Algebra och Geometri SF1624

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Algebra och Geometri SF1624"

Ludvig Magnusson
för 5 år sedan
Visningar:

1 Algebra och Geometri SF1624 Agenda 28/8/2017: 1 Information om kursen 2 vektorer Sandra Di Rocco dirocco@kth.se professor, institution för Matematik

2 Webbsida: Canvas logga in!

3 Information: Canvas varje vecka! 6 moduler 6 seminarier Uppgifter under moduler Max 6 bonus poäng à Tentamen Del A 12p Del B 12p Del C 12p E 16p

4 mer info Ø Läs info on seminarier!! Ø Boken: Läs boken! Under lektionen går vi inte genom allt som står i boken! Ø Omregistrerade och äldre studenter ska anmäla sig till seminarierna. Anmälningsblanketten finns på webbsidan.

5 Hjälp Ø Mattejour, matematikjour Det kommer att ordnas. Ø Kursnämnd 4-6 representanter anmäl din intresse till mig genom att maila mig senast sept. 15. Ø Frågor om anmälning och administration till

6 Nu kör vi! Gymnasie KTH träningstempo tävlingstempo Läs materialet innan ni kommer till föreläsning! Viktigt att ni inte tappar tempo!

7 Varför Matematik? Man kan säga att det finns tre språk man måste behärska på framtidens arbetsmarknad: engelska, kinesiska och matematik. De är helt avgörande för att vi ska kunna hålla levnadsstandarden i Sverige. Börje Ekholm, VD Investor, juni 2013 VD Eriksson

8 Algebra (?) Bild (pixels) -> Matris Operationer med matriser (Matris algebra) Tranformationer (Linjära transformationer) Optimala rotationer (eigenvektorer)

9 Geometri (?) Modellering Beskrivning av olika positioner (vink1, vink2, vink3)= vektor Operationer (vekotralgebra) Positioner (linjära transformationer) Vilka positioner når en viss punkt: Linjära system

Many confuse Mathematics with arithmetic, and consider it

Sonya Kovalevski, 1850-1891 4 (r 2 x 2 y 2 )(r 2 y 2 z 2

10 Many confuse Mathematics with arithmetic, and consider it an arid science. In reality, however, it is a science which requires a great amount of imagination. Sonya Kovalevski, (r 2 x 2 y 2 )(r 2 y 2 z 2 )(r 2 z 2 -x 2 ) (1 + 2r)(x 2 + y 2 + z 2 w 2 ) 2 w 2 = 0 r = (1+51/2)/2 Algebra Geometri 2x+3y+z=0 x+y+z=0 Linjär algebra Linjär Geometri

11 Modul 1 v /8 Vektorer /8 Linjära ekvationer och Gauss 31/8 Trappstegform och rang

12 System av linjära ekvationer System av 3 linjära ekvationer i 3 variabler 8 < : 2x + y + z = 0 2x +3z = 2 5y 23z = 5 Att lösa systemet = bestämma alla (a,b,c) som uppfyller de tre ekvationer samtidigt. Ex: BARA (71/26, -56/13,-15/13)

13 Vertyg 2x + y + z = 0 2x +3z = 2 5y 23z = x y z z y (2, 2, 0) x Ekvations system Matriser vektorer

14 Vektorer Plan Rum P=(2,2) P=(2,1,3) 0=(0,0) Strecket 0P= vektor som punkten P representerar. Måste bestämma ett referens-system(xyz) Beteckning: ~v = ~ OP =(x, y) = apple x y ~0 =(0, 0)

15 Operationer genom koordinater ~v ± ~u =(v 1,v 2 ) ± (u 1,u 2 )= apple v1 v 2 ± apple u1 u 2 = apple v1 ± u 1 v 2 ± u 2 =(v 1 ± u 1,v 2 ± u 2 ) Ex: ~v ~u

16 ( 1, 3) ( 1, 3) (5, 1) (5, 1) (-1,3)-(5,-1)=(-6,4) (5,-1)-(-1,3)=(6,-4)

17 längden t~v = t(v 1,v 2 ) Frågor: Kan ni rita, för alla t, Beräkna 3~v 1 2 t~0 =t(0, 0) ~w där ~v =(1, 1, 1), ~w =(6, 6, 6)

18 Linjer i planet Q =(c, d) P=(x,y) L ~u =(a, b) Linje genom en punkt Q och med riktning ~u 0P ~ =(x, y) = 0Q ~ + t QP ~ =(c, d)+t(a, b) x = ta + c y = tb + d Parametrisk ekvation EN PARAMETER=EN DIMENSION

19 Fråga: Skriv EN ekvation i variablerna x,y, som beskriver linjen i planet med riktning (12,3) och som passerar genom punkten (2,1).

20 Fråga: Skriv EN ekvation i variablerna x,y, som beskriver linjen i planet med riktning (12,3) och som passerar genom punkten (2,1). Parametrisk beskrivning x = 12t +2 y =3t +1 Kan eliminera t x 4y =2 4= 2 Svar: x 4y +2=0 Ekvation till linjen

21 Fråga: Bestäm den parametriska ekvation till linjen i planet som går igenom två punkter P och Q: Q =(c, d) P =(a, b) 1 Riktning : ~ PQ =(c, d) (a, b) =(c a, d b) 2 linje med denna riktning och som går genom Q x =(c y =(d a)t + c b)t + d (x, y) =((c a)t + c, (d b)t + d)

22 En linje i planet: Dimensioner En godtycklig punkt på linjen har två koordinater (x,y). En parametrisk ekvation ska bestå av två parametriska ekvationer: x = ta + c y = tb + d En linje i planet kan tänkas som ett en dimensionellt objekt i en två dimensionell värld. Man ska därför gå ned en dimension vilket betyder att man ska kunna beskriva linjen genom en ekvation, ex: Förklara hur! x 4y +2=0

23 Dimensioner En linje i rummet: En godtycklig punkt på linjen har tre koordinater (x,y,z). En parametrisk ekvation an en linje med riktning (a,b,c) och som går genom punkten (d,e,f) 8 < : x = at + d y = bt + e z = ct + f En linje i planet kan tänkas som ett en dimensionellt objekt i en tre dimensionell värd. Man ska därför gå ned två dimensioner som betyder att en beskrivning ska ges genom Två ekvationer: x +2y +3z =0 x +3y +5z + 75 = 0

24 Nykelbegrepp från idag Ø Hur representerar man en vektor? Ø Vektorerna kan adderas och multipliceras med skalär Ø Hur representerar man en linje i planet? parametriskt ekvation

Relevanta dokument

Linjär Algebra, Föreläsning 2

Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Riktade sträckor och Geometriska vektorer En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt.