Barns förståelse av tal

Transkript

1 School of Mathematics and Systems Engineering Reports from MSI - Rapporter från MSI Barns förståelse av tal Hur lärare arbetar med grundläggande taluppfattning Författare Jenny Hessne och Ulrika Zetterlund Jun 2007 MSI Report Växjö University ISSN SE VÄXJÖ ISRN VXU/MSI/MDI/E/ /--SE

2 Examensarbete 10 poäng i Lärarutbildningen Vårterminen 2007 ABSTRAKT Jenny Hessne & Ulrika Zetterlund Barns förståelse av tal Hur lärare arbetar med grundläggande taluppfattning Childrens understanding of numbers How teachers work with basic understanding of numbers Antal sidor: 37 Grundläggande taluppfattning är en viktig utgångspunkt i barns matematiska utveckling. Vi ansåg därför att det var både intressant och relevant att ta reda på hur verksamma lärare arbetar med barns grundläggande förståelse av tal. Vårt syfte med undersökningen var att ta reda på hur lärare i åren F-3 arbetar med barns grundläggande förståelse av tals betydelse och antal när det gäller talen 1 till 10, vilka material och metoder de använder samt hur de följer upp att barnen har befäst kunskaperna. Genom kvalitativa intervjuer med sex lärare kom vi fram till att undervisningen ser relativt likartad ut för de olika lärarna. Förståelsen samt att utgå från barnens erfarenhetsvärld är det viktigaste. Konkret undervisning prioriteras framför abstrakt tänkande, även om det abstrakta är ett mål på längre sikt. Andra delar i undervisningen som poängteras är betydelsen av språket samt vikten av att ge barnen verktyg för att de ska kunna förklara och förstå både sina egna och varandras tankar. Sökord: Taluppfattning, språk, förståelse, tal, antal, siffror Postadress Växjö universitet Växjö Gatuadress Universitetsplatsen Telefon

3 Innehållsförteckning 1. Inledning Syfte Avgränsningar Frågeställningar Teoretisk bakgrund Taluppfattning/talbegrepp Förståelse av tal Subitizing Språkets betydelse Siffror - symboler Arbetsmetoder för talen 1 till Uppföljning och utvärdering Metod Metodisk ansats Urval Etiska principer Genomförande Resultat Presentation av intervjupersonerna Hur arbetar lärare med barns förståelse av talens betydelse och antal när det gäller talen 1 till 10? Hur och när introduceras siffrorna samt dess koppling till antal? Vilka material använder lärarna? Hur följer lärarna upp att eleverna befäster sina kunskaper? Analys Förståelse av tal, antal och siffror Språk och kommunikation Arbetsmetoder och material Uppföljning Diskussion Resultatdiskussion Metoddiskussion Slutdiskussion med slutsatser...34 Referenslista...36 Bilagor 1. Frågeguide 2

4 1. Inledning Vi har i det här arbetet valt att inrikta oss mot barns förståelse av tal - taluppfattning. Barns inträde i matematikens värld är en process som inleds vid mycket tidig ålder. Deras matematiska kompetens har sina rötter i tidiga former av matematiska begrepp som kontinuerligt byggs upp genom barnens samspel med omvärlden (Ahlberg, 1995). Att förstå tal, siffersymbolen kopplad till ett bestämt antal, är inte självklart. Matematiken finns i vår omgivning hela tiden. Grundläggande taluppfattning är något som barnen måste erfara, förstå och bli förtrogna med för att kunna utveckla sin matematiska förmåga. Malmer (1992) ser matematiken som ett byggklossämne där hon menar att klossarna bygger på varandra och en av dessa grundläggande klossar är taluppfattningen. I läroplanen för det obligatoriska skolväsendet (Lpo 94) kan vi läsa att kunskap inte är något entydigt begrepp. Kunskap kommer till uttryck i olika former såsom fakta, förståelse, färdighet och förtrogenhet som förutsätter och samspelar med varandra (Lärarnas Riksförbund, 2003, s ). Teorierna kring hur man på bästa sätt utvecklar dessa former av kunskap när det gäller grundläggande taluppfattning är många och metoderna som används ute i skolorna är kanske ändå fler. I teoridelen kommer vi att presentera olika författares definition av begreppet taluppfattning samt vilka metoder de framhåller. Genom att undersöka och jämföra vad litteraturen har att säga om taluppfattning i förhållande till hur verksamma lärare arbetar inom ämnet hoppas vi att få ytterligare bredd och djup i vår kunskap. För att begränsa oss har vi valt att fokusera på följande delar inom begreppet: barns förståelse av talens betydelse och antal när det gäller talen 1 till 10 samt hur man arbetar med kopplingen till siffersymbolerna. Vi kommer även att titta på olika material samt hur uppföljning sker. Vi vill med det här arbetet utöka vår kunskap och förståelse för hur man ute i skolans verksamhet arbetar med att introducera tal hos barnen och hur man i det här sammanhanget tar tillvara på deras erfarenheter. Ahlberg (1995) menar att, för att barn ska förstå innebörden av tal och lära sig grundläggande aritmetiska färdigheter krävs att deras erfarenheter integreras med kunskaper om tal och räkning. Vi anser att detta ämne är relevant därför att den grundläggande taluppfattningen är en av de viktigaste delarna av matematiken i skolåren F-3. Förståelsen hos varje enskilt barn har betydelse för barnets framtida utveckling av den matematiska förmågan. Vi ser också att detta arbete kan lära oss mycket inför vår framtida roll som lärare, i vårt bemötande av våra framtida elever. 3

5 2. Syfte Vårt syfte är att ta reda på hur verksamma lärare i de tidiga skolåren F-3 arbetar med barns förståelse av tals betydelse och antal när det gäller talen 1 till 10 samt kopplingen till siffersymbolerna. Vi är intresserade av vilka arbetsmetoder och material de använder. Vi vill också veta hur de följer upp att barnen befäst sina kunskaper. 2.1 Avgränsning Förståelse av tals betydelse och antal ingår i den grundläggande taluppfattningen. Taluppfattning är dock ett stort och inte helt entydigt begrepp, ibland benämns det också som talbegrepp. Olika författare beskriver innehållet i taluppfattning/talbegrepp på olika sätt och för att avgränsa vårt arbete har vi valt att arbeta med det som vi anser är grundläggande inom taluppfattning. Det vi avser med tals betydelse är att tal kan ha flera betydelser, till exempel ordningstal och antal. 2.2 Frågeställningar För att uppnå vårt syfte har vi utgått från följande frågeställningar: Hur arbetar lärare med barns förståelse av talens betydelse och antal när det gäller talen 1 till 10? Hur och när introduceras siffrorna samt dess koppling till antal? Vilka material använder lärarna? Hur följer lärarna upp att eleverna befäster sina kunskaper? 4

