the standard scalar product, i.e. L E 4. Find the orthogonal projection of the vector w = (2, 1, 2, 1) on the orthogonal complement L of L (where

Relevanta dokument
is introduced. Determine the coefficients a ij in the expression for, knowing that the vectors (1, 0, 1), (1, 1, 1), (0, 1, 1) constitute an ON-basis.

is a basis for M. Also, find the coordinates of the matrix M = with respect to the basis M 1, M 2, M 3.

2. Let the linear space which is spanned by the functions p 1, p 2, p 3, where p k (x) = x k, be equipped with the inner product p q = 1

1. Find for each real value of a, the dimension of and a basis for the subspace

For which values of α is the dimension of the subspace U V not equal to zero? Find, for these values of α, a basis for U V.

for M, the matrix of the linear transformation F : R 3 M defined as x1 + x F ((x 1, x 2, x 3 )) = 2 + x 3 2x 1 + x 2 + 3x 3

, m 3 = 3. Determine for each real α and for each real β 0 the geometric meaning of the equation x 2 + 2y 2 + αz 2 + 2xz 4yz = β.

2. Find, for each real value of β, the dimension of and a basis for the subspace

1. Find the 4-tuples (a, b, c, d) that solves the system of linear equations

1. Find an equation for the line λ which is orthogonal to the plane

x 2 2(x + 2), f(x) = by utilizing the guidance given by asymptotes and stationary points. γ : 8xy x 2 y 3 = 12 x + 3

2(x + 1) x f(x) = 3. Find the area of the surface generated by rotating the curve. y = x 3, 0 x 1,

MMA129 Linear Algebra academic year 2015/16

6. a) Visa att följande vektorer är egenvektorer till matrisen A = , och ange motsvarande

8 < x 1 + x 2 x 3 = 1, x 1 +2x 2 + x 4 = 0, x 1 +2x 3 + x 4 = 2. x 1 2x 12 1A är inverterbar, och bestäm i så fall dess invers.

f(x) = x2 + 4x + 6 x 2 4 by utilizing the guidance given by asymptotes and stationary points.

S 1 11, S 2 9 and S 1 + 2S 2 32 E S 1 11, S 2 9 and 33 S 1 + 2S 2 41 D S 1 11, S 2 9 and 42 S 1 + 2S 2 51 C 52 S 1 + 2S 2 60 B 61 S 1 + 2S 2 A

1. Find the volume of the solid generated by rotating the circular disc. x 2 + (y 1) 2 1

S 1 11, S 2 9 and S 1 + 2S 2 32 E S 1 11, S 2 9 and 33 S 1 + 2S 2 41 D S 1 11, S 2 9 and 42 S 1 + 2S 2 51 C 52 S 1 + 2S 2 60 B 61 S 1 + 2S 2 A

f(x) =, x 1 by utilizing the guidance given by asymptotes and stationary points. cos(x) sin 3 (x) e sin2 (x) dx,

(4x 12) n n. is convergent. Are there any of those x for which the series is not absolutely convergent, i.e. is (only) conditionally convergent?

Find an equation for the tangent line τ to the curve γ : y = f(4 sin(xπ/6)) at the point P whose x-coordinate is equal to 1.

. Bestäm Rez och Imz. i. 1. a) Låt z = 1+i ( b) Bestäm inversen av matrisen A = (3p) x + 3y + 4z = 5, 3x + 2y + 7z = 3, 2x y + z = 4.

2 4xy. and classify each of them with respect to the corresponding linearized system. x 2 dy + 2xy = y2

and u = och x + y z 2w = 3 (a) Finn alla lösningar till ekvationssystemet

S 1 11, S 2 9 and S 1 + 2S 2 32 E S 1 11, S 2 9 and 33 S 1 + 2S 2 41 D S 1 11, S 2 9 and 42 S 1 + 2S 2 51 C 52 S 1 + 2S 2 60 B 61 S 1 + 2S 2 A

1. Find, for x > 0, the general solution of the differential equation. dy/dt 4xy + 10y + 6y 2,

1. The sum of two non-negative numbers x and y equals 4. Which is the smallest interval that surely contains the number x 3 + 3y 2?

Tentamen i Matematik 3: M0031M.

1 Find the area of the triangle with vertices A = (0,0,1), B = (1,1,0) and C = (2,2,2). (6p)

and Mathematical Statistics Gerold Jäger 9:00-15:00 T Compute the following matrix

Pre-Test 1: M0030M - Linear Algebra.

