FÖRELÄSNING 10 Ledningar med förluster Förlustfria ledningar Rum-tid-diagram Bergerondiagram Appendix: Härledning av Bergerondiagrammet Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 1(45)
Ledningar med förluster Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 2(45)
RC-MODELLEN FÖR TRANSISTOR På Föreläsning 6 studerade vi uppladdningen av en inverterares utgång. Bland annat studerade vi bilden nedan... R I dp R I dp V V V ut ut () t = V DD 1 e ut C L V DD - C L V ut t --------- RC L t I Fö 6 använder vi en resistans som modell för PMOS-transistorn; vi använder modellen som approximation av den komplierade transistorn. Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 3(45)
EN LITE LÄNGRE, MEN SMAL LEDNING När vi har att göra med en lite längre ledning med liten tvärsnittsyta, är det ofta rimligt att modellera denna med en resistans i serie med en avslutande kapaitiv belastning från en grind. Om vi anbringar en ideal spänningskälla direkt på denna ledning så har vi en situation som liknar inverterarens uppladdning: V DD - R ledning V ut C grind V ut t V ut () t = V DD 1 e t ------ RC Skillnaden mellan fallen: I en ledning är R verkligen linjär. Men för en transistor är R en approximation. Alltså: För en ledning kan vi lita på siffrorna vi får från RC-tidskonstanten. Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 4(45)
FÖRDRÖJNING I EN LEDNING MED PUNKTFORMIGT RC V in - V in R En RC-länk V ut C V ut - 1. Vi antar att V in är ett steg, 0 till V DD. 2. Fördröjningen mäts vid 50% av V DD. V ------ DD RC Vi får alltså -------- = V, 2 DD 1 e vilket leder till 1 t d = ln -. 2 RC = 0,69 RC t d t = 0 t d tid Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 5(45)
PUNKTFORMIG VS DISTRIBUERAD MODELL Vi ska nu jämföra två modeller: den punktformiga modellen mot den distribuerade RC-modellen (i form av en 100-länkars approximation). V in R C V ut r = R/100 = C/100 r r r r r r r r V in V ut Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 6(45)
DEN PUNKTFORMIGA RC-MODELLEN - RC-LÄNKEN V in R C V ut V ut () t = V DD 1 e t ------ RC 3,40 en enda r-lank med r=1k oh =1nf 3,20 3,00 2,80 2,60 2,40 2,20 2,00 1,80 1,60 Current X=6,96e-007 Current Y=1,65e000 1,40 1,20 1,00 800,00m 600,00m 400,00m 200,00m 0,00 0,000000 1,000000u 2,000000u Time (lin) (TIME) Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 7(45)
EN 100-LÄNKARS DISTRIBUERAD RC-MODELL V in r 1 1 r 50 50 r 100 100 V ut 3,40 100 r-lankar var oh en med r=1k/100 oh =1nf/100 3,20 3,00 2,80 2,60 2,40 2,20 2,00 1,80 1,60 1,40 1,20 1,00 800,00m 600,00m 400,00m 200,00m 0,00 0,000000 1,000000u 2,000000u Time (lin) (TIME) Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 8(45)
JÄMFÖRELSE AV RC-FÖRDRÖJNINGARNA Den punktformiga modellens V ut är röd, den distribuerades V ut turkos 3,40 en r-lank 100 r-lankar: rtot=1k oh tot=1nf 3,20 3,00 2,80 2,60 2,40 2,20 2,00 1,80 1,60 1,40 1,20 1,00 800,00m 600,00m 400,00m 200,00m 0,00 0,000000 1,000000u 2,000000u Time (lin) (TIME) Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 9(45)
DEN DISTRIBUERADE RC-LEDNINGEN 1(2) Vi har telegrafekvationerna från förra föreläsningen: v( x, t) R L = i( x, t) oh i( x, t) = G C v( x, t). x t x t För en ledning med RC-egenskaper har vi L = 0 oh G = 0: 2 v( x, t) = R i( x, t) = R C v( x, t) = RC v( x, t). x 2 x t t Om man antar en oändligt lång ledning blir lösningen på ekvationen: v( x, t) Erf x, 2 - RC = ------ t där Erf kallas den komplementära errorfunktionen kolla formelsamling! Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 10(45)