6 3. Teoretisk bakgrund 3.1 Taluppfattning/talbegrepp Att förstå talens betydelse är ingen enkel process. Barn går tillväga på en mängd olika sätt när de bekantar sig med tal. Taluppfattning avser enligt Magne (2002, s. 10): klassificering, ordning, serier, parbildning, grundtal, antal, ordningstal, pekräkning, talramsan, sifferkännedom, sifferskrivning, talmönster samt tiosystemet. Magne menar att taluppfattningen startar, långt innan vi blir medvetna om talen, genom mönster, klassificering, parbildning ordning och serier. Vidare anser han att taluppfattningen måste förankras i verkligheten, genom praktiska erfarenheter. Tal är abstrakta och talkunskapen hos barn ökar allteftersom de får tillfälle att prata om dessa tal. Att stifta bekantskap med mönster är en viktig grundform av matematiskt tänkande, speciellt i kunskapen om tal. Mönster inkluderar bland annat motoriska rörelser och visuella strukturer. Det finns en mängd material som kan utnyttjas vid mönsteraktiviteter men det är viktigt att läraren anpassar materialen till barnens händighet, varseblivningsförmåga och tankeverksamhet. Parbildning är ett arbetssätt att undersöka om det är lika eller olika antal i två mängder. Yngre barn har ofta svårt för detta arbetssätt om inte parbildningen läggs i två rader som är exakt parallella. Att ordna serie är ett sätt för barn att få kunskap att uppfatta lika, större än och mindre än genom att ordna föremål i asymmetriska serier. Det innebär att ordna upp en mängd föremål efter längd, massa eller volym (Magne, 2002). Talbegreppet förutsätter stor matematisk kunskap. Grundtalen har en motsvarighet inom ordningstalen. Ordningstalen är räkneord, det vill säga adjektiv, men då barnen använder sig av uttryck som Du är försten, andren, tredjen, blir de istället till substantiv. Pekräkning är då barnen fastställer antalet i en mängd genom att bestämma vilket tal i talramsan som passar till den sist pekade beståndsdelen. Pekräkningen har samband med talramsan, men varken det ena eller det andra förutsätter att barnen förstår talens betydelse. Magne (2002) beskriver talramsan som en räcka av ord som har cykliskt innehåll. Den första cykeln innehåller orden ett till och med tio och är oftast den som tar längst tid att lära in. Följande cykel består av orden elva till och med tjugo. Här finns en systematik, elva svarar mot första cykelns ett, tolv mot två och så vidare, vilket skapar en struktur för barnen. Malmer (1990) menar att barns arbete med att bygga upp talbegreppet är en omfattande process som sträcker sig hela skoltiden igenom. Hon beskriver talbegreppet i flera steg. Nedan följer en sammanfattning av hennes systematiska uppställning utifrån de olika funktioner talen har. 5

7 1. Räkneramsan Uppräkning 1, 2, 3, 4, 5 Nedräkning 5, 4, 3, 2, 1 Inlärningen av räkneramsan kan liknas vid inlärning av vilken ramsa som helst. Den saknar numeriskt innehåll. 2. Räkneorden i räkneramsan Kopplingen mellan räkneord och föremål, pekräkning. (Min hand har fem fingrar) 3. Räkneord som antal (kardinaltal) Besvarar frågan: Hur många? Förståelse för att det sist sagda räkneordet anger antalet. (Jag har plockat fem blommor.) 4. Räkneord som mätetal Besvarar frågan: Hur många enheter? Till exempel år, liter och kilo. (Karin är fem år) Har stor betydelse för att uppfatta relationer och göra kvantitativa bedömningar. 5. Räkneord som ordningstal Besvarar frågan: Vilken i ordningen? Exempelvis första, andra tredje och så vidare. (Jag har läst sidan fem, femte sidan.) 6. Räkneord som identifikation eller beteckning Inget numeriskt innehåll i räkneorden. (Nummer fem gjorde mål.) Enligt Ahlberg (Nämnaren, 2000) är barns utveckling av grundläggande talbegrepp inte endast en fråga om kvantifiering av föremål och inte heller att räkna på talraden eller att utveckla det logiska tänkandet. Det rör sig istället om att utforska olika aspekter och kvalitéer hos tal, att uppleva tal med alla sinnen. De kan få möjlighet att uppleva tal genom olika uttrycksmedel, exempelvis att rita bilder, hantera föremål och samtala om tal. Barn kan i olika uppgifter få rita bilder med sina egna förslag och sedan berätta för varandra hur de har tänkt. Läraren ges på det här sättet möjlighet att få veta hur barnen resonerat och deras uppfattning av uppgiften. I en intervjustudie med sexåringar framkom att barnens sinnliga erfarenheter har avgörande betydelse för att de ska utveckla förståelse för talens innebörd (Nämnaren, 2000). I undersökningen där barnen löser olika typer av problem visar resultaten att barnen förstår och hanterar talens innebörd på en mängd olika sätt. Trots frånvaro av manipulativt material visar det sig att de ser, hör och känner talen. De använder fem olika förfaringssätt, vilka kan sammanfattas enligt följande: 6

8 Säga räkneord Barn som använder sig av den här metoden är medvetna om att ett tal refererar till ett antal eller mängd men de vet däremot inte exakt vilken och de upplever tal som Räkneord. Uppskatta Barn som inte använder sig av någon procedur för att komma fram till ett svar uppskattar istället ett rimligt svar. De har en uppfattning av talens delhelhetsrelation, de har en oklar uppfattning om talens mängd och uppfattar tal som Omfång. Räkna Räkna på två talrader, barnen vet att de ska sluta räkna då de kommer fram till det sista talet på den ena talraden. Räkna och höra, barnen uppfattar de tal de sagt utan att använda någon procedur för att hålla ordning på talen. Räkna och se, barnen använder sig av saker i omgivningen för att hålla ordning på talen. Räkna och känna, barnen tar eller känner på saker för att få en upplevelse av talen. Räkna och använda fingrarna, det vanligaste tillvägagångssättet bland sexåringar, fingrarna kan användas på en mängd olika sätt. Strukturera Barn som strukturerar är medvetna om att tal refererar till en bestämd mängd. Tal uppfattas även som positioner i talsekvensen. När de gruppera talen genom att se, känna eller höra uppfattar de också talens del-helhetsrelation och upplever tal som sammansatta enheter. Använda talfakta Barnen ser tal som Sammansatta enheter. De behöver ingen procedur för att utföra en beräkning, de vet svaret. De erfar följaktligen talens innebörd på fyra olika sätt: Räkneord Omfång Position i talsekvenser Sammansatta enheter (Nämnaren, 2000) I sin rapport Lusten att lära med fokus på matematik (2003) menar Skolverket att det pedagogiska arbetet i förskolan stärkts i samband med att de fick en egen läroplan, Lpfö 98. Lärarna i förskolan försöker att ta tillvara på de spontana situationer som uppstår i verksamheten och aktiviteter med matematisk anknytning. De försöker möta barnens intresse för siffror och antal i samband med den dagliga verksamheten. Om matematiken lyfts fram 7

