Kurskod: TAMS11 Provkod: TENB 12 June 2014, 14:00-18:00. English Version

Transkript

1 Kurskod: TAMS Provkod: TENB 2 June 204, 4:00-8:00 Exmintor/Exminer: Xingfeng Yng (Tel: ). You re permitted to bring: clcultor; formel -och tbellsmling i mtemtisk sttistik (from MAI); TAMS : Nottions nd Formule (by Xingfeng Yng), OR personl formul sheet (two pges); dictionry. Plese nswer in ENGLISH if you cn. b. Scores rting: 8- points giving rte 3; points giving rte 4; 5-8 points giving rte 5. (3 points) English Version Let (X, Y ) be two-dimensionl rndom vrible with joint density function f X,Y (x, y) = +c (xy + c)e (x+y), if x > 0, y > 0, 0, otherwise. (.). (p) Find the density function f X (x) of X nd the density function f Y (y) of Y. (.2). (p) If c = 0, then re X nd Y independent? (.3). (p) If c > 0, then re X nd Y independent? Solution. (.) The density function f X (x) of X is f X (x) = The density function f y (y) of Y is f Y (y) = f X,Y (x, y)dy = f X,Y (x, y)dx = c (xy + c)e (x+y) dy =... = c + x c + e x. + c (xy + c)e (x+y) dx =... = c + y c + e y. (.2) If c = 0, then f X (x) f Y (y) = xy e (x+y) = f X,Y (x, y) for x > 0 nd y > 0. So X nd Y re independent. (.3) If c > 0, then f X (x) f Y (y) f X,Y (x, y) for x > 0 nd y > 0. So X nd Y re NOT independent. 2 (3 points) The lifetime (in hours) of certin type of rdio tubes is ssumed to be continuous rndom vrible X with density function 00/x 2, if x > 00, f X (x) = 0, otherwise. (2.). (p) Find the probbility tht tube works less thn 200 hours. (2.2). (p) Find the probbility tht tube still works fter 50 hours. (2.3). (p) Find the probbility tht tube works less thn 200 hours, if we know tht this tube still works fter 50 hours. Pge /4

2 Solution. (2.) P (X < 200) = f X (x)dx = /x 2 dx = /2. (2.2) P (X > 50) = f X (x)dx = 50 00/x 2 dx = 2/3. (2.3) P (X < 200 X > 50) = P (50 < X < 200) P (X > 50) = /x2 dx = /6 2/3 2/3 = 4 = (3 points) Suppose tht rndom vrible X hs the probbility mss function s follows X p(x) 0. c c 2 (3.). (p) If one knows P (X < 3) = 0.5, find the vlues c =? nd c 2 =? (3.2). (p) Find the men µ = E(X). (3.3). (p) Find the vrince σ 2 = V (X). Solution. (3.) First 0. + c c 2 =, thus c + c 2 = 0.5. From P (X < 3) = 0.5, we know tht 0. + c = 0.5. Therefore c = 0.4, which implies c 2 = 0.. (3.2) µ = E(X) = = σ 2 = V (X) = E(X 2 ) µ 2 = = = (3 points) The following dt set represents smple from Preto distribution with density function f(x) = x if x + 0 if x <, where we know tht >. We hve the following observtions: (4.). (.5p) Find point estimte â MM of using Method of Moments. (4.2). (.5p) Find point estimte â ML of using Mximum-Likelihood method. Solution. (4.). For Method of Moments, the first eqution is E(X) = X. The men E(X) cn be clculted s E(X) = By solving E(X) = X, we hve thus â MM = = xf(x)dx = x = X which yields â MM = Pge 2/4 dx = x+ x dx =. X X. From the dt, x = 5 =.452,

3 (4.2). For the Mximum-Likelihood method, we write the likelihood function s L() = f(x ) f(x 2 )... f(x n ) = Mximizing L() is equivlent to mximize ln L() where X + X Xn + = ln L() = n ln ( + ) ln(x X 2... X n ). n (X X 2... X n ) +. d ln L() By d = 0, we hve n ln(x n X 2... X n ) = 0, therefore â ML = ln(x X 2...X n). From the dt, X X 2... X n = = 5.663, thus â ML = 5 ln = (3 points) The following dt set consists of observed vlues x,..., x 4 of independent rndom vribles X,..., X 4 stisfying X i N(µ, σ 2 ) : (5.). (p) Find point estimte ˆµ of the men µ, nd point estimte ˆσ 2 of the vrince σ 2. (5.2). (p) Find n upper 95% confidence bound of µ. (Hint: (, b)) (5.3). (p) Find 95% confidence intervl of σ 2. Solution. (5.) Usully we choose ˆµ = x = = 5.26; 4 4 ˆσ 2 = s 2 i= = (x i x) 2 = But of course there re some other estimtes. (5.2) Since σ 2 in unknown, n upper 95% confidence bound of µ is s (, x + t α (n ) ) = (, t 0.05 (4 ) ) = (, ) = (, 5.68). n 4 (5.3) (n )s2 (n )s 2 (4 ) (4 ) ( χ 2 α/2 (n ), = ( (n )) χ /2 (4 ), = ( (4 )) 24.75, ) = (0.3795,.87475). 5.0 χ 2 α/2 χ /2 6 (3 points) The miniml dily demnd on zinc of mle person over 30 yers of ge is 5 mg. A scientist conjectures tht the expected vlue is lower nd wnts to conduct study in order to show tht. Assume tht the scientist mesures the zinc intke of 25 rndomly selected mle person over 30 yers of ge nd uses these dt in order to test the hypotheses H 0 : µ = 5 versus H : µ < 5. Assume tht the observtions re independent nd from popultion N(µ, σ 2 ). The smple men is x = 3 nd the smple stndrd devition is s = 6. (6.). (p) If σ is unknown, do you reject H 0 given significnce level α = 0.0? nd why? (6.2). (p) If σ is known σ = 4, do you reject H 0 given significnce level α = 0.0? nd why? (6.3). (p) If σ is known σ = 4, bsed on (6.2), wht is the probbility of not concluding tht µ < 5 when the ctul µ = 2? Pge 3/4

