En liten introduktion till ELLÄRA v 0.1

Transkript

1 En liten introduktion till ELLÄRA v 0.1 Patrik Eriksson 2003 Longum iter est per praecepta, breve et efficax per exempla Vägen görs lång genom regler, kort och effektiv genom exempel. /Seneca Philosophus, Epistulae

2 Spänning Vi tänker oss att den neutrala fördelningen av fria elektroner i ett material omgrupperas. Vi får ett område med överskott och ett område med underskott av elektroner. För att denna förflyttning skall ske krävs att någon form av arbete uträttas. Eftersom elektronerna strävar att åter inta neutral fördelning måste någon form av verkan finnas mellan dessa bägge områden. Detta kallar vi potentialskillnad eller elektrisk spänning. (Betecknas U) Definition: Om arbetet W uträttas då laddningen Q förflyttas från punkt A till B är spänningen mellan A och B: U = W Q U = Nm As =Volt As = Ampèresekund = 1 Coloumb. En laddning på 1C som kräver arbetet 1Nm för att förflyttas från A till B ger spänningen 1 Volt mellan punkterna A och B. Den elektriska spänningen kan jämföras med begreppet lägesenergi inom mekaniken. Anordningar, sådana att de mellan två områden, poler, kan skapa och vidmakthålla ett visst konstant överresp. underskott av laddningar, kallas strömkällor. Ett exempel härpå är ett vanligt ficklampsbatteri. Ström Om vi så ansluter en elektrisk ledare mellan den nyligen nämnda strömkällans poler kommer spänningen, dvs laddningsöverskottet vid den ena polen att skapa en ström av laddning ut i ledaren, mot den andra polen, strävande efter att skapa en så jämn laddningsfördelning som möjligt. Begreppet elektrisk ström (Betecknas I) är ett mått på den laddningsmängd som förflyttas, och med vilken hastighet detta sker. Definition: I = Q t I = As t = Ampère Ampèresekund = 1 Coloumb En laddning på 1C som passerar ett tvärsnitt av ledaren på tiden t = 1s. ger upphov till strömmen 1Ampère. (Därav begreppet As = Amperesekund) Analogt med t.ex. ett vattenflöde kan man uttrycka det som så att spänningen är trycket, strömmen är mängden

3 Resistans Då laddningar vandrar från en pol till en annan i en sluten krets sker en energiomvandling. Laddningarna kolliderar med atomerna i ledaren, vilket ger upphov till en energiförlust. Den i strömkällan upplagrade energin i form av potential omsätts i ledaren till värme. Antalet fria elektroner varierar mellan olika material, och om antalet är litet innebär detta en liten ström. Liten tillgång på fria elektroner innebär ett hinder för strömmen, och detta hinder kallar vi resistans. (Beteckning R) Definition: R= U I R= V A =Ω V = spänningen i Volt A = strömmen i Ampère Ω = resistansen i Ohm En ström på 1 Ampère i en ledare ansluten till en spänning 1 Volt ger en resistans i ledaren på 1 Ohm. Schemasymboler för resistans, samt variabel resistans. (potentiometer) Ohms Lag R= U I Detta är ellärans absolut viktigaste lag! Förutsatt att resistansen är konstant för en given ledare är förhållandet mellan spänning och ström proportionellt. Om spänningen över ett visst motstånd ökar till det dubbla ökar sålunda strömmen också till det dubbla. Förr eller senare kommer ni att råka på begreppet impedans, vilket också är en resistans, men det räknar man med i det mer allmänna fallet där vi har varierande strömmar, växelström. Tills vidare kan vi hålla i sinnet att resistans = likströmsresistans och impedans = växelströmsresistans. (Likström är ju som växelström, fast med frekvensen noll.)

4 Kirchoffs spänningslag (Kirschoff II / KVL) Kallas även Kirchoffs andra lag. Summan av potentialändringarna i en godtycklig sluten krets är lika med noll. Summera alla potentialändringar genom en vandring längs den slutna kretsen. Markera med tecken vilken sida av varje kretskomponent som har högre resp. lägre potential. Exempel: U 1 U R1 U 2 U R2 =0 Sätt U1 till 5 volt, U2 till 10 volt, R1 till 30 ohm och R2 till 20 ohm. Detta ger: 5 U R1 10U R2 =0 15 U R1 U R2 =0 Vad får vi för spänning över motstånden? Vi tar hjälp av strömmen I för att klura ut detta. U Ohms lag = I ger oss strömmen I i kretsen 5 R Ohms lag ger oss även U = R I vilket ger 10 =0,3 A För R1: U =30 0,3 =9 För R2 U =20 0,3 =6 Observera att vi hade minustecken framför spänningarna över motstånden, så vi får alltså -9 volt över R1, samt 6 volt över R2. Minustecknet innebär alltså att spänningen över motstånden är motriktad den över spänningskällorna. (Spänningen ökar över en spänningskälla, den minskar över ett motstånd.) 5+(-9)+10+(-6)=0

