Problem och lösningar

Transkript

1 Problem och lösningar i vågrörelselära J Jönsson

2 Allmän vågrörelselära och vågekvationer Uppgift. Antag att f(u) och g(u) är två deriverbara funktioner. Om ψ = Af(x ± vt) + Bg(x ± vt) visa att 2 ψ = v 2 2 ψ t 2. Lösning till uppgift. Per definition gäller att 2 = x 2 + y 2 + z. 2 Men eftersom ψ endast beror på x kan vi låta 2 = x. 2 Vänsterledet (VL) blir alltså Låt nu u(x, t) = x ± vt så att ty u/ x =. Vidare blir På samma sätt erhålles 2 xψ = A 2 xf(x ± vt) + B 2 xg(x ± vt). x f(x ± vt) = x f(u(x, t)) = df u du x = f (u), xf(u(x, 2 t)) = df x du = d2 f u du 2 x = f (u). 2 xg(x ± vt) = 2 xg(u(x, t)) = g (u). VL är alltså xψ 2 = Af (u)+bg (u). Låt oss nu studera högerledet (HL). Notera att f(u(x, t)) = df u t du t = f (u)(±v). Andra derivatan av f(u) med avseende på t är alltså 2 f(u(x, t)) t 2 = f t u (±v) = f u (±v) 2 u 2 t = (±v)f (u)(±v) = v 2 f (u). På samma sätt erhålles 2 g(u(x, t))/ t 2 = v 2 g (u). Alltså blir HL 2 ψ v 2 t 2 = ( Av 2 v 2 f (u) + Bv 2 g (u) ) = Af (u) + Bg (u) = VL. Observera ψ(x, t) är den mest allmänna lösningen till vågekvationen. Den kan skrivas som summan av vänster och högergående vågor. Uppgift.2 Visa att ψ = A exp[i( k r ωt)], där k = (k x, k y, k z ) och k = 2π/λ, satisiferar vågekvationen. Visa också att ψ har samma värde på ett plan som är mot k. 2

3 Lösning till uppgift.2 Eftersom r = (x, y, z) kan vi skriva ψ som ψ( r, t) = exp[i(k x x + k y y + k z z ωt)]. Låt oss först beräkna 2 ψ, där 2 = x 2 + y 2 + z 2 är Laplaceoperatorn. Den partiella andra derivatan av ψ med avseende på x är [ xψ 2 = x x e i(kxx+kyy+kzz ωt)] = x [ik x e i(kxx+kyy+kzz ωt)] = (ik x ) 2 e i(kxx+kyy+kzz ωt) = k 2 xψ( r, t). Derivering med avseende på y och z ger samma bidrag, men med x y och z, så vi kan sammanfattningsvis skriva 2 ψ( r, t) = (kx 2 + ky 2 + kz)ψ( r, 2 t) = k 2 ψ( r, t) = 4π ψ( r, t). λ2 Om vi nu opererar med 2 / t 2 på ψ( r, t) erhåller vi [ ] t t ei(kxx+kyy+kzz ωt) = t [ iωe i(kxx+kyy+kzz ωt)] ( iω) 2 e i(kxx+kyy+kzz ωt) = ω 2 ψ( r, t). Vi kan skriva detta som 4π 2 ν 2 ψ( r, t) där ν = ω/2π är frekvensen. För denna plana våg vet vi att ν = c/λ, alltså får vi att Jämfört med tidigare resultat ser vi att 2 t 2 ψ( r, t) = 4π2 c 2 λ 2 ψ( r, t). 2 ψ( r, t) = c 2 2 ψ( r, t), t2 vilket skulle visas. För ett plan mot k kan vi skriva r = s + α k, där s k och α är en konstant. Vi får att k r = α k k = α k 2 = α4π 2 /λ 2. Eftersom α är samma för alla punkter i planet ser vi att i k r antar samma värde i hela planet. Detta innebär att ψ( r, t) = A exp[i( k r ωt)] är samma för alla punkter i planet, vilket skulle visas. 3

4 Uppgift.3 Vid sfärisk symmetri gäller att 2 = 2 r r r, visa att ψ = (/r)f(r vt) satisfierar vågekvationen. Amplituden avtar som /r. Vad betyder detta fysikaliskt? Lösning till uppgift.3 Vi vill först visa att ψ är en lösning till vågekvationen. Låt oss först beräkna den partiella andra derivatan av ψ med avseende på r 2 ψ r 2 = [ f r r r f ] r 2 = 2 f r 2 r f r r 2 f r r 2 + f 2 r 3 Men = r 2 f r 2 2 f r 2 r + 2 r 3 f. f r = f u u r = f u, vilket medför att 2 f/ r 2 = 2 f/ u 2, där u = r vt. Andra derivatan av ψ med avseende på tiden blir 2 ψ t 2 = r 2 f t 2 = r 2 f u 2 v2. Om vi nu låter Laplaceoperatorn verka på ψ erhålles 2 ψ = 2 ψ r r = r = r ψ r 2 f u 2 2 r 2 f u + 2 r 3 f + 2 r 2 f u 2 = 2 ψ v 2 t 2. ( f r u f ) r 2 ψ är alltså en lösning till vågekvationen. Att amplituden avtar som /r innebär att intensiteten, I, avtar som /r 2 ty I ψ 2 0 r 2. Genom varje sfärisk yta passerar energin 4πr 2 konstant r 2 = konstant. Uppgift.4 En 00 cm lång stålsträng är fastsatt med ena änden i taket. Strängens diameter är.00 mm och dess elasticitetsmodul 2. 0 N/m 2. Med hur stor vikt skall strängen belastas för att den skall förlängas.0 mm? 4

5 Lösning till uppgift.4 Stålsträngens förlängning ges av Hookes lag x x = Y där Y är elasticitetsmodulen (N/m 2 ) och A är stålsträngens tvärsnittsyta. Om D är stålsträngens diameter, så gäller att A = πd 2 /4. Den kraft som krävs för att stålsträngen skall förlängas sträckan x är alltså F = x x Y A = x π x 4 Y D2 = 0 3 π (0 3 ) 2 = 20π = 65 N. 4 Strängen skall således belastas med massan för att förlängas.00 mm. F A, m = F g = 65 = 6.8 kg 9.8 Uppgift.5 En longitudinell våg med frekvensen 2.00 khz rör sig i stål med elasticitetsmodulen 2. 0 N/m 2 och densiteten 7800 kg/m 3. Vågens intensitet är.00 W/m 2. Beräkna: a) våglängden λ, b) energitätheten w, c) amplituden ψ 0, d) v max = maximala farten hos en stålpartikel, e) a max = maximala accelerationen och f) v max /v där v är vågens fart. Lösning till uppgift.5 a) Sambandet v = λν mellan hastighet v, våglängd λ och frekvens ν ger oss en formel för våglängden, λ = v/ν. Ljudvågens hastighet i stålet ges av formeln v = Y/ρ, där Y och ρ är stålets elasticitetsmodul respektive densitet. Våglängden är alltså λ = Y/ρ ν = (2.0 0 /7800) / = 2.59 m. b) Energitätheten w erhålles ur sambandet I = vw, där I är vågens intensitet, w = I v = I λν = ( ) = J/m 3. 5