DEN DISTRIBUERADE RC-LEDNINGEN 2(2) Notera att distribuerade ledningar med förluster i allmänhet är knepigare att analysera än de förlustfria ledningarna. RC-modellen är emellertid myket viktig, eftersom den representerar de flesta IC-ledningarna med begränsad tvärsnittsyta, alltifrån - korta ledningar (då genom den punktformiga modellen), till - långa ledningar (då genom den distribuerade modellen). Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 11(45)
SKILLNADEN I FÖRDRÖJNINGEN HOS RC-MODELLER längden X R r V in V ut V in C r r r V ut För en punktformig modell gäller att fördröjningen är t d = 0,69 RC. För en distribuerad modell gäller t d = 0,69 r --- X2, 2 d.v.s. fördröjningen är hälften mot vad den är i den punktformiga modellen. Varför? Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 12(45)
DEN DISTRIBUERADE RC-LEDNINGEN X V in X r r r r V ut X = X -- N Varför är t d = 0,69 r --- 2 X2? Använd en aritmetisk summa för att räkna samma alla individuella länkar: 2 2 N( N 1) t d = 0,69 ( X) ( r ( 2r) ( Nr)) = ( X) r -------------------- 2 X t d 0,69 -- för stora N. N 2 N( N 1) r -------------------- X 2 r 2 --- N( N 1) r = = -------------------- --- X 2 2 2 N 2 Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 13(45)
DET STORA PROBLEMET MED RC-LEDNINGAR CHIP För långsam ledning t d = 0,69 r --- längd2, d.v.s. fördröjningen beror av ledningslängden i kvadrat! 2 Repeater-insertion (Fö 9 oh SPICE-övning 9) bryter det kvadratiska beroendet, men kostar i form av fördröjning i repeatern. Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 14(45)
Förlustfria ledningar Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 15(45)
DEN DISTRIBUERADE LC-LEDNINGEN V in l l l l V ut I modellen för LC-ledningen dominerar induktansen stort över resistansen: Från den generella ledningsmodellen har vi alltså behållit L oh C, men satt R = 0 oh G = 0 (d.v.s. resistansen mellan signal oh jord ), vilket är normala antaganden för t.ex. kretskortsledningar, men okså för ledningar i de övre metallagren av ett hips. Vi kommer enbart studera distribuerade LC-ledningsmodeller. Punktformiga LC-modeller förekommer nästan aldrig. Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 16(45)
TELEGRAFEKVATIONERNA FÖR LC-LEDNINGEN Vi har telegrafekvationerna: v( x, t) = R L i( x, t) x t oh i( x, t) = G C v( x, t). x t Det var ju på 1800-talet som man använde telegrafekvationen för första gången. Nu, som då, har vi för vår LC-ledning R = 0 oh G = 0. 2 v( x, t) x 2 L i( x, t) = = L i( x, t) = L x t t x C v( x, t) t t 2 2 v( x, t) = LC v( x, t). x 2 t 2 Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 17(45)
HASTIGHETEN I EN LC-LEDNING 1(2) Lösningen till föregående ekvation är en funktion som innehåller variabeln t x v p, 1 där v p = ----------- är fashastigheten på signalen l där den åker genom ledningen. - Här motsvarar l oh det totala L oh C delat med ledningslängden. Exempelvis A os ω x t ---- är en lösning: v p en våg som rusar fram mot ökande x. Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 18(45)
HASTIGHETEN I EN LC-LEDNING 2(2) Vi är sedan länge bekanta med S = V T (sträkan vi reser ges av hastighet oh tid). X v p = ---------- betyder att propageringstiden LC från den ena sidan av ledningen till den andra kan skrivas = LC! t d Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 19(45)
