Ett generationsneutralt avkastningsmål

Transkript

1 Ett generationsneutralt avkastningsmål - Asset Liability Management analys för buffertfonderna i det svenska pensionssystemet Erika Nyström & Viktoria Wirell Masteruppsats Handledare 30 hp Jörgen Blomvall, Produktionsekonomi, Institutionen för ekonomisk och industriell utveckling, Linköpings universitet Torbjörn Hamnmark, Tredje AP-fonden Examinator Ou Tang, Produktionsekonomi, Institutionen för ekonomisk och industriell utveckling, Linköpings universitet Stockholm 23 juni 2016 Institutionen för ekonomisk och industriell utveckling Linköpings universitet LIU-IEI-TEK-A 16/02647 SE

2

3 Abstract The aim of this thesis was to determine the target return that the buffer funds should have to generate maximum possible benefit for the Swedish pension system and to analyse the strength and sensitivity of the system. An Asset Liability Management analysis, with optimization of risk and return with respect to the pension system s liabilities and equality between generations, was performed. A key ratio was defined to illustrate the generation-neutrality in the pensions system. The key ratio shows how much pension one generation will receive compared to how much they have paid to the pension system and it is considered to be fair if the ratio is the same for every generation. A stochastic optimization model that minimized losses with respect to the key ratio was developed. The target real return that was determined in the optimization was 3.6 percent, which is lower than all the buffer funds current target returns. The sensitivity analysis showed that the pension system most plausible is strong in the future. The system is mainly sensitive for demographic changes while the condition of the financial market has less impact on the system s long-term stability. Sammanfattning Syftet med detta arbete var att fastställa det avkastningsmål som buffertfonderna bör ha för att bidra till största möjliga nytta för det svenska pensionssystemet samt att analysera styrkan och känsligheten i systemet. För att besvara syftet genomfördes en Asset Liability Management analys, där risk och avkastning optimerades samtidigt som hänsyn togs till pensionssystemets skulder och rättvisa mellan generationer. Ett nyckeltal definierades för att ta hänsyn till generationsneutralitet. Nyckeltalet visar hur mycket en generation procentuellt sett får ut i pension relativt vad de har betalat in till pensionssystemet och det anses vara rättvist om detta nyckeltal är samma för samtliga generationer. Utifrån nyckeltalet togs en stokastisk optimeringsmodell fram som minimerade förluster och orättvisor mellan generationer. Avkastningsmålet som fastställdes genom optimeringen blev 3,6 procent realt, vilket är lägre än samtliga buffertfonders nuvarande avkastningsmål. Känslighetsanalysen visade att pensionssystemet mest sannolikt ser starkt ut framöver. Pensionssystemet är framförallt känsligt för demografiska förändringar, medan förutsättningarna på de finansiella marknaderna får mindre påverkan för systemets långsiktiga stabilitet.

4

5 Tack Vi vill rikta ett stort tack till vår handledare Jörgen Blomvall, universitetslektor på Institutionen för ekonomisk och industriell utveckling vid Linköpings universitet, för hans goda handledning och engagemang. Vi vill också tacka medarbetarna på Tredje APfonden och då framförallt Torbjörn Hamnmark, Chef Strategisk Allokering, som gett oss vägledning och möjligheten att utföra detta examensarbete. Erika Nyström och Viktoria Wirell, 23 juni 2016.

6 Innehåll 1 Introduktion Problembeskrivning Syfte Avgränsningar Vetenskaplig metod Litteraturstudie Optimering av avkastningsmål Datahämtning Analys och utvärdering Det svenska pensionssystemet Pensionssystemet och AP-fondernas utveckling Pensionssystemets utformning Buffertfondernas uppdrag och roll Tredje AP-fonden Tredje AP-fondens filosofi och strategi Utvärdering av Tredje AP-fondens förvaltning Indexering av pensioner Balansering Pensionssystemets tillgångar och skulder Pensionssystemets tillgångar Pensionssystemets skulder Prognoser för pensionssystemet Avgiftsnetto Balanstal Sammanfattning av variabler som påverkar pensionssystemets utveckling Buffertfondernas ALM-analyser Generell beskrivning av inbetalningar och utbetalningar till och från pensionssystemet Teoretisk referensram Asset Liability Management Modeller och målfunktioner Stokastisk optimering Scenariogenerering Geometrisk Brownsk rörelse Jump diffusion modeller

7 4.4.3 Students t-fördelning Variansreducerande tekniker Latin hyperkub sampling Antitetisk sampling Förväntad avkastning Estimering av volatilitet Metodval Utgångspunkt för ALM-analysen Definition av rättvisa mellan generationer Målfunktion Tillgångar i portföljen Bivillkor Tillvägagångssätt och parameterval Datahämtning Skattning av förväntad avkastning Skattning av förväntad varians och kovarians Optimering och simulering av marknadsportföljen Hämtning och transformering av pensionsdata Simulering av pensionsystemets utveckling Beräkning av den procentuella förlusten per generation Optimering av fördelning mellan marknadsportfölj och riskfri tillgång Huvudantaganden i optimeringen Analys av känsligheten och styrkan i pensionssystemet Optimeringsmodell Resultat och analys Resultat av marknadsportföljsoptimeringen Resultat från tester av parametrar Optimalt avkastningsmål i huvudsimuleringen Känslighet och styrka i pensionssystemet Optimalt avkastningsmål i basscenariot Optimalt avkastningsmål i det pessimistiska scenariot Optimalt avkastningsmål i det optimistiska scenariot Analys av komponenterna i balanstalet Andra sannolikheter för det pessimistiska och optimistiska scenariot Annat startvärde för buffertfonderna Annat startår för ALM-analysen Annan riskfri ränta Andra marknadspremier Diskussion Optimalt avkastningsmål Känslighet och styrka i pensionssystemet Etiska aspekter Sammanfattning av resultat 107

8 A Appendix 112 A.1 Antaganden i Pensionsmyndighetens tre scenarier för pensionsystemets utveckling A.1.1 Åldersfördelning A.1.2 Födda, döda, invandrade och utvandrade A.1.3 Befolkningens storlek A.1.4 Försörjningskvot A.1.5 Buffertfondernas avkastning A.1.6 Lönetillväxt A.2 Historisk data och prognoser för indata till lösningsmetoden A.2.1 Debut i arbetslivet, pensionering och död för olika åldersgrupper. 116 A.2.2 Historiska värden på inkomstindex

9 Kapitel 1 Introduktion Det svenska pensionssystemet har de senaste tjugo åren genomgått ett flertal förändringar för att uppnå stabilitet (SOU, 2012:53). En av dessa förändringar är införandet av en balanseringsmekanism som påverkar storleken på pensionsutbetalningar negativt. Denna mekanism har blivit debatterad och kritiserad då många menar att den inte fungerat som den ska eftersom den har använts för ofta. (PRO m.fl., 2013) En viktig parameter som påverkar balanseringsmekanismen är avkastningen för pensionssystemets buffertfonder. Avkastningen kan både stärka systemet när den är positiv och göra systemet svagare när den är negativ. (Pensionsmyndigheten, 2015b) Att buffertfonderna gör en bra avvägning mellan risk och förväntad avkastning är därför viktigt för pensionssystemets stabilitet. Men hur denna avvägning bör göras är komplext, då många olika aspekter måste tas hänsyn till. (SOU, 2012:53) En stor del av det svenska pensionssystemet är den allmänna pensionen. Det är också i denna del av systemet som bufferfonderna är verksamma. Allmän pension får alla som har bott och varit yrkesverksamma i Sverige och den grundas på skattegenererande inkomster. Den allmänna pensionen består av två delar, premiepensionen och inkomstpensionen. Premiepensionen kan individen själv bestämma över och göra egna fondval för, medan inkomstpensionen bokförs på ett konto. (Pensionsmyndigheten, 2016a) Avgifterna som betalas till inkomstpensionen bokförs som pensionsrätter för varje individ och skrivs i normalfallet upp med inkomstindex. Dessa pensionsrätter motsvarar det som individen senare kommer att få i pension. Det är de yrkesverksamma som betalar dagens pensionärer och inkomstpensionen kan därför ses som ett fördelningssystem som grundas i ett lagstadgat avtal mellan generationer. (SOU, 2012:53) Första till Fjärde AP-fonden hanterar de under- och överskott som uppstår när pensionsutbetalningarna är större eller mindre än pensionsavgifterna. Under- och överskotten uppstår på grund av att den demografiska och ekonomiska utvecklingen varierar. (Pensionsmyndigheten, 2015b) Fonderna kallas buffertfonder och de ansvarar för en fjärdedel av systemets kapital. De har identiska lagstadgade placeringsregler, exempelvis måste de inneha över 30 procent av deras tillgångar i räntebärande värdepapper med låg kreditrisk och god likviditet. (Tredje AP-fonden, 2009c) Enligt Regeringens prop. (1999/2000:46) ska de ha samma förutsättningar och agera oberoende av varandra för att undvika maktkoncentration och främja konkurrens. Buffertfondernas kapital utgör en del av pensionssystemets tillgångar. Där spelar de en 1

10 viktig roll eftersom systemets totala tillgångar måste vara minst lika stora som pensionsskulden för att pensioner och pensionsrätter ska skrivas upp med inkomstindex. Om tillgångarna är mindre än pensionsskulden skrivs pensioner och pensionsrätter upp med ett lägre balansindex och en så kallad balansering av systemet sker. Fonderna bidrar till systemets stabilitet om avkastningen från dess portföljer växer snabbare än inkomsindex. (Tredje AP-fonden, 2016c) Dock garanterar inte en avkastning som är högre än inkomstindex att systemet är stabilt eftersom det även är beroende av demografiska och ekonomiska förändringar. Fonderna har som lagstadgat uppdrag att förvalta buffertkapitalet till största möjliga nytta för det statliga svenska inkomstpensionssystemet genom att skapa en hög avkastning till en låg risknivå. Lagen ger dock ingen tydlig vägledning för vad som är lämplig risktolerans och förväntad avkastning för fonderna vilket gör det svårt att bestämma ett avkastningsmål. Det stora tolkningsutrymmet i lagen har medfört att AP-fondernas styrelser har valt olika målsättning. Viss vägledning gällande målsättningen ges indirekt genom de placeringsrestriktioner som finns för AP-fonderna. Eftersom en stor del av portföljen måste placeras i räntor med låg risk begränsar det hur hög den förväntade avkastningen kan bli, men ingen mer entydig vägledning kring målsättningen ges. (SOU, 2012:53) En av buffertfondernas förhållningsregler som är relaterad till avkastningsmålet är att de bör agera neutralt och rättvist mellan olika pensionärsgenerationer. Är risken i portföljen idag låg minskar sannolikheten för att en balansering sker på kort sikt vilket gynnar dagens pensionärsgeneration. Detta missgynnar dock kommande pensionsgenerationer eftersom avkastningen reduceras vilket ökar risken för att balansering aktiveras i framtiden. (SOU, 2012:53) Regeringens prop. (1999/2000:46) menar att stor vikt bör läggas vid att undvika att den automatiska balanseringen aktiveras. Samtidigt kan det krävas ett ambitiöst avkastningsmål för att förhindra balansering vilket leder till ett högt risktagande (SOU, 2012:53). Det risktagande som är relaterat till ett visst avkastningsmål kan även öka när förutsättningarna på de finansiella marknaderna blir sämre. Eftersom minst 30 procent av fondernas portföljer måste placeras i obligationer med låg risk, kan exempelvis ett marknadsläge med låga räntor medföra att hög risk måste tas i resten av portföljen för att nå avkastningsmålet. Avkastningsmålet bör därmed vara en avvägning mellan pensionssystemets behov och förutsättningarna på marknaden. 1.1 Problembeskrivning Tredje AP-fonden är den buffertfond som är uppdragsgivaren till detta arbete. De har efterfrågat en analys av hur deras avkastningsmål bör sättas med hänsyn till deras åtagande och de risker som finns i pensionssystemet. Att fastställa ett lämpligt avkastningsmål är komplext för buffertfonderna eftersom de behöver ta hänsyn till många olika faktorer. Samtidigt är avkastningsmålet viktigt eftersom det påverkar pensionsystemets stabilitet och därmed framtida pensionsutbetalningar. Att undvika eller minimera sannolikheten för balansering, det vill säga att skulderna blir större än tillgångarna, är den vanligaste utgångspunkten när pensionsfonder sätter sitt avkastningsmål och anses vara det som leder till mest rättvisa mellan generationer. Om balanseringen helt kan undvikas skulle det kunna ses som att det blir rättvist mellan generationer, men om detta inte är möjligt och balanseringen måste aktiveras skapar det orättvisor mellan generationer. Även om balanseringsmekanismens utformning gör att både pensionärer och personer i arbetan- 2

11 de ålder påverkas negativt av balanseringen vilket minskar orättvisorna, påverkas olika generationer inte i lika stor utsträckning. För att fastställa ett optimalt avkastningsmål som tar hänsyn både till neutralitet mellan generationer och minimering av balanseringsförluster behövs därför en tydligare definition av rättvisa. Problemet kan delas upp i följande frågeställningar: Hur kan rättvisa mellan generationer definieras? Hur kan rättviseaspekten tas hänsyn till vid optimering av avkastningsmålet? Vilket avkastningsmål leder till största möjliga nytta för pensionssystemet? Hur känsligt är pensionssystemet för demografiska och ekonomiska förändringar? 1.2 Syfte Syftet med examensarbetet är att fastställa det avkastningsmål som buffertfonderna bör ha för att bidra till största möjliga nytta för det svenska pensionssystemet samt att analysera styrkan och känsligheten i systemet. 1.3 Avgränsningar För att simulera pensionssystemets utveckling i olika scenarier kommer Pensionsmyndighetens verktyg Pensionsmodellen att användas. Den demografiska och ekonomiska datan som kommer att användas i simuleringen kommer att utgå från färdiga prognoser från exempelvis Statistiska centralbyrån. Denna avgränsning görs eftersom egna beräkningar av pensionssystemets tillgångar och skulder i olika scenarier blir för komplext och inte ryms inom examensarbetets omfattning och tidsram. Vid framtagandet av avkastningsmålet kommer inte hänsyn tas till enskilda tillgångars avkastning och risk. Istället kommer olika index användas som representerar de tillgångsklasser som Tredje AP-fonden investerar i. Optimeringen kommer endast göras för de tillgångsslag som Tredje AP-fonden investerar i. De andra buffertfonderna har eventuellt investeringar i andra tillgångsslag men eftersom uppdragsgivaren för detta arbete är Tredje AP-fonden är det bara deras investeringar som kommer att användas vid optimeringen. Vid modelleringen av de framtida inkomsterna för olika generationer kommer framtida inkomster för en generation antas öka i samma takt som den genomsnittliga inkomstökningen för samtliga generationer. I verkligheten har yngre generationer en högre procentuell löneutveckling än äldre yrkesverksamma generationer. Svenska inkomster ökar i genomsnitt fram till ungefär 45 års ålder och därefter förväntas de sjunka. (Pensionsmyndigheten, 2015b) Denna avgränsning leder därför till att pensionsbehållningarna kommer öka ungefär linjärt i modelleringen i detta arbete, medan pensionsbehållningarna i verkligheten ökar snabbare i början och sedan ökar långsammare ju närmre pensionering generationen kommer. Storleken på pensionsbehållningarna påverkar hur hårt en eventuell balansering i pensionssystemet slår mot en generation. Hur mycket en generation i verkligheten förlorar på balanseringen kan därför skilja sig från förlusten som beräknas i detta arbete, vilket påverkar beräkningen av rättvisa för olika generationer. Denna 3

12 avgränsning är dock nödvändig eftersom en detaljerad beräkning och prognostisering av de olika generationernas inkomstutveckling skulle bli för omfattande för examensarbetet och dess tidsram. 4

13 Kapitel 2 Vetenskaplig metod Den huvudsakliga metod som kommer användas för att besvara syftet är så kallad Asset Liability Management analys, hädanefter kallat ALM-analys. I en ALM-analys belyses sambanden mellan ett företags tillgångssida och skuldsida och ALM är ett verktyg som ofta används av banker, försäkringsbolag och pensionsfonder. Syftet med en ALM-analys är att fastställa den långsiktiga tillgångsallokering som bäst passar förvaltningens åtaganden. I analysen genomförs ofta en prognos av framtida förväntade kassaflöden in och ut ur företaget. För en pensionfond kan detta exempelvis innebära framtida inbetalningar och pensionsutbetalningar. (Tredje AP-fonden, 2002) För att genomföra ALM-analysen kommer flera olika moment att genomföras och dessa beskrivs i avsnitten nedan. 2.1 Litteraturstudie För att besvara syftet kommer litteratur inom flera olika områden att läsas. Först kommer en fördjupning inom området ALM-analys att göras för att skapa förståelse och för att kunna identifiera olika sätt att genomföra analysen på. Denna information kommer att hämtas från olika vetenskapliga artiklar samt böcker inom området. Det svenska pensionssystemet har en unik utformning på grund av den balanseringsmekanism som används, denna beskrivs närmre i kapitel 3.6. Balanseringsmekanismen medför att relationen mellan tillgångssidan och skuldsidan i pensionssystemet är komplicerad. För att kunna genomföra en bra ALM-analys kommer därför det svenska pensionssystemet och buffertfondernas roll i systemet först att studeras närmre och sedan beskrivas utförligt i ett eget kapitel i uppsatsen. Information om det svenska pensionssystemet kommer att hämtas främst från Pensionsmyndigheten, olika utredningar av pensionssystemet samt de olika buffertfonderna. 2.2 Optimering av avkastningsmål Likt beskrivet i kapitel 1 är det komplext att bestämma det avkastningsmål som buffertfonderna bör ha eftersom det finns många olika aspekter att ta hänsyn till. En av dessa är att de ska verka för generationsneutralitet, vilket är svårt när den balanseringsmekanism som finns i systemet medför att orättvisor kan uppstå mellan generationer. För att kunna ta hänsyn till rätteviseaspekten i ALM-analysen i detta arbete kommer ett mått på rättvisa att definieras och härledas matematiskt. Detta mått på rättvisa, tillsammans med 5

14 de andra aspekter som buffertfonderna måste ta hänsyn till, kommer att inkorporeras i en optimeringsmodell som finner det avkastningsmål som bidrar till största möjliga nytta för det svenska pensionssystemet. 2.3 Datahämtning Den data som behövs för att genomföra optimeringen kommer dels att hämtas från Pensionsmyndighetens statistik och prognoser för pensionssystemets inbetalningar, utbetalningar, tillgångar och skulder. För att modellera utvecklingen för tillgångarna i buffertfondernas portfölj kommer historisk data användas som utgångspunkt. Därför kommer historiska priser för de olika index som bygger upp Tredje AP-fondens långsiktiga referensportfölj att hämtas från databasen Bloomberg. 2.4 Analys och utvärdering Efter genomförd optimering kommer resultatet att analyseras. Avkastningsmålet kommer att jämföras med Tredje AP-fondens nuvarande och historiska avkastningsmål. För att testa känsligheten och styrkan i pensionssystemet kommer de demografiska och ekonomiska scenarierna att varieras. Detta kommer att göras för att analysera vilket avkastningsmål som skulle krävas i andra scenarier och se hur olika faktorer påverkar pensionssystemets utveckling och stabilitet. 6

15 Kapitel 3 Det svenska pensionssystemet För att ge en djupare inblick i hur det svenska pensionsystemet är utformat ges i detta kapitel en beskrivning av systemet, dess utveckling och dynamik. Det sista avsnittet i kapitlet ger en matematisk generell beskrivning av in- och utbetalningar i pensionssystemet som ligger till grund för vidare beräkningar i arbetets ALM-modell. 3.1 Pensionssystemet och AP-fondernas utveckling År 1913 införde Sverige allmän pensionsförsäkring för alla över 67 års ålder (Första APfonden, 2007). Förutsättningarna för pensionen var dock dåliga. Pensionen var låg och enligt Statistiska centralbyrån (1913) var den genomsnittsliga livslängden cirka 60 år. Villkoren för den allmänna pensionen förbättrades under resterande delen av århundradet, bland annat genom införandet av obligatorisk allmän tilläggspension (ATP) år Medborgare fick då ett tillskott till pensionen som reflekterade den intjänade inkomsten från sina yrkesverksamma år. För att säkerställa sparandet i ATP-systemet infördes Allmänna Pensionsfondens Första, Andra och Tredje fondstyrelser som ansvarade för buffertkapital. Dessa fondstyrelser kompletterades senare med de Fjärde, Femte och Sjätte fondstyrelserna som hade andra investeringsinriktningar. Anledningen till att det infördes flera olika styrelser var för att undvika maktkoncentration och påverkan från stat och enskilda intressen. (SOU, 2012:53) De allmäna pensionsfonderna (AP-fonderna) skapades för att kompensera för ett eventuellt bortfall i långsiktigt sparande. Bortfallet skulle uppkomma på grund av att individer förlitade sig mer på det nya ATP-systemet och därför sparade mindre. De skulle också förvalta kapital för att på lång sikt jämna ut finansieringen av de växande ATP-pensionerna och agera som buffert för tillfälliga underskott. Fonderna skulle bidra med den avkastning som behövdes för att skapa en god levnadsstandard. (SOU, 2012:53) År 1998 beslutade riksdagen att reformera det allmänna pensionssystemet genom en fempartiöverenskommelse. Detta innebar att det kapital som förvaltats av sex stycken fondstyrelser istället nu förvaltades av fem. (Första AP-fonden, 2007) Dessa ändrade, i och med förändringen, namn från fondstyrelser till Första till Fjärde AP-fonderna och Sjätte AP-fonden. Den Tredje fondstyrelsen lades ner och den Femte fondstyrelsen bytte namn till Tredje AP-fonden vilket innebär att det nu inte finns någon Femte AP-fond. Första till Fjärde AP-fonderna fick identiska placeringsregler medan den Sjätte stod utanför pensionsöverenskommelsen. (SOU, 2015:34) Det gamla ATP-systemet var inte balanserat och befarades inte hålla i framtiden. Det baserades på ett fördelningssystem där pensionsrätterna 7

16 grundades på intjänandetid. Förändrad arbetsmarknad och demografi med en ökad medellivslängd medförde att pensionstiden förlängdes och att systemet blev instabilt. Ett nytt pensionssystem var därmed nödvändigt. Det nya systemet balanserade tillgångar och skulder där allt som betalades in också betalades ut och det fanns en broms vid obalans som justerade skulder. (LO, 2011) 3.2 Pensionssystemets utformning Den nuvarande AP-fondslagen och dess regelverk trädde i kraft den 1 januari 2001 och tillkom i samband med det nya pensionssystemet som utvecklades under pensionsreformen Det gamla pensionssystemet kommer att fasas ut fram till år 2018 och verkar under denna tid parallellt med det nya systemet. Enligt de nya pensionsreglerna finns garantipension, inkomstpension och premiepension. Den pension som intjänats utifrån det gamla systemet kallas tilläggspension. (SOU, 2012:53) Pensionen som arbetande i Sverige får består av olika delar och kommer från olika intressenter. Den kan komma från Pensionsmyndigheten som allmän pension, från arbetsgivare i form av tjänstepension och från individen själv i form av eget sparande vilket visas i pyramiden i figur 3.1. Figur 3.1: Pensionens delar, (SOU, 2012:53), (Pensionsmyndigheten, 2016a) Den allmänna pensionen består av inkomstpension och premiepension som båda är inkomstgrundade. Vissa har även garantipension och tilläggspension som också är delar av den allmänna pensionen. Garantipensionen är ett skydd för dem som har haft låg inkomst och finansieras av skatt genom statsbudgeteten vilket visas i Figur 3.1. Det är den allmänna pensionen som Pensionsmyndigheten ansvarar för. (Pensionsmyndigheten, 2016a) De avgifter som finansierar den allmänna pensionen kommer dels från den försäkrade och dels från dess arbetsgivare. Den försäkrade betalar en allmän pensionsavgift på 7 procent av sin lön och av ersättningar från social- och arbetslöshetsförsäkringarna. Arbetsgivaren betalar en pensionsavgift på 10,21 procent av den anställdas lön. Pensionsavgiften summerar alltså endast till 17,21 procent av avgiftsunderlaget medan pensionsrätten och 8

17 pensionsavgiften är 18,5 procent av pensionsunderlaget. Skillnaden beror på att den allmänna pensionsavgiften, 7 procent, dras av från avgiftsunderlaget när pensionsrätten beräknas. (Pensionsmyndigheten, 2015b) Varje år avsätts 18,5 procentenheter av pensionsgrundande inkomster till den allmänna ålderspensionen. 16 procentenheter av dessa går till inkomstpension och de resterande 2,5 procentenheterna går till premiepension. De avgifter som finansierar inkomstpensionen går igenom Första till Fjärde AP-fonderna. Fonderna får avgifterna och betalar samtidigt ut dem varje månad till pensionärerna. Hur mycket de betalar ut är beroende av hur mycket de tidigare fått in i inbetalade avgifter och den årliga uppräkningen av detta belopp. Avgifterna som betalas in till fonderna baseras på inkomster vilka är beroende av samhällets ekonomiska utveckling och då framförallt löneutvecklingen. (SOU, 2012:53) Inkomstpensionen (de 16 procentenheterna) ses som ett fördelningssytem eftersom dagens pensioner finansieras av de inkommande pensionsavgifterna. Det är alltså de yrkesverksamma som betalar dagens pensionärer och inkomstpensionssystemet är ett avtal mellan generationer som fastställts i lag.(tredje AP-fonden, 2015c) Avgifterna som betalas till pensionärerna bokförs för varje individ och skrivs upp med inkomstindex vilket beskrivs närmre i kapitel 3.5. Premiepensionen (2,5 procentenheter) förvaltas i pensionsfonder som väljs av individen. När det inte finns något speciellt önskemål förvaltas premiepensionen av Sjunde AP-fonden, AP7 Såfa, vilken alltså inte är en buffertfond även om namnet indikerar det. (SOU, 2012:53) Det gamla ATP-systemet kommer att finnas kvar i form av tilläggspension fram till 2018 då det ska vara utfasat. Tilläggspensionen baseras på pensionspoäng som fås under individens yrkesverksamma år där höga pensionspoäng ger en högre tilläggspension. Det är åldersgruppen som är född 1937 och tidigare som får sin pension i form av tilläggspension. De som är födda mellan 1938 och 1953 kommer att få delvis tilläggspension och delvis inkomst- och premiepension. Ju tidigare i perioden mellan 1938 och 1953 individen är född desto mer av pensionen fås i form av tilläggspension. (Pensionsmyndigheten, 2015c) 3.3 Buffertfondernas uppdrag och roll Buffertfonderna (Första till Fjärde samt Sjätte AP-fonden) hanterar de under- och överskott som uppstår när pensionsutbetalningarna är större eller mindre än pensionsavgifterna. De går antingen in med kapital när inkomspensionssystemet inte är i balans eller så sparar de kapital när överskott uppstår. Varje buffertfond ansvarar för en fjärdedel av systemets åtagande och agerar oberoende av varandra för att undvika maktkoncentration och främja konkurrens dem emellan. (SOU, 2012:53) Enligt AP-fondslagen har fonderna som uppdrag att förvalta buffertkapital till största möjliga nytta för det statliga svenska inkomstpensionssystemet genom att skapa en hög avkastning till en låg risknivå. (Tredje AP-fonden, 2015c) Specifikt säger 4 kap. 1 i AP-fondslagen: Första-Fjärde AP-fonderna ska förvalta fondmedlen på sådant sätt att de blir till största möjliga nytta för försäkringen för inkomstgrundad ålderspension. Den totala risknivån i fondernas placeringar ska, vid vald risknivå, placeras så att långsiktigt hög avkastning uppnås. Fonderna ska i sin placeringsverksamhet ha nödvändig beredskap för att kunna överföra medel till Pensionsmyndigheten enligt 2 kap. 2. 9

18 Buffertfonderna har två huvudsakliga roller i systemet. Dels ska de balansera systemet på kort sikt vilket fonderna gör genom att hantera skillnader i in- och utbetalningar och dels ska de bidra till systemtets stabilitet på lång sikt. För att bidra till pensionssystemets balans på lång sikt bör fonderna ha god avkastning. På så sätt minskar risken för pensionsbortfall till följd av balansering, mekanismerna för balanseringen beskrivs närmre i kapitel 3.6. (Tredje AP-fonden, 2015c) Enligt Regeringens prop. (1999/2000:46) bör stor vikt läggas vid att undvika att den automatiska balanseringen aktiveras. Dock behövs detta vägas mot vilken avkastning som krävs för att det ska vara neutralt mellan generationer. Minskas risken i portföljen minskar sannolikheten för att en balansering sker vilket gynnar dagens pensionärsgeneration. Detta är dock ogynnsamt för kommande pensionsgenerationer eftersom avkastningen reduceras vilket ökar risken för att balanseringen aktiveras i framtiden. Buffertfonderna bör i sin förvaltingsverksamhet arbeta för neutralitet mellan olika pensionsgenerationer. För att pensioner och pensionsrätter skall skrivas upp med inkomstindex måste de totala tillgångarna vara minst lika stora som den totala pensionsskulden. Detta betyder att pensionsystemet är stabilt om buffertfondernas avkastning växer snabbare än inkomstindex, givet att det inte sker några ekonomiska eller demografiska förändringar. När skulderna överstiger tillgångarna aktiveras balanseringen vilket betyder att pensionsrätterna inte skrivs upp med inkomstindex, se kapitel 3.6. (Tredje AP-fonden, 2015c) Sedan införskaffandet av buffertfonder 1960 har avgiftsnettot, skillnaden mellan systemets avgiftsinkomster och utgifter, varierat. Fram till 1980 var avgiftsnettot positivt vilket medförde att buffertkapitalet ökade. Från 1980 och framförallt från 1990 var avgiftsnettot negativt vilket ledde till att buffertfonderna fick tillföra buffertkapital för att pensionsutbetalningarna skulle kunna finansieras. Detta berodde delvis på att avgifterna, som nu är 18,5 procent, var lägre. Den nuvarande avgiftsnivån infördes år 2000 och medförde att avgiftsnettot blev positivt under några år. År 2009 blev avgiftsnettot negativt igen och det förväntas också vara det framöver eftersom den stora generationen 40-talister har gått eller går i pension.(sou, 2012:53) Att buffertfonderna börjar göra utbetalningar ställer krav på avkastning och det är betydelsefullt att de inte gör stora förluster enskilda år. (Tredje AP-fonden, 2015c) AP-fonderna tolkar lagens övergripande bestämmelse om mål och placeringsverksamhet och sätter själva sina konkreta avkastningsmål. Kapitalförvaltningen utgår från en vald total risknivå som i sin tur bestämmer fördelningen mellan olika tillgångar och riskklasser i portföljen. (SOU, 2012:53) Fonderna måste ta hänsyn till etik och miljö vid allokering men utan att det får påverka målet om en hög avkastning. De får dock inte ta hänsyn till ekonomisk politik eller näringspolitik vid placering. (Tredje AP-fonden, 2009c) APfonderna har dessutom lagstadgade placeringsrestriktioner för sin placeringsverksamhet. Dessa riktlinjer för allokeringen finns i lagen (2000:192) (4 kap ) och säger följande: 1. Placeringar får ske i alla förekommande instrument på kapitalmarknaden som är marknadsnoterade och omsättningsbara. 2. Minst 30 procent av fondens tillgångar ska placeras i räntebärande värdepapper med låg kreditrisk och god likviditet. 10

