Beräkningsmodell samverkansbjälklag i bruksgränstillstånd

Transkript

1 Beräkningsmodell samverkansbjälklag i bruksgränstillstånd Design model for composite slabs in serviceability limit state Per Hammarberg John Bäckebjörk Högskoleingenjörsexamen. Byggnadsingenjör, inriktning konstruktion, 15 högskolepoäng. Exjobbsnummer: 15/2015.

2 Beräkningsmodell samverkansbjälklag i bruksgränstillstånd Design model for composite slabs in serviceability limit state Per Hammarberg, S123367@student.hb.se John Bäckebjörk, S122749@student.hb.se Examensarbete, 15 hp Ämneskategori: Konstruktion Högskolan i Borås Institutionen Ingenjörshögskolan Borås Telefon Examinator: Handledare, namn: Handledare, adress: Agnes Nagy Staffan Svensson Högskolan i Borås Institutionen Ingenjörshögskolan Borås Uppdragsgivare: Högskolan i Borås Datum: 11/ Nyckelord: Samverkansbjälklag, kompositbjälklag, nedböjning, deformation i bjälklag, beräkningsmodell, EW-bjälklag, asymmetriska tvärsnitt 2

3 Sammanfattning Samverkansbjälklag finns i många olika konstellationer. Den typ av bjälklag som ligger till grund för denna rapport kallas EW-bjälklag, något som är framtaget av HEDA och Fristad Bygg. EW-bjälklaget består av en CLT-skiva överst, träreglar i mitten och en betongplatta i underst. Denna rapport behandlar vända EW-bjälklag, vid namn WE, i bruksgränstillstånd. Bjälklaget vänds för att bättre utnyttja de ingående materialens egenskaper. Rapporten är en uppföljning av ett tidigare examensarbete där ett bestämt bjälklag undersöktes i brottgränstillstånd med hjälp av Sveriges Tekniska Forskningsinstitut, SP. I brottgränstillstånd undersöks bjälklagets maxkapacitet innan det går till brott, till skillnad från bruksgränstillstånd där nedböjningen istället blir det dimensionerande kriteriet. Rapporten redogör för ett starkt effektivt bjälklag där betongåtgången blir avsevärt mycket mindre än i ett traditionellt betongbjälklag, för att istället nyttja det förnyelsebara organiska materialet trä. Detta utan att behöva kompromissa bjälklagets bärförmåga. I Microsoft Excel presenteras en beräkningsmodell som gör det enkelt och effektivt att dimensionera sagda bjälklag. Beräkningsmodellen går också att använda på andra kompositbjälklag. Abstract There are many types of composite floors to choose from today. One of them is the EW-floor produced by HEDA and Fristad Bygg. The EW-floor has a CLT-board on top, wooden beams in the middle and a concrete slab in the bottom. This report focuses on flipped EW-floors, called WE, in serviceability limit state. The floors are flipped to better use the separate materials properties. This report is a follow up on a previous report in which ultimate load tests were performed by the Swedish Science Institute SP. The main difference when examining in serviceability limit state compared to ultimate state is that instead of focusing on the floors maximum capacity, focus lies with deflection. The report presents a strong efficient floor with high usage of the organic and sustainable material wood as well as significantly reduced usage of concrete compared to a traditional concrete floor. This without having to sacrifice any requirements a floor supports. A design model is presented in Microsoft Excel which makes it easy and efficient to calculate required dimensions on said floor. The design model can also be used on other composite floors. 3

4 Innehåll 1 Inledning, problembeskrivning Syfte Bakgrund Avgränsningar Metod och material Försöksbeskrivning Litteraturstudie EW-bjälklag CLT-skiva Förbindare Kramlor Skruvar Krav Pris Miljö Byggtid och transport Ljud Brand Fukt Installationer Egentyngd Formelredovisning Egentyngd Lastnedräkning Effektiv flänsbredd Tyngdpunkt Tröghetsmoment Verkningsgrader: Effektiv böjstyvhet Nedböjning Nedböjningskrav Spänningar Fördjupning Definitioner Kraftsamband K-värdesberäkningar Analys och resultat Exempelnedböjning Nedböjningsdata från SP Sammanställning av glidningsdata Analys av Kser Diskussion Numeriska beräkningar Indata Egentyngd

