Origin en Introduktionskurs

Transkript

1 UMEÅ UNIVERSITET Institutionen för fysik Robin Lundberg/Anders Eklund/Leif Hassmyr/Magnus Cedergren/Ylva Lindgren/Mattias Nyström Origin en Introduktionskurs

2 Inledning I fysik handlar det ofta om att anpassa en linjär funktion till mätdata, bestämma koefficienterna och deras osäkerhet. När du jobbat dig igenom följande övningar kommer du att se att man kan åstadkomma detta på ett enkelt och smidigt sätt med hjälp av Origin. Denna instruktion innehåller även exempel på viktad linjär regression samt icke-linjär anpassning. Samt ett kort avsnitt om hur man kan göra statistisk behandling av mätdata med histogram och boxplot. Du kommer att få följa med två fysikstuderande Fia och Fredrik, som med ett enkelt experiment vill göra en bestämning av tyngdaccelerationen g. Innehållsförteckning 1 DOKUMENTBESKRIVNING SYNTAX MÄTDATA Knappa in data Importera och exportera mätdata Exportera data Importera data REGRESSIONSANALYS Linjäranpassning (linjär regression) Viktad linjär regression Linjär anpassning av flera datamängder i samma figur Konfidensintervall Polynomanpassning Linjärisering av potensfunktion Icke-linjär anpassning Värdering av resultat STATISTISTISKA VERKTYG Histogram Boxplot PRESENTATION Exportera graf Kopiera data via klippbok

3 1 Dokumentbeskrivning Ett Origindokument består av ett antal fönster. Du kommer här i kontakt med plotfönster, arbetsbladsfönster och resultatfönster. Arbetsbladen innehåller data, plotfönstren diagram och resultatfönstren numeriska resultat av anpassningar. När man sparar ett Origin-dokument sparar man vanligtvis alla fönster och data under ett namn. Det går att spara fönstren separat, men det är opraktiskt och bör endast göras i undantagsfall. 2 Syntax Kommandon från menyer betecknas med Fet Kursiv text. För att utföra ett kommando pekar man först och klickar på menynamnet sedan klickar man på kommandot, ofta dyker det då upp ytterligare underkommandon att välja mellan. Varje nivå avdelas i detta kompendium med ett kolon. Exempel: File:New:Worksheet öppnar ett nytt arbetsblad. Gå till File-menyn, där väljer man New och slutligen Worksheet. För att stänga ett fönster klickar man på rutan med ett kryss i, som finns uppe i högra hörnet. Knappar betecknas med Fet text. Namn på dialogrutor skrivs med kursivt textformat. Text i dialogrutor, utom knappar, skrivs med Fet Kursiv text. 3 Mätdata Mätdata kan ges på flera olika sätt. Du kommer här att få bekanta dig med två av dessa: knappa in själv och läsa från fil. 3.1 Knappa in data Placera markören i ruta 1A(X) och skriv in första x-värdet, tryck på Enter alternativt och mata in nästa x-värde. Varning: Man kan inte använda musen och flytta markören för att avsluta en inmatning. Fortsätt tills alla x-värden är inmatade. Gå med piltangenterna till ruta 1B(Y) och mata in dina y-värden på samma sätt. Origin använder kommatecken som decimaltecken, råkar du skriva en punkt gör det inget, Origin tolkar om denna punkt som ett komma. OBS! Om datorn är inställd på amerikanskt tangentbord, kan det vara så att det är punkt som ska användas. Man kan gå in på Tools:Options, Numeric Format, Separators och ändra detta. Den första kolumnen är automatiskt definierad som X-kolumn och alla övriga som Y-kolumner, detta går att ändra genom att märka upp kolumnen och ändra med kommandon i Column-menyn, mer om det senare. 3