19 3. Högst 40 procent av tillgångarna får exponeras för valutarisk. 4. Marknadsvärdet på fondens totala innehav av aktier i svenska aktiebolag som är noterade vid en svensk börs eller en auktoriserad marknadsplats får inte överstiga 2 procent av det totala marknadsvärdet av sådana aktier. 5. Varje fond får äga högst 10 procent av rösterna i ett enskilt börsnoterat företag. 6. Maximalt 5 procent av fondens tillgångar får placeras i onoterade värdepapper. Dessa placeringar får ske i aktier eller andelar i riskkapitalföretag eller indirekt via värdepappersfonder eller liknande. AP-fonderna får äga högst 30 procent av röstetalet för samtliga aktier eller andelar i ett enskilt riskkapitalföretag. 7. Minst 10 procent av tillgångarna ska förvaltas av utomstående förvaltare. 8. Fonden får inte placera i optioner, terminer eller andra liknande finansiella instrument med råvaror som underliggande tillgång. 9. Högst 10 procent av fondens tillgångar får placeras i fondpapper eller andra finansiella instrument utfärdade av en emittent eller av en grupp av emittenter med inbördes anknytning. 10. Alla finansiella derivat är tillåtna men handel i derivat skall ske främst i syfte att effektivisera förvaltningen, skydda tillgångarna mot olika risker och för att ändra positionen i riskhänseende. Dessa behöver inte vara noterade eller omsättningsbara. OTC-derivat är sålunda tillåtna. Buffertfonderna har utifrån lagen och dess placeringsrestriktioner fastställt varierande avkastningsmål. Detta har gjorts utifrån ALM-analyser där systemets totala tillgångar och skulder matchas. (SOU, 2012:53) ALM-analyser är något som föreslås till fondernas tillgångsallokering i Regeringens prop. (1999/2000:46). Beräkningarna är beroende av tidshorisonten samt Pensionsmyndighetens prognostiserade scenarier för utvecklingen av pensionssystemet. Det finns dock ingen gemensamt bestämd tidshorisont utan målet är en långsiktigt hög avkastning. (SOU, 2012:53) Enligt Regeringens prop. (1999/2000:46) är det nödvändigt att tidshorisonten sträcker sig längre än år framåt i tiden. I tabell 3.1 syns Första till Fjärde AP-fondernas olika avkastningsmål. De varierar mellan fonderna och de har också varierat över tid. Exempelvis menar Första AP-fonden (2015) att de höjt avkastningsmålet från 5,5 procent nominellt till 4 procent realt trots den nuvarande penningpolitiken med låga globala räntor. Andra AP-fonden har istället sänkt avkastningsmålet till 4,5 procent realt, från och med år 2015, från det tidigare målet på 5 procent. Detta gjorde de på grund av långsiktigt förväntade lägre globala räntor (Andra AP-fonden, 2015). 11

20 AP-fond Första AP-fonden Andra AP-fonden Tredje AP-fonden Fjärde AP-fonden Avkastningsmål real avkastning på 4,0 procent real avkastning på 4,5 procent real avkastning på 4,0 procent real avkastning på 4,5 procent Tabell 3.1: AP-fondernas avkastningsmål. (Första AP-fonden, 2015),(Andra AP-fonden, 2015),(Tredje AP-fonden, 2015c),(Fjärde AP-fonden, 2015) 3.4 Tredje AP-fonden Första till Fjärde AP-fonderna har alla samma placeringsregler men de agerar olika och har olika mål. Enligt Tredje AP-fondens analys av förväntad framtida utveckling för pensionssystemets tillgångar och skulder är deras avkastningsmål satt till 4 procent realt. Målet om 4 procent real avkastning sattes under 2005 och har inte förändrats sedan dess. En avkastning över detta mål anser de gör att pensionsystemet kommer att vara stabilt vilket medför att risken för balanseringar i framtiden reduceras. För att minimera risken i portföljen diversifierar fonden sina tillgångar. Förvaltningen sker på en global nivå och portföljen innehåller noterade aktier, räntebärande tillgångar och alternativa investeringar. De alternativa investeringarna består bland annat av onoterade aktier, fastigheter, skog och infrastrukturtillgångar. (Tredje AP-fonden, 2015a) År 2015, vid årets slut, var fondens innehav värda 303 miljarder kronor och allokeringen såg ut som i Figur 3.2. Figur 3.2: Tredje AP-fondens allokering (Tredje AP-fonden, 2016c). 12

21 Fondens historiska utveckling sedan år 2001 har sett ut som i figur 3.3. Medelavkastningen under perioden var 5,5 procent och volatiliteten var 11,2 procent. (Tredje AP-fonden, 2016c) Volatiliteten är dock beräknad utifrån endast 15 punkter då portföljresultatet är dokumenterat på årsbasis. Figur 3.3: Tredje AP-fondens nominella utveckling (Tredje AP-fonden, 2016c) Tredje AP-fondens filosofi och strategi Fonden har en investeringsfilosofi som ligger till grund för de investeringsbeslut som fattas. Filosofin går ut på att risktagande, riskspridning och tidsdiversifiering höjer den riskjusterade avkastningen. Fondens investeringsstrategi utgår från filosofin och de arbetar för att att skapa avkastning utifrån tre stycken olika långa placeringshorisonter. De olika placeringshorisonterna kräver olika investeringsprocesser som samvarierar. Strategin för investeringsprocesserna utgår från de tre första punkterna i investeringsfilosofin; risktagande, prognosförmåga och riskspridning vilka syns i tabell 3.2. (Tredje AP-fonden, 2009d) Fonden prognostiserar risk och avkastning för olika tillgångar och gör analyser för hur tillgångarna samvarierar i framtiden. Risken bedöms genom volatilitet och tillsammans med avkastning görs en optimering för att ta fram en allokering som ger 4 procent real avkastning. Fondens olika placeringsregler tas med i optimeringen och hänsyn tas till fondens speciella förutsättningar som gynnar verksamheten. De speciella förutsättningarna är långsiktigt investeringsperspektiv, flexibilitet och statligt ägande. Den investeringsprocess som har ett långsiktigt perspektiv har en relativt hög riskexponering eftersom den förväntade avkastningen från räntebärande tillgångar är låg i relation till avkastningsmålet på fyra procent. Fonden strävar därför efter att ha en väl diversifierad portfölj som sänker risktagandet. Den investeringsprocess som har en kort tidshorisont, alfaförvaltningen, placerar i tillgångar som inte samverkar med portföljens totalavkastning. Detta 13

22 Avkastningshöjande faktorer Risktagande Risktagande via exponering mot framförallt aktie-, kredit-, valutaoch likviditetsrisk Prognosförmåga Strukturell makroekonomisk analys och avkastningsprognoser utifrån långsiktigt data Riskspridning Mellan olika tillgångsslag och mellan olika regioner och sektorer Lång sikt Medellång sikt Kort sikt Risktagande förändras beroende på avkastningsförväntningar under kommande 1-3 år Konjunkturell makroekonomisk analys, värdering och riskaptit Förändring av exponering mot olika risktyper och diversifiering via positioner på olika delmarknader Risktagande som skapar en avkastning som har låg samvariation med övrig avkastning Olika typer av beslutsmodeller och prognosmetoder för kortsiktig positionstagning Positioner tas inom flera delsegment av finansmarknaden Tabell 3.2: Tredje AP-fondens investeringsprocesser (Tredje AP-fonden, 2009d). för att öka fondens diversifiering och riskjusterade avkastning. (Tredje AP-fonden, 2009b) Investeringsprocessen som har en medellång placeringshorisont på 1-3 år är dynamisk för att öka sannolikheten för hög avkastning och samtidigt ha låg risk. Fonden strävar efter att krympa intervallet inom vilket den årliga avkastningen kan variera. Detta gör de för att minska risken för stora negativa utfall för att på så sätt få ett så stabilt pensionssystem som möjligt. Att fonden är dynamisk innebär att de frekvent förändrar innehaven. Förändringarna behöver dessutom vara betydande för att allokeringen ska uppfylla sitt syfte. Allokeringen sker mellan fondens riskklasser som är aktier, räntor, valuta, inflation, krediter, övrig exponering och absolutavkastande strategier. Dessa visas i figur 3.4. Det är inom riskklasserna som fonden prognostiserar framtida avkastning och risk och deras bidrag till den totala portföljen analyseras och prognostiseras. (Tredje AP-fonden, 2009a) 14

23 Figur 3.4: Tredje AP-fondens riskklasser (Tredje AP-fonden, 2009a) Utvärdering av Tredje AP-fondens förvaltning Tredje AP-fonden utvärderas kontinuerligt med en modell som ger en bild av fondens långsiktiga möjligheter samt hur de lyckas förvalta dessa möjligheter. Modellen är uppbyggd av fyra delkomponenter som utvärderas var för sig. (Tredje AP-fonden, 2015c) 1. Fondens operationella mål om real avkastning på 4 procent per år 2. En jämförelse med en långsiktig statisk portfölj 3. En jämförelse med en grupp av internationella pensionsfonder 4. En självutvärdering av fondens allokeringsbeslut. För att omfatta minst en konjukturcykel utvärderas fonden på en tidshorisonten mellan fem och tio år. Fondens avkastning utvärderas gentemot dess avkastningsmål med hänsyn till vilken risk som tagits. Jämförelsen med den långsiktiga statiska portföljen sker genom att kontrollera jämförelseportföljens avkastning i relation till Tredje AP-fondens avkastning. Den långsiktiga statiska portföljen innehåller enbart de billigaste fondalternativen, noterade aktier och räntor. Detta för att undersöka om de extra resurser som Tredje AP-fonden lagt på förvaltning har gett resultat i form av högre avkastning. Den statiska portföljen ombalanseras varje månad för att återställa ursprungsvikterna och innehåller inte några tillgångar som kräver resurser vid val av tillgångar. Detta betyder att portföljen inte innehåller exempelvis onoterade aktier, hedgefonder eller fastigheter. Tredje AP-fonden ska upprätthålla en internationell hög standard och jämförs därför med en extern grupp med internationella pensionsfonder. Jämförelsegruppen består av åtta fonder som liknar Tredje AP-fonden i förvaltad volym, avkastningsmål och typ av uppdrag. De allokeringsbeslut som tagits under året självutvärderas av fonden för att undersöka förvaltningens förmåga att bedöma utvecklingen på finansmarknaden. På så sätt kan utvecklingsområden identifieras och verksamhetsförbättringar genomföras. (Tredje AP-fonden, 2015c) 15

24 3.5 Indexering av pensioner En viktig funktion i pensionssystemet är att tillgångarna i systemet skrivs upp för att pensionärernas köpkraft skall bevaras. Vid varje årsskifte räknas pensionerna om med hjälp av olika index för hur inkomster och priser förändras i samhället. När pensionssystemet är i balans följer pensionen inkomstutvecklingen i Sverige och förräntas med genomsnittsinkomstens utveckling. Genomsnittsinkomsten mäts med ett inkomstindex som beräknas utifrån genomsnittet av samtliga pensionsgrundande inkomster för personer i åldrarna år. (Pensionsmyndigheten, 2015b) Beräkningen av inkomstindex görs enligt formeln I t+1 = I t P GI t P GI t 1 (3.5.1) P GI t = Y t N t (3.5.2) där t kalenderår I t inkomstindex år t Y t summa pensionsgrundande inkomster år t utan takbegränsning för personer år, efter avdrag för allmän pensionsavgift N t antal personer år som har pensionsgrundande inkomst år t. (Ds, 2015:6) Utifrån de beräknade värdena för inkomstindex räknas pensionsbehållningarna om vid varje årsskifte. Ny pensionsrätt tillkommer genom att avgifter betalas till den allmäna ålderspensionen likt beskrivet i kapitel 3.2 och de tidigare pensionsbehållningarna förräntas med den procentuella ökningen av inkomstindex. Den nya individuella pensionsbehållningen beräknas därmed enligt P ensionsbehållning t = P ensionsbehållning t 1 It+1 + Nyintjänad pensionsrätt t. I t (3.5.3) Inbetalning av pensionsavgifter och uppräkning av pensionen enligt ekvation (3.5.3) sker så länge en person är i arbete. När den försäkrade sedan pensioneras vänds betalningsströmmarna och en månatlig pension beräknas utifrån den försäkrades pensionsbehållning och genomsnittlig livslängd för den försäkrades årskull. Den årliga pensionsutbetalningen beräknas genom att pensionsbehållningarna divideras med ett delningstal vid pensionstillfället. Delningstalet beror dels på den statistiskt återstående medellivslängden för en viss årskull och avser ett genomsnitt för män och kvinnor. Förutom förväntad livslängd innefattar delningstalet även en tänkt framtida tillväxt på 1,6 procent. Utifrån dessa faktorer beräknas delningstalet som där D i = 1 12L i r 11 k=i X=0 ( L k + (L k+1 L k ) X ) (1, 016) (k i) (1, 016) X 12, i = 61, 62,..., r 12 (3.5.4) 16

25 D i delningstal för åldersgrupp i k i antal år som pensionär (k = i, i + 1, i + 2 etc.) X månader (0, 1,..., 11) L i antal kvarlevande personer i åldersgrupp i av födda enligt SCB:s livslängdsstatistik. Statistiken avser den femårsperiod som närmast föregick det år den försäkrade uppnådde 60 års ålder vid pensionsuttag före 65-årsåret respektive 64 års ålder vid senare pensionsuttag. Att en tänkt framtida tillväxt på 1,6 procent läggs till i beräkningen av delningstalet i ekvation (3.5.4) leder till ett lägre delningstal. Ett lägre delningstal medför en högre pensionsutbetalning och därmed får pensionärer redan från början ta del av en framtida tillväxt. Istället för att börja med en lägre pension som utvecklas i takt med inkomstindex, börjar pensionsutbetalningarna på ett högre ingångsbelopp och utvecklas långsammare. Anledningen till denna justering är att de flesta pensionärer har störst nytta av en högre pension i början av sin pensionering. (Pensionsmyndigheten, 2015b) Den allmänna pensionen kan tidigast tas ut vid 61 års ålder och vid uttag innan den försäkrade fyllt 65 sker en omräkning av pensionsbeloppet det år den försäkrade fyller 65 år utifrån ett nytt delningstal som är baserat på nyare livslängdsstatistik. Efter 65 års ålder sker ingen ny omräkning av delningstalen. Att delningstalen är fasta samtidigt som medellivslängden ökar medför att pensionskulden ökar. Detta innebär en påfrestning för pensionssystemet. (Pensionsmyndigheten, 2015b) De årliga pensionsutbetalningarna räknas om varje år med hjälp av ett följsamhetsindex. Detta index är baserat på inkomstindex och motsvarar den procentuella ökningen av inkomstindex före och efter årsskiftet minskat med 1,6 procentenheter. För en individ medför det därmed att pensionsutbetalningarna förändras enligt P ensionsutbetalning t = P ensionsutbetalning t 1 I t+1 I t 1, 016. (3.5.5) Anledningen till avdraget på 1,6 procentenheter vid indexeringen är att det ska motsvara det förskott på pensionen som erhölls när pensionen beviljades första gången genom att det inkluderades i beräkningen av delningstalet. Detta innebär att om inkomstindex ökar exakt 1,6 procentenheter mer än inflationen ökar pensionerna exakt med inflationen. Om inkomstindex ökar mer än 1,6 procentenheter över inflationen ökar pensionerna i fasta priser, och tvärtom om inkomstindex ökar med mindre än 1,6 procentenheter. (Pensionsmyndigheten, 2015a) 3.6 Balansering Det svenska pensionssystemet är ett fristående system som helt ska finansieras med inbetalda avgifter. Detta kräver att avgiftstillgångarna tillsammans med tillgångarna i buffertfonderna långsiktigt kan finansiera pensionsutbetalningarna så att inga varaktiga underskott uppstår. (Pensionsmyndigheten, 2015a) Vid viss demografisk och ekonomisk utveckling är det dock inte möjligt att förränta pensionerna med genomsnittsinkomstens utveckling och samtidigt finansiera inkomstpensionerna. Om exempelvis andelen av den vuxna befolkningen som har pensionsgrundande inkomster sjunker, samtidigt som genomsnittsinkomsten ökar medför det att pensionsskulden ökar snabbare än avgiftsunderlaget. 17

26 De skillnader som uppstår mellan pensionssystemets tillgångar och skulder medför att den så kallade automatiska balanseringen aktiveras. (SOU, 2015:34) Skillnader mellan tillgångar och skulder i pensionssystemet uppstår när befolkningens ålderssammansättning ändras, eftersom de pensionsavgifter som betalas in av den yrkesaktiva befolkningen betalas ut till de som är pensionärer samtidigt. Pensionerna följer utvecklingen av den genomsnittliga inkomsten vilket medför att pensionärerna får ta del av den ekonomiska utvecklingen i samhället på samma sätt som förvärvsaktiva får. Detta innebär dock att det finns en svaghet i systemet när ålderssammansättningen ändras. Om inbetalningarna till systemet minskar, beroende på exempelvis minskade födelsetal, samtidigt som utbetalningarna ökar kan det leda till att buffertfondernas kapital tar slut. (Pensionsmyndigheten, 2015a) Balanseringen är ett sätt att garantera att tillgångarna i pensionssystemet ska räcka. Varje år upprättas en balansräkning för pensionssystemet som visar hur systemets tillgångar och skulder förhåller sig till varandra (Pensionsmyndigheten, 2015a). Genom att dividera systemets tillgångar med dess skulder fås balanstalet, BT t+2 = AT t + BF t S t (3.6.1) där AT t avgiftstillgång år t BF t Det samlade marknadsvärdet av tillgångarna hos Första-Fjärde och Sjätte AP-fonden år t S t pensionsskuld år t. Balanstalet är ett mått på pensionssystemets finansiella ställning. När balanstalet är större än 1 är tillgångarna större än skulderna och om balanstalet är mindre än 1 innebär det att buffertfonderna på sikt skulle tömmas och att pensionerna inte skulle kunna finansieras. När balanstalet faller under ett minskar därför den normala indexeringen av pensionerna och ett balansindex, används istället för ett inkomstindex. Balansindex beror på inkomstindex och balanstalet och beräknas enligt B t = I t BT t (3.6.2) B t+1 = B t ( I t+1 I t ) BT t+1 = I t+1 BT t BT t+1 (3.6.3) där B t balansindex år t I t inkomstindex år t BT t balanstal år t. (Pensionsmyndigheten, 2015b) När balanseringen aktiveras kallas det att bromsen aktiveras och detta innebär att pensionerna räknas upp i en lägre takt än normalt, eller till och med i vissa ekonomiska situationer minskar. När den ekonomiska situationen förbättras så att balanstalet blir större än ett kommer balansindex fortfarande användas under en period, vilket innebär att pensionerna kommer att räknas upp i en högre takt än normalt. Den högre uppräkningstakten pågår tills balansindex är större eller lika stort som inkomstindex vilket medför att när balanseringsperioden är över sker indexeringen av pensionerna i samma 18

27 takt och på samma nivå som om balanseringen inte hade ägt rum, se figur 3.5. (Pensionsmyndigheten, 2015a) Figur 3.5: Indexering av pensioner. Den gröna linjen representerar inkomstidex och den rosa linjen representerar balansindex. (Pensionsmyndigheten, 2015b) Första året balanseringen aktiveras sker indexeringen genom att pensionsutbetalningarna räknas upp med kvoten mellan balansindex år t och inkomstindex år t-1 dividerat med 1,016, B t+1 P ensionsutbetalning t = P ensionsutbetalning t 1 I t 1, 016. (3.6.4) Pensionsbehållningarna, det vill säga värdet av de intjänade pensionsrätterna, räknas upp på liknande sätt fast utan följsamhetsindexeringen på 1,6 procent, P B t = P B t 1 Bt+1 I t + Nyintjänad pensionsrätt t. (3.6.5) Detta innebär att om exempelvis balanstalet sjunker från 1,00 till 0,99 samtidigt som inkomstindex ökar från 100 till 104 erhålls ett balansindex på 102,96 genom att multiplicera inkomstindex med balansindex. Pensionerna indexeras därför med 2,96 procent istället för 4 procent. Under åren som följer efter det sker indexeringen på motsvarande sätt med kvoten mellan balansindex år t+1 och balansindex år t, det vill säga inkomstindex i nämnaren i ekvation (3.6.4) och (3.6.5) byts ut mot balansindex. Detta sker fram tills dess att produkten av balanstalen är större än eller lika med ett, det vill säga när balansindex når inkomstindex nivå. Balanseringen trädde i kraft första gången år 2010 och har varit aktiverad sedan dess. Även om balanstalet nu är högre än ett, under 2014 var balastalet 1,0375, fortlöper balanseringen tills dess att systemets indexering kommer ikapp den nivå den skulle vara på om inte balanseringen hade aktiverats likt beskrivet 19

28 tidigare. (Pensionsmyndigheten, 2015b) Enligt en lagändring från 1 januari 2015 ska den nyintjänade pensionsrätt som fastställs under en balaseringsperiod minskas i samma utsträckning som pensionsbehållningen dittills har minskat under balanseringsperioden. Syftet med detta är att lösa det så kallade överkompensationsproblemet som innebär att en del generationer blir överkompenserade under en positiv balanseringsperiod. Som figur 3.5 visar sker indexeringen i en högre takt under slutet av balanseringsperioden för att pensionerna ska nå samma nivå som de hade varit på utan balanseringen. De pensionsrätter som tjänas in under tiden som den högre indexeringstakten gäller blev därför tidigare gynnade av balanseringen eftersom de fick ta del av den höga indexeringstakten, utan att behövt ta del av den lägre indexeringstakten i början av balanseringen. För att lösa detta minskas numera nyintjänad pensionsrätt i samma utsträckning som äldre intjänat pensionskapital har minskat till följd av balanseringen genom att multiplicera den nyintjänade pensionsrätten med kvoten mellan balansindex och inkomstindex, Nyintjänad pensionsrätt t = B t I t IP R t (3.6.6) där IP R t är den skattade pensionsrätten för inkomstpension intjänad under år t. (Pensionsmyndigheten, 2015b) Från och med 1 januari 2017 kommer ytterligare en ny lagändring gälla som påverkar balanstalet (Regeringen, 2015). Detta handlar enligt Ds (2015:6) om att införa ett så kallat dämpat balanstal. Ett dämpat balanstal innebär att balanseringen begränsas till en tredjedel av vad den egentligen skulle vara och beräknas Dämpat BT t = 1 + BT t 1 3 = BT t (3.6.7) Om årets balanstal är 0,97 blir det dämpade balanstalet 0,99 och det är detta som används för att beräkna uppräkningen av pensionsbehållningar och pensionsutbetalningar. Att använda ett dämpat balanstal medför att det tar längre tid att åtgärda underskott i systemet och även att allt överskott inte betalas ut direkt utan en del sparas i systemet. Syftet med att införa ett dämpat balanstal är att minska volatiliteten i pensionsutvecklingen. Under den balanseringsperiod som pågår just nu har de årliga pensionsförändringarna växlat mellan förhållandevis kraftiga nedgångar och uppgångar och detta var varken önskat eller förutspått när reglerna infördes. Men denna lagändring har mötts av en del kritik. Tredje AP-fonden (2015b) menar att ett utjämnat balanstal leder till att pensionssystemet kommer befinna sig i rebalansering under långa perioder vilket samtidigt kan leda till ökat utflöde ur buffertfonderna. Det dämpade balanstalet utmanar även generationsneutraliteten eftersom det leder till att antalet pensionärer som kommer få reducerade pensioner ökar och att fler pensionärer kommer att avlida innan de kompenserats fullt ut för balanseringens effekter. Även flera stora pensionärsorganisationer är kritiska till det dämpade balanstalet och menar att det bara är ett försök att dölja bristerna i pensionssystemet istället för att erkänna att dagens pensionssystem inte fungerar (Pensionärernas riksorganisation, 2015). Både tilläggspensionen, som kom från det gamla pensionssystemet, och inkomstpensionen räknas upp med följsamhetsindex. Historiskt har tilläggspensionen räknats upp med 20

29 ett prisbasbelopp som följer prisindex men i och med den nya pensionsreformen skrivs tilläggspensionen upp på samma sätt som inkomstpensionen. Detta sker dock inte förrän individen har fyllt 65 år. Om en individ har tagit ut tilläggspension innan sin 65-årsdag räknas den upp med prisindex fram till 65-årsdagen, då den börjar följsamhetsindexeras med hänsyn till antingen inkomstindex eller balansindex. För att tilläggspensionen ska indexeras rätt tas även hänsyn till de balanseringarna som skett under pensionstiden före 65-årsdagen. (Pensionsmyndigheten, 2016b) Den andel pensionsrätter som är intjänade under det tidigare ATP-systemet, men som ändå ska behandlas som inkomstpension i det nya pensionssystemet, beräknades vid övergången till det nya pensionssystemet om, så att värdet blev detsamma som om uppräkningen hade följt inkomstindex hela tiden. Exempelvis multiplicerades pensionsrätter intjänade år 1960 med kvoten mellan inkomstindex år 1962 och år 1961, pensionsrätter intjänade år 1960 och år 1961 multiplicerades med kvoten mellan inkomstindex år 1963 och år 1962 och så vidare. Detta medförde att delar av de pensionsrätter som tjänats in i det gamla pensionssystemet behandlades som om de hade tjänats in i det nya systemet. (Socialförsäkringsutskottet, 1997/98:SfU13) Eftersom AP-fondernas värde ingår i beräkningen av balanstalet innebär det att inkomstoch tilläggspensionen påverkas av avkastningen på kapitalmarknaderna under balanseringsperioderna, till skillnad från vanliga perioder då det endast är ökningen i inkomstindex som påverkar pensionernas utveckling. AP-fondernas avkastning kan ibland även vara en bidragande orsak till att balanseringen aktiveras, eftersom låg eller negativ avkastning kan leda till att värdet på skulderna överstiger värdet på tillgångarna. (Pensionsmyndigheten, 2015b) 3.7 Pensionssystemets tillgångar och skulder I detta avsnitt kommer de enskilda komponenterna som används för att beräkna balanstalet beskrivas utförligare. För att beräkna skulderna och tillgångarna har nya formler införts från Pensionssystemets tillgångar Pensionssystemets tillgångar innefattar både värdet av framtida pensionsavgifter, den så kallade avgiftstillgången, och värdet av buffertkapitalet som finns i buffertfonderna. Avgiftstillgången Avgiftstillgången består av framtida inbetalningar av pensionsavgifter, beräknade som årets avgiftsinkomst multiplicerat med det antal år som avgiften förväntas vara kvar i systemet, det vill säga där A t avgiftsinkomst till fördelningssystemet år t OT t 1 omsättningstid år t (Ds, 2015:6). AT t = A t OT t 1 (3.7.1) 21

30 Antal år som avgiften förväntas vara kvar i systemet kan ses som den genomsnittliga tiden från att en pensionsavgift betalas in till systemet tills dess att den pensionsrätt som avgiften givit upphov till betalas ut som pension. Avgiftstillgången värderas som en förmodad evig ström av lika stora avgifter som diskonteras med en ränta som är 1 dividerat med omsättningstiden. När omsättningstiden ökar sjunker diskonteringsräntan och därmed ökar värdet av avgiftsflödet. På samma sätt minskar värdet av avgiftsflödet om omsättningstiden istället sjunker. En utgångspunkt i värderingen av avgiftstillgången är att nuvarande förhållanden anses vara beständiga. De förhållanden som avses är dels ekonomiska och utgörs av varje årskulls genomsnittliga pensionsgrundande inkomst och summan av dessa inkomster. Förhållandena är även demografiska och innefattar dödligheten i olika åldrar. Även pensionssystemets regler, det vill säga de regler som används för att beräkna och indexera inkomstpensionen samt de som avgränsar avgifts- och pensionsunderlaget, antas vara oförändrade vid värderingen av avgiftstillgångarna. Principen att värdera tillgångarna utan beaktande av eventuella förändringar i framtiden grundar sig i att pensionssystemets finansiella ställning enbart bestäms av balanstalet, det vill säga förhållandet mellan tillgångarna och skulderna. Systemets utformning gör dock att det finns en stark koppling mellan tillgångarnas och skuldernas utveckling eftersom båda utvecklas ungefär i takt med ökningen av genomsnittinkomsten. Utgångspunkten för värderingen av tillgångarna och skulderna är att dessa förändras i samma takt vid varje värderingstidpunkt. Men i verkligheten är utvecklingen av tillgångarna och skulderna bara absolut kopplade när balanseringen är aktiverad. När balanseringen inte är aktiverad kan utvecklingen av tillgångarna både över- och understiga pensionsskuldens värdeförändring. (Pensionsmyndigheten, 2015b) Omsättningstiden är ett mått på den genomsnittliga tiden en inbetald pensionsavgift finns i systemet och speglar skillnaden i ålder mellan den genomsnittlige avgiftsbetalaren och den genomsnittlige pensionären vid nuvarande ekonomiska, demografiska och juridiska förhållanden. Omsättningstiden beräknas därmed enligt Ds (2015:6) genom att ta utbetalningsåldern minus intjänandeåldern, det vill säga OT t = UÅ t IÅ t. (3.7.2) Intjänandeåldern, IÅ t, är den tid där tyngdpunkten för pensionsinbetalningarna ligger och beräknas utifrån årets pensionsgrundande avgifter, andelen personer i olika åldersgrupper, antal pensionärer och genomsnittlig pensionsålder enligt där IT t = Rintjt i=16 P R i,t L i,t (i + 0, 5) Rintjt i=16 P R i,t L i,t (3.7.3) P R i,t = P R i,t N i,t + P R i+1,t N i+1,t 2, i = 16, 17,..., Rintj t 1 (3.7.4) och P R Rintjt = P R Rintj t N Ri ntj t (3.7.5) 22

