Slutrapport för projektet TUFF, TågplaneUtveckling För Framtiden

Transkript

1 Sutrapport för projetet TUFF, TågpaneUtvecing För Framtiden Martin Aronsson SICS, Box 126, KISTA emai: 0 november 2006 SAMMANFATTNING Denna rapport sammanfattar arbetet i projetet TUFF, TågpaneUtvecing För Framtiden, finansierat av Banverets FoU-program. Projetet har pågått under åren 2004 och 2005, och syftet med projetet har varit att studera beräningsmodeer och beräningsaspeter för tågpaneonstrution. Rapporten presenterar en beräningsmode för tågpaneonstrution som saar vä upp ti storeen på onstrutionsområden som används idag och är såedes ämpig att basera ett stödsystem åt tidtabeonstrutörer på. Rapporten besriver den operationsanaytisa modeen samt sammanfattar de tester som utförts. Utöver detta presenteras en de försag och ansatser ti nyceta att mäta tågpaners egensaper. NYCKELORD: Tågpan, beräningsmode, panering, tidtabe, optimering SICS Technica Report T2006:07 ISSN ISRN: SICS-T 2006/07-SE

2 Inedning Denna rapport sammanfattar arbetet i projetet TUFF, TågpaneUtvecing För Framtiden, finansierat av Banverets FoU-program 1. Projetet har pågått under åren 2004 och 2005, och syftet med projetet har varit att studera beräningsmodeer och beräningsaspeter för tågpaneonstrution. Projetet deades upp i tre huvudsaiga dear: Viorsstyrd tidtabeonstrution, där vi med detta menar att beräningen av via anomsttider och avgångstider som ansätts ti tågen sa styras av de rav som sätts på tågen. Värdefuntioner för värdering av tidtabeer, där vi undersöt möjigheterna att uttryca nyceta eer beräna mått på hur bra en tågpan är, i syfte att unna jämföra eer stäa oia tågpaner mot varandra. Optimering, viet räver identifierade nyceta eer mått som ämpar sig beräningsmässigt att optimera på Sammanfattningsvis an sägas att projetet huvudsaigen studerat modeer för tidtabeonstrution, medan optimeringsfrågorna fått en mindre de av projettiden. De 1: Beräningsmodeer för viorsstyrd tidtabeonstrution SICS har tidigare ägnat sig åt beräningsmodeer för tidtabeonstrution, då åt affärsveret SJ. Arbetet i det projetet hade en mycet utforsande aratär, och resuterade i des en demonstrationsprogramvara baserad på viorsprogrammering (mer om viorsprogrammering nedan), des i en grundäggande mode för tågpaneonstrution baserad på två huvudsaiga omponenter, stationer (patser i nätet där tåg an byta spår) och stationssträcor (sträcor mean stationer utan möjighet för tågen att byta spår). Stationer betratas som resurser som har en viss begränsad apacitet att härbärgera ett anta tåg, medan stationssträcor betratas som resurser som har pats för endast ett tåg åt gången för motritad trafi och ett anta tåg i samma ritning genom att upprätthåa ett visst försprång (säerhetsavstånd) mean tågen. Denna mode an översättas ti ett s.. job-shop-probem med setup-tider, ett generet (och svårt i meningen ompext) probem. Varje spår motsvarar en masin, och varje station an ses som ett meanager. I den ursprungiga modeen abstraherades ett anta omponenter bort, b.a. att acceeration och inbromsning gör att tågen tar ängre tid på sig, samt att stationer ofta har en betydigt mer ompex förmåga att härbärgera tåg. Resutatet från detta projet finns presenterat t.ex. i [1, 2, 6]. Projetet TUFF, som redovisas i denna rapport, tog såedes sin utgångspunt i resutaten från tidigare projet, och där så var möjigt byggde vidare på dessa. I projetet ingic att utvärdera ytterigare ansatser med viorsprogrammering, samt undersöa om probemet gic att uttryca som ett s.. bandat hetasprobem, viet raftigt öar möjigheterna för optimering. Vi besriver nedan ortfattat två av huvudtenierna som använts, viorsprogrammering och hetasprogrammering. Betecningar Vi ommer att använda föjande betecningar i detta doument där former och evationer presenteras: i och j är index och varierar över tågnummer är index som varierar över stationssträcor är index som varierar över stationer 1 Diarenr. S0-818/AL50 2

3 d avgångstid, begränsad ti att vara innanför ett visst interva d d d, d j betecnar avgångstid för tåg j på stationssträcan a anomsttid, begränsad ti att vara innanför ett visst interva a a a, a j betecnar anomsttid för tåg j ti station w väntetid, tidsutsträcning som är begränsad ti att vara inom ett visst interva w w w, w j betecnar väntetid för tåg j på station. t traverseringstid, t i är den tid det tar för tåget i att traversera stationssträcan. I denna rapport är t en onstant, utom i avsnitt acceeration och retardation. h försprång 2, h i,j är det försprång som tåg i har före tåg j viet beror av deras hastighet och banan. I denna rapport är h atid en onstant. L K Mängden av aa tåg i som traverserar stationssträcan Mängden av aa tåg i som passerar station Utöver dessa så definieras variabebetecningar för respetive mode där modeen besrivs, huvudsaigen binära besutsvariaber, t.ex. sevensieringsvariaber för tågordning på en spårsträca. Vi definierar även efterföjarfuntionen f : I S S där Sär mängden av aa spår och stationer samt I är mängden av tåg. Funtionen f(i, x), x S, returnerar efterföjande station eer sträca y S för tåget i. Viorsprogrammering Viorsprogrammering är en metod för att hitta ösningar ti evationssystem, dvs tideningar ti de ingående variaberna som uppfyer de uppsatta matematisa reationerna. Det finns oia typer av viorsprogrammeringssystem, men mest utvecat och i detta sammanhang mest användbart är system som arbetar med s.. finita domäner viet i pratien betyder heta. Systemen arbetar i två faser, en fas då de matematisa reationerna äggs in i systemet, och för varje reation som agts ti så drar systemet sutsatser om via möjiga tideningar som de ingående variaberna nu an anta. Om det då visar sig att det inte finns någon tidening av värden ti variaberna så att aa hittis inagda reationer är sanna så avsutas beräningen med att systemet rapporterar att det inte finns någon ösning. Om däremot aa reationer har agts ti men inte aa variaber har erhåit ett fixerat värde så startar söningsfasen vars må är att gradvis minsa variabernas värderymder så att dessa ti sut enbart innehåer ett värde samtidigt som samtiga reationer måste upprätthåas. Söningen fungerar i mångt och mycet på samma sätt som då probemet byggs upp: genom att ägga ti reationer som begränsar värdedomänerna för variaberna så begränsas sörymden gradvis för att sutigen antingen vara tom för någon variabe, viet betyder att denna de av söträdet inte innehåer någon ösning, eer så har ett värde ansatts ti samtiga variaber. Ett exempe på en söfuntion är att väja en variabe som inte erhåit ett värde, dea dess värdedomän på mitten och begränsa den nya värdedomänen för variaben ti den ägre havan av värdedomänen. Om detta visar sig inte eda ti en ösning så omvärderar systemet vaet av den ägre havan och prövar istäet med den övre havan, och om detta inte heer fungerar så missycas söningen i denna de av söträdet och något va av domänhava får göras om högre upp i söträdet. Fördearna med viorsprogrammering är att mängden av matematisa reationer som an uttrycas är stort, b.a. an oia former av resursaoeringsvior uttrycas både smidigt och beräningsmässigt effetivt. Nacdeen med viorsprogrammering är att optimeringsmöjigheterna är begränsade samt att det i många av systemen an finnas tifäen då mängden av vior impicerar att det inte finns någon gitig tidening av värden ti variaberna, även om varje vior taget för sig är uppfyt. Det är doc beräningsmässigt vädigt dyrt i dessa system att upprätthåa fuständighet, och det är därför vanigt att 2 engesa headway

