SOLUTION

Transkript

1 TMMI (Del I, teori; p.). En blk med kontinuerligt fördeld mss, tillverkd v ett mteril med densitet, är fritt upplgd enligt figuren. Blkens tvärsnitt är rektngulärt, och dess egenvinkelfrekvens är. Genom tt ök blkens tvärsnittshöjd till (utn tt tvärsnittsbredden ändrs), ökr mn både yttröghetsmoment och mss hos blken, och dess egenvinkelfrekvens ändrs till. Gör en enkel överslgsberäkning och nge.. A bem with continuously distributed mss, mde from mteril with density, is freely supported t both ends; see figure. It hs rectngulr cross section nd hs eigenfrequency. By incresing the cross-section height of the bem to (without chnging the crosssection width ), the re moment of inerti nd the mss of the bem re chnged, nd its eigenfrequency is chnged to. Find by simple computtion. where, nd re constnts of proportionlity, the vlues of which we need not know. This gives us

2 TMMI (Del I, teori; p.) 2. Förskjutningslösningen för en böjsvängnde blk med kontinuerlig mssfördelning kn skrivs. Ange de fyr (4) rndvillkor som sk uppfylls v -funktionen för blken i figuren 2. The displcement solution of vibrting bem with continuous mss distribution cn be written. Give the four (4) boundry conditions to be pplied on the function for the bem in the figure. TMMI (Del I, teori; p.) 3. Detljer som sk dimensioners mot utmttning innehåller oft lokl spänningskoncentrtioner, till exempel p.g.. hålkälr, reövergångr och liknnde. Den mximl spänningen i själv kälen är, där i extrem fll kn vr. I utmttningsdimensionering behöver mn emellertid sälln räkn med hel utn kn nvänd ett reducert värde Förklr vrför! 3. Components to be designed ginst ftigue often contins locl stress concentrtions, for instnce cused by notches, re trnsitions,... The mximl stress in the notch is then, where in extreme cses cn be >. In ftigue design, however, one seldom needs to tke this whole into ccount but cn use reduced vlue Explin why! - The ftigue filure will be the result of crck strting t defect in the mteril, nd - the lrger the highly stressed volume is, the more likely is it tht there exists n extremely bd defect. The ftigue dt re lwys mesured on test specimen which is designed to give the sme high stress over rther lrge volume of mteril. The ftigue risk in n ctul component with the sme mximimm stress but over only the smll volume surrounding the notch is therefore less, nd the use of reduced vlue insted of is justified.

3 TMMI (Del I, teori; p.) 4. Lsthistorien i bilden sk nvänds för tt gör en utmttningsnlys enligt Plmgren- Miner. Med rinflow count kn tre lstcykler identifiers. Vilk? (Motiver genom tt rit in droppvägrn i figuren!) 4. The lod history in the figure is to be used for ftigue nlysis by liner Plmgren-Miner theory. Using rinflow count, three lod cycles cn be identified. Which? (Explin by mrking the drop pths in the figure!) Drop tble Piring tble Drop No. Rnge (MP) Cycle No. Drops Nos. Cycle (MP) SVARET

4 TMHL (Del II, problem; 3 p.) 5. En msslös konsolblk bär i sin spets en punktformig mss. Blkens vänstr del hr cirkulärt tvärsnitt med dimeter, medn dess högr del hr dimeter. I blkspetsen ngriper också en störkrft. Bestäm mplituden hos mssns svängningsrörelse sttionärt tillstånd. 5. A mssless cntilever bem crries point mss on its tip. The left prt of the bem hs circulr cross section with dimeter, while the right prt hs dimeter. At the tip of the bem, there is lso periodic force. Compute the mplitude of the vibrtion of the mss in the sttionry stte SOLUTION Eqution of motion Reltion S u Superposition of elementry solutions:

5 Vibrtion eqution Sttionry solution TMHL (Del II, problem; 3 p.) 6. En blk med kontinuerlig mssfördelning är fst inspänd i båd ändr. Bestäm dess egenvinkelfrekvens i fri svängning. Rätt uppställd ekvtion plus beskrivning v hur dess lösning sk efterbehndls för tt ge egenvinkelfrekvensen ger 2 poäng; hr du dessutom genomfört den numerisk lösningen v ekvtionen smt slutfört beräkningen v egenvinkelfrekvensen får du 3 poäng. 6. A bem with continuous mss distribution is clmped in both ends. Compute its eigenfrequency in free vibrtion. A correct eqution plus description of how its solution must be postprocessed in order to give the eigenfrequency gives 2 points. Numericl solution of the eqution together with successful postprocessing to find the eigenfrequency gives 3 points Use the generl solution where Boundry conditions:

6 or, in mtrix form (nd with bbrevitions,... introduced) Liner homogeneous eqution system; hs nontrivil solutions only if The eqution to solve is therefore The function is plotted below. is obviously for. Accurte solution gives ANSWER

7 TMHL (Del II, problem; 3 p.) 7. En I-profilblk (se fig. ) utsätts för ett böjmoment. Blkens övre fläns blir därigenom utstt för en tidvriernde längsspänning och kn ur utmttningssynpunkt behndls som en drg/tryckbelstd plåt. Mterildt: ;. Inget ytjämnhets- eller volymsberoende behöver bekts. ) Bestäm mx. tillåtet i dett grundutförnde. b) På ett ställe i blken blir mn tvungen tt borr upp ett pr hål i övre flänsen enligt figur 2, som visr ett längdvsnitt v blken, sett uppifrån. Ant tt vrder flänshlvn kn betrkts som en drg/tryckbelstd plåt med hål, beräkn och beräkn vilket mx. som nu kn tillåts. 7. A bem with n I-shped cross section (Fig. ) is subjected to bending moment. The upper flnge will by this be subjected to time-vrying xil stress nd cn in ftigue nlysis context be treted s tension/compression-loded metl sheet. Dt: ;. No surfce condition or volume dependence corrections re necessry. ) Compute the mximum llowed in this bsic cse. b) At prticulr position long the bem two holes must be drilled in the upper flnge (see Fig. 2, which shows short section of the bem s seen from bove). Assuming tht ech of the hlves of the flnge cn be considered s sheet with tension/compression lod, compute nd the mximum moment tht cn now be llowed. Fig. 2 Fig.

8 Cse () The nominl stress cycle in the flnge cn be computed by bem theory: The requirement tht gives With nd we get: Cse (b) The hole in the flnge (cse on top of pge 65 in the compendium; ) gives Further, P no The requirement therefore gives N

9 TMHL (Del II, problem; 3 p.) 8. En konstruktionsdetlj, som kn förenkls till en plttstv med rektngulärt tvärsnitt, hr en reövergång med hålkälsgeometri enligt fig.. Belstningen är en tidvriernde jämnfördeld spänning, som är så hög tt det finns risk för LCF. Komponenten sk dimensioners för en LCF-livslängd om 3000 cykler. Bestäm den spänningsmplitud som då kn tillåts! Gör på följnde sätt:. Använd orrow s ekvtion för tt ur krävd LCF-livslängd bestämm tillåten lokl töjningsmplitud. 2. Använd mterilets Rmberg-Osgood-kurv (fig. 2) för tt bestämm motsvrnde lokl spänningsmplitud. 3. Använd Neubers ekvtion för tt med kännedom om och beräkn tillåten mplitud hos den utifrån pålgd spänningen. 8. A component, which for simplicity cn be treted s flt specimen with rectngulr cross section, hs n re reduction with notch geometry; see Fig.. The lod is time-vrying, evenly distributed stress, which is high enough tht there is risk of LCF. The component is to be designed for n LCF life of 3000 cycles. Compute the stress mplitude tht cn be llowed! Instructions:. Knowing the required LCF life, use the Morrow eqution to find the llowble locl strin mplitude. 2. Use the Rmberg-Osgood curve digrm (Fig. 2) to find the corresponding locl stress mplitude. 3. Use the Neuber eqution with the nd known from bove to compute the llowed mplitude of the externlly pplied stress. Fig.

10 Morrow dt: P Fig. 2 Morrow s eqution Rmberg-Osgood Reding in the digrm of Fig. 2 gives (Accurte numericl solution would hve given MP) Neuber We need Accurte reding in the tble on top left of p. 64 gives Since we hve no informtion on the tensile strength of the mteril, we cnnot compute ny notch sensitivity fctor but will, insted, ssume tht so tht The Neuber eqution then gives