Kurskod: TAMS28 MATEMATISK STATISTIK Provkod: TEN1 08 June 2015, 14:00-18:00. English Version

Transkript

1 Kurskod: TAMS28 MATEMATISK STATISTIK Provkod: TEN1 08 June 2015, 14:00-18:00 Examiner: Xiangfeng Yang (Tel: ). Please answer in ENGLISH if you can. a. You are allowed to use a calculator, the formula and table collection edited by MAI. b. Scores rating: 8-11 points giving rate 3; points giving rate 4; points giving rate 5. 1 (3 points) English Version Using a certain method, one get a measurement Y = 1 + X, where the random variable X has a probability density function f(x) = 3(1 x2 ), for 1 x 1. 4 (1.1). (1p) Find the mean µ = E(Y ) of Y. (1.2). (2p) Find the standard deviation σ Y of Y. Solution. (1.1) E(X) = 1 1 xf(x)dx =... = 0. Thus (1.2) E(Y ) = E(1 + X) = 1 + E(X) = = 1. V (X) = E(X 2 ) 0 2 = 1 1 x 2 f(x)dx 0 2 =... = 0.2. Thus V (Y ) = V (1 + X) = V (X) = 0.2. σ Y = V (Y ) = 0.2 = (3 points) The following data sets represent a sample from a Poisson distribution X P o(µ), where the mean µ is unknown. In the sample the observations are: {6, 5, 10, 8}. (2.1). (1p) Find a point estimate ˆµ MM of µ using the Method of Moments. (2.2). (2p) Find a pont estimate ˆµ ML of µ using Maximum-Likelihood method. Solution. (2.1). For Method of Moments, the first equation is E(X) = x. The mean E(X) can be calculated as E(X) = µ. By solving E(X) = x, we have µ = x which yields ˆµ MM = x = = (2.2). For the Maximum-Likelihood method, we write the likelihood function as L(µ) = e µ µ x1 x 1! e µ µ x2 x 2! e µ µ x3 x 3! e µ µ x4 x 4! = e 4µ µ x1+...+x4. x 1!... x 4! Page 1/4

2 Maximizing L(µ) is equivalent to maximize ln L(µ) where ln L(µ) = 4µ + (x x 4 ) ln µ ln(x 1!... x 4!). d ln L(µ) By dµ = 0, we have µ = x, therefore ˆµ ML = x = (The second derivative d2 ln L(µ) dµ < 0 yields that ˆµ 2 ML is indeed a maximal point) 3 (3 points) A dice has been tossed for 120 times with the following result: Outcome: Frequency: Do the results show that the dice is unbalanced? In this case, some number will appear more often than others in the long run. Answer this question by, with a significance level 5%, testing the hypothesis (χ 2 ) H 0 : p i = 1/6, i = 1,..., 6. Solution. The test statistic is The rejection region i Since T S / C, don t reject H 0. T S = 6 i=1 (N i np i ) 2 np i = 8.8. C = (χ 2 6 1,α, ) = (11.07, ). 4 (3 points) In the analysis of chloride, samples are taken at the top and bottom of a container with the following results (in %): Top: Bottom: Assume that these two samples are taken from two independent populations N(µ 1, σ 1 ) and N(µ 2, σ 2 ). (4.1). (1p) If σ 1 = σ 2 = σ are unknown, find a 95% confidence interval for σ. (4.2). (1p) If σ 1 = σ 2 = σ are unknown, find a 95% confidence interval for µ 1 µ 2. (4.3). (1p) Test the hypotheses with a significance level α = 0.01 : Solution. It can be easily computed that H 0 : µ 1 = µ 2 against H 1 : µ 1 µ 2. x = , s x = ; ȳ = , s y = Thus the combined sample standard deviation is s = (n s 2 1 1)s 2 x + (n 2 1)s 2 y = = = n 1 + n 2 2 (4.1) (4.2) (4.3) Since T S / C, don t reject H 0. I σ 2 = ( (n 1 + n 2 2)s 2 χ 2 α/2 (n 1 + n 2 2), (n 1 + n 2 2)s 2 χ 2 1 α/2 (n ) = ( , ). 1 + n 2 2) I µ1 µ 2 = ( x ȳ) t α/2 (n 1 + n 2 2) s 1 n n 2 = = ( 0.048, 0.152). ( x ȳ) 0 T S = = s n n 2 C = (, t α/2 (n 1 + n 2 2)) (t α/2 (n 1 + n 2 2), + ) = (, 4.03) (4.03, + ). Page 2/4