5 Kirchoffs strömlag (KI / KCL) Kallas även Kirchoffs första lag. Summan av strömmarna in och ut från en viss knutpunkt = 0 En punkt i ett nät där två eller flera ledare förenas kallas knutpunkt eller nod. Strömmarna som passerar in i denna punkt är lika med dem som passerar ut. När man betraktar ett nät utifrån Kirchoffs strömlag väljer man en referensriktnig för samtliga strömmar. Denna kan väljas godtyckligt, då man vid senare beräkningar bara får ett negativt värde om referensriktingen inte överensstämmer med den fysikaliska. I3 + I2 +(-I1) + (-I4) = 0 I=0

6 Beroende och oberoende källor En ideal strömkälla skulle vara kapabel att leverera hur stor ström som helst och ändå hålla polspänningen konstant. I praktiken fungerar inte detta, eftersom varje strömkälla har sina fysiska begränsningar. En strömkälla, låt vara ett batteri eller laboratorieaggregat, kan betraktas som en spänningskälla E och en inre resistans Ri. Ju bättre strömkälla, desto mindre är Ri. Vid obelastad strömkälla går ingen ström genom kretsen, spänningsfallet över Ri är noll, och spänningen ut på strömkällans poler är lika med E. Men när strömkällan belastas med RL, och kretsen sluts går en ström genom både Ri och RL. Vi får en potentialförändring utmed kretsen allt enligt Kirchoff II (Kirschoffs spänningslag / KVL). Sålunda kommer spänningen över strömkällans poler, och därmed också lasten, att sjunka omvänt mot strömmen. UL = U0 IL * Ri Tomgångsspänningen = E I praktiken använder man sig av spänningsregulatorer i strömkällorna, vilket är en aktiv krets som justerar spänningen till att hålla sig konstant oberoende av strömuttaget.

7 Mätinstrument / Spänningsmätning Vridspoleinstrumentet är det traditionella mätinstrumentet med en visare som påverkas av en spole i ett magnetfält. När en ström flyter i spolen vrider denna sig, och ger ett mot strömmen proportionellt utslag. Med enbart vridspoleinstrumentet kan man för det mesta bara mäta mycket små spänningar och strömmar, spolen skadas av att utsättas av för höga strömmar. I praktiken utökar man instrumentets mätområde med yttre resistorer. Instrumentet kan användas på två sätt; som voltmeter och ampèremeter. Voltmetern mäter spänningen över tvenne punkter. Sålunda kopplar man instrumentet parallellt med mätobjektet. Viktigt är att instrumentets egen resistans är hög i förhållande till mätobjektet för att minska dess egenpåverkan och därmed mätfelet. Genom att koppla ett seriemotstånd till mätinstrumentet utökar man dess mätområde. (och ökar egenresistansen) Förenklad bild av ett vridspoleinstrument Amperemetern mäter strömmen genom en punkt. I detta fall kopplar man instrumentet i serie med mätobjektet. I detta fall vill man att instrumentets egenresistans är låg i förhållande till mätobjektet. Genom att koppla ett s.k.shuntmotstånd parallellt med instrumentet utökar man dess mätområde. (och sänker egenresistansen) Bägge dessa funktioner; ampère- och voltmeter, återfinner vi inbyggda tillsammans med serie- och shuntmotstånd i en vanlig multimeter. Ofta är dessa dessutom försedda med funktioner för motståndsmätning och andra finesser. Vidstående bild visar en klassisk multimeter; AVO-meter mk8. Riktigt bra instrument för spänningsmätning har en inbyggd förstärkare med mycket stor inresistans, vilket gör att man i praktiken kan försumma instrumentets inverkan på mätobjektet. Dessa kallades förr förstärkarvoltmetrar eller rentutav rörvoltmetrar,och har en inresistans på flera MΩ. AVO-meter mk8 Digitala instrument används i allt större utsträckning. Dessa har samma funktion som de analoga vridspoleinstrumenten, men har numerisk display istället för visare. Dessa instrument har aktiv elektronik som möjliggör hög känslighet och liten belastning av mätobjektet. En ideal A-meter är lika med en kortslutning, och en ideal V-meter är lika med avbrott (en öppen krets, oändlig resistans.

8 Det som sagts hittills gäller likström. Växelströms- och växelspänningsmätning går till på ett likartat vis, men här måste vi fundera på vad det är vi mäter. Växelströmmen är ju stadd i ständig förändring, och toppvärdet har vi ju endast momentant. Vanligast är att man mäter på ett likriktat medelvärde. Likriktat medelvärde Umm: U mm = 1 T T 0 u dt Vid sinusformad växelspänning skiljer sig det likriktade medelvärdet från effektivvärdet med en faktor 1,11. Det finns olika varianter av mätinstrument för växelspänningsmätning: Toppvärdeskännande voltmeter Topp-till-topp-kännande voltmeter Sant effektivvärdeskännande voltmeter Det sanna effektivvärdet hos en varierande spänning innefattar både AC (växelspänning)- och DC (likspänning)- komponent. Då många mätinstrument enbart mäter AC-delen får man tänka till en smula och mäta upp bägge. Effektivvärde = u 2 = toppvärde 2 toppvärde för sinusformade signaler