31 P R i,t L i,t Rintj t N i,t summan av 16 procent av pensionsgrundande avgifter intjänandeår t för åldersgruppen i för individer som inte registrerats som avlidna år t andel personer i åldergrupp i år t det äldsta åldersgrupp som har tjänat in pensionsrätt för inkomstpension år t antalet individer i åldersgruppen i som någon gång fram till och med intjänandeår t tillgodoräknats pensionsgrundande inkomst eller pensionsgrundande belopp och som inte har registrerats som avlidna. (Ds, 2015:6) Andelen personer i åldersgrupp i vid tidpunkt t, L i,t, beror på hur många personer som tillhör åldergrupp i 1 samt utvecklingen av andelen personer i åldersgruppen, det vill säga L i,t = L i 1,t h i,t (3.7.6) där h i,t är utvecklingen av andelen personer i åldersgrupp i år t och beräknas som h i,t = N i,t N i 1,t 1. (3.7.7) Utbetalningsåldern för pensionen beräknas på motsvarande sätt som det antal år där tyngdpunkten för pensionsutbetalningarna ligger, UÅ t = Rutbt i=61 1, 016 (i 61+0,5) L i,t (i + 0, 5) R i Rutbt i=61 1, 016 (i 61+0,5) L i,t R i (3.7.8) där Rutb t den äldsta åldersgrupp som uppburit pension under år t R i andelen av pensionsskulden i åldersgrupp i som avser pensionerade L i,t andel kvarstående utbetalningar till åldersgrupp i år t. (Ds, 2015:6) Andel kvarstående utbetalningar till åldersgrupp i beror på hur stor andelen kvarstående utbetalningar är i åldersgruppen i 1 samt pensionsutbetalningarnas utveckling på grund av dödsfall i åldersgruppen, det vill säga L i,t = L i 1,t he i,t där L 60,t = 1 (3.7.9) Pensionsutbetalningarnas utveckling på grund av dödsfall i åldergrupp i år t, he i,t, beräknas som där U i,t Ud i,t Ud i,t he i,t = U i,t, i = 61, 62,..., Rutb U i,t + Ud i,t + 2 Ud t (3.7.10) i,t summan av pensionsutbetalningar i december år t till åldersgruppen i summan av sista månatliga pensionsbelopp till personer i åldersgruppen i som fick pension utbetald i december år t1, men inte i december år t summan av sista månatliga pensionsbelopp till personer i åldersgruppen i som fick sin pension beviljad under år t och som inte fick pension utbetald i december år t. (Pensionsmyndigheten, 2015b). 23

32 Buffertfondernas värde Buffertfondernas värde beräknas som marknadsvärdet av Första, Andra, Tredje, Fjärde och Sjätte AP-fondens tillgångar. Tillgångarna värderas i första hand till den senaste betalkursen under årets sista handelsdag och i andra hand till den senaste köpkursen. (Pensionsmyndigheten, 2015b) AP-fondernas marknadsvärde beror på avgiftsnettot och avkastningsnettot. Avgiftsnettot är skillnaden mellan årets avgiftsinkomster och årets pensionsutbetalningar. Är avgiftsnettot positivt finns det ett överskott av kapital det året och detta tillförs AP-fonderna. Om avgiftsnettot är negativt tas kapital från AP-fonderna för att finansiera årets pensionsutbetalningar. Avkastningsnettot utgörs av de intäkter från värdepapper som AP-fonderna har efter avdrag för förvaltningskostnader. (Pensionsmyndigheten, 2015b) Dessa intäkter utgörs huvudsakligen av realiserade och orealiserade värdeförändringar på fondernas finansiella tillgångar. Övriga intäkter utgörs av räntenetto, erhållna utdelningar och valutakursförändringar. Utvecklingen av AP-fondernas värde kan uttryckas som BF t = BF t 1 (1 + µ) + AN t AD t (3.7.11) där µ är buffertfondernas avkastning, AN t är avgiftsnettot år t och AD t är administrationskostnaden. (Tredje AP-fonden, 2015c) Buffertfonderna utgör normalt sett ungefär 14 procent av tillgångarna i pensionssystemet (Pensionsmyndigheten, 2015b). Eftersom buffertfonderna därmed utgör en ganska liten del av tillgångarna i pensionssystemet spelar deras avkastning en relativt liten roll för pensionsystemets finansiella ställning. Men under de senaste åren när balanstalet har legat nära ett ökar betydelsen av buffertforndernas värde eftersom små förändringar kan leda till att balanseringen aktiveras. Svängningarna i balanstalet de senaste åren beror till ganska stor del på volatiliteten på de finansiella marknaderna. (SOU, 2012:53) Pensionssystemets skulder Pensionssystemets skulder består av det samlade värdet av alla förvärvsaktivas pensionsbehållning samt de beräknade återstående pensionsutbetalningarna för alla pensionärer, det vill säga där SA t SP t S t = SA t + SP t (3.7.12) pensionsskuld år t avseende pensionsåtagande som inte börjat utbetalas (pensionsskulden till förvärvsaktiva) pensionsskuld år t till pensionerade i fördelningssystemet avseende pensioner som utbetalas. (Pensionsmyndigheten, 2015b) Pensionsskulden till personer som inte börjat ta ut ålderspension värderas enligt Ds (2015:6) till summan av alla försäkrades pensionsbehållningar, det vill säga SA t = P B t + B t I t IP R t + T P t (3.7.13) 24

33 P B t I t B t IP R t T P t summa pensionsbehållningar år t utan hänsyn till förändringen i inkomstindex mellan år t och t + 1 inkomstindex år t Balansindex år t skattad pensionsrätt för inkomstpension intjänad under år t skattat värde för tilläggspension år t till personer som inte börjat att lyfta sin tilläggspension. Tillkommer fram till år Summan av pensionsbehållningar utan hänsyn till förändringen i inkomstindex beräknas utifrån pensionsbehållningarna och inkomstindex enligt P B t = P B t I(t+1) I(t) (3.7.14) där P B t är summan av pensionsbehållningar år t och I t är inkomstindex år t. Den andra termen i summan i ekvation (3.7.13) beror, likt beskrivet i kapitel 3.6, på en lagändring från 2015 och endast används under balanseringsperioder. (Ds, 2015:6) Pensionsskulden till pensionerade räknas ut genom att multiplicera årets beviljade pensioner med det antal år som pensionerna förväntas betalas ut. Pensionsskulden till de pensionerade blir därmed summan av de pensioner som förväntas betalas ut till dagens pensionärer under resten av deras liv och beräknas som SP t = BT (t + 1) Rutb t i=61 ( ) Dei,t + De i,t 1 + De i,t 2 U i,t 12 3 (3.7.15) där BTt dämpat balanstal U i,t summan av pensionsutbetalningar i december år t till åldersgruppen i De i,t ekonomiskt delningstal för åldersgrupp i år t Rutb t den äldsta åldersgrupp som uppburit pension år t. (Ds, 2015:6) För att undvika stora svängningar i balanstalet används ett genomsnitt av de senaste tre årens delningstal för att beräkna skulden. Pensionsutbetalningarna, U i,t, beror, likt beskrivet i kapitel 3.5 och 3.6, på utvecklingen av inkomstindex och, under tiden när balanseringen är aktiverad, även på balansindex. Det ekonomiska delningstalet, det vill säga det förväntade antalet år med utbetalningar, beräknas med utgångspunkt från mätningar av hur länge pensionsbeloppen i Pensionsmyndighetens register betalas ut och beror på andelen kvarstående utbetalningar till olika åldersgrupper enligt De i,t = Rutbt j=i 1 2 (L j,t + L j+1,t) 1, 016 i j 1 L i,t (3.7.16) där L i,t är andelen kvarstående utbetalningar till åldersgrupp i år t. (Pensionsmyndigheten, 2015b) 3.8 Prognoser för pensionssystemet Likt beskrivet i avsnitt 3.5, 3.6 och 3.7 påverkas pensionssystemets finansiella ställning av den demografiska utvecklingen, förändringen av genomsnittsinkomsten och AP-fondernas 25

34 avkastning. För att belysa hur dessa faktorer påverkar pensionssystemet har Pensionsyndigheten tagit fram tre olika scenarier, ett bas, ett optimistiskt och ett pessimistiskt, och beskrivit vad som händer med bland annat avgiftsnettot och balanstalet vid dessa utvecklingsförlopp. Bilder som visar de antaganden som gjorts i de olika scenarierna återfinns i appendix A.1. I basscenariot antas den demografiska utvecklingen följa Statistiska centralbyråns (SCB:s) senaste befolkningsprognos från I den görs flera prognoser för bland annat nativitet, medellivslängd och invandring. Nativiteten antas vara 1,88 barn per kvinna. Medellivslängden förväntas vara 80,3 år för män födda 2015 och 85,6 år för män födda För kvinnor förväntas motsvarande siffror vara 84,1 år respektive 88,1 år. Till år 2090, prognosperiodens slut, förväntas medellivslängden öka ytterligare 4 år för både män och kvinnor. Nettoinvandringen förväntas vara personer fram till Den förväntas sedan gradvis minska fram till år 2026 då den beräknas stabiliseras till personer per år. Sysselsättningen antas vara konstant där nästa års sysselsättningsgrad är det samma som dagens. Medelinkomsten antas öka realt med 1,8 procent per år och inflationen antas vara 2 procent. Buffertfondernas reala avkastning antas till 3,25 procent per år i basscenariet. (Pensionsmyndigheten, 2016c) I det optimistiska scenariot baseras de demografiska antagandena på SCB:s prognoser från 2015, men har justerats för att spegla en mer positiv utveckling. I denna är både nativiteten och nettoinvandringen högre än i basscenariet. Nativiteten uppskattas till 2,10 barn per kvinna på lång sikt och nettomigrationen antas ge ett positivt överskott på ungefär personer per år på lång sikt. Livslängden antas vara konstant över hela prognosperioden och vara samma som 2015 års värden. Utvecklingen av sysselsättningen antas följa SCB:s huvudprognos från 2012 fast med en real ökning av genomsnittsinkomsten på 2,0 procent istället. Inflationen antas vara 2 procent. Den reala avkastningen för buffertfonderna antas vara 5,5 procent per år. (Pensionsmyndigheten, 2016c) I det pessimistiska scenariot är antaganden om nativitet och nettoinvandringen lägre än i basscenariet. Nativiteten antas först sjunka till 1,45 för att runt 2040 stiga till 1,66 barn per kvinna. Nettoinvandringen antas de närmaste åren sjunka kraftigt till år 2035 då den förväntas vara personer per år. Därefter stiger den för att i slutet av prognosperioden vara runt personer per år. Medellivslängden förväntas öka från 84,0 år till 90,6 år för kvinnor och från 80,4 år till 88,3 år för män år Andelen sysselsatta antas vara oförändrad i det pessimistiska scenariot och genomsnittsinkomsten ökar realt med 1 procent per år. Även buffertfondernas reala avkastning antas vara 1 procent vilket medför att buffertfonderna inte bidrar till pensionssystemets långsiktiga finansiering. Inflationen antas vara 2 procent. (Pensionsmyndigheten, 2016c) Avgiftsnetto Avgiftsnettot är skillnaden mellan avgiftsinkomsterna och pensionsutbetalningarna. För att bättre kunna jämföra mellan åren uttrycks avgiftsnettot i procent av avgiftsinkomsterna. Avgiftsnettot utgör systemets primära finansiella sparande. Ett negativt avgiftsnetto innebär att pensionsutbetalningarna är lägre än avgiftsinkomsterna och att buffertfonderna måste betala ut kapital för att finansiera årets pensioner. Prognoserna för avgiftsnettot i de olika scenarierna visas i figur 3.6. (Pensionsmyndigheten, 2016c) 26

35 Figur 3.6: Avgiftsnetto (Pensionsmyndigheten, 2016c) Avgiftsnettot blev negativt år 2009 och likt figur 3.6 visar förväntas det fortsätta vara negativt under flera år framöver i samtliga scenarier. Anledningen till detta är att de stora årskullarna från 1940-talet nu har gått i pension. Balanseringen aktiverades 2010, 2011 och 2014 vilket förklarar förbättringen av avgiftsnettot efter de åren. I samtliga scenarier minskar underskottet efter hand men i det pessimistiska är avgiftsnettot alltid negativt. I basscenariot är inkomsterna större än utgifterna efter år 2038 vilket beror på att de stora årskullarna födda på 1990-talet och 2010-talet då är i yrkesverksam ålder. (Pensionsmyndigheten, 2016c) Balanstal Balanstalet är, som tidigare nämnts, ett mått på pensionssystemets finansiella ställning och beräknas som kvoten mellan systemets totala tillgångar och skulder. Se kapitel 3.6 för mer ingående beskrivning av hur balanstalet beräknas. När kvoten är mindre än ett är skulderna större än tillgångarna och då aktiveras balanseringen. Prognosen för balanstalet i de olika scenarierna visas i figur 3.7. (Pensionsmyndigheten, 2016c) Balanstalet är över ett under hela prognosperioden i basscenariet. Detta beror dels på demografiska faktorer men även på att buffertfondernas avkastning är högre än ökningen av inkomstindex. Även i det optimistiska scenariot är balanstalet större än ett under hela prognosperioden. I det pessimistiska scenariot är balanstalet mellan 0,9826 och strax över ett under hela framskrivningsperioden. Att balanstalet är under ett flera gånger under perioden innebär att den ackumulerade effekten på pensionerna blir stor. (Pensionsmyndigheten, 2016c) 27

36 Figur 3.7: Balanstal (Pensionsmyndigheten, 2016c) 3.9 Sammanfattning av variabler som påverkar pensionssystemets utveckling I kapitel 3.5, 3.6 och 3.8 belyses hur pensionssystemets finansiella ställning och stabilitet beror på förändringen av olika variabler. Det som framförallt påverkar pensionssystemet är den demografiska utvecklingen, förändring av genomsnittsinkomsten och AP-fondernas avkastning. Den demografiska utvecklingen påverkar hur antalet avgiftsbetalare förhåller sig till antalet pensionärer. Antalet avgiftsbetalare beror på hur stor del av befolkningen som är i arbetande ålder vilket i sin tur beror på nettoinvandringens storlek och födelsetalen. Även antalet pensionärer beror på befolkningens ålderssammansättning och övergångssannolikheterna för olika åldrar. Likaså spelar pensionsåldern roll för antalet pensionärer eftersom en högre pensionsålder bidrar till att fler personer är i arbete samtidigt som färre är pensionärer vilket får positiv effekt på pensionssystemets finansiella ställning. Eftersom både pensionsskuldens och avgiftsinflödets utveckling är kopplade till genomsnittsinkomstens utveckling spelar förändringen av genomsnittsinkomsten en begränsad roll för pensionssystemets finansiella ställning. Genomsnittsinkomstens utveckling har dock stor påverkan på pensionens storlek. AP-fondernas avkastning påverkar fondernas storlek och får därmed direkt påverkan på tillgångssidan i balanstalet. Framförallt är det förhållandet mellan avkastningen och utvecklingen av genomsnittsinkomsten som spelar roll för balanstalets utveckling eftersom genomsnittsinkomstens utveckling styr utvecklingen av övriga delar i balanstalet. 28

37 3.10 Buffertfondernas ALM-analyser Likt beskrivet i kapitel 3.3 gör buffertfonderna i det svenska pensionssystemet ALManalyser för att ta fram avkastningsmål och övergripande allokering. ALM-analys är ett analysverktyg för investerare som vill optimera risk och avkastning i sin portfölj och samtidigt ta hänsyn till skulder och åtagande vilket innebär att balanstalet spelar en stor roll i det svenska pensionssystemet. ALM-analysen kan göras på olika sätt och i detta avsnitt kommer de olika buffertfondernas metodik för ALM-analys beskrivas övergripande. I Första AP-fondens ALM-analys blir resultatet den långsiktiga tillgångsfördelning fonden ska ha om världsekonomin och finansmarknaderna vore i långsiktig jämvikt. Utifrån den långsiktiga allokering som erhålls i ALM-analysen görs sedan analyser för hur denna bör förändras baserat på hur läget ser ut just nu och förväntas förändras de närmsta åren. Utgångspunkten för Första AP-fondens ALM-analys är att de vill förvalta kapitalet så att risken för den automatiska balanseringen minimeras. Detta innebär att pensionerna i normalfallet ska öka i samma takt som den genomsnittliga löneökningen i Sverige. De fokuserar även på att se till att vissa generationer inte drabbas hårdare än andra av balanseringen. Fonden utgår från de tre scenarier som Pensionsmyndigheten tar fram för hur utvecklingen av den svenska ekonomin kan se ut framöver. Dessa scenarier har byggts in i en modell där pensionssystemets utveckling kopplas samman med möjliga utvecklingar på finansiella marknader och målet är att utifrån det kunna bestämma en övergripande fördelning mellan aktier och räntebärande tillgångar. Utifrån modellen simuleras möjliga utfall för olika långsiktiga placeringsinriktningar. Den placeringsinriktning som sedan väljs är den som uppvisar lägst balanseringsförlust. (Första AP-fonden, 2008) Andra AP-fondens ALM-analys används till att bedöma hur pensionssystemet utvecklas långsiktigt och hur fondens val av portfölj påverkar pensionssystemet. Fondens modell baseras på antaganden om den demografiska och ekonomiska utvecklingen och utsikterna på finansiella marknader. Målet med ALM-analysen är att identifiera den portfölj som minimerar påverkan av den automatiska balanseringen på framtida pensioner. Modellen täcker in både pensionssystemets utveckling och buffertfondernas förutsättning att generera avkastning och tidsperspektivet i analysen är år. (Andra AP-fonden, 2015) I första steget av Andra AP-fondens ALM-analys simuleras olika utvecklingsbanor för tillgångsslagen i portföljen, inflation, syssselsättningsgrad och löner. Modellen beskriver väntevärde och varians för dessa variabler samt hur tillgångsportföljen samvarierar med det underliggande pensionssystemet. Sedan beräknas olika nyckeltal som de anser är avgörande för pensionssystemets utveckling, det viktigaste av dessa nyckeltal anser de är balanstalet eftersom det påverkar uppräkningen av pensioner. Hänsyn tas även till olika demografiska scenarier vid beräkningen av nyckeltalen. I det sista steget av ALM-analysen identifieras den portfölj som på bästa sätt uppfyller det övergripande målet och detta sker utifrån de övriga komponenterna i ALM-analysen. (Andra AP-fonden, 2015) I Tredje AP-fondens senaste ALM-analys var målet att skapa en jämn utveckling av balanstalet under perioden Utgångspunkten var att identifiera det avkastningsmål som medförde lägst volatilitet i balanstalet. ALM-analysen baserades på Pensionsmyndighetens prognoser för demografisk utveckling och de scenarier som användes var Pensionsmyndighetens basscenario och pessimistiska scenario. Modellen strävade efter 29

38 att modellera osäkerhet i avkastning och snittlöneutveckling. Osäkerheten i avkastningen modellerades genom att olika nivåer på avkastning associerades med olika risknivåer, det vill säga hela portföljen analyserades som en enhet. (Tredje AP-fonden, 2016a) Fjärde AP-fonden har som mål med sin ALM-analys att hitta en normalportfölj som genererar den avkastning som krävs för att pensionssystemets tillgångar och skulder ska balansera över en 40-årsperiod. Normalportföljen består av aktier, statsobligationer, vald duration och valutaexponering och tar inte hänsyn till om marknaden befinner sig på toppen eller botten av rådande konjunktur- och börscykler. ALM-analysen görs utifrån prognoser för framtida in- och utbetalningar till pensionssystemet som i sin tur beror på demografiska och ekonomiska faktorer samt olika tillgångsslags förväntade avkastning och risk. Utifrån detta identifieras sedan den bästa tillgångsfördelningen på 40-års sikt. (Fjärde AP-fonden, 2016) 3.11 Generell beskrivning av inbetalningar och utbetalningar till och från pensionssystemet I de tidigare avsnitten i kapitlet har det beskrivits hur pensionsbehållningar och pensionsutbetalningar påverkas av olika demografiska och ekonomiska faktorer. I detta avsnitt kommer en mer generell beskrivning av inbetalningar och utbetalningar samt deras sammankoppling ges. I samtliga ekvationer görs antagandet att alla personer i en åldersgrupp börjar jobba samtidigt, går i pension samtidigt och dör samtidigt. Genom denna förenkling undviks flera olika delningstal för samma generation samt in- och utbetalningar som sker samtidigt till samma åldersgrupp. Fram tills dess att en individ går i pension betalas pensionsavgifter in till pensionssystemet likt beskrivet i avsnitt 3.2. Dessa avgifter omvandlas till en pensionsrätt som skrivs upp varje år med antingen inkomstindex eller balansindex. För de inbetalningar som sker efter 2015 görs en nedjustering under balanseringsperioder, likt beskrivet i avsnitt 3.6. Syftet med detta är att undvika att inbetalningar som sker under balanseringsperioder blir överkompenserade när uppskrivningstakten under slutet på en balanseringsperiod ökar för att komma ikapp inkomstindex. Justeringen görs genom att multiplicera inbetalningarna med kvoten mellan balansindex och inkomstindex.detta innebär att en generations totala pensionsrätt när de går i pension består av summan av flera pensionsinbetalningar, uppräknade med antingen inkomstindex eller balansindex, vilket ger där P i A i P B i IP R t,i R t B t I t P B i = P i t=a i IP R t,i B t I t P i τ=t+1 R τ (3.11.1) Pensioneringsår för åldersgrupp i År för första pensionsgrundande inkomst för åldersgrupp i Den totala intjänade pensionsbehållningen vid pensioneringsåret för åldersgrupp i Skattad pensionsrätt för inkomstpension intjänad under år t för åldersgrupp i Uppskrivningstakt av pensionsbehållningar och pensionsutbetalningar år t Balansindex år t Inkomstindex år t 30

39 Uppskrivningstakten, R t, beror på förändringen i balansindex enligt R t = B t+1 B t (3.11.2) där B t är balansindex år t och beräknas på olika sätt beroende på om balanseringen är aktiverad eller inte. När balanseringen är aktiverad sker beräkningen av balansindex på olika sätt, beroende på när i balanseringsperioden den beräknas likt beskrivet i avsnitt 3.6. Sammantaget ger detta att balansindex beräknas som I 1 B t 1 t I t 1 I BT t B t 1 t B t = I t I t 1 I BT t B t 1 t I BT t B t 1 t I t 1 I t 1 BT t 1, B t 1 I t 1 BT t < 1, B t 1 < I t 1 B t 1 I t 1 BT t > 1, B t 1 < I t 1 B t 1 I t 1 BT t 1, B t 1 < I t 1 BT t < 1, B t 1 I t 1 (3.11.3) där I t är inkomstindex år t och BT t är balanstalet år t och beräknas med ett lagg på två år enligt ekvation (3.6.1). Definitionen av B t enligt ekvation (3.11.3) gör att balansindex kommer vara samma som inkomstindex de år som balanseringen inte är aktiverad. Från och med år 2017 sker balanseringen istället med ett dämpat balanstal likt beskrivet i kapitel 3.6. Detta resulterar i att balanseringstakten istället uttrycks som I 1 B t 1 t I t 1 BT t+2 I B 3 t 1 t I t 1 B t = I t BT t+2 I B 3 t 1 t I t 1 BT t+2 I B 3 t 1 t I t 1 BT t 1, B t 1 I t 1 BT t < 1, B t 1 < I t 1 B t 1 I t 1 BT t > 1, B t 1 < I t 1 B t 1 I t 1 BT t 1, B t 1 < I t 1 BT t < 1, B t 1 I t 1 (3.11.4) Utifrån den totala intjänade pensionsbehållningen vid år t, P B t,i, och delningstalet för den åldersgruppen, D i, beräknas sedan första årets pensionsutbetalning. Utbetalningarna följsamhetsindexeras sedan med R t /1, 016, likt beskrivet i ekvation (3.5.5) och (3.6.4) vilket ger att pensionsutbetalningen år t ges av Utbetalning t,i = P B i D i t τ=p i +1 R τ 1, 016 (3.11.5) där D i är delningstalet och beräknas enligt ekvation (3.5.4). Sammanlagt under en livstid resulterar detta i totala pensionsutbetalningar enligt Utbetalning i = T i t=p i +1 P B i D i t τ=p i +1 R τ 1, 016 = P B i D i T i t t=p i +1 τ=p i +1 R τ 1, 016 (3.11.6) där T i är året som pensionsutbetalningarna upphör på grund av dödsfall för generation i. Insättning av ekvation (3.11.1) i ekvation (3.11.6) leder till att utbetalningarna beräknas Utbetalning i = Pi B u=a i IP R u Pi u,i I u v=u+1 R v D i T i t t=p i +1 τ=p i +1 R τ 1, 016. (3.11.7) 31

40 Kapitel 4 Teoretisk referensram För att skapa en optimimeringsmodell som kan besvara arbetets syfte kommer flera olika teorier och matematiska modeller utnyttjas. En beskrivning av dessa kommer att ske i detta kapitel. 4.1 Asset Liability Management För att fastställa ett avkastningsmål för buffertfonderna kan en ALM-analys över tillgångar, skulder, avkastning och risk genomföras. Enligt SOU (2012:53) används ALM-analyser av pensionsfonder för att hantera långsiktig kapitalförvaltning. ALM-analyser är ett verktyg för investerare som har tydliga mål och vill matcha tillgångar och skulder. Verktyget har sedan 1990-talet blivit allt mer populärt på finansiella marknader och idag anses metoden vara praxis för pensionsfonder. ALM-analys har gått från att vara statiskt och deterministiskt till att vara stokastiskt och dynamiskt. Mitra och Schwaiger (2011) anser att utgångspunkten för ALM-analys är att optimera avkastning och risk samtidigt som hänsyn tas till skulder. Det finns många olika ALM-modeller för olika typer av finansiella aktörer. Modellerna har olika uppbyggnad då de är skapade för varierande ändamål och olika regler som aktörerna måste förhålla sig till. Detta medför att de har varierande bivillkor och olika målfunktioner. Enligt SOU (2012:53) är en förutsättning för att kunna genomföra en framgångsrik ALM-analys för pensionssystemet att det görs för hela pensionssystemets balansräkning med buffertkapitalet som en komponent. Om analysen inte genomförs med ett helhetsperspektiv kan den leda till slutsatser som inte tar in alla påverkande faktorer vilket kan leda till en suboptimerad portfölj. I ALM-analyser för det svenska pensionssystemet får därmed balanstalet och balanseringsmekanismen en central roll, eftersom analysen ser till relationen mellan tillgångar och skulder. Enligt Mitra och Schwaiger (2011) har de flesta ALM-modeller beslutsvariabler i form av hur många tillgångar som ska köpas, säljas eller behållas i portföljen för att matcha eller överträffa skulder. Andra beslutsvariabler kan vara vilka in- och utbetalningar som behövs eller genereras i en pensionsfond, tilläggsinvesteringar från en utomstående part eller hur mycket som kan lånas eller återinvesteras i en bank. Det är vanligt med olika bivillkor som kompletterar en målfunktion, ett av dem brukar vara lagervillkor som definierar det erhållna värdet på en tillgång i en specifik tidsperiod. Det uttrycks vanligen som innehavet från föregående period plus potentiellt nytt innehav minus eventuell försäljning. För den första perioden finns det inget innehav från föregående period utan detta definieras som öppningspositionen. Det brukar också finnas ett finansieringsvillkor 32

41 som definierar hur mycket tillgångar som kan köpas. Villkoret beskriver att tillgångar inte kan köpas för ett större värde än de likvida medel som finns tillgängliga vilket innebär att det inte går att låna. Det kan också finnas ett kassaflödesvillkor som likställer inkommande kassaflöden med utgående. Andra villkor kan vara bivillkor för regler, lagar, limiter och risk. Målfunktionerna brukar vara de som varierar mest mellan olika modeller och olika aktörer. De mest klassiska varianterna är maximering av avkastning, förmögenhet eller nytta samt att minimera risk eller straffkostnader från förluster. Andra funktioner kan exempelvis minimera avvikelser mellan skulder och tillgångar. Det finns också mer specifika målfunktioner som exempelvis matchar tillgångar och kontantutag från banker. (Mitra och Schwaiger, 2011) 4.2 Modeller och målfunktioner En av målfunktionerna som kan användas vid ALM-analyser är en nyttofunktion. En nyttofunktion väger avkastning mot risk vilket resulterar i ett värde på erhållen nytta. Genom att maximera nyttan kan en optimal portfölj ges utifrån en investerares specifika riskaversion. Utgångspunkten i optimeringen är beräkningar av förväntad nytta av förmögenheten i olika scenarier och sedan väljs den portfölj där nyttan är maximal. En av de vanligaste metoderna för att identifiera en optimal portfölj är Markowitz Mean-Variance modell. I den modellen antas att nyttofunktionen är kvadratisk eller att tillgångarnas avkastning är normalfördelade. Används Mean-Variance modellen väljer investeraren en portfölj som ligger på tangenten mellan den effektiva fronten och indifferenskurvan och den optimala portföljen erhålls genom att maximera väntevärdet av förmögenhetens nytta enligt max 1 T ω=1 µ T ω + γ 1 ω T Cω (4.2.1) 2 där γ är ett mått på investerarens riskaversion, ω är portföljvikterna, µ är tillgångarnas förväntade avkastning och C är tillgångarnas kovariansmatris. (Amenc och Le Sourd, 2003) Ett sätt att använda denna modell i ALM-analyser för pensionsfonder är enligt Berkelaar och Kouwenberg (2003) att maximera förväntad nytta utöver balanstalet. Investeraren gör därmed en avvägning mellan variansen för överskott i avkastning (tillgångar minus skulder) och förväntat överskott i avkastning. I Berkelaar och Kouwenberg (2003) modell läggs även ett bivillkor till som begränsar det maximala fallet som kan ske i balanstalet vilket blir ett sätt att begränsa risken för att balanseringen aktiveras. En liknande modell används av Jarvis (2011) där en nyttofunktion med konstant relativ riskaversion maximeras. Nyttofunktionen uttrycks ω 1 γ 1 γ > 0, γ 1 1 γ u(ω) = ln(ω) γ = 1 (4.2.2) och för att begränsa risken för stora förluster sätts en riskfuntion med en övre gräns på förlust som bivillkor. 33