9 som ett naturligt inslag i verksamheten får barnen lära sig att matematik är en del av vardagen och inte bara ett ämne där de arbetar i en mattebok. Lärare med ett medvetet förhållningssätt till barnens lärande av matematik tar upp matematisk begreppsbildning i verksamheten genom att man till exempel räknar, klassificerar, benämner och mäter. Genom att barn får erfara begrepp, i återkommande situationer, på det här sättet utvecklar de sin matematiska förståelse. I, för barnen, meningsfulla sammanhang uppstår nya utmaningar som i sin tur leder till att de får tilltro till sitt eget tänkande. Under de tidigaste skolåren hålls barnens glädje och lust att lära mycket levande genom varierande metoder och läromedel med konkret och omväxlande innehåll (Skolverket, 2003). De får möjlighet att aktivera alla sinnen precis som förespråkas i övrig litteratur vi tagit del av. 3.2 Förståelse av tal Redan när ett barn föds har det en förmåga att uppleva och få kunskap om sig själv och sin omvärld. Barnet ingår i en dialog med omgivningen och genom kommunikation skapar barnet förståelse för olika fenomen i omvärlden. Doverborg och Pramling Samuelsson (Nämnaren, 2000) menar att barn redan i tvåårsålder, innan de kan räkna, har förmågan att skilja mellan grupper av två eller tre föremål. När det gäller fler än tre kallar barnen det oftast för många. Ytterligare något år senare börjar barnen visa antal genom att hålla upp fingrarna. De visar till exempel hur gamla de är eller hur många saker de har. Enligt Magne (2002) påbörjar barn sina erfarenheter av taluppfattning redan under sina första levnadsår. De kan urskilja stort och smått och i viss mån skilja mellan antal i mängder av föremål. Därefter klassificerar de föremål genom att ordna dem i olika grupper. Att klassificera innebär att barnen jämför och observerar föremål och grupper av föremål eller händelser och urskiljer likheter och olikheter, efter vilka de kan klassificera. De kan lägga ihop saker i grupper efter tillhörighet. Att klassificera kan också betyda att barnen undersöker hur de kan skilja mellan olika objekt eller hur de hör ihop. Magne (1998) liknar taluppfattning vid ett pussel där bit för bit fogas samman. Att uppfatta små antal och kunna urskilja dem i olika mönster är dock inte samma sak som att ha ett utvecklat ett universellt antalsbegrepp. Doverborg och Pramling Samuelsson (Nämnaren, 2000) hänvisar i sin text till Gelman & Gallistel (1978) som menar att, för att kunna säga att ett barn har en antalsuppfattning måste deras förståelse omfatta fem principer summerade enligt följande: 8

10 1. Principen om ett till ett korrespondens, jämförelse av antalet föremål i två mängder genom att para samman dem två och två. 2. Principen om den stabila ordningen, konsekvent användning av en och samma sekvens av räkneord vid uppräkning. 3. Kardinaltalprincipen, när barn förstår att det sista uppräknade räkneordet anger antalet föremål i den uppräknade mängden. 4. Abstraktionsprincipen, alla föremål i en väl avgränsad mängd kan räknas oavsett sort av föremål. 5. Principen om godtycklig ordning, räkning av en mängd föremål kan påbörjas var man vill men inget föremål får räknas mer än en gång. 3.3 Subitizing I litteraturen beskrivs på många sätt förmågan att se antal utan att räkna en viss mängd. Detta kallar man subitizing. Ahlberg (Nämnaren, 2000) menar att barn har förmågan att fastställa antal redan innan de kan räkna. Barn uppfattar små grupperade mängder. Detta omedelbara uppfattande av tal sker genom att höra, känna och se. I vardagen använder vi denna förmåga till exempel när vi uppfattar antalet prickar på en tärning eller när vi grupperar streck eller andra föremål på olika sätt. Neuman (1989) menar att det är viktigt för barn att kunna se tal direkt utan att behöva räkna efter och då inte bara de tal som delar upp talet tio utan även de tal-kamrater som delar upp alla bastalen i vårt decimalsystem. Hennes erfarenhet är att om barnen kunde lära sig dessa del-del-helhetsrelationer inom alla de första positiva heltalen skulle det underlätta för den vidare förståelsen av de fyra räknesätten. Neuman delar upp talen i 25 möjliga par-delar (Neuman, 1989, s. 52) 9

11 De här kombinationerna av tal kan presenteras på en mängd olika sätt eftersom talen följer en viss struktur när det delas i två delar. Barnen får en möjlighet att tänka både bakåt och framåt. Neuman menar att barn som omedelbart för sin inre blick kan se vilken som helst av kombinationerna av talet har förutsättningar för att kunna se även del-delhelhetskombinationer även inom större tal. 3.4 Språkets betydelse I kursplanerna för matematik (Skolverket, 2007) står det att: Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven utvecklar sin förmåga att förstå, föra och använda logiska resonemang, dra slutsatser och generalisera samt muntligt och skriftligt förklara och argumentera för sitt tänkande. Det står även att vi ska sträva efter att våra elever inser värdet av att kunna använda matematikens språk, symboler och uttrycksformer. I strävan mot kursplanens mål är språket och kommunikationen avgörande för att eleven ska utveckla matematisk förmåga. Malmer (1990) skriver att det är av stor vikt att tala matematik. Samtalen ska föras mellan lärare och elev men också elever emellan. Språket kan ses som ett viktigt medel för att bygga upp och utveckla matematiska begrepp. Genom att formulera tankarna och egna frågor blir det lättare att se svaret. Språket har därmed också stor betydelse för att barnen ska lära sig. Hon menar också att dialogen mellan lärare och elev har ett diagnostiskt värde. Hur barn uttrycker sig och vilka ord barnet väljer att använda avslöjar en hel del om förståelsen för det aktuella matematiska problemet. Malmer påpekar också att man som lärare ska tänka på hur man bemöter felaktiga svar och använda dessa svar i positiv riktning för att utöka diskussionen och försöka förstå bakgrunden till svaret. Barn svarar inte fel, de svara på en annan fråga än den vi ställde och genom att agera positivt får barnen en större tilltro till sitt eget tänkande. Även Olsson (Nämnaren, 2000) menar att bemötandet är viktigt. Barn som får höra att de tänker fel blir osäkra och slutar till slut att tänka själva. Istället ställer de frågor om hur de ska göra. Hon anser precis som Malmer att barn alltid har rätt. Deras svar och tankar är riktiga utifrån deras egna begrepp och det gäller att vi förstår deras tankar. För att barn ska få prata matematik och få chans att reflektera över sitt tänkande är det viktigt att de får möjlighet att arbeta tillsammans. Sterner (Nämnaren, 2000) hänvisar till Vygotskijs tankar om språkets betydelse för all inlärning. Språket leder barnets utveckling framåt. Språket och tanken utvecklas i en ständig dialektik och en av hans teser är att det är interaktionen, det sociala samspelet som är avgörande för att skapa nya tankestrukturer och 10

12 utveckla begrepp. Sterner menar vidare att språket och förståelsen för ordets innebörd är nödvändigt för att barnen ska utveckla ett abstrakt tänkande. Det abstrakta tänkandet i sin tur innebär förmågan att överföra tankar till rörelse, bild, talat eller skrivet språk. Att språkligt beskriva och kommunicera kring sina upptäckter och erfarenheter är viktigt för att så småningom kunna beskriva tankarna symboliskt. För oss som lärare är det viktigt att tala med barnen och lära oss lyssna till dem. På så sätt får vi reda på vad barnen kan och i vilket sammanhang som de har utvecklat sin kunskap. Johnsen Høines (2002) skriver att det är betydelsefullt att barnen i första hand får kommunicera på sitt eget språk och att de nya begrepp som vi vill att barnen ska lära sig bör ha anknytning och associationer till det som de redan känner till. Barnens verklighet ska hela tiden vara utgångspunkten för att de inte ska bygga upp två begreppsvärldar, en för skolan och en för fritiden. Räkneorden är tidigt en naturlig del av barnens språk och de använder dem innan de byggt upp förståelsen för vissa talbegrepp. Därför är det viktigt att inte luras att tro att barnen har större förståelse för talen än vad de verkligen har. Men genom att samtala med barnen får vi en bra utgångspunkt för vår uppgift att göra dem mer medvetna om vad orden innebär. Genom att arbeta med språket som utgångspunkt för matematiken kan man, enligt flera författare, nå många fördelar, se till exempel Ahlberg (Nämnaren, 2000), Johnsen Høines (2002), Malmer (1990), Olsson (Nämnaren, 2000), Skolverket (2003). I det sociala samspelet i klassrummet finns utrymme för ett varierat arbetssätt och nya arbetsformer. Därmed får barnen möjlighet att tillägna sig matematiken på flera sätt och genom olika metoder. Det blir möjligt att möta barns olikheter i ett klassrum där barnen respekterar och tar varandras tankar på allvar. Genom kommunikation och öppenhet blir det lättare att se det meningsfulla i matematiken och undervisningen blir mer lustfylld och engagerande för alla. 3.5 Siffror - symboler De siffror som vi använder är endast ett av flera sätt att använda symboler för att ange antal. Vårt talsystem har utvecklats under lång tid och föregåtts av ett flertal andra sätt att ange antal. Johnsen Høines (2002) förklarar talbegreppet och talsystemets historiska utveckling genom att jämföra det med små barns sätt att ange antal. Hon menar att på samma sätt som små barn anger antal med fingrarna kan man anta att man började räkna redan i förhistorisk tid. Det finns arkeologiska fynd där man har ristat skåror på vargben och skårorna är grupperade i grupper om fem. Detta tror man till exempel har gjorts för att räkna ett antal djurhudar. Redan här finns den matematiska idén om ett till ett principen, det vill säga en 11

13 skåra representerar en del i mängden. Att skårorna delats i grupper är ett första tecken på en utveckling av ett talsystem som bygger på grundtalet fem. Grundtalet fem har också att göra med handens fingrar som ett kroppsligt uttryck för antal. Enlig Johnsen Høines (2002, s. 13) har även Vygotskij sagt att de första skrifttecknen kan ha varit partiella avbildningar av ett kroppsspråk. Johnsen Høines (2002) skriver vidare att den historiska förklaringen till att vi fick ett siffersystem var att vi var i behov av att få en översikt av större mängder och en möjlighet att kunna skriva detta. Begreppen siffra och tal blandas ofta samman och används i många sammanhang synonymt med varandra. Enligt Malmer (1990) är det naturligt att barn uppfattar siffra och tal som samma sak. De förväxlas även av oss vuxna och hon pekar på exempel i massmedia där man talar om publiksiffran och dödsiffran då egentligen ordet tal är det korrekta. Hon menar att det är ett språkbruk vi förmodligen tvingas vänja oss vid, men vi får inte låta det ge upphov till missförstånd. Ofta förstår barn inte vad de olika symbolerna representerar utan siffrorna är bara krumelurer utan innehåll. Det är viktigt att barnen lär sig hantera begreppen siffra och tal för att kunna gå vidare i sin matematiska utveckling. 3.6 Arbetsmetoder för talen 1 till 10 Matematik finns överallt och det är av stor betydelse att vi utnyttjar vardagliga situationer och därigenom hjälper barn att utveckla en grundläggande förståelse för matematiska begrepp. På ett sätt, som verkar helt spontant för dem, använder barn gärna fingrarna när de börjar förstå tal och räkning. Utifrån den insikten har Neuman (1989) utformat en metod för att räkna med fingertal. Neumans metod går ut på att fingrarna ersätter räkneorden, vilket betyder att barnen inte behöver räkna fingrarna utan kan avläsa antalet i talet direkt. De tio första heltalen 1 till 10 är representerade av en fingergrupp som sträcker sig till och med det finger som har talets namn. Fingertal blir helt enkelt talsymboler och barnen ser och uppfattar talen i stället för att räkna. Neuman (1989) menar att barnen hittar fingertalens struktur med det odelade femtalet. Det odelade femtalet är alltså den första handen som liknas vid den romerska siffran V som också är odelbar, eller möjligtvis utbytbar mot fem ettor. Efter ett tag behöver barnen inte längre räkna, de bara ser på sina fingertal och löser uppgifter direkt. Målet är enligt Neuman att fingertalen så småningom ska bli ett tankeverktyg och att barnen kan se den struktur och de uppdelningsmöjligheter som talen 1 till 10 har. (Se Neumans uppdelning av tal sidan 9.) 12