9 DC-Nät Nätets anatomi En praktisk strömkrets förefaller ofta ganska komplex med ett stort antal komponenter och förbindelser. För att analysera och förstå ett nät, i det här fallet ett likstömsnät, kan man likt matematikens ekvationer dela upp det i flera beståndsdelar, vilka lättare låter sig betraktas. Strukturen hos ett likströmsnät kan sålunda delas upp i sina abstrakta beståndsdelar; gren, nod, slinga och maska enligt följande: Fig. 1. nätets beståndsdelar nod gren Gren Ledare eller annan kretskomponent. Dessa utgör själva innehållet i nätet. Nod En punkt där två eller flera grenar av nätet är sammankopplade. Slinga Sammankopplade grenar som bildar en sluten krets. Ex eller Maska Slinga som inte innesluter någon gren. Ex eller Om man har ett komplicerat nät får man lätt problem att överblicka detsamma, och vid beräkningar får man ett så stort antal ekvationer så det blir tidsödande att lösa. Därför tillämpar vi några enkla regler för hur vi snabbt och enkelt kan förenkla en krets eller delar därav.

10 Seriekoppling Seriekoppling av resistorer går till såtillvida att ett antal resistanser i serie kan ersättas med endast en ekvivalent resistans. Denna utgör då summan av de seriekopplade resistorerna. Detta åskådliggör vi till exempel genom att tillämpa Kirchoffs spänningslag på en krets bestående av en strömkälla U kopplad till en strömkrets bestående av tre resistanser i serie; R1, R2 och R3. R1, R2 och R3 skall ersättas med en resistans R sådan att strömmen I i den ekvivalenta kretsen blir lika stor som I i den ursprungliga. U I R1 I R2 I R3=0 U I' R'=0 U =I R1 I R2 I R3 U =I' R' I'=I U = I R1 R2 R3 U = I R' R'= R1 R2 R3 Generellt gäller då att: R'=R1R2R3...Rn Seriekopplade spänningsgeneratorer följer samma mönster som enligt Kirchoffs spänningslag. Spänningskällor i serie adderas till sin ekvivalent. Seriekopplade strömgeneratorer förekommer inte som modell.

11 Parallellkoppling Parallellkoppling av resistorer har en problemställning liknande seriekopplingen. Ett antal parallella resistanser kan ersättas med endast en ekvivalent. Vi åskådliggör detta med ett exempel liknande det förra, då vi vill att strömmen skall vara densamma i bägge kretsarna. Först använder vi Kirchoffs strömlag: I = I1 I2 I3 Enligt KII : I1= U1 R1 R2 U2= R2 I1 U2=U1 R2 R1 R2 Sedan jobbar vi vidare med Kirchoffs spänningslag: U = I1 R1 I1= U R1 U = I2 R2 I2= U R2 U = I3 R3 I3= U R3 U = I' R' I = I' I1 I2 I3= U R1 U R2 U R3 =U 1 R1 1 R2 1 R3 = U R' = I Division med U ger: 1 R' = 1 R1 1 R2 1 R3 Och detta kan generaliseras till: 1 R' = 1 R1 1 R2 1 R Rn Parallellkopplade strömgeneratorer följer samma mönster enligt Kirchoffs strömlag. Strömkällor i parallellkoppling adderas till sin ekvivalent. Parallellkopplade spänningsgeneratorer förekommer inte som modell.

12 Spänningsdelning En standardföreteelse i elektriska nät är spänningsdelaren. Medelst en koppling som i den följande figuren medges delning av spänningen U1 med hjälp av motstånden R1 och R2 så att en lägre spänning U2 erhålles. Här använder vi vad som kallas spänningsdelningslagen, och den kan vi räkna fram på följande sätt: Sålunda får vi den formel som kallas spänningsdelningslagen. R2 U2=U1 R1 R2 Observera att om kretsen belastas på utgången kommer U2 att sjunka, och vi måste räkna med denna last RL i parallellkoppling med R2. Om lastens resistans är mycket större i förhållande till R2 kan vi i allmänhet bortse från inverkan av denna och I2, men annars måste den räknas med.

13 Strömdelning Enligt Kirchoffs strömlag är summan av strömmarna in i en punkt lika med strömmarna ut ur densamma. Ett nät där två resistorer är parallellkopplade kommer strömmen i varje gren att vara proportionell mot motståndet. Enligt parallellkopplingslagen är R1 och R2 ekvivalenta med en resistans R : 1 R' = 1 R1 1 R2 1 R' = R2 R1 R2 R1 R1 R2 Ohms lag ger då: U = I1 R1= I R'= I R1 R2 R1 R2 1 R' = R1 R2 R1 R2 R1 R2 R'= R1 R2 Division med R1 ger: I1= I R2 R1 R2 Division med R2 ger: R1 I2= I R1 R2

14 NÄTTEOREM Nodanalys Maxwells potentialekvation, s.k. nodekvation går ut på att analysera ett nät med utifrån potentialerna i nätets noder. Gör så här: 1. Inför en potential i varje nod utom en som man antar vara jordad (nollpotential). 2. Sätt med hjälp av KCL (Kirchoffs strömlag) upp en ekvation för varje nod. 3. Uttryck strömmarna i termer av nodspänningar.sätt in alla kända resistans- och strömvärden och bearbeta ekvationssystemet. Exempel: Vi önskar räkna ut strömmen IL genom motståndet RL. Alla kretsens knutpunkter är noder. Vi sätter en av dem till jord och använder den som referenspunkt. Av de olika kvarvarande noderna a, b och c är det endast en vars potential mot referensjorden är obekant, och det är punkten b. De övriga noderna a = E1 = 10v och c = E2 = 15v.

