Simulering av solsystemet Datorlab med MATLAB. Daniel Vågberg Institutionen för fysik Umeå Universitet
|
|
- Axel Lundqvist
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Simulering av solsystemet Datorlab med MATLAB Daniel Vågberg Institutionen för fysik Umeå Universitet 17 april 2013
2 Innehåll Introduktion 3 Redovisning 3 Simulering av Newtons rörelseekvationer 4 Gravitation 6 Uppgifter 8 Uppgift 1: Simulering av satellit Uppgift 2: Omloppstiden Uppgift 3: Tvåkroppsproblemet Uppgift 4: Solsystemet Appendix 12 Verlet-integration Velocity-Verlet Exempelkod
3 Introduktion Er uppgift är att simulera ett planetsystem i MATLAB och mäta olika egenskaper på systemet. Instruktionerna börjar med en genomgång av de numeriska metoder som ska användas och fortsätter sedan med hur man tillämpar dem på den typ av gravitationsproblem vi är intresserade av. Efter det kommer själva uppgifterna. Syftet med uppgifterna är dels att ni ska bli bättre på att använda MATLAB till fysikaliska simuleringar och dels att ni ska få undersöka ett fysikaliskt system och se hur olika kvantiteter (tex energi och rörelsemängd) bevaras över tid. Till vissa uppgifter kommer ni behöva data för planeterna tex jordens och solens massa, dessa kan tas ifrån tex Physics Handbook, ange alltid vilka värden ni använder och varifrån de kommer. Redovisning Ni jobbar två och två och lämna in en skriftlig redovisning tillsammans. Rapporten behöver inte följa en strikt rapportmall, men det måste tydligt gå att följa och förstå vad ni gjort. Rapporten ska innehålla svar på samtliga frågor. Svaren ska vara tillräckligt utförliga så man kan förstå dem utan att ha tillgång till själva frågan. Figurer som efterfrågas i uppgifterna ska nnas med i rapporten. Ni får naturligtvis även lägga till egna gurer där ni tycker det passar. Den MATLAB-kod ni använder för att lösa problemen ska nnas med i rapporten. Längre kod kan med fördel läggas i ett appendix i slutet av rapporten. Glöm inte att kommentera MATLAB-koden. Ange vilka data ni använder för planeterna och varifrån de kommer. Rapporten skickas in som pdf-l Glöm inte att skriva namn och på rapporten! 3
4 Simulering av Newtons rörelseekvationer Vi börjar med att studera rörelse i en dimension, när vi löst det endimensionella fallet är det enkelt att generalisera lösningen till två eller tre dimensioner. Antag att vi har ett föremål med position x, hastighet v och acceleration a. Vi vill beräkna hur föremålets position förändras över tiden, vi vet föremålets position och hastighet vid tiden t = 0. Accelerationen hos ett föremål beskrivs av Newtons andra lag F = ma a = F m, (1) där F är kraften som påverkar föremålet, m är föremålets massa och a är föremålets acceleration. Accelerationen denierats som andraderivatan av positionen a = d2 x dt 2. (2) Om vi känner till systemets position och hastighet vid tiden t = 0 och accelerationen (eller kraften) är en känd funktion kan vi lösa ovanstående dierentialekvation och se hur positionen x varierar med tiden. För vissa problem går ekvationen att lösa för hand, men för mer avancerade problem eller problem med många föremål som rör sig samtidigt är ofta enda lösningen att använda datorhjälpmedel. Ekvation 2 är en andra ordningens dierentialekvation. Den går att skriva om som två kopplade första ordningens dierentialekvationer genom att införa hastigheten v som en hjälpvariabel. Problemet som ska lösas blir då dx(t) = v(t) dt dv(t) dt = a(t) där initialvärden x(0) = x 0 och v(0) = v 0 är kända, och a(t) är en känd funktion. Både ekvation 2 och 3 beskriver samma fysik. Numeriskt är det ofta lättare att hantera första ordningens dierentialekvationer så vi kommer använda ekvation 3 som grund för våra simuleringar. Notera att den numeriska metoden vi ska använda förutsätter att kraften F är konservativ. För att lösa problemet numeriskt måste vi diskretisera problemet. Vi börjar med att dela in tiden i diskreta punkter t 0, t 1, t 2..., t n, t n+1,... mellan varje punkt är det en konstant tidsskillnad t så att t 0 = 0, t 1 = t,..., t n = n t. För att förenkla notationen kommer vi använda beteckningen x n för x(t n ) och v n för v(t n ) osv. Det den numeriska metoden kommer göra är att hitta en approximativ lösning till ekvation 3. Grundidén är att om vi vet var vi är vid tiden t n kan vi approximera var vi kommer vara vid tiden t n+1 och på så sätt stega oss framåt i tiden. Detta görs genom att approximera derivator, vi kan till exempel approximera förändringen i x vi tiden t n med dx dt x(t n + t) x(t n t) = xn+1 x n 1 2 t 2 t Steglängden t avgör hur bra approximationen blir och vi ser att om t 0 blir derivatan exakt. Men om vi tar väldigt små tidssteg kommer simuleringen att ta lång tid eftersom vi måste ta er steg för att simulera samma mängd tid. (3) (4) 4
5 Konsten är att välja ett t som är litet nog för att ge en bra approximation men samtidigt inte för litet så att simuleringen tar orimligt lång tid att köra. Integrationsmetoden vi ska använda heter Velocity-Verlet, och bygger på två rekursiva uppdaterings formler som används för att stega framåt i tiden. De två formlerna en för positionen och en för hastigheten återges här nedan x n+1 = x n + v n t an t 2 ( v n+1 = v n a n + a n+1) (5) t En härledning av Velocity-Verlet metoden nns i appendix efter uppgifterna, läs gärna igenom den, det är bra om man vet vilka antagnaden som ligger bakom en metod man använder så man inte råkar ut för överraskningar. Det är trivialt att utöka systemet till er dimensioner, rörelsen i de olika riktningarna är bara kopplade genom kraften som är positions beroende i övrigt är rörelsen i de olika riktningarna oberoende av varandra. För två dimensioner får vi fyra uppdaterings ekvationer x, y, v x och v y x n+1 = x n + vx n t an x t 2 y n+1 = y n + vy n t an y t 2 v n+1 x = v n x v n+1 y = v n y ( ) (6) a n x + a n+1 x t ( ) a n y + a n+1 y t Mer allmänt kan vi skriva om uppdaterings relationerna på vektorform, r n+1 = r n + v n t a(rn ) t 2 ( v n+1 = v n a(r n ) + a(r n+1 ) ) t (7) där r är positionsvektorn, v är hastighets vektorn och a(r) är en känd funktion som beräknar accelerationsvektorn utifrån en given positionsvektor. Ekvationerna ovan gäller för rörelsen av en enskild partikel/föremål, men vi kan utöka dem till att gälla era partiklar. Antag att vi har två partiklar med position r 1 och r 2 och som växelverkar genom accelerationen dvs a(r 1, r 2 ) då får vi följande r n+1 1 = r n 1 + v1 n t a 1(r n 1, r n 2 ) t 2 r n+1 2 = r n 2 + v2 n t a 2(r n 1, r n 2 ) t 2 v n+1 1 = v n v n+1 2 = v n ( a1 (r n 1, r n 2 ) + a 1 (r n+1 1, r n+1 2 ) ) t ( a2 (r n 1, r n 2 ) + a 2 (r n+1 1, r n+1 2 ) ) t Har man er partiklar är det bara att fortsätta lägga till er ekvationer. Det ser mycket ut när man skriver ut ekvationerna så här men när man programmerar behöver man bara skriva in ekvationerna en gång, har man era partiklar löser man det med en loop eller ännu bättre ordnar datat i vektorer så man kan använda MATLABs inbyggda vektoroperationer istället. Dvs när ni skriver programmet är det bara de fyra uppdateringsformlerna i ekvation 6 som ni behöver använda, har ni era partiklar så löser ni det genom att vektorisera ekvationerna. (8) 5