42 En variant av Markowitz Mean-Variance modell är när investeraren också investerar i riskfri ränta. Optimering av allokering mellan en riskfri tillgång och en marknadsportfölj sker endast två dimensioner, vilket underlättar vid icke-konvexa problem. Den riskfria tillgången och marknadsportföljen skapar den så kallade Capital Market Line, CML, vilken är en rak linje som utgör den effektiva fronten när en av tillgångarna är riskfri, se figur 4.1 (Amenc och Le Sourd, 2003). Figur 4.1: Capital Market Line där µ M är marknadsportföljens avkastning, σ M är marknadsportföljens volatilitet, r är riskfri ränta, µ P är förväntad avkastning och σ P är portföljvolatiliteten. (Amenc och Le Sourd, 2003) Marknadsportföljen innehåller flera olika tillgångar och tangerar den effektiva fronten och CML. Var någonstans på CML en investerare befinner sig beror på dennes riskaverison vilket avgör hur mycket som investeras i marknadsportföljen. Förväntad avkastning för investerarens portfölj ges då av µ P = (1 α)r + αµ M (4.2.3) där µ M utgör förväntad avkastning för marknadsportföljen, r är riskfri ränta och α är andelen som investerats i marknadsportföljen. (Amenc och Le Sourd, 2003) Den optimala sammansättningen av marknadsportföljen kan erhållas genom att maximera Sharpe kvoten. Då erhålls marknadsportföljen som lösningen till följande optimeringsproblem med bivillkoret max ωt µ r σ P (4.2.4) 1 T ω = 1 (4.2.5) där ω är marknadsportföljens vikter, µ är avkastningen för de olika tillgångarna i portföljen och σ P är portföljens volatilitet. Problemet ger marknadsportföljens vikter enligt 34

43 ω = C 1 (µ r1) (µ r1) T C 1 1 där lösningen betecknas ω och C är kovariansmatrisen. (Rachev m.fl., 2008) (4.2.6) En annan modell för att ta fram en optimal allokering i ALM-kontext har utvecklats av Yang m.fl. (2003). I denna modell maximeras förmögenheten i varje tidsperiod och en straffkostnad sätts på att inte kunna möta skulden. För att kontrollera risken sätts ett bivillkor som använder stokastisk dominans för att begränsa hur mycket risk som får tas. En fördel med denna modell är att det går att variera straffet på att inte kunna möta skulden. En annan metod som kan användas för optimera tillgångsallokeringen är att minimera en målfunktion med riskmåttet Conditional Value at Risk (CVaR) som är en utveckling av riskmåttet VaR. VaR är det historiskt mest använda måttet på finansiella marknader vilket kan bero på att det är lätt att förstå och hantera när riskfaktorer är normalfördelade men CVaR blir allt populärare. (Krokhmal m.fl., 2001) VaR är ett riskmått som kan ge ett nummerärt värde som representerar risken för en hel portfölj. Måttet visar hur mycket en investering riskerar att förlora givet en bestämd tidsperiod och sannolikhet. VaR är variabeln V i påståendet: med X procent säkerhet erhålls inte en förslust större än V under tidsperioden T. Måttet har fördelen att det är lätt att förstå men det beskriver inte hur sannolikhetsfunktioners svansar ser ut. (Hull, 2015) CVaR är ett riskmått som beskriver risker i svansen över en bestämd tidsperiod. Förlusten är, likt VaR, bestämd på en specifik sannolikhetsnivå, exempelvis förlusten kommer att vara mindre än en viss nivå i 95 procent av fallen. CVaR beskriver till skillnad från VaR hur fördelningen ser ut i svansen då måttet representerar medelförlusten som är större än VaR. CVaR kvantifierar hur stora potentiella förluster kommer att vara vilket visas i figur (4.2). CVaR visas av den streckade linjen och är medelförlusten av den mörka arean. (Jarvis, 2011) Figur 4.2: Sannorlikhetsfördelning och CVaR, (Jarvis, 2011) Riskmåttet CVaR är till skillnad från VaR subadditivt för icke normalfördelningar vilket betyder att CVaR kan adderas för enskilda tillgångar för att hitta en övre gräns för portföljens totala CVaR. VaR för en portfölj med två tillgångar kan vara större än det individuella VaR för de enskilda tillgångarna. VaR är också svårt att optimera för diskreta fördelningar då det är icke-konvext vilket betyder att det kan ha många lokalt optimala 35

44 punkter. (Krokhmal m.fl., 2001) Enligt Rockafellar och Uryasev (2000) kan CVaR minimeras genom att minimera målfunktionen F (ω, ζ) = ζ + 1 q(1 θ) q [ ω T y k ζ] + (4.2.7) k=1 där ζ är värdet för VaR, θ är konfidensnivån för förlusten och ω T y k är förlusten. ω representerar en portföljs tillgångar och n ω j = 1 (4.2.8) j=1 där ω j är portföljens position i tillgång j. y k är en vektor med slumpade avkastningar för alla j med gemensam fördelning och q är antalet slumpade scenarier. F (ω, ζ) kan reduceras till ett konvext problem genom att skriva om det på linjär form enligt med bivillkoren och min ζ + 1 q(1 θ) q u k (4.2.9) k=1 0 u k (4.2.10) 0 ω T y k + ζ + u k. (4.2.11) Då erhålls ett linjärt optimeringsproblem med linjär målfunktion och linjära bivillkor. Reduceringen är oberoende av y:s fördelning och fungerar för tillgångar som inte är normalfördelade. Rockafellar och Uryasev (2000) visar att eftersom VaR CVaR så minimeras också VaR vid optimering av CVaR. Eftersom VaR också är en variabel i optimeringen så är det möjligt att även erhålla värdet på VaR vid minimeringen av CVaR. Minimeringen av CVaR som målfunktion kan ske med hänsyn till hela portföljen med ett avkastningskrav, R, som uttrycks där µ(x) ges av µ(x) R (4.2.12) µ(x) = ω T m (4.2.13) där m är medelavkastningen. Avkastningskraven medför att endast portföljer med förväntad avkastning som är större än R kommer att bli accepterade. Optimeringsmodellen ger ett resultat som långsiktigt genererar en förväntad avkastning. Minimering av CVaR i ALM-analyser kan också ske med hänsyn till skillnaden mellan skulder och tillgångar vilket ställer krav på avkastning (Ferstl och Weissensteiner, 2011). Detta skulle för det svenska pensionssystemet kunna liknas med att beräkna CVaR för balanstalet. I modellen från Ferstl och Weissensteiner (2011) minimeras CVaR för skulderna minus tillgångarna. Modellen har bivillkor som matchar tillgångar och skulder för varje tidsperiod samtidigt som den ser till nya investeringar och utbetalningar. Den tar även 36

45 hänsyn till transaktionskostnader. Modellen är en flerstegsmodell som minimerar CVaR i slutet av planeringshorisonten. Resultatet från optimeringen blir hur tillgångarna ska allokeras idag givet att investeraren vill minimera CVaR i slutet av planeringshorisonten och får göra omallokeringar vid ett visst antal tidpunkter fram tills dess. Ett problem med flerstegsmodeller är att scenarieträdet växer för varje tidssteg vilket kan göra modellen svår att implementera och köra. Ytterligare ett problem med Ferstl och Weissensteiner (2011) modell är att den minimerar CVaR i slutet av planeringshorisonten och inte i varje tidsperiod. En annan optimeringsvariant är att istället för att minimera risken med bivillkor för avkastning, maximera avkastning med bivillkor för risk. Detta kan enligt Krokhmal m.fl. (2001) göras genom målfunktionen min ω,ζ N E[P j ]ω j (4.2.14) j=1 där P j är en vektor med scenariogenererade priser i slutet av perioden för tillgångarna j och ω j är en vektor med de optimala positionerna. Denna modell har som bivillkor ett krav på CVaR, där CVaR approximeras som en viktad summa av alla scenarier. Modellen tar också hänsyn till transaktionskostnader. Optimering av tillgångsallokering kan även ske med olika riskfunktioner som målfunktion, exempelvis med varians, varianter av varians eller med CVaR som beskrivits ovan. Det finns många olika riskmått som utgår från variansen. Ett av dem är volatilitet eller standardavvikelse vilket är roten ur variansen och beräknas som 1 T T (µ t,j µ j ) 2 (4.2.15) t=1 där T är antalet mätpunkter eller antalet perioder, µ t,j är avkastningen för tillgång j i perioden t och µ j är medelavkastningen. Standardavvikelsen är det mest använda måttet på risk men det har nackdelen att det både ser till positiva och negativa avvikelser från medelvärdet. Investerare ser normalt sett inte utfall över medelvärdet som något negativt. Vid optimering med en riskfunktion som minimerar standardavvikelsen straffas avkastningar som skiljer sig från medelvärdet vilket medför att även positiva avvikelser straffas. (Amenc och Le Sourd, 2003) Ett mått som bara tar hänsyn till utfall som är mindre än medelavkastningen är semivarians som beräknas enligt 1 T (µ t,j µ j ) 0 t T µ t,j <µ j 2. (4.2.16) Semi-varians ser till skevhet i risk då det endast tar hänsyn till avkastningar som är mindre än medelavkastningen. Om avkastningen anses vara symmetriskt fördelad, vilket den är vid normalfördelning, är semi-varians hälften av variansen. Detta är inte fallet om avkastningen har en skevhet i fördelningen. (Amenc och Le Sourd, 2003) Vid optimering med en riskfunktion som minimerar semi-variansen straffas avkastningar som är negativa 37

46 och skiljer sig från medelvärdet. En utveckling av semi-varians är måttet Lower Partial Moments (LPM) som mäter risken för avkastningar som är under ett bestämt avkastningsmål. LPM beräknas enligt 1 T T (max(0, h µ t,j )) n (4.2.17) t=1 där h är avkastningsmålet. Måttet kan beräknas med flera olika värden på n och när n = 2 är uttrycket det samma som semi-varians med medelavkastningen som avkastningsmål. Beroende på en investerares riskaversion sätts olika värden på n. Sätt n 1 är investeraren risksökande, om n = 1 är investeraren riskneutral och om 1 n är investeraren riskaversiv. Ju högre värde på n desto mer riskaversiv är investeraren. (Amenc och Le Sourd, 2003) 4.3 Stokastisk optimering Optimeringsproblem där det existerar osäkerhet kring vad som kommer att hända i framtiden, samtidigt som ett beslut måste tas idag kan enligt Homem-de Mello och Bayraksan (2014) formuleras och lösas som ett stokastiskt optimeringsproblem. Stokastisk optimering består av olika metoder för att optimera ett system samtidigt som hänsyn tas till osäkerhet. Osäkerhet är vanligt förekommande i beslutssituationer, exempelvis kan efterfrågan vara okänd när produktionsbeslut måste tas, trafiksituationen på vägarna kan vara okänd när vägval måste göras och framtida avkastning kan vara okänd när investeringsbeslut tas. Detta gör att stokastisk optimering är användbart i många olika situationer. Ett optimeringsproblem där målfunktionen är okänd eftersom det finns osäkerhet i en eller flera parameterar kan enligt Shapiro m.fl. (2009) formuleras som min f(x) = E[F (x, ξ)] (4.3.1) x X där ξ är en slumpmässig vektor och F är en känd funktion. Ett stickprov ξ 1, ξ 2,...,ξ S av S stycken realisationer av den slumpmässiga vektorn ξ kan erhållas antingen från historisk data av S stycken observationer av ξ eller genereras genom Monte Carlo simulering. För alla x X kan det förväntade värdet av målfunktionen f(x) estimeras genom att ta medelvärdet av alla F (x, ξ s ), s = 1,..., S. Målfunktionen kan därmed approximeras med den så kallade sample average approximation metoden (SAA) vilket innebär att den ursprungliga målfunktionen i ekvation (4.3.1) byts ut mot dess stickprovsapproximation min x X f S(x) = 1 S S F (x, ξ s ). (4.3.2) s=1 Problemet i ekvation (4.3.2) blir därmed ett deterministiskt optimeringsproblem som kan lösas med någon av standardmetoderna för deterministisk optimering. Väntevärdet av målfunktionen i ekvation (4.3.2) ges av E[f S (x)] = 1 S E[F (x, ξ s )]. (4.3.3) S s=1 38

47 Om varje slumpmässig vektor ξ s antas vara oberoende av varandra och inträffa med sannolikhet 1/S sägs ξ s vara independently identically distributed (iid) och väntevärdet i ekvation (4.3.3) kan därmed uttryckas enligt E[f S (x)] = 1 S E[F (x, ξ)] = E[F (x, ξ)]. (4.3.4) S s=1 På samma sätt kan variansen av målfunktionen i ekvation (4.3.2) uttryckas enligt Var(f S (x)) = Var( 1 S F (x, ξ s )) = 1 S Var(F (x, ξ)) = 1 Var(F (x, ξ)). (4.3.5) S j=1 S 2 s=1 S Felet i appoximeringen minskar därmed med S. Eftersom f S (x) ger en väntevärdesriktig skattning av f(x) och f S (x) konvergerar mot f(x) när S är det naturligt att anta att den optimala lösningen till SAA problemet i ekvation (4.3.2) konvergerar mot den optimala lösningen av det riktiga problemet i ekvation (4.3.2) när S. 4.4 Scenariogenerering För att lösa ett stokastiskt optimeringsproblem med sample average approximation behövs en metod för att generera scenarier för de osäkra parametrarna. När optimala investeringsbeslut ska tas är de osäkra parametrarna framtida tillgångspriser, och scenarier för dessa måste därför genereras. Ett sätt att göra detta är att använda Monte Carlo simulering (Shapiro m.fl., 2009). Enligt Hull (2012) görs Monte-Carlo simulering genom att ett stort antal utfall från en vald fördelning slumpas fram och utifrån slumptalet beräknas värdet på de enskilda tillgångarna och portföljen i det scenariot. Utifrån olika genererade värden på portföljen kan målfunktionen beräknas enligt ekvation (4.3.2). För att skapa framtida scenarier för tillgångspriser behövs en modell som beskriver tillgångsprisernas utveckling. Tre olika modeller som kan användas för detta beskrivs i avsnitten nedan Geometrisk Brownsk rörelse Ett vanligt antagande är att tillgångspriser följer den Geometriska Brownska rörelsen dp = µp dt + σp dz (4.4.1) där dz är en Wienerprocess, µ är den förväntade avkastningen för en tillgång och σ tillgångens volatilitet. För att simulera en väg för P kan hela tidsperioden delas in i N stycken korta intervall av längd t och ekvation (4.4.1) kan då approximeras som P (t + t) P (t) = µp (t) t + σp (t)ε t (4.4.2) där P (t) är värdet på P vid tidpunkt t och ε är ett slumpmässigt stickprov från en normalfördelning med väntevärde noll och standardavvikelse ett. Detta möjliggör beräkning av värdet på P vid nästa tidpunkt, givet att dagens värde är känt. Genom att upprepa proceduren flera gånger kan därmed ett scenario för P som sträcker sig N perioder in i framtiden genereras. (Hull, 2012) 39

48 I praktiken är det oftast mer exakt att simulera ln P istället för P. Från Itô s lemma fås att processen för ln P beskrivas av vilket ger d ln P = ( µ σ2 2 ln P (t + t) ln P (t) = Genom att ta exponenten på båda sidor fås P (t + t) = P (t) exp [( ( ) dt + σdz (4.4.3) µ σ2 2 µ σ2 2 ) ) t + σε t. (4.4.4) t + σε t ]. (4.4.5) Olika scenarier för tillgångspriset P som sträcker sig N perioder in i framtiden kan därför genereras genom att slumpa fram N(0, 1)-fördelade värden på ε och beräkna utfallet i nästa tidsperiod enligt ekvation (4.4.5). I ekvation (4.4.5) behövs även ett värde på den förväntade avkastningen µ och volatiliteten σ. Hur dessa kan beräknas beskrivs i avsnitt 4.6 och Jump diffusion modeller Ett problem med att anta att tillgångspriser följer den Geometriska Brownska rörelsen i ekvation (4.4.1) är att denna fördelning inte tar hänsyn till att fördelningen för avkastningar ofta uppvisar tjocka svansar, det vill säga att sannolikheten för negativa utfall är högre än vad lognormalfördelningsantagandet förutspår. Ett sätt att hantera detta är att göra en utveckling av processen i ekvation (4.4.1) och lägga till en hopprocess som medför att tillgångspriserna gör hopp, vilket exempelvis stämmer överens med vad som händer med tillångspriserna vid en börskrasch. Denna typ av modeller kallas för jump diffusion modeller. Den jump diffusion modell som Brigo m.fl. (2009) har implementerat har en tidshomogen poissonprocess som styr när hoppen inträffar, och hoppen är slumpmässiga variabler som följer en lognormalfördelning. Modellens stokastiska differentialekvation kan uttryckas dp (t) = µp (t)dt + σp (t)dw (t) + P (t)dj(t) (4.4.6) där W t är en univariat Wienerprocess och J t är en univariat hoppprocess som definieras N T J T = (Y j 1), eller dj(t) = (Y N(t) 1)dN(t), (4.4.7) j=1 där (N T ) T 0 följer en homogen poissonprocess med intensitet λ, och är därför fördelad enligt en poissonfördelning med parameter λt. Poissonfördelningen är en diskret sannolikhetsfördelning som uttrycker sannolikheten för ett antal händelser under en fast tidsperiod. För en poissonfördelning med parameter λt, uttrycks sannolikhetsfunktionen enligt f P (x, λt ) = exp( λt )(λt )x, x = 0, 1, 2,... (4.4.8) x! 40

49 Poissonprocessen (N T ) T 0 räknar antalet hopp i intervallet [1, T ] och Y j är storleken på det j:te hoppet. Variablerna Y är oberoende och likafördelade lognormalfördelade variabler (Y j exp(n(µ Y, σ 2 Y ))) som även är oberoende av den Brownska rörelsen W och poissonprocessen N. På samma sätt som för den tidigare beskrivna Geometriska Brownska rörelsen, simuleras ofta ln P istället för P vilket leder till att processen för tillgångspriserna kan uttryckas ( ) d ln P (t) = µ σ2 dt + σdw (t) + ln(y N(t) )dn(t) 2 ( ) d ln P (t) = µ + λµ Y σ2 dt + σdw (t) + [ln(y N(t) )dn(t) µ Y λdt]. (4.4.9) 2 Lösningen till den stokastiska differentialekvationen erhålls genom att integrera ekvation (4.4.9) och blir P (T ) = P (0) exp (( µ σ2 2 ) T + (T ) Diskretisering av ekvation (4.4.10) för tidssteget t ger P (t) = P (t t) exp (( µ σ2 2 ) ) N(T ) j=1 t + σ ) nt tε t Y j (4.4.10) j=1 Y j (4.4.11) där ε N(0, 1) och n t = N t N t t räknar antalet hopp mellan tiden t t och t. Ekvation (4.4.11) kan skrivas om för logaritmiska avkastningar och blir då där hoppen J t ln(p (t)) = ln(p (t)) ln(p (t t)) = µ t + σ tε t + J t (4.4.12) i tidsintervallet t och driften µ definieras enligt ( ) n t Jt = ln Y j λ tµ Y, µ = µ + λµ Y σ2 2 j=1 (4.4.13) så att hoppen Jt har väntevärde 0. Det är ekvation (4.4.12) som sedan används för att simulera framtida tillgångspriser. Givet förekomsten av hopp, n t, är fördelningen för hoppen normalfördelad enligt J t n t N((n t λ t)µ Y, n t σ 2 Y. (4.4.14) Detta medför att den betingade fördelningen för den logaritmiska avkastningen ln(p (t)) också är en normalfördelning och de två första betingade momenten är E( ln(p (t)) n t ) = µ t + (n t λ t)µ Y = (µ σ 2 /2) t + n t µ Y (4.4.15) Var( ln(p (t)) n t ) = σ 2 t + n t σ 2 Y (4.4.16) Täthetsfunktionen är summan av de betingade sannolikheterna viktade med sannolikheten för den betingade variablen, det vill säga antalet hopp. Modellens parametrar, µ, µ Y, λ, σ och σ Y kan därför estimeras med hjälp av maximum likelihood-metoden och 41

50 de historiska logaritmiska avkastningarna. Log-likelihood funktionen för de logaritmiska avkastningarna observerade vid tidpunkt t = t 1,..., t n med värden x 1,..., x n, med t = t i t i 1 ges av där n L (Θ) = ln f(x i ; µ, µ Y, λ, σ, σ Y ) (4.4.17) i=1 f(x i ; µ, µ Y, λ, σ, σ Y ) = P (n t = j)f N (x i ; (µ σ 2 /2) t + jµ y, σ 2 t + jσy 2 ). (4.4.18) j=0 När t är liten hoppar poissonprocessen vanligtvis som mest en gång vilket leder till att ekvation (4.4.18) kan förenklas f(x i ; µ, µ Y, λ, σ, σ Y ) = (1 λ t)f N (x i ; (µ σ 2 /2) t, σ 2 t) + λ tf N (x i ; (µ σ 2 /2) t + µ Y, σ 2 t + σ 2 Y ), (4.4.19) det vill säga en blandning av två slumpmässiga normalfördelade variabler som viktas med sannolikheten för noll eller ett hopp under tidsperioden t Students t-fördelning En annan fördelning som tar hänsyn till tjocka svansar och kan användas för att generera scenarier för framtida avkastningar är Students t-fördelning. Att en t-fördelning är bättre anpassad till avkastningen för aktier än vad en normalfördelning är menar bland annat Hu och Kercheval (2010), Mandelbrot (1963), Fama (1965), Praetz (1972) och Platen (2007). Enligt Hu och Kercheval (2010) är den endimensionella t-fördelningen välanvänd för att modellera univariat finansiell data eftersom den tar hänsyn till tjocka svansar på ett relativt enkelt sätt. Jämfört med normalfördelningen adderas endast en till parameter, som är antalet frihetsgrader. Täthetsfunktionen för en t-fördelning ges av f x (x) = 1 ( ) ν+1 Γ((ν + 1)/2) 1 + x2 2 πν Γ(ν/2) ν (4.4.20) där ν är antalet frihetsgrader och Γ är gammafunktionen. För höga värden på ν skiljer sig inte t-fördelningen signifikant från normalfördelningen och vanligtvis antas fördelningarna vara samma om n > 30. (Rachev m.fl., 2008) Om de logaritmiska avkastningarna antas vara normalfördelade, det vill säga ln P (t)/ ln P (t t) t(ν, µ, σ 2 ), medför det att ln P (t)/ ln P (t t) µ t σ t(ν, 0, 1) t ln P (t)/ ln P (t t) = µ t + σ tε, ε t(ν, 0, 1) P (t) = P (t t) exp(µ t + σ tε), ε t(ν, 0, 1). (4.4.21) Genom att generera t(ν, 0, 1)-fördelade slumptal kan priset vid nästa tidpunkt, P (t), beräknas utifrån ekvation (4.4.21). Paramterarna ν, µ och σ kan enligt Kon (1984) estimeras 42

51 med hjälp av maximum likelihood-metoden och historisk data. Likelihood-funktionen för en t-fördelning ställs upp n L (Θ) = f(x i ; ν, µ, σ) (4.4.22) i=1 och maximum likelihood skattningen för parametrarna ν, µ och σ kan erhållas genom att maximera den logaritmiska likelihood-funktionen 4.5 Variansreducerande tekniker n L (Θ) = ln(x i ; ν, µ, σ). (4.4.23) i=1 Enligt Hull (2012) behövs det ofta många utfall för att erhålla en bra approximation av värdet på tillgången vid Monte Carlo simulering. För att minska antalet scenerier som behövs, och därmed tiden som det tar att göra simuleringen, kan olika variansreducerande tekniker användas Latin hyperkub sampling En variansreducerande teknik som kan användas är Latin hyperkub sampling. Genom att använda Latin hyperkub sampling garanteras att hela sannolihetsfördelningen blir representerad eftersom ett slumptal genereras från varje intervall som sannolikhetsfunktionen delas upp i. (Shapiro m.fl., 2009) Om en vektor med slumpmässig data ξ = ξ(ω) är endimensionell och har fördelningsfunktionen H( ) kan väntevärdet av funktionen F (x, ξ) beskrivas av E[F (x, ξ)] = + F (x, ξ)dh(ξ). (4.5.1) För att utveckla integralen i ekvation (4.5.1) numeriskt är det enligt Shapiro m.fl. (2009) bättre att generera stickprov som är jämnt fördelade än att använda ett oberoende och likafördelat stickprov. Detta medför att oberoende, slumpmässiga punkter kan genereras som U s U[(s 1)/S, s/s], j = 1,..., S (4.5.2) och sedan kan det slumpmässiga stickprovet av ξ konstrueras av den inversa transformationen ξ s := H 1 (U s ), s = 1,..., S. Om s antas vara slumpmässigt vald från uppsättningen 1,..., S, där sannolikheten är densamma för alla element i uppsättningen, är den korresponderande slumpmässiga variablen U s, betingat s, likafördelad över intervallet [(s 1)/S, s/s] och den icke betingade fördelningen för U s är likafördelad över intervallet [0,1]. Om s 1,..., s S då är en slumpmässig permutation av uppsättningen 1,..., S har de slumpmässiga variablerna ξ s 1,..., ξ s S samma marginalfördelning, med samma fördelningsfunktion, och är negativt korrelerade med varandra. Därmed blir det förväntade värdet av f S (x) = 1 S F (x, ξ su ) (4.5.3) S detsamma som f(x), medan s=1 Var(f S (x)) = S 1 σ 2 (x) + 2S 2 u<v cov(f (x, ξ sv ), F (x, ξ su )). (4.5.4) 43

52 Om funktionen F (x, ) är monotont ökande eller minskande, så är de slumpmässiga variablerna F (x, ξ su ) och F (x, ξ sv ), u v, också negativt korrelerade. Därför brukar variansen av f S (x) vara mindre än σ 2 (x)/s. Om en slumpmässig vektor ξ = (ξ 1,..., ξ d ) är d-dimensionell och dess komponenter ξ i, i = 1,..., d, är fördelade oberoende av varandra kan ovanstående procedur användas för varje komponent ξ i. Det vill säga, ett slumpmässigt stickprov U s på formen i ekvation (4.5.2) kan genereras och följaktligen kan S replikationer av den första komponenten i ξ beräknas av den korresponderande inversa transformationen som appliceras på slumpmässigt permuterade U su. Samma procedur kan appliceras på varje komponent i ξ med det korresponderande slumpmässiga stickprovet på samma form som i ekvation (4.5.2) och slumpmässiga permutationer som genererats oberoende av varandra. Detta sätt att generera stickprov kallas Latin hyperkub sampling. Om funktionen F (x, ) är nedbrytbar, det vill säga F (x, ξ) := F 1 (x, ξ 1 ) F d (x, ξ d ), så är E[F (x, ξ)] = E[F 1 (x, ξ 1 )] E[F d (x, ξ d )], där varje väntevärde beräknas med hänsyn till en endimensionell fördelning. Då försäkrar Latin hyperkub sampling att varje väntevärde estimeras på ett nära optimalt sätt. Därför fungerar Latin hyperkub sampling bra när funktionen F (x, ) tenderar att ha en nedbrytbar struktur. (Shapiro m.fl., 2009) Antitetisk sampling En annan variansreducerande teknik som kan användas för att erhålla en bra approximation av värdet på tillgången vid Monte Carlo simulering är antitetisk sampling. Vid antitetisk sampling är målet att minska variansen genom att försöka få felen i estimaten att cancellera ut varandra (Owen, 2013). För varje oberoende stickprov som genereras på vanligt sätt, genereras även ett antitetiskt stickprov som använder motsatta värden på slumptermen. Det finns därmed ett statistiskt beroende mellan stickproven. (Sabuncuoglu m.fl., 2008) Låt µ = E(X) för x p, där p är en symmetrisk densitet. Med symmetrisk menas här att om punkten x speglas genom centrumpunkten c, erhålls punkten x där x c = (x c), det vill säga x = 2c x. Detta medför till exempel att om p är en normalfördelning med väntevärde 0 och varians σ, är x = x. Den antitetiska motparten till en slumpväg blir dess spegling i den horisontella axeln och varje slumpväg blir därför perfekt negativt korrelerad med en annan slumpväg. Väntevärdet för en funktion f(x) som estimeras genom antitetisk sampling ges av µ antitetisk = 1 S S/2 i=1 (f(x i ) + f( X i )) (4.5.5) där X i p och S är ett jämnt nummer som beskriver antalet scenarier. Antitetisk sampling ger en bra skattning av det verkliga värdet eftersom varje värde på x balanseras av ett motsatt x vilket ger att x+ x = c. Hur bra antitetisk sampling reducerar variansen 2 44

53 beror på hur f ser ut. Variansen vid antitetisk sampling blir Var(µ antitetisk ) = Var 1 S/2 (f(x i ) + f( X i )) = S/2 S i=1 S Var(f(X i) + f( X 2 i )) = 1 ( V ar(f(x)) + Var(f( X)) + 2cov(f(X), f( X)) ) 2S = σ2 (1 + ρ) (4.5.6) S där ρ = Corr(f(X), f( X)). Detta gör att variansen för det antitetiska estimatet är mindre än variansen för ett estimat som erhålls genom att ta medelvärdet av slumpmässiga oberoende observationer, givet att kovariansen mellan f(x) och f( X) är negativ. Om f är en monoton funktion för alla värden på x, blir ρ < 0 med säkerhet, vilket leder till att variansen i det antitetiska estimatet är mindre än variansen för estimatet som erhålls genom att ta medelvärdet av slumpmässiga oberoende observationer. (Owen, 2013) 4.6 Förväntad avkastning För att kunna generera scenarier för framtida tillgångspriser behövs en modell för att beräkna förväntad avkastning för olika tillgångar. Ett sätt att göra detta är enligt Black och Litterman (1991) att använda historisk data och beräkna ett medelvärde av tidigare avkastningar och anta att framtida förväntad avkastning är densamma. Avkastning på kort sikt kan dock skilja från historisk avkastning vilket medför att det finns risk för stora förluster på kort sikt om historisk avkastning används för att skatta framtida avkastning. Den genomsnittliga avkastningen på en tillgång kan enligt Amenc och Le Sourd (2003) beräknas både utifrån det aritmetiska medelvärdet och det geometriska medelvärdet. Det aritmetiska medelvärdet beräknas enligt µ A j = 1 T T µ t,j j = 1,..., J (4.6.1) t=1 där µ t,j antingen är den aritmetiska eller logaritmiska avkastningen för tillgång j under tidsperiod t och T är antalet perioder som medelvärdet beräknas för. Det aritmetiska medelvärdet tenderar att överestimera resultatet, särskilt vid beräkning under längre tidsperioder. Men däremot är en fördel med det aritmetiska medelvärdet att det kan användas till att förutspå framtida värdeutveckling för en tillgång eftersom det ger ett oberoende estimat av nästa tidperiods avkastning. Det geometriska medelvärdet ger den reala tillväxten över hela tidsperioden och tar hänsyn till att vinster återinvesteras. För en given tidsperiod beräknas det geometriska medelvärdet enligt µ G j = [ T 1/T (1 + µ t,j )] 1 j = 1,..., J (4.6.2) t=1 Medan det aritmetiska medelvärdet kan tolkas som förväntad avkastning för nästa tidsperiod kan det geometriska medelvärdet istället tolkas som den förväntade avkastningen på längre sikt. 45