4 Låt oss prova. En tempograf slår märken med jämna tidsintervall på en pappers-remsa som är fäst vid en tyngd. Försöket kan användas för att bestämma tyngdaccelerationen g. Figur 1. Tempografremsan från Fia och Fredriks försök. Figur 2. Experimentuppställningen. Fia har på detta sätt mätt rörelsen hos en tyngd under fritt fall. Hon mäter den sträcka som tyngden fallit under en viss tid och för in värdena i två kolumner i ett arbetsblad i Origin. Om Fia mot förmodan anser sig ha data på mätosäkerheten i Y-data kan hon även knappa in dessa i en tredje kolumn. (Dessa data kan sedan användas vid anpassning, se kap 3.3.1) men i vårt exempel har Fia inga värden på osäkerheten. Så här knappade hon in sina resultat (figur 3). Häng med på din egen dator. Kolumnhuvud Figur 3. Arbetsblad med inmatade Figur 4. Arbetsbladet med omdöpta kolumner värden för tid och position. och ny namnlist. 4

5 För att även i framtiden förstå vad siffrorna står för kan man döpa om kolumnerna och arbetsbladet. Kolumnerna döps om genom att dubbelklicka på respektive kolumnhuvud (figur 4). Då öppnas en dialogruta där man kan ändra kolumnnamn. Fia ändrade till Tid respektive Position. Arbetsbladsnamnet ändrade hon genom att se till att arbetsbladsfönstret var aktivt, d.v.s. att namnlisten är upplyst och sedan välja Window:Properties. Då öppnas ett fönster där man kan ändra ett Short name respektive Long name Fia valde det långa namnet: FrittFall. (figur 4). 5

6 3.2 Importera och exportera mätdata Exportera data Fredrik har samtidigt, med hjälp av en annan dator räknat fram tyngdens momentana hastighet under fallet och lagrat dessa värden i ett annat arbetsblad. Han har också breddat kolumnen hastighet för att kolumnhuvudet ska rymmas. För att bredda kolumnen ändrar man column width i Column Properties (dubbelklicka på kolumnhuvudet) alternativt placera musen på kanten av kolumnhuvudet och dra det till passande bredd. Fredriks arbetsblad visas i figur 5. Detta arbetsblad sparade han sedan på en ASCII-fil genom att gå in under File:Export ASCII Han kallade sin fil hast.dat. Figur 5. Kolumner och arbetsblad namngivna. Det här är Fredriks värden på momentanhastigheten. 6

7 3.2.2 Importera data Eftersom alla mätdata hör ihop vill Fia och Fredrik lägga in dem på samma arbetsblad. För att infoga en fil till arbetsbladet går man in under File:Import:Import Wizard. I detta fall vill Fredrik importera filen som nya kolumner i samma arbetsblad, han väljer därför Start New Columns till höger om Import Mode. Han ser också till att välja rätt filtyp, i Fredriks fall, och allra flesta fall, ASCII format. Figur 6: Första delen i att importera fil rätt. Fönstret visar hur man importerar en ASCII-fil till nya kolumner. 7

8 Fredrik klickar därefter på Next tills han kommer fram till denna ruta, och väljer då rätt delimeter, d.v.s. hur han separerat kolumnerna åt i sin fil, vilket är med en tab. Han ändrar också Numeric Seperator till det format som använder komma som decimalstecken, eftersom hans fil är på det formatet, han valde också att ta bort Sparklines eftersom han inte behöver det, se figur 7. Figur 7: Andra delen i att importera fil rätt. Fönstret visar vilken delimeter och Numeric Seperator som Fredrik ska välja till sin fil han importerar. När Fredrik importerat kolumnerna, tar han bort den extra tidskolumnen, (högerklicka på kolumnhuvudet, välj Delete). Sedan flyttar han positionskolumnen sist, (markera kolumnen, klicka på column i verktygsfältet och välj Move Columns:Move to Last), samt lägger till enheter i raden Units. Figur 8 visar slutresultatet. Figur 8. Slutresultat. Kolumner, enheter och arbetsblad namngivna. 8

9 4 Regressionsanalys All mätdata finns nu i arbetsbladet, så nu gäller det att hitta några bra funktioner att anpassa mot. Paret minns från gymnasietiden att vid fritt fall beror hastigheten (v) linjärt av tiden med g som koefficient medan positionen (s) beror kvadratiskt av tiden med halva g som koefficient. 1 v= gt Alltså: och s= gt 2 2 Fia och Fredrik ville kontrollera om detta stämde med deras experimentella resultat och bestämde sig därför för att först göra en linjäranpassning av hastighets- och tidsdata. Tiden skall i detta fall vara den oberoende variabeln (x-axeln) och hastigheten den beroende (y-axeln). För att kontrollera det kvadratiska uttrycket ovan kan man göra en polynomanpassning av positionen som funktion av tiden med ett kvadratiskt polynom. 4.1 Linjäranpassning (linjär regression) Origin har en färdig funktion för att göra linjära anpassningar med minsta kvadratmetoden. Markera den Y-kolumn och alternativt den X-kolumn som ska analyseras genom att klicka på kolumnhuvudet, välj sedan Analysis:Fitting:Linear Fit. Nu får man en dialogruta som ser ut så här: Figur 9. Dialogrutan för linjär regression. Standardinställningarna funkar bra för den här gången. Tryck på OK för att utföra linjäranpassningen. Nu bör det skapas en ny flik i din arbetsbok med resultaten för din linjära anpassning. Intercept är linjens skärningspunkt med y-axeln, Slope motsvarar linjens lutning. I StandardError-kolumnen redovisas medelfelen för respektive koefficient. 9

10 Adj. R-Square är ett värde på hur bra anpassningen till mätvärdena är. Detta tal ligger mellan 0 och 1, ju närmare det är 1 desto säkrare kan man vara på att rätt anpassning gjorts. Figur 10. Del av resultatfönstrets utseende. Om man önskar kan man markera och kopiera önskvärd information ur resultatfönstret. Högerklicka tabellnamnet, exempelvis Parameters och välj Copy Table. Öppna upp grafen med den linjära anpassningen genom att dubbelklicka på bilden av den i resultatsfönstret. Högerklicka i graf-fönstret, välj Add text och klistra in i rutan som kommer upp. Textrutan går att flytta runt i diagrammet genom att ta tag och dra i den. Prova även att högerklicka på texten och välj då Properties, då öppnas en dialogruta där man kan formatera texten och ramen. Snygga förslagsvis till texten lite och välj t.ex. Background:Shadow. För att ändra andra textrutor t.ex. diagramrubrik och axelförklaringar gör man på samma vis. Här visas Fias och Fredriks resultat från den linjära regressionen. Figur 11. Hastigheten (m/s) som funktion av tiden (s) för fritt fall. Den räta linjen representerar den bästa linjäranpassningen. 10

11 I figur 11 har relevant information från den utförda linjäranpassningen kopierats in. Trots att det kan tyckas vara ett behändigt sätt att presentera konstanterna bör man normalt undvika detta när man presenterar figurer i en rapport. Beräkningarna skall helst redovisas under figuren. Axlar och graderingar formateras om med hjälp av en dialogruta som kommer upp om man dubbelklickar på det objekt man vill ändra. Om man t.ex. vill ändra tidsaxeln så att den spänner över intervallet [0; 0,45] sekunder istället för [-0,1; 0,50] sekunder så dubbelklickar man på tidsaxeln och får upp dialogrutan som avbildas i figur 12. Figur 12. Dialogruta för ändringar av grafens axlar. I rutorna From och To sätter man intervallet. Klickar man på fliken Grid Lines kan man lägga in ett rutnät i grafen. 11

12 4.2 Viktad linjär regression I de fall då man har skattat en mätosäkerhet till varje värde i Y-kolumnen måste man ta hänsyn till denna statistiska vikt när man utför linjär regression. Detta kallas viktad linjär regression. Mätosäkerheten förs in i en egen kolumn i arbetsbladet, högerklicka den kolumnen och välj Set As:Y Error. I dialogrutan för Linear Fit (se figur 13) så ser man till att errorkolumnen man gjort är vald till höger om Error. Välj sedan till höger om Error as Weight, i detta fall alternativet Instrumental, eftersom att då räknas vikterna ut från felen, väljer man Direct Weighing så antar origin att man givit vikterna i felkolumnen. Figur 13. Dialogruta för linjär anpassning med inställningar för viktad linjär regression. 12

13 Origin kommer alltid lägga till felstaplar om man angett ett fel, vill man inte ha dom kan man gå in på grafen och dubbelklicka på valfri tom yta eller på felstaplarna. Välj sedan den del av grafen som är knuten till felstaplarna i den dialogruta som ploppar upp. Man kan antingen välja att ta bort felstaplarna genom att högklicka och ta bort den delen av grafen, alternativt genom att bara avmarkera under Direction, Plus och Minus så syns dom inte. Se figur 14. Figur 14. Dialogruta för att hantera felstaplar, men även andra delar av grafen. 4.3 Linjär anpassning av flera datamängder i samma figur För att göra en linjär anpassning på flera datamängder i samma figur så markerar du helt enkelt bara dom Y-kolumner som ska plottas, resten är analogt med det som gjorts för en datamängd. 13

14 4.4 Konfidensintervall Ett konfidensintervall anger det intervall omkring medelvärdet inom vilket det sanna värdet finns med en viss sannolikhet. De vanligaste sannolikhetsnivåerna är 95 resp. 99 %. Origin har inbyggt verktyg för att beräkna och rita in konfidensintervall för anpassningar i diagrammen. För att få med konfidensbanden i grafen till sin linjära anpassning så markerar man bara det i dialogrutan för linjär anpassning samtidigt som man man väljer konfidensgraden, se figur 15. Figur 15. Dialogruta för linjär anpassning med inställningar för konfidensband. 14

15 Bågarna som ritats in i figur 16 visar inom vilka statistiska gränser som det sanna linjära sambandet med 95 % konfidensgrad ligger. Time (s) Linear Fit of Time 95% LCL of Time 95% UCL of Time Time (s) Length (m) Figur16. Graf med linjär anpassning och linjer för 95%-igt konfidensintervall utritade. 4.5 Polynomanpassning Dags för polynomanpassning av position mot tid. Aktivera arbetsbladet FrittFall genom att klicka på det med musen. För att anpassa datamängderna till ett polynom väljer man Analysis:Fitting:Fit Polynomial. Välj grad på polynomet genom Polynomial Order, i detta fall, välj 2, detta gör att Origin kommer försöka anpassa en kurva på formen y=b 2 x 2+B1 x+b 0. Tryck på OK. På samma sätt som vid linjära anpassningen ritas den anpassade linjen ut i figur 17. Om man önskar lägga till t.ex. pilar i grafen kan man utnyttja verktygen i verktygslådan längst till vänster i Origin. B0 B1 B2 Value 1,81818E-4-0, ,7303 Standard Error 4,9131E-4 0, ,01088 Position (m) Polynomial Fit of Position Position (m) 1,0 0,5 0,0 0,0 0,2 0,4 Tid (s) Figur 17. Tillryggalagd sträcka (s) som funktion av tid (t) och infogad polynomanpassning. 15

16 4.6 Linjärisering av potensfunktion Ofta kan det vara av intresse att bearbeta data i arbetsbladet. Dessa bearbetade data kan sedan användas t.ex. för att bestämma fysikaliska modeller ur experiment. I avsnitten nedan kommer detta att belysas. Vi skall nu grafiskt bestämma konstanten (a) och exponenten (b) i en potensfunktion av typen 1 s=at b Detta för att ur sambandet s= gt 2 kunna beräkna g-tyngdaccelerationen. 2 Aktivera FrittFall-bladet och utöka antalet kolumner med två genom att trycka på Ctrl+D. Vi får nu två nya kolumner A(Y) och B(Y). Nästa steg blir att beräkna ln(t) och ln(s). Detta görs genom att utnyttja befintlig data i FrittFall-bladet. För att enkelt fylla dom nya kolumnerna med dom logaritmerade värdena, högerklicka på en av kolumnernas kolumnhuvud och välj Set Column Values... Skriv därefter in ln(col (Tid )) respektive ln (col ( Position)) för dom två nya kolumnerna, alternativt kan man välja funktion och kolumn från lista som finns belägen i menyerna på samma ruta, se figur 18. Figur 18. Dialogrutan för Set Column Values... i menyn högst upp kan funktioner och kolumner väljas från en lista 16

17 Döp sedan förslagsvis om kolumnerna till lntid respektive lnposition. Skapa ett nytt plotfönster, Plot:Symbol:Scatter, med lntid som X-Kolumn och lnposition som Y-Column. Man får nu upp ett diagram där ln(s) som funktion av ln(t) utgörs av ett linjärt samband. Se figur 19. Nu gäller det att bestämma riktningskoefficienten (d.v.s. exponenten b) och yinterceptet (ur denna kan vi beräkna a). Välj därför en anpassningsoperation under menyn Analysis:Fitting:Fit Linear. Den funktion, som i detta exempel, anpassar beräknad data ser ut så här: ln(s) = A + B ln(t) I resultatfönstret fås värdena på A och B med de standardiserade mätosäkerheterna angivna. I detta exempel är A= Intercept=ln(a) och B=Slope=b. Märk upp och klistra in det i diagrammet. Tag bara med sådan information som du har användning av. Tänk på att antalet siffror bestäms av mätosäkerhetens storlek. Intercept Slope Value 1, ,10696 Standard Error 0, ,00965 lnposition Linear Fit of lnposition lnposition lntid Figur 19. ln(s) som funktion av ln(t). Regressionsresultatet med mätosäkerhet i form av medelfel är infogat. Ur konstanten A kan nu g beräknas. Fia och Fredrik får då: 1 s = gt 2 som jämförs med potensfunktionen vi anpassade till, s = at b. 2 ln (a)=1,63 a=e1,63 och b=2,11 2 enligt den linjära regressionen. Alltså, g = e1, 63 g = 2 e1, 63 m / s 2 = 10,2m / s

18 4.7 Icke-linjär anpassning Här har valts att studera exemplet dämpad harmonisk svängningsrörelse. Utslaget (y) som funktion av tiden (t) kan skrivas som: y = A + B e λ t sin(ω t + δ ) I uttrycket är A=jämviktsläget, B=amplituden, λ=dämpningsfaktorn, ω=vinkelfrekvensen och δ=fasvinkeln. Gör så här: Mata in de data som ska anpassas. Markera åtminstone en Y-kolumn. Gå in i Analysis:Fitting:Nonlinear Curve Fit Ett fönster som figur 20 kommer upp. Figur a) Till höger om Function, välj new för att göra en ny funktion. På det fönster som ploppar upp ändra på lämpliga ställen så att fönstret ser ut som i figur

19 Figur 21. b) Välj Save. c) Om du vill testa om din funktion fungerar som den ska, välj Simulate d) Klicka på OK. 19

20 5. Iterativ beräkning av anpassningen. a) Klicka på för initialisera parametrarna b) Beräkna anpassningen iterativt. Klicka på några av knapparna enligt figur 22 för att göra detta, Här gäller det att leka tills man får något som funkar, man kan t.ex. börja med att klicka på Bäst resultat fås genom att till slut klicka på Fit till converged men tänk dock på att det kan ta lång tid. När en acceptabel anpassning kan ses under fönstret Fit Curve så klicka på OK för att göra dom slutgiltiga beräkningarna av parametrarna. Figur

21 4.8 Värdering av resultat När man har gjort en mätning, anpassat och bestämt koefficienter måste man alltid göra en bestämning av osäkerheten i resultaten. Det är detta som visar på tillförlitligheten hos bestämda konstanter, inte avvikelsen från tabellvärden. Vid en osäkerhetsanalys är det som regel medelfelet som är ett mått på osäkerheten, därför listas alltid detta mått tillsammans med koefficienterna i resultatfönstret. För att kontrollera att man gjort rätt funktionsanpassning till datamängderna så är Adj. RSquare ett bra mått på detta, som nämnts tidigare detta värde ligger mellan 0 och 1 och ju närmare 1 det är desto större sannolikhet är det att man gjort rätt anpassning. 21

22 5 Statistiska verktyg 5.1 Histogram Lite senare vill Fredrik göra en statistisk undersökning av sina klasskamraters längd. Han vill veta medellängden samt om mätvärdena är normalfördelade. För att göra detta presenteras materialet i ett histogram. Så här såg Fredriks mätdata ut: Tabell 1: Uppmätta längder i Fredriks klass Pojkar Anders Björn David Fredrik Kristoffer Lars Nils Olof Petter Rikard Tomas Urban Längd / cm Flickor Cecilia Erika Fia Helena Inger Jenny Mia Stella Längd / cm Fredrik startade upp ett nytt arbetsprojekt. Han klickade på File:New:Project och matade in värdena. Han lade först alla värdena i en kolumn eftersom han var intresserade av längdfördelningen från hela klassen. Sedan sparade han arbetet under namnet langdstatistik. För att göra ett histogram klickade han på Plot:Statistics:Histogram. Ett lämpligt intervall och s.k binsize-steglängd ska väljas. Detta gör man genom att högerklicka på någon stapel och välja Plot Details... och sedan gå in i fliken Data. Fredrik valde intervallet cm och steglängden 5cm, se till så att Automatic Binning avmarkeras, han valde också att anpassa en normalkurva till grafen enligt figur

23 Figur 23. Dialogruta för att redigera utseendet på ett histogram. Staplarna i histogrammet visar sig ha en karaktäristisk klockform och Fredrik anser det rimligt att anta att värdena är normalfördelade. N total 20 Mean 170,8 Standard Deviation 8,0433 Sum 3416 Min 158 Median 169,5 Max Alla Y Axis Title X Axis Title Figur 24. Histogram över längdfördelningen i Fredriks klass, med anpassad normalfördelning. Nu är det lätt att jämföra hur bra normalfördelningskurvan beskriver längdfördelningen. Fredrik anser att han utifrån sin plot kan anse att klassens längder är normalfördelade. Man kan räkna ut medelvärde och standardavvikelse mm. genom att välja din Y-kolumn igen med alla längder och sedan gå in i Statistics:Descriptive Statistics:Statistics on Columns välj dom värden som behöver beräknas och klicka på OK. Fredrik avläser att medelvärdet av kamraternas längder är 171 cm och standardavvikelsen är 8 cm, vilket innebär att ungefär 63 % av klassen har en längd som ligger i intervallet ( ) cm. 23

24 5.2 Boxplot Ett annat sätt att presentera resultatet kan vara i en boxplot. Fredrik delade nu upp sin lista i två kolumner, en med pojkarnas och en med flickornas längder. Han markerade de två kolumnerna och valde sedan: Plot:Statistics:Boxchart. OBS! Båda kolumnerna måste vara inställda som y-kolumner. Resultatet ses nedan. 200 Längd (cm) pojkar flickor Figur 22. Boxplot av längdfördelningen i klassen Medellängden för pojkarna ligger som väntat högre än flickornas medellängd. Medianen, det värde som ligger i mitten markeras med ett heldraget streck i boxen. (För pojkarna är medianen 173,5 cm). I boxarna är mätvärdena uppdelade i kvartiler (25%-delar). Inom boxen ligger 50 % av mätvärdena. Det största och minsta värdet är markerade med kryss utanför boxarna. Medelvärdet för mätvärdena markeras med en liten kvadratisk punkt. (För pojkarna ligger medelvärdet på 175 cm) Ur boxploten avläser man lätt hur mätvärdena är fördelade, om det finns en snedfördelning så märks det. Det räcker ju till exempel att endast ett mätvärde avviker mycket från de flesta för att medelvärdet radikalt ska förändras. Om en mätserie uppvisar ett enstaka värde som är mycket olikt resten, så kan man börja fundera på om det är rätt. Om Fredrik av misstag skulle ha råkat knappa in en nolla på slutet på Björns längd (så att han skulle ha varit 1670 cm = 16,7 m lång!) då skulle detta ha haft större inverkan på medelvärdet ( 300 cm) än på medianen som skulle ha varit oförändrad. Boxploten skulle ha fått ungefär samma utseende, bortsett från att högsta värdet skulle varit 10 gånger större än alla andra och medelvärdesmarkeringen skulle ha legat utanför boxen! 24

25 6 Presentation Det naturliga är att man efter mätning och anpassning presenterar sina resultat i form av diagram i en skriftlig rapport och behöver därför exportera materialet till något ordbehandlingsprogram av val. 6.1 Exportera graf Man kan exportera grafer som bildfiler genom att helt enkelt markera graf-fönstret och sedan välja File:Export:Graphs. 6.2 Kopiera data via klippbok Origin har några smarta sätt för att kopiera hela fönster och tabeller. En graf kan kopieras genom att markera det och klicka på Ctrl+J. Resultatdata i tabell kan kopieras genom att högerklicka tabellen och välja Copy Table och på liknande sätt kan kolumner med rådata kopieras genom att markera dom önskade kolumnerna genom att (Shift-)klicka på kolumnhuvuderna och sedan trycka på Ctrl+C. 25