4 enbart föja upp varje vior för sig vid förändringar i variaberna värdedomäner. Viorssystemen an såedes ses som att de steg för steg minsar frihetsgraderna i systemet för att ti sut ha ansatt värden ti samtiga variaber, och denna ansättning är ocså en förutsättning för att garantera att det finns en ösning. I teorin räcer det med binära vior inande de vaniga matematisa reationerna <, > och =. Eftersom de festa systemen tar ett vior i taget och undersöer om domänerna för variaberna an besäras (minsas) och inte gör en fuständig ontro för varje möjigt varvarande värde så är det ätt att se att det finns system av evationer som inte har en ösning men där systemet missar att detetera oösbarhet. Ett av de enare är föjande: x 1 x 2 x 2 x x x 1 x 1, x 2, x {1, 2} Det är enet att ontroera att det inte finns en tidening ti x 1, x 2, x så att evationerna är uppfyda, ändå an inte ett vanigt viorssystem upptäca detta eftersom den enbart undersöer en evation i taget, och då finns det tiåtna tideningar. Det är här som s.. gobaa vior ommer in (termen goba är missvisande, det handar om mångstäiga reationer). Genom att definiera en ny reation adiff(x 1,..., x n ) och ti den utveca en agoritm som an ta hänsyn ti aa ingående variaber an oösbarhet upptäcas och söningen efter en ösning an bi effetivare. De tidigare omnämnda resursvioren är gobaa vior. Som nämnts tidigare bygger viorsprogrammeringsmodeen på stationssträcor och stationer som modeeras som masiner med möjighet att tivera oia produter och med setup-tid mean de oia produterna samt meanager med viss apacitet att agra havfabriat. Stationssträcorna modeeras med ett s.. serievior, där ravet är att varje användning av resursen är unit (varje tåg beägger spårresursen unit), och där tåg i samma ritning endast har ett försprång mean sig medan tåg i motsatt ritning modeeras som att de, förutom försprångstiden, även har en setup-tid mean sig som tisammans motsvarar vad det tar att traversera hea sträcan. Viorsprogrammeringsmodeen finns besriven i tidigare arbeten, se t.ex. [6]. Hetasprogrammering Hetasprogrammering är en påbyggnad på injärprogrammering, en gren inom operationsanaysen som har gama anor. Detta vetensapsområde grundades ångt före datorernas intåg, och termen programmering ommer ursprungigen från operationsanaysen. Linjärprogrammering är benämningen på optimeringsprobem över injära evationer med injär värdefuntion (andra benämningar på värdefuntionen är optimeringsfuntionen och ostnadsfuntionen) över ontinueriga variaber. Den assisa agoritmen för detta är Simpex-agoritmen men andra agoritmer föreommer, b.a. interior point method. För faet med Simpex så identifieras först en ösning (tidening av värden ti variaber), varefter optimeringen går ut på att iterativt närma sig den ombination av värden som maximerar (eer minimerar) värdefuntionen genom att systematist byta värdetideningar ti variaberna så att värdefuntionen monotont öar (minsar). Då värdet på värdefuntionen inte an öas (minsas) terminerar söningen med det optimaa värdet samt de ansatta värdena ti variaberna. Hetasprogrammering är injärprogrammering med det ytterigare vioret att en demängd av variaberna sa anta hetasvärden, viet raftigt an öa ompexiteten och tiden det tar att finna optimum. Att ompexiteten öar beror på att det är svårt att avgöra viet av två eer fera heta som är det orreta att väja då en hetasdearerad variabe inte får ett hetasvärde vid evationsösning. Man måste då pröva de oia värdena både för att avgöra om det ena eer det andra hetaet ger en gitig ösning och om den i så fa ingår i en optima ösning. Det finns oia metoder för att hantera rav på heta, men två huvudfåror utgör branch-and-bound (B&B) respetive branch-and-cut (B&C), där den andra bygger vidare på den första. B&B väjer en av de möjiga tideningarna ti en hetasvariabe i taget, undersöer om den vada tideningen an eda ti en gitig hetasösning (ofta genom att ösa det 4

5 A B C 1 2 D B Ta C Ta Tid Figur 1: Schematis bid över stationssträcor och stationer s.. reaxerade hetasprobemet), och då inga fer hetasvariaber finns obundna används en ämpig injärprogrammeringsmetod för att ösa det varvarande injära probemet. Söningen band de aternativa hetastideningarna går i princip ut på att systematis ansätta värden ti hetasvariaberna för se om de utgör aternativ ti en optima ösning eer om den deen av söträdet an ippas bort ( pruning ). Värdefuntionen spear här en stor ro så att söningen bir effetiv. B&C bygger vidare på B&B genom att identifiera s.. cuts, evationer som impiceras av probemet och som samtidigt ipper bort värden som inte ingår i någon (optimaa) ösning. Metoden försöer typist ippa bort aternativa värdetideningar ti hetasvariaberna, såedes görs inte B&C-va mean aternativa variabetideningar utan istäet adderas en ny redundant evation och därigenom an värden tas bort. Nacdeen med B&C är att antaet möjiga impicerade redundanta evationer är mycet stort, så det gäer att väja de som verigen ger en besärning av sörymden. Det finns ett anta forsare som intresserat sig för att undersöa och onstruera stödsystem för tidtabeonstrution. Vi har i ett tidigare projet undersöt området [1] och värda att yfta fram är Higgins [4, 5] i Austraien som en av de mer framgångsria, samt Schrijver [7] i Nederänderna, där det finns ett system baserat på dennes optimeringsmode. Nederändernas tågnät sijer sig doc avsevärt gentemot det svensa, med mycet dubbespår och orta avstånd. Detta visar sig i programvarans onstrution som utgår från panering av en typ-timme vien sedan ruas ut och anpassas ti dygnets 24 timmar. Ett itet iustrerande exempe Vi ommer att använda ett enet exempe i denna rapport för att iustrera de matematisa modeerna. I figur 1 ser vi en ort enespårssträca med fyra stationer benämnda A, B, C och D, samt tre tåg, 1, 2, och. Ti stationen C ommer det in tre injer, en från sidan marerat med den ia stumpen som sticer 5