6 c) Energitätheten är beroende av vågens amplitud w = 2 ρω2 ψ 2 0, där ω = 2πν är vinkelfrekvensen. Amplituden är alltså ψ 0 = 2w ω ρ = (2 ( )/7800) /2 2π ( = m. ) d) Vi antar att vågen i stålet kan beskrivas av en vågfunktion ψ = ψ 0 sin(kx ωt). Stålpartiklarnas hastighet ges av vågfunktionens derivata med avseende på tiden v partikel = ψ t = ωψ 0 cos(kx ωt). Den maximala farten hos en stålpartikel är alltså v partikel max = ωψ 0 = 2πνψ 0 = 2π ( ) ( ) = m/s. e) Den maximala accelerationen hos en stålpartikel är följaktligen a partikel max = 2 ψ t 2 = ω 2 ψ 0 = (2π (2 0 3 )) 2 ( ) = 2.8 m/s 2. max f) Vågens fart ges av sambandet v = λν. Kvoten mellan stålpartiklarnas maximala hastighet och vågens fart är alltså v partikel max v = ( ) = Uppgift.6 En ljudvåg ψ = ψ o cos(kx vt) med frekvensen 000 Hz har ljudintensitetsnivån L I = 80 db. Ljudhastigheten är 330 m/s och luftens densitet.29 kg/m 3. a) Beräkna ψ o, k och ω. b) Bestäm vågfunktionen för ljudtrycket P e, ange speciellt amplituden P e0. c) Diskutera eventuell fasförskjutning mellan P e och ψ. Lösning till uppgift.6 a) För att beräkna amplituden ψ 0 behöver vi en ekvation som relaterar amplitud till intensitet I. Intensiteten kan relateras till energitätheten w via sambandet I = vw, där v är vågens hastighet. Energitätheten kan i sin tur relateras till amplituden via w = 2 ρω2 ψ 2 0, där ρ och ω betecknar 6

7 lufttätheten respektive vinkelfrekvensen ω = 2πν. Dessa två samband ger oss följande ekvation för amplituden i kvadrat ψ 2 0 = 2I ρω 2 v. Intensiteten erhålles ur L I = 0 log 0 (I/I 0 ), där I 0 = 0 2 W/m I = I LI = = 0 4 W/m. Luftvågens amplitud i kvadrat är alltså ψ 2 0 = 2 (0 4 ).29 (2π 000) = m 2. Amplituden är således ψ 0 = Eftersom vi känner till ljudvågens frekvens och hastighet kan vi beräkna våglängden med formeln λ = v/ν. Vågtalet k är våglängdens invers multiplicerat med 2π k = 2π λ = 2πν v Vågens vinkelfrekvens är = 2π ω = 2πν = rad/s. = 9 m. b) Lufttrycket i gasen beskrivs av p = p 0 + p e, där p 0 är gastrycket i viloläget och p e är det lufttryck som en ljudvåg ger upphov till. Den störning som ljudvågen ger upphov till ges av p e = γp 0 ψ x, där γ = C p /C v och p 0 är lufttrycket. För luft och normalt lufttryck är γ.40. Derivering av vågfunktionen ger ψ x = ψ 0 x cos(kx ωt) = ψ 0k sin(kx ωt). Alltså gäller att p e = γp 0 ( kψ 0 sin(kx ωt)) = kγp 0 ψ 0 sin(kx ωt) p e0 sin(kx ωt). Ett sätt beräkna p e0 är att utnyttja att I = p 2 e0 2 ρv, där ρ är lufttätheten. Ljudtryckets amplitud är alltså p e0 = 2I 0 0 LI /0 ρv = 0.29 Pa. c) Vi ser att ψ = ψ 0 cos(kx ωt) medan p e = p e0 sin(kx ωt), dvs. trycket är fasförskjutet π/2 i förhållande till amplituden. Det är ju inte orimligt att det är så, ty trycket beror ju på hur hög hastighet luftatomerna har så p e borde verkligen vara ψ 0 / t sin(kx ωt). 7

8 Uppgift.7 En spänd sträng har längden L, diametern D och densiteten ρ kg/m 3. Den sträckande kraften är F. Visa att när strängen svänger i sin lägsta svängningsmod med grundfrekvensen ν så gäller ν = A F LD ρ Bestäm värdet på konstanten A. Minns du din första lab på Fysikum? Lösning till uppgift.7 Enligt vågekvationen för en sträng 2 ψ x 2 = ρ 2 ψ T t 2, ges vågens hastighet av v = T/ρ. Spännkraften i strängen är T = F/A, där A betecknar strängens tvärsnittsarea. Våglängden λ för den lägsta svängningsmoden är 2L, så grundfrekvensen ges av ν = v λ = 2L = 2L T ρ = 2L 4F πd 2 ρ = π F Aρ LD F ρ. Det är nu uppenbart att den sökta konstanten är π /2. Uppgift.8 En sträng med längden L svänger i sin lägsta svängningsmod. Svängningen beskrivs av vågfunktionen ψ = ψ 0 sin(kx) sin(ωt). Strängens massa per längdenhet är ρ kg/m. Beräkna strängens maximala kinetiska energi. Lösning till uppgift.8 Betrakta en infinitesimal del av strängen dx med massa dm = ρ dx. Detta masselement svänger harmoniskt och har maximal kinetisk energi då strängen går genom ψ = 0. Vågens hastighet ges av derivatan av ψ med avseende på tiden v x = dψ dt = ωψ 0 sin kx cos ωt, så den kinetiska energin hos masselementet dm är följaktligen 2 v2 xdm = 2 ω2 ψ 2 0 sin 2 kx cos 2 ωt dm. 8

9 Masselementet har maximal energi då cos ωt =. Den maximala kinetiska energin K max hos strängen får vi genom att integrera över masselementet K max = dm ω2 ψ0 2 2 = ω2 ψ 2 0ρ 2 = ω2 ψ L 0 sin 2 kx = ω2 ψ ρ L cos 2kx dx = ω2 ψ0ρ ρ L 2 = 4 ω2 ψ 2 0m, 0 dx sin 2 kx [ ] L sin 2kL 2 4k där m är strängens massa. Strängen svänger i sin lägsta svängningsmod, vilket innebär att våglängden och vågtalet är 2L respektive π/l. För den lägsta svängningsmoden gäller alltså att sin 2kL = sin 2π = 0, vilket användes i det näst sista steget i beräkningen av K max. Uppgift.9 (Pedrotti 3 4 3) Consider the following mathematical expressions, where distances are in meters:. y(z, t) = A sin 2 [4π(t + z)] 2. y(x, t) = A(x t) 2 3. y(x, t) = A/(Bx 2 t) a) Which qualify as traveling waves? Prove your conclusion. b) If they qualify, give the magnitude and direction of the wave velocity. Lösning till uppgift.9 a) Endast funktioner av typen f(u), där u = x vt och v är vågens utbredningshastighet, är vågfunktioner. Funktion och 2 uppfyller detta villkor. b) För att avgöra vågens utbredningshastighet och riktning måste vi studera argumentet u = x vt. Vågfunktion breder ut sig i negativt z led med hastigheten ms. Vågfunktion 2 breder ut sig i positivt x led med hastigheten ms. Uppgift.0 (Pedrotti 3 4 7) For a harmonic wave given by y = 0 sin(628.3x 6283t), () with x and y in centimeters and t in seconds, determine a) wavelength; b) frequency; c) propagation constant; 9