5 8.3 Lastnedräkning Effektiva flänsbredder Tyngdpunkt Tröghetsmoment och böjstyvhet Verkningsgrader Effektiv Böjstyvhet Nedböjning Nedböjningskrav Spänningsberäkningar Krökningsradien: K-värdesberäkningar Referenser Bilaga 1 Tillverkningsritning från Hedareds Sand och Betong AB 5

6 Begreppsförklaring Autocad Architecture Bjälklag Byggfukt Böjstyvhet CLT Elasticitetsmodul EW-bjälklag Fuktkvot Glidning Komposit Kramla Lamell Nedböjning NL Punklast SP Spänningsdiagram Uk Utbredd last VVS WE-bjälklag Ök Ritningsprogram Våningsdelare, golv eller tak Byggfukt är det överskott av vatten som finns i material vid tillverkning Mått på ett materials förmåga att motstå deformation Cross Laminated Timber. Vinkelrätt korsvis limmade trälameller Förhållandet mellan mekanisk spänning deformation Betong- och träkomposit där betongskivan är i botten Viktandelen vatten i förhållande till torr substans i ett material Horisontella rörelser mellan komponenterna i relation till sina ursprungslägen Material som består av mer än en komponent Bockad trådspik, sammanfogar betong och bjälke Tunn skivformad beståndsdel Vertikal deformation av komponenterna i relation till dess ursprungsläge Neutrala lagret, där tryck- och dragkrafter är lika med noll Last koncentrerad i en specifik punkt Sveriges Tekniska Forskningsinstitut Illustration av ett materials ingående spänningar Underkant Last utbredd över en viss längd eller area Värme, ventilation och sanitet Arbetsnamn på en typ av samverkanskonstruktion Överkant 6

7 Beteckningar q = Utbredd last P = Punktlast A = Area b = Bredd h = Höjd l = Längd E = elasticitetsmodul I = Tröghetsmoment M = Moment σ = Spänning ε = Töjning γ = Verkningsgrad ψ = Reduktionsfaktor ρ = Densitet, tunghet u = Horisontell deformation u s = Glidning för de olika skikten i förhållande till varandra w = Vertikal deformation, nedböjning K ser = Förbindarens styvhet s = Centrumavstånd N = Normalkraft H = Friktionskraft a tp = Avstånd till tyngdpunkt a = Avstånd 7