6 A B C 1 2 D B Ta C Ta Tid Figur 2: Schematis bid med tåg och inagda sac ut åt höger i spårgrafen ti vänster. Tåg 2 har ett panerat stopp på station C, medan tåg 1 har ett trafitenist stopp på station B för omörning av tåg. I figur 2 har vi agt på möjiga sac för tågen, som suggade områden baom de föresagna traverseringarna. Modeen i TUFF Den mode som tagits fram i projetet har iheter med den mode som presenteras i [8], och togs fram paraet. Modeen baserar sig på i huvudsa två oia grupper av injära evationer: sevensieringsevationer och spårvasevationer. Vi har i projetet TUFF doc ansatt att spårva ute på injen redan är ansatt, dvs vaet av spår vid ferspår är redan avgjort i indata. Tågets basevationer De två basevationerna uttrycer att tågets aa traverseringar av ensida spårsträcor samt uppehå på stationerna måste vara i tidsmässig sevens. i.a i f(i,) = di + t i för spårtraverseringar, där f(i, ) är den station som tåg i anommer ti efter att ha traverserat sträca. i.d i f(i,) = ai + wi för stationer, där f(i, ) är den sträca som tåg i använder efter att ha passerat station. Exempe från figur 2 är t.ex. a 1 C = d 1 CD + t 1 CD 6

7 där t 1 CD = 6.5, d1 CD 7 och 9.5 a1 C 1.5 och d 1 CB = a1 C + w1 C där 0 w 1 C 4, 9.5 d1 CB 1.5 och 9.5 a1 C 1.5. Linjevior Vioret för varje stationssträca är att två tåg adrig får befinna sig på spåret samtidigt om de är mötande, respetive för nära varandra om de rör sig i samma ritning. Detta betyder att för varje par av tåg som potentiet igger i onfit med varandra så behövs två oiheter. För tåg i motsatt ritning får vi { d i1 i 1 i 2 L. > d i2 + t i2 M b i1,i2 d i2 > d i1 + t i1 M( 1 b i1,i2 där b i1,i2 är en binär variabe vien bestämmer viet av tågen i 1 och i 2 som ommer att aoeras ti stationssträcan först och M är en onstant som väjs så stor att termen där den ingår ommer att dominera över de andra termerna (den s.. stora-m-metoden). Notera att samma typ av evationsgrupp används såvä för motritade tåg som för tåg i samma ritning. För tåg i samma ritning byter man ut t i mot försprånget hi1,i2 i oiheterna. Exempe från figur 2 är t.ex. ) och d 1 BC > d 2 BC + t 2 BC 100 b 1,2 BC d 2 BC > d1 BC + t1 BC d i (1 b1,2 BC ) där index för avgångs- och anomstvariaberna har namn efter stationerna de går emean (i fusaetesterna är varje spår unit numrerat). Denna evation är doc redan given eftersom tåg 1 inte an anomma före tåg 2 ti station B med de sac som finns i figuren, viet gör att b 1,2 BC = 0. Beroende på hur stort sac som ansätts så är oia många b i1,i2 -variaber redan fixerade viet minsar sörymden, viet betyder att ju fer möten som an fixeras tidigt, viet säet än är egentigen, ju snabbare an ösningar hittas. Evationsgrupperna ovan ommer att räva att tågen är sevensierade, något som inte atid går att uppfya med det sammansatta utgångsmateriaet från operatörerna även om man i detta tiåtit ett visst sac på avgångs- och anomst-tiderna baserat på tågtyp och annan information. Det ansatta sacet räcer anse inte ti för att ösa samtiga onfiter och det är då bättre att få ett svar från systemet via onfiter det inte unnat ösa. För att unna tiåta varvarande onfiter i resutatet måste såedes sevensieringsevationerna vara möjiga att annuera. Annueringen an åstadommas genom att introducera en ny binär variabe, q i1,i2 vien om den ges värdet 1 får övriga värden för ingående variaber i oiheten att inte spea någon ro (anta via värden som hest). I evationerna nedan används 2M för att annuera evationsgruppen (det är inte strit nödvändigt att ta ti så stort ta som 2M, vi har här var denna fator för tydighetens su). För motritade tåg utöas oiheterna ti { d i1 i 1 i 2 L. > d i2 + t i2 M b i1,,i2 2Mq i1,i2 > d i1 + t i1 M( 1 b i1,i2 ) 2Mq i1,i2 där q i1,i2 =1 betyder att onfit tiåts på sträcan. På motsvarande sätt som tidigare fås de två oiheterna för tåg i samma ritning när t i byts mot hi1,i2. q i1,i2 ingår naturigt i värdefuntionen som sa minimeras, dvs vi försöer då optimera bort aa potentiea onfiter. I värdefuntionen an man även ägga ti en prioritering mean via onfiter som är vitigare att ösa, detta görs då genom att en onstant mutipiceras med q 11,i2 där onstantens värde refeterar hur vitigt det är att ösa just onfiten mean i 1 och i 2. 7