54 Enligt Amenc och Le Sourd (2003) är ett annat sätt att beräkna förväntad avkastning för tillgångar att använda CAPM, Capital Asset Pricing Model. CAPM utvärderar avkastningen på en tillgång i förhållande till avkastningen på marknaden och korrelationen mellan tillgången och marknaden. CAPM beskrivs enligt µ C j = r + β j (µ M r) (4.6.3) där µ C j är väntevärdet för avkastningen på tillgång j, r är riskfri ränta och µ M är väntevärdet för avkastningen på en marknadsportfölj som ligger på den effektiva fronten. β bestäms i regressionsanalys mot marknadsportföljens avkastning och de olika tillgångarnas avkastning är µ t,j = α j + β j (µ M r) + ε t,j (4.6.4) där µ t,j är avkastningen för tillgång j i tidsperiod t, α j är skärningspunkten, β j är lutningen av linjen och ε j,t är en residualterm. Det är α och β som är sökta i regressionen som oftast genomförs med minsta kvadratmetoden. β j kan även beräknas enligt β j = cov(µ t,j, µ M t ). (4.6.5) var(µ M t ) För en portfölj med olika tillgångar kan en vektor med värden på β erhållas genom β = C ω var(µ M t ) (4.6.6) där C är kovariansmatrisen för tillgångarna i portföljen och ω är tillgångarnas vikter i portföljen. CAPM ger en linjär beskrivning av tillgångars avkastning i förhållande till riskfri ränta och marknadsportföljens avkastning. Detta innebär att det finns ett förhållande mellan olika tillgångars förväntade avkastning som kan utnyttjas genom CAPM. De huvudsakliga antaganden som görs för att modellen ska gälla är enligt Amenc och Le Sourd (2003): 1. Investerare är riskaversiva och vill maximera nyttan av deras förmögenhet vid slutet av en period. 2. När en investerare väljer portfölj tar de endast hänsyn till de två första momenten i avkastningens fördelning vilka är förväntad avkastning och varians. 3. En investerare ser endast till en investeringsperiod och den är densamma för alla investerare. 4. Investerare kan låna oändligt med kapital till riskfri ränta. 5. Information är lättillgängligt, gratis och ges till alla vid samma tillfälle. Alla investerare har därför samma prognoser för avkastning, varians och kovarians. 6. Marknaden är perfekt och det finns inga skatter eller transaktionskostnader. 46

55 4.7 Estimering av volatilitet En av de okända parametrar som behövs i samliga de modeller som beskrivs i avsnitt 4.4 är volatiliteten, σ. Det vanligaste sättet att estimera volatilitet är enligt J.P.Morgan/Reuters (1996) att använda en likaviktad volatilitet som beräknas enligt σ = 1 T (µ t µ) T 2 (4.7.1) t=1 där µ t är tillgångens avkastning i tidsperiod t och µ är den genomsnittliga avkastningen för tillgången. Denna modell bygger därmed på ett enkelt glidande medelvärde med fixerade, lika vikter för alla observationer. För att beräkna den likaviktade kovariansen mellan två tillgångar används produkten av två olika tidsserier. Beräkningen görs enligt σi,j 2 = 1 T (µ i,t µ T i )(µ j,t µ j ). (4.7.2) t=1 Att använda ett enkelt glidande medelvärde medför dock en del brister eftersom volatilteten kan förändras abrupt när en extrem händelse faller ur det historiska tidsfönster som används i estimering, vilket i många fall kan vara flera månader efter händelsen. Ett sätt att fånga de dynamiska egenskaperna i volatiliteten är enligt J.P.Morgan/Reuters (1996) att istället använda ett exponentiellt glidande medelvärde (EWMA). Medan den likaviktade volatiliteten viktar alla utfall lika ger EWMA-volatiliteten istället högre vikt till de senaste observationerna. Det exponentiellt glidande medelvärdet beräknas enligt σ = T (1 λ) λ t 1 (µ t µ) 2 (4.7.3) t=1 där λ är en decay factor som styr hur mycket vikt som ges till den senaste observationen. Att använda EWMA har flera fördelar över den likaviktade volatiliteten eftersom den dels reagerar snabbare när ett extremt utfall sker på marknaden eftersom händelser som skett nyligen får högre vikt än äldre händelser. Dessutom minskar volatiliteten exponentiellt efter det extrema utfallet vilket gör att den snabbare går tillbaka till en normal nivå. En attraktiv egenskap med EWMA är att den kan beräknas rekursivt vilket gör att den kan användas för att göra prognoser för volatiliteten. Om antagandet görs att väntevärdet är noll kan variansen för nästa tidsperiod härledas utifrån ekvation (4.7.3) enligt σt 2 = (1 λ) λ i µ 2 t i = (1 λ) ( µ 2 t + λµ 2 t 1 + λ 2 µ 2 t ) i=0 = (1 λ)µ 2 t + λ(1 λ) ( µ 2 t 1 + λµ 2 t 2 + λ 2 µ 2 t 3) = λσ 2 t 1 + (1 λ)µ 2 t 1. (4.7.4) EWMA modellen kan även användas för att konstruera prognoser för kovariansen och korrelationen på samma sätt som volatiliteten prognosticerades. Skillnaden är att istället för att använda kvadraten av en tidsserie så används istället produkten mellan två olika tidsserier. Den exponentiellt viktade kovariansen beräknas enligt T σ1,2 2 = (1 λ) λ t 1 (µ 1,t µ 1 )(µ 2,t µ 2 ). (4.7.5) t=1 På samma sätt som i ekvation (4.7.4) kan prognosen för kovariansen skrivas på rekursiv form och härleds enligt 47

56 σ1,2,t 2 = (1 λ) λ i µ 1,t i µ 2,t i i=0 = (1 λ) ( µ 1,t µ 2,t + λµ 1,t 1 µ 2,t 1 + λ 2 µ 1,t 2 µ 2,t ) = (1 λ)µ 1,t µ 2,t + λ(1 λ) ( µ 1,t 1 µ 2,t 1 + λµ 1,t 2 µ 2,t 2 + λ 2 µ 1,t 3 µ 2,t 3 ) = λσ 12,t 1 + (1 λ)µ 1,t 1 µ 2,t 1 (4.7.6) Enligt Hull (2015) kan variansen för en portfölj sedan beräknas utifrån variansen och kovariansen för de ingående tillgångarna. Portföljvariansen beräknas n n σp 2 = cov i,j ω i ω j (4.7.7) i=1 j=1 där cov i,j är kovariansen mellan tillgång i och j och ω i är andelen av portföljen som är investerad i tillgång i. Portföljvariansen i ekvation (4.7.7) kan även skrivas med matrisnotation och uttrycks då σ 2 p = ω T Cω (4.7.8) där ω är en vektor där element i är ω i, C är varians-kovariansmatrisen och ω T är transponatet till ω. 48

57 Kapitel 5 Metodval I detta kapitel presenteras valet av den metod som kommer användas för att besvara syftet. Först kommer utgångspunkten för ALM-analysen beskrivas och utifrån denna kommer sedan en optimeringsmodell utvecklas. För att lösa optimeringsproblemet kommer flera andra val av metoder och parametrar behövas och även dessa kommer också beskrivas i kapitlet. 5.1 Utgångspunkt för ALM-analysen Utgångspunkten för de flesta ALM-analyser är att optimera avkastning och risk i portföljen, samtidigt som hänsyn tas till skulder. Detta överensstämmer även med syftet i detta arbete, där ett avkastningsmål ska erhållas med hänsyn till buffertfondernas åtagandesida. Samtidigt gör det svenska pensionssystemets unika utformning att ALM-analysen blir annorlunda för en svensk buffertfond jämfört med andra pensionsfonder. I det svenska pensionssystemet finns en osäkerhet i åtagandet eftersom dagens arbetstagare finansierar pensionsutbetalningarna till dagens pensionärer. Detta medför att det finns osäkerheter i pensionsutbetalningarnas tidpunkt och storlek, eftersom de påverkas av den demografiska och ekonomiska utvecklingen i landet. Det svenska pensionsystemet har dessutom en balanseringsmekanism som ska säkerställa finansiell stabilitet i systemet och denna gör att uppskrivningstakten på pensioner minskar i vissa situationer. Likt beskrivet i kapitel 3.10 kretsar samtliga av de svenska buffertfondernas ALM-analyser kring balansering och målet är att minimera risken eller påverkan av balanseringen, helt undvika balanseringen eller minimera volatiliteten i balanstalet (och därmed minimera hur ofta balanseringen aktiveras). I samtliga analyser får balanstalet en viktig roll eftersom balanstalet påverkar när balanseringen aktiveras och dessutom är ett mått på relationen mellan skulder och tillgångar, vilket är centralt i ALM-analyser. Även om balanseringsmekanismen inte finns direkt representerad i de modeller som beskrivs i kapitel 4.1 så är tankesättet ofta detsamma. Samtliga modeller försöker undvika att skulderna överstiger tillgångarna, men på olika sätt. Det kan exempelvis göras genom att minimera risken för att skulderna överstiger tillgångarna, maximera nyttan av de tillgångar som är större än skulderna eller maximera förmögenheten med en straffkostnad på att inte kunna möta skulden. Att försöka undvika att skulderna överstiger tillgångarna kan jämföras med att minimera risken för att balanstalet understiger 1 och därmed minimera risken för att balanseringen aktiveras. Detta gör att balanseringsmekansimen indirekt finns representerad i de modeller som beskrivs i kapitel

58 Samtidigt missar de modeller som beskrivs i litteraturen och de som används av buffertfonderna idag att ta hänsyn till att effekterna av balanseringen kan göra att orättvisor uppstår mellan generationer. Om balanseringen helt kan undvikas skulle det kunna ses som att det blir rättvist mellan generationer, men om det inte är möjligt att helt undvika balansering skapar det orättvisor mellan generationer. Även om balanseringsmekanismens utformning gör att både pensionärer och arbetande påverkas negativt av balanseringen, blir påverkan olika stor för olika generationer. Om balanseringen endast är tillfällig hinner pensionsbehållningarna för de generationer som precis börjat arbeta antagligen indexeras upp till den nivå de skulle vara på om balanseringen aldrig hade aktiverats innan de går i pension. För de generationer som precis ska gå i pension finns däremot risk för att de inte hinner få sina pensionsbehållningar helt uppindexerade innan de går i pension och de får därmed lägre pensionsutbetalningar. Även de generationer som redan är pensionärer när balanseringen aktiveras gör förluster som inte går att ta igen eftersom de får lägre pensionsutbetalningar än vad de skulle få utan balansering. Buffertfonderna ska enligt lag förvalta buffertkapitalet till största möjliga nytta för det statliga pensionssystemet. De riktlinjer som ges påpekar både vikten av att minimera förluster på grund av att den automatiska balanseringen aktiveras och vikten av att agera neutralt och rättvist mellan generationer. Samtidigt verkar det första av dessa fått störst fokus i de tidigare ALM-analyser som de olika buffertfonderna genomfört. I detta arbete kommer istället en alternativ utgångspunkt användas, där målet är att både skapa rättvisa mellan generationer och samtidigt minimera förluster på grund av balansering. Författarna till detta arbete gör därmed tolkningen att det avkastningsmål som bidrar till störst nytta för pensionssystemet är det avkastningsmål som både minimerar balanseringsförluster och skapar rättvisa mellan generationer. För att kunna göra detta behövs först en definition av rättvisa Definition av rättvisa mellan generationer I dagsläget finns ingen fastställd definition av rättvisa mellan generationer i pensionssystemet. Författarna till detta arbete har därför tagit fram en egen definition av rättvisa som kommer användas i denna ALM-analys. Utgångspunkten är att det anses rättvist om förhållandet mellan utbetalningar och inbetalningar är detsamma för alla generationer, det vill säga att samtliga generationer procentuellt sett får ut lika mycket i pension relativt vad de har betalat in. För att ta hänsyn till detta har ett nyckeltal tagits fram i detta arbete som speglar de olika generationernas förhållande mellan inbetalningar och utbetalningar. Nyckeltalet uttrycker förlusten i form av skillnaden mellan nuvärdet av en generations inbetalningar till pensionsystemet och nuvärdet av de pensionsutbetalningar som erhålls. Skillnaden mellan dessa beror på att balanseringen har aktiverats vilket gör att pensionsrätter inte skrivs upp med inkomstindex. Ekvation (3.11.7) beskriver de pensionsutbetalningar som faktiskt erhålls för en generation. Nuvärdet av dessa vid pensioneringstillfället kan beräknas genom att diskontera utbetalningarna med L t som är förändringen i inkomstindex, det vill säga U i (R) = Pi B u=a i IP R u Pi u,i I u v=u+1 R v D i T i t t=p i +1 τ=p i +1 R τ L τ 1, 016 (5.1.1) 50

59 där L t definieras som L t = I t+1 I t (5.1.2) och I t är inkomstindex år t och beräknas enligt ekvation (3.5.1). De inbetalningar som en generation gör till pensionssystemet beskrivs av P i Inbetalningar i = IP R t,i (5.1.3) t=a i där IP R t,i är pensionsrätten för inkomstpension intjänad under år t för åldergrupp i. Nuvärdet av dessa vid pensioneringstillfället kan beräknas genom att diskontera inbetalningarna framåt med L t, det vill säga P i P B i (L) = IP R t,i t=a i P i τ=t+1 L τ (5.1.4) Utifrån ekvation (5.1.1) och ekvation (5.1.4) har ett nyckeltal definierats som beskriver hur många procent mindre en generation har fått ut jämfört med vad de har tillfört systemet. Detta nyckeltal definieras som K i = P B i(l) U i (R) P B i (L) = 1 U i(r) P B i (L) (5.1.5) där U i (R) är nuvärdet av de totala pensionsutbetalningarna till en generation under en livstid givet att uppräkningstakten varierar enligt ekvation (3.11.2) och (3.11.4) och P B i (L) är nuvärdet av en generations totala pensionsinbetalningar. Nyckeltalet beräknas för samtliga generationer och för att pensionssystemet ska vara neutralt och rättvist mellan generationer bör detta nyckeltal vara samma, eller så lika som möjligt, för alla generationer. Insättning av ekvation (5.1.1) och (5.1.4) i ekvation (5.1.5) ger K i = 1 Pi IP R Bu Pi u=a u,i i Iu v=u+1 Rv D i Ti t=p i +1 tτ=pi +1 R τ L τ 1,016 Pi t=a i IP R t,i Pi τ=t+1 L τ (5.1.6) En förenkling som kan göras är att anta att generation i:s löneutveckling har varit densamma som löneutvecklingen i resten av samhället, likt beskrivet i kapitel 1.3. Detta medför att IP R t,i, den skattade pensionsrätten för inkomstpension intjänad under år t för åldersgrupp i, kan uttryckas som det första årets pensionsinbetalning diskonterat framåt med samtliga ökningar av inkomstindex fram till år t, IP R t,i = IP R Ai,i t τ=a i +1 Insättning av ekvation (5.1.7) i ekvation (5.1.6) ger L τ. (5.1.7) K i = 1 Pi u=a i IP R Ai,i Bu uv=ai I u +1 L Pi v D i P i t=a i IP R Ai,i R τ L τ 1,016 v=u+1 R v T i tτ=pi t=p i tτ=ai +1 L Pi. (5.1.8) τ τ=t+1 L τ Från ekvation (5.1.8) kan IP R Ai +1,i brytas ut och nämnaren kan förenklas vilket ger 51

60 K i = 1 = 1 Pi B u uv=ai u=a i I u +1 L Pi v v=u+1 R v T i tτ=pi t=p i D i P i Pi t=a i τ=a i +1 L τ Pi B u uv=ai u=a i I u +1 L Pi v v=u+1 R v T i tτ=pi t=p i R τ L τ 1,016 R τ L τ 1,016 D i (P i A i + 1) P i τ=a i +1 L τ. (5.1.9) Från ekvation (5.1.9) kan P i τ=a i +1 L τ förkortas bort i nämnaren eftersom samma produkt finns i täljaren vilket leder till att K i kan uttryckas som K i = 1 = 1 = 1 Pi B u uv=ai u=a i I u +1 Lv Pi L v v=u+1 Rv L v Pi B u Pi u=a i I u v=u+1 Rv L v Pi B u Pi u=a i I u v=u+1 Rv L v D i (P i A i + 1) T i tτ=pi R τ t=p i L τ 1,016 T i tτ=pi R τ t=p i L τ 1,016 D i (P i A i + 1) T i t=p i +1 D i (P i A i + 1) 1 1,016 t P i tτ=pi +1 Rτ L τ. (5.1.10) Den första produkten i täljaren i ekvation (5.1.10) kan lyftas in efter den andra summan i täljaren, vilket ger Pi B u Ti 1 tτ=u+1 R τ u=a i I K i = 1 u t=p i +1 1,016 t P i L τ. (5.1.11) D i (P i A i + 1) D i är det delningstal som används för att beräkna de månadsvisa pensionsutbetalningarna. Delningstalet beräknas som andelen överlevande varje månad, diskonterat med 1,6 procent (tillväxtnormen) och delat med 12 för att erhållas på årsbasis. Beräkningen görs över hela tiden som pensionär och sker därmed enligt D i = 1 12L i r 11 k=i X=0 ( L k + (L k+1 L k ) X ) (1, 016) (k i) (1, 016) X 12, i = 61, 62,..., r 12 (5.1.12) där D i delningstal för åldersgrupp i k i antal år som pensionär (k = i, i + 1, i + 2 etc.) X månader (0, 1,..., 11) L i antal kvarlevande personer i åldersgrupp i av födda enligt SCB:s livslängdsstatistik. Statistiken avser den femårsperiod som närmast föregick det år den försäkrade uppnådde 60 års ålder vid pensionsuttag före 65-årsåret respektive 64 års ålder vid senare pensionsuttag. Sättet som D i beräknas på är inte helt konsistent med de antaganden som tidigare gjorts i härledningen av nyckeltalet K i. I härledningen av K i har utbetalningarna antagits ske på årsbasis och alla i en åldersgrupp har antagits gå i pension och avlida samtidigt. Om detta antas även i beräkningen av D i försvinner summan över månader i ekvation (5.1.12) och L i blir konstant (100 procent är kvarlevande) för alla tidpunkter fram till T i. Med dessa antaganden samt de variabelnamn som används i i härledningen av K i kan delningstalet uttryckas som 52

61 ( ) T i D i = (1, 016) (t Pi) T i t Pi ( ) 1 T i P i k 1 = = t=p i +1 t=p i +1 1, 016 k=1 1, 016 ( ) Ti P 1 i +1 ( ) Ti P 1, i 1 1,016 1,016 = 1 1 = 0, 016 1,016 = 1 ( ) ( ) , 016 1, 016 T i P i = 62, 5 1 1, 016 T i P i. (5.1.13) Insättning av ekvation (5.1.13) i ekvation (5.1.11) ger K i = 1 = 1 Pi B u Ti 1 tτ=u+1 R τ u=a i I u t=p i +1 1,016 t P i L τ D i (P i A i + 1) Pi B u Ti 1 tτ=u+1 R τ u=a i I u t=p i +1 1,016 t P i L τ 62, 5 ( ) 1 1 1,016 T i P i (Pi A i + 1) (5.1.14) Det nyckeltal som beskriver förlusten, K i, beror därmed på löneutvecklingen, när en generation börjar arbeta, pensioneras och dör samt i vilken takt pensionsbehållningar och pensioner skrivs upp. Takten som pensionerna skrivs upp i beror på ett flertal faktorer som beskrivs i ekvation (3.11.2) och det är i denna del som AP-fondernas avkastning kan spela en viktig roll. Ekvation (5.1.14) visar även att kvoten mellan R t och L t har en central roll vid beräkningen av nyckeltalet. Det är denna kvot som bestämmer om pensionsbehållningar och pensioner skrivs upp i högre, samma eller lägre takt än normalt, där det normala anses vara en uppskrivning i takt med löneutvecklingen. K i beskriver hur många procent mindre en generation fått ut jämfört med vad de har tillfört systemet. Om K i är 0 betyder det att nuvärdet av det generationen har fått ut är lika stort som nuvärdet av vad de har betalat in. Om K i är mindre än 0 betyder det att generationen har fått ut mer i pensionsutbetalningar jämfört med vad de har tillfört systemet. Om K i är större än 0 betyder det att nuvärdet av det generationen har fått ut är lägre än det de har betalat in, det vill säga generationen har förlorat potentiella pensionsutbetalningar. Ju högre K i är, desto större förlust har en åldergrupp gjort. 5.2 Målfunktion Nyckeltalet K i i ekvation (5.1.14) kan ses som ett mått på den procentuella förlusten generation i gör i pensionssystemet. Utifrån K i har en optimeringsmodell tagits fram som fastställer en optimal långsiktig allokering, givet att förlusterna på grund av balansering ska minimeras och rättvisa mellan generationer ska uppnås. Modellen ska därmed både minimera alla K i och samtidigt se till att skillnaden mellan olika K i blir minimal. Ett sätt att uppnå detta är att använda måttet Lower Partial moments (LPM), som beskrivs i kapitel 4.2 och är ett mått på risk som bara beror på de avkastningar som är under ett visst avkastningsmål. LPM beräknas enligt 1 N N (max(0, h µ i )) n (5.2.1) i=1 53

62 där h är avkastningsmålet. Appliceras modellen på problemet i detta arbete, där K i ska minimeras, kan h sättas till 0. Eftersom ett positivt K i innebär en förlust kan ekvation (5.2.1) minimeras genom att h och µ i byter plats vilket ger min 1 N N (max(0, K i 0)) n (5.2.2) i=1 där N är antalet åldersgrupper. På så sätt minimeras summan av nyckeltalen. Ett val måste även göras angående riskaversionen n. Om n = 1 kan det bli stor spridning på utfallen och flera generationer kan få det bra på bekostnad av andra generationer så länge det genererar den minsta totala förlusten för alla. För att uppnå rättvisa måste därför ett högre värde på n väljas. Genom att sätta n till 2 kan ekvation (5.2.2) ses som en minsta kvadratanpassning till nivån 0. Eftersom K i kvadreras kommer stora avvikelser straffas och målfunktionen kommer därför försöka sprida ut K i så att alla generationer får ungefär lika stora förluster. Genom att sätta n = 2 i ekvation (5.2.2) erhålls målfunktionen min 1 N N (max(0, K i )) 2. (5.2.3) i=1 Med målfunktionen beskriven i ekvation (5.2.3) uppnås dels att förlusterna minimeras, eftersom funktionen kommer försöka placera alla K i så nära 0 som möjligt. Samtidigt bidrar målfunktionen till neutralitet mellan generationer eftersom den ser till att alla K i hamnar så nära varandra som möjligt genom att kvadrera avvikelser. Vissa generationer kan ha ett negativt K i på grund av att det så kallade överkompensationsproblemet som beskrivs i kapitel 3.6 inte löstes förrän år Innan dess blev inbetalningar som skedde under en balanseringsperiod överkompenserade genom att de fick ta del av den högre uppräkningstakten under slutet av en balanseringsperiod, utan att ha behövt ta del av den lägre uppräkningstakten i början av balanseringsperioden. Eftersom det bara är positiva utfall på K i som är av intresse i detta arbete tas inte de negativa utfallen med i målfunktionen vilket löses av det max-villkor som finns i ekvation (5.2.3). För att lösa optimeringsproblemet kommer stokastisk optimering användas. Genom att simulera olika utfall för K i med Monte Carlo simulering och använda sample average approximation metoden som beskrivs i kapitel 4.3 kan optimeringsproblemet i ekvation (5.2.4) formuleras som min f = min 1 S S s=1 1 N N (max(0, K i,s )) 2 (5.2.4) i=1 där S är antalet Monte Carlo simulerade scenarier och K i,s är den procentuella förlusten för generation i i scenario s. För att fasställa ett långsiktigt avkastningsmål tas en långsiktig tillgångsallokering fram genom att vikterna mellan de olika tillgångarna hålls konstanta över hela tidsperioden, vilket kommer kontrolleras med ett bivillkor. Det kommer även behövas bivillkor som ser till att portföljen följer de lagstadgade placeringsregler som finns för buffertfonderna. Detta medför dock att optimeringsproblemet blir icke-konvext, med flera lokala optimum. Optimeringsproblemet har även mycket hög dimension eftersom optimala vikter i många olika tillgångar ska fastställas. Den höga dimensionen tillsammans med att problemet innehåller flera tidssteg gör att det blir ett mycket stort problem som blir svårt att lösa 54

63 med stokastisk optimering. För att lösa optimeringsproblemet kommer därför problemet först reduceras ner till två variabler och utifrån de två variablerna kan lösningsrummet diskretiseras och hela området kan avsökas genom fullständig enumerering för att hitta en optimal lösning. Detta kommer göras genom att dela upp optimeringsproblemet i två steg, med två olika målfunktioner. I det första steget tas en optimal marknadsportfölj fram utifrån Mean-Variance modellen med riskfri ränta. Genom att maximera Sharpe-kvoten kan en optimal marknadsportfölj beräknas enligt ω m = C 1 (µ r1) (µ r1) T C 1 1 (5.2.5) där ω m är de optimala vikterna för de olika tillgångarna som bygger upp marknadsportföljen, C är kovariansmatrisen för tillgångarna, µ är förväntad avkastning för de olika tillgångarna i portföljen och r är den riskfria räntan. Den optimala marknadsportföljen används sedan som en av variablerna i det andra optimeringsproblemet, där målet är att fastställa en optimal allokering mellan marknadsportföljen och en riskfri placering som ger riskfri ränta, givet att målfunktionen i ekvation (5.2.4) ska minimeras. Eftersom allokeringen bara ska ske mellan marknadsportföljen och den riskfria tillgången, det vill säga två tillgångar, är det möjligt att på ett systematiskt testa olika allokering mellan de två tillgångarna och beräkna målfunktionsvärdet för de olika allokeringarna. Sedan kan den allokering som ger det minsta målfunktionsvärdet identifieras och därmed erhålls en lösning till det icke-konvexa optimeringsproblemet. 5.3 Tillgångar i portföljen Eftersom den optimala långsiktiga tillgångsallokeringen ligger till grund för det långsiktiga avkastningsmålet, kommer de tillgångar som sätter samman Tredje AP-fondens långsiktiga statiska portfölj användas som tillgångsslag i optimeringen. Den långsiktiga statiska portföljen innehåller aktier, nominella och reala statsräntor, krediter i form av bostads- och företagsobligationer av investment grade samt valuta. Portföljen är uppbyggd av likvida tillgångar och ska vara en global marknadsportfölj, men eftersom fonden har sin hemvist i Sverige har en viss home bias lagts till. Den totala valutaexponeringen har av Tredje AP-fondens fastställts till 20 procent, fördelad enligt vikterna i ett globalt aktieindex. Övriga tillgångsslag ska vara valutasäkrade i svenska kronor till 100 procent. Valutasäkringen sker på daglig basis med tremånaders terminskontrakt. Eftersom valutor inte har någon förväntad avkastning på lång sikt kommer valutaexponeringen bortses från i detta arbete och antagandet kommer göras att samtliga tillgångar är valutasäkrade i svenska kronor till 100 procent. Detta medför att arbetet inte kommer ta hänsyn till de skillnader i räntepremier som kan finnas mellan olika länder och de vinster som eventuellt kan göras genom att ta valutarisk. Denna avgränsning görs både för att undvika att behöva simulera utvecklingen för alla världens valutakurser och för att beslut om valutaexponering kan anses vara mer av taktisk karaktär och därmed inte bör göras för längre tidsperioder. Tredje AP-fonden utvärderar sin prestation mot den långsiktiga statiska portföljen. Baserat på antaganden om normal risk och avkastning ska den långsiktiga statiska portföljen kunna generera en real avkastning som på sikt uppfyller Tredje AP-fondens avkastningsmål till acceptabel risknivå, därför anses indexen i den långsiktiga statiska portföljen 55

64 vara bra att använda som tillgångar vid optimeringen i detta arbete. För vissa av indexen är dock historiken kort och för att erhålla längre historik har den långsiktiga statiska portföljen därför approximerats med ett globalt index och ett svenskt index inom varje tillgångsklass. För tillgångsslaget krediter används bara ett globalt index eftersom det inte fanns något svenskt index med längre historik tillgängligt. De index som kommer bygga upp portföljen är: Tillgångsslag Index Variabel Vikt Räntor, Sverige SHB Statsobligationer Government all X 1 9,6 % (HMSG) Räntor, Globalt G7 Government Bond index (W0G7) X 2 28,8 % Aktier, Globalt MSCI All country world index (ACWI) X 3 37,5 % Aktier, Sverige SBX (SBX index) X 4 12,5 % Krediter, Globalt Global Corporate index (G0BC) X 5 5,0 % Inflation, Sverige Swedish Governments Inflation-Linked X 6 1,7 % (G0WI) Inflation, Globalt Global Inflation-linked index (W0GI) X 7 5,0 % Tabell 5.1: Index som kommer användas för att representera Tredje AP-fondens innehav (Tredje AP-fonden, 2016b) Likt beskrivet i avsnitt 5.2 är optimeringsproblemet uppdelat i två steg, där det första steget är att ta fram en optimal allokering för marknadsportföljen. De tillgångar som kommer användas för att bygga upp marknadsportföljen är samtliga av de index som presenteras i tabell Bivillkor Optimeringsmodellen har flera bivillkor som kompletterar målfunktionen. I den första delen av optimeringen, där en optimal marknadsportfölj ska fastställas, finns ett villkor som ser till att summan av alla vikter blir 1, men detta har redan tagits hänsyn till vid framtagandet av ekvation (5.2.5). För den andra delen av optimeringen, där en optimal fördelning mellan marknadsportföljen och den riskfria tillgången ska fastställas, finns flera bivillkor som kompletterar målfunktionen i ekvation (5.2.4). Ett av dem är hur nyckeltalet K i är definierat vilket beskrivs av ekvation (5.1.14). K i beror på när en generation börjar arbeta, pensioneras och dör vilket blir ingående parametrar. Det beror också på förändringen i inkomstindex som beskrivs i ekvation (5.1.2) samt i vilken takt pensionsbehållningar och pensioner skrivs upp vilket är beskrivet i ekvation (3.11.2). Uppskrivningstakten, R t,s, är i sin tur beroende av balanstalet BT t,s som definieras enligt BT t,s = AT t 2,s + BF t 2,s S t 2,s t = 1,..., T s = 1,..., S (5.4.1) där AT t,s är avgiftstillgången vid tidpunkt t i scenario s, som består av framtida inbetalningar av pensionsavgifter vilket är beskrivet i ekvation (3.7.1). S t,s är pensionsskulden 56

