ê ÄÁÆÂ Ê Ä Ê ¾¼½½¹½¾¹½ ½º Î Ö Ö Ñ ØØ ÙÒ Ö ÒÖ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ö Ó ÒØÑ ØÖ Ò Ö ÒÓÐÐ det A = a a = a2 + 2a + = 0 a =, a = Ö a Ó a Ö Ý Ø Ñ Ø ÒØÝ Ð Ò Ò Ó Ø Ö ÓÑ Ý Ø Ñ Ø Ö ÓÑÓ ÒØ Ö ÒÒ (x, y, z) = (0, 0, 0)º ÇÑ a = ÐÐ Ö a = ÒÒ ÓÒ Ð Ø ÑÒ Ð Ò Ò Öº Ö a = x + y + z = 0 x y + z = 0 x y z = 0 x + y + z = 0 4y 2z = 0 4y 2z = 0 x = t y = t z = 2t Ö a = x + y + z = 0 x y + z = 0 x + y z = 0 x + y + z = 0 2z = 0 2z = 0 x = t y = t z = 0 ËÚ Ö ÐÐ Ø a = Ö (x, y, z) = t(,, 2), t R Ó a = Ö (x, y, z) = t(,, 0), t Rº a Ó a Ð Ö Ð Ò Ò Ò (x, y, z) = (0, 0, 0)º ¾º µ Î Ö Ò Ö P P 2 = (0,, 2) Ó P P = (2,, 0)º Ò ÒÓÖÑ ÐÚ ØÓÖ Ø ÐÐ ÔÐ Ò Ø Ú P P 2 P P = (0,, 2) (2,, 0) = (2, 4, 2) = 2(, 2, ) Î ÚÐ Ö (, 2, ) ÓÑ ÒÓÖÑ ÐÚ ØÓÖ Ú Ð Ø Ö Ú Ø ÓÒ Ò x + 2y z + d = 0 Ö πº Ì Ð Ø d ØÑ ÒÓÑ ØØ ØÓÔÔ Ò Ò Ú ÔÙÒ Ø ÖÒ Ú Ø ÓÒ Ò Øº ܺ P + 2 0 + d = 0 d = 0 Î Ö ÐÐØ π : x + 2y z = 0º µ Î Ö Ò Ö Ò Ö ØÒ Ò Ú ØÓÖ P 4 P 5 ÓÑ Ð Ò Ò Ú Ø ÓÒ = (, 2, )º ÎÐ Ö Ú P 4 ÓÑ ÔÙÒ Ø Ö Ú (x, y, z) = (, 4, ) + t(, 2, ) = ( + t, 4 + 2t, + t) Î ØÓÔÔ Ö ÒÙ Ò ÓÓÖ Ò Ø Ö ÔÐ Ò Ø Ú Ø ÓÒ ( + t) + 2(4 + 2t) ( + t) = 0 6t + 6 = 0 t = ËÐÙØÐ Ò ÐÐØ ÔÙÒ Ø Ò (, 4, ) (, 2, ) = ( 2, 2, 2)º

µ ÇÖ Ó Ð Ö ÔÐ Ò Ø Ú ÔÖÓ Ö Ö OP 5 Ô ÔÐ Ò Ø ÒÓÖÑ Ð n = (, 2, ) OP 5 n (4, 6, 4) (, 2, ) v = n = (, 2, ) = 2 (, 2, ) = 2(, 2, ) n 2 (, 2, ) 2 6 ÇÑ Ú Ø Ò Ö Ò ÓÖØÓ ÓÒ Ð ÔÖÓ Ø ÓÒ Ò Ñ Q ÐÐ Ö Ø ÒÙ ØØ OQ = OP 5 v = (4, 6, 4) (2, 4, 2) = (2, 2, 6) Ò ÔÙÒ Ø ÓÑ Ð Ö ÒÖÑ Ø P 5 Ö ÐÐØ ÓÓÖ Ò Ø ÖÒ (2, 2, 6)º ËÚ Ö µ π : x + 2y z = 0º µ ( 2, 2, 2)º µ (2, 2, 6)º º µ ÒÚÖ Ò Ö Ð Ò Ò ÖÒ Ø ÐÐ Ú Ø ÓÒ Ò det(λi A) = 0 det(λi A) = λ 4 λ = (λ )2 4 = 0 λ =, λ = ÒÚÖ Ò Ö ÐÐØ λ = Ó λ = º ÅÓØ Ú Ö Ò ÒÚ ØÓÖ Ö ÓÑ ØÖ Ú Ð Ð Ò Ò Ö Ø ÐÐ Ú Ø ÓÒ Ý Ø Ñ Ø (λi A)X = ¼ º Ö λ = Ð Ö Ý Ø Ñ Ø { { ( ) 2x x 2 = 0 x = t X = t 4x + 2x 2 = 0 x 2 = 2t 2 ËÐ ÒÚ ØÓÖ ÖÒ X = t(, 2), t 0 Ø ÐÐ ÒÚÖ Ø λ = º È ÑÑ ØØ ÒÒ Ö Ñ Ò ØØ X = t(, 2), t 0 Ö ÒÚ ØÓÖ Ö Ø ÐÐ λ = º µ ÎÐ Ò Ñ ØÖ S Ñ ÒÚ ØÓÖ Ö ÓÑ ÓÐÓÒÒ Ö Ø Øº ܺ ( ) S = 2 2 Å ØÖ Ò S Ö ÒÚ ÖØ Ö Ö Ó ÒÐ Ø Ø ÓÖ Ò ÐÐ Ö Ø ØØ ( ) 0 S AS = D Ö D =, 0 Ú º Ú Ö D ÒÓÑ ØØ ÓÑ ÓÒ Ð Ð Ñ ÒØ ÚÐ ÑÓØ Ú Ö Ò ÒÚÖ Òº µ Î Ö Ö Ñ ØØ Ð ÙØ X (AX I) T = A AX I = A T AX = A T + I X = A (A T + I), ÙÒ Ö ÖÙØ ØØÒ Ò ØØ A Ö ÒÚ ÖØ Ö Öº ÁÒÚ Ö Ò Ú A Ö Ò Ø ÐÐ A = ( ), 4 Ú Ö X = A (A T + I) = ( ) (( ) ( )) 4 0 + 4 0 = ( ) ( ) 2 4 = ( ) 2 4 2 7 4 ËÚ Ö µ ÒÚ ØÓÖ Ö X = t(, 2), t 0 Ø ÐÐ ÒÚÖ Ø λ = Ó ÒÚ ØÓÖ Ö X = t(, 2), t 0 Ø ÐÐ ÒÚÖ Ø λ = º ( ) ( ) ( ) 0 2 µ S = D = º µ X = 2 2 0 º 7 4