8 q i1,i2 är reaterade ti Lagrange-reaxering, viet påpeats av Per Kreuger och Marus Bohin, något som inte utvecats vidare inom projetet TUFF men an omma att undersöas i projetet DDTP. Vi ommer att disutera q-variaberna mer under apitet Tänt användning på sidan 1 nedan. Acceeration och retardation Notera att vi har en traverseringstid oavsett om tåget startar från stiastående eer ör med fu fart in på stationssträcan och motsvarande för ut från stationssträcan. I det system som Banveret använder för att onstruera tidtabeer, TrainPan, används fyra oia traverseringstider: traverseringstiden innehåer eer innehåer inte acceeration från stiastående ti fu fart samt innehåer eer innehåer inte retardation från fu fart ti stiastående viet ger fyra ombinationer. Vi har undersöt att ersätta den onstanta traverseringstiden med föjande evation för att ta hänsyn ti acceeration och retardation: i.t i = t i + ˆt i + ť i där ˆt i är ett onstant tiägg ĉi om tåget måste acceerera in på stationssträcan och ťi r är ett annat onstant tiägg č i om tåget måste retardera i sutet av stationssträcan. För att avgöra om ˆt i (respetive ťi ) sa vara nosida måste vi avgöra om tåget stod sti innan det började traversera stationssträcan (står stia i sutet av stationssträcan). Enast görs detta genom att åta ˆt i 1 (ť i 2 ) vara nosid om uppehåstiden w i på stationen mean 1 ( 2 ) är nosid, dvs vi åter meaniggande uppehåstid avgöra om det behövs retardation på föregående stationssträca och acceeration på efterföjande stationssträca respetive w i M ˆt i 1 0 w i M ťi 2 0 där M är en onstant för att säerstäa att även om w i bir stor så är M ˆt i större. Notera att försprång i denna mode inte påveras av acceeration och retardation så där behövs inga extra tiägg. Vi har doc i våra tester sett att prestanda i termer av örtid för modeen sjuner avsevärt om man ägger ti dessa vior. Vi har b.a. provat både s.. semiontinueriga variaber i CPLEX och binära variaber för att impementera vaet mean ˆt i = 0 och ˆt i = c där cär den extra tid det tar att acceerera (motsvarande för retardation). Stationsvior Stationer har en mer ompex strutur än injen, och det är på stationer som tåg möts eer förbigår varandra (vi har i TUFF inte sett det som ett va för stödsystemet att identifiera omörningar i högerspår på injen utan utgår från att de spårva som gjorts i TrainPan gäer). Det finns ocså fera parametrar att ta hänsyn ti på en station: ängder på de oia spåren samt annan topografi t.ex. onnetivitet och orsande tågvägar samt via spår som igger vid pattformar, hur dessa ämpar sig för omstigningar samt via spår som ämpar sig för genomfartståg. Man an täna sig oia detajering av stationen för oia behov och vid oia tidpunter i tågpanearbetet, där det t.ex. är vitigt att säerstäa trafieringsmöjigheter på stationer där mycet händer medan en grövre pan an räca i tidiga faser för stationer med få händeser. Detajeringsgraden behöver doc bi bättre senare i panarbetet. Vi har utgått från en ene grundmode där en station modeeras som en s.. umuativ resurs, en resurs som samtidigt an hantera fera jobb viet i vår värd betyder fera tåg. Det är doc inte så att vi vet via spår som tågen aoeras ti, utan enbart att om fera tåg är samtidigt på stationen så finns det spår ti samtiga tåg. Mode 1 är framtagen av Martin Aronsson i detta projet, och har vissa iheter med den av Johanna Törnquist [8] framtagna modeen för ompanering av tågägen vien baseras enbart på binära besutsvariaber för spårva. Mode 2 är besrivet först av Marus Bohin men i ett annat sammanhang (översättning av gobaa vior ti binära vior []). Vi besriver metoderna enbart i viss utsträcning och panerar att inom det efterföjande projetet DDTP göra en större anays av dem. Den Dynamisa Tågpanen, diarenr S /AL50, Banverets FUD-program 8

9 Stationsmode 1: impicit spåraoering Modeen är i princip en utvidgning av injevioren, som ompetterats med impicita eer expicita spårva: om två tåg aoeras ti samma spår måste de vara separerade i tiden. i. 0 y i m, y i heta och betecnar det spår som tåg i aoeras ti på station { ij. y i yj + M ui,j + 2M zi,j 1 y j yi + M(1 ui,j ) + 2M zi,j 1 där u i,j motsvarar bi1,i2 för injevior dvs sevensiering av tåg i och j, och där z i,j är binär och odar om de två tågen i och j överappar varandra eer inte, 1 odar att de är sevensierade (inte överappar) och därför an öra på samma eer oia spår, 0 odar att i och j överappar varandra och måste aoeras oia spår. utgör istret mean spåraoeringsvariaberna y i och yj och sevensieringvariaberna si,j som motsvarar b i1,i2 för injevioren. Föjande oiheter modeerar sevensieringen av tåg i och j, parameteriserat av z i,j z i,j : { a i ij. a j wj + M si,j 2M zi,j 2M a i + wi aj + M si,j + 2M zi,j M Då z i,j är 1 så ommer värdet av s i,j att spea ro och sevensiering att se, om zi,j är 0 så spear värdet av övriga ingående variaber ingen ro. Stationsmode 2: modeering med icar Denna mode bygger på en graf där noderna utgör de tåg i,j etc som potentiet överappar varandra och bågarna motsvarar de binära variaberna z i,j. På samma sätt som för stationssträcor så behöver vi sevensieringsevationer för varje par av tåg som an tänas överappa varandra i tid på stationen. Dessa evationer sa parameteriseras av om tågen använder samma spår, men vi behöver inte som i föregående stationsmode håa reda på viet spår som fatist används utan det räcer med att sevensiera ett anta par av tåg så att beäggningen sjuner under apacitetstaet för stationen. Vi besriver detta i mer detaj nedan men först anger vi de oiheter som ansätts mean aa de par av tåg som riserar att ha överapp. { a i ij. a j wj + M si,j + 2M zi,j 0 a i + wi aj + M si,j 2M zi,j M dvs om z i,j = 1 så behövs ingen sevensiering. Toningen av z i,j = 1 är att tågen i och j använder oia spår. I grafen betyder det att så änge som z i,j an anta värdet 1 så finns en båge mean nod i och nod j. Antaet bågar som går in ti en nod med värde 1 motsvarar såedes det anta tåg som potentiet överappar denna nods tåg. Det räcer doc inte att summera antaet z-variaber in ti en nod, detta svarar bara mot hur många tåg som överappar just denna nods tåg, utan vi behöver räna aa z-variaber för en eer fera mängder av tåg som överappar varandra. Mer precist behöver vi för en mängd av överappande tåg formera aa s.. icar 4 som har ett tåg mer än maxapaciteten för stationen. Minst en båge i varje sådan ic måste stryas viet motsvaras av att denna båges z i,j -variabe ansätts värde 0 viet betyder att tåg i och j inte får överappa varandra på stationen. Att överapp inte ser mean i och j garanteras av de tidigare oiheterna genom sevensvariaben s i,j. Att minst en båge strys i varje ic formueras matematist genom att summan av aa z i,j i icen sa vara ett mindre än antaet bågar i icen. Enast iustreras detta med exempe. För stationen C i vårt exempe tidigare har vi en potentie överapp för de tre tågen, med motsvarande ic i figur. Vi får föjande oiheter: 4 En ic är en försvensning av det fransa ordet cique viet även används i enges text. Det orreta uttrycet på svensa är fuständig graf, dvs en graf där varje nod är förbunden med varje annan nod. 9