1. Compute the following matrix: (2 p) 2. Compute the determinant of the following matrix: (2 p)

2. For which values of the parameters α and β has the linear system. dy/dt x + y

sin(x 2 ) 4. Find the area of the bounded region precisely enclosed by the curves y = e x and y = e.

Tentamen i Matematik 2: M0030M.

denna del en poäng. 1. (Dugga 1.1) och v = (a) Beräkna u (2u 2u v) om u = . (1p) och som är parallell

och v = 1 och vektorn Svar 11x 7y + z 2 = 0 Enligt uppgiftens information kan vi ta vektorerna 3x + 2y + 2z = 1 y z = 1 6x + 6y + 2z = 4

(D1.1) 1. (3p) Bestäm ekvationer i ett xyz-koordinatsystem för planet som innehåller punkterna

där β R. Bestäm de värden på β för vilka operatorn är diagonaliserbar. Ange även för respektive av dessa värden en bas av egenvektorer till F.

Tentamen i Matematik 2: M0030M.

S 1 11, S 2 9 and S 1 + 2S 2 32 E S 1 11, S 2 9 and 33 S 1 + 2S 2 41 D S 1 11, S 2 9 and 42 S 1 + 2S 2 51 C 52 S 1 + 2S 2 60 B 61 S 1 + 2S 2 A

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf. Exempeltenta med lösningar Programmen EI, IT, K, X Linjär algebra juni 2004

Lösningsförslag obs. preliminärt, reservation för fel

2. Find an equation for and sketch the curve which begins at the point P : (3, 1) and which otherwise is given by the linear system 1 = 2

2. Find to the differential equation 2y + (y ) 2 = 0 the solution whose graph at the point with the coordinates (1, 0) has the tangent line x + y = 1.

Isometries of the plane

2. Find the area of the bounded region precisely enclosed by the curves y = 3 x 2 and y = x + x.

Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen EL, IT, K, X, ES, F, Q, W, Enstaka kurs LINJÄR ALGEBRA

2. Lös ekvationen z i = 2 z + 1 och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden.

Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik

3i)z 2013(1 ) och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden.

{ (1 + i)z iw = 2, iz + (2 + i)w = 5 + 2i, där i är den imaginära enheten. Ange rötterna z och w på rektangulär form.

1. Beräkna determinanten

Bestäm den matris B som löser ekvationen = 1 2

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:

Beräkna determinanten för produkten MMM Skissa, och bestäm arean av, det i det komplexa talplanet belägna området

Linjär algebra F1, Q1, W1. Kurslitteratur

3. Lös ekvationen 3 + z = 3 2iz och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden.

Övningar. c) Om någon vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v 1,..., v m på precis ett sätt så. m = n.

2. Vilka taltripler (x, y, z) satisfierar ekvationssystemet x + 2y 13z = 4 4x y + 17z = 5

1. Varje bevissteg ska motiveras formellt (informella bevis ger 0 poang)

. b. x + 2 y 3 z = 1 3 x y + 2 z = a x 5 y + 8 z = 1 lösning?

Prov i matematik F2, X2, ES3, KandFys2, Lärare, Frist, W2, KandMat1, Q2 LINJÄR ALGEBRA II

3. Vilka taltripler (x, y, z) satisfierar ekvationssystemet 3x + 2y 3z = 3 2x + y + 4z = 7

(a) Bestäm för vilka värden på den reella konstanten c som ekvationssystemet är lösbart. (b) Lös ekvationssystemet för dessa värden på c.

This exam consists of four problems. The maximum sum of points is 20. The marks 3, 4 and 5 require a minimum

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 2016

Kursplan MD2022. Matematik III 30 högskolepoäng, Grundnivå 2

TMV166 Linjär Algebra för M. Tentamen

Solutions to exam in SF1811 Optimization, June 3, 2014

Kurskod: TAMS28 MATEMATISK STATISTIK Provkod: TEN1 05 June 2017, 14:00-18:00. English Version

TMV166 Linjär algebra för M, vt 2016

4x az = 0 2ax + y = 0 ax + y + z = 0

x + y z = 2 2x + 3y + z = 9 x + 3y + 5z = Gauss-Jordan elemination ger: Area = 1 2 AB AC = 4. Span(1, 1 + x, x + x 2 ) = P 2.

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn.

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor.