14 För att låta barnen upptäcka matematiken på egen hand i undervisningen beskriver också Neuman (1989) arbetet med Landet Längesen, där inga siffror, räkneord, måttband, linjaler, vågar, mått eller pengar finns. Genom att utgå från helheten, omfånget, fick barnen i en analytisk process och genom lek lösa problem tillsammans och därmed också skapa matematik med egna symboler och tecken. Magne (2002) uppmärksammar att det i förskolan ges tillfällen till stimulans när barnen själva börjar fråga och fundera kring former och tal. Han menar vidare att det är barnen som ska stå i centrum och att det är en självklarhet att utgå från deras individuella behov. Vuxnas bemötande gentemot barns intressen har stor betydelse. Nedan följer exempel på bra bemötande. Vi kan alla ge barn ökad lust att söka vidare genom: Att resonera med barnen om vardagsproblem så att de lär sig språkets logik. Att erbjuda barnen material som gör att de jämför former och sedan ordnar och sorterar saker. Att barnen upptäcker och formar mönster, först fysiska mönster, sedan geometriska mönster och talmönster. Att inspirera barn så att de bygger, formar och ritar. Att resonera om likheter och olikheter. Att låta barnen jämföra antal, räkna saker och säga talramsan. Att stimulera barnen att fundera på avstånd, tyngd, volym och tid. (Magne, 2002, s. 15) Enligt Magne (2002) tillägnar sig barnen matematisk kunskap genom ett aktivt lärande. Den konkreta erfarenhet lärarna presenterar i vardagsnära problem gör att barnen känner sig bekanta med resonemang om tal och former. Ahlberg (1995) poängterar precis som Magne att arbetets utgångspunkt bör vara barnens erfarenhetsvärld, vilket betyder att barnens egna upplevelser och erfarenheter skapar innehållet i undervisningen. Ahlberg (Nämnaren, 2000) menar också att det är väsentligt att barn får möta tal i många olika sammanhang eftersom de har en mängd olika strategier för att utveckla en förståelse för talens innebörd. Genom att utnyttja de sinneliga erfarenheterna och se, höra samt känna talen kan barn simultant uppleva olika aspekter av tal och uppfatta dem i dess olika bemärkelser - sammansatta enheter och positioner i talsekvensen - och därigenom utveckla sin förståelse för talens delhelhetsrelation. 13

15 Inledningsvis sker uppbyggnaden av talbegreppet genom bland annat laborativa övningar och jämförelse av antal. Malmer (1990) menar att det måste finnas en tydlig målsättning med det material och de arbetsuppgifter barnen får. Hon anser vidare att symbolerna införs onödigt tidigt i många fall. Hon förespråkar ett laborativt och undersökande arbetssätt som lättare kan anpassas efter barnens varierande förutsättningar. Hon delar Ahlbergs uppfattning om att barns möjligheter att bilda hållfasta begrepp är större ju fler sinnen de får utnyttja. Det är upp till oss lärare att försöka invänta och möta eleverna. Malmer poängterar också vikten av att vi etablerar en kommunikation i undervisningen som gör att barnet förstår och uppfattar de ord vi använder. Det är lätt att man talar om för eleverna hur de ska göra istället för att låta dem undersöka på egen hand. Barn som under sina första skolår uppmuntras att pröva sig fram, och därigenom även får ett bättre självförtroende, disponerar i allmänhet över en avsevärt större repertoar av lösningsstrategier (Malmer, 1990). Malmer (1990) tar även upp olika faktorer som har betydelse för barns inlärning, möjligheter och hinder. Barn kan tydligt uppleva att läraren inte verkar nöjd med hur de är eller vad de gör. En del barn kan även påverkas av en besvikelse över att skolan inte lever upp till hans eller hennes förväntningar. Det kan i extrema fall skilja 4-5 skolår när det gäller mognadsnivån i en klass. Här är det stor risk att det uppstår svårigheter speciellt om lärarens ambition är att introducera undervisningsmaterial i samma takt för alla elever. God kunskap om barns inlärningsmetoder och goda ämneskunskaper är två viktiga faktorer som en lärare bör ha. Ett par av de punkter som enligt Skolverkets granskningsresultat kan höja undervisningens kvalitet och som känns relevanta i det här sammanhanget är att den i högre grad karaktäriseras av: Gemensamma samtal som utvecklar begreppsförståelse, matematiskt tänkande och olika val av strategier för att lösa matematiska problem. Reflektion och samtal kring olika sätt att tänka kring och lösa matematiska problem, i syfte att stärka elevens självtillit, självvärdering och kompetensupplevelse. Ett relevant och begripligt innehåll. Större utrymme för fantasi, kreativitet och nyfikenhet. Uppgifter som utmanar, både läroboksbaserade och hämtade från autentiska situationer. Fler inslag av praktiska tillämpningar och konkreta upplevelser av den abstrakta matematiken. Fler representationsformer än text som appellerar till fler sinnen och som skapar olika möjligheter till lärande, förståelse och upplevelser av att lyckas och som utgår från elevers olika behov. (Skolverket, 2003, s ) 14

16 3.7 Uppföljning - utvärdering Enligt Pramling Samuelsson och Sheridan (2006) tjänar utvärdering ingenting till om vi inte tar barnens perspektiv. Vi måste tolka och försöka förstå hur barnen tänker. De menar att enda sättet att göra detta på är att observera och samtala med barnen och därigenom få dem att uttrycka sig i handling och tanke. Det är först då vi kan se vad ett barn har förstått av innehållet inom ett berört område. Uppföljning, utvärdering och dokumentation är till för att hjälpa lärare att möta barn i deras lärande. Matematik är ett ämne där man i stor utsträckning mäter resultat, man fokuserar ofta på rätt eller fel. Malmer (1990) menar att det inte är själva svaret som är det viktigaste utan den processen som lett fram till svaret. Om läraren använder sig av en bedömningsmodell där fokus läggs på resultatet kan det leda till att barnens logiska tänkande och kreativitet hämmas och att de istället för att försöka förstå matematik kopierar och memorerar fakta. Utvärdering och återkoppling bör också innebära att barn får tillfälle att visa vad de lärt sig och även dela med sig av den kunskapen för en gemensam kunskapsuppbyggnad, till klasskamrater och läraren. Detta är något som enligt Skolverket borde ha avsevärt mer medvetet utrymme i verksamheten, speciellt i matematik (Skolverket, 2000). PRIM-gruppen (Skolverket, 2000) har utvecklat ett analysschema inom ämnet matematik. Analysschemat finns i två varianter, vi har här valt att fokuserar på det som är utarbetat för åren före skolår 6 och som behandlar matematisk begreppsbildning. Här återfinner vi ett material vars syfte är att stödja lärare med att analysera barns matematiska kunnande. Det är inte avsett att fungera som ett utvecklingsschema som följer en förväntad inlärningsordning utan syftet är att kunna se vilka kunskaper barnet har och hur de visar sina kunskaper. Man menar att analysen bör inriktas mot moment som till exempel, om barnets förmåga är situationsbunden eller om det visar sin kunskap i olika situationer samt om det är förtroget med ett visst begrepp på olika sätt i olika sammanhang. Inom begreppet taluppfattning används bland annat utgångspunkter som till exempel uppfattning om antal, räkneord som ordningstal samt uppdelning av tal. 15