10 z 1,2 z 1, z 2, 2 Figur : Exempe på tre tåg som potentiet överappar varandra på station med maxapacitet 2 Svep-inje v 4 =4 v 6 =4 z 1,2 z 1,4 z 1, z 1, z 2, z 4, z,5 z 4,5 z 2,4 5 z 2,5 Figur 4: 5 överappande tåg med motsvarande graf a 1 C a2 C w2 C + M s1,2 C a 1 C + w1 C a2 C + M s1,2 C a 1 C a C w C + M s1, C a 1 C + w1 C a C + M s1, C a 2 C a C w C + M s2, C a 2 C + w2 C a C + M s2, C z 1,2 C + z1, C + z2, + 2M z1,2 C 0 2M z1,2 C M + 2M z1, C 0 2M z1, C M + 2M z2, C 0 2M z2, C M C 2 där M är ett tiräcigt stort ta (större än vad någon annan term an bi), t.ex. 50 i detta fa., och den sista oiheten säerstäer att minst en båge strys (någon av z 1, C, z2, C och z2, C sätts ti 0). Något ite mer ompicerat är nästa exempe, som inte är taget från figur 1, med 5 tåg och en station med maxapacitet. I figur 4 anommer 5 tåg som beägger stationen i enighet med gantt-schemat, där de jusare områdena utgör det sac inom viet de mörare an röra sig. Vi har då en överappssituation mean tåg 1 ti 5, och grafen för denna situation finns ocså utritad i figuren. I denna graf finns 5 stycen subgrafer som är icar och ger upphov ti en evation vardera, viet resuterar i föjande evationer: z 1,2 + z 1, + z 1,4 + z 2, + z 2,4 + z,4 z 1,2 + z 1, + z 1,5 + z 2, + z 2,5 + z,5 z 1,2 + z 1,4 + z 1,5 + z 2,4 + z 2,5 + z 4,5 z 1, + z 1,4 + z 1,5 + z,4 + z,5 + z 4,5 z 2, + z 2,4 + z 2,5 + z,4 + z,5 + z 4,

11 Svep-inje v 4 =4 v 5 = v 6 =4 z 1,2 z 1,4 z 1,5 1 2 z 1, z 2, z 2,4 4 z 4, z,5 z 4,5 5 Figur 5: 4 överappande tåg i två omgångar Generet får vi att om det finns någon tidpunt där n tåg överappar och stationen har apaciteten ( m) n och n m + 1 så får vi en summa-evation för varje sub-ic om m + 1 noder viet ger m + 1 evationer. I vårt första fa är n = och m = 2( och därigenom ) finns det bara en ic och en oihet, i 5 vårt andra fa är n = 5 och m = och vi får då = 5 oiheter. 4 ( ) 5 Om vi istäet hade haft endast två spår hade vi fått = 10 evationer. Detta betyder att antaet oiheter öar med med antaet samtidigt överappande tåg. Däremot betyder det inte att antaet oiheter öar dramatist då vi har många tåg som överappar varandra devis under en ängre period, som nedanstående exempe i figur 5 visar. Vi har i stort sett samma förutsättningar som i det tidigare exempet, men där tåg 5 anommer och avgår ite senare viet gör att varje tåg inte överappar med aa andra tåg. I detta fa får vi två oiheter eftersom det inte finns en båge mean tåg 2 och tåg 5: z 1,2 + z 1, + z 1,4 + z 2, + z 2,4 + z,4 5 z 1, + z 1,4 + z 1,5 + z,4 + z,5 + z 4,5 5 Man an se detta som två het sida fa där vi har 4 överappande tåg i vardera faet. En naturig agoritm för att identifiera dessa icar och generera dessa oiheter baseras på en svepinje som går från höger ti vänster i gantt-diagrammet. De gånger som ett anommande tågs tidigaste anomsttid eder ti att en potentie överbeäggningssituation uppstår bidar utgångspunten för att sapa en ic och därigenom en evationsgrupp med summaformer. Genom ytterigare anays an man generera precis de grupper som behövs så att inte evationer dupiceras. Cyis tid: typveca Tågpanen äggs vanigtvis för en s.. typveca, en veca där vecans sut identifieras med vecans start. Detta betyder att de tåg som ommer att passera sutet på typvecan ommer att fortsätta i början på typvecan. Om typvecan deas in i disreta tic och dessa numreras sevensiet från måndag natt 00:00:00 ti söndag natt 24:00:00, så betyder det att de tåg som passerar vecogränsen ommer att ha anomsttider och avgångstider uttrycta i tic som sår runt dvs anomsttiden uttryct i tic är mindre än avgångstiden. Man an se det som att typvecan istras ihop ti en vas där tåg över sömmen inte sa vara brutna. Med denna vas an man sedan tryca ut hea årets tidtabe med 52 iadana vecor. Så änge vi inte hanterar tåg med sac på avgångstider och anomsttider så märs inte 11

12 probematien vid vecoövergången så mycet, men den bir betydigt vitigare att hantera då vi sapar en mode/programvara vars syfte är att fytta på avgångs- och anomsttider. Enast representeras de tåg som passerar cyetidsgränsen som två tåg, ett i sutet av perioden och ett i början av perioden, och där dessa tåg åses fast ti varandra så att deras avgångs- och anomsttider synroniseras med ett avstånd sinsemean motsvarande cyeperioden. Detta betyder att om det finns en onfit i sutet av cyeperioden och ett tåg justeras i tid, så ommer även den instans av samma tåg som går in i nästa veca att försjutas på motsvarande sätt och ontro ommer genom detta att se automatist så att inte nya onfiter uppstår med andra tåg i början av vecan. Associationer och övriga vior Utöver tågvioren, d.v.s. de vior som regerar att tågets aa sottar 5 igger i sevens, så finns det vior mean tåg för t.ex. ansutningar och produtionstenisa begränsningar. Vi har i detta arbete inte tagit hänsyn ti dessa eftersom de inte är expicit angivna i någon större utsträcning i grundmateriaet och det inom projetramen inte funnits utrymme att ta reda på dessa. Ett system baserat på modeen i denna rapport måste givetvis ta hänsyn ti sådana vior. För persontåg finns en genere rege som säger att aa tåg som anommer respetive avgår inom en viss tidsutsträcning sa anses ha ansutning, men det finns många sådana fa som inte an anses ha ansutning även om de är inom tidsmarginaen (t.ex. ett fjärrtåg och ett pendetåg i en tät styv tidtabe). För godstrafien finns inget inande generet vior motsvarande det för trafiutbyte för persontrafien, men det finns många föden som sa upprätthåas vid t.ex. rangering och det är såedes vitigt att dessa är identifierbara och hest expicit angivna. Test av modeen För att testa modeen har vi utgått från data hämtat från systemet TrainPan, ett system framtaget av Comreco (numera Vossoh). Inom ramen för projetet har vi sapat en inäsningsrutin för exportformatet för TrainPan, s.. TDEF-fier, och sedan använt de omponenter som vi behöver i samband med dessa test. Vi har utgått från de spårva som är gjorda i de undersöta tidtabeerna, dvs vår ansats gör inga spårva på injen. Däremot an va av spår se på station om den första stationsmodeen används (se styce Stationsmode 1 ). Testerna av modeen har vi utfört på oia tidtabeer, des regerad T04.1 för att prova ut modeen och därefter oregerad T05.2, ett utsnitt som var det arbetsmateria tidtabeonstrutörerna arbetade med och såedes innehö varvarande onfiter. T04.1 användes så att ett ämpigt område sars ut, varvarande onfiter identifierades och tiäts finnas var i TUFFs probem-mode, varefter ett sac på avgångs- och anomsttider ades på. Detta betyder att vi vet att det finns en ösning, nämigen den ursprungiga tidtabeen, men genom att ha introducerat sac så måste systemet söa efter en ösning inom det introducerade sacet. Testet fyer två funtioner, det ena är att prova oia modeer avseende deras förmåga att uttryca de reevanta egensaperna hos paneringsprobemet, deras ompexitet och deras store, det andra är att eiminera buggar i programvaran. Därefter har den oregerade T05.2 använts för nästa teststeg, att använda modeen för att eiminera onfiter samt undersöa en de av de möjiga användningsområden som modeen an ha. Här finns mycet mer att göra, och vi panerar givetvis att använda våra erfarenheter och det framtagna materiaet i projetet DDTP. För steg 1 har vi des använt ett utsnitt runt Hasberg som utgörs av aa spåränar som tihör zon 8 i TDEF-fien. Detta test innehåer 175 spår, 146 stationer (tidtabespunter), tåg och ensida spårtraverseringar. Vi har ansatt +/- 15 minuters sac ti samtiga anomst- och avgångar. Därefter har vi söt en ösning utan några andra onfiter annat än de som fanns i ursprunget för att därigenom undersöa modeens beräningsegensaper samt att modeen är orret. Detta probem tar drygt 70 seunder att ösa med CPLEX som hetasösare. Vi har ocså undersöt ett typist onstrutionsområde, 5 Ordet sot används här som betecing av en de av hea tågets traversering. I TrainPan motsvaras sottar av train moves. 12