10 d) angular frequency; e) period; f) velocity; g) amplitude. Lösning till uppgift.0 a) Våglängden är λ = 2π/k = 2π/628.3 = 0.0 cm. b) Frekvensen är ν = ω/(2π) = 6283/(2π) = 000 s. c) Vågtalet är k = cm. d) Vinkelfrekvensen är ω = 6283 s. e) Perioden är T = /ν = /000 = 0.00 s. f) Vågens utbredningshastighet är v = ω/k = 6283/628.3 = 0 cm s. g) Vågens amplitud är 0 cm. Uppgift. (Pedrotti 3 4 8) a) The light from a 220 W lamp spreads uniformly in all directions. Find the irradiance of these optical electromagnetic waves and the amplitude of their E field at a distance of 0 m from the lamp. Assume that 5% of the lamp energy is converted to light. b) Suppose a 2000 W laser beam is concentrated by a lens into a cross sectional area of about 0 6 cm 2. Find the corresponding irradiance and amplitudes of the E and B fields there. Lösning till uppgift. a) Vi antar att endast 5% av lampans energi strålar ut i form av ljus. Lampan strålar alltså ut ljus likformigt i alla riktningar med effekten P = = W. Irradiansen på avståndet L = 0 m från lampan blir då I = P A = 4πL 2 = 4π 00 = W/m 2. Amplituden hos det elektriska fältet erhålles ur relationen I = 2 ɛ 0cE 2 0. Det elektriska fältets amplitud är alltså E 0 = ( ) /2 ( 2I 2 ( ) /2 ) = ɛ 0 c ( ) ( = 2.57 V/m. ) 0

11 b) Den fokuserade laserstrålens irradians blir I = 2000 ( 0 6 ) (0.0 2 ) = 2 03 W/m 2. De elektriska och magnetiska fältens amplituder är ( 2 (2 0 3 ) /2 ) E 0 = ( ) ( = V/m, ) respektive B 0 = E 0 c = = 0.4 T Geometrisk optik Uppgift 2. (Pedrotti 3 2 5) A ray of light makes an angle of incidence of 45 at the center of the top surface of a transparent cube of index.44. Trace the ray through the cube. Lösning till uppgift 2. Snells brytningslag ger oss en relation mellan infallsvinkeln θ i och vinkeln efter att ljuset brutits av kuben θ sin θ i =.44 sin θ. Eftersom infallsvinkeln är 45 så gäller att sin θ i = / 2 och ur Snells lag erhålles ( ) θ = arcsin = Det vill säga om strålen går i ett infallsplan som skär kuben diagonalt skulle den kunna nå botten i kuben utan att totalreflekteras mot väggen. Gränsvinkeln för totalreflektion α = 45 ges av Snells lag,.44 sin α = sin 90 =. Om strålen träffar kubens sida blir infallsvinkeln θ i = 60, så strålen totalreflekteras

12 eftersom θ = 60 > α = 45. Efter totalreflektionen kommer strålen att träffa kubens undersida med infallsvinkeln θ = 30 och går sedan, enligt Snells lag, ut ur kuben med θ u = θ i. Uppgift 2.2 (Pedrotti 3 2 6) To determine the refractive index of a transparant plate of glass, a microscope is first focused on a tiny scratch in the upper surface, and the barrel position is recorded. Upon further lowering the microscope barrel by.87 mm, a focused image of the scratch is seen again. The plate thickness is.50 mm. What is the reason for the second image, and what is the refractive index of glass? Rispan i glaset och den virtuella bilden av denna betecknas i figuren med A respektive B. Den virtuella bilden av rispan ligger sträckan l =.87 mm under rispan i det övre glaset. Den virtuella bilden B bildas genom att ljus reflekteras mot glasplattans nedre yta för att sedan brytas vid passagen ut genom den övre. För centrala strålar, som bildar små vinklar mot normalen, gäller att sin θ x l sin θ 2 x/2 d. Om dessa uttryck sätts in i Snells brytningslag, n sin θ = n sin θ 2, erhålles x l = n x 2d, där vi antagit att n =. Denna ekvation ger oss ett uttryck för glasets brytningsindex n = 2d = 2.50 =.60. l.87 Uppgift 2.3 (Pedrotti 3 2 ) A concave mirror forms an image on a screen twice as large as the object. Both object and screen are then moved to produce 2

13 an image on the screen that is three times the size of the object. If the screen is moved 75 cm in the process, how far is the object moved? What is the focal length of the mirror? Lösning till uppgift 2.3 Låt objektets och bildens höjd betecknas h o respektive h i. Beteckna dessutom avståndet från objektet och bilden till den konkava spegeln med a respektive b. Om bilden är dubbelt så stor som objektet gäller att h o = a h i b = 2. Enligt spegelekvationen gäller dessutom att a b = f b f, där f är spegelns fokalavstånd. Ur dessa två ekvationer drar vi slutsatsen att b = 3f. Genom att använda spegelekvationen igen kan vi även uttrycka a i termer av f a + b = f a + 3f = f a = 3f 2. Då förstoringen av objektet är tre gånger istället för två, är avståndet mellan spegel och objekt och avståndet mellan spegel och objekt a = 4f/3 respektive b = 4f. Vi vet att avståndet mellan den tre gånger förstorade och den dubbelt förstorade bilden är 75 cm. Ur detta faktum kan vi bestämma spegelns fokalavstånd b b = 4f 3f = 75 f = 75 cm. 3

14 Avståndet som objektet måste ha flyttats är a a = 4 3 f 3 2 f = 6 f = 75 6 = 2.5 cm. Eftersom avståndet är negativt, så har objektet flyttats mot spegeln. Uppgift 2.4 (Pedrotti 3 2 8) One side of a fish tank is built using a large aperture thin lens made of glass (n =.50). The lens is equiconvex, with radii of curvature 30 cm. A small fish in the tank is 20 cm from the lens. Where does the fish appear when wieved through the lens? What is the magnification? Lösning till uppgift 2.4 Brytningsindexen för vatten, glas och luft är n = 4/3, n 2 =.50 respektive n 3 =.0. Låt oss beteckna avståndet mellan objektet (fisken) och linsen med a = 20 cm. Ljusstrålarna från akvariet kommer att brytas två ganger i linsen innan de når en observatör utanför. Först bryts ljuset i en konvex yta (R > 0), när ljuset går från vatten till glas, och sedan i en konkav yta (R < 0), när ljuset går från glas till luft. Brytningen i en sfärisk yta med krökningen R ges av n a + n 2 b = n 2 n R, där a och b är avstånden mellan den sfäriska ytan och objektet respektive bilden. Först studerar vi ljusstrålar som bryts av den konvexa delen av glaslinsen 4/ /2 3/2 4/3 = b 30 b = 30 9 Därefter studerar vi brytningen i den konkava ytan = cm. 3/ b = 3/2 30 b = cm. Den virtuella bilden av fisken kommer alltså att synas 22.5 cm bakom linsen. För att beräkna förstoringen antar vi att linsen kan approximeras med en plan glasskiva för vilken Snells lag gäller samt att vinklarna är små. För infallsvinkeln i den konvexa ytan kan vi skriva sin α = h o /a, där h o är fiskens höjd. Enligt Snells lag ges vinkeln efter brytningen i den konvexa ytan av sin β = (n /n 2 ) sin α. Efter att ljuset brutits i den konkava ytan ges vinkeln återigen av Snells lag, sin γ = (n 2 /n 3 ) sin β = (n /n 3 ) sin α. Men bildens höjd h i ges av sin γ = h i /b så förstoringen är m = h i = b sin γ h o a sin α = b (n /n 3 ) sin α = b n = =.5. a sin α a n