8 1 Inledning, problembeskrivning 1.1 Syfte Idag finns många olika typer av bjälklag, två vanliga typer är betong- och träbjälklag, båda med sina respektive för- och nackdelar. I detta examensarbete undersöks trä och betong under samverkan tillsammans med en CLT-platta i botten. Detta för att optimera materialens fördelar och reducera nackdelar. Bjälklaget undersöks i bruksgränstillstånd som en fortsättning på ett tidigare examensarbete där brottgränstillståndet undersöktes. Denna studie fokuserar på nedböjningsproblematik med fokus på förbindarna som har stor inverkan på hur styvt bjälklaget blir. 1.2 Bakgrund Bjälklag är i byggsammanhang våningsdelare vars uppgift är att bära laster och föra ner dem i väggarna, som i sin tur för ner lasterna till grunden. Bjälklagen har också i uppgift att isolera mot ljud och brand, samt fungera som utrymme för horisontella installationer exempelvis el, kontrollsystem och VVS. Betong är ett tungt material med goda tryckhållfasthetsegenskaper men med avsevärt sämre draghållfasthetsegenskaper, något som kan kompenseras med hjälp av armering. Betongen är dessutom beständig mot brand och ljud. Materialet är dock ur miljöaspekt inte att föredra, ett område som blir mer och mer relevant. Trä i sin tur är ett lätt organiskt material med goda tryck- och draghållfasthetsegenskaper längs fiberriktningen i förhållande till sin vikt. Trä är också ett miljövänligt material så länge den avverkade skogen återplanteras. Återplantering leder till att trädens fotosyntetiska egenskaper restaureras över tid och därmed är balansen återskapad. Däremot uppfyller inte träbjälklag de ljud- och brandisoleringskrav som ställs på dem, t.ex. vid användande som lägenhetsavskiljare mellan bostäder utan dyra och komplicerade kompletteringar som dessutom ofta är mycket känsliga för utförandefel. Vilket gör att träbjälklag inte är att föredra. Trä som organiskt material kommer också med en del lokala brister som kvistar under uppväxt och eventuella skador vid materialhantering. Genom att kombinera betong och trä kan materialens respektive brister reduceras och dess styrkor framhävas. Något som gör just samverkansbjälklag intressant. I tidigare examensarbete testades ett bjälklag utformat enligt följande: I överkant en 70 mm tjock betongplatta med ingjutna kramlor. På dessa kramlor, fasttryckta bjälkar med ett centrumavstånd på 600 mm. Detta kompletterades med en CLT-platta i botten för upptag av dragkrafter samt estetiska och installationsmässiga skäl, se Figur 1. Detta examensarbete ingår i ett samverkansprojekt mellan Hedareds Sand och Betong AB och AB Fristad Bygg och är finansierat av Vinnova genom innovationsprogrammet Bygginnovationen. 8

9 Figur 1 Tvärsnitt, WE-bjälklag 1.3 Avgränsningar Bjälklaget består av C24-reglar, en CLT-platta och betong i hållfasthetsklass C40/50. Betongen göts på HEDA och skruvades ihop på Fristad bygg. Bestämda kramlor och skruvar används som förbindare mellan skikten. I tidigare examensarbete testades totalt sex bjälklag till brott där nedböjning, glidning, punktlast och fuktkvot mättes. Tre av mätningarna mätte glidning mellan skikten och det är dessa mätdata som beräkningsmodellen grundas på. Denna rapport behandlar bjälklaget i bruksgränstillstånd där beräkningar görs med hjälp av föregående examensarbete och uppmätt provdata från SP. Detta för att skapa en allmän beräkningsmodell för kompositbjälklag. Beräkningsmodellen tar inte hänsyn till sprickbildning i betongen eller andra lokala avvikelser i materialen. 9

10 2 Metod och material Beräkningsmodellen görs i Microsoft Excel efter beräkningar som gjorts för hand. Att använda datorprogram gör beräkningarna smidiga och lättöverskådliga. För att enkelt kunna göra illustrationer och kommunicera med HEDA och Fristad Bygg som konstruerat bjälklagen, har Autodesk AutoCAD Architecture använts. I AutoCAD har byggnadsritningarna gjorts som ligger till grund för provbjälklagen. I provtryckningarna som utfördes på SP mättes brottlast, nedböjning och glidning mellan skikten. För trämaterialen så mättes även fuktkvoterna. Provuppställning enligt Figur 2. Tvärsnittet består av tre olika material: 1200x70 mm armerad betongplatta. 2st 70x220 mm C24 reglar 1200x117 mm CLT-skiva Som kraftförbindare används stålkramlor och WT-T skruv se kap 3.2 För mer detaljerad beskrivning av betongplattan se Bilaga 1. Figur 2 - Provuppställning på SP 10

11 2.1 Försöksbeskrivning I Figur 3 visar den blå grafen nedböjningen, grön och röd graf illustrerar förskjutningen mellan de olika skikten. Testerna är gjorda på SP med hjälp av en belastningsmaskin. Belastningsmaskinen lastar först på till 40 % av teoretiskt satt brottgräns. Därefter lastar den av till 10 % för att sedan öka lasten till det teoretiska maxvärdet. När punktlasterna når det satta maxvärdet så övergår maskinen till att trycka med konstant nedböjningshastighet tills brott är uppnått, så kallad positionsstyrning. För beräkningar i bruksgränstillstånd så kan det antas att nedböjningen är linjär mot punktlasten. Därför brukas endast de första 40 procenten av trycklasten, markerad av den röda rutan i Figur 3. I tre av sex tester så mättes också förskjutningen mellan betongen och C24-regeln samt mellan C24-regeln och CLT-plattan. Detta analyseras vidare i Kapitel 6. Figur 3 - Data ifrån provtryckningar 11