15 Enligt KCL får vi: I 1 I 2 I 3 =0 Strömmarna uttryckta som potentialer: I 1 = E 1 U b R 1 = E 1 R 1 U b R 1 = E 1 1 R 1 U b 1 R 1 Vi ställer upp ekvationssystemet som följer: I 2 = E 2 U b R 2 = E 2 R 2 U b R 2 = E 2 1 R 2 U b 1 R 2 I U b L = =U R b 1 L I 1 I 2 I 3 =0 E 1 1 R 1 U b 1 R 1 E 2 1 R 2 U b 1 R 2 U b 1 R L =0 E 1 1 R 1 E 2 1 R 2 =U b 1 R 1 1 R 2 1 R =U b =U b U b = U b =4v R L Strömmen IL räknar vi fram genom ohms lag: I L = U b R L = 4 2 =2A

16 Maskanalys Här använder vi oss av Maxwells maskekvation. Denna metod är snarlik nodanalysen, men vi analyserar nätet utifrån nätets maskor istället för dess noder, och vi använder oss av strömmar istället för potentialer. Gör så här: 1. Inför i varje maska en cirkulerande ström. Alla medsols! 2. Ställ med hjälp av KVL (Kirchoffs spänningslag) upp en ekvation för varje maska. Ta med alla cirkulerande strömmar som flyter genom en gren varje gång denna passeras. 3. Sätt in kända värden och bearbeta ekvationssystemet. Exempel: Samma som föregående; hur stor är strömmen ILsom flyter genom RL? Här ansätter vi en medsols roterande (oavsett faktisk strömriktning) ström i varje maska, och vi kallar dessa I1 och I2. Vidare använder vi KVL för att ställa upp följande ekvationer: maska 1: 10 6 I 1 2 I 1 I 2 =0 maska 2: 2 I 2 I 1 11 I 2 15=0 Detta ger oss ekvationssystemet: 8 I 1 2 I 2 =10 2 I 1 13 I 2 =15 Och så är det bara att lösa ekvationssystemet. Om man vill så kan man ju lösa det med lite matrisräkning. Detta underlättar radikalt om man har betydligt komplexare kretsar att analysera.

17 I 2 = 1A I 1 =1A Och i det här fallet är strömmen IL genom RL: I L =I 1 I 2 I L =1 1= 2A

18 Superposition När man superpositionerar beräknar man nätet utifrån en ström/spänningskälla i taget och summerar resultatet på slutet. Gör så här: 1. Nollställ alla spännings- och strömkällor utom en enligt följande: a) Spänningskällor ersätts av kortslutningar b)strömkällor ersätts av avbrottberäkna nätet. 2. Välj nästa källa, nollställ de övriga, beräkna osv. 3. När alla källor har behandlats så summerar man strömmar och spänningsbidrag med respektive tecken. Exempel: Vi använder oss av samma nät som i tidigare exempel, och vi vill veta strömmen IL genom motståndet RL. Vi börjar med att helt enkelt kortsluta E2 enligt följande: Först räknar vi med KCL: I 1 =I 2 I L I L =I 1 I 2 Sedan använder vi oss av Ohms lag, samt principerna för serie- och parallellkoppling: E 1 10 = I 1 = E 1 R tot = R 1 R L R 2 R L R =1,3 A Till sist använder vi strömgreningslagen för att räkna ut IL1: R 2 I L1 =I R L R 2 =1, =1,1A

19 Sedan vänder vi på begreppen och kortsluter E1, och får då följande: Först räknar vi med KCL: I 2 =I 1 I L I L =I 2 I 1 Sedan använder vi Ohms lag, samt principerna för serie- och parallellkoppling: E 2 I E = = R tot R R L R = =1,2 A R L R Sedan använder vi strömgreningslagen för att räkna ut IL2: I L2 =I R 1 R L R 1 =1, =0,9A Till sist lägger vi ihop delströmmarna IL1 och IL2: I L =I L1 I L2 =1,1A 0,9A = 2A