15 Uppgift 2.5 (Pedrotti 3 2 9) Two thin lenses have focal lengths of 5 and +20 cm. Determine their equivalent focal lengths when a) cemented together and b) separated by 0 cm. Lösning till uppgift 2.5 a) Om de två linserna har fokalavstånden f och f 2, så ges fokalavståndet f för den sammanfogade linsen av f = + = f f = = Den sammanfogade linsens fokalavstånd är alltså 20/3 = 6.67 cm. b) Antag nu att linserna är separerade och att avståndet mellan dem är 0 cm. Låt oss betrakta ett objekt som ligger oändligt långt borta (s = ) och som först går genom linsenf = +20 cm. Bildavståndet s ges av linsekvationen + s s =. f Den första linsens bildavstånd är alltså s = 20 cm. Denna bild blir ett virtuell objekt till den andra linsen med f 2 = 5 cm. Avståndet mellan det virtuella objektet och linsen f 2 är s 2 = 0 s = 0 cm. Bildavståndet s 2 till den andra linsen ges återigen av linsekvationen 0 + s = 2 5. Bildavståndet till den andra linsen är alltså s 2 = 0 cm. Linsen ger således upphov till en virtuell bild vid främre linsen. Fokalavståndet för linssystemet, räknat från den bakre linsen, är f = 0 cm och ges av linsekvationen med s = cm och s = s 2 = 0 cm. Låt oss även betrakta ett linssystem där linsernas ordning är omkastad. Bildavståndet för den första linsen (f = 5 cm) är s = 5 cm eftersom s =. För den andra linsen (f = 20 cm) ges bildavståndet av s = 2 20, 5

16 eller om vi skriver om uttrycket s 2 = 20 5 = = 60, ur vilket vi genast kan utläsa att s 2 = 60 cm. Fokalavståndet för detta linssystem är alltså f = 60 cm räknat från den bakre linsen. Uppgift 2.6 (Pedrotti 3 2 2) An eyepiece is made of two thin lenses each of +20 mm focal length, separated by a distance of 6 mm. a) Where must a small object be positioned so that light from the object is rendered parallel by the combination? b) Does the eye see an image erect relative to the object? Is it magnified? Use a ray diagram to answer these questions by inspection. Lösning till uppgift 2.6 Att ljusstrålar som lämnar linssystemet skall vara parallella, innebär att den slutliga bilden skall ligga oändligt långt bort. Låt oss följa en ljusstråles väg från oändligheten. Vi betecknar källans och bildens position med a = respektive b. Enligt linsekvationen, a + b = f, är bildavståndet b = 20 mm eftersom fokalavståndet för linsen är 20 mm. Separationen mellan linserna är endast 6 mm, så bilden från den första linsen 6

17 utgör ett virtuellt objekt för den andra linsen. Det virtuella objektet ligger 4 mm bakom den andra linsen. Linsekvationen, med objektavståndet a = 4 mm, ger oss den slutliga bildens position b 4 + b = f b = 20 6 = 3.33 mm. Om vi satte ett objekt där bilden av en ljusstråle från oändlighteten avbildades skulle vi istållet få en avbildning av objektet i oändligheten. Ett objekt måste alltså placeras 3.33 mm framför linssystemet, för att strålarna som avbildar objektet skall vara parallella. Uppgift 2.7 (Pedrotti ) A diverging thin lens and a concave mirror have focal lengths of equal magnitude. An object is placed 3f/2 from the diverging lens, and the mirror is placed a distance 3f on the other side of the lens. Using Gaussian optics, determine the final image of the system, after two refractions a) by a three ray diagram and b) by calculation. Lösning till uppgift 2.7 ges av linsekvationen Låt oss anta att f > 0. Första avbildningen i linsen 3f/2 + b = f b = 3 5 f, där b betecknar bildavståndet. Den divergerande linsen ger alltså upphov till en virtuell bild 3f/5 till vänster om linsen. Från spegeln ser det ut som ett reellt objekt framför spegeln. Avståndet mellan detta objekt och spegeln är a = 3f +3f/5 = 8f/5. Ur spegelekvationen erhåller vi den reflekterade bildens position b 8f/5 + b = f b = 8 3 f. 7

18 Denna reella bild avbildas en andra gång i linsen. Linsekvationen ger oss även den andra bildens position b (3f 8f/3) + b = f b = 2 34 f. Den slutliga bilden är alltså virtuell och ligger 2f/34 till höger om linsen. De tre bildernas (reella och virtuella) förstoring är m = 3f/5 3/2f = 2 5 m 2 = 8f/3 3f + 3f/5 = 5 3 m 3 = 2f/34 3f 8f/3 = Den totala förstoringen av den slutgiltiga bilden ges av produkten av de tre bildernas förstoring m = m m 2 m 3 = = 2 34 = 7. Den slutliga virtuella bilden är alltså belägen 2f/34 till höger om linsen och är endast /7 så stor som det ursprunliga objektet. 8

19 3 Optiska instrument Uppgift 3. (Pedrotti 3 3 8) a) Approximate the Cauchy constants A and B for crown and flint glasses, using data for the C and F Fraunhofer lines from Table 3. Using these constants and the Cauchy relation approximated by two terms, calculate the refractive index of the D Fraunhofer line for each case. Compare your answers with the values given in the table. b) Calculate the dispersion in the vicinity of the Fraunhofer D line for each glass, using the Cauchy relation. c) Calculate the chromatic resolving power of crown and flint prisms in the vicinity of the Fraunhofer D line, if each prism base is 75 mm in length. Also calculate the minimum resolvable wavelength interval in this region. Lösning till uppgift 3. a) Dispersionen han approximeras med Cauchys relation n λ = A + B/λ 2. Konstanterna A och B i relationen kan bestämmas med hjälp av data för Fraunhoferlinjerna. Följande ekvationssystem erhålles för F och C linjerna { nf = A + B/λ 2 F n C = A + B/λ 2 C. Differensen mellan de två ekvationerna ger ett uttryck för B ( n F n c = B λ 2 ) F λ 2 B = n F n c C λ 2 C λ 2 λ2 F λ 2 C. F Konstanten A är följaktligen A = n F B λ 2 F = n F n F n C λ 2 C λ 2 C. λ2 F Fraunhoferlinjerna F och C motsvarar våglängderna 486. nm respektive nm. Kronglas brytningsindex för F och C linjerna är n F =.5286 och n C = Konstanterna i Cauchys relation är således A =.5 och B = 4240 nm 2. Brytningsindexet för D linjen (589.2 nm) är enligt den empiriska formeln.523. Motsvarande beräkningar för flintglas ger; A =.677, B = 390 nm 2 och n D =.75. b) Dispersionen kan med hjälp av Cauchys relation approximeras med dn/dλ = 2B/λ 3. Dispersionen kring D linjen (λ=589.2 nm) är således nm och nm för kron respektive flintglas. 9

20 c) Upplösningen hos ett instrument kan beskrivas med R = λ ( λ) min = b dn dλ, där λ är den minsta våglängdsskillnad som instrumentet kan upplösa och b betecknar prismats baslängd. För prismor av kron och flintglas med baslängden 75 mm erhålles R = 30 respektive R = Där Cauchys relation använts för att beräkna dn/dλ. Det minsta våglägdsintervall som prismorna kan upplösa ges av ( λ) min = λ/r och är, kring D linjen,.9 respektive 0.6 Å för kron och flintglas. Uppgift 3.2 (Pedrotti 3 3 9) An equilateral prism of dense barium crown glass is used in a spectroscope. Its refractive index varies with wavelength, as given in the table: nm n a) Determine the minimum angle of deviation for sodium light of nm. b) Determine the dispersive power of the prism. c) Determine the Cauchy constants A and B in the long wavelength region; from the Cauchy relation, find the dispersion of the prism at nm. d) Determine the minimum base length of the prism if it is to resolve the hydrogen doublet at and nm wavelengths. Is the project practical? Lösning till uppgift 3.2 a) Följande samband gäller mellan brytningsindex n och minimideviationen δ i ett prisma sin [(A + δ)/2] n = sin A, 2 där A = 60 för ett liksidigt prisma. Vi kan göra en uppskattning av δ genom att, med ledning av Fraunhoferlinjerna givna i uppgiften, anta att n.638 för ljus med våglängden nm. Minimideviationen för denna våglängd ges av sin (30 + δ/2) =.6380 sin 30, vilket implicerar att δ/2 = Minimideviationen för prismat är alltså