12 3 Litteraturstudie Samverkan mellan betong och trä är ingen ny företeelse. De första försöken gjordes för ungefär 85 år sedan, men då inte främst i våningsdelare utan snarare i broar och pirer (Richart & Williams, 1943). Där är inte nedböjning relevant på samma sätt som i dagens bjälklag. Istället räknades, testades och dimensionerades det mot brottgränserna. I början på 90-talet började miljöproblem på allvar diskuteras inom EU. Hårdare krav på företagen blev startskottet för ett nytt sätt att tänka. I och med att Sverige 1994 röstade ja till medlemskap inom EU följde således deras byggnationskrav också med. Företag och forskare blev tvungna att se sig om efter alternativa sätt att bygga. Förutom den ekonomiska aspekten hade man nu dessutom miljöpåverkan att tänka på. Detta har bl.a. medfört att intresset för att bygga flerbostadshus med träbaserade stommar har ökat. Då vissa tekniska krav är svårlösta med träkonstruktioner är samverkanskonstruktioner, där materialegenskaperna hos ingående komponenter utnyttjas med optimerat, intressant att studera vidare. Alla uträkningar i beräkningsmodellen grundar sig i bruksgränstillstånd. Nedböjning, spännvidd och samverkan är de största områden som behandlas i rapporten. Nedböjningsberäkningar för kompositbjälklag (Langesten 2000; Lunds Tekniska Högskola, 1996) skiljer sig från klassiska nedböjningsberäkningar. För att kunna genomföra och förstå de beräkningar som krävs, fodras en viss förkunskap om glidning (Carling, 1992), nedböjning (Johannesson & Vretblad, 2011) och hantering av punktlaster i kombination med utbredda laster (Högskolan i Borås 2013). 3.1 EW-bjälklag Bjälklaget som ligger till grund för denna rapport kallas EW-bjälklag. Där är betongen vänd nedåt för att nyttja dess goda ljudisoleringsegenskaper samt höja brandklassen. Eftersom betong är dålig på att uppta dragkrafter jämfört med tryckkrafter så vänds bjälklaget. Betongen som nu hamnar överst i tvärsnittet kan effektivt ta tryckkrafterna. I botten av tvärsnittet placeras en CLT-skiva som upptagare av dragkrafterna. Det viktigaste i ett tvärsnitt med olika skikt är förbindarna. När en balk böjer så förskjuts de olika materialskikten gentemot varandra, denna glidning/förskjutning motverkas med förbindare. I provbjälklagen är förbindarna skruvar och kramlor, vilka överför krafter från ett materialskikt till nästa. Kramlorna trycks in i träreglarnas smalsidor för att sedan gjutas in i betongen medan CLT-skivan skruvas fast i reglarna CLT-skiva CLT-skivan är uppbyggd av trälameller. Lamellerna är ofta i tjocklek mm. Dessa limmas lagervis vinkelrätt mot varandra och ger en stark slutprodukt som neutraliserar de lokala svagheterna i träet. Därför är det vanligt att man brukar virke av sämre kvalité vid tillverkning av CLT-skivor och spar virke av högre kvalité till konstruktionsvirke (Nagy, 2015). När man beräknar styvheten för en CLT-platta så räknas bara längsgående lager med. 12