6 Gravitation Hittills har vi talat ganska allmänt om hur man simulerar Newtons-rörelseekvationer, men nu ska vi bli lite mer specika och fokusera på det problem vi ska jobba med dvs gravitationkrafter och planetbanor. Det vi behöver för att använda Velocity-Verlet-metoden är ett uttryck för accelerationen och hur den varierar med positionen. Eftersom a = F/m börjar vi med att specicera vilka krafter vi har. Antag att vi har två planeter i och j med massa m i och m j. Gravitationskraften F ij mellan planeterna ges av F ij = G m im j rij 2 ˆr ij, (9) där G är gravitationskonstanten, r ij är avståndet mellan objekten och ˆr ij är en enhetsvektor som pekar från planet i mot planet j. Eftersom kraft och motkraft måste balansera så vet vi att F ij = F ji. Vi ska lösa problemet i två dimensioner så r ij ges av r ij = r j r i = (x j x i ) 2 + (y j y i ) 2 (10) För att kunna använda lösningsmetoden i ekvation 6 måste vi komposantuppdela kraften. I gur 1 ser vi kraftvektorn ut ritad för planet i. De två kraftkomposanterna på planet i ges av F x = F ij cos θ = F ij x i x j r ij F y = F ij sin θ = F ij y i y j r ij = Gm i m j x i x j r 3 ij = Gm i m j y i y j r 3 ij (11) från dessa kan vi sedan beräkna accelerations komposanterna a x = Fij m i cos θ = Fij x i x j m i r ij a y = Fij m i sin θ = Fij y i y j m i r ij = Gm j x i x j r 3 ij = Gm j y i y j r 3 ij (12) Vi ser att accelerationen av planet i är oberoende av planetens egen massa m i. Vi noterar också att vi aldrig behöver räkna ut vinkeln θ. Nu har vi allt vi y m j r ij = r j r i r j F x F ij θ F y m i r i x Figur 1: Figuren visar de två planeterna i och j, tillsammans med dess positionsvektorer r i och r j, till planet i har även kraftvektorn ritats ut. 6
7 behöver för att simulera rörelsen av två himlakroppar som påverkar varandra via gravitationen. Om vi har mer än två planeter så kommer alla planeter att påverka varandra. För att få den totala kraften som påverkar en planet måste vi summera kraften från alla andra planeter. Antag att vi har N planeter den total kraften på planet i ges då av N F i = F ij (13) Nu när vi har allt vi behöver för att simulera rörelsen för ett godtyckligt antal himlakroppar ska vi bara snabbt gå igenom olika kvantiteter som vi kan vilja mäta i vårt system. Lättaste sättet testa att en simulering fungerar som den ska är att kontrollera att energin bevaras i systemet. Vi har två typer av energi i systemet, kinetisk energi som ges av och potentiellenergi som ges av E k = E p = G Den totala energin i systemet E ges av j N i N i m i v 2 i 2 N j>i (14) m i m j r ij (15) E = E k + E p (16) Om allt fungera som det ska och systemet inte påverkas av några yttre krafter ska E vara konstant genom hela simuleringen. En annan kvantitet som också bevaras förutsatt att inga yttre krafter verkar på systemet är den totala rörelsemängden p som ges av N p = m i v i (17) i En tredje bevarad kvantitet är rörelsemängdsmomentet N L = r i m i v i (18) i som bevaras om systemet inte påverkas av några vridmoment skapade av yttre krafter. L är en vektor som är vinkelrätt mot både r och v. För ett tvådimensionellt system, dvs ett systemet som är begränsat till att bara röra sig i xy-planet, kommer L endast bestå av en z-komponent. Att kontrollera att de tre kvantiteterna E, p och L bevaras är ett mycket bra test som hjälper en att hitta eventuella fel i simuleringen. Att de bevaras är dock ingen garanti på att allt är rätt, men om någon av dem inte bevaras så är det denitivt ett tecken på att något är fel. En annan intressant kvantitet man kan studera är hur masscentrum för hela systemet rör sig. Vi kan beräkna masscentrums position genom 1 N r CM = N m i r i (19) i m i Om inga yttre krafter verkar på systemet och den totala rörelsemängden p är noll kommer masscentrum att stå still. i 7
8 Uppgifter Målet med uppgifterna är att vi ska skriva en simulering där vi kan simulera rörelsen för solen och de inre planeterna i solsystemet. Vi ska bygga upp simuleringen stegvis och börjar först med några enklare fall som vi sedan kan bygga vidare på för att få den fulla lösningen. Uppgift 1: Simulering av satellit Vi ska börja med att simulera en satellit i omloppsbana kring en planet. Vi antar att planeten väger mycket mer än satelliten och att planetens rörelse därför inte kommer påverkas nämnvärt av satelliten. I vår simulering kommer vi därför anta att planeten står stilla och att det bara är satelliten som rör sig. Detta är förstås en approximation. I nästa uppgift ska vi även simulera planetens rörelse och se hur den påverkar resultatet. y F x m r F F y θ M x Figur 2: En liten satellit i omloppsbana kring en planet. Vi ska simulera systemet under antagandet att m M. Skriv en funktion orbit_1body som simulerar banan för en satellit med massa m i omloppsbana kring en planet med massa M. Vi antar att m M så att planetens rörelse kan försummas. Planeten står still, och är placerad i origo. Rörelseekvationerna ska integreras med hjälp av Velocity- Verlet. Funktionen ska använda följande funktionshuvud: function [x,y,vx,vy,t]=orbit_1body(g,m,x0,y0,vx0,vy0,dt,tmax) där G är gravitations konstanten, M är massan hos planeten, x0, y0, vx0 och vy0 beskriver satellitens position och hastighet vid tiden t = 0. Variabeln dt är längden på tidsteget och tmax är den totala tiden att simulera dvs vi ska simulera systemet från t = 0 till t =tmax. Notera att satellitens bana är helt oberoende av satellitens egen massa m. Funktionen returnerar fem vektorer x och y som innehåller satellitens koordinater en datapunkt för 8