21 b) Kvoten mellan dispersion och deviation, = n F n C n D, kallas på engelska för dispersive power. Indexen F, C och D betecknar Fraunhoferlinjerna. För detta glas gäller alltså att c) Cauchys relation, = = n λ = A + B λ 2 + C λ 4 +, är en empirisk formel för dispersionen hos ett prisma. Med hjälp av data för Fraunhoferlinjerna givna i uppgiften kan konstanterna i Cauchys relation beräknas. Vi nöjjer oss dock med att bestämma de två första konstanterna A och B. Uppgifterna om de två första linjerna ger oss följande ekvationssystem {.6346 = A + B = A + B Differensen mellan den andra och den första raden ger oss B( ) = B = nm 2. Genom insättning av B i första eller andra ekvationen erhålles A = Glasets brytningsindex som funktion av våglängden ges alltså av n(λ) = λ 2. d) Den minsta våglängdsskillnad som prismat kan upplösa ges av ( λ) min = λ b(dn/dλ), där b betecknar prismats baslinje. Derivatan av brytningsindex med avseende på våg längden erhålles ur Cauchys relation, dn/dλ = 2B/λ 3. Den minimala baslängd som prismat måste ha för att vätedubbletten ska kunna upplösas är alltså λ λ dn b = dλ = = nm =.2 m. λ4 2B λ = ( ) För att upplösa de två linjerna krävs ett prisma med mer än m baslängd. Att konstruera ett sådant prisma verkar vara en svår uppgift. 2

22 Uppgift 3.3 (Pedrotti 3 3 6) A telephoto lens consists of a combination of two thin lenses having focal lengths of +20 cm and 8 cm, respectively. The lenses are separated by a distance of 5 cm. Determine the focal length of the combination, distance from negative lens to film plane, and image size of a distant object subtendig an angle of 2 at the camera. Lösning till uppgift 3.3 Antag att en ljusstråle kommer från oändligheten och först passerar linsen med positivt fokalavstånd (f = 20). Ljusstrålens bildavstånd blir då f enligt linsekvationen. Objektavståndet b för den andra linsen (f 2 = 8) ges av linsekvationen 5 + b = 8 b = 40 3 cm. Avståndet mellan den negativa linsen och filmplanet är alltså 40/3 cm. Låt L och f beteckna avståndet mellan linserna respektive linssystemets fokalavstånd. Följande samband gäller mellan storleken hos objektet h och bilden h h h = h h = f f f L ( + f 2 f L Om de två sambanden kombineras erhålles ( f + ) = f f 2 f L f L f = f ( L + ) = f L +. f f 2 f L f f 2 f Linssystemets fokalavstånd ges alltså av ). f = + L = f f 2 f f ( 8) = 60 3 cm. Om ett avlägset objekt upptar en vinkel θ = 2 ges bildens storlek h av tan θ = h f h = tan =.86 cm. Uppgift 3.4 (Pedrotti ) A homemade compound microscope has, as objective and eyepiece, thin lenses of focal lengths cm and 3 cm, respectively. An object is situated at a distance of.20 cm from the objective. If the virtual image produced by the eyepiece is 25 cm from the eye compute a) the magnifying power of the microscope and b) the separation of the lenses. 22

23 Lösning till uppgift 3.4 a) Avståndet mellan objektivet (f = cm) och den imaginära bilden b kan beräknas med linsekvationen.20 + b = b = = 6 cm. Den förstoring av objektet som objektivet ger upphov till är således M = b.2 = 6.2. Avståndet mellan okularet (f = 3 cm) och den imaginära bilden a kan också beräknas med linsekvationen a 25 = 3 a = cm. Okularets förstoring av den imaginära bilden är Mikroskopets förstoring är alltså M 2 = 25 75/28 = M = M M 2 = 6 28 = b) Avståndet mellan objektiv och okular är a + b = /28 = 8.68 cm. 23

24 Uppgift 3.5 (Pedrotti ) The moon subtends an angle of 0.5 at the objective lens of a terrestial telescope. The focal lengths of the objective and ocular lenses are 20 cm and 5 cm, respectively. Find the diameter of the image of the moon viewed through the telescope at near point of 25 cm. Lösning till uppgift 3.5 Den virtuella bilden av månen skall synas på 25 cm avstånd från okularet. Okularets bildavstånd är med andra ord 25 cm. Objektavståndet a ges av linsekvationen a + 25 = 5 a = 25 6 cm. Om vi antar att månen ligger oändligt långt borta så gäller att objektivets objektavstånd är samma som linsens fokalavstånd, f = +20 cm. Om månens dimension betecknas med h gäller således följande samband h f = tan α h = f tan α, där α är den vinkel som månen upptar på okularet. Dessutom gäller följande samband mellan den imaginära bildens höjd h och h h h = 25 a h = h 25 a. Ur de två ekvationerna ovan kan månens dimension ellimineras h = f tan α 25 a 25 = 20 tan 0.5 =.047 cm. 25/6 Bilden av månen vid närpunkten är således.05 cm. 24

25 Uppgift 3.6 (Pedrotti ) An opera glass uses an objective and eyepiece with focal lengths of +2 cm and 4.0 cm, respectively. Determine the length (lens separation) of the instrument and its magnifying power for a viewer whos eyes are focused a) for infinty and b) for a near point of 30 cm. Lösning till uppgift 3.6 a) Först ska vi bestämma vilket avstånd L mellan de två linserna som kikaren måste vara inställd på för att den virtuella bilden av ett objekt ska hamna oändligt långt borta. För okularet gäller att bildavståndet är b = och objektavståndet a ges av linsekvationen a + b = 4 a = 4 cm. Att objektavståndet är negativt innebär att okularets objekt är virtuellt. Avståndet mellan de två linserna skall alltså vara L = f objektiv a = 2 4 = 8 cm för att kikaren ska ge en virtuell bild oändligt långt bort. Kikarens förstoring ges av tan θ tan α = h/f okular h/f objektiv = f objektiv f okular = 2 4 = 3, där θ och α betecknar den vinkel objektet, vars storlek betecknas h, upptar på ögat utan respektive med kikaren. b) Låt oss anta att den positiva linsen är placerad till vänster om den negativa linsen. Om den negativa linsen skjuts till vänster mot den positiva linsen så att strålarna divergerar litet, kommer den virtuella bilden inte längre hamna oändligt långt bort utan 30 cm till vänster om den negativa linsen. Objektavståndet a till den negativa linsen ges av linsekvationen a + 30 = 4 a = 60 = 4.62 cm. 3 25

26 Avståndet mellan de två linserna är i detta fall således L = f objektiv a = = 7.38 cm. Förstoringen av bilden ges i detta fall av tan θ tan α = h /30 tan α = h/4.6 = 2 h/f objektiv 4.6 = 2.6, där θ och h betecknar den vinkel som bilden upptar på ögat respektive bildens storlek på ögat. 4 Polariserat ljus Uppgift 4. (Pedrotti 3 4 6) Write the equations for the electric fields of the following waves in exponential form: a) A linearly polarized wave traveling in the x direction. The E vector makes an angle of 30 relative to the y axis. b) A right elliptically polarized wave traveling in the y direction. The major axis of the ellipse is in the z direction and is twice the minor axis. c) A linearly polarized wave traveling in the xy plane in a direction making an angle of 45 relative to the x axis. The direction of polarization is the z direction. lösning till uppgift 4. a) Om vågen propagerar i positiva x axelns riktning, måste E vektorn ligga i yz planet. Eftersom vinkeln mellan E vektorn och y axeln är θ = 30, så beskrivs det elektriska fältet av ( ) E = (E 0 cos θŷ + E 0 sin θẑ)e i(kx ωt) 3E0 = ŷ + E ẑ e i(kx ωt). För linjärt polariserat ljus har E y och E z samma fas φ, så vi kan anta att φ = 0. 26