65 vid tidpunkt t i scenario s, vilket är beskrivet i ekvation (3.7.12) och buffertfondernas värde BF t,s definieras enligt BF t,s = X R t,s + X M t,s + AN t,s AD t,s t = 1,..., T s = 1,..., S (5.4.2) där X R t,s är kapital investerat riskfritt och X M t,s är är kapital investerat i marknadsportföljen, AN t,s är avgiftsnettot i scenario s och AD t,s är administrationskostnader. Avgiftsnettot beror på hur mycket kapital som tillförts och betalats ut från pensionssystemet och beräknas AN t,s = A t,s U t,s t = 1,..., T s = 1,..., S (5.4.3) där A t,s är avgiftsinkomsten år t i scenario s och U t,s är de totala utbetalningarna år t i scenario s. Det kapital som är investerat i marknadsportföljen och den riskfria tillgången ges av två olika lagervillkor som beror på hur mycket som investerats i tidpunkten innan och hur mycket som köps eller säljs X R t,s = (1 + r)x R t 1,s + X buy/sell,r t,s t = 1,..., T s = 1,..., S (5.4.4) X M t,s = (1 + µ M t,s)x M t 1 + X buy/sell,m t,s t = 1,..., T s = 1,..., S (5.4.5) där r är riskfri ränta, µ M t,s är avkastning från marknadsportföljen i scenario s, X buy/sell,r t,s är hur mycket som köps eller säljs av den riskfria tillgången och X buy/sell,m t,s är hur mycket som köps eller säljs av marknadsportföljen. När tillgångar säljs är variabeln negativ och när tillgångar köps är variablen positiv. För den första perioden finns det inget tillgångsinnehav från föregående period utan detta kommer att definieras som en öppningsposition. Öppningspositionen kommer varieras för att generera olika portföljer som ger olika målfunktionsvärden. Detta görs genom att variera vikten α som tilldelas marknadsportföljen och systematiskt testa tillåtna värden på α. Utifrån α beräknas öppningspositionen enligt X R 0 = (1 α)bf 0 (5.4.6) X M 0 = αbf 0. (5.4.7) X R 0 är öppningspositionen i riskfritt, X M 0 är öppningspositionen för marknadsportföljen och BF 0 är hur mycket kapital bufferfonderna har i dagsläget. Eftersom all vinst återinvesteras och det inte finns någon kassa med likvida medel kommer mängden tillgångar som kan köpas och säljas endast att bero på avgiftsnettot och administrationskosnader enligt X buy/sell,r t,s + X buy/sell,m t,s = AN t,s AD t,s t = 1,..., T s = 1,..., S. (5.4.8) Tillgångsallokeringen kommer inte att förändras över de olika tidsperioderna utan den kommer att vara samma för hela optimeringsperioden. Detta eftersom allokeringen kommer att ligga till grund för beräkningen av det långsiktiga avkastningsmålet för fonderna. För att allokeringen och vikterna mellan de olika tillgånsslagen inte ska förändras mellan olika tidsperioder sätts bivillkor för både riskfria tillgången och marknadsportföljen som fastställer detta 57

66 X R t,s X M t,s + X R t,s = 1 α X R t,s = (X M t,s + X R t,s)(1 α) t = 1,..., T s = 1,..., S. (5.4.9) X M t,s = α X M Xt,s M + Xt,s R t,s = (Xt,s M + Xt,s)α R t = 1,..., T s = 1,..., S. (5.4.10) Villkoren innebär att vikterna i de olika tillgångsslagen måste vara desamma för alla scenarier och tidpunkter. Buffertfonderna har flera lagstadgade placeringsregler som de måste ta hänsyn till i sin placeringsverksamhet. Alla dessa beskrivs mer ingående i kapitel 3.3. De flesta av restriktionerna rör placeringar inom respektive tillgångsslag, exempelvis att varje fond högst får äga 10 procent av rösterna i ett enskilt börsnoterat företag eller att ingen fond får äga mer än 2 procent av det totala marknadsvärdet av svenska aktier noterade på en viss auktoriserad marknadsplats. Eftersom optimeringen i detta arbete endast kommer göras mellan olika tillgångsklasser kommer dessa restriktioner inte behöva tas hänsyn till i detta steg, utan det blir istället något som får tas hänsyn till när allokeringen inom varje tillgångsslag ska fastställas. Den enda placeringsrestriktion som rör ett helt tillgångsslag och behöver tas hänsyn till i optimeringen mellan tillgångslagen är att minst 30 procent av buffertfondernas tillgångar ska placeras i räntebärande värdepapper med låg kreditrisk och god likviditet. I dagsläget räknas alla av Tredje AP-fondens tillgångar inom tillgångsklasserna räntor, krediter och inflation som räntebärande värdepapper med låg kreditrisk och god likviditet och det är därmed dessa tillgångars totala vikt i portföljen, tillsammans med andelen som är investerad i riskfri ränta, som måste vara minst 30 procent. Detta kommer kontrolleras i optimeringen genom att endast testa värden på α som uppfyller bivillkoret 0, 3 α (X 1 + X 2 + X 5 + X 6 + X 7 ) + (1 α) X M 0, 7 α 1 X 1+X 2 +X 5 +X 6 +X 7 (5.4.11) X M De variabler som ska beräknas i varje tidssteg och scenario är X buy/sell,r t,s Insättning av ekvation (5.4.4) och (5.4.5) i ekvation (5.4.10) ger (1 + µ M t,s)x M t 1,s + X buy/sell,m t,s = ((1 + µ M t,s)x M t 1,s + X buy/sell,m t,s och X buy/sell,r t,s. + (1 + r)x R t 1,s + X buy/sell,r t,s )α (1 α)((1 + µ M t,s)xt 1,s M + X buy/sell,m t,s ) = ((1 + r)xt 1,s R + X buy/sell,r t,s )α (5.4.12) t = 1,..., T s = 1,..., S Ekvation (5.4.12) tillsammans med ekvation (5.4.8) ger ekvationssystemet (1 α)((1 + µ M t,s)xt 1,s M + X buy/sell,m t,s ) = ((1 + r)xt 1,s R + X buy/sell,r t,s )α X buy/sell,r t,s + X buy/sell,m t,s = AN t,s AD t,s X buy/sell,r t,s = AN t,s AD t,s X buy/sell,m t,s (1 α)((1 + µ M t,s)xt 1,s M + X buy/sell,m t,s ) = ((1 + r)xt 1,s R + AN t,s AD t,s X buy/sell,m t,s )α X buy/sell,m t,s = ((1 + r)xt 1,s R + AN t,s AD t,s )α (1 α)(1 + µ M t,s)xt 1,s M (5.4.13) t = 1,..., T s = 1,..., S 58

67 På samma sätt erhålls X buy/sell,r t,s = AN t,s AD t,s X buy/sell,m t,s = AN t,s AD t,s (((1 + r)x R t 1,s + AN t,s AD t,s )α (1 α)(1 + µ M t,s)x M t 1,s)) = (1 α)(an t,s AD t,s ) (1 + r)x R t 1,sα + (1 α)(1 + µ M t,s)x M t 1,s) = (1 α)(an t,s AD t,s + (1 + µ M t,s)x M t 1,s) (1 + r)x R t 1,sα (5.4.14) t = 1,..., T s = 1,..., S. Utifrån uttrycken för X buy/sell,m t,s och X buy/sell,r t,s i ekvation (5.4.13) och (5.4.14) kan sedan det investerade kapitalet i marknadsportföljen och den riskfria tillgången, Xt,s M och Xt,s, R beräknas enligt ekvation (5.4.4) och (5.4.5). Dessa värden kan sedan användas för att beräkna målfunktionsvärdet i olika scenarier. 5.5 Tillvägagångssätt och parameterval Optimeringsmodellen är likt tidigare beskrivits uppdelad i två steg. Ett första steg för att fastställa en optimal allokering mellan de tillgångar som ska bygga upp marknadsportföljen och ett andra steg för att sedan fastställa den fördelning mellan marknadsportföljen och en riskfri tillgång som minimerar målfunktionen i (5.2.4). All implementering kommer att göras i programmet Matlab Datahämtning Som ett första steg kommer historiska priser för de olika tillgångarna i portföljen hämtas från databasen Bloomberg. Utifrån de historiska priserna kommer sedan de optimala vikterna beräknas och för att göra detta behövs den förväntade avkastningen för tillgångarna, µ, och kovariansen mellan tillgångarna, C Skattning av förväntad avkastning Den förväntade avkastningen för de enskilda tillgångarna kommer behövas för att beräkna den optimala marknadsportföljen. Skattningen av de förväntade avkastningarna kommer göras genom CAPM. Teorin bakom CAPM beskrivs närmre i kapitel 4.6. Detta ger att den förväntade avkastningen för tillgång j beräknas enligt formeln µ C j = r + β j (µ M r) j = 1,..., 7. (5.5.1) där r är den riskfria räntan, µ M är avkastningen för marknadsportföljen och β j beräknas enligt β j = cov(µ j,t, µ M t ) j = 1,..., 7 t = 1,..., H. (5.5.2) var(µ j,t ) där variansen och kovariansen beräknas enligt de formler som ges i avsnitt H är antalet historiska tidsperioder som används i skattningen av kovariansen och volatiliteten. De flesta av indexen som används har historisk data tillgänglig från januari 1998 och det är därför 18 år och 2 månaders historik som kommer användas för skattningarna. Kovariansen och volatiliteten kommer skattas utifrån månadsvisa observationer vilket ger totalt 59

68 218 observerade värden för varje index att basera beräkningarna på. Som marknadsportfölj kommer den långsiktiga statiska portfölj som Tredje AP-fonden har idag användas och väntevärdet av avkastningen, µ M, kommer beräknas genom 7 µ M = ω j µ A j (5.5.3) j=1 där ω j är den nuvarande vikten i tillgång j och µ A j är medelvärdet av den historiska logaritmiska avkastningen för tillgång j. Den optimala marknadsportföljen erhålls sedan genom formeln ω m = C 1 (µ r1) (µ r1) T C 1 1. (5.5.4) Detta kommer leda till att den optimala portfölj som erhålls är densamma som den marknadsportfölj som användes för att beräkna den förväntade avkastningen enligt CAPM i ekvation (5.5.1). Eftersom det är Tredje AP-fondens nuvarande fördelning mellan olika index inom tillgångsslagen aktier, krediter och inflation som används som marknadsportfölj är det därför denna som kommer erhållas som optimal marknadsportfölj när Sharpekvoten maximeras enligt ekvation (5.2.5), det vill säga Detta gäller eftersom β kan beräknas enligt ω = ω M (5.5.5) β = CωM σ 2 M (5.5.6) vilket tillsammans med ekvation ger portföljavkastningen µ = r + CωM σm 2 Detta tillsammans med ekvation ger (µ M r). (5.5.7) ω = (µ r1)t C 1 1 C 1 (µ r1) = = CωM C 1 (µ M r) σm 2 1 T C 1 CωM σ 2 M CωM (r + (µ M r) r1) T C 1 1 σm 2 C 1 (r + CωM (µ σ M r) r1) M 2 (µ M r) = ωm 1 T ω M = ωm (5.5.8) Eftersom denna portfölj innehåller flera olika tillgångar och är väl diversifierad kan den anses vara en bra marknadsportfölj. Målet med optimeringen blir således att finna en optimal fördelningen mellan denna portfölj och en riskfri tillgång, det vill säga den fördelning mellan riskfyllda och riskfria tillgångar som buffertfonderna bör ha för att minimera förluster och skapa rättvisa mellan generationer Skattning av förväntad varians och kovarians För att skatta den förväntade volatiliteten kommer en likaviktad historisk volatilitet användas. Anledningen till detta är att volatiliteten kommer skattas på årsbasis och att 60

69 använda någon metod som tar hänsyn till volatilitetsklustring, exempelvis EWMA, blir därmed irrelevant eftersom det är lång tid mellan punkterna. Den förväntade volatiliteten kommer skattas enligt σ j = 12 H H (µ j,t µ j ) 2 j = 1,..., 7 (5.5.9) t=1 där µ j,t är den logaritmiska avkastningen för tillgång j under tidsperiod t och µ j är den genomsnittliga logaritmiska avkastningen för tillgång j. Volatiliteten kommer beräknas från månadsvisa observationer som sedan skalas upp för att bli en förväntad volatilitet på årsbasis, därav 12 i täljaren i ekvation (5.5.9). Antalet tidsperioder H kommer sättas till 218, eftersom det likt tidigare beskrivits är så lång historik som finns tillgänglig för flera av indexen. Kovariansen mellan tillgång i och j kommer skattas enligt σ 2 i,j = 12 T T (µ i,t µ i )(µ j,t µ j ) j = 1,..., 7 i = 1,..., 7. (5.5.10) t=1 med samma parametrar som vid skattningen av variansen i ekvation (5.5.9) Optimering och simulering av marknadsportföljen Efter att ha fastställt de optimala vikterna i marknadsportföljen kommer den förväntade avkastningen och volatiliteten för marknadsportföljen att beräknas, för att senare kunna göra Monte Carlo simulering av marknadsportföljens utveckling. Den förväntade avkastningen för portföljen kommer att beräknas utifrån den förväntade avkastningen för de enskilda tillgångarna och de erhållna optimala vikterna på samma sätt som i ekvation (5.5.3). Den förväntade avkastningen på de enskilda tillgångarna kommer beräknas utifrån CAPM: µ C j = r + β j (µ M r) j = 1,..., 7. (5.5.11) där r är den förväntade riskfria räntan, µ M r är den förväntade marknadspremien och β beräknas enligt ekvation (5.5.6). För portföljen blir den förväntade avkastningen därmed 7 7 µ M = ω j µ C j = ω j (r + β j (µ M r)) j=1 j=1 7 7 = ω j r + ω j β j (µ M r) j=1 j=1 = r + (µ M r) (5.5.12) Den förväntade riskfria räntan, r, och riskpremien på marknaden, µ M r, behöver skattas för de kommande 85 åren, eftersom det är så långa prognoser som finns tillgängliga för pensionssystemet. I dagsläget är den riskfria räntan negativ och förväntas vara låg de närmsta åren (Riksbanken, 2016a), men eftersom samtliga av Pensionsmyndighetens prognoser för pensionssystemet antar en inflation på 2 procent, kommer den nominella riskfria räntan i detta arbete antas vara positiv. Den riskfria ränta kommer att antas vara 2 procent i genomsnitt under de närmsta 85 åren. Att differensen mellan inflationen och riskfri ränta antas vara noll beror på att enligt Riksbanken (2016b) och Statistiska centralbyrån (2016a) har medelvärdet för differensen mellan inflation och svenska statsskuldväxlar, med löptid tre månader, de senaste fem åren varit det. Differensen har också 61

70 stundvis varit negativ. Med längre historik har dock den riskfria räntan varit något högre än inflationen. Mellan år 1990 och 2015 har medelvärdet för differensen mellan riskfri ränta och inflation varit 2,4 procentenheter. Därför kommer också tester göras med en högre riskfri ränta i känslighetsanalysen. Marknadspremien, det vill säga skillnaden mellan marknadsportföljens avkastning och riskfri ränta, kommer att sättas till 4 procent i detta arbete vilket dels är baserat på de studier som Ilmanen (2012) gjort av den historiska riskpremien för amerikanska aktier och obligationer, där lång historik finns tillgänglig. En marknadspremie på fyra procent är även baserad på att Tredje AP-fondens långsiktiga statiska portfölj är konstruerad så att den långsiktigt ska avkasta 4 procent realt, vilket innebär 6 procent nominellt om 2 procent inflation antas. Ett antagande om en framtida marknadspremie på 4 procent uppfyller en nominell avkastning på 6 procent om den riskfria räntan är 2 procent, vilket likt tidigare nämnts kommer antas i detta arbete. Den förväntade volatiliteten för portföljen kommer att berknas enligt σ M = ω T Cω (5.5.13) där ω är en vektor med portföljvikter, C är kovariansmatrisen och ω T är transponatet till ω. Kovariansmatrisen kommer att skattas utifrån den historiska data som finns för de index som bygger upp marknadsportföljen och den kommer därför bestå av de varianser och kovarianser som beräknas vid framtagandet av den optimala marknadsportföljen, på samma sätts som beskrivits i avsnitt För att Monte Carlo simulera marknadsportföljens utveckling kommer samtliga av de tre modeller som beskrivs i kapitel 4.4 initialt att testas, det vill säga Geometrisk Brownsk rörelse, jump diffusion och Students t-fördelning. De parametrar som behövs till modellerna kommer estimeras med maximum likelihood-metoden. Genom att simulera många förväntade avkastningar från var och en av de fördelningar som ska testas och sedan jämföra dessa med historisk data i en Quantile-Quantile plot (QQ-plot), går det att avgöra vilken av fördelningarna som bäst passar den historiska datan. Den fördelning som passar bäst kommer sedan användas till att simulera utvecklingen för marknadsportföljen. Simuleringen kommer göras årsvis vilket medför att tidssteget mellan avkastningarna kommer vara ett år. För de tillgångar som finns i marknadsportföljen och beskrivs i avsnitt 5.3 är den historiska datan endast 18 år lång vilket gör det svårt att estimera de parametrar som behövs i en jump diffusion modell samt frihetsgraderna i en t-fördelning. För att få fler datapunkter kan månadsdata istället användas, men detta kan ge missvisande resultat eftersom det kan finnas autokorrelation mellan punkterna. Under en börskrasch exempelvis är det vanligt med stora fall flera månader i rad och månadsavkastningarna är därmed inte oberoende. För att kunna estimera parametrarna utifrån årsvisa avkastningar kommer därmed historisk data för en portfölj bestående av 50 procent svenska aktier och 50 procent obligationer med löptid 5 år (eftersom den genomsnittliga durationen i Tredje AP-fondens långsiktiga portfölj är 5 år) att användas. Historisk data för denna portfölj kommer hämtas från den sammanställning som Waldenström (2014) har gjort över historiska aktiekurser och obligationsräntor i Sverige. Genom att använda denna data kan parametrarna estimeras utifrån 113 historiska datapunkter. Utifrån den valda fördelningen kommer avkastningen i varje tidssteg beräknas enligt de ekvationer som beskrivs i kapitel 4.4. Avkastningen kommer beräknas itterativt för 85 tidsperioder, det vill säga fram till år 2100, eftersom att det är så långa prognoser som 62

71 Pensionsmyndigheten har tillgängligt för pensionssystemet. Denna process kommer sedan upprepas flera gånger för att skapa flera scenarier för marknadsportföljens utveckling. I detta arbete kommer många scenarier behöva genereras eftersom tidsperioden är lång. Exakt hur många scenarier som ska genereras kommer fastställas genom tester, eftersom det är en avvägning mellan beräkningstiden och vilken spridning som erhålls på målfunktionsvärdet. För att minska antalet scenarier som behövs för att erhålla en bra approximation kommer båda de variansreducerande teknikerna Latin hyperkub sampling och antitetisk sampling att testas. Dessa teknik beskrivs närmre i kapitel och Initiala tester kommer göras för att fastställa vilken av dessa tekniker som ger mest stabilt svar och denna teknik kommer sedan användas i alla tester framöver. Latin hyperkub samling kommer implementeras genom att använda kommandot lhsnorm i Matlab för att generera de N(0, 1)-fördelade slumptalen ε och vid den antitetiska samplingen kommer slumptalen istället genereras i par, där det ena slumptalet är en spegling av det andra. Utifrån scenarierna för marknadsportföljens utveckling kan buffertfondernas värde i varje tidssteg beräknas genom att först beräkna de köp- och säljbeslut som ska tas i tidssteget utifrån ekvation (5.4.13) och (5.4.14) och därefter beräkna det nya värdet för buffertfonderna enligt ekvation (5.4.2), (5.4.4) och (5.4.5). Detta kräver även värden på AN t,s och AD t,s, vilka hämtas och beräknas utifrån data från Pensionsmodellen vilket beskrivs närmre i nästa avsnitt. För att beräkna de köp- och säljbeslut som ska tas behövs även andelen α som tilldelas marknadsportföljen. Eftersom optimeringsproblemet är icke-konvext kommer lösningsrummet diskretiseras och olika tillåtna värden för α testas. α kommer starta på 0 och sedan i steg av storleken 0,01 öka upp till det maximalt tillåtna värdet på α, vilket styrs av bivillkoret i ekvation (5.4.11) Hämtning och transformering av pensionsdata Data som behövs för att beräkna pensionssystemets tillgångar och skulder, vilka kommer behövas för att beräkna målfunktionsvärdet, kommer att genereras med hjälp av Pensionsmyndighetens verktyg Pensionsmodellen som gör simuleringar av pensionssystemet. I modellen är befolkningen indelad i kohorter och beskrivs enligt dimensionerna kön, ålder och ursprungsland samt 498 statusgrupper vilket ger en upplösning på Befolkningen simuleras år för år genom att en transitionsmatris beskriver sannolikheter att gå från ett tillstånd till ett annat och datan är baserad på SCB:s befolkningsprognoser. Den demografiska modellen tillsammans antaganden om tillväxter, inflation och avkastning samt det regelsystem som används för att styra pensionssystemet är implementerade i Pensionsmodellen. Från Pensionsmodellen kan framtida värden på avgiftstillgången, buffertfonderna och pensionsskulden erhållas i ett specifikt demografiskt och ekonomiskt scenario. Avgiftstillgången beror inte på buffertfondernas avkastning och därför kommer värdet på denna att hämtas direkt från Pensionsmodellen. Buffertfondernas värde kommer att beräknas enligt ekvation (5.4.2) och värdet på administrationskostnaderna, AD t, kommer hämtas från Pensionsmodellen. Övriga variabler som behövs för att lösa optimeringsproblemet beror på vilken uppskrivningstakt som används på pensionsutbetalningar och pensionsbehållningar och är därmed beroende av buffertfondernas avkastning. Dessa variabler är pensionsskulden S t och pensionsutbetalningarna U t, som i sin tur används för att beräkna avgiftsnettot AN t, balanstalet BT t, uppskrivningstakten R t och buffertfondernas värde BF t. Dessa värden kan därför inte hämtas direkt från Pensionsmodellen utan måste justeras. För att göra detta kommer en ursprungsprognos från Pensionsmo- 63

72 dellen användas som indata. Denna kommer sedan transformeras för att spegla en annan avkastning för buffertfonderna. Fördelen med att göra detta är att det är beräkningsmässigt lättare att transformera en ursprungsprognos jämfört med att generera en fristående prognos. Samtidigt innebär det dock att vissa antaganden måste göras vilket medför att de beräknade värdena inte ger en helt korrekt spegling av pensionssystemets verkliga utveckling. För pensionsutbetalningarna, U t, görs reindexeringen: U 1 t = U 0 t B 1 t B 0 t (5.5.14) där Ut 0 är ursprungsprognosen för utbetalningarna, Bt 1 är det balansindex som impliceras av den nya avkastningen för buffertfonderna, Bt 0 är ursprungsprognosen för balansindex och Ut 1 är den nya prognosen för utbetalningarna. Denna approximering kan göras eftersom utbetalningarna indexeras med balansindex. Under en balanseringsperiod blir utbetalningarna lägre men när balanseringen upphör ska utbetalningarna ske på samma nivå som om balanseringen aldrig inträffat, det vill säga när balansindex är samma i scenario 0 och scenario 1 ska utbetalningarna vara lika stora. Utbetalningarnas storlek beror dock inte bara på balansindex, utan även på att det tillkommer och faller bort pensionärer i systemet. Ekvation (5.5.14) är därför en approximation av det verkliga värdet. För att validera att ekvation (5.5.14) ger en bra approximation av den verkliga utvecklingen av pensionsutbetalningarna har tester genomförts. Detta har gjorts genom att generera åtta olika scenarier för pensionssystemets utveckling i Pensionsmodellen. Fyra av dessa är baserade på Pensionsmyndighetens basscenario och är helt lika förutom att buffertfondernas avkastning skiljer sig och är antingen 0, 1, 1,8 eller 3,25 procent. De andra fyra är baserade på Pensionsmyndighetens pessimistiska scenario och testades med samma fyra antaganden om buffertfondernas avkastning som för basscenariet. Anledningen till att avkastningarna 0, 1, 1,8 och 3,25 procent användes var för att dessa redan fanns inlagda i Pensionsmodellen. Därefter har modellens förmåga att replikera ett scenario testats genom att låta Ut 0 vara utbetalningarna i scenariot där buffertfondernas avkastning är 0 procent och Ut 1 vara utbetalningarna i de andra scenarierna. Det vill säga basscenariot med avkastning 0 procent har försökt replikera basscenariot med avkastning 1, 1,8 och 3,25 procent och det pessimistiska scenariot med avkastning 0 procent har försökt replikera det pessimistiska scenariot med avkastning 1, 1,8 och 3,25 procent. De värden som erhölls på Ut 1 i ekvation (5.5.14) har sedan jämförts med de verkliga värdena på Ut 1 som erhölls från Pensionsmodellen. De procentuella avvikelserna mellan utbetalningarna beräknade enligt ekvation (5.5.14) och de verkliga prognoserna har sammanställts i ett histogram i figur 5.1. Figur 5.1 visar att majoriteten av de beräknade utbetalningarna bara skiljer sig marginellt från den verkliga prognosen. Maximalt blir avvikelsen 0,14 procent och det är framförallt för de pessimistiska scenarierna som det blir en viss avvikelse vilket beror på att det främst är i dessa som balanseringar inträffar. Eftersom avvikelsen blir mycket liten kommer ekvation (5.5.14) att användas till att beräkna utbetalningarna i varje tidpunkt i optimeringsmodellen. 64

73 Figur 5.1: Procentuell avvikelse mellan utbetalningar beräknade enligt ekvation (5.5.14) och verkliga prognoser för utbetalningar För pensionsskulden görs samma reindexering som för utbetalningarna, vilket medför att skulderna beräknas enligt S 1 t = S 0 t B 1 t B 0 t (5.5.15) där Bt 1 är det balansindex som impliceras av den nya avkastningen för buffertfonderna och Bt 0 är ursprungsprognosen för balansindex. För att ekvation (5.5.15) ska gälla borde samtliga delar av pensionsskulden följa samma indexering och varierar med balanssindex med samma tidsindex. Detta är inte fallet i verkligheten, eftersom de pensionsrätter som tjänas in under året inte indexeras förrän året efter. På samma sätt som för utbetalningarna har tester genomförts för att validera att ekvation (5.5.15) ger en bra approximation av den verkliga utvecklingen av pensionsskulden. Den procentuella avvikelsen mellan pensionsskulden beräknad enligt ekvation (5.5.15) och den verkliga prognosen har sammanställts i ett histogram i figur 5.2. Figur 5.2 visar att beräkningen av pensionsskulden enligt ekvation (5.5.15) ger en bra approximation av det verkliga värdet på pensionsskulden. Majoriteten av avvikelserna ligger mycket nära noll procent och ekvation (5.5.15) kommer därför användas till att beräkna pensionsskulden i varje tidpunkt i optimeringsmodellen. 65

74 Figur 5.2: Procentuell avvikelse mellan pensionsskulden beräknad enligt ekvation (5.5.15) och den verkliga prognosen för pensionsskulden Simulering av pensionsystemets utveckling För att modellera pensionssystemets utveckling finns tre huvudscenarier tillgängliga som har tagits fram av Pensionsmyndigheten. Dessa är ett basscenario, som är mest sannolikt, samt ett pessimistiskt och ett optimistiskt scenario. De antaganden som ligger till grund för scenarierna beskrivs i kapitel 3.8 och appendix A.1. Pensionsmyndigheten bedömer att basscenariet är det mest troliga utfallet för pensionssystemet, men de har inte något prediktionsintervall för hur sannolikt det är. I det pessimistiska och optimistiska scenariot har variablerna justerats till det sämre eller till det bättre, men Pensionsmyndigheten har inte tagit fram någon sannolikhetsfördelning mellan scenarierna. Detta gör det svårt att bestämma vilket scenario som ska ligga till grund för att bestämma ett avkastningsmål. Baseras simuleringen enbart på basscenariot, som ser mycket positivt ut enligt de figurer som presenteras i kapitel 3.8, blir avkastningsmålet troligtvis lågt vilket gör att buffertfonderna blir dåligt förberedda för en eventuell negativ utveckling av demografin eller ekonomin. Om utgångspunkten istället är det pessimistiska scenariot, där sannolikheten för förluster är högre, kan det leda till ett högt avkastningsmål där buffertfonderna tar mer risk än vad som är lämpligt. För att sätta ett avkastningsmål som tar hänsyn till alla de olika utfall som kan inträffa måste därför Pensionsmyndighetens scenarier viktas på lämpligt sätt. Det optimala hade varit att ansätta stokastiska processer för alla de variabler används för att beräkna utvecklingen på pensionsskulden och avgiftstillgången, se formler i kapitel och 3.7.1, och sedan simulera olika utfall för pensionssystemet från det. Men eftersom den demografiska modellen är komplex och har hög dimension är det mycket omfattande att modellera variablerna stokastiskt. Ett annat sätt att ta hänsyn till stokastiken i pensionssystemet är att bestämma en sannolikhetsfördelning mellan scenarierna. Pensionsmyndigheten har likt tidigare nämnts ingen egen sannolikhetsfördel- 66