9 varje tidsteg i simuleringen, vx och vy som innehåller satellitens hastighet för varje tidsteg, samt t som innehåller tiden för varje datapunkt. På sista sidan i instruktionerna nns ett kodexempel som går att använda som utgångspunkt om ni känner er osäkra på hur ni ska börja. Testkör funktionen med följande parametrar och initialvärden: G=1, M=10, m=0.01, x0=10 y0=0 vx0=0, och vy0=0.75, välj tmax så att satelliten hinner ca 5-10 varv runt planeten under simuleringen. Rita upp satellitens bana, och markera planetens position i guren. Simulera med olika värden på dt och se hur noggrannheten i simuleringen förändras. Vilket värde på dt verkar lämpligt att använda? Kontrollera att energin bevaras i simuleringen, plotta E k, E p och E p + E k och se hur de förändras med tiden. Kontrollera att rörelsemängdsmomentet är bevarat för systemet. Kontrollera att rörelsemängden bevaras i systemet. Får vi det förväntade resultatet? Om inte förklara vad som händer i systemet. Uppgift 2: Omloppstiden Vi ska nu beräkna omloppstiden för satelliten i föregående uppgift utifrån våra simulerings resultat. Vi kommer behöva räkna ut er omloppstider i de följande uppgifterna vi ska därför automatisera den processen genom att skriva en funktion som gör jobbet åt oss. Skriv en funktion som beräknar omloppstiden givet koordinatvektorerna x, y och tidsvektorn t som genererats av funktionen orbit_1body. Detta går att göra på era olika sätt. Beskriv vilken algoritm ni använder i rapporten. (Tips börja med att plotta x och/eller y mot tiden för att avgöra vilken egenskap hos kurvorna som kan användas för att beräkna omloppstiden.) Testkör funktionen, använd data med samma initialvillkor som i föregående uppgift. Vilken omloppstid har satelliten? Hur påverkas omloppstiden om satellitens initialhastighet ökar? Vid vilken hastighet slutar satelliten att gå i omloppsbana runt planeten? Vad är den totala energin i systemet när det händer? Simulera med samma initialvillkor som tidigare men öka stegvis värdet på vy0. Kontrollera hur omloppstiden och den totala energin E k + E p varierar. Vi ska nu testa vår kod på ett verkligt exempel: Rymdstationen ISS (International Space Station) ligger i en nästan cirkulär omloppsbana kring jorden. Omloppsbanan är en så kallad LEO (Low Earth Orbit) vilket innebär att stationens omloppsbanan ligger strax utanför atmosfären på ca 400km höjd över jordytan. Stationen väger ca 450ton och har en medelhastighet av 7700m/s. Simulera stationens rörelse, anpassa dt så att ni får en stabil lösning. Vilken omloppstid har stationen? 9
10 Uppgift 3: Tvåkroppsproblemet Nu ska vi utöka vår simulering så att vi även simulerar planetens rörelse. Eftersom vi simulerar rörelsen hos båda kropparna behöver vi inte göra några antaganden om hurvida satelliten väger mer eller mindre än planeten. Vårt system kommer nu se ut som i gur 1. Skriv en funktion orbit_2body som simulerar rörelsen hos två himlakroppar med hjälp av Velocity-Verlet-metoden, utgå från er tidigare simulering. Funktionen ska använda följande funktionshuvud: function [x,y,vx,vy,t]=orbit_2body(g,m,x0,y0,vx0,vy0,dt,tmax) Skillnaden mot tidigare är att vi nu har två kroppar som rörsig, vilket betyder att vi behöver dubbelt så många initialvillkor. Variablerna m, x0, y0, vx0 och vy0 kommer därför vara vektorer med två element. Till exempel den initiala x-positionen för den första kroppen anges i det första elementet x0(1) och motsvarande data för den andra kroppen anges i x0(2) osv. Vektorerna x, y, vx och vy som funktionen returnerar innehåller data för rörelsen hos båda kropparna och har dimensionen 2 steps där steps är antalet tidssteg i simuleringen. Testkör funktionen med samma initialvärden som i uppgift 1. För planeten innebär det m(1)=10, x0(1)=0, y0(1)=0, vx0(1)=0 och vy0(1)=0. Satellitens initialvärden är samma som i uppgift 1 och placeras på position 2 i vektorerna tex m(2)=0.01. Rita upp satellitens och planetens bana i samma gur och jämför med resultatet från uppgift 1. Undersök planetens rörelse, har den en sluten bana? om inte vad beror det på? Testa att öka massan på satelliten till m(2)=1 för att få en tydligare eekt. Vad händer med masscentrum? Vad måste vara uppfyllt för att masscentrum ska stå still? Räkna ut vilken initialhastighet planeten behöver för att masscentrum ska stå still. Simulera med de nya initialvillkoren och veriera att det fungerar. Hur förändras planetens bana? Gör en gur som visar planetbanan före och efter förändringen. Kontrollera att energin är bevarad. Kontrolera att rörelsemängdsmomentet är bevarat. Kontrolera att rörelsemängden är bevarad. Rita en gur med tre kurvor, rörelsemängden för satelliten, rörelsemängden för planeten och deras totala rörelsemängd. 10
11 Uppgift 4: Solsystemet Nu är vi redo att simulera solsystemet. Vi ska utöka simuleringen så att den kan hantera rörelsen hos N planeter som alla påverkar varandra genom gravitationen. och sedan testa simuleringen genom att simulera de inre delarna av solsystemet. Skriv en funktion force som beräknar kraften för alla N planeterna. Funktionen ska använda följande funktionshuvud function [f]=force(g,m,x,y) där f, m, x och y är vektorer med längd N. Där m innehåller planeternas massor, x och y är planeternas positioner, G är gravitationskonstanten och f är den totala kraften som verkar på varje planet som räknas ut genom att summera kraften från alla andra planeter enligt ekvation 13. Skriv en funktion orbit_nbody som simulerar rörelsen hos N st himlakroppar, med hjälp av Velocity-Verlet-metoden, utgå från er tidigare simulering och använd funktionen force för att beräkna kraften mellan planeterna. Funktionen ska använda följande funktionshuvud: function [x,y,vx,vy,t]=orbit_nbody(g,m,x0,y0,vx0,vy0,dt,tmax) In parametrarna är samma som tidigare med skillnaden att massan och initialvärdena nu är vektorer med längd N eftersom vi nu har N kroppar som behöver initieras. Av samma anledning har nu returvärdena dimension N steps för att kunna hålla banorna för de N himlakropparna vi simulerar. Testkör simuleringen med två kroppar och samma initialvillkor som i uppgift 3. Kontrollera att det blir samma resultat som i uppgift 3. Simulera solsystemet! Simulera solen och de inre planeterna Merkurius, Venus, Jorden och Mars. Dvs vi har N = 5, använd Physics Handbook eller annan källa för att hitta lämpliga initialvärden för planeterna. För att förenkla valet av initialvärden kan vi anta att alla planeterna ligger på en rad vid tiden t = 0. Solens hastighet bör väljas så att den totala rörelsemängden i systemet blir noll. För den här uppgiften räcker det om ni använder planeternas medelhastighet och medlavstånd från solen som initialvärden, men då kommer banorna att bli cirkulära istället för elliptiska. (För att få korrekta elliptiska banor behöver vi veta avståndet till solen och planetens hastigheten i en specik punkt på banan i stället för medelvärdet beräknat över hela banan) Välj tidsteg dt så att alla planeterna får en stabil bana, hur kort tidsteget måste vara bestäms av den snabbaste rörelsen i systemet, i det här fallet Merkurius. Gör en gur som visar planeternas banor. Kontrollera att energi, rörelsemängd och rörelesmängdsmoment bevaras. Gör tre gurer en för vardera kvantitet, gurerna ska innehålla en kurva för varje himlakropp och en kurva med det totala värdet. Beräkna omloppstiderna och jämför med tabellvärden. 11