20 Tvåpoler Med hjälp av tvåpolsatsen kan man betydligt förenkla analys och kalkyler på komplexa nät. Om man har ett godtyckligt aktivt nät med konstanta källor och resistanser och detta belastas mellan två godtyckliga punkter, här kallade A och B, utgör nätet betraktat från dessa punkter A och B, en aktiv linjär tvåpol. Detta nät kan betraktas som en svart låda med linjär karaktäristik mellan punkterna A och B avseende spänningen relativt strömmen. Thevenins teorem Varje sådan tvåpol kan sägas vara ekvivalent med en spänningskälla (emk) i serie med en resistans. Emk:n E0 = nätets tomgångsspänning över A och B (öppen utgång). Resistansen Ri = tvåpolens inre resistans sett från punkterna A och B då Emk:n tänkes ersatt med en kortslutning. I den ekvivalenta tvåpolen brukar man säga E0 = Eth och Ri = Rth (Thevenin). Exempel: Bestäm den ekvivalenta tvåpolen till följande krets: Den ekvivalenta tvåpolens emk = tomgångsspänningen mellan A och B. U AB = E R 2 R 1 R 2 Den ekvivalenta tvåpolens inre resistans bestäms genom följande förfarande: Den ekvivalenta tvåpolen utgörs då av följande: E th = E R 2 R 1 R 2 R th = R 1 R 2 R 1 R 2

21 Nortons teorem Nortons teorem är av samma rot och stam som Thevenin. Enligt Nortons teorem kan varje godtycklig, aktiv, linjär tvåpol ersättas av en en ekvivalent krets bestående av en strömgenerator In parallellt med en inre resistans Rn. (Norton) Egenskaperna sett från de bägge polerna A och B skall alltså vara desamma i bägge fallen. Vid kortslutning gäller: Thevenin: I= E th R th Norton: I=I n Vid tomgång gäller: Thevenin: Norton: U= E th U=I n R n Ekvivalens kräver att U och I är lika i bägge fallen. Detta ger: U thevenin =U norton E th =I n R n I thevenin =I norton I n = E th R th Sålunda krävs även att R th = R n Konvertering från spänningsgenerator till strömgenerator: I n = E th R th Konvertering från strömgenerator till spänningsgenerator: E th =I n R n

22 VÄXELSTRÖM Så skall vi lämna den relativt stabila likströmmens värd, sätta snurr på saker och ting och gräva fram komplexmatten i tillämpningens ljus. Till skillnad från likströmmen så varierar växelströmmen polaritet i ett periodiskt förlopp. I våra kraftnät härrör denna periodicitet från generatorns spolar som rör sig cirkulärt genom ett magnetfält. Just denna cirkulära rörelse är upphovet till det vi kallar sinusformad växelspänning. Vi ritar upp ett definitionsexempel enligt följande: û = amplituden ω = vinkelfrekvensen (rad/s) T = periodtid (s) f = frekvens i Hz f = 1 T ω=2 π f u 1 = u sin t u 2 = u sin t =fasvinkelni grader

23 Visardiagram Ett annat, och i dessa sammanhang mycket praktiskt sätt att representera en sinusformad storhet som växelström är att använda ett s.k. visardiagram. I stället för ett ordinärt x/y diagramanvänder vi oss av en roterande visare där visarens längd kommer att motsvara spänningens toppvärde, och dess argument ersätter tidsaxeln. Växelspänningens frekvens är alltså hur snabbt visaren roterar, därav får begreppet vinkelhastighet en synnerligen verklig förankring. Betrakta uttrycket u= u sin t. Vid tiden t=0 blir u 0 = u sin Visaren u får i begynnelseläget följande läge: Om inget annat anges tänker vi oss att uttrycket u= u sinw t representeras av en visare som bildar vinkeln med den positiva x-axeln. Positiva x-axeln kallar vi i detta sammanhang för referensriktning. u

24 Beteckningssätt: Det sinusformade uttrycket: u= u sin t (våg-form) representeras av en visare u som vi betecknar på följande sätt: u= u (visar-/polär form) eller på följande sätt: u= u e j (phasor form) Detta utläses Visaren u har längden/beloppet û och bildar vinkeln med referensriktningen. På rektangulär form kan vi uttrycka det som: u=a jb (rektangulär form) Observera att vi i elektroniken använder j istället för i när vi åsyftar det imaginära talplanet, detta för att inte blanda ihop det med i = varierande ström. u= a 2 b 2 (pythagoras sats) =arctan b a a = u cos b= u sin Observera Genom att gå över till visarform har vi inte med tiden i uttrycket längre. Vi har gått över från tidsdomän till frekvensdomän.

25 Genom att införa visarrepresentation kan vi enkelt behandla växelströmskretsar. Att behandla dessa förefaller komplicerat, eftersom spänningen hela tiden växlar storlek och riktning, men genom att på detta sätt införa en matematisk storhet med vektorkaraktär så kan vi räkna med den precis som med vanlig vektorräkning. När beräkningen är slutförd har man som resultat en spänning i vektorform, som enkelt kan återföras till tidsdomänen. Addition och subtraktion kan utföras geometriskt/analytiskt med visardiagram inte helt olika mekanikens kraftreduktionsdiagram. Man kan välja att rita enligt polygon- eller parallellogrammetoden, men resultatet blir givetvis detsamma....och om vi har omvänt tecken på den ena spänningskällan:

