===================================================

AVSTÅNDSBERÄKNING ( I ETT TREDIMENSIONELLT ORTONORMERAT KOORDINATSYSTEM ) Avståndet mellan två punkter Låt A ( x1, och B ( x, y, z) vara två punkter i rummet Avståndet d mellan A och B är d AB ( x z x1) ( y y1) ( z 1) A B =================================================== Avståndet från en punkt till ett plan Låt vara ett plan vars ekvation är skriven på formen Ax By Cz D och låt P ( x1, vara en given punkt Metod1: Avståndet d från punkten P ( x1, till planet Ax By Cz D är Ax1 By1 Cz1 D d Q A B C Anmärkning: Härledning av ovanstående formel finns i slutet av stencilen Metod: Linjen L genom P vinkelrät mot planet har ekvationen ( x, ( x1, t( A, B, C) Om vi betecknar med Q skärningspunkten mellan linjen L och planet π då är avståndet d PQ =================================================== Avståndet från en punkt till en rät linje Metod1: Avståndet d från punkten A ( x1, till den linje som går genom P ( x, y, z) och har riktningsvektorn P B A d 1 av 14

v ( vx, v vz ) är PA v d v Anmärkning: Den här formeln beräknar avståndet d som höjden av parallellogrammen som späns upp av vektorerna v och PA, dvs PA arean v d basen v Metod: Vi kan bestämma den punkt B på linjen ( x, ( x, y, z) t( A, B, C) som ligger närmast punkten A genom att använda villkoret AB v som gäller i denna punkt, och därefter beräkna d AB Exempel: Beräkna avståndet från punkten A = (,3,8) till linjen L: ( x, (,,6) t(1,1, ) Lösning : Låt B vara en punkt på linjen L Då har B koordinater B ( t, t, 6) Om punkten B ligger på linjen närmast punkten A då gäller ( se bilden ovan) AB v (*) Eftersom AB ( t, 1 t, ) och v (1,1, ) får vi från (*) t 1 t t 1/ 1 1 Därför AB ( t, 1 t, ) (,, ) 1 1 18 3 och d AB 4 4 4 4 Anmärkning: Punkten B = (5/, 5/, 6), kan också beräknas genom att substituera t 1/ i B ( t, t, 6) =================================================== av 14

Metod3: Vi kan bestämma den punkt B på linjen L: ( x, ( x, y, z) t( A, B, C) som ligger närmast punkten A genom att först bestämma ekvationen för planet Π som går genom A vinkelrät mot L Därefter bestämmer vi B som skärningspunkt mellan planet Π och linjen L: Exempel: Beräkna avståndet från punkten A = (,3,8) till linjen L: ( x, (,,6) t(1,1,) A d P Planet Π har en normalvektor N v (1,1,) och därför är planets ekvation: 1( x ) 1( y 3) ( z 8) eller x y 5 Vi substituerar linjens ekvationer x t, y t och z 6 i planets ekvation och får t t 5 t 1/ Skärningspunkten är därför B = (5/, 5/, 6) Härav AB ( 1/, 1/, ) och därmed Π B och därmed 3 d AB Metod4: Vi kan bestämma den punkt B på linjen L: x, ( x, y, z ) t( v, v, v ) ( x y z som ligger närmast punkten A genom A att först bestämma projektionen av vektorn PA på linjen L, där P= x, y, ) och A x, y, ) ( 1 1 z1 ( z P B d Exempel: a) Bestäm den punkt B på linjen L: ( x, (,,6) t(1,1, ) som ligger närmast punkten A = (,3,8) b) Beräkna därefter avståndet från punkten A till linjen L a) Vi har P=(,,6) och A= (,3,8), v (1,1, ) Låt u PA (,1, ) då gäller, enligt projektionsformeln u v 1 PB proj v ( u ) v (1,1, ) v v 1 1 5 5 Därför OB OP PB (,,6) (,,) (,,6) ; 3 av 14 1 ( 1,, )

5 5 med andra ord B= (,,6) 1 1 b) Eftersom AB (,, ) har vi 1 1 18 3 AB 4 4 4 4 Avståndet mellan två parallella räta linjer Välj en punkt A på t ex linjen L 1 och beräkna avståndet från punkten A till linjen L L L 1 d =================================================== Avståndet mellan två icke-parallella räta linjer Låt L 1 och L vara två räta linjer genom P 1 och P med riktningsvektorer v 1 och v Låt N vara en normalvektor till både L 1 och L, t ex N v 1 v Avståndet mellan linjerna är N d PP 1 N L 1 P 1 d L P 4 av 14