27 b) Det generella uttrycket för en elliptiskt polariserad, högerroterande våg längs positiva y axeln är E = [ ẑae iφz + ˆxBe iφx] e i(ky ωt). Vi vet dessutom att storaxeln skall vara dubbelt så lång som lillaxeln, A = 2B. Jonesvektorn bör kunna skrivas på formen ] [ [ E0x E 0z = A Be iɛ För att vågen skall vara högerroterande (sett från positiva y axeln) måste skillnaden i fas vara ɛ = ψ z ψ x = +π/2. Jonesvektorn måste alltså vara [ A Be +iπ/2 ] [ = Det elektriska fältet är alltså 2e +iπ/2 ] = ]. [ 2i E = E 0 ( iˆx + 2ẑ) e i(ky ωt). ] [ i = i 2 ]. c) Vågen breder ut sig i xy planet med θ = 45 vinkel mot x axeln. Vågvektorn är alltså k = kxˆx + k y ŷ = k cos θˆx + k sin θŷ = k 2 (ˆx + ŷ). Vågen är polariserad i z riktningen, så det elektriska fältet ges av [ E = E 0 ẑ exp i ] k r iωt [ ( )] k 2 = E 0 ẑ exp i (ˆx + ŷ) (xˆx + yŷ + zẑ) ωt [ ( )] k 2 = E 0 ẑ exp i (x + y) ωt. Uppgift 4.2 (Pedrotti 3 4 ) Using the Jones calculus, show that the effect of a HWP on light linearly polarized at inclination angle α is to rotate the plane of polarization through an angle of 2α. The HWP may be used in this way as a laser line rotator, allowing the plane of polarization of a laser beam to be rotated without having to rotate the laser. Lösning till uppgift 4.2 Jonesmatrisen för en HWP (med vertikal SA) och Jonesvektorn för linjärt polariserat ljus (med lutningen α) är ( ) e iπ/

28 respektive ( cos α sin α Ljusets tillstånd efter att det passerat plattan erhålles genom multiplikation av jonesmatrisen och jonesvektorn ( ) ( ) ( ) ( ) e iπ/2 0 cos α = e iπ/2 cos α = e iπ/2 cos ( α). 0 sin α sin α sin ( α) Denna vektor beskriver linjärt polariserat ljus med vinkel α. Plattan har alltså roterat det polariserade ljusets vinkel 2α. Uppgift 4.3 (Pedrotti 3 4 3) Light linearly polarized with a horizontal transmission axis is sent through another linear polarizer with TA at 45 and then through a QWP with SA horizontal. Use the Jones matrix technique to determine and describe the product light. ). Lösning till uppgift 4.3 Det polariserade ljuset beskrivs av Jonesvektorn [ ]. 0 Jonesmatriserna för en linjär polarisator med 45 vinkel och en QWP med horisontell SA är [ ] 2 respektive e iπ/4 [ 0 0 i Den effektiva Jonesmatrisen erhålles genom att de två matriserna multipliceras med varandra [ ] e iπ/4 0 [ ] [ ] = eiπ/4 0 i 2 2 i i Den effektiva Jonesmatrisens verkan på det linjärt polariserade ljuset ges alltså av e iπ/4 [ ] [ ] [ ] = eiπ/4. 2 i i 0 2 i 28 ].

29 Ljuset som passerat systemet är alltså cirkulärt polariserat och högerroterande. Intensiteten hos ljuset var initialt =. Efter att ljuset passerat systemet har intensiteten sjunkit till (/2) 2 + (/2) 2 = /2 dvs. hälften. Uppgift 4.4 (Pedrotti 3 4 4) A light beam passes consecutively through () a linear polarizer with TA at 45 clockwise from vertical, (2) a QWP with SA vertical, (3) a linear polarizer with TA horizontal, (4) a HWP with FA horizontal, (5) a linear polarizer with TA vertical. what is the nature of the product light? Lösning till uppgift 4.4 Efter att ljuset passerat den första plattan erhålles en Jonesvektor ( ) cos 45 sin 45 = ( ). 2 Effekten av de andra plattorna på Jonesvektorn är i tur och ordning: ( ) ( ) ( ) e iπ/4 0 2 = e iπ/4, 0 i 2 i ( ) e iπ/4 2 ( i ) = e iπ/4 2 ( 0 ), e iπ/2 ( 0 0 ) e iπ/4 2 ( 0 ) = e i3π/4 2 ( 0 ) och, ( ) e i3π/4 2 ( 0 Inget ljus kommer således ut ur systemet. ) = ( 0 0 [ ] i Uppgift 4.5 (Pedrotti 3 4 7) show that the matrix represents a right circular polarizer, converting any incident polarized light into right i circularly polarized light. What is the proper matrix to represent a left circular polarizer? Lösning till uppgift 4.5 Låt oss undersöka hur Jonesmatrisen påverkar den mest allmänna Jonesvektorn ( ) ( ) ( ) ( ) i A (A C) + ib D + ib = = i B + ic (A C)i + B Di + B ( ) D = 2 + B 2 (D ib) (D 2 + B 2 )i = D2 + B 2 ( ) (D ib) i 29 ).

30 Matrisen ger så ledes en högerpolariserad Jonesvektor vilket skulle visas. På samma sätt går det att visa att matrisen ( i ) i ger vänsterpolariserat ljus. Uppgift 4.6 (Pedrotti 3 5 ) Initially unpolarized light passes in turn through three linear polarizers with transmission axes at 0, 30, and 60, respectively, relative to the horizontal. What is the irradiance of the product light, expressed as a percentage of the unpolarized light irradiance? Lösning till uppgift 4.6 Det ingående ljuset är opolariserat. Antag att dess intensitet är I 0. Efter den första polarisatorn är intensiteten fortfarande I 0. Intensiteten efter den andra och tredje polarisatorn kan vi beräkna med hjälp av Malus lag I = I 0 2 cos2 θ, där θ är vinkeln mellan transmissionsaxlarna för två på varandra följande polarisatorer. Ljusets intensitet efter att det passerat den andra polarisatorn är alltså I = I 0 2 cos2 30 = I 0 2 ( 3 2 ) 2 = 3 8 I 0. Den tredje polarisatorn är vinklad 30 i förhållande till den andra och dess intensiteten ges därför av I = 3I 0 8 cos2 30 = 3 8 I 0 ( 3 2 ) 2 = 9 32 I 0. Intensiteten efter den tredje polarisatorn är alltså 9/32 av den ursprungliga. De tre polarisatorerna släppte med andra ord igenom 28.% av det opolariserade ljuset. Uppgift 4.7 (Pedrotti 3 5 2) At what angles will light, externally and internally reflected from a diamond air interface, be completly linearly polarized? For diamond, n =