12 Appendix Verlet-integration Vi ska nu härleda en metod för att integrera accelerationen och beräkna banan som ett föremål kommer att följa, vi antar att vi vet föremålets position och hastighet vid t = 0. Vi utgår ifrån Newtons andra lag d 2 x dt 2 F (x(t)) = a(x(t)) = m (20) där F (x(t)) är en konservativ kraft som endast beror på positionen x. Vi diskretiserar tiden och approximerar andraderivatan enligt följande a(x) = d2 x dt 2 x n+1 x n t xn x n 1 t t = xn+1 2x n + x n 1 t = a n (21) Om vi löser ut x n+1 får vi x n+1 = 2x n x n 1 + a n t 2 (22) vilket är en fullt fungerande integrations metod som kan användas för att räkna ut framtida positioner x n+1 givet de två föregående positionerna x n och x n 1 och accelerationen. Metoden har utvecklats era gånger av olika forskare genom historien men kallas oftast Verlets metod efter den senaste upptäckaren som gjorde metoden känd men man kan även se andra namn som tex Störmers metod. Verlets metod använder bara positionen och accelerationen för att räkna ut nästa position, hastigheten används inte. Detta har både för och nackdelar beroende på vilken typ av problem vi vill lösa. Om vi inte behöver känna till hastigheten är metoden mycket eektiv eftersom det går att räkna ut positionen direkt utan att gå omvägen via hastigheten. Men om vi behöver hastigheten blir det lite omständigt. Hastigheten går att räkna ut från skillnaden mellan två positioner: v n = xn+1 x n 1 2 t (23) men vi ser att för att räkna ut den nuvarande hastigheten v n måste vi redan känna till den nya positionen x n+1, vilket inte alltid är praktiskt. En annan sak att tänka på är att oftast känner man bara till en position vid t = 0 så för att komma igång måste x n 1 först beräknas med hjälp av någon annan metod. För att metoden ska fungera måste t vara konstant under hela simuleringen. Ändrar man tidsteget under simuleringen kommer partikelns rörelse att bli felaktig om man inte samtidigt skalar om de andra termerna för att kompensera för förändringen. Velocity-Verlet Det går att skriva om Verlets metod så att man får ut hastigheten direkt, metoden kallas då Velocity-Verlet. Det är en populär metod som ofta används för att simulera rörelsen hos tex molekyler. Vi utgår ifrån den vanliga Verlet metoden och börjar med med att lösa ut x n 1 från ekvation 23, vi får då x n 1 = x n+1 2v n t (24) 12
13 Vi sätter in uttrycket för x n 1 i ekvation 22 vilket ger x n+1 = x n + v n t an t 2 (25) som är en ny uppdaterings metod för positionen som även beror på hastigheten. Men för att få en fungerande metod behöver vi även veta hur vi ska uppdatera hastigheten. Utifrån ekvation 23 kan vi sätta upp ett uttryck för v n+1 : v n+1 = xn+2 x n 2 t (26) Vi kan ta fram uttryck för x n+2 och x n från ekvation 25 och sätta in dem i ekvation 26 vilket ger ( x v n+1 n+1 + v n+1 t = an+1 t 2) ( x n+1 v n t 1 2 an t 2) (27) 2 t Vilket efter förenkling blir v n+1 = v n ( a n + a n+1) t (28) Vi har nu två uppdateringsekvationer: x n+1 = x n + v n t an t 2 ( v n+1 = v n a n + a n+1) t (29) som tillsammans utgör metoden vi kallar Velocity-Verlet. Metoden är själv startande, dvs vi behöver inte använda en separat metod för att beräkna x n 1 eftersom det värdet aldrig används till skillnad från i den vanliga Verlet metoden. Även Velocity-Verlet kräver ett konstant t för att fungera korrekt. Man bör också vara medveten om att metoden bygger på antagandet att kraften är konservativ, dvs att kraften går att skriva som gradienten av en potential, F = V (r), där r är positions vektorn, och V är en funktion som beskriver den potentiella energin i systemet. De krafter (gravitation) vi ska simulera är konservativa så det antagandet är ingen begränsning för oss i det här fallet. Men problem kan uppstå om man har icke konservativa krafter som till exempel friktion eller luftmotstånd. Slutligen ska vi bara nämna att det nns en annan populär metod som kallas Leapfrog som också går att härleda genom att göra en omskrivning av Verletmetoden. Velocity-Verlet och Leapfrog är väldigt lika och har i princip samma egenskaper. 13
14 Exempelkod Här nedan återges ett exempel på strukturen i ett program som använder stegningsmetoder liknande Velocity-Verlet. Koden är tänkt att simulera en planet med rörelse i två dimensioner x och y. Syftet med koden är att ge lite tips om hur ni kan börja med uppgiften, men för att inte göra uppgiften för lätt är era rader kapade och avslutas istället med... %starting point for a simple simulation program %preallocate memory (increases performance) steps=... %select number of time steps x=zeros(1,steps); y=zeros(1,steps); vx=zeros(1,steps); vy=zeros(1,steps); %set initial conditions x(1)=... y(1)=... vx(1)=... vy(1)=... %define functions for calculating acceleration based on position ax=@(...)... ay=@(...)... %simulate orbit for i=1:steps x(i+1)=... % y(i+1)=... %update position and velocity vx(i+1)=... %using Velocity-Verlet vy(i+1)=... % end %plot and analyse results 14
Simulering av solsystemet Datorlab med MATLAB. Daniel Vågberg Institutionen för fysik Umeå Universitet 17 April 2013
Simulering av solsystemet Datorlab med MATLAB Daniel Vågberg Institutionen för fysik Umeå Universitet 17 April 2013 Editerat: Pontus Svenmarker 24 mars 2014 1 Innehåll 1 Newtons rörelsekvationer med MATLAB
Läs merObligatoriska uppgifter i MATLAB
Obligatoriska uppgifter i MATLAB Introduktion Följande uppgifter är en obligatorisk del av kursen och lösningarna ska redovisas för labhandledare. Om ni inte använt MATLAB tidigare är det starkt rekommenderat
Läs merII. Partikelkinetik {RK 5,6,7}
II. Partikelkinetik {RK 5,6,7} med kraft att beräkna och förstå Newtons lagar och kraftbegreppet är mycket viktiga för att beskriva och förstå rörelse Kenneth Järrendahl, 1: Tröghetslagen Newtons Lagar
Läs merInlämningsuppgift 4 NUM131
Inlämningsuppgift 4 NUM131 Modell Denna inlämningsuppgift går ut på att simulera ett modellflygplans rörelse i luften. Vi bortser ifrån rörelser i sidled och studerar enbart rörelsen i ett plan. De krafter
Läs merAndra EP-laborationen
Andra EP-laborationen Christian von Schultz Magnus Goffeng 005 11 0 Sammanfattning I denna rapport undersöker vi perioden för en roterande skiva. Vi kommer fram till, både genom en kraftanalys och med
Läs merProblemtentamen. = (3,4,5)P, r 1. = (0,2,1)a F 2. = (0,0,0)a F 3. = (2,"3,4)P, r 2
2015-MM-DD Övningstentamen i Mekanik SG1130, grundkurs B1. OBS: Inga hjälpmede förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik 1. Problemtentamen Ett kraftsystem består av tre krafter som angriper
Läs merNumerisk lösning till den tidsberoende Schrödingerekvationen.