Uppgift 1 Låt x y z 3 vara en ekvation till planet Bestäm den punkt i planet som ligger närmast punkten A=(5,3,4) Låt L vara den linje som går genom punkten A vinkelrät mot planet Låt Q vara skärningspunkten L och Då är Q den punkt i planet som ligger närmast punkten A En riktningsvektor till L är v (1,1, ) (dvs planets normalvektor) Linjens ekvation: ( x, (5,3,4) t(1,1, ) Skärningspunkten: x 5 t y 3 t z 4 t substitueras i x y z 3 Vi får 5 t 3 t (4 t) 3 eller 6t 13 som ger t 13/ 6 Därmed 13 17 x 5 t 5 6 6 13 5 y 3 t 3 6 6 13 1 z 4 t 4 6 3 Alltså är (17/6, 5/6, 1/3) den punkt i planet som ligger närmast punkten A (17/6, 5/6, 1/3) Uppgift Planet 6x y 3z 6 skär koordinataxlarna i punkterna A, B och C Bestäm omkretsen av triangeln ABC Skärningen med x-axeln får vi om vi substituerar y och z i ekvationen: 6x 6 x 1 Alltså är A=(1,, ) På samma sätt får vi B= (, 3, ) och C=(,, ) Härav: AB (1,3, ) och AB 1, A z x C B y 5 av 14

AC (1,, ) och AC 5, BC (, 3, ) och BC 13 Därmed är omkretsen av triangeln ABC lika med 1 5 13 1 5 13 Uppgift 3 Bestäm avståndet från punkten A = (1,, 3) till planet x 5y 4z Först skriver vi planets ekvation på formen Ax By Cz D Alltså x 5y 4z Avståndet från punkten A till planet är Ax1 By1 Cz1 D 1 5 ( ) 4 3 6 6 d A B C 5 4 45 3 5 5 5 5 (= 5 ) Uppgift 4 Linjen ( x, (1,1,1) t(,1,1 ) skär planet x y z 7 i en punkt A Bestäm avståndet från punkten A till planet x 3y 4z 1 Vi substituerar x 1 t, y 1 t, z 1 t i ekvationen x y z 7 och får t 1 Alltså är skärningspunkten A=(3,,) Avståndet från punkten A till det andra planet x 3y 4z 1 är Ax1 By1 Cz1 D 3 3 4 1 3 d A B C 3 4 9 3 9 Uppgift 5 Bestäm avståndet mellan följande (parallella) plan x + y + z = 5 och x + y +z = Ovanstående plan är parallella eftersom de har parallella normalvektorer, ( faktisk samma normalvektor (,,1) den här gången) Vi väljer en punkt på första planet t ex P(1,1,1) och använder formeln Avståndet d från punkten A ( x1, Ax1 By1 Cz1 D till planet Ax By Cz D är d A B C 6 av 14

I vårt fall 5 d 3 d Ax By1 Cz1 D 1 111 A B C 1 1 5 3 Uppgift 6 Linjen ( x, (,1,) t(1,1,3 ) skär planet x y z 13 i en punkt A Bestäm avståndet från punkten A till linjen ( x, (,,6) t(1,1, ) Vi substituerar x t, y 1 t, z 3t i ekvationen x y z 13 och får t Skärningspunkten är A=(,3,8) För att beräkna avståndet från punkten A till linjen ( x, (,,6) t(1,1, ) använder vi formeln v d v Vi väljer en punkt på den andra linjen t ex P=(,,6) och bildar vektorn PA (,1, ) Linjens riktningsvektor är v (1,1, ) v PA (,,1) Avståndet från punkten A till linjen ( x, (,,6) t(1,1, ) är v 9 3 d PA v 3 3 (= ) Uppgift 7 Bestäm avståndet från punkten A =(1,,3) till skärningslinjen mellan två plan x y z och x y z 3 först bestämmer vi skärningen mellan planen: x y z [( 1) ekv1 ekv] x y z 3 x y z y z 1 Vi betraktar z som en frivariabel, betecknar z=t och får x 1 y 1 t z t Alltså skär de två plan längs en linje För att beräkna avståndet från punkten A =(1,,3) till linjen ( x, (1,1,) t(, 1,1 ) använder vi formeln 7 av 14