VI DUBBELKOLLAR HASTIGHETEN I LC-LEDNINGEN Under Föreläsning 9 såg vi att maxhastigheten skrivs 1 som v = -------. Genom att använda v = ------- kan vi l ε r kolla om detta stämmer! µ r µ 0 lnb a 2πε r ε 0 Formelsamling (koax): l = -----------------------------, = ---------------! 2π lnb a 1 1 v p = ------------------------------------------------------ = ------------------- = µ r µ 0 lnb a 2πε r ε 0 µ 0 ε r ε 0 ----------------------------- --------------- 2π lnb a -------, ty µ r 1 för metaller. Ja, maxhastigheten verkar nås. Men förutsättningen är att R = 0. ε r 2a 2b Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 20(45)
V in SIMULERING AV 100 LC-LÄNKAR l l l l V ut Z L 6,00 Panel 1 5,00 4,00 3,00 2,00 1,00 0,00-1,00-2,00-3,00-4,00 0,000000 2,000000u 4,000000u Time (lin) (TIME) Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 21(45)
REFLEKTION VID TERMINERING 1(2) V in Ledningens karakteristiska impedans är Z 0 = L C. V L - I L ZL Preis innan signalen nått fram till termineringen (belastningen L) råder tiden, medan preis efter den reflekterats råder tiden. Nu gäller följande: 1. V L () t = V L ( t - ) V L ( t ), då inkommande oh reflekterad våg adderas. V L ( t - ) V L ( t ) 2. I L () t = ------------ -------------, eftersom strömmen i belastningen Z 0 Z 0 bytt riktning efter reflektionen oh är på väg mot vänster. t t - Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 22(45)
REFLEKTION VID TERMINERING 2(2) Vi har ett uppenbart randvillkor i detta fall, nämligen att strömmen genom belastningen måste relateras till belastningsimpedansen Z L. V L () t Vi kan skriva strömmen genom belastningen Z L som I L () t = -----------. Nu får vi V L ( t - ) ------------ Z 0 V L ( t ) ------------- Z 0 = V L ( t - ) V L ( t ) ----------------------------------, vilket ger oss möjlighet att relatera inkommande spänning till reflekterad spänning. Z L V L ( t ) Z L Z 0 Γ L = ------------- (reflektionskoeffiienten) talar om hur V L t - = ---------------- ( ) Z L Z 0 stor del av inkommande spänning som reflekteras: Testa Z L = Z 0 vad blir Γ L? Z L Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 23(45)
OM Z L SÄTTS TILL KARAKTERISTISKA IMPEDANSEN in l l l l ut Z L = Z 0 1,20 Panel 1 1,00 800,00m 600,00m 400,00m 200,00m 0,00-200,00m 0,000000 2,000000u 4,000000u Time (lin) (TIME) Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 24(45)
IMPEDANSANPASSNING I BÅDA LEDNINGSÄNDARNA V in l l l V ut Z S = Z 0 Z L = Z 0 Man får problem med reflektioner vid abrupta impedansövergångar! Man ska helst inte bara matha (anpassa) den belastande impedansen, så Z L = Z 0. Man bör okså matha det drivande stegets impedans så Z S = Z 0, annars reflekteras de eventuella signaler som når tillbaka till källan (Soure). Dok: V 0 från spänningskällan spänningsdelas ut på ledningen, oh mathningen vid det drivande steget medför att bara halva spänningen V 0 skikas iväg! Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 25(45)
Rum-tid-diagram Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 26(45)
METODIK FÖR REFLEKTIONSANALYS - RUM-TID - Z S V 0 x = 0 Z 0 x = X V L - x Z L t = t d t = 3t d x t d är tiden det tar för signalen att åka sträkan X i transmissionsledningen t x = X I ett rum-tid-diagram kan man på ett åskådligt sätt visa hur spänning oh ström reflekteras (oh transmitteras) i en ledning. Metoden bygger på att de terminerande impedanserna är linjära (d.v.s. R, C eller L), vilket är ett användbart antagande i många sammanhang. Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 27(45)