º ËÓÑ Ö ØÒ Ò Ö ê Ø Ö Ú ÔÐ Ò Ø ÒÓÖÑ ÐÚ ØÓÖ (2, 2, )º ØØ ê 2 Ö ÓÖØÓ ÓÒ Ð ÑÓØ l ÒÒ Ö ØØ Ò Ö ÓÖØÓ ÓÒ Ð ÑÓØ Ö ØÒ Ò Ú ØÓÖÒ (2,, 2)º Ø Ö ÓÑ ê 2 Ú Ò ÐÐ Ú Ö ÓÖØÓ ÓÒ Ð ÑÓØ ê ÚÐ Ö Ú Ö ØÒ Ò Ø ÐÐ (2, 2, ) (2,, 2) = (, 2, 2) Ò Ð Ö ÒÙ ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ó ÔÓ Ø ÚØ ÓÖ ÒØ Ö ÓÑ Ú ÓÑ Ö ØÒ Ò Ö ê Ø Ö Ø Ö ÒÓÖÑ Ö Ò Ö Ú ÒÙ (2, 2, ) (, 2, 2) = (6,, 6) = (2,, 2) ê = (2, 2, ), ê 2 = (, 2, 2), ê = (2,, 2) Ø Ö ÓÑ Ú Ú ÐØ ê Ù Ø ÔÐ Ò Ø ÒÓÖÑ ÐÖ ØÒ Ò Ö Ò ÒÓÖÑ Ð Ò ÒÝ Ò ÓÓÖ Ò Ø ÖÒ (, 0, 0) Ú º ÔÐ Ò Ø Ö Ú Ø ÓÒ ˆx = 0º ËÚ Ö Å Ò Ò ÚÐ ê = (2, 2, ) ê 2 = (, 2, 2) Ó ê = (2,, 2)º ÈÐ Ò Ø π Ö Ò ÒÝ Ò Ú Ø ÓÒ ˆx = 0º º µ ÄØ A Ú Ö Ú Ð Ò Ò Ñ ØÖ Ò Ö F º ÐÐ Ö Ø ØØ 2 0 0 A 0 =, A = 0, A 0 0 = 0 Å Ø Ò Ô ÙÖ Ñ ØÖ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ ÙÒ Ö Ö Ò Ú ÒÙ Ö Ú 2 0 0 2 0 0 A 0 = 0, Ú º A = 0 0 0 0 0 0 0 0 ÁÒÚ Ö Ò Ö Ò Ø ÐÐ Ó Ú Ö A = 0 0 0 2 0 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0 0 =, 2 2 0 0 2 Ö ØØ ØØ Ú Ð Ò Ò Ñ ØÖ Ò B Ö Ú Ð Ò Ò Ò G ÒÚÒ Ö Ú ÔÖ Ò Ô Ò ØØ ÓÐÓÒÒ ÖÒ Ú Ð Ò Ò Ñ ØÖ Ò Ö Ð ÖÒ Ú Ú ØÓÖ ÖÒ º Ø Ö ÓÑ (, 0, 0) Ó (0, 0, ) Ð Ö xy¹ôð Ò Ø Ú Ð Ô ÐÚ º Î ØÓÖÒ (0,, 0) Ö ÑÓØ Ö ÓÖØÓ ÓÒ Ð ÑÓØ ÔÐ Ò Ø Ó Ô Ð Ö Ö Ô (0,, 0)º Î Ö ÐÐØ ØØ (, 0, 0) (, 0, 0), (0,, 0) (0,, 0), (0, 0, ) (0, 0, ), Ú Ö B = 0 0 0 0 0 0

Å ØÖ Ò Ö Ò ÑÑ Ò ØØ Ú Ð Ò Ò Ò H Ð Ö ÐÙØÐ Ò 0 0 2 2 0 2 2 0 C = BA = 0 0 = 0 0 0 2 0 2 µ Î Ö Ò Ö det C = 2 2 0 0 2 = 2 Ø Ö ÓÑ det C = 2 > Ð Ö Ø ÒÐ Ø Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ØÓÐ Ò Ò ÓÑ ÚÓÐÝѹ Ð ØØ Ò Ô Ö ÐÐ ÐÐ Ô Ô Ö Ò Ø ÖÖ ÚÓÐÝÑ Ú Ø ÐÐÑÔ Ö H Ô Òº 2 2 0 ËÚ Ö µ Ú Ð Ò Ñ ØÖ Ò Ö º µ ÎÓÐÝÑ Ò Ð Ö Ø ÖÖ º 0 2 º µ Ø Ö ÓÑ Ú Ð Ò Ò Ò Ö Ò ÖÓØ Ø ÓÒ Ö ÚÖ ÑÒ Ò Ð ÖÙÑÑ Ø Ú º Ú Ñ Ò ÓÒ º Î Ö Ö Ö Ö Ò A = º µ Ö ÐÐ θ ÐÐ Ö Ø ØØ Ò Ò ÚÒ Ð Ò Ò Ú Ð Ô ÐÚ Ú ØÓÖ ÖÒ ¼ µ Ô ÒÒ Ð Ò Ð Ö ÒÚ ØÓÖ Ö Ñ ÒÚÖ Ø λ = º ÇÑ θ = π (+k 2π) ÚÖ Ö Ú ØØ ÐÚØ Ú ÖÚ Ó Ð Ö ÐÐ Ú ØÓÖ Ö ¼ µ ÓÖØÓ ÓÒ Ð ÑÓØ Ð Ò Ò Ú º ÔÐ Ò Ø 9x 52y + 267z = 0µ ÒÚ ØÓÖ Ö Ñ ÒÚÖ Ø λ = º ÇÑ Ú ÚÖ Ö Ð Ú ÖÚ θ = k 2πµ Ð Ö ÐÐ Ú ØÓÖ Ö ¼ µ ÒÚ ØÓÖ Ö Ñ ÒÚÖ Ø λ = º ÁÒ Ò Ö ÚÖ Ò Ò Ö Ö ÒÚ ØÓÖ Ö ÙØ Ú Ö ÚÖ Ò Ò Ü ÐÒº µ Å ØÖ Ò A Ö ÓÒ Ð Ö Ö ÔÖ Ú Ò ÚÐ Ð Ò ÖØ Ó ÖÓ Ò ÒÚ ¹ ØÓÖ Öº ÒÐ Ø Ö ÓÒÓÑ Ò Ø µ Ö Ú ØØ ØØ Ö Ñ Ð Ø Ò Ø θ = π + k 2π Ó θ = k 2π ÐÐ Ö ÑÑ ÒØ Ø θ = k πº ËÚ Ö µ Ö Ò A = º µ Î Ò ÐÒ θ = π + k 2π k Z Ö λ = Ó λ = º ÚÖ θ Ö Ò Ø λ = º µ ÓÒ Ð Ö Ö Ò Ø θ = k π k Zº