3 5 (3 points) The raw material for a given drug can be produced in a biological process. The final product from this process is a solution whose content of the active substance is a random variable which is normally distributed with mean 31 and standard deviation (5.1). (1p) Find P (30 X 32), where X is the content of the active substance in the solution from one production process. (5.2). (2p) To get more consistent quality, one try to mix solutions of n production processes. The content of active substance then becomes a random variable X = X1+X2+...+Xn n. How should one choose n if one wants that the condition P (30 X 32) = 0.95 is satisfied? Solution. (5.1) P (30 X 32) = P ((30 µ)/σ (X µ)/σ (32 µ)/σ) = P ((30 31)/1.25 N(0, 1) (32 1)/1.25) = (5.2) From the table, 0.95 = P (30 X 32) = P ( 30 µ σ/ n X µ σ/ n 32 µ σ/ n ) = P ( / n N(0, 1) / n ). thus n = ( ) 2 = / n = 1.96, 6 (3 points) In studies of the crickets, it has been found that the frequency of the wing movements grows with temperature. A model for this is: Y = β 0 + β 1 x + ε, ε N(0, σ), where x = temperature in F and y = number of oscillations per second. For 15 different temperatures x, the wing frequencies y are measured. The results are: Regression Analysis: y versus x The regression equation is y = x Predictor Coef SE Coef T P Constant x Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression Residual Error Total (6.1). (1p) Estimate σ. (6.2). (1p) Find a 95% confidence interval for β 1. (6.3). (1p) Test the hypotheses with a significance level α = 0.01, H 0 : β 1 = 0 against H 1 : β 1 > 0. Solution. (6.1). σ ˆσ = s = s 2 = SS E /(n k 1) = /13 = = (6.2). I β1 = ˆβ 1 t (15 2) se(β 1 ) = = (1.99, 4.59). (6.3). T S = ˆβ 1 0 se(β 1 ) = = 5.47, Page 3/4

4 Since T S C, reject H 0. C = (t α (n 2), + ) = (t 0.01 (15 2), + ) = (2.65, + ). Page 4/4

5 Kurskod: TAMS28 MATEMATISK STATISTIK Provkod: TEN1 08 juni 2015, kl Examinator: Xiangfeng Yang (Tel: ). Vänligen svara på ENGELSKA om du kan. a. Tillåtna hjälpmedel är en räknare, formel -och tabellsamling utgiven av MAI. b. Betygsgränser: 8-11 poäng ger betyg 3; poäng ger betyg 4; poäng ger betyg 5. 1 (3 poäng) Svensk version Vid användning av en viss mätmetod får man ett mätvärde Y = 1 + X, där den s.v. X har täthetsfunktion (1.1). (1p) Bestäm väntevärdet µ = E(Y ) av Y. (1.2). (2p) Bestäm standardavvikelsen σ Y av Y. 2 (3 poäng) f(x) = 3(1 x2 ), för 1 x 1. 4 Följande datamaterial utgör ett stickprov från en Poisson fördelning X P o(µ), där väntevärdet µ är okänd. I stickprovet har man observerade värden: {6, 5, 10, 8}. (2.1). (1p) Hitta en punktskattning ˆµ MM av µ genom att använda momentmetoden. (2.2). (2p) Hitta en punktskattning ˆµ ML av µ genom att använda Maximum Likelihood-metoden. 3 (3 poäng) En tärning har kastats 120 gånger med nedanstående resultat: Utfall: Frekvens: Tyder resultatet på att tärning är obalanserad, så att den i det långa loppet ger vissa utfall oftare än andra? Besvara frågan genom att på nivån 5% pröva (χ 2 ) H 0 : p i = 1/6, i = 1,..., 6. 4 (3 poäng) Vid analys av kloridprov tagna längst upp och längst ned i en behållare erhölls följande (i %): Längst upp: Längst ned: Anta att de två mätserierna är oberoende stickprov på N(µ 1, σ 1 ) och N(µ 2, σ 2 ). (4.1). (1p) Om σ 1 = σ 2 = σ okända, bilda ett 95% konfidensintervall för σ. (4.2). (1p) Om σ 1 = σ 2 = σ okända, bilda ett 95% konfidensintervall för µ 1 µ 2. (4.3). (1p) Pröva hypotesen vid signifikansnivån α = 0.01 : H 0 : µ 1 = µ 2 mot H 1 : µ 1 µ 2. Page 1/2

6 5 (3 poäng) Råvaran till ett visst läkemedel framställs i en biologisk process. Slutprodukten från denna process är en lösning, vars halt av den aktiva substansen är en stokastisk variabel, som är normalfördelad med väntevärde 31 och standardavvikelse (5.1). (1p) Beräkna P (30 X 32), där X är halten av den aktiva substansen i lösningen från en tillverkningsomgång. (5.2). (2p) För att få jämnare kvalitet tänker man blanda lösningar från n tillverkningsomgångar. Halten av den aktiva substansen blir då en stokastisk variabel X = X 1+X X n n. Hur ska man välja n om man vill att villkoret P (30 X 32) = 0.95 ska vara uppfyllt? 6 (3 poäng) Vid studier av syrsor har man funnit att frekvensen av vingrörelser växer med temperaturen. En modell för detta är: Y = β 0 + β 1 x + ε, ε N(0, σ), där x = temperatur i F och y = antal svängningar per sekund. I femton temperaturkammare med skilda temperaturer x uppmättes vingfrekvensen y. Analyserna från Minitab är: Regression Analysis: y versus x The regression equation is y = x Predictor Coef SE Coef T P Constant x Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression Residual Error Total (6.1). (1p) Skatta σ. (6.2). (1p) Bilda ett 95% konfidensintervall för β 1. (6.3). (1p) Pröva hypotesen vid signifikansnivån α = 0.01, H 0 : β 1 = 0 mot H 1 : β 1 > 0. Page 2/2