EXEMPEL PÅ RUM-TID-DIAGRAM - RINGNING 1(5) - Z S V 0 Z 0 Reflektion vid belastningen (till höger): Z L Z 0 Z 0 Γ L = ---------------- --------------- 1. Z L Z 0 Z 0 Z S = Z 0 / 4 Z L Typiskt fall i CMOS-krets, där drivaren har låg impedans oh belastningen hög impedans. Det uppstår ringning. Reflektion vid återkomst till källan (till vänster): Z S Z 0 ( Z 0 4) Z 0 Γ S = ---------------- = ---------------------------, Z S Z 0 ( Z 0 4) Z 0 alltså Γ S = 0,6. Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 28(45)
EXEMPEL PÅ RUM-TID-DIAGRAM - RINGNING 2(5) 1a. Spänningskällan skikar iväg ett steg med Z 0 spänningen V 1 = V 0 ----------------. Z S Z 0 1b. Nu gäller att spänningen i vänster ände av ledningen är V S1 = 0,8V 0. V S1 = V 1 =0,8V 0 V L = 0V 0,8V 0 V 2 =0,8V 0 V L2 = 1,6V 0 x 2a. Studs i högra änden av ledningen ger V 2 = V 1 Γ L = V 1, som är steget som reflekteras. 2b. Nu gäller att spänningen i höger ände av ledningen är V L2 = 0,8V 0 0,8V 0 (inkommande reflekterad våg). t x = X Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 29(45)
EXEMPEL PÅ RUM-TID-DIAGRAM - RINGNING 3(5) 3a. V 3 = V 2 Γ S = 0,8V 0 ( 0,6). 3b. V S3 = 0,8V 0 0,8V 0 V 3, då vi lägger ihop tidigare V S (V S1 ) med inkommande spänningsvåg med reflekterad spänningsvåg. 4a. V 4 = V 3 Γ L = V 3. 4b. V L4 = 1,6V 0 0,48V 0 V 4, då vi lägger ihop tidigare V L (V L2 ) med inkommande spänningsvåg med reflekterad spänningsvåg. V S1 = 0,8V 0 V S3 = 1,12V 0 t V 1 =0,8V 0 V L = 0V V 2 =0,8V 0 V L2 = V 3 =-0,48V 0 1,6V 0 V 4 =-0,48V 0 V L4 = 0,64V 0 x = X x Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 30(45)
EXEMPEL PÅ RUM-TID-DIAGRAM - RINGNING 4(5) 5-. Etetera... Notera att stegsignalen V 0 som skapas vid källan antas ligga kvar på V 0 för evigt. V S1 = V 1 =0,8V 0 V L = 0V 0,8V 0 V 2 =0,8V 0 V L2 = V S3 = 1,12V 0 V S5 = 0,928V 0 V 3 =-0,48V 0 V 4 =-0,48V 0 V 5 =0,288V 0 V 6 =0,288V 0 1,6V 0 V L4 = 0,64V 0 V L6 = x V 7 =-0,1728V 0 1,216V 0 t x = X Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 31(45)
EXEMPEL PÅ RUM-TID-DIAGRAM - RINGNING 5(5) Anta att man mäter spänningen vid belastningen (med en högimpediv prob): Vad ser man då? Jo,... V L 1,6 V 0 0,64 V 0 1,216 V 0 V S1 = V 1 =0,8V 0 V L = 0V 0,8V 0 V 2 =0,8V 0 V L2 = V S3 = 1,12V 0 V S5 = 0,928V 0 V 3 =-0,48V 0 V 4 =-0,48V 0 V 5 =0,288V 0 V 6 =0,288V 0 1,6V 0 V L4 = 0,64V 0 V L6 = x t V 7 =-0,1728V 0 1,216V 0 t d 2t d 3t d 4t d 5t d 6t d t x = X Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 32(45)
SIMULERING AV EXEMPLET MED RINGNING Panel 1 2,00 1,80 1,60 1,40 1,20 1,00 800,00m 600,00m 400,00m 200,00m 000 Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 33(45)
Bergerondiagram Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 34(45)
METODIK FÖR REFLEKTIONSANALYS - BERGERON I S, I L Belastningslinjer utritade V 0 - Z S I S V S - Z 0 I L V L - Z L I S (V S ) linjär I L (V L ) ike-linjär V S, V L När impedanserna i ändarna av ledningen inte beter sig linjärt (m.a.p. relationen mellan V oh I), måste en annan analysmetod tas till: Bergerondiagrammet. - Bergeron var en fransk hydraulikingenjör... 1949... för vattenvågor. Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 35(45)
DEFINITION AV BERGERONDIAGRAM Z S I S I L I S, I L V 0 - V S - Z 0 I S (V S ) I L (V L ) V L - Z L V S = V 0 Z S I S, men för att passa in i V 0 V S grafen skriver vi istället I S = ----------------. Z S V L = Z L I L, men för att passa grafen skriver vi istället I L = V L Z L. V S, V L Antag Z S oh Z L är linjära. Notera att skärningen motsvarar steady-state. Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 36(45)