13 området innanför avgränsningen TÄL, MY, PÅ, AÄ, FV_L, FV, ET1, VÅ och ÄBG. Probemet innehåer ensida spårtraverseringar och vi ansatte samma sac, +/- 15 minuter. Exeveringstiden att hitta en ösning för detta område var nappt 27 seunder. Aa örningar gjorda på en IBM Thinpad T42 med 1.8 GHz Pentium-processor. För steg 2 har vi behåit samtiga varvarande onfiter från ursprungsmateriaet (eftersom detta var en ej färdigregerad tidtabe) och söt minimera antaet onfiter. Det visar sig att det går bra att hitta ösningar som innehåer avsevärt mindre anta onfiter eer t.o.m. sådana där aa onfiter har eiminerats. I figurerna 6 och 7 visas en exempeörning från en bit av norra stambanan, sträcan ÖV ti BN (ÖV nederst). I figur 6 an vi se ett anta bå pricar i det tidsutsnitt som biden visar (drygt 1.5 dygn), varje bå pric är en onfit. Bid 7 visar de två återstående onfiterna efter c:a 100 seunders örning, därefter tar det mycet ång tid innan ytterigare förbättring ser. Ursprungsprobemet har 149 varvarande onfiter och innehåer c:a ensida spårtraverseringar viet ger c:a binära variaber. Vi har på samma sätt tidtabeagt området ring Hasberg ( zon 8 i TrainPans data, samma utsnitt som tidigare), två oia tidtabeonstrutörers områden (det tidigare angivna området samt området inom signaturerna AL,LU,E,HM och EA), samt området ring Ånge (området angivet som zon 2 i TrainPans data). För området ring Ånge undersöte vi möjigheten att åta mindre avariga onfiter byta pats med de onfiter som vi ansåg vara mer ritisa att eiminera. Vi utförde testet genom att ansätta aa onfiter i ursprungsdata som ritisa och tiät systemet att introducera nya onfiter mean godståg 6. Här ansatte vi +/- 5 minuter i sac och unde då optimera bort 7 ritisa onfiter ti priset av att enbart introducera 1 ny onfit, exeveringstiden var drygt 40 seunder. Det största exempet vi ört innehåer a trafi i Norrand ner ti en inje strax söder om Uppsaa ( zon 1,2, och 4) med ett introducerat sac på +/- 5 minuter och möjigheten att introducera onfiter mean godståg. Detta exempe innehåer 64 tåg och 1 00 varvarande primära onfiter i utgångsmateriaet, totat med introducerade seundära onfiter 7 60 onfiter. Av dessa an systemet, med det begränsade sacet om +/-5 minuter, åtgärda aa utom en handfu primära onfiter via såedes ommer att finnas var i ösningen. Efter c:a 600 seunder har systemet unnat eiminera samtiga övriga primära onfiter men tvingas istäet introducera 6 stycen nya, seundära onfiter. Vi har doc i detta exempe ett anta tåg som ör ut ur och sedan tibaa in i området, p.g.a. det sätt vi vat att avgränsa området på (TrainPans zoner). Dessa tåg har fått brytas upp i de desträcor som ingår i det vada området för att få med a trafi som ingår i området, men de oia tåg-dearna har inte reaterats med varandra, något som med +/- 5 minuters sac inte avarigt påverar testets ompexitetsegensaper. Att eiminera ytterigare onfiter efter de varvarande 6 seundära onfiterna tar mycet ång tid och det är inte säert att det går att finna någon bättre. Efter ett par dygns exevering vet vi doc att ingen optima ösning finns med mindre än 4 varvarande onfiter. Detta exempe är ört på en bättre stationär masin (DELL) med 2.6 GhZ Xeon-processor och GB RAM. Tänt användning Det finns många användningsområden och användningssätt för ett stödsystem för tidtabeonstrution, at från att få ett första utast i samband med den första sammanäggningen av ansöningarna ti intrådning av nya tåg i iggande tidtabe och andra förändringar under tågpaneperioden. Vi tar här upp några användningsfa, via inte aa har testats under projetperioden då vi inte haft tiräcigt med tid för detta, men som vi i oia seden av projetet disuterat att denna typ av teni an tiämpas. Många av dessa fa an ocså ombineras eer utföras efter varandra. Första utast I samband med att aa ansöningar ommit Banveret tihanda så är det fördeatigt att göra ett första utast som drar isär de onfiter som finns i största möjiga mån, givetvis med de ända begränsningar som finns. Uppgiften bir att minsa antaet onfiter men inte nödvändigtvis ta bort aa, 6 Det bör poängteras att vi inte tar stäning ti att godståg i amänhet an ha onfiter utan vi behövde en rimig mängd tåg i nätet som unde tiåtas ha onfiter sinsemean i samband med testet av bytesonfiter. 1

14 Figur 6: Ej onfitöst tidtabe BN-ÖV, utsnittet ia tidigare figur, det finns totat 149 onfiter på denna sträca (aa finns inte i detta tidsutsnitt) Figur 7: Konfitöst tidtabe BN-ÖV, för en typveca, utsnittet visar de två varvarande onfiterna efter användning av optimeringsmetoderna i denna rapport 14

