Bredbandig lobbildning

Transkript

1 TVE juni Examensarbete 15 hp 10 Juni 2013 Bredbandig lobbildning Bestämning av bredbandiga signalers infallsvinklar med hjälp av en sensor-array Per Hedbrant Jonas Mirza

2 Abstract Bredbandig lobbildning - Bestämning av bredbandiga signalers infallsvinklar med hjälp av en sensor-array Wideband beamforming - Determine direction of arrival of broadband signals by using a sensor array Teknisk- naturvetenskaplig fakultet UTH-enheten Besöksadress: Ångströmlaboratoriet Lägerhyddsvägen 1 Hus 4, Plan 0 Postadress: Box Uppsala Telefon: Telefax: Hemsida: Per Hedbrant och Jonas Mirza Denna rapport presenterar en metod som möjliggör bestämning av bredbandiga signalers infallsvinklar. Studien är gjord i Matlab där infallande signaler samplades med ett antal sensorer utplacerade ekvidistant på en rätlinje. Den samplade informationen viktades sedan med konstanter framtagna med en konvex optimeringsrutin för att bilda en vinkelberoende utsignal. Rutinerna testades för insignaler med ett få antal frekvenser och gav för alla testade insgnaler en mycket bra bestämmning av infallsvinklen. Studien visar även att det är möjligt att göra systemet mer robust mot störningar i sensorernas positioner genom att ställa kriterier på den konvexa optimerings rutinen. Handledare: Magnus Lundberg Nordenvaad Ämnesgranskare: Daniel Carlsson Examinator: Martin Sjödin ISSN: , TVE juni

3 Innehåll 1 Inledning Bakgrund Traditionellt: Delay and sum Metoder för lobbildning Smalbandiga respektive bredbandiga signaler Problemformulering Rapportens struktur Teori Samplingsteoremet Sampling i rummet Konvex optimering Metod Modelluppställning och antaganden Smalbandig lobbildning Bredbanding loobbildning Metoder för bestämning av vikter Ett mer robust system Resultat 12 5 Diskussion Felkällor Framtida forskning Slutsats 19 Litteraturförteckning 20 A Appendix 21 A.1 Populärvetenskaplig sammanfattning A.2 Matlab-kod A.2.1 A matrix A.2.2 analytic weights A.2.3 antenna array A.2.4 beamformer i

4 A.2.5 cvx weights A.2.6 rnd A.2.7 sample sensors ii

5 1 Inledning 1.1 Bakgrund Lobbildning (eng. beamforming) är en metod inom signalbehandling där ett antal sensorer används för att få en förstärkning som varierar med insignalens infallsvinkel. Genom att manipulera varje sensors insignaler är det möjligt att styra hur förstärkningen beror av infallsvinkeln, vilket kallas spatiell filltrering. Därmed kan positiv interferens skapas genom att variera fas och amplitud på sensorernas insignaler, vilket ger att förstärkningen kan riktas mot den intressanta vinkeln. Analogt kan utsignaler från ett antal sändare riktas mot ett mål där de skapar positiv interferens (Liu and Weiss 2010). (a) Amplitut som en funktion av infallsvinkel. (b) Karaktäristiska lober. Figur 1.1: Två olika figurer (a) och (b) illustrerar samma sak: utsignalens amplitud som en funktion av signalens infallsvinkel DOA. Amplituden är som störst då signalen inkommer vinkelrät mot linjen av sensorer, d.v.s. vid infallsvinkel = 0.Figur (b) är hämtad [ ] från beamforming/delaysum.html. Vid all signalbehandling förekommer störande brus, men vid användning av flera sensorer kan bruset på ett enkelt sätt dämpas, se avsnitt 1.2. Lobbildning är utförligt studerat och återfinns 1

6 inom en rad olika tillämpningsområden, däribland radar, sonar, radioastronomi, seismology, vid medicinska diagnoser och behandlingar, och inom kommunikationsteknik, se Veen and Buckley (1988) och innehållande referenser. 1.2 Traditionellt: Delay and sum Traditionellt är metoden delay-and-sum väl använd, där en lobbildning skapas genom att tillföra en tidsfördröjning till varje insignal. För att beskriva metoden, betrakta följande: Sensorerna kan placeras i en, två eller tre rumsdimensioner (på linje, i ett plan, eller i en rymd). I detta fallet, antag att ett antal sensorer ligger på linje och registrerar en inkommande signal från infallsvinkel DOA = θ (eng. Direction of Arrival). Då kommer den andra sensorn att registrera en insignal likadan som den första sensorn, men med en tidsfördröjning τ 1 = (d 1 sinθ)/c där d 1 är avståndet mellan första och andra signalen och c är vågutbredningshastigheten, se figur 1.2. På samma sätt registrerar den tredje sensorn samma insignal som den första men med tidsförskjutning τ 2 = ((d 1 + d 2 )sinθ)/c där d 2 är avståndet mellan andra och tredje sensorn. Figur 1.2: Den andra sensorn registrerar insignalen τ sekunder efter den första sensorn. Tidsfördröjning ges av τ 1 = (d 1 sinθ)/c där d 1 är avståndet mellan första och andra signalen, och c är vågutbredningshastigheten. Figuren är baserad på ett orginal som är hämtad från beamforming/delaysum.html [ ]. Metoden delay-and-sum kompenserar för tidsförskjutningar och summerar ihop insignalerna, se figur 1.3. Eftersom tidsfördröjningarna beror av θ kommer positiv interferens endast erhållas för viss vinkel. Resultatet är att insignaler från θ förstärks medan signaler från andra vinklar smetas ut över tiden och därmed dämpas. 2

7 Figur 1.3: Två signaler inkommer till systemet med olika infallsvinklar, signalen ovan inkommer med den infallsvinkel som lobformaren är vänd mot. Tidsfördröjning läggs på för att skapa positiv interferens då sensorernas signaler superpositioneras. Signalen i den nedre delen av figur 1.3 har en annan infallsvinkel och därmed erhålls ingen positiv interferens vid superpositioneringen. Figuren är hämtad från: beamforming/delaysum.html [ ]. 1.3 Metoder för lobbildning Då förstärkningen i decibel plottas mot infallsvinkeln fås ett möster av lober, se figur 1.1a och 1.1b. Den stora loben, som i detta fall har sitt centrum vid vinkel 0, benämns huvudlob och de brevidliggande benämns sidolober. Önskvärt är smala huvudlober som bibehåller sin förstärkning (0 db) samtidigt som sidoloberna dämpas. Många studier har gjorts på att ta fram metoder för detta, och idag kan metoderna delas upp i fixa respektive adaptiva lobbildare. Fixa lobbildare är dataoberoende medan adaptiva lobbildare använder inkommande signaler för att justera och förbättra sitt amplitudsvar. Om infallsvinkel är känd eller om en referenssignal finns tillgänglig så kan olika adaptiva tekniker användas (Liu and Weiss 2010). Lobbildare är beroende av de inkommande signalernas frekvenser, se avsnitt 1.4. Det finns idag adaptiva metoder för att dela upp bredbandiga signaler i subband för att öka konvergenshastigheten av optimeringarna och reducera beräkningskomplexiteten (Akansu and Haddad 2000). 1.4 Smalbandiga respektive bredbandiga signaler Vid tillämpningar inom radar förekommer ofta signaler med frekvensspann som är betydligt mindre än storleksordningen på hela frekvensområdet, vilket möjliggör att varje signals fre- 3

8 kvensinnehåll kan approximeras till endast en frekvens. Approximationen förenklar behandlingen av signalen radikalt, då det istället för att räkna på ett intervall av frekvenser räcker med en frekvens. När denna approximation är möjlig sägs signalen vara av smalbandig karaktär (eng. narrowband), annars kallas signalen för bredbandig(eng. broadband) (Liu and Weiss 2010) vilket är fallet för ljudvågor under vatten, som denna studie behandlar. 1.5 Problemformulering Antag att punktformiga ljudkällor sänder ut signaler av bredbandig karaktär. Signalerna registreras sedan av sensorer på mycket långt avstånd från ljudkällorna. Både ljudkällorna och sensorerna befinner sig under vatten och ljudkällorna betraktats som stillastående i förhållade till sensorerna. Syftet med denna studie var att bestämma DOA för en inkommande våg av bredbandig karakträr. Genom att använda en sensor-array med en konvex optimeringsrutin skulle de största sidoloberna minimeras för att framhäva den inkommande signalens huvudlob. Om möjligt skulle den konvexa optimeringsrutinen även göras mer robust mot störningar. Det skulle även undersökas om rutiner som bygger på konvex optimering lämpar sig bättre än rutiner byggda på minsta kvadratanpassning, för att finna DOA. 1.6 Rapportens struktur Denna rapport är skriven i tre delar där huvuddelen består av metod och resultat. Första delen har till syfte att ge en beskrivning av ämnet. I sista delen diskuteras resultatet. 4

9 2 Teori I följande avsnitt presenteras teorin kring tids- och rumssampling och vad som krävs för att undvika vikning. Eftersom metoden konvex optimering kommer användas i studien kommer även teori kort kring detta presenteras kortfattat. 2.1 Samplingsteoremet När en signal omvandlas från tidskontinuerlig- till tidsdiskret domän kallas det för sampling. För att möjliggöra en rekonstruktion av tidskontinuerlig signal krävs då att samplingsfrekvensen ska vara minst dubbelt så stor som den största frekvensen hos den tidskontinuerliga signalen (Roberts 2012). Denna gräns för samplingsfrekvensen kallas för Nyquist-frekvensen. Om inte samplingskriteriet är uppfyllt kan två olika signaler samplas till samma tidsdiskreta signa. Detta fenomen kallas för vikning (eng.aliasing), där de höga frekvenserna viks in och möjligtvis förekommer fler än en gång (Roberts 2012). 2.2 Sampling i rummet När insignalen simultant registreras av de olika sensorerna kan de ses som sampling i rummet istället för i tiden. Naturligt är därmed att samma vikningsproblem kan uppkomma. Implikationen om detta sker är att det inte unikt går att bestämma infallsvinkeln för olika signaler. Detta brukar kallas gratinglober (Wang, Fang and Chow 2008). För att studera vikningsproblemet, betrakta en smalbandig signal med vinkelfrekvens ω. Signalen som en sensor registrerar har den analytiska formen u(t) = e jω(t τ) (2.1) där τ är en tidsfördröjning. Om sensorerna ligger på en linje skrivs τ på formen τ(θ) = d sinθ c där c är vågutbredningshastigheten, d är distansen mellan berörd sensor och den sensor som tidsfördröjningen refererar till, se figur 1.2. Dvs, om två signaler har olika infallsvinklar θ 1 och 5 (2.2)

10 θ 2 men samma frekvens så uppfattas de lika om sinθ 1 = sinθ 2 : e jω(t τ(θ 1)) = e jω(t τ(θ 2)) e jωτ(θ 1) = e jωτ(θ 2) (2.3) (2.4) e j(2πd sinθ 1)/λ = e j(2πd sinθ 2)/λ. (2.5) För sista steget utnyttjades att ω = 2πc/λ och τ(θ) = (d sinθ)/c. För att (2.5) ska gälla krävs det att argumentet av exponentialfunktionerna är större än π: 2π(sinθ)d λ π (2.6) θ=θ1,θ 2 Dvs, för att undvika rumslig vikning måste det gälla att d sinθ λ < 2 1 vilket betyder att d < λ 2 (2.7) eftersom sinθ 1. Enligt (2.7) måste alltså avståndet mellan varje sensor vara strängt mindre än halva signalens största våglängd,. 2.3 Konvex optimering Vissa av de lobbildningsrutiner som togs fram använde konvex optimering. För att förstå hur det går till presenteras nedan en definition av konvexa matematiska optimeringsproblem. För en djupare studie av ämnet hänvisas läsaren till Boyd and Vendenberghe (2004). Ett matematiskt optimeringsproblem kan skrivas på formen min f 0 (x) under bivillkor (2.8) f i (x) b i,i = 1,...,m där x = (x 1,...,x n ) är optimeringsvariabeln, f 0 är målfunktionen, b n = (b 1,..., b n ) är gränserna till bivillkoren, samt f i, i = 0,1,...,m är funtioner såndana att f i : R n R. Om f 0 (x) antar minimum i x så kallas x R n för lösningen till problemet. Funktionerna f i (x) är konvexa om de uppfyller f i (αx + βy) α f i (x) + β f i (y) (2.9) för alla x,y R n och där α,β R sådana att α,β 0 och α + β = 1. Om alla funktioner f i (x) är konvexa så kallas problemet ovan för ett konvext optimeringsproblem. I Denna studie har ett specialfall av ett konvext optimeringsproblem studerats, nämligen där w och b är vektorer och A är en matris. min f 0 (x) under bivillkor (2.10) Aw = b 6

11 3 Metod I avsnitt 3.1 beskrivs ramar och antaganden för studien. Vidare beskrivs de rutiner som framtagits för att ge en lösning till studiens problemformulering. Matlab och dess toolbox CVX användes för beräkningar (CVXResearchInc. 2013). För att se Matlab-koden som rutinerna utgörs av hänvisas läsaren till appendix A Modelluppställning och antaganden Kontexten i studien är en marin miljö där både ljudkällorna och mottagarna (sensorerna) befinner sig under vatten. Därför är parametrarna valda utifrån denna kontext. Alla signaler som har betraktats i studien tänks ha sin källa så långt bort från sensorerna att de inkommande signalernas vågfronter kan betraktas som plavåger, d.v.s. att de inkommande signalerna har parallella och raka vågfronter. Källan antas stilla i förhållande till mottagarna och signalens frekvens ändras inte under tiden som den registreras. Vidare antas att ljudhastigheten är konstant i en brusfri miljö utan yttre störningar och med ideala sensorer. Förstärkningen hos varje sensor antas lika stor för alla vinklar, en sensor kan därmed själv inte avgöra varifrån en signal kommer. Alla sensorerna antas samplas exakt simultant. Analysen gjordes i två rumsdimensioner, vilket implicerar att infallsvinkeln enbart behöver uttryckas i en vinkel θ (stället för två vinklar (θ,φ) i det generella tredimensionella fallet). En simuleringsmiljö skapades i Matlab där ljudutbredningshastigheten c hölls konstant. I denna miljö placerades ett antal sensorer ut på en rät linje med ekvidistant avstånd d mellan varandra. Raden av sensorer utgör en så kallad linjär sensor-array, se fig 1.2. Samtliga sensorer i arrayen har samma samplingshastighet f s. Antag att Q st ljudvågor s q (t) härstammar från olika ljudkällor och infaller mot en linjär sensor-array, där q = 0 betecknar den första källan och q = Q 1 betecknar den sista. Antag vidare att samtliga ljudvågor består av en eller flera diskreta och konstanta frekvenser. Om sensor-arrayen samplar dessa vågor simultant bildas insignalen x(t) = Q 1 s q (t). (3.1) q=0 Den använda metoden byggde på antagandet att det är möjligt att att bestämma infallsvinkel DOA = θ för en infallande planvåg s(t) genom att multiplicera varje tidssampel från varje sensor 7

12 med en på förhand bestämd vikt för att sedan summera samtliga produkter. Vikterna tilläts vara ett konstant komplext tal, vilket ger att metoden är linjär. Antag uppställningen som är beskriven i detta avsnitt, med M st sensorer och J st tidssampel. Låt den m:te sensorn sampla insignalen. Det j:te samplet uttrycks då som x m, j (t). Låt den vikt som motsvarar x m, j (t) benämnas w m, j. Där w m, j är konjugatet av w m, j och används p.g.a. definition av skalärprodukt för komplexa vektorer (Råde and Westergren 2010). Antag vidare att senorerna m = [0,...,M 1] har samplat insignalen för j = [0,...,J 1]. Det går då att skapa en tilltänkt utsignal y(t), från hela sensor arrayen, som y(t) = w H x(t), där x(t) = [x(t) 0,0... x(t) M 1,0 x(t) 0,1... x(t) M 1,1 x(t) 0, x(t) M 1,J 1 ] (3.2) och w H = [w 0,0... w M 1,0 w 0,1... w M 1,1 w 0, w M 1,J 1] T. (3.3) Då s(t) är en plan våg kan x(t) skrivas som x(t) = e jωt [e jωτ 0... e jωτ M 1 e jω(τ 0+T s )...e jω(τ M 1+T s )......e jω(τ 0+(J 1)T s )...e jωτ M 1+(J 1)T s ) ] (3.4) där ω är vinkelfrekvensen, τ tids förskjutningen och T s är samplings perioden (Liu and Weiss (2010) sid 4-5). Vidare så är τ en funktion av infallsvinkeln θ. Sambandet mellan τ och θ ges av τ m (θ) = md sinθ c. (3.5) Då (3.5) stoppas in i (3.4) fås en källa x(t,θ), d.v.s. en samplad insignal beroende både av tid och infallsvinkel, vilket är en förutsättning för att finna från vilken vinkel en unik signal infaller från. Antag att en vektor w H (φ), sådan att y(t) = x(t,θ)w H (φ) antar sitt största värde då θ = φ, existerar. Om φ varieras över ett givet intervall kommer y(t,φ) anta sitt största värde exakt då θ = φ med andra ord signalens DOA är funnen. 3.2 Smalbandig lobbildning Antag att N st vågor infaller mot en sensor array, av sådant slag som är beskriven under avsnitt 3.1, med M st sensorer. Antag vidare att insignalerna är av smalbandig karaktär. Unikt för varje signal är dess ankomst vinkel (DOA). Låt DOA för den första signalen betecknas θ 0 och för den sista signalen som θ N 1. Då kan x n,m (t) analytiskt uttryckas med x n,m (t,θ) = e jω(t τ m(θ n )). (3.6) Det räcker i princip alltså att använda ett sampel från vardera sensor för att kunna beskriva signalen, givet att N < M ( se s. 7 i Liu and Weiss (2010) ). 8

13 Sensorarrayens insignal för våg nummer n kan skrivas som x n = e jωt [1 e jωτ 1(θ n )... e jωτ M 1 (θ n ) ] (3.7) Då e jωt inte bidrar med information om θ defineras vektorn d n (ω,θ) = [1 e jωτ 1(θ n )... e jωτ M 1(θ n ) ] (3.8) Låt denna vektor kallas styrvektorn. Läggs styrvektorerna, en från varje DOA, på var sin rad i en matris erhålls följande: 1 e jωτ 1(θ 0 )... e jωτ M 1(θ 0 ) 1 e jωτ 1(θ 1 )... e jωτ M 1(θ 1 ) A = (3.9). 1 e jωτ 1(θ N 1 )... e jωτ M 1(θ N 1 ) Låt viktvektorn vara och betrakta ekvationsystemet w = [w 0 w 1... w M 1] T (3.10) Aw = b (3.11) där b har samma dimension som w, och dess element är lika med noll förutom ett element som är en konstant. Det nollskilda elementet ligger på den plats som motsvarar vinkeln n (som referens till resonemanget ovan, se s. 7-9 Liu and Weiss (2010)). Om A 1 multipliceras från vänster bildas en vektor w. Om produkten y = x(t,θ)w bildas, kommer y = x(t,θ) konstant anta sitt största värde då infallsvinklen är lika med θ. Notervärt är att A 1 enbart existerar om A är kvadratisk och av full rang. Hur systemet löses då A 1 inte existerar kommer hanteras under avsnitt Bredbanding loobbildning Smalbandig lobbildning går att utvidga till bredbanding lobbildning. Samma antaganden som för den smalbandiga lobbildningen gäller även här, med undantag att insignalen ej längre är av smalbandig karaktär. Antag vidare att insignalens frekvensspann går att dela upp och approximera till P st diskreta frekvenser där den första frekvensen är p = 0 och den sista p = P 1. Med samma resonomang som gav att det behövdes ett tidssampel i det smalbandiga fallet är det tydligt att det minst behövs P st tidssampel i det bredbandiga fallet. Antag att det finns J st tidssampel där det första tidssamplet är j = 0 och den sista j = J 1 där J P. I det bredbandiga fallet blir därför styrvektorn d n,p (w p,θ n ) = [e jω pτ 0 (θ n )... e jω pτ M 1 (θ n ) e jω p(τ 0 (θ n )+T s... e jω p(τ M 1 (θ n )+T s ) e jω p(τ 0 (θ n )+(J 1)T s )... e jω p(τ M 1 (θ n )+(J 1)T s ) ]. (3.12) 9

14 Låt styrvektorerna från varje DOA och frekvens uppta var sin rad i en matris, och följande erhålls Låt viktvektorn vara A = [d 0,0... d N 1,0 d 0,1... d N 1, d 0,J 1... d N 1,J 1 ] T (3.13) w m, j = [w 0,0... w M 1,0 w 0,1... w M 1, w 0,J 1... w M 1,J 1] T (3.14) och betrakta ekvationssystemet Aw = b (3.15) där b har samma dimension som w och P st nollskilda element. De nollskilda elementen ligger på de platser som motsvarar vinkeln n för samtliga frekvenser. Om A 1 multipliceras från vänster bildats en vektor w. Om produkten y = w x(t,θ) bildas, kommer y = x(t,theta) konstant anta sitt största värde då infallsvinklen är lika med θ. Anmärkningen angående A 1, från avsnitt 3.2 gäller även här. Det vill säga A 1 enbart existerar om A är kvadratisk och av full rang. 3.4 Metoder för bestämning av vikter Som nämnts i avsnitt 3.2 och 3.3 är ekvationssystemet (3.15), där w är okänd, inte lösbart om A 1 ej existerar. Därför behövs det någon metodik som kan approximera w även om så är fallet. Klassiskt sätt löses sådana problem med minsta kvadratanpassning. I denna studie kommer konvex optimering användas i förhoppning att erhålla bättre resultat, vilken beskrivs i följande stycke. Ekvationssystemet Aw = b, där w är okänd går att ställa upp som ett konvext problem. Detta gjordes genom att först dela upp A matrisen i matriserna A passband och A stoppband. A passband innehöll de styrvektorer som motsvar den önskade lyssningsriktningen, en styrvektor för varje frekvens. Sidoloberna önskades undertryckas, och de rader i A-matrisen som motsvarade dessa vinkar lades i A stoppband. Sedan ställdes det konvexa problemet upp, d.v.s. skapa w sådant att absolutbeloppet av det största värdet av produkten (A stoppband w) blir så litet som möjligt, samtidigt som värdet av (A passband w) ska vara exakt ett: min( max( A stoppband w ) ) under bivilkoret (3.16) A passband w = 1 Vilka vinklar som ska ingå i A stoppband är inte trivialt. I denna studie valdes de vinklar som motsvarar de maximala värdena hos de sidlober som skulle erhållits om en minsta kvadratanpassningsrutin skulle används. Vinklarna återfanns med ett periodiskt avstånd proportionell mot våghastigheten och inverst proportionell både mot frekvensen och antalet sensorer, d.v.s. avstand c f rekvens (antaletsensorer) (3.17) 10

15 3.5 Ett mer robust system I ett idealt fall är positionen för varje sensor exakt och ljudutbredningshastigheten konstant. Detta antagande går inte att realisera i kontexten beskrivet i avsnitt 3.1. Därför kommer detta avsnittet att behandla hur fel kopplade till tidsfördröjningen (τ) går att hantera. Ett exempel på fel kopplat till tidsfördröjning är avvikelse i sensorpossition. Antag en sensor-array som beskriven under avsnitt 3.1. Som tidigare nämnts gäller att τ m = md sin θ/c. Då två intilliggande sensorer betraktas blir τ tidsfördröjningen hos den andra sensorn relativt den första, och ekvationen reduceras till τ = d(sinθ)/c (3.18) Antag vidare att sensorernas positioner betraktas vara kända, fast att det i själva verket finns ett okänt fel ε. Låt ε defineras som felet i avstånd mellan två närligande sensorer, på samma räta linje som resterande sensorer i sensor-arrayen. Där ε är ett litet reelt tal. ε instoppat i (3.18) ger att (d + ε)sinθ τ = (3.19) c Vidare är τ en funktion av θ såväl som d vilket ger att felet ε kommer uppfattas som ett fel i θ eftersom d betraktas som känt. Då θ förekommer som sin(θ) i (3.19) kommer felet att variera som sin(θ), d.v.s. vara noll då θ = 0 och växa då θ ±90. Att detta blir ett fel, även då ett stort antal sensorer används, beror på att de vinklar som ingår i A stoppband valdes för att matcha vinklarna som motsvarar topparna hos sidoloberna. Ifall två sensorer upplever att signalen kommer från en annan vinkel än i det ideala fallet, kommer deras sidolober att flyttas. Då vinklarna för de nya sidloberna inte finns i A stoppband begränsas inte deras amplitud. I studien gjordes systemet mer rubust genom att anta att sensorerna var felplacerade med avståndet d f el där ε < d f el < ε. Sedan skapades en vektor motsvaraden det likformigt diskreta intervallet d robust = [d d f el... d + d f el ] med ett få antal punkter q. d robust instoppat i ekvation (3.19) ger τ m = d robustmsinθ (3.20) c τ m blev alltså vektorvärd med q element. Detta gav att varje styrvektor d n,p upptog q rader i A stoppband. 11

16 4 Resultat Resultatet av studien presenteras med plottar över lobbildningar för att kunna peka på skillnader hos dessa. Först presenteras smalbandinga lobbildare gjorda med två olika rutiner, minsta kvadratanpassningsrutinen och konvex optimering. Sedan ställs den konvexa optimeringsrutinen om mot bredbandiga signaler, och en lobbildning presenteras som resultat. Slutligen presenteras lobbildare då fel läggs in i positionen för varje sensor, en plot utan och en plot med rubustifierande rutin. I figur 4.1 visas amplituden plottat mot vinklen för en smalbandig lobbildare, skapad med minsta kvadratanpassningsrutin. En smalbandig våg infaller från DOA = 0 med f = 500 Hz, c = 1500 m/s, antalet sensorer = 12 st, d = 1 m och f s = 2000 Hz. Notera att de närmsta sidlobernas toppar har en amplitud på 13 db samt att strax före och efter ±80 grader är dämpningen starkare än 45 db. En inkommande våg urskiljs utifrån var i plotten som en dämpning inte återfinns, dvs var i plotten en huvudlob finns. Det går tydligt att se att vågen har DOA = 0. Till figur 4.2 är alla parametrar valda identiskt med figur 4.1. Det är fortfarande en smalbandig lobbildare, men den är i detta fallet skapad med komplex optimeringsrutin. En tydlig huvudlob kan urskiljas vid vinkel 0, vilket motsvarar DOA för vågen. Notera att sidloberna närmast huvudloben antar maxvärde 23dB samt att värdet understiger 45 db för ±90. 12

17 Figur 4.1: Amplituden plottad mot vinklen för en lobformare med minsta kvadratsanpassningsrutin där DOA = 0, f = 500Hz,c = 1500 m/s, antalet sensorer = 12 st, d = 1 m och f s = 2000 Hz. Figur 4.2: Amplituden plottad mot vinklen för en lobformare med konvex optimeringsrutin där DOA = 0, f = 500 Hz, c = 1500 m/s, antalet sensorer = 12 st, d = 1 m och f s = 2000 Hz. 13

18 I nästa figur, figur 4.3, är amplituden plottad mot infallsvinkel hos en bredbandig lobbildare skapad med konvex optimeringsrutin. Den inkommande vågen hade egenskaperna: DOA = 10, f = 410,420 Hz, c = 1500 m/s. Systemet hade egenskaperna: Antalet sensorer = 12 st, d = 1 m, antal tidssampel= 50 st, f = 405,415,420 Hz och f s = 2000 Hz. Notera att den högsta sidloben hade sin topp på 19 db. Figur 4.3: Amplituden plottat mot vinklen hos en bredbandig lobbildare, med konvex optimeringsrutin. Vågen hade infallsvinkeln DOA = 10 med f = 410,420Hz, c = 1500 m/s. Systemet hade egenskaperna: antalet sensorer = 12 st, d = 1m, antal tidssampel= 50, f = 405,415,420 Hz och f s = 2000 Hz. I figur 4.4 visas amplituden plottat mot vinklen hos en smalbandig lobbildare, med konvex optimeringsrutin. Vågen hade egenskaperna DOA = 40 med f = 410,420Hz,c = 1500m/s. Systemet hade egenskaperna: antalet sensorer = 12,d = 1 m, antal tidssampel= 50, f = 405,415,420 Hz, ε = 0.2 m och f s = 2000 Hz. Notera att ett fel på maximalt ±ε förekommer i sensorernas positioner. Vidare var huvudloben största värde 3 db, det såg även ut som att huvudloben gick hela vägen från 40 till 90 där värdena 10 db och 14 db antogs i punkterna 70 respektive 90. Det största värdet mellan 90 och huvudloben uppgick till strax över 30 db. I figur 4.5 är amplituden plottad mot vinklen hos en smalbandig lobformare, med robust konvex optimeringsrutin. Vågen hade egenskaperna DOA = 40 med f = 410,420 Hz, c = 1500 m/s. Systemet hade egenskaperna: antalet sensorer = 12,d = 1 m, antal tidssampel= 50, f = 405,415,420 Hz, ε = 0.2 m och f s = 2000 Hz. Notera att ett fel på maximalt ±ε förekommer i sensornas positioner, samt att en robust konvex optimeringsrutin användes. Notera att huvudloben största värde 3 db, samt att den största sidolobens värde var 16 db. 14

19 Figur 4.4: Amplituden plottat mot vinklen hos en smalbandig lobformare, med konvex optimeringsrutin. Vågen hade egenskaperna DOA = 40 med f = 410,420Hz, c = 1500 m/s. Systemet hade egenskaperna: antalet sensorer = 12, d = 1 m, antal tidssampel= 50, f = 405,415,420 Hz, ε = 0.2 m och f s = 2000 Hz. Figur 4.5: Amplituden plottat mot vinklen hos en smalbandig lobformare, med robust konvex optimeringsrutin. Vågen hade egenskaperna: DOA = 40 med f = 410,420 Hz, c = 1500 m/s. Systemet hade egenskaperna antalet sensorer = 12,d = 1 m, antal tidssampel= 50, f = 405,415,420 Hz, ε = 0.2 m och f s = 2000 Hz. 15

20 5 Diskussion Vi börjar med att diskutera skillnaderna då lobbildaren använder sig av en konvex optimeringkontra en minsta kvadratanpassningsrutin. Sedan kommer vi diskutera fördelar hos en konvex optimeringsrutin angående friheten att kunna bestämma pass- och stoppvinklar. Efter detta kommer diskussionen att handla om smalbandig- och bredbandig lobbildning för att avslutas genom att utvärdera vår robusthetsrutin. När lobbildaren använder sig av en minsta kvadratanpassningsrutin ser vi att de sidlober närmast huvudloben blir 10dB större, samtidigt blir loberna nära ±90 mycket mindre än vid konvex optimering, se resultat tillhörande figur 4.1 och figur 4.2. Idealt är det önskvärt att bara se en topp precis för den grad som signalen inföll ifrån, eftersom de resterande topparna skulle kunna tolkas som som svaga signaler. Problemet att sidolober kan förväxlas med huvudlober blir extra stort om man betraktar två eller flera signaler som infaller samtidigt, med DOA sådant att deras sidlober superpossitioneras. De sidlober som är lättast att misstolka som en huvudlob är givetvis de med störst amplitud. Av denna anledning är den komplexa optimeringsrutinen bättre än minsta kvadratanpassningsrutin, för arrayen som genererade bilderna, då den största sidloben är 10dB lägre. Då en lobbildare med minsta kvadratanpassningsrutin används finns det ingen frihet i hur stopprespektive passvinklar sätts, detta sköts automatiskt av rutinen. Om å andra sidan en komplex optimeringsrutin används måste användaren själv designa stopp- och passbandet. Detta gör att det är möjligt att påverka resultatet på önskat sätt. Till exempel: I vårt fall då vi var ute efter att konstruera en lobformare med så små sidolober som möjligt, detta var möjligt genom konvex optimering. Vi kan även tänka oss andra sammanhang som vi tror att användare skulle kunna vinna mycket genom att använda konvex optimering. Antag till exempel att en våg inkommer från en viss vinkel som inte är av intresse. Svaret från denna vinkel borde då gå att undantryckas med hjälp av den konvexa optimeringsrutinen, detta har dock inte studerats i denna studie. Iaktta figur 4.3, vi ser där att toppen hos huvudloben, för den flerbandiga lobbildaren, överensstämmer med DOA, vilket indikerar att systemet fungerar på ett önskvärt sätt. Om sidlobernas amplitud jämförs med sidloberna hos den smalbandiga lobbildaren, se figur 4.2, ser vi att sidloberna är cirka 4dB högre för den bredbandiga lobbildaren. Vi tror detta beror på antagande att det går att approximera vågens frekvenser till en närliggande frekvens, se avsnitt 3.3. Detta resulterar i att lobbildarens stoppband inte är optimerad för vågens riktiga frekvens, utan en närliggande, vilket ger ett något sämre resultat. 16

21 Då figurerna 4.4 och 4.5 och betraktas syns det att vi erhöll en mer distinkt huvudlob när en robust metod användes. Lägg märke till att huvudloben hos den orobusta metoden är mer utdragen mot 90 jämfört med den robusta. Detta ger att risken för falska signaler i intervallet 40 till 90 är högre om den robusta metoden ej används. Vi ser även att svaret får en lägre amplitud på nästan hela intervallet 90 till 10 om den robusta delrutinen inte används, jämfört med om den inte används. Men då syftet är att bestämma DOA är detta inte av nytta eftersom det för med sig en stor osäkerhet i intervallet 40 till 90. Eftersom felet växer då θ går mot ±90 blir det av stor vikt att systemet är robust om vinklen hos den infallande signalen är stor. Vidare får vi i det robusta systemet överlag högre amplitud hos sidloberna på intervallet 90 till 10 jämfört med det från det ickerobusta systemet, se figurerna 4.4 och 4.5. Detta tror vi beror på A stoppband innehåller flera vinklar då en robustrutin används. Flera vinklar medför att det konvexa problemet kommer innehålla flera kriterier som ger att sidoloberna inte kan dämpas lika starkt som för färre kriterier. Även om resultaten blir sämre då man använder den rubusta rutinen för små θ, anser vi att rutinen är mycket användbar eftersom det skulle vara en väldigt stor inskränkning på problemet att anta att den inkommande vågen alltid skulle ha DOA motsvarande ett θ nära noll. Rutinen som använder konvex optimering skapar en matrix A som har dimensionerna (antalet (sidolober * antalet robustifieringspunkter * antalet frekvenser som optimeras) x (antalet sensorer * antalet tidssampel). Om antalet frekvenser som optimeras ökar så måste även antalet tidssampel öka för att inte ekvationssystemet ska bli för starkt överbestämt. Om antalet frihetsgrader är mycket lägre än antalet kriterier så riskerar det konvexa optimeringsproblemet att bli olösbart. 5.1 Felkällor I detta avsnitt kommer två typer av felkällor diskuteras. Först kommer de felkällor som kan ha uppstått p.g.a. de framtagna modellerna presenteras, sedan presenteras de felkällor som är kopplade till de antaganden gjorda i studien. Då den framtagna modellen för bredbandig lobbildning enbart har testats för en våg bestående av två frekvenser i ett snävt frekvensspan finns det ingen garanti att metoden fungerar för en våg med kontinuerligt frekvensspann. Eftersom metoden inte är testad för signaler av ett större antal frekvenser är det svårt att bedöma hur stor denna felkälla är, ifall den finns. Då vi antog att ljudhastigheten c var konstant, vilket den inte är i verkligheten, skapar detta även en felkälla. Denna felkälla bedöms inte vara så stor eftersom att c = f λ och variation i c kan alltså tolkas som en variation i f, vilket en bredbandig lobformare är byggd för att hantera. Det finns även en rad felkällor som är kopplade till antaganden angående sensorerna, t.ex. att deras enskilda svar är oberoende av DOA och att alla sensorer i sensor-arrayen är identiska. Hur mycket dessa felkällor påverkar i verkligheten har vi svårt att uttala oss om detta då det inte är undersökt i studien. 17

22 5.2 Framtida forskning Forskningen är långt gången på området lobbildning, det finns många andra avancerade och effektiva metoder som inte användes i denna studien. Det som emellertid går att vidareutveckla från denna studies resultat är Vidareutveckling av rutinen som gör systemet robust mot störningar i styrvektorn. Rutin som motverkar störningar i ljudvågors utbrednining nära farkosten som sensorerna sitter på: I verkligheten kommer sensorerna sitta på en farkost under vatten. Farkostens form och täthet kan inverka på hur ljudvågorna breder ut sig. Om det till exempel finns en urholkning i skrovet nära några sensorer, hur påverkar det ljudvågornas utbredning? Denna studie har inte tagit hänsyn för störningar av denna typ. Rutin för variation i vågutbredningshastigheten: Vågutbredningshastigheten varierar i verkligheten som funktion av trycket (och därmed djupet), temperaturen, salthalten. Empiriska ekvationer och tagits fram för att deterministiskt bestämma hastigheten (se NationalPhysicalLaboratory (2013) och Grosso (1974)). Simulera fel i andra parametrar, exempelvis att sensorerna inte samplas simultant, och skapa rutiner som motverkar dessa störningar. Utveckla eller implementera redan utvecklade metoder (se bl. a. kap. 3 i Liu and Weiss (2010)) för att behandla ljudvågornas frekvenser för att på så sätt göra optimeringen av vikterna mer precis. Exemplevis utveckla en rutin som skapar ett antal smalbandiga signaler av en bredbandig. I studien antogs vågor med plana vågfronter. Intressant hade varit att studera när denna approximation inte längre är möjligt. 18

23 6 Slutsats Denna studie har haft till syfte att bestämma DOA hos signaler som infaller mot en sensorarray m.h.a numreriska metoder. Studien har resulterat i rutiner som uppfyller syftet utifrån de antaganden som har ställts. Vidare har vi noterat att den metod som använder konvex optimering istället för minsta kvadratanpassning erhåller bättre resultat. Vi har även lyckats att göra den konvexa optimeringsmetoden mer robust mot fel som går att koppla till en tidsfördröjning τ. 19

24 Litteraturförteckning Akansu, A. N. and Haddad, P. R. (2000). Multiresolution Signal Decomposition Transforms, Subbands, and Wavelets, Burlington, Elsevier, EBLPublic/PublicView.do?ptiID= Boyd, S. and Vendenberghe, L. (2004). Convex Optimization, Cambridge University Press. CVXResearchInc. (2013). A Matlab-based modeling system for convex optimization, Download available from [ ]. Grosso, V. (1974). New equation for speed of sound in natural waters with comparisons to other equations, Journal of the Acoustical Society of America 56 (4): Liu, W. and Weiss, S. (2010). Wideband Beamforming Concepts and Techniques, John Wiley & sons Ltd. NationalPhysicalLaboratory (2013). Technical Guides - Speed of Sound in Pure Water, Download available from soundpurewater/ [ ]. Råde, L. and Westergren, B. (2010). Mathematical handbook for Science and Engineering, Studentlitterarur AB Lund utgåva 5:8, Elanders Beijing Printing Co. Ltd, China. Roberts, M. J. (2012). Signals and Systems: Analysis Using Transform Methods and MATLAB, McGraw-Hill, New York, NY, USA. Veen, B. D. V. and Buckley, K. M. (1988). filtering, IEEE ASSP Magazine. Beamforming: A versatile approach to spatial Wang, H., Fang, D. and Chow, Y. L. (2008). Grating lobe reduction on a Phased Array of Limited scanning, IEEE transactions on antennas and propagation, vol. 56, no.6 june. Författarna har fått ett skriftligt godkännande från Dr. Andrew Greensted på att alla de figurer som är hämtade från webbsidan The Lab Book Pages med webbadressen labbookpages.co.uk/audio/beamforming/delaysum.html får användas i rapporten. 20

25 A Appendix A.1 Populärvetenskaplig sammanfattning Hur kan man bestämma riktningen till en ljudkälla om både ljudkällan och mottagaren är under vatten? Det handlar denna studie om. Lobbildning är ett forskningsområde inom signalbehandling som handlar om hur man använder flera mottagare, ofta fördelade på en rad, för att mäta en inkommande signal. Signalen är i detta fallet ett ljud, och genom att mäta samma ljudsignal på olika ställen kan information fås som en enskild mottagare inte hade kunnat ta fram. Mycket inom signalbehandling handlar om att filtrera bort brus från de intressanta signalerna. Lobbildning handlar mycket om det också; Genom enkla matematiska metoder kan man rikta in sina mottagare mot en vinkel och bara lyssna på signaler i den riktingen. En av dessa matematiska metoderna är minsta kvadratanpassning. Den är enkel att implementera men resultatet av är svårt att påverka. Med vår studie ville vi se om vi kunde få bättre resultat genom att i stället använda konvex optimering, där man har större möjligheter att påverka resultatet. Det finns redan färdigutvecklade matematiska metoder som använder konvex optimering, vår uppgift var att skriva ett program som använde en sådan metod för att beräkna riktningen av det infallande ljudet. Det visade sig att konvex optimering lämpar sig bra, vi kunde tydligt bestämma riktningen till ljudkällan när ljudsignalen bestod av endast ett fåtal frekvenser, men vi tror att beräkningsprogrammet även kan bestämma riktningen till fler ljudkällor som inte bara sänder ut enkla ljudsignaler. Vi lyckades även göra metoden mer robust mot störningar i mottagarnas positioner. A.2 Matlab-kod Nedan presenteras den matlab-kod som skrevs i studien, varje.m-fil har sitt egna avsnitt. 21

26 A.2.1 A matrix 1 f u n c t i o n a = a _ m a t r i x ( a n g l e s, f r e q u e n c y, number_of_timesamples, number_of_sensors, c, t i m e _ r e s o l u t i o n, d e l t a, p o i n t s, d, main_pos ) % r u b u s t data 5 error = l i n s p a c e ( d e l t a, d e l t a, p o i n t s ) ; 6 i f ( isempty ( error ) ==1) 7 error = 0 ; p o i n t s = 1 ; 8 end 9 % c l a s s i c data 10 t = 1 / ( f r e q u e n c y ) ; 11 t = l i n s p a c e ( 0, number_of_timesamples / ( t i m e _ r e s o l u t i o n ), number_of_timesamples ) ; 12 a n g l e s = deg2rad ( a n g l e s ) ; 13 omega = 2 pi f r e q u e n c y ; 14 a = z e r o s ( l e n g t h ( a n g l e s ) p o i n t s, n u m b e r _ o f _ s e n s o r s number_of_timesamples ) ; 15 % 16 f o r row = 1 : l e n g t h ( a n g l e s ) f o r e = error 19 column =1; 20 f o r t _ s a m p l e = 1 : number_of_timesamples f o r s e n s o r = 1 : ( n u m b e r _ o f _ s e n s o r s ) 23 t a u = ( d+e ) s i n ( a n g l e s ( row ) ) / c ( s e n s o r 1) ; %check t h a t t a u i s a l l o w e d 26 t a u _ l e f t = ( d+e ) s i n ( deg2rad ( main_pos ( 1 ) ) ) / c ( s e n s o r 1) ; 27 t a u _ r i g h t = ( d+e ) s i n ( deg2rad ( main_pos ( 2 ) ) ) / c ( s e n s o r 1) ; i f ( tau > t a u _ l e f t && tau < t a u _ r i g h t ) 30 i f abs ( tau t a u _ l e f t ) <abs ( tau t a u _ r i g h t ) 31 t a u = t a u _ l e f t ; 32 e l s e 33 t a u = t a u _ r i g h t ; 34 end 35 e l s e i f ( tau < t a u _ l e f t && tau > t a u _ r i g h t ) 22