Numerisk lösning till den tidsberoende Schrödingerekvationen. Det är enbart i de enklaste fallen t ex när potentialen är sträckvis konstant som vi kan lösa Schrödingerekvationen analytiskt. I andra fall
Läs merMekanik FK2002m. Repetition
Mekanik FK2002m Föreläsning 12 Repetition 2013-09-30 Sara Strandberg SARA STRANDBERG P. 1 FÖRELÄSNING 12 Förflyttning, hastighet, acceleration Position: r = xî+yĵ +zˆk θ = s r [s = θr] Förflyttning: r
Läs merLaboration 3. Ergodicitet, symplektiska scheman och Monte Carlo-integration
Laboration 3 Ergodicitet, symplektiska scheman och Monte Carlo-integration Hela labben måste vara redovisad och godkänd senast 3 januari för att generera bonuspoäng till tentan. Kom väl förberedd och med
Läs merRepetion. Jonas Björnsson. 1. Lyft ut den/de intressanta kopp/kropparna från den verkliga världen
Repetion Jonas Björnsson Sammanfattning Detta är en kort sammanfattning av kursen Mekanik. Friläggning Friläggning består kortfattat av följande moment 1. Lyft ut den/de intressanta kopp/kropparna från
Läs merSF1626 Flervariabelanalys
1 / 28 SF1626 Flervariabelanalys Föreläsning 2 Hans Thunberg Institutionen för matematik, KTH VT 2018, Period 4 2 / 28 SF1626 Flervariabelanalys Dagens lektion: avsnitt 11.1 11.3 Funktioner från R till
Läs mer3. Om ett objekt accelereras mot en punkt kommer det alltid närmare den punkten.
Tentamen 1, Mekanik KF HT2011 26:e November. Hjälpmedel: Physics handbook alt. Formelblad, Beta mathematics handbook, pennor, linjal, miniräknare. Skrivtid: 5 timmmar. För godkänt krävs minst 18/36 på
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIAL EKVATIONER i) En differentialekvation
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Torsdagen den 4 juni 2015
SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Torsdagen den 4 juni 2015 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt
Läs merMatematisk analys för ingenjörer Matlabövning 2 Numerisk ekvationslösning och integration
10 februari 2017 Matematisk analys för ingenjörer Matlabövning 2 Numerisk ekvationslösning och integration Syfte med övningen: Introduktion till ett par numeriska metoder för lösning av ekvationer respektive
Läs merKursens olika delar. Föreläsning 0 (Självstudium): INTRODUKTION
1 Föreläsning 0 (Självstudium): INTRODUKTION Kursens olika delar Teorin Tentamen efter kursen och/eller KS1+KS2 Inlämningsuppgifter Lära känna kraven på redovisningar! Problemlösning Tentamen efter kursen
Läs merArbete och effekt vid rotation
ˆ F rˆ Arbete och effekt vid rotation = Betrakta den masslösa staven med längden r och en partikel med massan m fastsatt i änden. Arbetet som kraften ሜF uträttar vid infinitesimal rotation d blir då: ds
Läs merMekanik Föreläsning 8
Mekanik Föreläsning 8 CBGA02, FYGA03, FYGA07 Jens Fjelstad 2010 02 19 1 / 16 Repetition Polära koordinater (r, θ): ange punkter i R 2 m h a r: avståndet från origo (0, 0) θ: vinkeln mot positiva x axeln
Läs merGÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP100, Fysikprogrammet termin 2
GÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP100, Fysikprogrammet termin Tid: Plats: Ansvarig: Hjälpmedel: Tisdag juni 009, kl 8 30 13 30 V-huset Lennart Sjögren,
Läs merTentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN. Problemtentamen
2015-06-01 Tentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas KTH Mekanik Problemtentamen 1. En bil med massan m kör ett varv med konstant fartökning ( v =)
Läs merBasala kunskapsmål i Mekanik
Basala kunskapsmål i Mekanik I kunskapsmålen nedan används termerna definiera, förklara och redogöra återkommande. Här följer ett försök att klargöra vad som avses med dessa. Definiera Skriv ner en definition,
Läs merGemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism. Inledning. Fysikalisk bakgrund
Gemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism En civilingenjör ska kunna idealisera ett givet verkligt problem, göra en adekvat fysikalisk modell och behandla modellen med matematiska
Läs merDefinitioner: hastighet : v = dr dt = r fart : v = v
KOMIHÅG 8: --------------------------------- Jämvikten kan rubbas: stjälpning, glidning Flexibla system- jämvikt bara i jämviktslägen ---------------------------------- Föreläsning 9: PARTIKELKINEMATIK
Läs merFuglesangs skiftnyckel och Möten i rymden. Jan-Erik Björk och Jan Boman
Fuglesangs skiftnyckel och Möten i rymden Jan-Erik Björk och Jan Boman Det sägs att Christer Fuglesang tappade en skiftnyckel under sin rymdpromenad nyligen. Enligt Keplers första lag kom skiftnyckeln
Läs merMekanik FK2002m. Kinematik i flera dimensioner
Mekanik FK2002m Föreläsning 3 Kinematik i flera dimensioner 2013-09-04 Sara Strandberg SARA STRANDBERG P. 1 FÖRELÄSNING 2 Introduktion Nu har vi gått igenom: - Kinematik i en dimension - Vektorer i två
Läs merInledning. Kapitel 1. 1.1 Bakgrund. 1.2 Syfte
Sammanfattning Vi har i kursen Modelleringsprojekt TNM085 valt att simulera ett geléobjekt i form av en kub. Denna består av masspunkter som är sammankopplade med tre olika typer av fjädrar med olika parametrar.
Läs merTFYA16: Tenta Svar och anvisningar
170418 TFYA16 1 TFYA16: Tenta 170418 Svar och anvisningar Uppgift 1 a) Vi är intresserade av största värdet på funktionen x(t). Läget fås genom att integrera hastigheten, med bivillkoret att x(0) = 0.
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner. ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER
Läs merVetenskapsdagen 2016 SciLab för laborativa inslag i matematik eller fysik
Vetenskapsdagen 2016 SciLab för laborativa inslag i matematik eller fysik Fredrik Berntsson (fredrik.berntsson@liu.se) 5 oktober 2016 Frame 1 / 23 Bakgrund och Syfte Inom kursen Fysik3 finns material som
Läs merTvå gränsfall en fallstudie
19 november 2014 FYTA11 Datoruppgift 6 Två gränsfall en fallstudie Handledare: Christian Bierlich Email: christian.bierlich@thep.lu.se Redovisning av övningsuppgifter före angiven deadline. 1 Introduktion
Läs merLösningsförslag Inlämningsuppgift 1 elstatikens grunder
Inst. för fysik och astronomi 017-11-08 1 Lösningsförslag Inlämningsuppgift 1 elstatikens grunder Elektromagnetism I, 5 hp, för ES och W (1FA514) höstterminen 017 (1.1) Laddningen q 1 7,0 10 6 C placeras
Läs merTentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN. Problemtentamen
014-06-04 Tentamen i Mekanik SG110, m. k OPEN. OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik 1. Problemtentamen En boll skjuts ut genom ett hål med en hastighet v så att den
Läs merSolsystemet: Solen, Merkurius, Venus, Jorden, Mars, Jupiter, Saturnus, Uranus, Neptunus, (Pluto) Solens massa är ca gånger jordmassan
1 KOMIHÅG 8: Centrala raka/sneda stötar Flera partiklar - masscentrum Föreläsningar 9-10: Centralkrafter och solsystemet Centralkrafter: Inga kraftmoment på massan Solsystemet: Solen, Merkurius, Venus,
Läs merÖvningstenta Svar och anvisningar. Uppgift 1. a) Hastigheten v(t) får vi genom att integrera: v(t) = a(t)dt
Övningstenta 015 Svar och anvisningar Uppgift 1 a) Hastigheten v(t) får vi genom att integrera: v(t) = a(t)dt tillsammans med begynnelsevillkoret v(0) = 0. Vi får: v(t) = 0,5t dt = 1 6 t3 + C och vi bestämmer
Läs merSG1108 Tillämpad fysik, mekanik för ME1 (7,5 hp)
Läsåret 11/12 Utförliga lärandemål SG1108 Tillämpad fysik, mekanik för ME1 (7,5 hp) Richard Hsieh Huvudsakligt innehåll: Vektoralgebra och dimensionsbetraktelser. Kraft och kraftmoment. Kraftsystem; kraftpar,
Läs merTentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN m fl. Problemtentamen OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas!