TEKNISKA HÖGSKOLAN I LUND MATEMATISKA INSTITUTIONEN Svar och några anvisningar LÖSNINGAR LINJÄR ALGEBRA 202-0- a) En riktningsvektor för linjen ger en riktningsvektor för π Vektoren bestämd av punkten (,,) och en godtyckligt punkt på linjen ger en annan riktningsvektor för π Vektorprodukten av riktningsvektorerna ger en normalvektor, varav planets ekvation kan bestämmas Svar: En ekvation är π : x + y 2z 2 = 0 b) Enligt Avståndsformeln (Sats 46) är avståndet 6 2 2 Vektorekvationen är ekvivalent med ett homogent kvadratisk linjärt ekvationssystem med koefficientmatris a A =, a som har determinant det A = a 2 + 2a Om det A 0 ger Huvudsatsen att den enda lösningen är λ = λ 2 = λ = 0 I fallen a = och a = lösas ekvationen genom Gausselimination Svar: Lösningen till vektorekvationen är t(,, ), t R för a =, 2 2 (λ, λ 2, λ ) = t(,, 0), t R för a =, (0, 0, 0) för a, Vektorerna u, u 2, u är linjärt beroende exakt när a = eller a = Då X är symmetrisk ( och) A + A T är inverterbar fås AX + (XA) T = B X = 4 5 (A + A T ) B = som är symmetrisk 5 8 ( ) 4 5 Svar: Den enda lösning är X = 5 8 4 a) Svar: Volymen av parallellepipeden är V (v, v 2, v ) = och arean av parallellogrammen är v v 2 = 2 0 0 b) Svar: Avbildningsmatrisen för F är A = 0 0 0 2 c) Volymen med tecken av den nya parallellepipeden är V (F (v ), F (v 2 ), F (v )) = (det A) V (v, v 2, v ) enligt Sats 9 Arean av den nya parallellogrammen är F (v ) F (v 2 ) Svar: Volymen av den nya parallellepipeden är 4 och arean av den nya parallellogrammen är 6

5 Vi kan välja e som riktningsvektor för l Vektoren e 2 kan väljas som vektorprodukten av e och en normalvektor för π Vektoren e kan väljas som vektorprodukten av e 2 och en riktningsvektor för l 2 En determinantberäkning ger at detta är en bas Om S är basbytesmatrisen gäller x y = S z varav planets ekvation i det nya koordinatsystemet kan bestämmas Svar: En möjlig bas är e = (,, 0), e 2 = (,, ), e = (, 5, 2) Denna bas är inte en ON-bas Ekvationen för π i koordinatsystemet Oe e 2e är π : x +z = 6 Om v är den givna vektoren fås Av = 7v, så 7 är egenvärde till A Det karakteristiska polynomet för A är p A (λ) = λ + λ 2 40λ 2 Polynomdivision ger p A (λ) = (λ 7) (λ 2 +8λ+6), så egenvärden till A är 7 och 4 De motsvarende egenvektorer är de icke-triviale lösningarna till ekvationssystemet (λi A)X = 0 Man ser då att det inte finns linjärt oberoende egenvektorer Svar: Matrisen A är inte diagonaliserbar x y z,

LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK SVAR OCH ANVISNINGAR Linjär Algebra 2000 kl 8 Svar och några anvisningar Svar: Ekvationen BX = 0 har lösningen X = 0 då s, 2 Då s = blir lösningen X = t(0, 2, ) där t R För s = 2 får man tvåparameterlösningen X = r(,, 0) + t(, 0, ) där r, t R (Ekvivalent, alla vektorer X = (x, x 2, x ) som ligger i planet x + x 2 + x = 0) 2 Svar: Minsta avståndet är s = / 2 Närmsta punkten är Q : (,, 0)/2 Svar: Denitionen på egenvärde och egenvektor nns i boken sidan 28 Diagonaliserbarhet denieras på sidan 247 Matriserna ( ) ( ) 2 0 S = och D =, 0 2/5 diagonaliserar A, dvs S AS = D 4 a) Svar: [u, v] = π/ b) Svar: Vektorerna w = (x, y, z) som bildar samma vinkel med u som med v är precis de som ligger i planet π : x 4y 5z = 0 Anvisning: Villkoret [u, w] = [v, w] är ekvivalent med cos([u, w]) = cos([v, w]) som i sin tur kan uttryckas med hjälp av skalärprodukten som u w u w = v w v w Omskrivning och insättning av siror ger svaret 5 a) Denitionen av en ortonormerad bas nns på sidan 70, alternativt i ekvation (4) på sidan 69 b) Svar: En bas som uppfyller villkoren i uppgiften är ê =, ê 2 =, ê = 2 0 6 2 (Observera att det kan nnas andra korrekta svar på uppgiften) Koordinaterna till vektorn u = (0, 0, ) med avseende på det nya basen blir u = (0, 2/ 6, / ) 6 Svar: Q : (4,, 4/5) Anvisning: Ljusstrålen bildar i början linjen l : (x, y, z) = (8, 5, 4) + t( 5, 5, ) som skärar spegelytan σ : x+2y = 0 i punkten R : (2,, 4/5) Den speglade stråles riktning bestäms genom spegling av den ursprungliga riktningen v = ( 5, 5, ) i speglens plan: ˆv = v 2 n v n = = (, 7, ), n 2 där n betecknar spegelns normal Man kan nu bilda ekvationen för den linje ˆl som beskriver den speglade stråle, och söka dess skärning Q med väggens plan π

LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK SVAR OCH ANVISNINGAR Linjär Algebra 202 08 0 kl 4 9 (Anvisningar till vissa uppgifter) Svar: Planets ekvation på affin form är x + 2y + 4z 7 = 0 Avståndet från origo till planet är 7/ 29 2 a) Svar: [x, y] = π/4 b) Svar: u = 2 (8, 5,) och v = 2 ( 4,,9) Anvisning: Väljer man vektorn u som den ortogonala projektionen av y på x, så är u parallell med x och differensen v = y u blir ortogonal mot x Svar: X = BA = 2 4 2 4 Anvisning: Inverteras matriserna på ömse sidor om likhetstecknet i (XA 2 ) = A B fås XA 2 = (A B ) = BA Eftersom att A är inverterbar kan den förkortas bort, vilket ger den ekvivalenta ekvationen XA = B Efter multiplikation från vänster med A fås lösningen X = BA Beräkning och insättning av inversen, leder till svaret ovan 0 0 A = 0, 0 4 Svar: Avbildningsmatrisen är A = [ 0 ] Anvisning: Avläsning i figuren ger u = (4,), v = (2, ), F(u) = ( 4,) och F(v) = ( 2, ) Betecknar A avbildningsmatrisen för F gäller alltså A [ ] 4 = [ ] 4 och [ ] 2 A = Detta sammanställs kolonnvis till matrisekvationen som man sen löser [ ] 4 2 A = [ ] 4 2, [ ] 2 5 a) Svar: Definitionen av diagonaliserbarhet finns i boken s 247 Genom att använda diagonalisering fås formeln A n = SD n S

b) Svar: Matriserna [ ] 0 D = 0 7 [ ] och S = diagonaliserar A (Observera att andra val av D och S är möjliga) Matrisen B = 2[ ] uppfyller A n B då n Anvisning: Diagonalisering av A är standard Med hjälp av formlen från a) fås [ A n = SD n S n ] [ ] 0 = S 0 ( S 0 S S = B då n, 7 )n 0 0 där B är matrisen i svaret ovan 6 Svar: Den sökte avbildningsmatrisen är A = I 2NN T Vidare är A 202 = I och A = A Anvisning: Enligt formel ges avbildningsmatrisen A för spegling i ett plan genom origo och med normalvektorn N av A = I 2 NNT N T N = I 2NNT, där vi använt att normalvektorn har längden En enkel beräkning ger nu att A 2 = (I 2NN T ) 2 = I 2 4NN T + 4NN T NN T = I, eftersom att vi ju har N T N = Härav följer direkt att A 202 = (A 2 ) 006 = I 006 = I och att A = A