PA v d v där P=(1,1,) och v (, 1,1 ) Härav PA (,1,3 ) och v PA (-4,,) Avståndet från punkten A till linjen är v 4 d PA v Uppgift 8 Bestäm avståndet mellan följande linjer L 1 : ( x, (1,1,4) t(1,1,3 ) och L : ( x, (1,1,1) t(,,6) Linjernas riktningsvektorer v 1 = ( 1,1,3) och v = (,,6) är parallella eftersom v = v 1 Därför väljer vi en ( vilken som helst) punkt på en linje och beräknar avståndet från denna punkt till den andra linje Vi väljer A=(1,1,4) och använder formeln PA v d, där P=(1,1,1) och v = v =(,,6) v Härav PA (,,3) och v PA (6,-6,) Avståndet från punkten A till linjen är v 6 3 d PA v 11 11 3 11 Uppgift 9 Bestäm avståndet mellan följande linjer L 1 : ( x, (1,1,1) t(1,,1 ) och L : ( x, (1,3,4) t(,,) Linjerna har riktningsvektorer v 1 = ( 1,,1) och v = (,,) Vektor N v 1 v =(-,,-) är vinkelrät mot båda linjer Vi väljer en punkt på varje linje Låt P 1 =(1,1,1) och P =(1,3,4) Då P 1P =(,,3) 8 av 14

Avståndet är N d P1 P = N d 3 3 1 3 3 3 Uppgift 1 Vi betraktar två linjer L1: ( x, (7, 3, 4) t(, 1, ) och L: ( x, (1,, 1) s(, 1, 1) a) Bestäm de två punkter P, Q på L1 respektive L som ligger närmast b) Beräkna därefter (det kortaste) avståndet mellan linjerna L1 och L L 1 P d Q L Linjerna har riktningsvektorer v 1 = (,1, ) och v = (, 1,1) Punkter P och Q ligger närmast om PQ är vinkelrät mot både v 1 och v, dvs om PQ v 1 = och PQ v = Punkten P ligger på L1 och därför får vi punktens koordinater för ett värde på parameter t Alltså P=( 7 t, 3 + t, 4) Punkten Q ligger på L och därför har Q koordinater Q=( 1, s, 1 + s) : Därmed PQ = ( t 6, s t 3, s 3) Från PQ v 1 = har vi 4t + 1 s t 3 = ( ekv1) Från PQ v = har vi s + t + 3 + s 3 = ( ekv) Vi löser systemet: 5t s +9= ( ekv1) t+ s = ( ekv) och får s = 1 och t= Härav P=( 3,5,4) och Q=( 1,1,) och PQ = (, 4, 4) 9 av 14

Avståndet d= PQ 4 16 16 6 a) P=( 3,5,4) och Q=( 1,1,) b) d=6 Uppgift 11 Bestäm (det kortaste) avståndet mellan två linjer L1: ( x, ( t, t, t) och L: ( x, ( t, 3 t, ) Metod 1: Först väljer vi riktnings vektorer t ex v 1 ( 1, 1,1 ) för L1 och v (,,) Då är vektorn n v1 v (,,4) vinkelrät mot både v 1 och v Vi väljer en punkt på varje linje, t ex P (,, 1 ) och P (,3, ) och bildar vektorn P 1P (,3, ) Den kortaste avståndet mellan linjerna är längden av projektionen proj n P 1 P Alltså P1 P n 1 6 d proj n P1 P n (,,4) (1,1,) n n 4 6 6 6 6 Metod : Låt Q och R vara två punkter som ligger på L1 respekt L så att avståndet mellan de är det kortaste avståndet mellan linjerna Då är QR vinkelrät mot både v 1 och v och därmed QR v 1 och QR v (*) Eftersom Q ligger på L1 och R på L har vi Q ( t, t, t) och R ( s, 3 s, ) Härav QR ( s t, 3 s t, t) Från (*) och v 1 ( 1, 1,1 ), v (,,) har vi systemet 1( s t) 1( 3 s t) 1( t) ekv1 ( s t) ( 3 s t) ( t) ekv eller förenklad 3t 7 ekv1 8s ekv som ger t 7 / 3 och s 1/ 4 Därmed Q ( 7/3,7/3, 7/3), R ( 5/,5/, ) 1 och QR ( 1/6,1/6,1/3) (1,1, ) 6 Härav QR 6 6 6 6 Metod 3 1 av 14