26 Komponenter och växelströmsegenskaper Några olika komponenter, resistorn, kondensatorn och spolen kan sammanställas med avseende på sina växelströmsegenskaper: Resistor Kondensator Spole Resistans Kapacitans Induktans Ohm Ω Farad F Henry H u=r i u= 1 C i dt u= L di dt Frekvensoberoende Frekvensberoende Frekvensberoende u och i ligger i fas u ligger 90 efter i (-90 ) u ligger 90 före i (90 ) u= U sinω t u= U sinω t 90 u= U sinω t90 i= I sinω t Z R = R i= I sinω t Z C = 1 j ω C Z C = j ω C X C = 1 ω C i= I sinω t Z L = j ω L X L =ω L

27 Ideal resistor Den ideala resistorn är fullkomligt frekvensoberoende, och ström såväl som spänning följs åt i samma fas. Strömmen över resistansen kan vi teckna: u i = R 0 Ο

28 Kondensatorer Kondensatorns grundläggande egenskap kallas kapacitans och är dess förmåga att lagra elektrisk laddning. Kondensatorn kan ses som två plattor med en spalt av luft eller annat icke-ledande material emellan. Avståndet mellan plattorna och plattornas storlek avgör kondencatorns kapacitans, som äts i Farad. En Farad uttrycks 1F och är en mycket stor enhet, varför den i praktiken uttrycks som mikronano- och pikofarad, dvs 10-6, 10-9 och Farad. För att minska avståndet mellan kondensatorns elektroder använder man andra isolerande material än luft mellan dem. Dessa material kan göras mycket tunna, och besitter dessutom en förmåga som kallas permitivitet. Detta innebär att elektronerna i sina banor i materialets atomer förskjuts, så att en sorts negativ tyngdpunkt bildas. Atomen blir då en elektrisk dipol, och dessa kan då vrida sig och antaga samma riktning som det elektriska fältet mellan elektroderna. Detta gör att verkan av avståndet mellan elektroderna minskar, och kapacitansen ökar. Just denna förmåga gör att man kallar isolationsmaterialet för dielektrikum. Om man vill räkna ut kondensatorns kapacitans gäller följande formel: C=ε A d där C = kapacitansen i Farad A = arean i m 2 d = avståndet mellan elektroderna i m ε = permitiviteten. Permitiviteten är egentligen ε 0 ε r där ε 0 = permetiviteten i vacuum 8, och ε r = dielektricitetskonstanten. Dielektricitetskonstanten är ett relativt tal som beskriver dielektrikumets permitivitet i förhållande till vacuumets permitivitet. Dielektricitetskonstanten för några material: Luft 1 Vatten 80 Glas 10 Polyester 3,3 Keramik Kondensatorn har ett stort antal användningsområden. Som kopplingskondensator blockerar den en likspänning, men leder en växelspänning vidare. Som avkopplingskondensator kortsluter den en växelspänning som är överlagrad på en likspänning. I filter och resonanskretsar används kondensatorn, ofta tillsammans med motsånd och/eller en spolesom frekvensbestämmande komponent. Man använder kondensatorns upp- och urladdningstid som tidsbestämmande konstant. T.ex. astabila vippor. Kondensatorn har en frekvensberoende resistans som kallas kapacitiv reaktans. Denna uttrycks som: X c = 1 ω C där Xc = reaktansen i Ω ω = vinkelfrekvensen 2 π f hertz i Rad/s C = kapacitansen i F

29 Ideal kondensator Som nämnts tidigare skulle en ideal kondensator bara ha en kapacitiv reaktans och ingen resistans eller induktans. Väl dimensionerade kondensatorer gör dock att vi åtminstone vid lite lägre frekvenser kan räkna med dem som ideala. Spänningen över kondensatorn är proportionell mot integralen i dt. Vi kan ställa upp detta analytiskt enligt följande: u c = 1 C i dt = 1 C isinω t = i ω C cosω t = i ω C sinω t 90ο Sålunda finner vi att spänningen över kondensatorn är omvänt proportionell mot vinkelhastigheten (frekvensen) och 90 grader (eller π/2) efter strömmen som är riktfas Reaktansen, dvs det frekvensberoende motståndet är omvänt proportionellt mot vinkelhastigheten. X C = 1 ω C Verklig kondensator Detta gäller givetvis en ideal kondensator. I praktiken får varje kondensator en resistiv och induktiv påverkan från anslutningar osv. så kretsens verkliga växelströmsresistans, impedansen kommer att skilja en smula. Upp- och urladdning av en kondensator tar alltid en viss tid. Med tidskonstanten τ (tau) menar man den tid det tar för laddningen att nå till 1-e -1 (ca 63.2%) av den nya spänningen. Denna uttryckes som: τ= R C där τ = tiden i sekunder R = serieresistansen i Ω C = kapacitansen i Farad Serieresistansen avser resistansen i anslutningar, elektroder och eventuella förluster i dielektrikumet.