014-08-19 Tentamen i Mekanik SG110, m. k OPEN m fl. OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik Problemtentamen 1. En boll med massa m skjuts ut ur ett hål så att den hamnar
Läs merNewtons 3:e lag: De par av krafter som uppstår tillsammans är av samma typ, men verkar på olika föremål.
1 KOMIHÅG 8: --------------------------------- Hastighet: Cylinderkomponenter v = r e r + r" e " + z e z Naturliga komponenter v = ve t Acceleration: Cylinderkomponenter a = ( r " r# 2 )e r + ( r # + 2
Läs merTentamen Mekanik F del 2 (FFM520)
Tentamen Mekanik F del FFM50 Tid och plats: Måndagen den 3 maj 011 klockan 14.00-18.00 i V. Lösningsskiss: Christian Forssén Obligatorisk del 1. a 1 och är identiska vid ekvatorn. Centripetalaccelerationen
Läs merTentamen i Mekanik - Partikeldynamik TMME08
Tentamen i Mekanik - Partikeldynamik TMME08 Onsdagen den 13 augusti 2008, kl. 8-12 Examinator: Jonas Stålhand Jourhavande lärare: Jonas Stålhand, tel: 281712 Tillåtna hjälpmedel: Inga hjälpmedel Tentamen
Läs merKOMIHÅG 10: Effekt och arbete Effekt- och arbetslag Föreläsning 11: Arbete och lagrad (potentiell) energi
KOMIHÅG 10: Effekt och arbete Effekt- och arbetslag ----------------------------------------- Föreläsning 11: Arbete och lagrad (potentiell) energi Definition av arbete: U 0"1 = t 1 t 1 # Pdt = # F v dt,
Läs merStelkroppsmekanik partiklar med fixa positioner relativt varandra
Stelkroppsmekanik partiklar med fixa positioner relativt varandra Rörelse relativt mass centrum Allmänt partikelsystem Stel kropp translation + rotation (cirkelrörelse) För att kunna beskriva och förstå
Läs merNaturlagar i cyberrymden VT 2006 Lektion 6. Martin Servin Institutionen för fysik Umeå universitet. Modellering
Naturlagar i cyberrymden VT 2006 Lektion 6 Modellering Martin Servin Institutionen för fysik Umeå universitet -You want a WHAT?! An Earth Simulator! I don t know You ll have to solve its equations of motion
Läs merBeräkningsuppgift I. Rörelseekvationer och kinematiska ekvationer
1 Beräkningsuppgift I Vi skall studera ett flygplan som rör sig i xz planet, dvs vi har med de frihetsgrader som brukar kallas de longitudinella. Vi har ett koordinatsystem Oxyz fast i flygplanet och ett
Läs merSammanfattning av räkneövning 1 i Ingenjörsmetodik för ME1 och IT1. SI-enheter (MKSA)
Sammanfattning av räkneövning 1 i Ingenjörsmetodik för ME1 och IT1 Torsdagen den 3/9 2009 SI-enheter (MKSA) 7 grundenheter Längd: meter (m), dimensionssymbol L. Massa: kilogram (kg), dimensionssymbol M.
Läs merALTERNATIVA KOORDINATSYSTEM -Cylindriska koordinatsystem. De polära koordinaterna r och " kan beskriva rörelsen i ett xyplan,
KOMIHÅG 8: --------------------------------- Rörelsemängd: p = mv, Kinematiska storheter: r ( t), v ( t), a ( t) Kinematiska samband med begynnelsevillkor 1 Föreläsning 9: ALTERNATIVA KOORDINATSYSTEM -Cylindriska
Läs merTentamen för kursen TME135 Programmering i Matlab för M1
Tentamen för kursen TME135 Programmering i Matlab för M1 Tid: 18 oktober 2011 kl 8:30-12:30 Lärare: Håkan Johansson, mobil: 0739-678 219, kontor: 772 8575 Tillåtna hjälpmedel: P. Jönsson: MATLAB-beräkningar
Läs merLaboration 4. Numerisk behandling av integraler och begynnelsevärdesproblem
Lennart Edsberg NADA 3 april 007 D11, M1 Laboration 4 A Numerisk behandling av integraler och begynnelsevärdesproblem Denna laboration ger 1 bonuspoäng. Sista bonusdatum 7 april 007 Efter den här laborationen
Läs mer6.3 Partikelns kinetik - Härledda lagar Ledningar
6.3 Partikelns kinetik - Härledda lagar Ledningar 6.104 Om du inte tidigare gått igenom illustrationsexempel 6.3.3, gör det först. Låt ϕ vara vinkeln mellan radien till kroppen och vertikalen (det vill
Läs merKUNGL TEKNISKA HÖGSKOLAN INSTITUTIONEN FÖR MEKANIK Richard Hsieh, Karl-Erik Thylwe
Tentamen i SG1102 Mekanik, mindre kurs för Bio, Cmedt, Open Uppgifterna skall lämnas in på separata papper. Problemdelen. För varje uppgift ges högst 6 poäng. För godkänt fordras minst 8 poäng. Teoridelen.
Läs mer= v! p + r! p = r! p, ty v och p är dt parallella. Definiera som en ny storhet: Rörelsemängdsmoment: H O
1 KOMIHÅG 15: --------------------------------- Definitioner: Den potentiella energin, mekaniska energin Formulera: Energiprincipen ---------------------------------- Föreläsning 16: FLER LAGAR-härledning
Läs merSolsystemet: Solen, Merkurius, Venus, Jorden, Mars, Jupiter, Saturnus, Uranus, Neptunus, (Pluto) Solens massa är ca gånger jordmassan
KOMIHÅG 17: 1 Centrala raka/sneda stötar relativ separationsfart Studstalet e = relativ kollisionsfart Föreläsning 18: Centralkrafter och solsystemet Centralkrafter: Inga kraftmoment på massan Solsystemet:
Läs merTentamen i Mekanik för D, TFYY68
TEKNISKA HÖGSKOLAN I LINKÖPING Institutionen för Fysik, Kemi och Biologi Carl Hemmingsson/Magnus Johansson Tentamen i Mekanik för D, TFYY68 Fredag 2018-08-23 kl. 8.00-13.00 Tillåtna Hjälpmedel: Physics
Läs merFöreläsning 10: Stela kroppens plana dynamik (kap 3.13, 4.1-8) Komihåg 9: e y e z. e z )
1 Föreläsning 10: Stela kroppens plana dynamik (kap 3.13, 4.1-8) Komihåg 9: H O = "I xz e x " I yz e y + I z e z H G = "I xz ( ) ( G e x " I G yz e y + I G z e z ) # (fixt origo, kroppsfix bas) # (kroppsfix
Läs merTFYA16: Tenta Svar och anvisningar
150821 TFYA16 1 TFYA16: Tenta 150821 Svar och anvisningar Uppgift 1 a) Sträckan fås genom integration: x = 1 0 sin π 2 t dt m = 2 π [ cos π 2 t ] 1 0 m = 2 π m = 0,64 m Svar: 0,64 m b) Vi antar att loket
Läs merBose-Einsteinkondensation. Lars Gislén, Malin Sjödahl, Patrik Sahlin
Bose-Einsteinkondensation Lars Gislén, Malin Sjödahl, Patrik Sahlin 3 mars, 009 Inledning Denna laboration går ut på att studera Bose-Einsteinkondensation för bosoner i en tredimensionell harmonisk-oscillatorpotential.