17 4. Metod 4.1 Metodisk ansats Vi har valt att göra intervjuer för att vi vill ta reda på hur den intervjuade tänker och känner. Det finns olika sätt att göra intervjuer. Det kan vara korta eller långa intervjuer, det kan vara parintervjuer eller gruppintervjuer. Intervjuerna kan också ske via telefon eller genom ett möte. Vi har valt att träffa våra intervjupersoner personligen och en och en eftersom samtalet och mötet mellan oss och intervjupersonen skapar goda förutsättningar för att förståelsen ska bli god (Kylén, 2004). Våra intervjuer är kvalitativa. När det gäller kvalitativa intervjuer riktar vi vårt intresse mot den intervjuades ställningstaganden. Genom att låta intervjun röra sig i olika riktningar får vi kunskap om vad intervjupersonen upplever vara relevant och viktigt. I kvalitativa intervjuer kan vi i relativt stor utsträckning avvika från intervjuguiden vi har formulerat. Vi har då möjlighet att ställa följdfrågor till de svar vi får av våra informanter. Kvalitativa intervjuer är på det här sättet flexibla och vi kan forma intervjuerna efter viktiga frågor som kommer upp under intervjun. Syftet med kvalitativa intervjuer är att få fylliga och detaljerade förslag och en person kan intervjuas flera gånger vilket vi upplever som en fördel om det dyker upp ytterligare frågor under arbetets gång (Bryman, 2002). Vi har lagt upp våra intervjuer på ett semistrukturerat sätt där vi använder oss av en frågeguide med specifika teman som ska behandlas. I semistrukturerade intervjuer behöver inte frågorna komma i samma följd och det finns utrymme för följdfrågor som anknyter till temana i guiden. Fördelen med semistrukturerade intervjuer är att intervjuperson har möjlighet att formulera sina svar på sitt eget sätt (Bryman, 2002). När vi gör intervjuerna är vi medvetna om att situationen påverkar svaren. Relationen mellan oss och intervjupersonen påverkar men också faktorer som ålder och kön samt hur situationen byggs upp (Kylen, 2004). Vår avsikt är att spela in intervjuerna på band för att sedan skriva ut dem. Genom att spela in intervjuerna undviker vi att förlora intervjupersonernas egna formuleringar. Inspelningen ökar också möjligheterna att göra en detaljerad analys (Bryman, 2002). I vår undersökning anser vi att validiteten, som avser värde och relevans, är god. Vi undersöker det som vi avser att undersöka och vi anser att tillsammans med litteraturen har vi goda möjligheter att få en trovärdig bild av det som vi avser undersöka. Reliabiliteten, som anger tillförlitligheten och säkerheten i svaren, anser vi vara något lägre eftersom vi ska använda oss av semistrukturerade intervjuer med utrymme för intervjupersonerna att ge 16

18 subjektiva svar. Dock ska vi använda samma frågeguide vid alla tillfällen och planerar att utföra alla intervjuer på liknande sätt. Vi tror att svaren och därmed även resultatet skulle bli de samma om vi gjorde om intervjuerna vid ett senare tillfälle. 4.2 Urval Vi har valt att intervjua sex verksamma lärare, tre lärare var. Två av lärarna arbetar på samma skola medan övriga arbetar på olika skolor och under olika förutsättningar. Gemensamt är att alla arbetar inom åldersgruppen F-3. Urvalet är inte slumpmässigt utan har skett genom de kontakter som vi fått under vår verksamhetsförlagda utbildning samt genom kontakter vi etablerat då vi vikarierat ute i verksamheterna. Eftersom urvalet är subjektivt har vi inte någon avsikt att dra några generaliserande slutsatser. Det resultat som vi får fram gäller för de här intervjupersonerna vid det här tillfället. Lärarna som vi intervjuar har olika utbildning, de flesta har dock den äldre utbildningen. Några av pedagogerna har lång erfarenhet av undervisning och någon har undervisat i cirka 10 år. Vi kommer att presentera våra intervjupersoner närmare i resultatavsnittet Etiska principer Frivillighet, integritet, konfidentialitet och anonymitet är grundläggande etiska frågor för personer som är inblandade i forskning och undersökningar. Vi har inför våra intervjuer tagit del av det Bryman (2002) tar upp om etiska principer. Informationskravet innebär att vi ska informera berörda personer om undersökningens syfte, att deltagandet är frivilligt samt att de har rätt att avbryta detta deltagande om de så önskar. De har även rätt att ta del av undersökningens olika moment. Samtyckeskravet betyder att deltagarna själva har rätt att bestämma över sin medverkan. Konfidentialitetskravet innebär att personer som utgör en del i undersökningen ska behandlas med största möjliga konfidentialitet. Nyttjandekravet betyder att den information som samlas in om enskilda personer endast får användas inom forskningsändamålet. 4.3 Genomförande och bearbetning Inför vår undersökning utformade vi en gemensam frågeguide. Vid utformningen av den använde vi oss av Brymans (2002) grundläggande råd. Han menar bland annat att man bör skapa ett visst mått av ordning i de aktuella temana så att frågorna följer varandra på ett logiskt sätt. Man bör också formulera sina frågor med syftet att få svar på undersökningens frågeställningar. Att inte ställa ledande frågor och använda ett begripligt språk är andra råd 17