13 Elasticitetsmodulen för böjning av trä längs med fiberriktningen är ca GPa medan för böjning vinkelrätt fibrerna är elasticitetsmodulen cirka 0,5 GPa (Johannesson & Vretblad, 2011). Därför kan de lameller som inte har fiberriktningen längs med skivan försummas och endast de längsgående lamellerna tas med. I Figur 4 visas hur en CLT-skiva är uppbyggd. CLT-skivan som användes i provtryckningarna är 117 mm tjock. Den har 3*19 mm längsgående lameller, totalt 57 mm. Och 2*30 mm tvärgående, totalt 60 mm. Figur 4 - Tvärsnitt av CLT-skivan 3.2 Förbindare I ett kompositbjälklag där verkningsgraden på förbindarna är noll glider komponenterna fritt ovanpå varandra. Detta gör deformationen och glidningen stor. Är verkningsgraden ett, d.v.s. full samverkan, erhålls ett styvt element med liten deformation och ingen glidning mellan komponenterna, något som (a) illustrerar i Figur 5. Att nå 100 % verkningsgrad mellan skikten är i praktiken omöjligt, då skikten alltid vill glida när man utsätter dem för böjning. Notera hur spänningsdiagrammet i Figur 5 förändras beroende av hur samverkan ändras. Med full samverkan är spänningsdiagrammet det av ett homogent tvärsnitt, markerat med (a). Med 0 % ser spänningsdiagrammet ut enligt (c), då med mycket nedböjning eftersom materialen glider fritt ovanpå varandra. För (b) som har partiell samverkan så är spänningsdiagrammet för den övre delen lite förskjuten, på grund av förbindarna som överför kraft i materialfogen. 13

14 Figur 5 - Samverkan mellan de olika skikten (Lukaszewska, 2009) Kramlor Som förbindare mellan betongen och regeln så används en EW-kramla, se Figur 6. Det är en U- formad trådspik med 5,1 mm kvadratiskt tvärsnittsmått, denna bockas och trycks in i regelns smalsida. Regeln med alla sina intryckta kramlor gjuts sedan fast i betongen. Eftersom kramlorna trycks in på smalsidan av regeln så är det viktigt att man kontrollerar kramlans storlek så att träet inte spricker vid intryckning. Vid sprickbildning försvagas träet och kramlorna fäster inte lika bra. 14

15 Figur 6 - EW-kramla (Järnmark & Jedid, 2014) Skruvar Förbindarna mellan regeln och CLT-skivan är av typ WT-T skruv, se Figur 7. Det är dubbelgängad skruv med en gängfri del i mitten. Över den gängfria delen, där skruven är som starkast, är det tänkt att materialfogen ska sitta. Spetsen av skruven är fasad d.v.s. en liten skåra är utskuren, vilket gör skruven självborrande. Risken för sprickbildning kan på så vis minimeras även utan förborrning. Figur 7 - Ospecificerad WT-T skruv (Järnmark & Jedid, 2014) 15