31 Lösning till uppgift 4.7 då Det reflekterade ljuset blir fullständigt polariserat θ r + θ p = 90, där θ r och θ p betecknar ljusets vinkel efter att det brutits respektive den polariserande vinkeln eller Brewstervinkeln. Låt n och n 2 beteckna brytningsindexen för de två olika medierna. Enligt Snells lag gäller att n sin θ p = n 2 sin θ r = n 2 sin (90 θ p ) = n 2 cos θ p tan θ p = n 2 n. För externt reflekterat ljus, dvs. ljuset går från luft in i diamant, är Brewstervinkeln ( ) 2.42 θ p = tan = Brewstervinkeln för internt reflekterat ljus däremot är ( ) θ p = tan = Uppgift 4.8 (Pedrotti 3 5 4) How thick should a half wave plate of mica be in an application where laser light of nm is being used? Appropriate refractive indices for mica are.599 and.594. Lösning till uppgift 4.8 Fasskillnaden skall vara π mellan komponenter av ljuset som kommer in respektive med glimmerplattans optiska axel. Den optiska vägskillnaden är = n n d och fasskillnaden ges av φ = 2π λ 0 n n d. 3

32 Plattans tjocklek d ges alltså av d = λ 0 φ 2π n n. Eftersom φ = π för en halvvågsplatta, så måste glimmerplattans tjocklek vara d = λ 0 π 2π n n = = m. Uppgift 4.9 (Pedrotti 3 5 7) A number of dichroic polarizers are available, each of which can be assumed perfect, that is, each passes 50% of the incident unpolarized light. Let the irradiance of the incident light on the first polariser be I 0. a) Using a sketch, show that if the polarizers have their transmission axes set at an angle θ apart, the light transmitted by the pair is given by ( ) I0 I = cos 2 θ. 2 b) What percentage of the incident light energy is transmitted by the pair when their transmission axes are set at 0 and 90, respectively? c) Five additional polarizers of this type are placed between the two described above, with their transmission axes set at 5, 30, 45, 60, and 75, in that order, with the 5 angle polarizer adjacent to the 0 polarizer, and so on. Now what percentage of the incident light energy is transmitted? Lösning till uppgift 4.9 a) Antag att E vektorn ligger i xy planet och att y axeln är TA för den första polarisatorn. Efter att det opolariserade ljuset passerat polarisatorn sjunker ljusets intensitet till I = I 0 /2. Om den andra polarisatorns TA 32

33 bildar en vinkel θ mot y axeln, ges det elektriska fältets amplitud A av projektionen A = A 0 cos θ, där A 0 betecknar fältets amplitud innan ljuset passerat polarisatorn. Intensiteten hos ljuset I är proportionell mot det elektriska fältets amplitud i kvadrat, I A 2 cos 2 θ. Ljusets intensitet efter att det passerat de två polarisatorerna är således ( ) I0 I = cos 2 θ. 2 b) För polarisatorn med transmissionsaxel α = 90 kommer inget ljus igenom plattan eftersom cos 90 = 0. c) Låt oss nu undersöka hur mycket ljus som passerar en uppställning av polarisatorer vilkas transmissionsaxel är vinklade, 0, 5, 30, 45 och 75 i förhålande till y axeln. Den första polarisatorn släpper igenom I = I 0 /2. Varje annan polarisator har sin transmissionsaxel vriden 5 i förhållande till den föregående. Ljusets intensitet efter att det passrerat systemet av polarisatorer ges därför av I 0 2 ( cos 2 5 ) 6 = I 0 2 (cos 5 ) 2 = I = 0.33 I 0 En tredjedel av ljusets släpps alltså igenom systemet av polarisatorer. Uppgift 4.0 (Pedrotti 3 5 0) Determine the angle of deviation between the two emerging beams of a Wollaston prism constructed of calcit and with wedge angle of 45. Assume sodium light. 33

34 Lösning till uppgift 4.0 Kalcit (CaCO 3 ) är dubbelbrytande och har för Natriumljus brytningsindexen n =.4864 och n = För kalcit gäller alltså att n > n. Låt oss följa en stråle av ljus som faller vinkelrät mot prismat. Brytningsvinkeln blir noll då strålen går från luft till kalcit. Då ljuset bryts mellan kilarna av kalcit kommer ljuset brytas olika beroende på ljusets polarisation. Låt oss först betrakta ljus vars polarisationsriktning är parallell med optiska axeln (OA) i den första kilen ( ). Brytningsvinkeln α då ljuset bryts mellan kalcitkilarna ges av Snells lag n sin 45 = n sin α sin α = n 2 =.4864 n.6584 = 0.634, 2 vilket implicerar att α = Brytningsvinkeln för ljuset som lämnar prismat ges återigen av Snells lag n sin γ = sin β, där vinkeln γ = 45 α = 5.67 kan erhållas ur figuren. Vinkeln β ges alltså av sin β =.6584 sin 5.67 = β = Låt oss nu betrakta ljus vars polarisationsriktning är vinkelrät med optiska axeln (OA) i den första kilen ( ). Brytningsvinkeln α 2 då ljuset bryts mellan kalcitkilarna beräknas med Snells lag n sin 45 = n sin α 2 α 2 = Då ljuset lämnar prismat ges brytningsvinkeln av n sin γ 2 = sin β 2, där γ 2 = α 2 45 = 7.09 kan erhållas ur figuren. Vinkeln β 2 ges alltså av sin β 2 =.4864 sin 7.09 = 0.83 β 2 = Prismats deviation är således δ = β + β 2 = Uppgift 4. (Pedrotti 3 5 ) A beam of linearly polarized light is changed into circularly polarized light by passing it through a slice of crystal cm thick. Calculate the difference in the refractive indices for the two rays in the crystal, assuming this to be the minimum thickness showing the efect for a wavelength of 600 nm. Skecth the arrangement, showing the OA of the crystal, and explain why it occurs. 34

35 Lösning till uppgift 4. För att linjärt polariserat ljus ska bli cirkulärt polariserat måste det passera en Phase retarder som allmänt kan beskrivas av en Jonesmatris [ ] e iɛ x 0. 0 e iɛy Låt oss studera effekten av en QWP på linjärt polariserat ljus med E x = E y e iπ/4 [ 0 0 i ] [ 2 ] [ = eiπ/4 2 Om linjärt polariserat ljus passerar en QWP erhålles alltså cirkulärt polariserat ljus. För en QWP är fasskillnaden φ = π/2. Fasskilnaden för plattan ges av ( ) 2π φ = n n d, λ d är plattans tjocklek och λ ljusets våglängd. Skillnaden mellan brytningsindexen är alltså n = λ φ 2πd = ( ) (π/2) 2π = Uppgift 4.2 (Pedrotti 3 5 2) Light is incident on a water surface at such an angle that the reflected light is completly linearly polarized. a) What is the angle of incidence? b) The light refracted into the water is intercepted by the top flat surface of a block of glass with index of.50. The light reflected from the glass is completly linearly polarized. What is the angle between the glass and water surfaces? Sketch the arrangement, showing the polarization of the light at each stage. i ]. 35

36 Lösning till uppgift 4.2 a) Den polariserande vinkeln eller Brewstervinkeln ges av ( ) ( ) θ p = tan nvatten.33 = tan = 53.. n luft b) Brewstervinkeln för ljuset som polariseras av reflektionen mot glasblocket i vattnet är ( ) ( ) θ p = tan nglas.50 = tan = n vatten.33 Vi söker vinkeln α mellan vattenytan och glasets yta. Vid Brewsterspridning gäller villkoret att θ r + θ p = 90, vilket innebär att vinkeln efter att ljuset brutits i vattenytan är θ r = 90 θ p. Det gäller dessutom att α + γ = 90 och γ + θ p + θ p = 80, vilket medför att α = θ p + θ p 90 =.5. 36

