Inlämning 1: Bedömning och kommentarer

Transkript

1 Inlämning 1: Bedömning och kommentarer Inledning. Här är vår bedömning av era lösningar till inlämningsuppgift 1. Därmed kommer vi till en viktig del av kursen återkopplingen. De som inte har fått godkänd och det är de flesta får nu möjlighet att bearbeta texten ännu en gång och därmed förbättre lösningen ytterligare; med avseende på matematisk stringens, disposition och grafisk utförande. Bearbetningen ska ske med utgångspunkt i de kommentarer om era lösningar som finns i detta papper. Förutom namnen på de som är godkända eller nästan godkända, finns nedan en lista med typiska fel som förekommer i era lösningar. Att felen är typiska betyder i detta sammanhang att alla som inte fått godkänt har gjort minns ett av dessa fel (eller en variant av samma). Listan är uppdelat tematiskt i fem kategorier efter feltyper: 1) Logiska fel och brister, 2) Disposition och det matematiska språket, 3) Den matematiska framställningen, 4) språket i allmänhet och 5) LATEX. Glädjande nog har det vist sig att majoriteten av lösningarna är matematiskt korrekta om man bortser från at det från tid till annan kan finnas någon liten lucka kvar i vissa bevis. Bedömning. Det finns tre kategorier: Godkända, nästan godkända och rest. Godkända lösningar är nästan eller helt perfekta och ingen uppdatering behövs. Nästan godkända lösningar innehåller bara fel av enklare karakter (aldrig logiska fel förutom rena felsägningar), oftast i framställning och typografi, och uppdatering behövs eftersom att det skulle förbättre slutprodukten märkbart. Rest i denna kategorin finns lösningar med logiska fel (som nämnt ovan, enbart smärre sådana i år) och något mera omfattande problem i framställningen. Dessa lösningar behöver naturligtvis uppdateras. Godkända. Erik Olsson, Anton Tuvegård, Joel Henriksson. Nästan godkända. Lukas Gardberg, Kåre von Geijer, Heidar Gergis, Rasmus Johansson, Lukas Karlsson, Axel Kärrholm, Oskar Hellsén Palmqvist, Mika Persson, Linus Rickman, Samuel Selleck, Elias Sjöberg, Tove Thunborg, Alex Uhlman Rest. Alla övriga. Godkända och nästan godkända får tillbaka sina lösningar direkt 1 (se Vita hyllan mittemot MH:333 i facket märkt Matematisk kommunikation), de med rest får uppdatera deras lösningar enbart med utgångspunkt i kommentarerna som ges här. 1 Nästan godkända lösningar återlämnas direkt eftersom att de, förutom att vara matematisk korrekta, oftast enbart innehåller småfel som inte ens är av standartyp.

2 Innan ni sätter i gång med att rätta: Läs igenom er egen lösning påny och se den med friska ögon. Förstår ni fortfarande er egen text? Deadline för inlämning av uppdaterad version av lösningen: Tisdag 12 december 2017.(Gäller Rest och Nästan godkända.) 1. Logiska fel och brister. I vissa lösningar referarar man till faktorssatsen istället för till allmänna konjugatregeln: Man säger t.ex. att a n 1 = (a 1)q(a) för något polynom q(a). Gör man så bör man bevisa att q(a) blir ett heltal, annars kan man inte dra slutsatsen att (a 1) (a n 1). (Det finns även de som refererar till faktorssatsen när det i själva verket menar allmänna konjugatregeln!) I beviset för att a = 2 förekommer lösningar där man direkt drar slutsatsen att om p = a n 1 är ett primtal så måste a 1 = 1 utan att utesluta fallet a 1 = p. Liknande fel förekommer ibland vid beviset av att n är ett primtal. Man påstår att 2 n 1 blir ett sammansatt tal utan att ens nämna att de funna faktorerna är skilda från 1. I en del lösningar förekommer det att man antar att n är ett sammansatt tal, n = ab, men glömmer att ange villkor på faktorerna a, b, alltså att 1 < a, b < n. 2. Disposition och det matematiska språket. I år har vi sett en antal lösningar där man har delat in beviset för a = 2 i två delar, ett där a antas vara ett jämnt tal, a = 2k, och ett annat där a antas udda, a = 2k 1. Dessa två fall behandlas var för sig och leder till ett korrekt bevis. Men indelningen i udda-jämn har inget med problemställningen i sig att göra och behövs alltså inte. Man får ett kortare och tydligare bevis för sammma slutsats om man inte gör den. Det kan ofta vara en fördel att definiera begreppet sammansatt tal i samband med att begreppet primtal introduceras. Sammansatta tal heter just så på svenska. Använd inte ordet komposit tal. I år refererar många till höger- och vänsterled i en ekvation med HL respektive VL. Det förekommer speciellt i samband med bevis för allmänna konjugatregeln. I 99% av alla fall (utom möjligen i vissa induktionsbevis) är det en helt onödig symbolik. Varför inte bara säga