16 4 Krav I detta kapitel undersöks de krav och rekommendationer som enligt Boverket och Eurokod ställs på ett samverkansbjälklag för att det ska vara ett hållbart framtida byggnadssätt. Parametrar enligt följande: 4.1 Pris Priset är naturligtvis en av de avgörande faktorerna i byggsammanhang. Man strävar alltid efter ett så bra material som möjligt till så lågt pris som möjligt. Detta är dock inget som styrs av Eurokod utan av företagen själva. 4.2 Miljö Tillverkning av betong är inte särskilt miljövänligt. Vid framställning av betong bryts kalk som sedan bränns för att tillverka cement som är en av huvudkomponenterna. Vid upphettning av kalk bildas stora mängder koldioxid som är en av de vanligaste växthusgaserna. Ett kg cement producerar 709 kg CO 2 under tillverkning. Idag står cementproduktionen för ca 3-4 % av världens totala koldioxidutsläpp (Svensk betong, ). WE-bjälklag bidrar till minskad betonganvändning för att istället kompensera med trä, en organisk förnyelsebar nationell basråvara. Ett WE-bjälklag med samma hållfasthetsegenskaper som ett rent betongbjälklag blir dock i regel tjockare och kräver därför högre vägghöjd men totalt så ger det byggnaden en minskad betongåtgång. 4.3 Byggtid och transport När man bygger har man ofta tidspress på sig på grund av de deadlines som ska mötas. En fördel med WE-bjälklag är att de prefabriceras och enkelt kan lyftas in med kran på byggarbetsplatsen. Det lämnas även utrymme i bjälklaget för installationer, till skillnad från ett traditionellt massivt betongbjälklag där alla installationer måste dras på utsidan eller gjutas in i konstruktionen. 4.4 Ljud Kravet på stegljudsisolering i Sverige är L nw + C 1, db (BBR 22, 2011). Högre ljudnivå än så får inte genomtränga bjälklaget. I det tidigare examensarbetet undersöktes aldrig detta på grund av tidsbrist. Betongens tunghet bidrar till goda ljudisoleringsegenskaper. Om kravet mot förmodan inte skulle uppfyllas finns kompletterande åtgärder i form av stegljudslist att vidta. Eftersom WE-bjälklaget är så pass högt kan tomrummet mellan betongen och CLTskivan också utnyttjas till andra ljuddämpande åtgärder. 4.5 Brand Betong brinner inte och är därför klassad som ett A1-material som är den högsta klassificeringen ur brandsynpunkt. I klass A1 hamnar endast flamsäkra material (BBR 22, 2011). Förutom betong är det bara sten och glas som uppfyller det kravet. Trä däremot är klassad betydligt lägre och hamnar obehandlad i brandklass D. Sammantaget för de utvärderade bjälklagen blir brandspridningsrisken i och med betongen väldigt låg. 16

17 4.6 Fukt Byggfukt är ett stort problem när man jobbar med betong och trä samtidigt under direktkontakt. Betong har ett överskott av fukt som långsamt dunstar när betongen härdar. Denna fukt kan absorberas av träet och orsaka mögelpåväxt eller röta. Prefabricering av betong/trä-produkter gör det enklare att kontrollera och styra torkningsprocessen. 4.7 Installationer WE-bjälklaget med sin CLT-platta är attraktiv ur installationssynpunkt. CLT-plattan är enkel att förbereda för installationer både på plats och i fabrik, då arbete med trä inte kräver tunga maskiner utan enkla verktyg räcker. Ytan mellan reglarna gör det också möjligt att gömma installationerna inuti bjälklaget 4.8 Egentyngd Egentyngden för det 407 mm tjocka WE-bjälklaget är ca 2,5 kn/m 2. Ett rent betongbjälklag med tjocklek 250 mm motsvarar ungefär samma bärförmåga, men med egentyngden 6,3 kn/m 2 beroende på betongkvalitetsval. Alltså är WE-bjälklaget ca 2,5 gånger lättare än motsvarande betongbjälklag. Detta är en viktig aspekt som påverkar vidare dimensionering av byggnaden. Det negativa är att WE-bjälklagets höjd överstiger ett rent betongbjälklag, vilket medför att väggar måste byggas högre om samma rumshöjd skall erhållas och påverkar därmed byggnadens höjd. På många platser kan det finnas en högsta byggnadshöjd och tjockare bjälklag kan medföra att man ej kan uppföra samma antal våningar som med ett tunnare. 17

18 5 Formelredovisning I detta kapitel redovisas de formler som använts i beräkningarna med kompletterande beskrivande text. Beräkningarna har utförts med hjälp av (Johannesson & Vretblad, 2011), (Carling, 1992) och (Larsen, 1967). Enhet och ekvationsnummer återfinns till höger om sagd ekvation. 5.1 Egentyngd För att kunna fastställa de laster som verkar på bjälklaget måste först en egenvikt för bjälklaget beräknas. Egenvikt = b btg h btg ρ btg + b C24 h C24 ρ 24 + b CLT h CLT ρ CLT [kn/m] (5.1) b = Bredd [m] h = Höjd [m] ρ = Tunghet [kn/m 3 ] 5.2 Lastnedräkning En lastnedräkning i bruksgränstillstånd görs enligt Eurokod SS-EN ekvation 6.12 a-b för lastkategori B (Eurokod 1, 2002) q = l infl (ψ NL) + egenvikt [kn/m] (5.2) NL = Nyttig last [kn/m 2 ] q = Utbredd last [kn/m] ψ = Reduktionsfaktor [enhetslös] l infl = Influensbredd [m] 18