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016

12.6 Heat equation, Wave equation

1 x 1 x 2 1 x x 2 x 2 2 x 3 2 A = 1 x 3 x 2 3 x x 4 x 2 4 x 3 4

LÖSNINGAR LINJÄR ALGEBRA LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK

a) Ange alla eventuella punkter där f är diskontinuerlig. b) Ange alla eventuella punkter där f är kontinuerlig men inte deriverbar.

Module 1: Functions, Limits, Continuity

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdag, 13 januari 2016

Tentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) ,

Tentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) ,

LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA Institutionen för Elektro- och Informationsteknik

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö

Detta cosinusvärde för vinklar i [0, π] motsvarar α = π 4.

Linjär algebra och geometri I

(d) Mängden av alla x som uppfyller x = s u + t v + (1, 0, 0), där s, t R. (e) Mängden av alla x som uppfyller x = s u där s är ickenegativ, s 0.

Uppgifter, 2015 Tillämpad linjär algebra

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S

Module 6: Integrals and applications

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

TMV142/186 Linjär algebra Z/TD

Kurskod: TAMS11 Provkod: TENB 28 August 2014, 08:00-12:00. English Version

1 basen B = {f 1, f 2 } där f 1 och f 2 skall uttryckas i koordinater i standardbasen.

Uppgifter, 2014 Tillämpad linjär algebra

Transkript:

MÄLARDALEN UNIVERSITY School of Education, Culture and Communication Department of Applied Mathematics Examiner: Lars-Göran Larsson EXAMINATION IN MATHEMATICS MMA9 Linear Algebra Date: 05-0-6 Write time: 5 hours Aid: Writing materials This examination consists of eight randomly ordered problems each of which is worth at maximum 5 points. The maximum sum of points is thus 40. The pass-marks 3, 4 and 5 require a minimum of 8, 6 and 34 points respectively. Solutions are supposed to include rigorous justifications and clear answers. All sheets with solutions must be sorted in the order the problems are given in. Especially, avoid to write on back pages of solution sheets.. The linear span of the vectors (,,, ), (, 3,, ), (,, 4, ), (9, 4, 3, 6) is a subspace M of R 4. Find a basis for M, and find all real numbers a for which M contains the vector (3a 5, 4a 9, a + 5a +, a 5).. The linear transformation F : R 4 R 3 is defined by F (x) = (4x + x + 7x 3 + 7x 4, 3x + x + 5x 3 + 7x 4, x + x + 3x 3 + x 4 ), where x = (x, x, x 3, x 4 ). Find a basis for each of the image of F and the kernel of F, and state the dimensions of the two spaces. 3. Let L = span{(, 0,, ), (,, 0, ), (,, 3, ), (3,,, 3)} be equipped with the standard scalar product, i.e. L E 4. Find the orthogonal projection of the vector w = (,,, ) on the orthogonal complement L of L (where L = {u E 4 : u v = 0 for all v L}). 4. The linear operator F : R 3 R 3 has the matrix a a 3 relative to the basis e, e, e 3 and where a R. Find those a for which the operator är diagonalizable, and state for each of these a a basis of eigenvectors. 5. In the two-dimensional linear space L, the vectors f and f have the coordinates (, ) and (, 3) respectively relative to the basis e, e. Define a scalar product in L, such that f, f is an orthonormal basis for L, and specify the scalar product expanded in the basis e, e. Finally, determine the length of e + 4e. 6. A linear operator F reflects every vector u E 3 about the linear space M = {(x, x, x 3 ) E 3 : x + x x 3 = 0, x + x + x 3 = 0}. Find the matrix of F in the standard basis. 7. It can be proven relatively easy that the functions f, f, f 3, where f n (x) = e ( n)x, are linearly independent in any interval [a, b] with a < b. Let now the three functions g, g, g 3 be defined by g (x) = 3e x + + e x, g (x) = e x + e x, g 3 (x) = e x + 3. Prove that g, g, g 3 is a basis for the linear space spanned by f, f, f 3, and find in that basis the coordinates of the function sinh (where sinh(x) = (ex e x )). 8. Let (x, y, z) denote the coordinates of a point in an orthonormal system. Prove that the equation 3 + xy = yz + zx describes a one-sheeted rotational hyperboloid, and find relative the given coordinate system an equation for the points on the rotational axis. Also, determine the shortest distance a particle on the surface must travel one lap around the axis of rotation, returning to the starting point. Om du föredrar uppgifterna formulerade på svenska, var god vänd på bladet.

MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MMA9 Linjär algebra Datum: 05-0-6 Skrivtid: 5 timmar Hjälpmedel: Skrivdon Denna tentamen består av åtta om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera kan ge maximalt 5 poäng. Den maximalt möjliga poängsumman är således 40. För betygen 3, 4 och 5 krävs minst 8, 6 respektive 34 poäng. Lösningar förutsätts innefatta ordentliga motiveringar och tydliga svar. Samtliga lösningsblad skall vid inlämning vara sorterade i den ordning som uppgifterna är givna i. Undvik speciellt att skriva på baksidor av lösningsblad.. Det linjära höljet av vektorerna (,,, ), (, 3,, ), (,, 4, ), (9, 4, 3, 6) är ett underrum M till R 4. Bestäm en bas för M, och bestäm alla reella tal a för vilka M innehåller vektorn (3a 5, 4a 9, a + 5a +, a 5).. Den linjära avbildningen F : R 4 R 3 är definierad enligt F (x) = (4x + x + 7x 3 + 7x 4, 3x + x + 5x 3 + 7x 4, x + x + 3x 3 + x 4 ), där x = (x, x, x 3, x 4 ). Bestäm en bas för vardera av F :s värderum och F :s nollrum, och ange dimensionerna av de två rummen. 3. Låt L vara det linjära höljet [(, 0,, ), (,, 0, ), (,, 3, ), (3,,, 3)] utrustat med standardskalärprodukten, dvs L E 4. Bestäm den ortogonala projektionen av vektorn w = (,,, ) på det ortogonala komplementet L till L (där L = {u E 4 : u v = 0 för alla v L}). 4. Den linjära operatorn F : R 3 R 3 har i basen e, e, e 3 matrisen a a 3 där a R. Bestäm de a för vilka operatorn är diagonaliserbar, och ange för var och en av dessa a en bas av egenvektorer till F. 5. I det tvådimensionella, linjära rummet L har vektorerna f och f koordinaterna (, ) respektive (, 3) i basen e, e. Definiera en skalärprodukt i L, sådan att f, f utgör en ON-bas för L, och specificera skalärprodukten utvecklad i basen e, e. Bestäm sedan längden av vektorn e + 4e. 6. En linjär operator F speglar varje vektor u E 3 i det linjära rummet M = {(x, x, x 3 ) E 3 : x + x x 3 = 0, x + x + x 3 = 0}. Bestäm avbildningsmatrisen för F i standardbasen. 7. Det kan visas relativt enkelt att funktionerna f, f, f 3, där f n (x) = e ( n)x, är linjärt oberoende på vilket intervall [a, b] som helst med a < b. Låt nu de tre funktionerna g, g, g 3 vara definierade genom g (x) = 3e x + + e x, g (x) = e x + e x, g 3 (x) = e x + 3. Visa att g, g, g 3 är en bas för det linjära rum som f, f, f 3 spänner upp, och bestäm i denna bas koordinaterna för funktionen sinh (där sinh(x) = (ex e x )). 8. Låt (x, y, z) beteckna en punkts koordinater i ett ON-system. Visa att ekvationen 3 + xy = yz + zx beskriver en enmantlad rotationshyperboloid, och bestäm i det givna koordinatsystemet en ekvation för punkterna på rotationsaxeln. Bestäm även den kortaste sträcka en partikel måste tillryggalägga för att på ytan ta sig ett varv runt rotationsaxeln och komma tillbaka till utgångspunkten. If you prefer the problems formulated in English, please turn the page.

