Föreläsning 4. Sannolikhetsfördelningar, forts.

Transkript

1 Föreläsning 4. Sannolikhetsfördelningar, forts. Jesper Rydén Matematiska institutionen, Uppsala universitet 1MS008, 1MS777 vt 2016

2 Ytterligare begrepp Viktiga begrepp vid dagens föreläsning: Väntevärde och varians. (Läges- och spridningsmått för slumpvariabler) Fördelningsfunktion. (Om given, kan sannolikheter beräknas direkt, utan addition eller integrering) Kvantiler. (Finn de utfall som motsvarar givna sannolikheter)

3 Väntevärde

4 Väntevärde, definition Lägesmått för en fördelning, tyngdpunkten hos sannolikhetsmassan sammanfattas i ett enda värde. För en slumpvariabel X betecknas väntevärdet med E[X ], förväntat värde (expected value). DISKRET fördelning. E[X ] = x xp(x = x) KONTINUERLIG fördelning. E[X ] = xf (x) dx Summering respektive integrering sker över värdena i utfallsrummet.

5 Exempel En slumpvariabel X har täthetsfunktionen f (x) = 4x 3, 0 x 1. Beräkna väntevärdet E[X ]. Räknas på tavlan

6 Väntevärden för vanliga fördelningar För de vanligaste fördelningsfamiljerna finns väntevärdena beräknade, och kan direkt slås upp. Ofta finns en direkt koppling till parametrarna. Fördelning Väntevärde E[X ] X Bin(n, p) np X Po(m) m X Re(a, b) (a + b)/2 X Exp(a) a X N(µ, σ 2 ) µ

7 Exempel: Exponentialfördelningen En exponentialfördelad slumpvariabel X har täthetsfunktionen f (x) = 1 a e x/a, x 0. Visa att för väntevärdet gäller att E[X ] = a. Räknas på tavlan

8 Exempel I ett pappersbruk finns två maskiner som behöver servas då och då. Inför Y = Totala antalet servningar under en tvåveckorsperiod Man är intresserad av E[Y ] och har funnit sannolikhetsfunktionen y p(y) Bildkälla: arbetet.se

9 AKTIVERING! En slumpvariabel X har fördelning enligt sannolikhetsfunktionen nedan. Beräkna väntevärdet E[X ]. Bildkälla: sodahead.com p(x) x

10 Varians

11 Varians, definition Spridningsmått för en fördelning. För en slumpvariabel X betecknas variansen med V[X ]. Låt µ = E[X ]. DISKRET fördelning. E[X ] = x (x µ) 2 P(X = x) KONTINUERLIG fördelning. E[X ] = (x µ) 2 f (x) dx Summering respektive integrering sker över värdena i utfallsrummet.

12 Varians, beräkningsformel. Standardavvikelse Vid handräkning kan ofta följande formel underlätta: V[X ] = E[X 2 ] (E[X ]) 2 Standardavvikelsen för en slumpvariabel, D[X ], beräknas enklast som D[X ] = V[X ].

13 Exempel Maskinerna i pappersbruket: vi hade för slumpvariabeln Y sannolikhetsfördelningen y p(y) Finn variansen V[Y ] (kom ihåg, vi fann E[Y ] = 0.80). Räknas på tavlan

14 AKTIVERING! En slumpvariabel X har fördelning enligt sannolikhetsfunktionen nedan: Bildkälla: sodahead.com P(X = x) = { 0.5, x = 0 0.5, x = 1 (a) Finn variansen V[X ]. (b) Vilken standardfördelning är detta exempel på?

15 Sammanställning, de vanligaste fördelningarna Fördelningstyp Kodbeteckning Väntevärde Varians Binomialfördelning Bin(n, p) np np(1 p) Poissonfördelning Po(m) m m Normalfördelning N(µ, σ 2 ) µ σ 2 Likformig fördelning Re(a, b) (a + b)/2 (b a) 2 /12 Exponentialfördelning Exp(a) a a 2

16 Exempel, standardfördelningar Ex. 1. X N(4, 9) E[X ] = 4, V[X ] = 9. Ex. 2. Y Bin(10, 0.2) E[Y ] = = 2, V[Y ] = = 1.6. Ex. 3. Z Po(5.8) E[Z] = 5.8, V[Z] = 5.8.