75 ning men deras demografiska modell är baserad på SCB:s befolkningsprognoser. SCB har under 2015 gjort en stokastisk prognos över den framtida befolkningsmängden där de har simulerat olika utveckling för nettomigrationen, dödligheten och fruktsamheten och utifrån det skapat ett huvudalternativ och ett 95-procentigt prediktionsintervall runt huvudalternativet (Statistiska centralbyrån, 2015). Givet att den framtida variationen i de demografiska komponenterna kommer att vara lika frekventa och i samma storleksordning som historiskt kommer det riktiga observerade värdet att vara inom det intervall som visas i figur 5.3. Figur 5.3: SCB:s prognos över framtida befolkningsutveckling med 95-procentigt prediktionsintervall. Hur viktig den demografiska utvecklingen är för pensionssystemets utveckling i de olika scenarierna kan undersökas genom att se vad som skiljer scenarierna åt. Det som skiljer Pensionsmyndighetens tre olika scenarier åt presenteras i tabell 5.2. Tabell 5.2 visar att skillnaderna mellan Pensionsmyndighetens scenarier främst beror på olika antaganden gällande demografins utveckling. Buffertfondernas avkastning kommer simuleras stokastiskt och denna kommer därmed inte bero på vilket av Pensionsmyndighetens scenerier som gäller. Om löneutvecklingen antas vara samma i de olika scenarierna och sysselsättningen antas vara konstant även i det optimistiska scenariot, kommer därför skillnaderna mellan scenarierna endast bero på olika antaganden gällande den demografiska utvecklingen. Detta är användbart eftersom SCB har en stokastisk prognos för demografins utveckling. Genom att anta att alla skillnader beror på demografin och att det finns ett linjärt förhållande mellan demografins utveckling och pensionssystemets utveckling kan SCB:s prognos användas till att skapa en sannolikhetsfördelning för de olika scenarierna. Om antagandet görs att befolkningsutvecklingen är normalfördelad, är SCB:s övre och nedre gränser på prediktionsintervallet två standardavvikelser bort eftersom P (µ 2σ x µ + 2σ) = Φ(2) Φ( 2) 0, 9772 (1 0, 9772) 0, %. (5.5.16) 67

76 Beräkningsgrund Bas Pessimistiskt Optimistiskt Inflation 2 % 2 % 2 % Förändring av 1,8 % 1 % 2 % genomsnittsinkomsten Buffertfondernas 3,25 % 1 % 5,5 % avkastning (realt) Sysselsättning Konstant Konstant SCB:s prognos 2012 Pensionsålder Konstant Konstant Konstant Nativitet 1,88 barn/kvinna 1,66 barn/kvinna 2,10 barn/kvinna Livslängd SCB:s huvudprognos SCB:s låga prognos SCB:s höga pro gnos 2015 Immigration SCB:s huvudprognos SCB:s låga prognos SCB:s höga pro gnos 2015 Emmigration SCB:s huvudprognos SCB:s höga pro- SCB:s låga prognos 2015 gnos Tabell 5.2: Beräkningsantaganden i Pensionsmyndighetens tre scenarier (Tredje APfonden, 2016b) Om Pensionsmyndighetens pessimistiska och optimistiska scenarier för befolkningens utveckling ritas upp tillsammans med SCB:s prognos visar det att Pensionsmyndighetens pessimistiska och optimistiska scenarier ligger långt utanför SCB:s 95-procentiga prediktionsintervall. Tester visar att Pensionsmyndighetens pessimistiska och optimistiska scenarier snarare ligger fyra standardavvikelser bort från SCB:s huvudprognos. SCB:s prediktionsintervall, Pensionsmyndighetens scenarier och befolkningsutvecklingen som ligger 4 standardavvikelser från huvudscenariot visas i figur 5.4. Figur 5.4 visar att Pensionsmyndighetens optimistiska och pessimistiska scenarier ligger ungefär 4 standardavvikelser från SCB:s huvudscenario. Eftersom antagandet gjorts att befolkningsutvecklingen är normalfördelad medför detta att sannolikheten för att en demografisk utveckling som i det pessimistiska scenariot eller sämre händer med sannolikheten P (x µ 4σ) = Φ( 4) 0, , 00317% (5.5.17) Även om denna sannolikhet är låg, är det fortfarande ett försiktigt antagande att det pessimistiska scenariot är 4 standardavvikelser från huvudscenariot baserat på figur 5.4. I detta arbete kommer antagandet göras att det pessimistiska och optimistiska scenariot ligger 4 standardavvikelser från basscenariot. Detta medför att det pessimistiska scenariot kommer vara något mer sannolikt än vad som impliceras av figur 5.4 och därmed tas mer hänsyn till den risken, vilket kan vara lämpligt för buffertfonderna eftersom det framförallt är i pessimistiska utfall som buffertfonderna får en viktig roll. Även antagandet att det pessimistiska och optimistiska scenariot ligger 2 och 3 standardavvikelser från basscenariot kommer att testas i arbetet för att undersöka hur ytterligare försiktighet påverkar det optimala avkastningsmålet. 68

77 Figur 5.4: SCB:s och Pensionsmyndighetens prognoser över framtida befolkningsutveckling. För att generera scenarier för pensionssystemets utveckling kommer ett optimistiskt, pessimistiskt och ett basscenario med samma löneutveckling och sysselsättning simuleras i Pensionsmodellen så att det enda som skiljer scenarierna åt är den demografiska utvecklingen. Antagandet kommer göras att det finns ett linjärt samband mellan demografins utveckling och utvecklingen på pensionsskulden, avgiftstillgången, administrationskostnaderna, balansindex, utbetalningarna och inbetalningarna och varje slumpmässigt scenario för pensionssystemets utveckling kommer att beräknas som en konvexkombination av Pensionsmyndighetens scenarier. För varje scenario som skapas kommer därmed först ett normalfördelat slumptal med väntevärde 0 och varians 1 att genereras, ξ = N(0, 1). (5.5.18) Detta slumptal styr hur mycket som ska viktas till det pessimistiska, optimistiska respektive basscenariot. Om ξ är 0 inträffar basscenariot och om ξ är -1 inträffar en kombination som består till 75 procent av basscenariot och 25 procent av det pessimistiska scenariot och så vidare. För varje scenario och tidpunkt beräknas därmed ett nytt värde på prognosen enligt Z Optimistiskt t ξ 4 4 ξ 4 Z t,s = ZBas t + ξ 4 ZOptimistiskt t 0 ξ < 4 4+ξ 4 ZBas t + ξ essimistiskt ZP 4 t 4 ξ < 0 Zt P essimistiskt ξ < 4 (5.5.19) där Z är prognoser för antingen pensionsskulden, avgiftstillgången, administrationskostnaderna, balansindex, utbetalningarna eller inbetalningarna. För utbetalningarna och skulden görs därefter vidare transformationer enligt de formler som beskrivs i ekvation 69

78 (5.5.14) och (5.5.15). Varje scenario s motsvarar därför en viss demografisk utveckling och en viss utveckling för marknadsportföljen Beräkning av den procentuella förlusten per generation När värden har beräknats för avgiftstillgången, buffertkapitalet och pensionsskulden i olika scenarier s vid tidpunkt t kan uppskrivningstakten för pensionerna vid tidpunkt t i scenario s, R t,s, beräknas utifrån ekvation (3.11.2) och (3.11.4). Genom att upprepa detta för samtliga tidpunkter t och scenarier s kan alla de värden på R s,t som behövs för att beräkna den procentuella förlusten per generation, K i,s, erhållas. För att beräkna K i behövs även historiska och framtida värden på när generationer börjar arbeta, går i pension och dör. Den generation som får sin sista utbetalning år 2016 är de som är födda 1938 vilket betyder att de är den första generationen som bör tas hänsyn till i optimeringen. Dock har denna generation fått en viss del av sin pension i form av ATP vilket innebär att de har fått sina pensionsutbetalningar beräknade på ett annat sätt än de pensionsutbetalningar som beräknas i det nya systemet. Generationer som har fått en del av sina pensionsutbetalningar som ATP är de som är födda mellan år 1938 och Dessa generationer kommer i optimeringen antas ha samma förhållande mellan in- och utbetalningar som i dagens pensionsssystem och vidare kommer det antas att det inte uppstod några orättvisor innan det nya systemet infördes, eftersom det under perioden med ATP inte existerade någon balanseringsmekanism. De som är födda 2015 får enligt prognoser sin sista utbetalning år 2100 och eftersom det är så långa prognoser som finns tillgängliga för pensionssystemet blir de därför den sista generationen som tas hänsyn till i optimeringen. Optimalt sett hade även senare generationer lagts till i optimeringen, för att kunna ta hänsyn till rättviseaspekten mellan ännu fler generationer. Men eftersom det inte finns längre prognoser för pensionssystemet än till 2100 är det inte möjligt att ha med yngre generationer än de födda Debutåldern i arbetslivet har hämtats från den analys som Försäkringskassan (2007) har gjort över genomsnittsåldern för debuten i arbetslivet samt statistik från Pensionsmyndigheten (2012). Debutåldern, A i, har definierats som det år en person först jobbar minst 20 timmar per vecka exklusive de månader som studerande ofta feriearbetar (juni-augusti och december-januari), eftersom feriearbete inte räknas som en riktig debut på arbetsmarknaden och inga större pensionsrätter tjänas in under dessa år. Den genomsnittliga pensionsåldern, P i, har definierats som medelåldern för uttag av ålderspension och är baserad på statistik från Pensionsmyndigheten (2010). Den genomsnittliga pensionsåldern har varit 65 år länge eftersom det har varit norm att gå i pension vid 65 års ålder. Det är möjligt att pensionsåldern kan komma att höjas i framtiden och detta är något som är under utredning (Ds, 2014:12). Men eftersom inga ändringar än så länge är fastställda kommer pensionering vid åldern 65 år användas som prognos i detta arbete även för de generationer som inte har gått i pension än. Det år som en åldersgrupp får sin sista pensionsutbetalning, T i, är baserat på statistik och prognoser från Statistiska centralbyrån (2016b) över den återstående medellivslängden vid 65 års ålder. De historiska och prognostiserade värdena återfinns i appendix A.2. Där presenteras även historiska värden för inkomstindex, vilka kommer användas för att beräkna K i. Utifrån den insamlade datan kommer sedan K i,s beräknas och genom sätta in de olika värdena på K i,s i ekvation (5.2.4) kan ett målfunktionsvärde erhållas för den specifikt ansatta lösningen på α. 70

79 5.5.8 Optimering av fördelning mellan marknadsportfölj och riskfri tillgång Efter att samtliga α har testats kommer det α som ger det lägsta målfunktionsvärdet att ansättas som den optimala lösningen. Detta α beskriver hur mycket som är optimalt att allokera till marknadsportföljen och hur mycket som ska placeras riskfritt. Ett avkastningsmål för buffertfonderna kan sedan erhållas genom att beräkna väntevärdet på den optimala portföljen utifrån väntevärdet på marknadsportföljen, den riskfria räntan och fördelningen mellan dessa: Avkastningsmål = α µ M + (1 α)r (5.5.20) Detta avkastningsmål blir nominellt, eftersom den riskfria räntan och marknadsportföljens avkastning uttrycks i nominella termer. Tredje AP-fonden brukar dock uttrycka sitt avkastningsmål i reala termer och det nominella avkastningsmål som erhålls kommer därför räknas till ett realt avkastningsmål enligt formeln: Avkastningsmål realt = 1 + Avkastningsmål nominellt 1 + inflation En förtydligande bild av tillvägagångssättet ges i figur 5.5 nedan. 1 (5.5.21) 71

80 72 Figur 5.5: Processchema som beskriver tillvägagångssättet

81 5.5.9 Huvudantaganden i optimeringen Huvudsimuleringen som genomförs för att fastställa ett optimalt avkastningsmål kommer att som tidigare nämnt baseras på ett antal antaganden. En sammanfattning över de huvudantaganden som görs är presenterade i tabell 5.3. Parameter Antagande Antal standardavvikelser mellan pessimistiskt- och basscenario 4st Marknadspremien 4 procent Riskfri ränta 2 procent Optimeringens startår 2016 Buffertfondernas startvärde år ,3 miljarder kr Tabell 5.3: Huvudantaganden som görs i optimeringen Analys av känsligheten och styrkan i pensionssystemet Efter att ett optimalt avkastningsmål erhållits kommer tester och utvärdering göras för olika ekonomiska och demografiska scenarier för pensionssystemets utveckling. Syftet med detta är att testa styrkan och känsligheten i pensionssystemet. De aspekter som kommer testas är: Optimalt avkastningsmål i mer pessimistiska scenarier Det optimala avkastningsmålet i mer pessimistiska scenarier kommer tas fram genom att köra optimeringsmodellen givet att endast det pessimistiska scenariot kan inträffa. Tester kommer göras både för det pessimistiska scenariot med låg löneutveckling på 1 procent realt och med en högre löneutveckling på 1,8 procent för att se hur löneutvecklingen påverkar resultatet och pensionssystemets stabilitet. Det kommer även analyseras hur det optimala avkastningsmålet som erhölls i huvudsimuleringen förhåller sig i ett pessimistiskt scenario. Optimalt avkastningsmål i det optimistiska scenariot och basscenariot Genom att köra optimeringsmodellen givet att endast bassccenariot kan inträffa kan kan ett optimalt avkastningsmål erhållas och känsligheten och styrkan för pensionssystemet i basscenariot analyseras. Samma test och analys kommer även göras för det optimistiska scenariot. Andra sannolikheter för det pessimistiska och optimistiska scenarier I huvudsimuleringen antas att det pessimistiska och optimistiska scenariot ligger 4 standardavvikelser från basscenariot. För att analysera påverkan för pensionssystemet om dessa scenarier skulle bli mer sannolika kommer antagandena att det pessimistiska och optimistiska scenariot ligger 2 och 3 standardavvikelser bort att testas och resultatet av detta analyseras. 73

82 Annat startläge för analysen Andra startlägen kommer testas dels genom att sätta buffertfondernas startvärde 20 procent lägre än det är idag, vilket motsvarar de förutsättningar som eventuellt skulle gälla om en börskrasch hade inträffat. Det kommer även testas vilket resultat som hade erhållits om ALM-analysen hade genomförts år 2011, när förutsättningarna för pensionssystemet såg sämre ut. Andra marknadsförutsättningar Andra marknadsförutsättningar kommer testas genom att köra optimeringsmodellen med både en lägre marknadspremie på 2 procent och en högre marknadspremie på 6 procent. Även en annan riskfri ränta kommer testas och detta kommer göras genom att sätta den riskfria räntan till 4,4 procent i optimeringsmodellen, vilket motsvarar den riskfria ränta som gäller om den reala delen av den riskfria räntan är densamma som den varit historiskt. Balanstalets och de olika komponenterna i balanstalets utveckling i olika scenarier Avgiftstillgången, pensionsskulden, buffertfondernas värde och balanstalet kommer analyseras i det optimistiska scenariot, det pessimistiska scenariot, basscenariot samt egna genererade stokastiska scenarier. 74

83 5.6 Optimeringsmodell En sammanställning av optimeringsmodellen och dess parametrar, variabler, målfunktion och bivillkor följer nedan. Parametrar S N T A i P i T i L t I t D i U t,i AT t IP R t,i A t,s AD t,s BF 0 r = Antalet Monte Carlo simulerade scenarier = Antal generationer = Antal tidsperioder som simuleras = År för start av arbete för åldersgrupp i = År för pensionering av åldersgrupp i = År för bortgång av åldergrupp i = Ökning av inkomstindex år t = Inkomstindex år t = Delningstal för generation i = Utbetalningar till generation i år t = Avgiftstillgång år t = Inbetalningar till pensionssystemet för generation i år t = Avgiftsinkomst år t i scenario s = Administrationskostnader år t i scenario s = Buffertkapitalets värde vid start = Avkastning på den riskfria tillgången Stokastiska variabler µ M t,s = Avkastning på marknadsportföljen vid tidpunkt t i scenario s Variabler Xt,s R Xt,s M X buy/sell,m t,s X buy/sell,r t,s α R t,s AN t,s U t,s BT t,s BF t,s S t,s = Kapital investerat i riskfri ränta vid tidpunkt t i scenario s = Kapital investerat i marknadsportföljen vid tidpunkt t i scenario s = Försäljning eller köp i marknadsportföljen vid tidpunkt t i scenario s = Försäljning eller köp i riskfri ränta vid tidpunkt t i scenario s = Andel investerat i marknadsportföljen = Pensionens uppskrivningstakt i tidpunkt t i scenario s = Avgiftsnettot vid tidpunkt t i scenario s = Totala utbetalningarna vid tidpunkt t i scenario s = Balanstalet vid tidpunkt t i scenario s = Kapital i buffertfonderna vid tidpunkt t i scenario s = Pensionsskulden vid tidpunkt t i scenario s Målfunktion min f = min 1 S S s=1 1 N (max(0, K i,s )) 2 N = G (5.6.1) iɛn 75

84 Bivillkor K i,s = 1 Pi B u Ti 1 tτ=u+1 R τ u=a i I u t=p i +1 1,016 t P i L τ 62, 5 ( ) 1 1 1,016 T i P i (Pi A i + 1) i = s = 1..S (5.6.2) I 1 B t 1 t I t 1 BT t+2 I B 3 t 1 t I t 1 B t = I t BT t+2 I B 3 t 1 t I t 1 BT t+2 I B 3 t 1 t I t 1 R t = B t+1 B t (5.6.3) BT t 1, B t 1 I t 1 BT t < 1, B t 1 < I t 1 B t 1 I t 1 BT t > 1, B t 1 < I t 1 B t 1 I t 1 BT t 1, B t 1 < I t 1 BT t < 1, B t 1 I t 1 (5.6.4) BT t,s = AT t 2,s + BF t 2,s S t 2,s t = 1,..., T s = 1,..., S (5.6.5) BF t,s = X R t,s + X M t + AN t,s AD t,s t = 1,..., T s = 1,..., S (5.6.6) AN t,s = A t,s U t,s t = 1,..., T s = 1,..., S (5.6.7) X R t,s = (1 + r)x R t 1,s + X buy/sell,r t,s t = 1,..., T s = 1,..., S (5.6.8) X M t,s = (1 + µ M t,s)x M t 1,s + X buy/sell,m t,s t = 1,..., T s = 1,..., S (5.6.9) X R 0 = (1 α)bf 0 (5.6.10) X M 0 = αbf 0 (5.6.11) AN t,s AD t,s = X buy/sell,r t,s + X buy/sell,m t,s t = 1,..., T s = 1,..., S (5.6.12) X R t,s = (X M t + X R t,s)(1 α) t = 1,..., T s = 1,..., S (5.6.13) X M t,s = (X M t,s + X R t,s)α t = 1,..., T s = 1,..., S (5.6.14) α 0, 7 1 X 1+X 2 +X 5 +X 6 +X 7 (5.6.15) X M 76

85 Kapitel 6 Resultat och analys I detta kapitel presenteras resultatet från optimeringen av avkastningsmålet i olika delsteg. Känsligheten och styrkan i pensionssystemet analyseras också med andra antaganden än i huvudsimuleringen. 6.1 Resultat av marknadsportföljsoptimeringen Det första steget i optimeringen var att ta fram marknadsportföljen genom att maximera Sharpe-kvoten likt beskrivet i ekvation Eftersom tillgångarnas avkastningar estimeras med CAPM blev vikterna i marknadsportföljen samma som i Tredje AP-fondens långsiktiga statiska portfölj vilket också visades i ekvation Volatiliteten i marknadsportföljen blev då 8,14 procent och tillgångarnas avkastning med antagandet om en marknadspermie på 4 procent visas i tabell 6.1. Tredje AP-fondens egna estimeringar av portföljvolatilitet i den långsiktiga statiska portföljen var 8 procent och portföljavkastning var 6 procent nominellt vilket tyder på att den erhållna volatiliteten och avkastningen i marknadsportföljen var rimlig. Tillgångsslag Index µ σ ω Räntor, Sverige SHB Statsobligationer Government all (HMSG) 1,67% 3,97% 9,6 % Räntor, Globalt G7 Government Bond index 1,77% 2,95% 28,8 % (W0G7) Aktier, Globalt MSCI All country world index (AC- WI) 9,85% 16,49% 37,5 % Aktier, Sverige SBX (SBX index) 10,76% 20,77% 12,5 % Krediter, Globalt Global Corporate index (G0BC) 2,71% 3,91% 5,0 % Inflation, Sverige Swedish Governments Inflation- 1,90% 4,60% 1,7 % Linked (G0WI) Inflation, Globalt Global Inflation-linked index 2,59% 4,87% 5,0 % (W0GI) Total portfölj - 6,00% 8,14% 100 % Tabell 6.1: Marknadsportföljens avkastning, volatilitet och vikt 77

86 6.2 Resultat från tester av parametrar Innan en optimal fördelning mellan marknadsportföljen och riskfri ränta kunde fastställas genomfördes tester för att ta fram vilken avkastningsmodell som var bäst för att modellera marknadsportföljens utveckling. Först undersöktes en avkastningsmodell som följer den Geometriska Brownska rörelsen i ekvation (4.4.1) och därmed bygger på antagandet att avkastningar är lognormalfördelade. Detta gjordes genom att generera 1 miljon slumpmässiga avkastningar för en portfölj bestående av 50 procent svenska aktier och 50 procent svenska obligationer med löptid 5 år. Dessa jämfördes sedan med de historiska avkastningarna för portföljen i en QQ-plot som visas i figur QQ-plot normalfördelning 0.3 Kvantiler historisk avkastning Kvantiler normalfördelning Figur 6.1: QQ-plot som jämför historisk data med slumpmässigt genererad, oberoende, normalfördelad data. Figur 6.1 visar att lognormalfördelningsantagandet inte tar hänsyn till att portföljens avkastningar har tjocka svansar. Stora negativa utfall sker oftare än vad lognormalfördelningen förutspår vilket syns i den nedre vänstra delen av QQ-ploten, där de historiska utfallen är ovanför den röda linje som de hade varit på om stickproven kom från samma fördelning. I ett nästa steg undersöktes en avkastningsmodell med t-fördelning, som är en fördelning som tar bättre hänsyn till tjocka svansar. Maximum likelihood-estimering av parametrarna gav att portföljen bäst stämde överens med en t-fördelning med frihetsgrader ν = 7, 33, väntevärde µ = 5, 50% och standardavvikelse σ = 9, 09%. På samma sätt som för testet av lognormalfördelningen jämfördes t-fördelningen med historisk data i en QQ-plot som visas i figur 6.2. För jämförelse visas även samma QQ-plot som erhölls när lognormalfördelningsantagandet gjordes. 78

87 0.4 QQ-plot t-fördelning 0.4 QQ-plot normalfördelning Kvantiler historisk avkastning Kvantiler historisk avkastning Kvantiler t-fördelning Kvantiler normalfördelning Figur 6.2: QQ-plottar som jämför historisk data med slumpmässigt genererad, oberoende, t-fördelad och normalfördelad data Figur 6.2 visar att t-fördelningen är bättre anpassad till den historiska datan än vad normalfördelningen är. Detta syns framförallt i nedre vänstra hörnet, där utfallen är närmre den röda linjen som de hade varit på om stickproven kom från samma fördelning. Students t-fördelning är därmed bättre på att förutspå stora negativa utfall än vad normalfördelningen är. Att t-fördelning passar historisk data bättre går även att se i figur 6.3 som visar de historiska utfallen i ett histogram samt den anpassade t-fördelningen och normalfördelningen Historiska avkastningar Normalfördelning t-fördelning Density Data Figur 6.3: Histogram över den historiska avkastningen samt den anpassade t-fördelningen och normalfördelningen. En annan avkastningsmodell som testades var jump diffusion modellen som beskrevs i kapitel Parametrarna µ, µ hopp, λ, σ och σ hopp estimerades genom maximum likelihoodmetoden och eftersom funktionen visade sig ha flera lokala optima testades 1000 olika 79

88 startlösningar för att hitta ett globalt optimum. De globala optima som erhölls hade följande parametrar: Parameter Värde µ 5,32 % σ 1,68 % λ 1,425 µ hopp 0,38 % σ hopp 8,90 % Tabell 6.2: Parametrar för Jump diffusion modellen. Tabell 6.2 visar att ett hopp med väntevärde 0,38 % och standardavvikelse 8,90 % sker i snitt 1,425 gånger per år. Detta betyder att modellen framförallt fokuserar på utfallen som händer oftare och som är nära väntevärdet för fördelningen, istället för på de negativa utfallen och de tjocka svansarna som händer mer sällan. Detta beror på att utfallen som ligger kring väntevärdet är fler och därmed får högre vikt vid optimeringen. I detta arbete är det framförallt de stora negativa utfallen som bör fångas i modellen eftersom det är dessa som kan bidra till stora förluster och bli problematiska för pensionssystemet. Jump diffusion modellen med de optimala parametrar som estimerades genom maximum likelihood-metoden fångar dock inte dessa utfall. Därför används istället t-fördelningen för att simulera utvecklingen för marknadsportföljen. Som frihetsgrader användes det värde som erhölls i maximum likelihood-skattningen, det vill säga 7,33. Väntevärdet och variansen sattes utifrån historisk data för marknadsportföljen och historiska marknadspremier, likt beskrivet i kapitel 5.5.4, för att bättre spegla dynamiken för de tillgångsslag som Tredje AP-fonden investerar i. För att ta fram den optimala fördelningen testades först alla tillåtna fördelningar mellan marknadsportföljen och den riskfria tillgången och därefter valdes den som gav lägst målfunktionsvärde. De tillåtna lösningarna går från att allt är investerat i riskfri ränta, det vill säga α = 0, till ett maximalt α som styrs av bivillkoret i ekvation (5.4.11). Utifrån den erhållna marknadsportföljen i avsnitt 6.1, beräknades andelen som är investerad i obligationer enligt ω 1 + ω 2 + ω 5 + ω 6 + ω 7 = 9, 60% + 28, 79% + 5, 00% + 1, 70% + 5, 00% = 50% (6.2.1) och utifrån det beräknades det maximala värdet på α enligt ekvation (5.4.11) och blev α 0, 7 1 0, 5 = 1, 4. (6.2.2) Det optimala värdet på α fick därmed ta värden mellan 0 och 1,4 och det var därför dessa värden på α som testades i optimeringen. Ett värde på α på 1,4 implicerar att portföljen har en belåning på 40 procent. Att ha den nivån av belåning i portföljen är inte tillåtet för buffertfonderna, men enligt Tredje AP-fonden kan de nå dessa nivåer av avkastning och risk genom att dels ha en viss belåning och dels investera i mer riskfyllda aktier. Ett α-värde på 1,4 ska därför inte ses som att 40 procent av portföljen är belånad utan istället ses som en specifik nivå av risk och avkastning. På samma sätt 80

89 ska ett α-värde under 1 inte ses som att 1 α faktiskt ska placeras riskfritt, utan snarare som att en lägre nivå av risk och avkastning väljs genom att balansera om portföljen. Optimeringen genomfördes med huvudantagandet att pensionsmyndighetens pessimistiska scenario är 4 standardavvikelser från basscenariot och antalet scenarier varierades för att undersöka när resultatet blev stabilt. Vid scenarier tog optimeringen ungefär 20 timmar och resultatet för tio olika körningar varierade något, med medelvärde 0,035 och standardavvikelse 0, Denna variation ansågs vara rimlig för genomförandet av känslighetsanalysen men för huvudsimuleringen som användes för att fastställa det optimala avkastningsmålet användes en miljon scenarier för att nå högre precision. Initiala tester visade att antitetisk sampling gav stabilare svar än latin hyperkub sampling vilket medförde att antitetisk sampling valdes som variansreducerande teknik till testerna. 6.3 Optimalt avkastningsmål i huvudsimuleringen Optimeringen med en miljon scenarier genererade ett avkastningsmål på 3,6 procent realt. Optimeringen genomfördes fem gånger vilket gav resultaten 3,57 procent i fyra av simuleringarna och 3,61 procent i en simulering. Optimalt α blev 0,91 respektive 0,92 vilket innebär att ungefär 90 procent av fondernas innehav investeras i marknadsportföljen. Nyckeltalet K, som visar hur mycket en generation procentuellt sett inte får i pensionsutbetalningar i förhållande till hur mycket som betalas in, ser ut som i figur 6.4 för olika α. Figuren visar nyckeltalet för ett genomsnitt av alla scenarier vilket medför att det inte syns några stora negativa utfall eftersom det är störst sannolikhet för en positiv utveckling av pensionssystemet. Vid det optimala α-värdet 0,91 är det de äldre generationerna som är födda mellan 1938 och 1949 som gör störst procentuellt förlust på grund av balansering. Denna förlust gör de oavsett vilken risk som tas vilket beror på att de redan fått pensionsutbetalningar under en balanseringsperiod. Dessa förluster kan därför ses som deterministiska och de kompenseras inte för eftersom pensionen är utbetald. Den yngsta generation som har en viss del deterministiska förluster är de som gick i pension 2014 och är födda Denna generation fick en pensionsutbetalning under 2015 vilket var ett år då det skedde balansering. Generationer födda efter 1949 förväntas få en överkompensation som uppstår på grund av att de gjort inbetalningar under en period då balansindex försöker komma ikapp inkomstindex, se kapitel 3.6 för en mer ingående förklaring av överkompensation. Den sista generationen som får ta del av överkompensationen är de som är födda 1992 och börjar arbeta och göra pensionsinbetalningar under Överkompensationsproblemet löstes först år 2015 då en ny lag trädde i kraft och nya beräkningsregler infördes. Denna överkompensation kommer att synas i samtliga de bilder som visar nyckeltalet K i detta kapitel. De generationer som framförallt gynnas av ett låg risktagande, det vill säga ett lågt α, är de som är födda mellan 1940 och Vid ett högt avkastningsmål finns en högre risk för att det uppstår förluster under dessa generationers pensionsutbetalningar som de inte kan kompenseras för. Dock gynnas de inte av ett alltför lågt risktagande. Det α som ger minst förluster för dessa generationer är α som ligger kring 0,4. Att de gynnas av att ta en viss risk beror på att de kommer att få utbetalningar under de närmsta 81

90 Figur 6.4: Nyckeltalet K med procentuell förlust på y-axeln och generationer på x-axeln. Linjerna beskriver risknivån i form av α. Optimalt α = 0, 91 är den svarta streckade linjen. åren som förväntas vara en balanseringsperiod. En högre avkastning innebär då att balansindex skulle komma ikapp inkomstindex snabbare vilket medför att de får mindre förluster. Yngre generationer som är födda mellan år 1993 och 2015 gynnas av ett högt risktagande och en högre avkastning. Detta då det på lång sikt är störst sannolikhet att en hög avkastning kompenserar för eventuella förluster. Att det finns risk för balansering de närmsta åren är inte lika viktigt för dessa generationer eftersom de med största sannolikhet hinner kompenseras innan de får sin första pensionsutbetalning. I figur 6.4 syns också att generationer mellan 1950 och 1968 skulle få en större kompensation vid ett lägre risktagande men denna negativa förlust tas inte hänsyn till vid optimeringen då detta är en vinst. Samma sak gäller för generationerna mellan 1969 och 1993 som skulle få en större negativ förlust, det vill säga vinst, vid ett högt risktagande. Pensionssystemet kommer mest sannolikt inte att stå inför stora påfrestningar vilket medför att buffertfondernas eventuella förluster inte får så stor påverkan för systemet. Detta innebär att vilken risknivå de tar inte spelar så stor roll för systemets stabilitet vilket syns i figur 6.4 då förlusterna är ungefär lika stora oavsett val av α. Dagens avkastningsmål på 4 procent motsvarar ett α som är 1. I figuren är det den mörkgröna linjen vilken ligger något över det optimalt α för äldre generationer födda mellan år 1939 och Optimalt α ger också mindre förluster men detta är svårt att se i figuren då skillnaden 82