37 Uppgift 4.3 (Pedrotti 3 5 7) a) A thin plate of calcite is cut with its OA parallel to the plane of the plate. What minimum thickness is required to produce a quarter wave path difference for sodium light of 589 nm? b) What color will be transmitted by a zircon plate, mm thick, when placed in a 45 orientation between crossed polarizers? Lösning till uppgift 4.3 a) För en QWP ska den optiska vägskillnaden vara d n n = λ 4, där λ betcknar ljusets våglängd. För CaCO 3 är brytningsindexen n =.6584 och n = Den minsta tjocklek som plattan kan ha är således d = λ 4 n n = 589 = 856 nm b) För att ljus skall gå igenom zirkonplattan måste den vara en halvvågsplatta, dvs. rotera polariserat ljus 90. Villkoret för HWP är d n n = λ 2 + mλ, 37

38 där m = 0,, 2,... De våglängder som plattan släpper igenom ges av λ = d n n m + 2 = m + 2 = m + 2 = 89 m + 2 nm. Våglängderna motsvarande m = 0, och 2 är 638 respektive 546 och 328 nm. Endast 546 nm är synligt ljus, nämligen grönt. 5 Interferens Uppgift 5. (Pedrotti 3 7 0) White light (400 to 700 nm) is used to illuminate a double slit with a spacing of.25 mm. An interference patern falls on a screen.5 m away. A pinhole in the screen allows some light to enter a spectrograph of high resolution. If the pinhole in the screen is 3 mm from the central white fringe, where would one expect dark lines to show up in the spectrum of the pinhole source? Lösning till uppgift 5. Antag att en dubbelspalt, med avståndet a =.35 mm mellan spalterna, belyses med ljus vars våglängd är λ. Efter att ljuset passerat dubbelspalten faller det på en skärm på avståndet s =.5 m från dubbelspalten. Intensiteten hos ljuset som funktion av läget y på skärmen, räknat från centralmaximum, ges av följande formel ( I = 4I 0 cos 2 ay ) λs π. Vid konstruktiv och destruktiv interferens erhålles ljusa respektive mörka fransar. Mörka fransar erhålles då ay ay = (m + /2) λ = λs 38 s(m + /2).

39 Vilka våglängder som ger upphov till mörka fransar är alltså en funktion av m = 0,, 2,... för ett givet värde på y. Ljus med följande våglängder skulle ge upphov till mörka fransar, om det släpptes in till spektrografen genom hålet i skärmen eller uttryckt i nm λ m = ( ) (3 0 3 ).5 (m + /2) λ m = = 2500 (m + /2) nm (m + /2) m, Endast m = 4 och m = 5 motsvarar ljus i intervallet 400 till 700 nm. Mörka linjer i spektrummet från spektrografen bör alltså uppträda vid 556 (m = 4) och 455 (m = 5) nm. Uppgift 5.2 (Pedrotti 3 7 5) A thin film of MgF 2 (n =.38) is deposited on glass so that it is antireflecting at a wavelength of 580 nm under normal incidence. What wavelength is minimally reflected when the light is incident instead at 45? Lösning till uppgift 5.2 En ljusstråle med infallsvinkel θ kan gå två olika vägar. Vid A i figuren reflekteras strålen eller bryts mot filmens ovansida. Om strålen bryts reflekteras den i punkt B i glaset för att sedan brytas mellan film och luft i punkt C. Den optiska vägskillnaden mellan de två vägarna ges av p = n f (AB + BC) n 0 (AD), där AD definieras i figuren och n f och n 0 betecknar brytningsindex för film respektive luft. Sträckorna AB och BC är lika långa och sträckan AB ges av cos θ t = t/ab AB = t/ cos θ t, 39

40 där θ t är brytningsvinkeln mellan luft och film och t betecknar filmens tjocklek. Sträckan AC/2 ges av sin θ t = AC/(2AB) AC = 2AB sin θ t. För att kunna beräkna den optiska vägskillnaden behövs sträckan AD som ges av cos(90 θ) = sin θ = AD/AC AD = AC sin θ = 2AB sin θ t sin θ. Men enligt Snells lag gäller att sin θ = n f sin θ t (n 0 = ), så vi kan skriva: AD = 2n f AB sin 2 θ t. Den optiska vägskillnaden är alltså p = 2n f AB 2n f AB sin 2 θ t = 2n f AB( sin θ 2 t ) = 2n f t( sin 2 θ t )/ cos θ t = 2n f t cos 2 θ t / cos θ t = 2n f t cos θ t. Reflektion kan ge upphov till en fasskillnad. Låt oss beteckna motsvarande skillnad i optisk väg r. Vid reflektion mot ett tätare medium är r = λ/2 annars gäller att r = 0. Den totala optiska vägskillnaden är således = p + r. För att filmen skall motverka reflexer måste villkoret för destruktiv interferens, p + r = (m + /2)λ, vara uppfyllt. Där m = 0,, 2,... och λ är ljusets våglängd. För ljus med våglängden λ = 580 nm är filmen antireflekterande för strålar vars infalsvinkel är θ = 0, vilket medför att θ t = 0. Följande ekvation gäller alltså vid vinkelrät infall och destruktiv interferens 2n f t + r = (m + /2)λ, ty cos θ t =. För godtyckliga våglängder λ och θ t gäller vid destruktiv interferens 2n f t cos θ t + r = (m + /2)λ. Vi kan anta att m = m. Låt oss nu betrakta fallet då r = r = 0. Om ekvationerna ovan kombineras erhålles (m + /2) = 2n f t/λ = 2n f t cos θ t /λ λ = cos θ t λ. För r = λ/2 och r = λ /2 erhålles m = 2n f t/λ = 2n f t cos θ t /λ λ = cos θ t λ. Samma resultat erhålles alltså i båda fallen. Vinkeln θ t kan via Snells lag relateras till den infallande vinkeln, sin θ t = sin θ/n f. Följande formel anger således för vilken våglängd ljus med infallsvinkeln θ inte reflekteras av filmen λ = cos θ t λ = λ sin 2 θ/n 2 f. Om infallsvinkeln är θ = 45 blir filmen antireflekterande för våglängden λ = λ sin 2 45 /n 2 f = 580 /( ) = 498 nm. 40

41 Uppgift 5.3 (Pedrotti 3 8 ) When one mirror of a Michelson interferometer is translated by 0.04 cm, 523 fringes are observed to pass the cross hairs of the viewing telescope. Calculate the wavelength of the light. Lösning till uppgift 5.3 interferometer Villkoret för destruktiv interferens i en Michelson 2d cos θ = mλ, beror på : avståndet d mellan speglarna, vinkeln mellan det infallande ljuset och optiska axeln θ, ljusets våglängd λ och ordning m. Interteferensmönstret betraktas rakt uppifrån vilket innebär att cos θ =. Låt d beteckna det ursprungliga avståndet mellan speglarna. För ljus med våglängden λ kan vi dessutom anta att destruktiv interferens erhålles för ordningen m, dvs. 2d = mλ. Efter att avståndet mellan speglarna ändrats sträckan d = 0.04 cm måste följande villkor vara uppfyllt för att destruktiv interferens ska uppstå 2(d + d) = (m + 523)λ 2d + 2 d = 2d + 523λ 2 d = 523λ. Ljusets våglängd är alltså λ = 2 d 523 = 2 ( ) = 436 nm. 523 Uppgift 5.4 (Pedrotti 3 8 5) A Michelson interferometer is used to measure the refractive index of a gas. The gas is allowed to flow into an evacuated glass cell of length L placed in one arm of the interferometer. The wavelength is λ. a) If N fringes are counted as the pressure in the cell changes from vacuum to atmospheric pressure, what is the index of refraction n in terms of N, λ, and L? b) How many fringes would be counted if the gas were carbon dioxide (n =.00045) for a 0 cm cell length, using sodium light at 589 nm? 4