27 36 i f abs ( tau t a u _ l e f t ) <abs ( tau t a u _ r i g h t ) 37 t a u = t a u _ l e f t ; 38 e l s e 39 t a u = t a u _ r i g h t ; 40 end 41 end a ( row, column ) = exp( 1 i omega ( t a u + t ( t _ s a m p l e ) ) ) ; %a ( row, column ) = exp ( 1 i omega ( t a u+ t _ s a m p l e ) ) ; 44 column=column +1; 45 end end 48 end 49 end end A.2.2 analytic weights 1 f u n c t i o n [ w e i g h t t h e t a ] = a n a l y t i c _ w e i g h t s ( number_of_sensors, a n g l e _ r e s o l u t i o n, f r e q u e n c y, c ) 2 % l e a s t squar : d e t e r m i n e w e i g h t c o n s t a n t s 3 %a l e a s t squar way t o d e t e r m i n e w e i g h t c o n s t a n t s t o a number o f a n g l e s between 90 4 % t o 90 d e g r e e s. 5 % I n p u t 6 % number_of_sensors, [ i n t e g e r ] 7 % a n g l e _ r e s o l u t i o n, [ i n t e g e r ] 8 % f r e q u e n c y [ Hz ] 9 % >>>> 10 % Output : 11 % A m a t r i x o f c o n s t a n t s. 12 % Every column r e p r e s e n t s t h e c o n s t a n t s f o r a s p e c i f i c a n g l e. 13 % A ( t h e t a ) w e i g h t = b 14 % w e i g h t = A \ b f o r each a n g l e. 15 % Dimension : [ n u m b e r _ o f _ s e n s o r s x a n g l e _ r e s o l u t i o n ] weight = c e l l ( 1, a n g l e _ r e s o l u t i o n ) ; 18 % f o r i =1: a n g l e _ r e s o l u t i o n ; 19 % w e i g h t { 1, i }= z e r o s ( n umber_of_sensors, 1 ) ; 20 % end f o r f r e q = 1 : l e n g t h ( f r e q u e n c y ) 23

28 23 24 omega = f r e q u e n c y ( f r e q ) 2 pi ; % f r e q u e n c y i n r a d i a n s. 25 t h e t a = deg2rad ( 90:180/( a n g l e _ r e s o l u t i o n 1) : 9 0 ) ; A _ a n a l y t i c = z e r o s ( a n g l e _ r e s o l u t i o n, n u m b e r _ o f _ s e n s o r s ) ; 28 f o r column = 1 : ( n u m b e r _ o f _ s e n s o r s ) 29 f o r row = 1 : a n g l e _ r e s o l u t i o n 30 t a u = s i n ( t h e t a ( row ) ) / c ( column 1) ; 31 A _ a n a l y t i c ( row, column ) = exp( 1 i omega t a u ) ; 32 end 33 end weight_temp = z e r o s ( n umber_of_sensors, a n g l e _ r e s o l u t i o n ) ; 36 f o r row = 1 : a n g l e _ r e s o l u t i o n 37 b = z e r o s ( a n g l e _ r e s o l u t i o n, 1 ) ; 38 b ( row ) = 1 ; 39 weight_temp ( :, row ) = A _ a n a l y t i c \ b ; % c v x _ b e g i n 42 % v a r i a b l e w( n u m b e r _ o f _ s e n s o r s ) complex 43 % m i n i m i z e ( max ( abs ( A _ a n a l y t i c w) ) ) 44 % s u b j e c t t o 45 % A _ a n a l y t i c ( row, : ) w == 1; % t a r g e t c o n s t r a i n t 46 % cvx_end 47 % 48 % weight_temp ( :, row ) = w; %s i z e ( A _ a n a l y t i c ( row, : ) ) 51 %weight_temp ( :, row ) = A _ a n a l y t i c ( row, : ) ; %f i g u r e 54 %p l o t ( abs ( w e i g h t ( :, row ) ) ) 55 w e i g h t {1, row} =[ w eight {1, row } ; weight_temp ( :, row ) ] ; 56 end 57 end 58 end A.2.3 antenna array 1 f u n c t i o n s e n s o r _ a r r a y = a n t e n n a _ a r r a y ( wave, d i s t a n c e, n, f i r s t _ p o s, s p a c e _ r e s o l u t i o n, t i m e _ r e s o l u t i o n, time_f, d i v i a t i o n ) 2 3 % R e t u r n s a ( t i m e x n ) m a t r i x : 4 % Each column r e p r e s e n t s an antenna, 5 % each row r e p r e s e n t a t i m e sample. 6 7 s e n s o r _ a r r a y = z e r o s ( l e n g t h ( wave ) t i m e _ f / t i m e _ r e s o l u t i o n, n ) ; 24

29 8 y_pos = s p a c e _ r e s o l u t i o n f i r s t _ p o s ( 2 ) ; 9 10 % Loop t h r o u g h t i m e : 11 f o r t = 1 : t i m e _ r e s o l u t i o n / t i m e _ f : l e n g t h ( wave ) ; 12 % Loop t h r o u g h s e n s o r s : 13 f o r a = 1 : n 14 r a n d _ p o s = rnd ( d i v i a t i o n, s p a c e _ r e s o l u t i o n ) ; 15 x_pos = s p a c e _ r e s o l u t i o n ( f i r s t _ p o s ( 1 ) +( a 1) d i s t a n c e ) ; s e n s o r _ a r r a y ( t, a ) = wave {1, t } ( y_pos+ r a n d _ p o s ( 1 ), x_pos+ r a n d _ p o s ( 2 ) ) ; 18 end 19 end 20 end A.2.4 beamformer 1 %beamformer.m 2 c l e a r a l l ; 3 c l o s e a l l ; 4 5 % i n p u t f o r antenna_array 6 DOA = ; %S e t DOA 7 f r e q u e n c y = l i n s p a c e (,, ) ;% %S e t f r e q u e n c y 8 c = 1500; 9 f s = 2000; 10 n u m b e r _ o f _ s e n s o r s = 1 2 ; 11 a n g l e _ r e s o l u t i o n = 9 1 ; 12 number_of_timesamples = 7 0 ; 13 d i s t a n c e = 1 ; 14 % i n p u t f o r r u b u s t system 15 %s p e c i f y t o l l e r a t e d d i v i a t i o n [m] and number o f samples i n t h e area 16 %[ d i v i a t i o n d i v i a t i o n ], as r u b u s t =[ d i v i a t i o n s a m p e l p o i n t s ]. s a m p e l p o i n t s 17 %a s a odd number r u b u s t = [ ] ; 20 r _ s t r i n g = on ; 21 % 22 %uncommet t h e s t a t m e n t s you would l i k e t o use 23 25