91 för förlusterna mellan de olika värdena på α är små. Det optimala α som genereras i optimeringen ger ett avkastningsmål som både tar hänsyn till att äldre generationer gynnas av en lägre risknivå och att yngre generationer får mindre förluster av en hög risknivå. Den streckade linjen i figur 6.4 visar på att modellen gör en avvägning mellan hög och låg avkastning då den inte tar maximal eller minimal risk. Balanstalet förväntas utvecklas som i figur 6.5 där det syns att oavsett risktagande så förväntas pensionssystemet vara stabilt på lång sikt. I närtid under år 2019 och 2020 är det låga α under 0,4 som ger balansering då det med låg avkastning inte hunnit utvecklats en stor kapitalbuffert för påfrestningar. Figur 6.5: Balanstalet med år på x-axeln. Linjerna beskriver risknivån i form av α där optimalt α = 0, 91 är den svarta streckade linjen. I figur 6.6 syns buffertfondernas logaritmiska prognostiserade utveckling som ett medelvärde av de olika scenarierna för olika α. Vid samtliga α förväntas fonderna att utvecklas positivt. Utvecklingen beror inte bara på den genomsnittliga avkastningen för de olika risk nivåerna utan även på avgiftsnettot som också förväntas att ha en positiv utveckling. Eftersom det är ett genomsnitt över alla scenarion som visas i figuren syns inget negativt scenario då det är störst sannolikhet för att bufferfonderna har en positiv utveckling. 83

92 Figur 6.6: Buffertfondernas logaritmiska prognostiserade utveckling, år på x-axeln. Linjerna beskriver risknivån i form av α. Optimalt α 0,91 är den svarta streckade linjen. 6.4 Känslighet och styrka i pensionssystemet Känsligheten och styrkan testades genom att variera flera olika parametrar och studera hur olika variabler utvecklades. Resultatet av dessa tester presenteras i avsnitten nedan Optimalt avkastningsmål i basscenariot Basscenariot för pensionssystemets utveckling speglar den utveckling som Pensionsmyndigheten anser är mest trolig. För att testa vilket avkastningsmål som skulle vara optimalt givet att den demografiska och ekonomiska utvecklingen i basscenariot var deterministisk, och att den enda stokastiken i pensionssystemet var avkastningen för buffertfondernas tillgångar, kördes optimeringsmodellen med bivillkoret att det endast var basscenariot som kunde inträffa. Resultatet blev att det optimala avkastningsmålet för buffertfonderna är 1,3 procent realt, vilket motsvarar ett α på 0,32. Anledningen till att avkastningsmålet blir lågt är att pensionssystemet utvecklas mycket positivt i basscenariot, även om buffertfonderna har låg avkastning. Om en prognos för pensionssystemet genereras i Pensionsmodellen, med samma antaganden som i basscenariot men med en real avkastning på 1 procent (eftersom 1 procent är det förinställda val i Pensionsmodellen som ligger närmst det optimala värdet 1,3 procent), utvecklas, skulderna och tillgångarna enligt figur

93 Figur 6.7: Tillgångarna och skuldernas utveckling i basscenariot, givet att buffertfonderna avkastar 1 procent realt. Figur 6.7 visar att även om buffertfonderna avkastar 1 procent, överstiger tillgångarna skulderna under hela framskrivningsperioden. Detta medför att balanseringen aldrig aktiveras och därför gör heller inga generationer några förluster. Det finns därmed ingen uppsida med att buffertfonderna tar mer risk för de generationer som studerats och det optimala avkastningsmålet blir 1,3 procent realt. Detta illustreras även i figur 6.8, där den genomsnittliga procentuella förlusten för olika generationer vid olika nivåer på α visas. I figur 6.8 syns att det nästan enbart är de generationer som är pensionärer idag som påverkas av vilket avkastningsmål som väljs. Yngre generationer gör nästan inga förluster alls vilket beror på att avgiftstillgången och pensionsskulden utvecklas så positivt i basscenariot att buffertfondernas avkastning inte kan leda till några förluster, oavsett vilken nivå på α som väljs. Även för de äldre generationerna blir den genomsnittliga förlusten ungefär lika stor oavsett vilket avkastningsmål som väljs vilket beror på att de har varit pensionärer under en balanseringsperiod och därmed har en del deterministiska förluster. Men det går att se i figur 6.8 att ett högt värde på α ger lite högre förlust för dessa generationer vilket beror på att balanstalet i dagsläget är nära 1 och en stor förlust i buffertfondernas portfölj skulle därför leda till att balanseringen aktiveras vilket leder till ytterligare förluster för dessa generationer. Från och med år 2038 är avgiftstillgången större än pensionsskulden i basscenariot, vilket går att se i figur 6.7. Detta betyder att buffertfonderna på sikt inte behövs för att undvika balanseringsförluster i basscenariot. Pensionsssystemet ser därmed mycket starkt ut i basscenariot. Men samtidigt visar figur 6.7 att buffertfonderna på sikt utgör en liten del av pensionssystemet om de avkastar 1 procent. En viss ökning av buffertfondernas värde 85

94 Figur 6.8: Genomsnittliga procentuella förlusten per åldersgrupp i basscenariot vid olika värden på α sker på grund av att avkastningen samt att avgiftsnettot är positivt, men avgiftstillgången och pensionsskulden ökar i en mycket högre takt. Detta medför att om en negativ utveckling av demografin eller ekonomin skulle ske är buffertfonderna dåligt förberedda inför det. Pensionsskulden och avgiftstillgången är i slutet av framskrivningsperioden ungefär sex gånger större än buffertfondernas värde. Detta medför att om avgiftstillgången skulle sjunka drastiskt, på grund av exempelvis ökad arbetslöshet, är risken hög för att balanseringen aktiveras eftersom buffertfonderna är för små i förhållande till avgiftstillgången för att kunna motverka balansering. Detta gör att det är relevant att inte bara ta hänsyn till basscenariot vid fastställandet av ett optimalt avkastningsmål, utan även väga in att ett mer pessimistiskt scenario kan inträffa, där större krav ställs på buffertfonderna Optimalt avkastningsmål i det pessimistiska scenariot Pensionsmyndighetens pessimistiska scenario visar en utveckling av pensionssystemet med negativa antaganden för demografin och ekonomin. Detta scenario påfrestar systemet och gör det mer instabilt än basscenariot. Det är i detta scenario som det framförallt ställs krav på buffertfondernas avkastning. För att ta fram ett optimalt avkastningsmål givet det pessimistiska scenariot genomfördes optimeringen med antagandet att endast det pessimistiska scenariot kunde inträffa. För att analysera löneutvecklingens påverkan testades det pessimistiska scenariot både med låg löneutveckling på 1 procent och den högre löneutvecklingen på 1,8 procent som antas i basscenariot. Optimeringen resulterade i ett avkastningsmål på 5,0 procent realt när löneutvecklingen är låg och 5,3 procent realt när löneutvecklingen är högre. Eftersom det pessimistiska scenariot skulle innebära framtida påfrestningar på systemet, krävs en hög avkastning för att minimera risken 86

95 för balansering och det blir därför optimalt med ett högt avkastningsmål. Att ett högre avkastningsmål blir optimalt när löneutvecklingen är högre beror på att pensionerna i normalfallet skrivs upp med inkomstindex och därmed ökar både avgiftstillgången och pensionsskulden med inkomstindex. Detta ställer krav på att även buffertfonderna ska öka åtminstone i takt med inkomstindex om balansering ska motverkas, vilket medför att en högre löneutveckling ställer större krav på buffertfondernas utveckling. En högre löneutveckling påverkar därför pensionssystemets stabilitet negativt. De procentuella förlusterna per generation i det pessmistiska scenariot visas i figur 6.9 nedan. Figur 6.9: Genomsnittliga procentuella förlusten per åldersgrupp i det pessimistiska scenariot vid olika värden på α. Figur 6.9 visar att samtliga generationer gör förluster oavsett vilket val av avkastningsmål som görs, vilket beror på att systemet är svagt i det pessimistiska scenariot. Framförallt är det de låga värdena på α, och därmed de låga avkastningsmålen, som skapar stora förluster. Den minsta genomsnittliga förlusten erhålls när α är 1,4, men anledningen till att det inte är detta α som är optimalt beror på målfunktionens utformning. I målfunktionen kvadreras samtliga förluster och sedan tas medelvärdet, vilket skiljer sig från det som visas i figur 6.9 där det genomsnittliga värdet på förlusten presenteras. Ett α-värde på 1,4 medför hög marknadsrisk och eftersom scenarier slumpas kommer flera av dessa innehålla stora förluster. När förlusterna sedan kvadreras blir de ännu större vilket medför att ett α-värde på 1,4 inte blir optimalt, även om det ser ut som ett bättre val i figur 6.9. Från figur 6.9 går det även att analysera hur det optimala avkastningsmål som erhölls i avsnitt 6.3 samt det avkastningsmål som Tredje AP-fonden har idag förhåller sig i ett pessimistiskt scenario. I avsnitt 6.3 blev ett α-värde på 0,91 optimalt och figur 6.9 visar att både detta α-värde och det α-värde som Tredje AP-fonden har idag, det vill säga 87

96 α = 1, i snitt ger förluster mellan 6 och 8 procent för de yngre generationerna. Detta beror på att dessa α-värden ger för låg avkastning för att motverka balansering. Om buffertfonderna istället skulle hålla det avkastningsmål som är optimalt i basscenariot, det vill säga 1,3 procent samtidigt som det pessimistiska scenariot inträffar, blir pensionssystemets utveckling mycket negativ. Enligt den prognos för pensionssystemet som genereras i Pensionsmodellen, med samma antaganden som i det pessimistiska scenariot men med en real avkastning på 1 procent, utvecklas skulderna och tillgångarna enligt figur Figur 6.10: Tillgångarna och skuldernas utveckling i det pessimistiska scenariot, givet att buffertfonderna avkastar 1 procent realt. Figur 6.10 visar att tillgångssidan, det vill säga AT+BF, ligger mycket nära pensionsskulden under hela framskrivningsperioden och att balansering sker flera gånger. Detta innebär att systemet är instabilt och utsatt för ständiga påfrestningar. Buffertfonderna får frekvent göra utbetalningar vilket syns då storleken på deras kapital minskar. Avgiftstillgången är efter år 2053 större än pensionsskulden vilket skulle innebära att ingen balansering borde ske. Dock är buffertfondernas värde då negativt vilket medför att balanstalet går under 1. Att buffertfonderna får ett negativt värde beror på att avgiftsnettot varit negativt under många år och att bufferfonderna blivit belånade. För att motverka detta krävs att buffertfonderna växer och att avkastningsmålet inte sätts till de låga nivåer som blir optimala i basscenariot och det optimistiska scenariot. Om buffertfonderna istället avkastar 5,5 procent realt i det pessimistiska scenariot utvecklas skulderna och tillgångarna enligt figur Datan i figur 6.11 är genererad i Pensionsmodellen och utgår från ett pessimistiskt scenario där avkastningen justerats till 5,5 procent, eftersom 5,5 procent är ett av få förinställda värden som går att testa i Pensionsmodellen. 88

97 Figur 6.11: Tillgångarna och skuldernas utveckling i det pessimistiska scenariot, givet att buffertfonderna avkastar 5,5 procent realt. Figur 6.11 visar att om buffertfonderna avkastar 5,5 procent realt blir tillgångarna i pensionssystemet större än skulderna på sikt även i ett pessimistiskt scenario. Buffertfonderna blir även större än både avgiftstillgången och pensionsskulden och blir därmed den största komponenten i balanstalet. Ett avkastningsmål över 5 procent realt medför dock hög risk för förluster, vilket inte visas i figur 6.11 eftersom Pensionsmodellen inte tar hänsyn till marknadsrisk. Anledningen till att ett högt avkastningsmål ändå blir optimalt i det pessimistiska scenariot kan dels bero på att t-fördelningen underskattar risken för negativa utfall, vilket går att se i QQ-plotten i figur 6.2. Det beror även på att de förluster som kan göras på grund av att pensionsskulden och avgiftstillgången utvecklas åt fel håll är större än de förluster som buffertfonderna gör vid negativ utveckling på de finansiella marknaderna eftersom avgiftstillgången och pensionsskulden i dagsläget är mycket större än buffertfonderna, och ett negativt utfall ett år för buffertfonderna ofta vägs upp av en positiv utveckling åren innan och efter. De antaganden som ligger till grund för Pensionsmyndighetens pessimistiska scenario är alla mer negativa än i det mest troliga basscenariot. Bland annat antas befolkningsprognosen vara mycket lägre, vilken styr pensionssystemets utveckling till stor del. Pensionsmyndighetens pessimistiska befolkningsprognos låg utanför SCB:s prognos med ett 95-procentigt prediktionsintervall. Detta indikerar att det pessimistiska scenariot kommer att inträffa i mindre än 97,5 procent av utfallen. Baserat på enbart befolkningsprognosen låg det pessimistiska scenariot ungefär fyra standardavvikelser bort vilket medför att det är ett mycket osannolikt scenario. Sammantaget visar resultaten i detta avsnitt att pensionssystemet är svagt i det pessimistiska scenariot och buffertfondernas avkastning får en mer betydande roll för systemets stabilitet. Vid låg avkastning är risken för ba- 89

98 lansering hög och samtliga av de yngre generationerna gör förluster. Dock är det värt att beakta att sannolikheten för att det pessimistiska scenariot ska inträffa är mycket låg, och att sätta ett avkastningsmål enbart baserat på det pessimistiska scenariot innebär att buffertfonderna exponerar sig för onödigt mycket marknadsrisk Optimalt avkastningsmål i det optimistiska scenariot I det optimistiska scenariot utvecklas pensionssystemets stabilitet mycket positivt och detta scenario är det som ställer minst krav på buffertfonderna. För att ta fram ett optimalt avkastningsmål givet det optimistiska scenariot genomfördes optimeringen med ett bivillkor som såg till att endast det optimistiska scenariot kunde inträffa. Detta ledde till att det optimala avkastningsmålet blev 1,1 procent realt, det vill säga något lägre än i basscenariot. Den procentuella förlusten per generation i det optimistiska scenariot visas i figur 6.12 nedan. Figur 6.12: Genomsnittliga procentuella förlusten per åldersgrupp i det optimistiska scenariot vid olika värden på α. Figur 6.12 visar att oavsett vilket val av avkastningsmål som görs blir förlusterna i princip obefintliga för de yngre generationerna. Detta beror på att pensionssystemet utvecklas mycket positivt i det optimistiska scenariot, och en eventuell förlust för buffertfonderna får därmed ingen större påverkan på systemets stabilitet. De generationer som gör förluster är de som är födda innan 1949, eftersom dessa generationer har varit pensionärer under en balanseringsperiod och därmed gjort förluster under denna period. Det är därmed dessa generationers förluster som styr vilket avkastningsmål som blir optimalt. I det optimistiska scenariot bidrar demografins positiva utveckling till att balanseringsperioden som pågår just nu tar slut fortare och därför blir ett lite lägre avkastningsmål optimalt i 90

99 detta scenario jämfört med basscenariot. Sammantaget är pensionssystemet mycket starkt i det optimistiska scenariot och på sikt får buffertfondernas avkastning en närmast obetydlig roll för systemets stabilitet. Dock är det optimistiska scenariot inte särskilt relevant för buffertfonderna eftersom det dels inträffar med låg sannolikhet och dels inte ställer några krav på buffertfonderna på sikt. Eftersom buffertfondernas roll främst är att agera buffert när det uppstår underskott i systemet bör det optimistiska scenariot därmed ha en mycket liten roll vid fastställandet av det optimala avkastningsmålet Analys av komponenterna i balanstalet Balanstalet är det som främst styr hur stora de olika generationernas förluster blir, eftersom det är balanstalet som avgör när balanseringen aktiveras och hur länge balanseringsperioden pågår. De olika komponenenterna i balanstalet är avgiftstillgången, pensionsskulden och buffertfonderna och i detta avsnitt har de analyserats var för sig. Som utgångspunkt för all modellering av avgiftstillgången och pensionsskulden i detta arbete har Pensionsmyndighetens bas, pessimistiska och optimistiska prognoser använts och dessa prognoser visas i figur 6.13a och 6.13b nedan. (a) Avgiftstillgången i tre scenarier (b) Pensionsskulden i tre scenarier Figur 6.13: Utvecklingen av avgiftstillgången och pensionsskulden i Pensionsmyndighetens tre scenarier mellan 2015 och Figur 6.13 visar att det är stor skillnad mellan avgiftstillgångens och pensionsskuldens utveckling i de olika scenarierna. I detta arbete har, likt tidigare nämnts, stokastiken för avgiftstillgångens och pensionsskuldens utveckling hanterats genom att generera slumpmässiga utvecklingar som ligger mellan det optimistiska och det pessimistiska scenariot. Väntevärdet för utvecklingen är den utveckling som sker i basscenariot och flest utfall hamnar därför runt de gröna linjerna i figur 6.13a och 6.13b, med några utfall som är bättre och några som är sämre. Den tredje komponenten i balanstalet, det vill säga buffertfondernas värde, har modellerats stokastiskt utifrån förväntad avkastning och risk på de finansiella marknaderna. Exempel på hur slumpbanorna kan se ut visas i figur 6.14 nedan, där 100 olika slumpbanor har genererats utifrån en t-fördelning med väntevärde 6 procent, standardavvikelse 8,14 procent och 7,33 frihetsgrader. Eftersom väntevärdet är 91

100 positivt får vissa slumpbanor mycket positiv utveckling på längre sikt och för att tydligare kunna se rörelserna visas därför både en kortare tidshorisont på 20 år och den längre tidshorisonten på 87 år, vilken är den som används i optimeringen. 7 Slumpvägar för avkastningen 1200 Slumpvägar för avkastningen Total utveckling (startvärde=1) Total utveckling (startvärde=1) Tid framåt Tid framåt Figur 6.14: Slumpbanor för avkastningen närmsta 20 respektive 87 åren. Figur 6.14 visar att även om förluster inträffar enskilda år, gör avkastningens positiva väntevärde att utvecklingen på sikt är positiv. Denna avkastning, tillsammans med avgiftsnettot och administrationskostnaderna, påverkar buffertfondernas utveckling som visas i figur Buffertfondernas värde Buffertfondernas värde Kronor 2 Kronor År framåt År framåt Figur 6.15: Slumpbanor för buffertfondernas värde närmsta 20 respektive 87 åren givet att allt kapital är investerat i marknadsportföljen. Eftersom både avkastningen och avgiftsnettot utvecklas positivt på längre sikt, ökar buffertfondernas värde i nästan samtliga av de 100 genererade slumpbanorna. Detta gör att även om buffertfonderna tar mycket risk och väljer ett högt avkastningsmål, ökar fondernas värde på sikt. Ett negativt utfall ett år i en slumpbana vägs upp av att utfallen innan eller efter ofta är positiva, vilket gör att den långsiktiga utvecklingen av buffertfonderna blir positiv i samtliga av de genererade slumpbanorna i figur Dock bör det hållas i åtanke att figur 6.15 för illustrations skull endast visar 100 slumpanor, och i de 92

101 tester som gjorts för att ta fram ett optimalt avkastningsmål har eller 1 miljon slumpbanor använts och då kommer några av dessa generera mer negativ utveckling än den som visas i figur Den positiva utvecklingen av buffertfondernas värde förklarar varför ett så pass högt avkastningsmål som 3,6 procent blir optimalt i huvudsimuleringen trots att basscenariot indikerar att 1,3 procent hade varit optimalt och det pessimistiska scenariot som ställer högre krav är mycket osannolikt. Ett högt avkastningsmål idag gör att den nu pågående balanseringsperioden tar slut fortare, och på längre sikt får ett högt avkastningsmål inga större negativa konsekvenser eftersom avgiftstillgången och pensionsskulden utvecklas positivt och förluster i buffertfondernas portfölj enskilda år vägs upp av positiv avkastning under åren innan och efter. Om 100 scenarier genereras för avgiftstillgången, pensionsskulden och buffertfondernas utveckling kan 100 scenarier för balanstalets utveckling beräknas vilket visas i figur Balanstalet Balanstalets nivå Tid framåt Figur 6.16: Slumpbanor för balanstalets utveckling under de närmsta 87 åren. Det svarta, raka strecket motsvarar nivån 1. Att balanstalets utveckling blir så positiv som figur 6.16 visar beror på att avgiftstillgången och pensionsskulden i de flesta fall får en utveckling som ligger nära basscenariot och likt tidigare nämnts är utvecklingen dessa komponenter positiv i basscenariot. Buffertfondernas utveckling är också positiv på sikt i samtliga av de 100 slumpbanorna vilket ytterligare bidrar till de höga värdena på balanstalet i figur Även här bör det dock nämnas att om fler scenarier hade genererats hade troligtvis några av dessa fått en mer negativ utveckling vilket förklarar att det ändå blir vissa förluster när simuleringen med huvudantagandena görs i avsnitt Andra sannolikheter för det pessimistiska och optimistiska scenariot I huvudsimuleringen antogs att det pessimistiska och optimistiska scenariot låg 4 standardavvikelser bort, baserat SCB:s prediktionsintervall för den demografiska utvecklingen. 93

102 Att det finns ett samband mellan den demografiska utvecklingen och utvecklingen för pensionsskulden och avgiftstillgången är tydligt, men att detta samband är linjärt är ett antagande som gjorts i detta arbete för att kunna modellera utvecklingen för pensionsskulden och avgiftstillgången stokastiskt. I verkligheten kan sannolikheten för det pessimistiska och optimistiska scenariot vara både högre och lägre än vad som antagits i detta arbete. Det optimistiska scenariots sannolikhet får ingen större påverkan på avkastningsmålet eftersom det optimala avkastningsmålet nästan är samma i det optimistiska scenariot som i basscenariot. Sannolikheten för det pessimistiska scenariot kan däremot få påverkan för hur stora förlusterna blir. Om sannolikheten är lägre än vad antagandet att det ligger 4 standardavvikelser bort implicerar, medför det bara att buffertfonderna är extra förberedda för ett pessimistiskt scenario vilket kan vara lämpligt eftersom det främst är vid en negativ utveckling som de behövs. Men om sannolikheten för det pessimistiska scenariot däremot är högre än den antagna sannolikheten medför det att buffertfonderna kan vara dåligt förberedda inför en eventuell negativ utveckling av pensionsskulden och avgiftstillgången. För att testa hur en högre sannolikhet för mer extrema utfall skulle påverka systemet kördes därför optimeringsmodellen med antagandet att det pessimistiska och optimistiska scenariot låg 3 standardavvikelser bort samt 2 standardavvikelser bort. Resultatet av detta blev att det optimala avkastningsmålet blev 4,8 procent realt när det pessimistiska och optimistiska scenariot låg 3 standardavvikelser bort och 5,3 procent när de låg 2 standardavvikelser bort. Detta kan jämföras med det optimala avkastningsmålet som erhölls när huvudantagandena användes, som blev 3,6 procent. Den procentuella förlusten per generation visas i figur 6.17 och Figur 6.17: Genomsnittliga procentuella förlusten per åldersgrupp i basscenariot vid olika värden på α givet att det optimistiska och pessimistiska scenariot ligger 3 standardavvikelser bort. 94

103 Figur 6.18: Genomsnittliga procentuella förlusten per åldersgrupp i basscenariot vid olika värden på α givet att det optimistiska och pessimistiska scenariot ligger 2 standardavvikelser bort. Figur 6.17 och 6.18 visar att buffertfondernas val av avkastningsmål blir viktigare när sannolikheten för det pessimistiska scenariot ökar, eftersom det blir större skillnad mellan vilka förluster som görs för olika nivåer på α. Nyckeltalet K för huvudsimuleringen som visas i figur 6.4 har mindre spridning på förlusterna och därmed får valet av avkastningsmål mindre betydelse för vilken förlust en generation gör. Jämförelsen mellan figurerna 6.4, 6.17 och 6.18 visar även att ju högre sannolikhet det pessimistiska och optimistiska scenariot får, desto större förluster gör de yngre generationerna och det blir även fler generationer som gör förluster eftersom nyckeltalet K skär x-axeln tidigare. Detta är logiskt eftersom en högre sannolikhet för det pessimistiska scenariot medför ökade förluster. De äldre generationerna som är pensionärer nu påverkas inte nämnvärt när sannolikheten för det pessimistiska och optimistiska scenariot ändras vilket beror på att de redan har fått utbetalningar och deras förluster därmed till viss del är deterministiska. Anledningen till att det optimala avkastningsmålet blir så pass mycket högre när sannolikheten för det pessimistiska och optimistiska scenariot ökar beror på samma anledningar som ledde till att det blev ett högt avkastningsmål i det pessimistiska scenariot i avsnitt Alltså dels att t-fördelningen underskattar risken för negativa utfall för buffertfondernas portfölj och dels att de förluster som kan göras på grund av att pensionsskulden och avgiftstillgången utvecklas åt fel håll är större än de förluster som buffertfonderna gör vid negativ utveckling på de finansiella marknaderna, eftersom ett negativt utfall ett år för buffertfonderna ofta vägs upp av en positiv utveckling åren innan och efter. 95

104 6.4.6 Annat startvärde för buffertfonderna För att undersöka hur en eventuell börskrasch påverkar pensionssystemet testades ett annat startvärde på buffertfonderna. Vid den senaste börskraschen 2008 tappade Tredje AP-fonden ungefär 20 procent av sitt värde och för att se hur det skulle påverka pensionssystemets stabilitet idag kördes optimeringsmodellen med ett startvärde på buffertfonderna som är 20 procent lägre än det verkliga värdet på buffertfonderna vid utgången av Med dessa förutsättningar blev det optimala avkastningsmålet 4,7 procent realt, det vill säga mer än 1 procent högre än det optimala avkastningsmål som erhölls vid huvudsimuleringen i avsnitt 6.3. Detta tyder på att utgångspunkten för analysen får stor påverkan på det optimala avkastningsmålet. Den procentuella förlusten per generation, K, givet dessa förutsättningar visas i figur Figur 6.19: Genomsnittliga procentuella förlusten per åldersgrupp vid olika värden på α, givet att buffertfondernas startvärde är 20 procent lägre än det verkliga värdet. Figur 6.19 visar liknade resultat som figur 6.4. Skillnaden är att förlusterna blir högre för de äldre generationerna vilket beror på att den balanseringsperiod som systemet är i just nu förlängs. Detta medför även att fler generationer gör en förlust, vilket går att se i figur 6.19 eftersom nyckeltalet K skär x-axeln senare jämfört med i figur 6.4. För de yngre generationerna får denna börskrasch ingen påverkan, eftersom balanseringen hinner avaktiveras innan de går i pension för samtliga nivåer på α. Hur en börskrasch påverkar pensionsystemet går även att se i figur 6.20, som visar balanstalets genomsnittliga utveckling för olika värden på α. 96

105 Figur 6.20: Genomsnittliga utvecklingen för balanstalet vid olika värden på α. Om figur 6.20 jämförs med figur 6.5 visar det att en börskrasch gör att balanstalet gör en dipp under de första åren vilket i sin tur medför att den balanseringsperiod som systemet är på väg ut ur just nu istället förlängs. Figur 6.20 visar dock att balanstalet tar sig över 1 igen efter ungefär 5 år och sedan håller sig över 1 under resten av framskrivningsperioden. På sikt får därmed inte en börskrasch någon större påverkan på systemet. Dock bör det nämnas att ett värdetapp för buffertfonderna på 20 procent inte behöver vara en engångshändelse, utan kan hända flera gånger under framskrivningsperioden på 87 år Annat startår för ALM-analysen Vilket utgångsläge som gäller när en ALM-analys genomförs påverkar dess resultat. Ett år som prognosen för pensionssystemet såg sämre ut än idag var år Om ALM-analysen genomförts vid början av 2012 och därmed baserats från prognoser från 2011, hade buffertfonderna tagit maxrisk, det vill säga α = 1, 4 vilket hade genererat ett långsiktigt avkastningsmål på 5,5 procent realt som optimalt resultat i optimeringen. Nyckeltalet K:s utveckling utifrån Pensionsmyndighetens basscenario från 2011 syns i figur 6.21, som visar att äldre generationer förväntades drabbas av större balanseringsförluster jämfört med vad figur 6.4 som är baserad på dagens utgångsläge visar. Detta beror på att buffertfonderna år 2011 hade ett lågt startkapital. Dessutom såg ekonomiska och demografiska prognoser sämre ut. Eftersom läget var sämre krävdes också ett högre avkastningsmål för fonderna. 97

106 Figur 6.21: Genomsnittliga procentuella förlusten per åldersgrupp vid olika värden på α, givet att startår för ALM-analysen är Befolkningsprognosen som Pensionsmyndigheten använde år 2011 låg utanför SCB:s befolkningsprognos år 2016 med 95 procents prediktionsintervall vilket syns i figur Att det är utanför intervallet visar på att befolkningsprognoserna kan förändras mycket från år till år vilket får stor påverkan på pensionssystemet. Detta innebär också att startåret för ALM-analysen har en stor påverkan på resultatet. Att startåret för ALM-analysen påverkar avkastningsmålet mycket tyder på att analysen bör göras ofta. Det innebär också att det är viktigt att bufferfonderna har en så pass hög avkastning att de följer med i pensionsskulden eller avgiftstillgångens utveckling. Detta då buffertfonderna behöver ha stort kapital vid ett dåligt utgångsläge för att kunna motverka balansering. Ett för lågt avkastningsmål skulle innebära att buffertfondernas kraft att påverka pensionssystemet i framtiden skulle minska. I optimeringsmodellen i detta arbete tas hänsyn till att fonderna behöver en viss utveckling för att följa med resten av pensionssystemet. Denna aspekt kommer med i stokastiken då det i vissa framtida scenarier blir påfrestningar i systemet vilket medför att fonderna behöver en viss avkastning. 98