19 Bryman anger. Han poängterar också vikten av att fråga om bakgrundsfakta för att kunna sätta in personens svar i ett sammanhang. Inför intervjuerna tog vi kontakt med personerna som vi var intresserade av att intervjua. Vi informerade om vårt syfte med undersökningen samt om vilka frågeställningar vi var intresserade av att få svar på. Vi talade också om att intervjuerna skulle spelas in på band, men att materialet skulle hanteras konfidentiellt och att de som intervjupersoner skulle vara anonyma. Intervjuerna ägde rum på platser som intervjupersonerna valt ut. Samtliga intervjuer genomfördes på intervjupersonernas respektive skola. Vi såg till att det var platser där vi kunde sitta i lugn och ro utan att bli störda. Vi hade ingen tidspress utan hade i samråd med intervjupersonerna beslutat att intervjuerna fick ta den tid som krävdes. Vår strävan var att intervjusituationen skulle vara så naturlig och trivsam som möjligt. För att vi båda skulle kunna ta del av varandras intervjuer skrev vi ut dem noggrant. Vid bearbetningen tittade vi på likheter och skillnader i svaren och försökte hitta ledord och synpunkter som var gemensamma för flera intervjupersoner. I resultatredovisningen följde vi de frågeställningar som vi utgick ifrån för att kunna uppnå vårt syfte. Vi har valt att redovisa vissa citat, som vi tycker är relevanta, från intervjupersonerna. I analysen har vi jämfört våra intervjupersoners tankar och svar med vad litteraturen och författarna säger. I både resultatredovisningen och analysen benämner vi våra informanter ibland som intervjupersoner och ibland som lärare. 18

20 5. Resultat Vi inleder resultatavsnittet med en presentation av våra intervjupersoner. Därefter redovisar vi de delar av intervjuerna som vi anser relevanta i förhållande till vårt syfte och våra frågeställningar. 5.1 Presentation av intervjupersonerna Lärare A är en kvinna som har arbetat som lärare i 32 år. Hon tog examen I huvudsak har hon arbetat i åldrarna F-3. Hon är utbildad till klasslärare för lågstadiet och hade in sin utbildning tillvalsämnena svenska och bild. Efter examen har hon gått kompletterande fortbildningar inom matematik och naturkunskap, 10 poäng och ytterligare 5 poäng i matematik samt 5 poäng specialpedagogik. Hon är intresserad av språk och kommunikation och ser matematiken som ett kommunikationsämne där man genom språket får en möjlighet att förklara och förstå världen. I dag arbetar hon som klasslärare i en liten skola på landsbygden och klassen som hon har är åldersblandad med elever ur år F-3. Lärare B är en kvinna som har arbetat som lärare i 20 år. Hon tog examen 1987 som lågstadielärare. Utbildningen var samordnad och man läste periodvis tillsammans med förskollärare och lärare för senare år. Hennes utbildning inom matematik är den som ingick i lärarutbildningen, men hon har ett stort intresse för ämnet. Det grundar sig bland annat i att hon under sin egen skolgång upplevde matematiken som trist, tråkig och svår och därför tycker hon att det är spännande och intressant att följa barnens utveckling av förståelse och lust inför ämnet. Under åren har hon arbetat både åldershomogent och åldersblandat. I dag arbetar hon i en åldersblandad klass med elever från år 1-3. Skolan har drygt 400 elever och den ligger i en mindre stad. Lärare C är en kvinna som först utbildade sig till barnskötare och blev klar Därefter vidareutbildade hon sig till förskollärare och tog examen Sedan dess har hon arbetat inom förskolan och under många perioder har hon haft ansvar för sexåringarna då de ännu var kvar i förskolan. Hon har läst tre 5-poängskurser efter examen, men ingen i ämnet matematik. Däremot har det ingått en del kurser i arbetet och hon upplever att matematiken har fått en mycket större betydelse och plats i förskolan de senaste fem-sex åren. Sedan drygt ett år tillbaka är hon lärare i en liten förskoleklass med sexåringar. Skolan ligger på landet och har totalt ett 50-tal elever. Lärare D är en kvinna som arbetat som lärare i 32 år. Hon tog examen 1975 och hade då läst förskollärarutbildningen i Borås. Utbildningen var inte speciellt inriktat mot matematik 19

21 men hon har senare gått diverse fortbildningar genom skolans verksamhet. Just nu arbetar hon i en förskoleklass där de, i matematiken, nivågrupperar barnen efter hur långt de har kommit i sin kunskapsutveckling. Hon framhåller vikten av variation i undervisningen, att barnen får arbeta mycket praktiskt och använda alla sinnen. Skolan är belägen i ett mindre samhälle och barnen i den här enheten är år F-5 samt fritidshem. Skolan har vidare en enhet för år 6 samt en enhet för senare skolår. Lärare E är en kvinna som arbetat som lärare i 35 år. Hon tog examen hösten 1970 och hade då läst grundutbildning för år 1-3. I den ingick svenska och matematik och sedan fick man välja till kurser för år 4 om man ville. Hon har vidareutbildat sig genom en högskolekurs på 10 poäng, uppdelad i två etapper, inom ämnet matematik. Enligt henne själv innebär detta att hon byggt på och fått lite nyare rön. Hon framhåller vikten av att prata matematik samt att rita räknesagor och använder sig mycket av konkret material. Just nu delar hon tillsammans med en annan lärare en klass med 25 elever i år 1. Skolan hon arbetar på har två enheter och i vardera enheten finns förskoleklass, år 1-4 samt fritidshem. Lärare F är en kvinna som arbetat som lärare i 9,5 år. Hon tog sin examen i december 1995 och hade då läst grundskolelärarutbildningen, 1-7 svenska/so, i Falun. Hon har inte vidareutbildat sig efter sin examen men känner att det är något hon gärna skulle vilja göra. Hon har däremot gått fortbildning genom skolan och är väldigt inspirerad av Arne Tragetons metod att arbeta helt med datorer under första läsåret. Hon anser att mycket av matematikundervisningen i skolan går till att forma siffror. Hon har provat andra metoder som till exempel att låta barnen stämpla siffrorna istället för att skriva dem, hennes dröm är att få prova på Tragetons arbetssätt. Hon är nu verksam i år 1, på samma skola som lärare D. Arbetslaget delar på två klasser med 35 elever totalt. 5.2 Hur arbetar lärare med barns förståelse av talens betydelse och antal när det gäller talen 1 till 10? Flera av de lärare som arbetar i år 1-3 anser att det mest grundläggande arbetet med barns förståelse av talens betydelse och antal numera är gjort redan i förskoleklass. När barnen börjar år 1 upplever lärarna att de allra flesta redan har en viss antalsuppfattning. Ja, vi drar ju igång på en mycket högre nivå nu än vad man gjorde för femton år sen. Då började vi mycket lägre, nu kan de ju siffrorna, siffersymbolerna till tio och ramsräkna till tio. Det kunde ju inte alla förr, så det har hänt mycket där. Lärare E 20

22 Men sen upplever jag att det här gjorde man mycket mer förr. Nu har ju förskoleklass tagit över mycket av det, att man introducerar siffror och sånt. När de kommer till skolan har de flesta passerat det här stadiet. Lärare F Även de intervjupersoner som arbetar i förskoleklass delar denna uppfattning. I förskoleklass har man planerad matematikundervisning, där man kontinuerligt arbetar med tal och antal. Flera av våra intervjupersoner använder sig av någon form av fördiagnos, för att bilda sig en uppfattning om barnens kunskapsnivå inom matematiken. Många uppger också att de använder praktiska och vardagliga moment för att upptäcka var barnen befinner sig. Lärare A berättar att hon brukar försätta nya barn i en praktisk situation genom att till exempel hälla ut byggklossar och ställa en fråga till barnen om hur många klossar det kan vara. Därefter inväntar hon barnens egna förslag och låter dem få den tid de behöver för att komma fram till olika lösningar och strategier för att hålla reda på hur många klossar som är räknade. Det hela sker genom en laborationsfas där läraren försöker vara så lite delaktig som möjligt för att få tid att iaktta barnens resonemang och tankar. Man måste ha en mix av formella diagnoser och ett iakttagande öga och försätta barnen i situationer där man uppmanar till matematiska resonemang. Det är viktigt att jag som pedagog försöker vara tyst när barnen tänker. Lärare A Gemensamt för alla är att de använder sig av olika sinnen i undervisningen, då främst syn, hörsel och känsel. Olika tillvägagångssätt som intervjupersonerna nämner är att använda sig av plockmaterial som på ett konkret sätt ger eleverna en uppfattning om olika antal och relationen mellan antalen. Barnen får till exempel leta saker i rummet och hämta olika antal av något eller jämföra och para ihop antal. De arbetar också med matematik i andra miljöer än i klassrummet. Lärare D nämner till exempel utematematik där man är ute i skogen och reder ut olika matematiska begrepp som tjock, smal, lång och kort. De som har svårt med det här abstrakta, de måste ju se. Det är viktigt att de känner och ser det här konkreta, hela tiden. Lärare E 21

23 Man har en vinst i att laborera med alla talen på en gång för det är då man får förhållanden mellan talen. Det är då man märker att två är hälften av fyra, men fyra är hälften så mycket som åtta. Man måste närma sig talen från många olika håll. Lärare A De flesta av våra intervjupersoner påpekar vikten av att utgå från barnens erfarenheter och bygga vidare därifrån. Detta verkar vara något som lärarna tycker är självklart. Det praktiska och konkreta är viktigt för oss, och att sedan bygga vidare på det som barnen redan kan. Jag tror inte man kan gå vidare om man inte har förståelsen. Lärare C Flera intervjupersoner talar också om att fånga matematiken i vardagen och att ta vara på de situationer som uppstår. Matematiken finns överallt och de nämner tillfällen då de till exempel räknar antalet familjemedlemmar, läser av almanackan, räknar ut hur lång tid det är kvar till ett visst tillfälle och räknar antal och pengar vid vardagliga situationer som till exempel pantning av burkar. Att utgå från barnens verklighet, det är sånt som vi gör ständigt. Man kanske har planerat en grej och sedan kanske man genomför något helt annat. Sedan kan man ju ta upp någon del man har planerat, sen tar man upp det som barnen har pratat om också. Det är ju jätteviktigt för då blir det mycket roligare för dem. Lärare D När det gäller metoder nämner alla våra intervjupersoner på något sätt det praktiska, laborativa och konkreta materialet. Gemensamt är att de prioriterar förståelsen som barnen uppnår när de arbetar konkret, gärna med hela kroppen. Lärare F tycker att lite och ofta är viktigt. Genom repetition och korta intervall blir barnen säkra innan de går vidare till något nytt. Jag tror på att jobba praktiskt, engagera hela människan. Den som inte lär sig av att hoppa, kanske lär sig av att sitta och plocka i lugn och ro. Det måste finnas variation för att alla ska hitta sitt sätt att lära. Lärare B Flera intervjupersoner påtalar vikten av att ge eleverna möjlighet att utveckla flera olika strategier för att lösa matematiska uppgifter. Barnen ska kunna prova olika sätt för att komma 22

24 fram till en lösning. Metoden är att komma åt barnens tankar och bygga vidare på hållbara strategier, säger lärare A. Lärarna pratar också om att arbeta med öppna frågor där det inte finns något rätt eller fel svar. Här finns en större möjlighet att individualisera och anpassa uppgifterna efter elevens egen nivå. Lärare E arbetar mycket med räknesagor både egna räknesagor och sagor som redan är förberedda. Vinsten med räknesagorna är enligt henne att man ser barnens utveckling samt att man når barnen där de befinner sig. Sagorna blir föremål för meningsfulla matematiska resonemang. När man gör räknesagor märker man ju också olika nivåer på dem. Man ser ju så väl om de fattat eller ej när de gör räknesagorna. Lärare E Att se talen utan att räkna är ett tillvägagångssätt som våra intervjupersoner stävar efter att barnen ska tillägna sig. Flera menar att denna något abstraktare nivå är en god förutsättning för barnens fortsatta matematiska utveckling. Att se talbilder är något som barnen har en del erfarenhet av sedan tidigare, till exempel genom tärningen. Tärningen och dess talbilder är också något som flertalet intervjupersoner arbetar vidare med i matematikundervisningen. Lärare A och E talar också om fingertalen och barnens möjlighet att använda fingrarna i den grundläggande förståelsen av antal. För dessa barn blir fingertalen så småningom till abstrakta tankeverktyg. Intervjupersonerna är ense om att målet med talbilder är att barnen ska komma ifrån att alltid behöva räkna antalen. Det är det ju mycket att man har snabbvisning och så ska de räcka upp handen så fort de vet, just för att de ska komma ifrån att de alltid ska behöva räkna. Lärare F Under flera av intervjuerna återkommer lärarna till språket och samtalets betydelse i matematikundervisningen. Intervjupersonerna tycker att språket är viktigt, både att kunna lyssna på varandra och förklara för varandra. De pratar om vikten av förståelsen för olika grundläggande matematiska begrepp och att barnen behöver få ett språk där de kan resonera kring matematik och sätta ord på sina tankar. Lärare A menade att matematik är ett kommunikationsämne. Matematik är ett sätt att kommunicera. Det är ett sätt att förklara och förstå världen. Lärare A 23