Läs merOm den lagen (N2) är sann så är det också sant att: r " p = r " F (1)
1 KOMIHÅG 12: --------------------------------- Den mekaniska energin, arbetet ---------------------------------- Föreläsning 13: FLER LAGAR-härledning ur N2 Momentlag Hur påverkas rörelsen av ett kraftmoment??
Läs merOmtentamen i DV & TDV
Umeå Universitet Institutionen för Datavetenskap Gunilla Wikström (e-post wikstrom) Omtentamen i Teknisk-Vetenskapliga Beräkningar för DV & TDV Tentamensdatum: 2005-06-07 Skrivtid: 9-15 Hjälpmedel: inga
Läs merSolsystemet: Solen, Merkurius, Venus, Jorden, Mars, Jupiter, Saturnus, Uranus, Neptunus, (Pluto) Solens massa är ca gånger jordmassan
1 KOMIHÅG 16: Centrala raka/sneda stötar relativ separationsfart Studstalet e = relativ kollisionsfart Föreläsning 17: Centralkrafter och solsystemet Centralkrafter: Inga kraftmoment på massan Solsystemet:
Läs merOmtentamen i DV & TDV
Umeå Universitet Institutionen för Datavetenskap Gunilla Wikström (e-post wikstrom) Omtentamen i Teknisk-Vetenskapliga Beräkningar för DV & TDV Tentamensdatum: 2006-06-05 Skrivtid: 9-15 Hjälpmedel: inga
Läs merMålsättningar Proffesionell kunskap. Kunna hänvisa till lagar och definitioner. Tydlighet och enhetliga beteckningar.
1 Föreläsning 1: INTRODUKTION Målsättningar Proffesionell kunskap. Kunna hänvisa till lagar och definitioner. Tydlighet och enhetliga beteckningar. Kursens olika delar Teorin Tentamen efter kursen och/eller
Läs mer" e n och Newtons 2:a lag
KOMIHÅG 4: --------------------------------- 1 Energistorheter: P = F v, U "1 = t 1 # Pdt. Energilagar: Effektlagen, Arbetets lag ---------------------------------- Föreläsning 5: Tillämpning av energilagar
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.
1. Beräkna integralen medelpunkt i origo. SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 218-3-14 D DEL A (x + x 2 + y 2 ) dx dy där D är en cirkelskiva med radie a och Lösningsförslag.
Läs merMatematisk analys för ingenjörer Matlabövning 3 Numerisk lösning av differentialekvationer
2 mars 2017 Matematisk analys för ingenjörer Matlabövning 3 Numerisk lösning av differentialekvationer Syftet med denna matlab-övning är att studera differentialekvationer och introducera hur man använder
Läs meruniversity-logo Mekanik Repetition CBGA02, FYGA03, FYGA07 Jens Fjelstad 1 / 11
Mekanik Repetition CBGA02, FYGA03, FYGA07 Jens Fjelstad 2010 03 18 1 / 11 Översikt Friläggning Newtons 2:a lag i tre situationer jämvikt partiklar stela kroppars plana rörelse Energilagen Rörelsemängd
Läs merLaboration 1 Mekanik baskurs
Laboration 1 Mekanik baskurs Utförs av: Henrik Bergman Mubarak Ali Uppsala 2015 01 19 Introduktion Gravitationen är en självklarhet i vår vardag, de är den som håller oss kvar på jorden. Gravitationen
Läs merTentamen Mekanik F del 2 (FFM521 och 520)
Tentamen Mekanik F del 2 (FFM521 och 520) Tid och plats: Tisdagen den 27 augusti 2013 klockan 14.00-18.00. Hjälpmedel: Physics Handbook, Beta samt en egenhändigt handskriven A4 med valfritt innehåll (bägge
Läs merUppdrag för LEGO projektet Hitta en vattensamling på Mars
LEGO projekt Projektets mål är att ni gruppvis skall öva på att genomföra ett projekt. Vi använder programmet LabVIEW för att ni redan nu skall bli bekant med dess grunder till hjälp i kommande kurser.
Läs mer" e n Föreläsning 3: Typiska partikelrörelser och accelerationsriktningar
KOMIHÅG 2: 1 Cylinderkomponenter: Hastighet v = r e r + r" e " + z e z Acceleration: a = ( r " r# 2 )e r + ( r # + 2 r # )e # + z e z Naturliga komponenter: v = ve t a = v e t + v 2 " e n ------------------------------------
Läs merTentamen i Mekanik SG1130, baskurs P1. Problemtentamen
010-06-07 Tentamen i Mekanik SG1130, baskurs P1 OBS: Inga hjälpmede förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik 1 Problemtentamen En homogen mast med massan M och längden 10a hålls stående i vertikalt
Läs merNEWTONS 3 LAGAR för partiklar
wkomihåg 12: Acceleration-med olika komponenter. ----------------------------------------- Föreläsning 13: Dynamik kraft-rörelse (orsakverkan) NEWTONS 3 LAGAR för partiklar 1 1. En 'fri' partikel förblir
Läs merTFYA16: Tenta Svar och anvisningar
180111 TFYA16 1 TFYA16: Tenta 180111 Svar och anvisningar Uppgift 1 a) Svar: 89 cm x = 0 t 3 dt = [ t 3 9 ] 0 = 8 m 89 cm 9 b) Om vi betecknar tågets (T) hastighet relativt marken med v T J, så kan vi
Läs merOmtentamen i Mekanik I SG1130, grundkurs för CMATD och CL. Problemtentamen
2015-06-12 Omtentamen i Mekanik I SG1130, grundkurs för CMATD och CL. OBS: Inga hjälpmede förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik Problemtentamen 1. Med hjälp av en tråd kan ett homogent block
Läs merSF1544 LABORATION 2 INTEGRATION, MONTE-CARLO OCH BLACK-SCHOLES EKVATION FÖR OPTIONER
SF1544 LABORATION INTEGRATION, MONTE-CARLO OCH BLACK-SCHOLES EKVATION FÖR OPTIONER Avsikten med denna laboration är att: - snabbt komma igång med träning på matlabprogrammering (uttnyttja gärna alla schemalagda
Läs merKonvergens för iterativa metoder
Konvergens för iterativa metoder 1 Terminologi Iterativa metoder används för att lösa olinjära (och ibland linjära) ekvationssystem numeriskt. De utgår från en startgissning x 0 och ger sedan en följd
Läs merRelativistisk kinematik Ulf Torkelsson. 1 Relativistisk rörelsemängd, kraft och energi
Föreläsning 13/5 Relativistisk kinematik Ulf Torkelsson 1 Relativistisk rörelsemängd, kraft och energi Antag att en observatör O följer med en kropp i rörelse. Enligt observatören O så har O hastigheten
Läs merMekanik I Newtonsk mekanik beskrivs rörelsen för en partikel under inverkan av en kraft av
Mekanik 2 Live-L A TEX:ad av Anton Mårtensson 2012-05-08 I Newtonsk mekanik beskrivs rörelsen för en partikel under inverkan av en kraft av ṗ = m r = F Detta är ett postulat och grundläggande för all Newtonsk
Läs merOrdinära differentialekvationer,
(ODE) Ordinära differentialekvationer, del 1 Beräkningsvetenskap II It is a truism that nothing is permanent except change. - George F. Simmons ODE:er är modeller som beskriver förändring, ofta i tiden
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 7 juni 2016
SF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 7 juni 2016 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt att följa. Det
Läs merObs: Använd vektorstreck för att beteckna vektorstorheter. Motivera införda ekvationer!