15 utan att få ett materia som an användas i den vidare paneringen. Optimering an i detta första sede baseras på i första hand minimering av varvarande onfiter och med minimering av tidtabetenis väntetid som andra omponent. Möjighet att hitta ösningar sapas genom att ägga på sac ti söta ägena enigt de i järnvägsnätsbesrivningen 7 givna ramarna. Stegvis förfining Då ansöningarna ommit in ti Banveret och de äggs samman så igger många tåg i onfit med varandra. Genom att ansätta ett större sac och ösa upp så många onfiter som möjigt fås ett första utast som besrivits ovan. Detta första utast ommer antagigen inte att vara så bra att det duger, ett anta tåg måste fyttas och därigenom uppommer nya onfiter. Istäet för att undvia att sapa onfiter då tågen fyttas så fyttas tågen som anses igga fe ti där de bör igga, deras ägen fixeras mer eer mindre (ett mindre sac än övriga tåg) och systemet får i uppgift att återigen omma med ett så onfitöst försag som möjigt. Poängen är att systemet hjäper onstrutören: denne oncentrerar sig på att sapa en hehetsösning som tar hänsyn ti de fatorer som systemet inte har ännedom om medan systemet tar hand om att detajregera mötena. Stegvis tågpanering I dag onstruerar tidtabeonstrutörerna tågpanen genom att opiera in ett anta tåg i sin de av den framväxande tågpanen, ösa de uppomna onfiterna, ämna över tåget ti nästa onstrutör (vanigtvis framåt i tågets tidsmässiga ritning ), för att därefter ta sig därefter an nästa omgång tåg samt de tåg som ommer in i onstrutörens område från någon annan onstrutör. Denna metod aar vi här för itererande tiägg av tåg och an stödjas av ett vertyg baserat på denna mode. I varje iteration så fixeras de tåg som redan panerats in, möjigen med ett itet sac var, och de nya tågen äggs in med ämpigt sac på avgångs- och anomsttider. Eftersom ompexiteten mest beror av hur många tåg som (potentiet) överappar varandra så betyder det att ju mindre sac ett tåg har, ju färre tåg överappar tåget potentiet med. Detta betyder att större områden antagigen an hanteras då man gör itererande tiägg av tåg och minsar sacen på redan inagda tåg än om man gör at i ett steg och schemaägger aa tåg på en gång. Nacdeen är att antaet potentiea ösningar minsar då aa tåg inte har maximat sac, och därmed an bra ösningar gå förorade. Prioriterad ösning av onfiter I stycet Linjevior introducerades z-variaberna för att hantera optimering över antaet varvarande onfiter. Som vi tidigare nämnt an man ansätta oia prioritet ti dessa onfiter. Två tåg som man av erfarenhet eer av andra orsaer misstäner ommer att gå i andra ägen än de panerade an ansättas nya z-variaber även fast dessa inte har en onfit i utgångsmateriaet. På detta sätt an systemet optimera bort högprioriterade onfiter genom att istäet, om det behövs, introducera ågprioriterade onfiter. Denna teni an även ompettera metoden att itererande ägga ti tåg för att unna tråda in ett högprioriterat tåg band ågprioriterade tåg. Vi har i viss utsträcning provat tenien i TUFF, och på prov introducerat möjighet ti oregerade möten mean godståg utöver de redan i grundmateriaet befintiga varvarande onfiterna, och erfarenheten är att det även iband gör söningen effetivare även om inga nyintroducerade onfiter finns var i sutresutatet. Infasning i regionsgränser I onstrutionsområdesgränserna bir det ofta probem, då tåg inte ommer in i ett onstrutionsområde såsom en onstrutör tänt sig. Detta an t.ex. bero på att tåget fått ängre väntetid i tidigare områden. För att förbättra ansutningen mean två områden an man täna sig att introducera en de sac ti de patser som igger nära områdesgränsen för att därefter försöa sammanjäma de oia tågen över gränsen. Detta är doc inget vi haft möjighet att gå vidare med i projetet TUFF. Loaa förändringar I en iggande tågpan föreommer det tifäen då tåg antingen tas bort eer tiommer. Det är då vitigt att unna hantera de förändringar som uppommer. Formet är det doc så 7 Engesa: networ statement 15

16 att en tågpan inte an förändras, men operativt ommer denna förändring i aa fa att äga rum då t.ex. tåget inte går. I detta styce disuterar vi potentiea angreppssätt vid dyia förändringar. Borttagning av tåg Då ett tåg tas bort ur tidtabeen finns det mer utrymme, och det an då vara värdefut att söa nya ägen för de varvarande tågen, utgående t.ex. från den ansöan som ursprungigen fanns. Det an doc vara så att den ursprungiga ansöan inte ängre är atue för de operatörer som har de varvarande tågen (t.ex genom att tidtabeen pubicerats för onsumenterna), så en förändring måste sjävart disuteras med de inbandade parterna. Tiägg av tåg Då ett tåg trådas in så sa det idag formet se på restapacitet. Det är doc så att i många fa vet onstrutörer m.f. att ett anta tåg, t.ex. från samma operatör, an omma att påveras och t.ex har ägre prioritet. Det finns då möjighet att i modeen (åter)introducera sac på vissa tåg runt tåget som sa äggas ti för att därigenom hitta bättre ägen för det tiagda tåget. Ändrade avgångstider för tåg Att försjuta ett tåg an ses som att ta bort ett tåg för att sedan ägga ti det i ett annat äge. Det finns doc en stor sinad då tåget äggs ti då det erhö sitt ursprungiga äge i onurrens med andra tåg. I vad mån det an anses ha var sin prioritet är oart och något som får disuteras. Metoderna för detta fa bör ina de för borttagning och tiägg av tåg. De 2: Nyttofuntioner I enighet med projetets styrdoument så har vi söt hitta ämpiga mått och parametrar vias huvudsyfte sue vara att mäta hur bra en framtagen tidtabe eer tågpan är. Vi har funnit, inte het oväntat, att detta är ett svårt probem. I det föjande tar vi upp en de funderingar och idéer som vi des identifierat i samband med intervjuer och disussioner med referensgruppen och andra personer från Banveret och operatörerna. Direta mått I samband med tidtabeonstrution finns det några uppenbara mått via styr mot det som uppfattas som en bra tidtabe. En bra tidtabe anses oftast vara onfitfri samt innehåa så ite tidtabetenis väntetid som möjigt. Doc är det så att en tidtabe utan onfiter och utan väntetid an vara vädigt störningsänsig istäet, och an därför i pratien eda ti dåig puntighet, det vitigaste måttet för hur vä tågtrafien söts operativt. Vi tror ändå att de två vitiga måtten anta varvarande onfiter samt antingen tota tidtabetenis väntetid eer tota tågtid på bana fångar vitiga egensaper på en bra tidtabe. Ju ortare ett tåg befinner sig på banan, desto mindre är det i vägen för andra tåg. Under tidtabeonstrutionen så är i pratien nuvarande arbetsmetod att minimera antaet varvarande onfiter för att därigenom, i teorin, operativt unna öra tågpanen som den panerats och då inte få några onfiter och därigenom inga förseningar. Andra mått som framommit under projetets gång har varit en form av tatning över vissa större resurser. Den s.. getingmidjan i Stochom paneras med en tatning om 20 tåg i varje öpande timme i högtrafi, med 4 outnyttjade sottar för återstäning vid störningar. På motsvarande sätt finns det ett behov av tatning av godståg in på och ut från de stora rangerbangårdarna: för många tåg samtidigt in på bangården gör att personaen inte hinner oppa upp dem, göra syn mm samt sjuta dem över vaen och därmed bir anomstbangården överbeastad. På motsvarande sätt an avgående godståg des omma i onfit med anommande tåg på en de av bangårdarna (framför at säcbangårdar) och des med andra avgående tåg. Båda dessa exempe är instanser av ett mer amänt rav som an besrivas som ett maximat anta händeser inom en viss öpande tidsrymd, och an såedes utgöra grund för att ta fram ett mått som visar på hur fördeningen över tid ser ut för de resurser som an arateriseras på detta sätt. 16