30 Spolar Spolen kallas även induktor och dess grundläggande egenskap kallas induktans. Denna anges i enheten Henry (H). Spolen utgörs i princip av en ledare lindad ett antal varv, med eller utan kärna. Spolens induktans är den egenskap som motverkar alla förändringar i strömmen som går igenom den. Vid strömförändringar i spolen uppstår en motriktad spänning som kallas mot-emk. En spole med intuktansen 1H har en mot-emk på 1V då strömmen förändras med 1A/s. Spolar har ett antal användningsområden, bland annat i avstämda filter och svängningskretsar för att blockera eller välja ut vissa frekvenser. De kan även användas för likströmsfiltrering och energilagring i olika typer av nätaggregat. Spolen har en frekvensberoende resistans som kallas reaktans, och en likspänningsresistans i själva tråden. Den induktiva reaktansen XL uttrycks: X L =ω L där XL = spolens reaktans i Ω ω = vinkelfrekvensen (2πf) i rad/s L = induktansen i Henry Ideal spole (induktor) En ideal spole skulle ha en resistans = 0. Helt klart finns inga sådana spolar i verkligheten, men med lämplig utformning av spolen, och i våra relativt lågfrekventa resonemang kan vi räkna med att resistansen är försumbar. Som nämndes sist är spänningen över en spole proportionell mot strömderivatan di/dt. Sålunda ser vi att vid strömmens toppvärden, dvs di/dt=0 är spänningen noll, och vid di/dt:s maxvärde, är spänningen max. Ur grafen kan vi då analogt se att spänningen ligger 90 grader, eller π/2 rad före strömmen, som vi anger som riktfas. Och om man vill stila lite grann kan man ju ställa upp det analytiskt: Spänningen över spolen är lika med induktansen gånger strömderivatan di/dt enligt följande: L d dt i sint = i L cost = i L sin90 ο t = i L sint 90ο = u Som synes får vi en positiv 90 graders fasskillnad mellan û och î som är riktfas. Spänningen och därmed reaktansen hos spolen är proportionell mot vinkelhastigheten. X L =ω L

31 Verklig spole (induktor) Spolens totala impedans, dvs kombinationen av resistans och reaktans blir ett komplext tal, eftersom reaktansen är komplex. Z L = X L 2 R 2 Spolen har ytterligare en egenskap som benämnes Q-värde efter Q=Quality. Detta är kvoten mellan spolens reaktans och serieresistans. Lägre resistans ger högre Q-värde och möjliggör bl.a. konstruktion av brantare filter. Q = X L R S

32 Transienter Vad är en transient signal? Definitionsmässigt är det en spänning eller ström som varierar som funktion av tiden och som är en konsekvens av en plötslig förändring i insignalen / invärdet. Ett exempel på detta är vid påslag/frånslag av spänning över en kondensator i serie med en resistans. När man tittar på det transienta förloppet i en viss krets kan man dela upp detta i två delar; den transienta delen (transient) och den stationära delen (steady state). Transienter i RC-kretsar Vi tänker oss en strömkälla i serie med en brytare, en resistans och en kapacitans enligt följande bild: När brytaren är öppen går ingen ström genom kretsen. Kondensatorn är oladdad. När brytaren sluts vid t=0 kommer strömmen att rusa in i kondensatorn i dess uppladdningsförlopp. Strömmen i kretsen kommer att bli som följande: i C = E R e t R C Vid t = 0 kommer C att vara irrelevant eftersom exponentuttrycket = 1, och strömmen i kretsen och därigenom in i kondensatorn kommer att vara lika med E genom R. Likaså är spänningen över kondensatorn vid t = 0 lika med 0V. Sedan laddas kondensatorn upp som funktion av tiden, och strömmen ic kommer att gå mot noll när t går mot. RC i exponentuttrycket är vad som brukar kallas kretsens tidskonstant. När strömmen in i kondensatorn minskar ökar då spänningen över den, för att till slut plana ut och gå mot E. När mindre än 1% skiljer Uc från E antager vi att kondensatorn är uppladdad, vilket sker efter knappt 5 tidskonstanter.

33 Spänningen över C kan uttryckas: u C = E 1 e t R C Observera att när tidskonstanten τ = t = RC så får vi: u C = E1 e 1 = 0,63*E som nämndes tidigare. Exempel i verkliga livet: Som synes beror strömmen i kretsen bl.a. på konstanten R. En ideal kondensator kopplad direkt till ett batteri skulle alltså laddas oändligt snabbt med oändlig ström. Ideala kondensatorer finns inte, men direkt kopplade till strömkällan kan de alltså vid tillslag dra oerhörda mängder ström. I praktiken får detta effekt i t.ex. en förstärkare för billjud, där man brukar ha mycket stora kapacitanser som energireserv. Att koppla in dessa till strömkällan direkt kan ge så stora strömmar att säkringarna brinner av! Därför är vissa liknande apparater försedda med en serieresistans vid uppstarten, för att ladda upp kondensatorerna lite försiktigare. När kondensatorn laddats upp fullständigt kan vi antaga att spänningen uc = E. Om vi så kopplar bort den ursprungliga källan E genom att kortsluta den, laddar vi ur kondensatorn genom R. Detta ger analogt med tidigare resonemang följande uttryck: u C = E e t R C Strömmen ic uttrycks på samma sätt som tidigare, fast den här gången går den åt andra hållet. i C = E R e t R C En kondensator som laddats upp skulle, om den vore ideal, behålla sin laddning och därmed spänning i all oändlighet, men alla verkliga kondensatorer har förluster, och denna verkar som ett R genom vilken kondensatorn sakta urladdas. Initialvärden Om nu kondensatorn i föregående krets inte var helt urladdad, utan hade en spänning vid t=0, vad händer då? Jo kondensatorns uppladdningscykel startar ifrån detta initialvärde. (se figur s.366 i Boylestad) och vi får följande modifierade uttryck: u C = V i V f V i 1 e t R C = > u C = V f V i V f e t R C