3 t.ex. Vi börjar med att utveckla högerledet i ekvationen ovan och får varpå följer en beräkning (nu utan HL =...). På samma sätt kan man avsluta ett bevis med meningen vilket är lika med vänsterledet i ekvationen ovan. Alltså, binda ihop dina beräkningar till en sammanhängande text med hjälp av ord, inte med ännu fler symboler. Säg explicit med ord varför man kan välja a = 2 i bevisets andra del, n är ett primtal. (Om man använder detta i sitt bevis, såklart.) Vissa använder egenuppfunna ord som delsats och undersats och liknande. Var vänlig att använda standard terminologi. När man ska formulera en sats eller ett lemma, skriv då antagandet först (Om...) och konklusionen sen (så är...). Mönstret kan brytas, men inte gärna utan anledning eller medveten intention. Använd korrekt interpunktion: punkt eller komma även efter formler om grammatiken kräver så. Inleda aldrig en mening med en matematisk symbol eller ett variabelnamn. Formulera problemet/satsen inuti texten inte på textens omslag eller försatsblad. Använder man allmänna konjugatregeln flera gångar under bevisets gång så tycker jag det är bäst att formulera denna, med alla relevanta förutsättningar, redan innan beviset börjar. Resultatet kan formuleras i ett lemma eller i löpande text, det kvittar så länge påståendet är korrekt. Man kan ge ett bevis eller man kan referera till att resultatet är välkänt, om man vill. Iövrigt, upprepa inte argumentet för allmänna konjugatregeln (eller för andra elementära resultat) två eller flera gångar. I vissa formuleringar av allmänna konjugatregeln skrivs a n 1 n = (a 1) n a n k 1 k 1, eller motsvarande. Jag tycker inte man ska skriva ut de onödiga ettorna som i 1 k 1. Det är även osäkert om man behöver skriva 1 n istället för 1. (Allt detta gäller givetvis inte om man har med ettorna för att förtydliga ett steg i argumentet!) Ett annat exempel är uttrycket a 1 1 där exponenten 1 känns onödig. Bättre att bara skriva a 1. En del lösningar innehåller formler eller uttryck med överflödiga eller onödiga parenteser. Här är ett exempel: talet (a n 1) är delbart med (a 1). Parenteserna i sista uttrycket tjäner ingenting till. Parenteser k=1