17 12 F B I C 9 E 2 G A H D Figur 8: 9 ativiteter och deras genomförandetid samt deras inbördes beroende Funderingar ring andra mått Inom andra branscher, framför at branscher som är start projetstyrda, så används oia metoder för att håa ordning på var de ritisa mistoparna är samt de ritisa ativiteterna som inte får försenas. Här har utvecats oia metoder, via doc inte savist an föjas de heer, men som ändå ger paneringschefer m.f. en möjighet att styra sina projet. En tidigt utvecad och på många områden använd metod är den s.. Critica Path Method, CPM, viet ofta översatts ti svensa som ritisa injen-metoden. Metoden ategoriseras som en operationsanaytis metod, och används i stor saa under t.ex. framtagningen av de första atomubåtarna viet paneringsmässigt var en mycet ompex uppgift. Metoden bygger på att aa ingående ativiteter änas ihop i en graf där bågar är ativiteter och där noder är händeser som inträffar då samtiga ativiteter in ti noden är genomförda och avsutade. Detta diagram som iustrerar sådana grafer aas för ett Pert-diagram. Aa ativiteter åsätts ocså en genomförandetid, varefter det går att räna ut t.ex. tidigaste färdigtid och senaste färdigtid för samtiga ingående ativiteter. De ativiteter som har samma tidigaste färdigtid som senaste färdigtid har inget sac och igger då på den s.. ritisa injen: en försening på någon ativitet på ritisa injen eder ti en försening av hea projetet. Matematist bir då den teoretist bästa panen den pan där genomförandetiderna har satts så att aa ativiteter igger på den ritisa injen. Detta eftersom genomförandetiden ofta beror av den mängd resurser som aoerats ti ativiteten och eftersom resurser ostar pengar vi man ofta minimera mängden resurser i ett projet och samtidigt bi ar så fort som möjigt. Detta teoretisa minimum bruar doc projetedarna avfärda som idioti eftersom det ofta är så att någon eer några av ativiteter bir försenade och därmed bir hea projetet försenat eftersom det inte finns någon återstäningstid. I figur 8 finns ett exempe på ett enet Pert-diagram för ett projet med 9 ativiteter (bågar) och 6 händeser (noder). Ativiteternas utsträcning finns angivet i faggorna på ativitetspiarna, och tidigaste respetive senaste färdigtider för respetive händesenoder finns angivna i noderna, gröna (ovanför) är de tidigaste tidpunterna som händesen an inträffa, de röda (undre) är de senaste tidpunterna. Utöver att man an utäsa den ritisa injen, de ativiteter som om någon försenas försenar hea projetet, an denna graf användas för fera andra intressanta mått för respetive ativitet. Om vi betecnar tidigaste tidpunt för en händese med e i, senaste tidpunt för en händese med i och en ativitets genomförandetid med d ij så an vi uttryca föjande mått för de oia ativiteterna: Fri röresemån är den fördröjning i utsträcning som en ativitet (bågar i Pert-grafen) an ha utan att påvera (den tidigaste) startpunten för någon efterföjande ativitet. Fri röresemån för en ativitet mean händeserna i och j, F r ij, ränas ut som tidigaste tidpunt för måhändesen j minus 17

18 Ativitet Tidigaste starttid Senaste suttid Genomförandetid Fri röresemån Oberoende röresemån A B C D E F G H I Tabe 1: Tidpunter och genomförandetid samt mått för exempet i figur 8 Tota röresemån tidigaste tidpunt för utgångshändesen i för ativiteten pus genomförandetiden d ij för ativiteten: F r ij = e j e i d ij. Oberoende röresemån är den fördröjning som en ativitet an ha utan att påvera genomförandet av någon av de efterföjande ativiteterna eer påvera schemaäggningen av tidigare ativiteter. Oberoende röresemån an adrig bi negativt, då åsätts det värde no, och ränas ut som tidigaste tidpunt för måhändesen e j minus senaste tidpunt för starthändesen i och ativitetens genomförandetid d ij : Or ij = max(0, e j i d ij ) Tota röresemån är den fördröjning som ativiteten an ha utan att försjuta måtidpunten för hea projetet. Tota röresemån för en ativitet ränas ut som senaste tidpunt för måhändesen j minus tidigaste tidpunt för ativitetens starthändese e i och ativitetens genomförandetid d ij : T r ij = j e i d ij Tabeen visar de oia måtten för exempet. Dessa mått an översättas och användas på en tidtabe för att räna ut i förväg hur pass avarig en försening på en station eer en spårsträca är, givet en faststäd tidtabe. Fri röresemån motsvarar den försening som ett tåg an få utan att påvera efterföjande tågs avgångar från t.ex. panerade möten. Oberoende röresemån motsvarar den försening som ett tåg an få på en sträca utan att det påverar vare sig sig sjäv på senare sträcor eer något annat tåg. Måtten an såedes användas för att jämföra oia tidtabeer och för att i operativt sede unna värdera hur avarig en försening är. I projetpanering så finns det en startnod och en sutnod för hea projetet, t.ex. byggnadsstart och infyttningsar byggnad. För en tidtabe ser det inte iadant ut, framför at inte för en cyist tidtabe såsom för en typveca då grafen bir ciruär. Istäet för en startnod och en sutnod så finns det en startnod och en sutnod för varje tåg. Genom att det finns fera start- och sutnoder så an andra mått vara intressanta att definiera, t.ex. fritt röreserum för ett tåg viet betyder det röreserum som finns oat för ett tåg utan hänsyn ti andra tåg, eer fritt röreserum för aa andra tåg utom det studerade, viet är det röreserum som tåget har utan att påvera något annat tågs senaste framme-tid. Vi har inom ramen för projetet inte haft möjighet att gå vidare med dessa mått och utveca dem och deras användning men ser en ar potentia i att åtminstone några mått an vara användbara för att avgöra det inbyggda röreserum som finns i en agd tidtabe. Notera doc att de mått som presenteras ovan utgår från att aa möten mm som ger upphov ti beroenden mean de ensida traverseringarna sa håas, viet egentigen är ett för restritivt vior. Ett av de mest användbara vertygen för att minsa 18