34 Transienter i RL-kretsar Uppladdningsfasen Om vi tänker oss en ny krets med en induktor istället för en kapacitans, i serie med ett motstånd R, en brytare och en strönkälla så får vi ånyo en krets med transienta egenskaper, liknande RC-kretsen men tvärtom så att säga. Då brytaren sluts vid tiden t=0 ligger helt plötsligt, ett oändligt kort ögonblick, hela E över spolen. Därigenom kommer ögonblicket efteråt strömmen att omedelbart börja flöda in i spolen. Spolens egenskaper är då sådana att den motverkar strömändringar genom att det induceras en s.k. mot-emk i spolen. När kretsen nått sitt stabila tillstånd har dock strömmen planat ut (strömändringen =0) och därigenom är den motriktade spänningen över L = 0. (Detta förutsätter iofs en ideal induktor) Strömmen genom L kan tecknas som: i L = E R 1 e t R L Tidskonstanten för RL-kretsen återfinner vi även här i exponentuttrycket, och för RL-kretsen tecknas denna som: τ= L R Vidare kan spänningen över L tecknas som: u L = E e t R L

35 Urladdningsfasen Om vi tittar på hur kondensatorn respektive spolen lagrar energi, finner vi att kondensatorn lagrar sin energi i form av ett elektrostatiskt fält, medan spolen lagrar energin i ett magnetfält skapat av strömmen genom spolen. Detta ger en del intressanta konsekvenser. Eftersom energin i spolen är beroende av strömflödet genom densamma, kommer den att avge denna energi om strömmen plötsligt avbryts. En presumptivt oändligt snabb brytning av strömmen skulle sålunda ge upphov till en oändlig potential (mot-emk:n) över spolen. u L = L di dt I praktiken uppnår vi inte det oändliga, men med ett snabbt avbrott av strömmen genom en spole kan vi få en mycket hög spänning över den, stark nog att skapa en gnista, och skada komponenter som är känsliga för höga spänningar. Tändspolen i en bil är ett exempel på detta fenomen. Om vi vill koppla upp en krets för att mäta urladdningsfasen hos en spole är det alltså en fördel att koppla den på ett annorlunda sätt för att undvika den plötsliga strömförändringen och åtföljande spänningstopp. När då brytaren öppnas kommer urladdningsförloppet att följa uttrycket: I L = I m e t τ ' I m = E R 1 τ'= L R 1 R 2 Och vad gäller spänningen sker följande: u L = u R1 u R2 = i 1 R 1 i 2 R 2 = i L R 1 R 2 = E R 1 R 1 R 2 = R 1 R 1 R 2 R 1 E u L = R 1 2 R 1 E Och detta innebär att spänningen över L blir större än E relativt faktorn R2 genom R1. När brytaren sluts kommer spolen att polvända till en spänning enligt ovan.

36 Impedans Eftersom vi nu konstaterat att vi får komplexa storheter i ekvationerna när vi räknar på dessa, så använder vi vanlig vektormatematik för att räkna ut spänningar och strömmar när vi kombinerar de olika elementen. Kretselement med komplexa storheter innebär även att deras impedans blir komplex. Med impedans menar vi kvoten û/î genom kretselementet. Impedansen benämns med Z och uttrycks också i Ohm. Impedansen räknas också vektoriellt och analogt med spänningarna. Som exempel kan vi ta en krets med en resistans och en spole i serie. Då får vi ett visardiagram enligt följande: Pythagoras sats ger oss Vi bildar kvoten u 2 = i R 2 i ω L 2 = u i = Z = R 2 ω L 2 i 2 R 2 ω L 2. tan= i ω L i R = ω L R Om vi sedan ritar om beräkningstriangeln, och byter ut û mot i Z så får vi följande figur:

37 Och om vi sedan dividerar alla sidorna med î övergår spänningstriangeln i en likformig triangel, där sidorna har dimensionen Ohm. Denna triangel kallas Impedanstriangeln och ser ut som följer: Gör vi motsvarande sak fast med en resistans i serie med en kondensator får vi en liknande, fast inverterad, triangel. Kvoten û/i kvarstår, och får då formeln: u i = Z = R 2 1 ω C 2 Rent generellt kan vi säga att den komplexa storheten impedans (Z) fås enligt: u i = Z = R 2 X 2 där X står för reaktansen i allmänhet. Vid rent resistiv krets (ωl = 0) blir Z = R Vid rent induktiv krets (R = 0) blir Z = ωl (Och vid motsvarande med kapacitans istället blir Z = 1/(ωC)