17 Fördelningsfunktion

18 Fördelningsfunktion, definition För slumpvariabeln X definieras fördelningsfunktionen F (x) genom F (x) = P(X x) Sannolikheter kan allmänt beräknas genom P(a < X b) = F (b) F (a) Speciellt följer P(X > x) = 1 F (x).

19 Korta exempel Ex. 1. Slumpvariabeln X har fördelningsfunktionen F (x) = x 4, 0 x 1. Beräkna P(X 0.2). Ex. 2. Slumpvariabeln T har fördelningsfunktionen F (t) = 1 e t/2, t > 0. Beräkna P(2 < T 4). Räknas på tavlan.

20 Fördelningsfunktion, kontinuerliga fallet För kontinuerliga slumpvariabler finns följande samband mellan täthetsfunktion f (x) och fördelningsfunktion F (x): F (x) = x Jämför analysen: primitiv funktion. f (t) dt Vidare gäller f (x) = d dx F (x).

21 Exempel, diskret fördelning Fördelning med sannolikhetsfunktion 0.65, x = 0, 0.20, x = 1, p(x) = 0.10, x = 2, 0.05, x = 3. Fördelningsfunktionen F (x) (har språng i diskreta fallet): F(x) x

22 Exempel, kontinuerlig fördelning Standardiserad normalfördelning, Z N(0, 1). Fördelningsfunktionen betecknas då ofta Φ(z), dvs. Φ(z) = P(Z z) F(z) z

23 AKTIVERING! Fördelningsfunktionen F (y) för en slumpvariabel Y visas nedan. Ange sannolikheten P(Y > 10). Bildkälla: sodahead.com

24 Normalfördelningen, beräkning med fördelningsfunktionen Fördelningsfunktionen används för konkret beräkning av sannolikheter för normalfördelningar. Två strategier: Klassiskt. Variabler transformeras till standardiserad normalfördelning, värden på Φ(z) hittas i tabell (boken: Tabell 1). Dator: Kommandon i R evaluerar direkt sannolikheter. Exempel på tavlan!

25 Kvantiler

26 Kvantil, motivering och definition I statistiska metoder vill man finna gränser inom vilka en slumpvariabel ligger med en given sannolikhet. DEFINITION. För 0 < α < 1 definieras α-kvantilen x α till en slumpvariabel X som en lösning x = x α till ekvationen F X (x α ) = 1 α Vanligtvis är α ett litet tal, typiskt 0.01 eller 0.05.

27 Alternativ bestämning av kvantil Kontinuerliga fallet: Kvantilen x α bestäms ur uttrycket xα f (x) dx. Till höger om kvantilen x α återfinns arean (dvs. sannolikheten) α. x α

28 Exempel Livslängden hos en transistor (i hundratals timmar) beskrivs av en slumpvariabel T med fördelningsfunktionen F (t) = 1 e t2, t > 0. (a) Beräkna sannolikheten att transistorn har en livslängd längre än 200 timmar. (b) Beräkna den livslängd som 10% av transistorerna i långa loppet överskrider. Bildkälla: protostack.com

29 AKTIVERING! Fördelningsfunktionen F (y) för en slumpvariabel Y visas nedan. Vilket av följande värden kan vara kvantilen y 0.2 : 4.2, 8.7, 11.3, 17.6 Bildkälla: sodahead.com

30 Kvantiler för N(0, 1)-fördelningen Vid statistisk analys används ofta kvantiler till N(0, 1)-fördelningen (se kapitel 7). Låt Z N(0, 1): P( λ α/2 Z λ α/2 ) = 1 α. Täthetsfunktion för N(0,1) Skuggad area motsvarar sannolikheten 0.95 λ = 1.96 λ =

31 Kvantilvärden, N(0, 1) Värden på kvantilerna kan fås med tabell eller dator: α λ α Ex. 1. Man finner direkt att P(Z > 2.33) = Ex. 2. På grund av symmetri gäller P(Z < λ ) = P(Z > λ ) = =

32 AKTIVERING! Låt Z N(0, 1). Bildkälla: sodahead.com (a) Finn det värde z sådant att P(Z > z) = (b) Beräkna P(Z 2.33). (c) Beräkna P(Z < 2.33).