4 används ju för att håll ihop uttryck som står intill andra uttryck. Det är inte fallet i exemplet innan och man kunne likaväl (eller bättre) ha skrivit talet a n 1 är delbart med a 1. Vi arbetar i denna uppgift bara med icke-negativa tal och positiva primtal. Därför behöver man bara referera till positiva delare när man t.ex. definierar primtal och sammansatta tal. Man behöver med andra ord inte ta med minustecknet när man skriver talet p kallas ett primtal om det endast kan delas med ±1 eller med ±p. En annan viktig sak är att ge definitionen så tidigt som möjligt i texten. Antingen under rubriken definition eller i löpande text, det är likvärdigt här. Kom ihåg att ordet primtal faktiskt finns med redan i problemet, och därför bör förklaras i anslutning till formuleringen av problemet. Använd ej symboler, t.ex. P, P + eller a b, innan dessa har introducerats formellt. Definition av ny symbol bör göras innan eller i anslutning till att symbolen används första gången. 3. Den matematiska framställningen En del lösningar innehåller formler eller uttryck met överflödiga eller onödiga parenteser. Här är ett exempel: talet a n 1 är delbart med (a 1). Parenteserna i sista uttrycket tjäner inget till. Parenteser används ju för att håll ihop uttryck som står intill andra uttryck. Det är inte fallet i exemplet innan och man kunne likaväl (eller bättre) ha skrivit talet a n 1 är delbart med a 1. Ett annat exempel vi har sett är en parentetisk anmärkning: ((a 1) eller (a n 1 +a n a+1)) där antalet parenteser blir överväldigande. Det finns gott om exempel av liknande karaktär där parenteser kan tas bort och texten därmed förbättras. I ett indirekt bevise för att n är ett primtal antas det först att n är sammansatt, alltså att n = bc där 1 < b < n, 1 < c < n. Sen säger texten Vi definierade c som ett heltal större än ett. Jag tycker att definierade är fel ord och rekommenderar att man skriver Vi antog att c är ett heltal större än ett. (En definition beskriver ett nytt begrepp i termer av redan kända begrepp. Ett antagande handler om objekts egenskaper.) Observera: ovanstående fel finns i flera snarlika varianter. I en definition står det Definition av ett primtal. Skriv hellre Definition av primtal, eftersom att man avser att definiera en hel klass av naturliga tal, inte bara ett enda.

5 Ytterligare ett språkexempel där vi citerar från en lösning: Med hjälp av lemma 1 kan vi skriva om a n 1 som två faktorer. n a n 1 = (a 1) a n k k=1 Enligt satsen så är detta ett primtal. Här förekommer flera småfel (sex stycken!): 1) Första meningen avslutas med en punkt innan formeln (korrekt) som egentligen är en del av samma mening. 2) Det ska vara produkten av två faktorer, 3) Ingen punkt efter formeln, men ändå påbörjas ny mening i raden därpå. 4) Otillsiktat textindragning i raden efter formeln (pga. extra mellanslag) 5) Enligt satsen refererar inte till satsens utsaga utan till dess hypotes. Därför bör man skriva Enligt antagandet i satsen. 6) Oklart vad detta i sista meningen refererar till. Bättre är: Med hjälp av lemma 1 kan vi skriva om a n 1 som en produkt av två faktorer a n 1 = (a 1) n a n k. k=1 Enligt antagandet i satsen så är vänsterledet ett primtal. Mycket enkla observationer som t.ex. a n 1 är varken ett primtal eller ett sammansatt tal då a = 1 bör inte anges som ett lemma eller liknande, men är just bara en observation. (Har i mitt tycke inte samma dignintet som ett lemma bör ha.) Skriver man för att formeln a n 1 = p ska stämma... menar man snarare För att a n 1 skulle kunne vara ett primtal.... Använd ej, eller. för multiplikation. Om ett tecken för multiplikation behövs kan man använda kommandot \cdot som t.ex. i 20 = Språket iövrigt. Det är ovanligt att använda personliga pronomen jag i matematisk prosa. Det gängse sättet är att använda vi (på det inkluderande sättet du, läsaren, och jag, författaren ) eller att använda passivform.

6 Använd heller kursiverad text för att framhäva ord eller fraser istället för understrykning, som är så fult! Ofta delas texten in i onödigt många avsnitt som var och en ges båda rubrik och nummer. Det ger ett splittrat intryck. Det är bättre att använda styckindelning istället. Speciellt i korta texter som denna behöver man verkligen inte numreringar av annat än t.ex. ekvationer. Läsaren kan i de flesta fallen hålla all nödvändig information i huvudet. (Senare, i projektrapporten, blir det en annan sak.) Kom ihåg att använda komma, punkt och kolon efter formler (även formler i fritstående läge) om svensk grammatik kräver så. (Tänk dig att du läser texten högt och alltså ersätter formeluttryck med ord.) Börja aldrig en ny mening med en matematisk symbol eller en formel. Omformulera istället så att meningen inleds med ett vanligt ord. Det finns även exempel på olyckligt valda rubriker, t.ex. Del 1 a = 2, där tankestrecket kan misstolkas som ett minustecken. Håll textens utseende enkel. Avstå från att använda fetstilt text om det inte är i en rubrik (eller en matematisk symbol). Många radbrytningar och nya stycken ger ett stökigt intryck. Ibland ser man att en rubrik, t.ex. Lemma, återföljs utan mellanliggande text av en sats-miljö Lemma. Det ser knasigt ut. Antingen behövs inte avsnitten och deras rubriker eller också behövs det mer text i varje avsnitt. 5. LATEX-tips. Formler, symboler och variabler skrivna i löpande text ska också skrivas i LATEX s formelmiljö. Exempelvis x = 1 istället för x=1, där man använder kommandot $x=1$. Akta er för (ofrivilliga) textindragningar precis efter formler i fristående läge! Lämna inte mellenrum efter \[...\] eller $$...$$, beroende på vad man föredrar att använda. Använd istället för, dvs. \Longleftrightarrow med stort L istället för \longleftrightarrow. (Var förövrigt försiktig med symboler i rubriker. Det är inte alltid det ser bra ut.) För att skriva en sats, t.ex.