4 Solution. (6.) Since σ is unknown, the rejection region is (, t α (n )) = (, t 0.0 (25 )) = (, 2.49). The test sttistic is x µ0 s/ n = 3 5 6/ = Becuse the test sttistic is NOT in the rejection region, we do NOT 25 reject H 0. (6.2) Since σ is known σ = 4, the rejection region is (, z α ) = (, z 0.0 ) = (, 2.325). The test sttistic is x µ0 σ/ n = 3 5 4/ 25 = 2.5. Becuse the test sttistic is in the rejection region, we reject H 0. (6.3) This is Type II error, nmely β(2) = P (don t reject H 0 when H 0 is wrong nd µ = 2) = P ( X µ 0 σ/ n > when µ = 2) (need to chnge X µ 0 σ/ n to X µ σ/ n since X µ σ/ N(0, )) n = P ( X µ σ/ n + µ µ 0 σ/ > when µ = 2) n 2 5 = P (Z > / 25 ) = P (Z > ) = P (Z >.425) = Pge 4/4

5 Kurskod: TAMS Provkod: TENB 2 juni 204, kl. 4-8 Exmintor/Exminer: Xingfeng Yng (Tel: ). Tillåtn hjälpmedel är: en räknre; formel -och tbellsmling i mtemtisk sttistik (från MAI); TAMS : Nottions nd Formule (by Xingfeng Yng); ELLER egn nteckningr (mx två sidor); en ordbok. Vänligen svr på ENGELSKA om du kn. b. Betygsgränser: 8- poäng ger betyg 3; poäng ger betyg 4; 5-8 poäng ger betyg 5. (3 poäng) Svensk Version Låt (X, Y ) vr en tvådimensionll stokstisk vribel med täthetsfunktionen f X,Y (x, y) = +c (xy + c)e (x+y), om x > 0, y > 0, 0, nnrs. (.). (p) Bestäm täthetsfunktionen f X (x) för X och täthetsfunktionen f Y (y) för Y. (.2). (p) Om c = 0, är X och Y oberoende? (.3). (p) Om c > 0, är X nd Y oberoende? 2 (3 poäng) Livslägden (i timmr) hos en viss typ v rdiorör nts vr en kontinuerlig stokstisk vribel X med täthetsfunktionen 00/x 2, om x > 00, f X (x) = 0, nnrs. (2.). (p) Bestäm snnolikheten för tt ett sådnt rör fungerr mindre än 200 timmr. (2.2). (p) Bestäm snnolikheten för tt ett sådnt rör fortfrnde fungerr efter 50 timmr. (2.3). (p) Bestäm snnolikheten för tt ett sådnt rör fungerr mindre än 200 timmr, om mn vet tt röret fortfrnde fungerr efter 50 timmr. 3 (3 poäng) Antg tt en stokstisk vribler X hr mssfunktionen följnde X p(x) 0. c c 2 (3.). (p) Om mn vet P (X < 3) = 0.5, beräkn värden c =? nd c 2 =? (3.2). (p) Beräkn väntevärdet µ = E(X). (3.3). (p) Beräkn vrinsen σ 2 = V (X). Pge /2

6 4 (3 poäng) Följnde dtmteril utgör ett stickprov från en Pretofördelning med täthetsfunktionen f(x) = x om x + 0 om x <, där mn vet tt >. Observerde värden: (4.). (.5p) Hitt en punktskttning â MM v genom tt nvänd momentmetoden. (4.2). (.5p) Hitt en punktskttning â ML v genom tt nvänd Mximum Likelihood-metoden. 5 (3 poäng) Följnde dtmteril består v observerde värden x,..., x 4 för oberoende stokstisk vribler X,..., X 4 sådn tt X i N(µ, σ 2 ) : (5.). (p) Bestäm en punktskttning ˆµ v väntevärdet µ, och en punktskttning ˆσ 2 v vrinsen σ 2. (5.2). (p) Finn ett upper 95% confidence bound för µ. (Ledning: (, b)) (5.3). (p) Finn ett 95% konfidensintervll för σ 2. 6 (3 poäng) Minst dglig behov v zink är 5 mg för män över 30 år. I själv verket misstänker mn tt det förväntde värdet är lägre och mn will genomför en studie för tt påvis dett. Antg tt mn mäter zinkintget för 25 slumpmässigt utvld män över 30 år och nvänder dt för tt test hypotesern H 0 : µ = 5 versus H : µ < 5. Antg tt observtionern är oberoende och från en popultion N(µ, σ 2 ). Stickprovsmedelvärdet är x = 3 och stickprovsstndrdvvikelsen är s = 6. (6.). (p) Om σ är okänd, förkstr du H 0 givet en signifiknsnivån α = 0.0? Vrför? (6.2). (p) Om σ är känd σ = 4, förkstr du H 0 givet en signifiknsnivån α = 0.0? Vrför? (6.3). (p) Om σ är känd σ = 4, bsert på (6.2), vd är snnolikheten tt inte dr slutstsen tt µ < 5 men µ = 2? Pge 2/2