BERGERONDIAGRAM FÖR RUM-TID-EXEMPLET 1(2) Jag väljer Z 0 = 1 Ω, för att få en lutning (på funktionerna vi ritar) som är enkel att räkna fram. - Lutningen blir ju då antingen 1 eller -1. Pröva oh jämför spänningarna som erhålls här, med dem vi fik fram i exemplet med rum-tiddiagram. I S, I L 4 3 2 1 I S (V S ) V S1 0,8V V L2 1,6V Z 0 = 1 Ω V 0 = 1 V Z S = Z 0 / 4 Z L V S, V L 1 2 I L (V L ) Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 37(45)
BERGERONDIAGRAM FÖR RUM-TID-EXEMPLET 2(2) I S, I L 2 V L4 0,65V 1 V S3 1,1V V S, V L 1 2 Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 38(45)
BERGERONDIAGRAM MED Z L = Z 0 V 0 V S I S = ----------------- (källan). Z S I S, I L I L = V L Z 0 (belastningen). I = V Z 0 (ledningen). Notera att vi direkt når fram till skärningspunkten mellan I S oh I L. Det betyder att metoden är avslutad oh att V S1 är steady-state spänningen Z 0 V steady-state = V 0 ----------------. Z S Z 0 I S (V S ) V S1 V 0 I L (V L ) V S, V L Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 39(45)
BERGERONDIAGRAM MED Z S = Z 0 V 0 V S I S = ----------------- (källan). Z 0 I S, I L I L = V L Z L (belastningen, Z L > Z 0 ). I = V Z 0 (ledningen). I S (V S ) V L2 I L (V L ) V 0 Z 0 V S1 = V 0 ---------------- = ----. Z S Z 0 2 Eftersom Z L > Z 0 är Z L Z 0 Γ L = ---------------- > 1, så V L2 > V S1. Z L Z 0 V S1 V 0 V S, V L Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 40(45)
Appendix: Härledning av Bergerondiagrammet Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 41(45)
HÄRLEDNING AV BERGERONMETODEN 1(4) Hur påverkar spänningssteget V 0 kretsen? Ta reda på hur V 0 ger upphov till startspänningen V S1 vid tiden t = 0. Vi kan lösa ekvationssystemet kring spänningsdelningen mellan Z S oh Z 0 : I S1 I S (V S ) I L (V L ) I S = V S Z 0 [ den feta svarta linjen] I S = ( V 0 V S ) Z S [ den röda linjen] Skärningspunkten mellan ritade belastningslinjer ger samma ( I S1, V S1 ). V S1 Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 42(45)
HÄRLEDNING AV BERGERONMETODEN 2(4) I L = V L Z0, där I L oh V L t d reflekteras från belastningen vid. - - I L = I L I L = ( 1 Z 0 )( V L V L ), I S1 I S (V S ) I L (V L ) - - - där I L oh V L är infallande vågor i t = t d. I L2 - - Eftersom I L = oh V L = fås I S1 V S1 I L I S1 1 = ---- ( V L V S1 ) [ fet svart linje] Z 0 I L = V L Z S [ grön linje] V S1 V L2 Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 43(45)
HÄRLEDNING AV BERGERONMETODEN 3(4) I S = V S Z0, där I S oh V S reflekteras från källan vid t = 2t d. Totala strömmen genom källan i t = 2t d är - I S = I S I S I S1. Detta beror på att vi fik en spännings- oh strömnivå etablerad över källan vid t = 0 som tillsammans med infallande oh reflekterande vågor ger totala spännings- oh strömnivån vid t = 2t d. (Jämför med rum-tid-diagrammet...). I S3 I L2 I S (V S ) V S3 I L (V L ) Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 44(45)
HÄRLEDNING AV BERGERONMETODEN 4(4) - Nu kan vi skriva I S = I S I S I S1. Men nu är faktiskt I S1 = I L2! I S - Alltså fås = vilket ger I S I L2 = I S I S I L2 1 ---- ( V S V L2 ). Z 0 I S3 I L2 I S (V S ) I L (V L ) I S I L2 = 1 ---- ( V S V L2 ) [ fet svart linje] Z 0 I S = ( V 0 V S ) Z S [ röd linje] V S3 Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 45(45)