1) m M Problemlösningar µ α α Lösning: Frilägg massorna: T N N F µ T Mg mg Jämvikt för M kräver T Mgsin α = 0 (1) a) Gränsfall F µ = µ N men jämvikt för m kräver: N mg cosα = 0 (2) T µ N mgsinα = 0 (3)
Läs merFFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar
FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar Christian Forssén, Institutionen för fysik, Chalmers, Göteborg, Sverige Sep 11, 2017 12. Tensorer Introduktion till tensorbegreppet Fysikaliska
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 213-8-22 DEL A 1. Betrakta funktionen f(x, y) ln(x 2 + xy 2 4). a) Bestäm tangentplanet till funktionsytan z f(x, y) i den punkt på ytan där x 1
Läs merOrd att kunna förklara
Rörelse och kraft Ord att kunna förklara Rörelse Hastighet Acceleration Retardation Fritt fall Kraft Gravitationskraft (=tyngdkraft) Friktionskraft Centripetalkraft Tyngdpunkt Stödyta Motkraft Rörelse
Läs merPartiklars rörelser i elektromagnetiska fält
Partiklars rörelser i elektromagnetiska fält Handledning till datorövning AST213 Solär-terrest fysik Handledare: Magnus Wik (2862125) magnus@lund.irf.se Institutet för rymdfysik, Lund Oktober 2003 1 Inledning
Läs merLaboration 1: Optimalt sparande
Avsikten med denna laboration är att: Laboration 1: Optimalt sparande - snabbt komma igång med träning på matlabprogrammering (uttnyttja gärna alla schemalagda laborationstillfällen, - lösa ett optimeringsproblem
Läs merFFM234, Datoruppgift 2: Värmeledning
FFM234, Datoruppgift 2: Värmeledning Christian Forssén 1 Ulf Torkelsson 2 1 Institutionen för fysik, Chalmers, Göteborg, Sverige, Email: christian.forssen@chalmers.se 2 Astrofysik, Chalmers och Göteborgs
Läs merLösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Torsdag augusti 16, 2018 DEL A 1. Givet funktionen f(x, y) = ln(x 2 y 2 ). a) Bestäm definitionsmängden D för f. Rita även en bild av D. (2 p) b) Bestäm
Läs merInformation Coding / Computer Graphics, ISY, LiTH. Integrationsmetoder
Integrationsmetoder Datorspel är tidsdiskreta Explicita analytiska funktioner för hastighet och acceleration saknas Position är integral av hastighet Hastighet är integral av acceleration Eulerintegrering
Läs merVågrörelselära och optik
Vågrörelselära och optik Kapitel 14 Harmonisk oscillator 1 Vågrörelselära och optik 2 Vågrörelselära och optik Kurslitteratur: University Physics by Young & Friedman (14th edition) Harmonisk oscillator:
Läs merTentamen i Mekanik SG1107, baskurs S2. Problemtentamen
007-08-30 Tentaen i Mekanik SG1107, baskurs S. OBS: Inga hjälpede föruto rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik 1. Probletentaen En hoogen stång ed assan är fäst i ena änden i en fritt vridbar led.
Läs mer(Eftersom kraften p. g. a. jordens gravitation är lite jämfört med inbromsningskraften kan du försumma gravitationen i din beräkning).
STOCHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM Tentamensskrivning i Mekanik FyU01 och FyU03 Måndag 3 oktober 2005 kl. 9-15 Införda beteckningar skall definieras och uppställda ekvationer motiveras, detta gäller även när
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER i) En differentialekvation
Läs merTAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab
TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab Laboration 3. Linjär algebra Namn: Personnummer: Epost: Namn: Personnummer: Epost: Godkänd den: Sign: Retur: 1 Introduktion 2 En Komet Kometer rör sig enligt ellipsformade
Läs merÖvningar i MATLAB. 1. Antag x = 2 och y = 5. Beräkna följande i MATLAB a) yx 3 /(x-y) b) 3x/2y c) 3xy/2 d) x 5 /(x 5-1)
Övningar i MATLAB V1 1. Antag x = och y = 5. Beräkna följande i MATLAB a) yx 3 /(x-y) b) 3x/y c) 3xy/ d) x 5 /(x 5-1). a, b, c, d och f är skalärer. Skriv MATLAB uttryck för att beräkna och visa följande
Läs merLaboration 2 Mekanik baskurs
Laboration 2 Mekanik baskurs Utförs av: William Sjöström Oskar Keskitalo Uppsala 2014 12 11 1 Introduktion När man placerar ett föremål på ett lutande plan så kommer föremålet att börja glida längs med
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 16-8-18 DEL A 1. Låt D vara det område ovanför x-axeln i xy-planet som begränsas av cirkeln x + y = 1 samt linjerna y = x och y =
Läs merPROBLEM OCH LÖSNINGAR RUNT TYNGDLÖSHET
2003-05-31 PROBLEM OCH LÖSNINGAR RUNT TYNGDLÖSHET av Gabriel Jonsson Figur 1 Möjlig framtida marsraket enligt NASA Uppsats inom kursen Astronomi B, 5p Institutionen för fysik, Umeå Universitet Lärare:
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 16 mars 2015
SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 16 mars 2015 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt
Läs merKarta över Jorden - viktigt exempel. Sfär i (x, y, z) koordinater Funktionen som beskriver detta ser ut till att vara
Föreläsning 1 Jag hettar Thomas Kragh och detta är kursen: Flervariabelanalys 1MA016/1MA183. E-post: thomas.kragh@math.uu.se Kursplan finns i studentportalens hemsida för denna kurs. Där är två spår: Spår
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER i) En differentialekvation
Läs merLABORATION cos (3x 2 ) dx I =
SF1518,SF1519,numpbd14 LABORATION 2 Trapetsregeln, ekvationer, ekvationssystem, MATLAB-funktioner Studera kapitel 6 och avsnitt 5.2.1, 1.3 och 3.8 i NAM parallellt med arbetet på denna laboration. Genomför
Läs mer