7 Sats. Låt n beteckna ett udda heltal som är större än ett. Då har ekvationen x 2 y 2 = n (1) precis en lösning (x, y), där x, y N 0, om och endast om n är ett primtal. har jag använt följande LATEX-kommandon: \begin{sats} Låt $n$ beteckna ett udda heltal som är större än ett. Då har ekvationen \begin{equation}\label{ekv} x^2-y^2 = n \end{equation} precis en lösning $(x,y)$, där $x,y\in\boldsymbol{n}_0$, om och endast om $n$ är ett primtal. \end{sats} I preamble läggs det nödvändiga \newtheorem*{sats}{sats}, som skapar en sats-miljö med titeln Sats istället för Theorem. En motsvarande miljö för lemman kan skapas med \newtheorem*{sats}{lemma}. Här numreras lemman tillsammans med satserna (även om * efter \newtheorem gör så att man inte skriver ut satsnummer. Numrering fås genom att ta bort *.) En bevismiljö som här Bevis. Konjugatregeln ger (x y)(x + y) = n och eftersom att n är ett primtal och 0 < x y < x + y följer det att x y = 1 och x + y = n, et ekvationssystem med två ekvationer och två obekanta.... vilket skulle bevisas. fås genom kommandot \begin{proof} Konjugatregeln ger $(x-y)(x+y)=n$ och eftersom att $n$ är ett primtal och $0 <x-y<x+y$ följer det att $x-y=1$ och $x+y=n$, et ekvationssystem med två ekvationer och två obekanta.... vilket skulle bevisas. \end{proof}

8 Använd \cdots vid summor, som i a n 1 = (a 1)(a n 1 + a n a + 1), med centrerade punkter, vilket är bättre än \ldots som ger a n 1 = (a 1)(a n 1 + a n a + 1). Det senare kommandot används med fördel här: k = 1,2,..., N. De typografiskt passar ihop med placeringen av kommatecknen. Slutligen ett exempel på hur man kan förbättre utseendet på en längre beräkning. I en lösning finner vi följande: Högerledet kan omformas till att utgöra vänsterleder: HL = (a 1)(a n 1 + a n a + 1) = (a n + a n a 2 + a) (a n 1 + a n a + 1) = a n + (a n a 2 + a) (a n a 2 + a) 1 = vilket bevisar lemmat. Här har multline-miljön troligtvis använts. Bättre: Utveckling av högerledet ger (a 1)(a n 1 + a n a + 1) a n 1 = VL = (a n + a n a 2 + a) (a n 1 + a n a + 1) = a n + (a n a 2 + a) (a n a 2 + a) 1 = a n 1 vilket är vänsterledet i vår ekvation, vilket bevisar lemmat. Här har vi även tagit bort de onödiga beteckningarna HL och VL samt likhetstecknen till höger i beräkningen. Koden som använts är: \begin{align*} (a-1)&(a^{n-1}+a^{n-2}+\cdots+a+1)\\ &=(a^{n}+a^{n-1}+\cdots+a^2+a) -(a^{n-1}+a^{n-2}+\cdots+a+1)\\ &=a^n +(a^{n-1}+\cdots+a^2+a) -(a^{n-1}+\cdots+a^2+a)-1\\ &= a^n-1 \end{align*} Ampersan (&) anger hur texten riktas in i vertikal led och \\ ger radbrytning.