30 24 % s t r _ a = would you l i k e a d i v i a t i o n i n t h e s e n s o r s p o s i t i o n i n g? ; 25 % s t r _ r = would you l i k e t o r u b u s t i f y t h e s y s t e m? ; 26 % 27 i f ( e x i s t ( s t r _ a, v a r ) ==1) 28 d i v i a t i o n = r u b u s t ( 1 ) ; 29 d _ s t r i n g = on ; 30 e l s e 31 d i v i a t i o n = 0 ; 32 d _ s t r i n g = o f f ; 33 end i f ( e x i s t ( s t r _ r, v a r ) ~=1) 36 r u b u s t = [ 0, 0 ] ; 37 r _ s t r i n g = o f f ; 38 end 39 % sampel t h e i m p i n g i n g s i n g a l s and s t o r e s them i n an matrix 40 s e n s o r s _ s a m p l e s = s a m p l e _ s e n s o r s ( d i s t a n c e,doa, f r e q u e n c y, number_of_timesamples, number_of_sensors, c, fs, d i v i a t i o n ) ; 41 %s e n s o r s _ s a m p l e s = a n t e n n a _ a r r a y ( Wave0, d i s t a n c e, number_of_sensors, % f i r s t _ p o s t, s p a c e _ r e s o l u t i o n, f s, t i m e _ f, d i v i a t i o n ) ; s e n s o r s _ s a m p l e s = s e n s o r s _ s a m p l e s ( 1 : number_of_timesamples, : ) ; 45 % A n a l y t i c : d e t e r m i n e w e i g h t c o n s t a n t s t o each antenna [ weight, t h e t a ] = c v x _ w e i g h t s ( number_of_sensors, a n g l e _ r e s o l u t i o n, number_of_timesamples, fs, c, r u b u s t, d i s t a n c e ) ; % U s i n g % 54 s e n s o r s _ s a m p l e s _ n o r m = s e n s o r s _ s a m p l e s / s e n s o r s _ s a m p l e s ( 1, 1 ) ; 55 dm = [ ] ; 56 f o r samples = 1 : number_of_timesamples 57 dm =[dm, s e n s o r s _ s a m p l e s _ n o r m ( samples, : ) ] ; 58 end beamformer_respond = z e r o s ( a n g l e _ r e s o l u t i o n, 1 ) ; 62 f o r angle =1: a n g l e _ r e s o l u t i o n 26

31 63 beamformer_respond ( angle ) = (dm) ( weight {1, angle } ) ; 64 end % PLOT 67 ymin = 90; ymax = 0 ; 68 f i g u r e 69 p l o t ( ( t h e t a ), mag2db ( abs ( beamformer_respond ) ), [DOA DOA], [ ymin ymax ], g ) 71 t i t l e _ s t r = s p r i n t f ( DOA = %d, # a n t e n n a s =%d, d i s t a n c e =%d, r u b u s t system %s, d i v i a t i o n i n t h e a n t e n n a s %s, DOA, number_of_sensors, d i s t a n c e, r _ s t r i n g, d _ s t r i n g ) ; 73 l e g e n d _ s t r = s p r i n t f ( Amplitude a t DOA %d d e g r e e s, DOA ) ; 74 x l a b e l ( a n g l e [ d e g r e e s ] ) ; 75 y l a b e l ( r e s p o n s e a m p l i t u d e [ db ] ) ; 76 t i t l e ( t i t l e _ s t r ) ; 77 t o p = beamformer_respond (DOA) ; 78 legend ( beem r e s p o n d, l e g e n d _ s t r ) ; A.2.5 cvx weights 1 f u n c t i o n [ w e i g h t t h e t a ] = c v x _ w e i g h t s ( number_of_sensors, a n g l e _ r e s o l u t i o n, number_timesamples, t i m e _ r e s o l u t i o n, c, r u b u s t, d ) 2 % cvx : d e t e r m i n e w e i g h t c o n s t a n t s 3 % A CVX way t o d e t e r m i n e w e i g h t c o n s t a n t s t o a number o f a n g l e s between 90 4 % t o 90 d e g r e e s. 5 % I n p u t 6 % number_of_sensors, [ i n t e g e r ] 7 % a n g l e _ r e s o l u t i o n, [ i n t e g e r ] 8 % f r e q u e n c y [ Hz ] 9 % >>>> 10 % Output : 11 % A m a t r i x o f c o n s t a n t s. 12 % Every column r e p r e s e n t s t h e c o n s t a n t s f o r a s p e c i f i c a n g l e. 13 % A ( t h e t a ) w e i g h t = b 14 % w e i g h t = A \ b f o r each a n g l e. 15 % Dimension : [ n u m b e r _ o f _ s e n s o r s x a n g l e _ r e s o l u t i o n ] 16 % 17 %t u n e r u b u s t s e t t i n g s 18 d e l t a = r u b u s t ( 1 ) ; %t h e t o l l e r a t e d d i v i a t i o n i n m 19 p o i n t s = r u b u s t ( 2 ) ; % number o f e v a l u a t i o n p o i n t s between [ d e l t a d e l t a ] needs t o bee odd maby 20 % %f r e q u e n c y = l i n s p a c e ( 3 9 0, 5 1 0, 1 0 ) ; 23 f r e q u e n c y = [ ] ; 27

32 24 25 t h e t a = ( 90:180/( a n g l e _ r e s o l u t i o n 1) : 9 0 ) ; 26 weight = c e l l ( 1, a n g l e _ r e s o l u t i o n ) ; 27 s t o r e = 1 ; 28 f o r t h e t a _ t a r g e t = ( 90:180/( a n g l e _ r e s o l u t i o n 1) : 9 0 ) 29 disp ( [ T a r g e t a n g l e :, i n t 2 s t r ( t h e t a _ t a r g e t ), ] ) ; 30 A_side = [ ] ; 31 A _ t a r g e t = [ ] ; 32 f o r f r e q = f r e q u e n c y % c a l c u l a t e s t h e s t o p band 35 l e f t _ m a i n _ p o s = r e a l ( rad2deg ( a s i n ( ( s i n ( deg2rad ( t h e t a _ t a r g e t ) ) ) s i n ( c / ( f r e q n u m b e r _ o f _ s e n s o r s ) ) ) ) ) ; 36 r i g h t _ m a i n _ p o s = r e a l ( rad2deg ( a s i n ( ( s i n ( deg2rad ( t h e t a _ t a r g e t ) ) ) + s i n ( c / ( f r e q n u m b e r _ o f _ s e n s o r s ) ) ) ) ) ; l o b e = rad2deg ( a s i n ( s i n ( deg2rad ( t h e t a _ t a r g e t ) ) s i n ( 3 / 2 c / ( f r e q n u m b e r _ o f _ s e n s o r s ) ) ) ) ; 40 while ( r e a l ( l o b e ( 1 ) ) > 90 ) 41 l o b e = [ r e a l ( rad2deg ( a s i n ( s i n ( deg2rad ( l o b e ( 1 ) ) ) s i n ( c / ( f r e q n u m b e r _ o f _ s e n s o r s ) ) ) ) ), l o b e ] ; 42 end l o b e = [ l o b e, rad2deg ( a s i n ( s i n ( deg2rad ( t h e t a _ t a r g e t ) ) + s i n ( 3 / 2 c / ( f r e q n u m b e r _ o f _ s e n s o r s ) ) ) ) ] ; 46 while ( r e a l ( l o b e ( end ) ) <90 ) 47 l o b e = [ l o b e, r e a l ( rad2deg ( a s i n ( s i n ( deg2rad ( l o b e ( end ) ) ) + s i n ( c / ( f r e q n u m b e r _ o f _ s e n s o r s ) ) ) ) ) ] ; 48 end 49 l o b e = r e a l ( l o b e ) ; %l a t i l l 50 i n d = f i n d ( l o b e < l e f t _ m a i n _ p o s l o b e > r i g h t _ m a i n _ p o s ) ; 51 l o b e = l o b e ( i n d ) ; % random p o i t n t s t o lobe 54 %s e t maximum number ( n ) o f random p o i n t s and s c a l e f a c t o r a ; 55 n =0; 56 a =1; 57 e x t r a = l i n s p a c e ( 90,90, n ) ; 58 f o r i = 1 : l e n g t h ( e x t r a ) 59 rnd =rand ; 60 i f rnd < s i g n = 1; 62 e l s e 63 s i g n =1; 28