MÄLARDALEN UNIVERSITY School of Education, Culture and Communication Department of Applied Mathematics Examiner: Lars-Göran Larsson Examination 05-0-6. A basis for M is e.g. (,,, ), (,3,,) M contains the vector (3a 5,4a 9, a + 3a +, a 5) iff a =.. A basis for the image of F is e.g. ( 4,3, ), (,,), ( 7,7, ), or simpler the standard basis since 3 dim(im( F )) = dim( R ) = 3. A basis for the kernel of F is e.g. (,,,0), and dim( ker( F )) = EXAMINATION IN MATHEMATICS MMA9 Linear algebra EVALUATION PRINCIPLES with POINT RANGES Academic year: 04/5 Maximum points for subparts of the problems in the final examination p: Correctly initiated an analysis of the relation between the 4 five vectors in R, and correctly found the reduced echelon form of the augmented coordinate matrix of the vectors in the span for M together with the fifth vector p: Correctly from the reduced echelon form identified a 4 basis for the subspace M of R p: Correctly from the reduced echelon form identified the value of a for which M contains the fifth vector p: Correctly identified the matrix A of F, and correctly found the reduced row-echelon form of A p: Correctly stated the dimension of the image of F p: Correctly found a basis for the image of F p: Correctly stated the dimension of the kernel of F p: Correctly found a basis for the kernel of F 3. (,,,0) ---------------------- One scenario ------------------------ p: Correctly found a two-dimensional basis for L p: Correctly orthonormalized the basis for L p: Correctly determined the orthogonal projection w of the vector w on L L ----------------------------- Another scenario --------------------------------------- p: Correctly found a two-dimensional basis for L p: Correctly orthonormalized the basis for L p: Correctly determined the orthogonal projection w L of the vector w on L p: Correctly determined the orthogonal projection w L of the vector w on the orthogonal complement of L, all by subtracting w from w L 4. The linear operator is diagonalizable iff a =. A basis of eigenvectors is e.g. (,,), (,,0), (,,) 5. u v = X T AY where 3 5 A = in the basis e,e 5 e + 4e = 5 p: Correctly found the two eigenvalues of the operator p: Correctly found the set of eigenvectors corresponding to the (single) eigenvalue p: Correctly found that the linear operator is diagonalizable iff a = p: Correctly for a = found the two linear independent set of eigenvectors corresp. to the (double) eigenvalue 3 -------------------------------- One scenario ------------------------------------------ p: Correctly noted that the scalar product of the vectors u and v in a given basis i equal to the matrix product X T AY, where X and Y are the coordinate matrices for u and v respectively, where A is representing the symmetric, bilinear and positive definite function which the scalar product is equal to p: Correctly noted that the matrix of the scalar product relative to the ON-basis f,f is equal to the identity matrix, and that the matrix relative to the basis e,e is ()

T equal to the matrix ( SS ) where S is the change-ofbasis matrix from e,e to f,f T p: Correctly found the matrix ( SS ) p: Correctly found the length of the vector e + 4e ----------------------------- Another scenario --------------------------------------- p: Introduced a mn as the elements of a matrix A representing the scalar product in the basis e,e, and correctly developed the orthogonality and norm conditions for f,f, i.e. = f f = a + a + a + a 0 = f f = a + 3a + a + 3a = f f = a + 3a + 3 a + 3 a p: Correctly solved the system of equations, where the number of unknowns are 4 = 3 since the matrix A is symmetric (implying that a = a ) p: Correctly found the length of the vector e + 4e 6. 3 p: Correctly from the condition for M identified a vector which spans M and two linearly independent vectors which span the orthogonal complement M of M p: Correctly noted that F maps vectors in M on themselves, i.e. F ( u) = u for each u M p: Correctly noted that F maps vectors in M on minus themselves, i.e. F( v) = v for each v M p: Correctly on the form CB, and in the standard basis, found the matrix A of the linear transformation F p: Correctly found the explicit expression for the matrix A 7. Since the matrix S in the change-ofbasis-relation ( g g g3) = ( f f f3) S is invertible, the functions g, g, g3 span f, f, f constitute a basis for { } The function sinh has the coordinates 3 ( 3,, ) relative to the basis g, g g, 8. Part : A proof 3 Part : Points at the axis of rotation satisfies the equation ( x, y, z) = t (,, ), t R The shortest distance one lap around the axis of rotation is equal to π 3 l.u. 3 p: Correctly found the matrix (or corresponding) which describes the relation between the functions g, g, g3 and f, f, f3 p: Correctly proved that the matrix in question is invertible (or equivalent has full rank or equivalent has a determinant different from zero), and from this correctly drawn the conclusion that also the functions g, g, g3 constitute a basis for span{ f, f, f 3 } p: Correctly expressed the sinh as the matrix product T ( g g g ) ( 3 S 0 ) p: Correctly found the inverse of the matrix S p: Correctly relative the basis g, g, g3 found the coordinates of the function sinh p: Correctly found that the quadratic form xy + yz + zx has the signature (,, ), meaning that the equation 3 = h( u) describes a one-sheeted rotational hyperboloid p: Correctly found an equation for the axis-of-rotation p: Correctly found the shortest distance for one lap around the axis of rotation, not leaving the surface ()