Vi bestämmer en ekvation för planet som går genom linjen L parallell med linjen L1 Därmed är planet parallell med linjernas riktningsvektorer v 1 ( 1, 1,1 ) och v (,,) Därför är v1 v (,,4) vinkelrät mot planet Vi kan välja n (1,1, ) som planets normalvektor Punkten (,3,-)ligger på L och därmed också i planet Planets ekvation: 1( x ) 1( y 3) ( z ) eller x y z 1 Eftersom linjen L1 är parallell med planet har varje punkt på L1 samma avstånd till planet Vi väljer en punkt på L1, t ex punkten (,,) och bestämmer avståndet till Ax1 By1 Cz1 D 1 1 1 1 6 d A B C 1 1 6 6 6 6 Uppgift 1 ( Spegelbild) Bestäm spegelbilden av punkten P (, 6, 3) i linjen ( x, ( t,1 t, t) Metod 1 Låt O=(,,) Beteckna med S den sökta spegelbilden av punkten P Låt Q vara den punkt på linjen L som ligger närmast punkten P Då är Q mittpunkten av sträckan PS (se figuren nedan) Först bestämmer vi punkten Q Planet som går genom punkten P (, 6, 3) vinkelrät mot linjen L skär linjen i punkten Q Linjens riktningsvektor r ( 1,, ) kan användas som planets normalvektor Planets ekvation är ( x ) ( y 6) ( z 3) eller x y z 18 För att få Q löser vi systemet x t y 1 t z t x y z 18 som ger t=, x=, y=5 och z= 4 11 av 14

Därmed är Q (,5, 4) Nu kan vi bestämma vektorn PQ ( 11) och därmed QS PQ ( 11) Slutligen OS OQ QS (,5, 4) ( 11) (,4, 5) och därmed S (,4, 5) S (,4, 5) Metod (Projektionsformel) En punkt i linjen P (,1, ) Linjens riktningsvektor är r ( 1,, ) P L P Q S O Projektionen av vektor upp (,5, 3) på linjen är ur 16 u1 PQ r ( 1,, ) ( 1,, ) (,4, 4) r 9 Eftersom PP PQ QP har vi QP PP PQ eller, QP (, 5, 3) (, 4, 4) (, 1, 1) Spegelpunkten S uppfyller OS OP PS OP QP (, 6, 3) (, 1, 1) OS (, 6, 3) (,, ) (, 4, 5) och därmed S (,4, 5) Uppgift 13 En laserstråle som går genom punkten B=(,3,3) och är parallell med linjen ( x, (4,5,6) t(1,1,1) reflekteras i planet Bestäm en ekvation för den reflekterade laserstrålen Lösning 1 av 14

N B T S v w s R Beteckna med R skärningspunkten mellan strålen och planet Låt S vara spegelbilden av B i den linje som går genom R vinkelrät mot planet Den sökta reflekterade strålen går genom R och S Linjen genom B=(,3,3) som är parallell med den givna linjen har en riktnings vektor (1,1,1) Alltså går laserstråle längs linjen L : ( x, (,3,3) t(1,1,1 ) Skärningspunkten mellan L och planet får vi genom att x t y 3 t z 3 t substitueras i x y z 3 Vi får t 3 t 6 t 3 som ger t Därmed är skärningspunkten R=(,1,1) Den reflekterade strålen går genom R Låt v RB (,,) och låt N (1,1, ) (dvs N är planets normalvektor) För att bestämma RS, dvs riktningen för den sökta linjen, beräknar vi först projektionen v N 4 4 w proj ( v) N (1,1,) (1,1,) N N N 11 4 3 8 1 Då är RS v BT v ( v w) w v (1,1,) (,,) (,, ) 3 3 3 3 1 Alltså är (,, ) en riktningsvektor för den sökta linjen Vi kan även välja (1,1,5) för 3 3 3 linjens riktningsvektor Den reflekterade strålen går längs linjen ( x, (,1,1) t(1,1,5) b) ( x, (,1,1) t(1,1,5 ) Uppgift 14 T (teori) Låt vara ett plan vars ekvation är skriven på formen Ax By Cz D och låt P( x1, vara en given punkt Bevisa formeln Ax1 By1 Cz1 D d A B C för avståndet d från punkten P ( x1, Q 13 av 14

till planet Ax By Cz D Linjen L genom P vinkelrät mot planet har ekvationen ( x, ( x1, t( A, B, C) som vi kan skriva som tre skalära ekvationer: x x 1 ta, y y 1 tb och z z 1 tc För att bestämma skärningspunkten mellan linjen och planet, dvs punkten Q ( x, y, z), substituerar vi linjens skalära ekvationer i planets ekvation Ax By Cz D och får A x ta) B( y tb) C( z tc) x ( 1 1 1 D 1A ta y1b tb z1c tc D ( Ax1 By1 Cz1 D) t A B C ( Ax1 By1 Cz1 D) Beteckna denna lösning med t (*) A B C Punkten Q x, y, ) har följande koordinater x 1 ( z y y1 t x t A, B och z t C z 1 och därför PQ t A, t B, t C) t ( A, B, ) ( C Avståndet d PQ t ( A, B, C) t ( A, B, C) t A B C (enligt (*) ) Ax1 By1 Cz1 D Ax1 By1 Cz1 D = A B C VSB A B C A B C 14 av 14