19 5.3 Effektiv flänsbredd Eftersom bjälklaget består av tre olika material i tre lager, alla med olika elasticitetsmoduler görs tvärsnittet teoretiskt om till ett homogent tvärsnitt med ett av de ingående materialens elasticitetsmodul. Denna vägs mot de andra materialens respektive elasticitetsmodul. Detta förhållande appliceras på flänsbredderna. Således skapas ett homogent fiktivt tvärsnitt med samma yttröghetsmoment som det ursprungliga tvärsnittet. Höjderna på lagren är densamma för att behålla samma hävarm till tyngdpunkten. Se Figur 8 Figur 8 - Effektiv flänsbredd för kompositbjälklag Den effektiva flänsbredden beräknas enligt följande: E b ef = b [mm] (5.3) E ref E = Elasticitetsmodul [N/mm 2 ] E ref = Referensmaterialets elasticitetsmodul [N/mm 2 ] 5.4 Tyngdpunkt Med hjälp av den effektiva flänsbredden kan nu tyngdpunkten för tvärsnittet som ligger på avstånd a tp ifrån överkant betong räknas ut. Betong används som referensmaterial: a tp = b btg h btg h btg 2 + b ef,c24 h C24 (h btg + h C24 2 ) + b ef,clt h CLT (h btg + h C24 + h CLT 2 ) 5.5 Tröghetsmoment h btg b btg + h C24 b ef,c24 + h CLT b ef,clt 19 [mm](5.4) För vidare beräkningar krävs att yttröghetsmomentet räknas ut. Yttröghetsmomentet hos ett kompositmaterial med tre olika komponenter beräknas med hjälp av Steiners Sats. I a+b+c = I a + A a a 2 + I b + A b b 2 + I c + A c c 2 [mm 4 ] (5.5)

20 I = b h3 12 [mm 4 ] (5.6) A = b h [mm 2 ](5.7) I = Yttröghetsmoment [mm 4 ] A = Area [mm 2 ] a = avstånd från ök betong till tyngdpunkt btg [mm] b = avstånd från ök betong till tyngdpunkt C24 [mm] c = avstånd från ök betong till tyngdpunkt CLT [mm] 5.6 Verkningsgrader: Verkningsgraderna för förbindarna beräknas enligt följande: γ 1 = (1 + π2 E btg A btg s 1 K ser,1 l 2 ) 1 verkningsgrad kramla, btg-c24 (5.8) γ 2 = 1 verkningsgrad i C24 sätts till 1 som referensvärde eftersom den bara motsvarar kraften inom C24 γ 3 = (1 + π2 E CLT A CLT s 2 K ser,2 l 2 ) 1 verkningsgrad skruv, C24-CLT s = centrumavstånd mellan kramla/skruv l = längd på bjälklag K ser = Förbindarens styvhet γ = Verkningsgrad för förbindare [mm] [mm] [N/mm] [Enhetslös] 5.7 Effektiv böjstyvhet Multipliceras referenselasticitetsmodulen (E ref ) och verkningsgraderna (γ) hos förbindarna in i formeln för yttröghetsmomentet (I) så fås den effektiva böjstyvheten (Svensson, 2015): EI ef = E ref (I a + γ 1 A a a 2 + I b + γ 2 A b b 2 + I c + γ 3 A c c 2 ) [Nmm 2 ] (5.9) 20

21 5.8 Nedböjning Vidare beräknas maxnedböjningen som uppstår i mitten. Illustreras i Figur 9. Figur 9 - Nedböjning och glidning för fritt upplagd balk y mitt = 2 P b(3l2 4b 2 ) 48EI ef + 5 q l EI ef P = Punklast b = avstånd från kant till punktlast, 2014 mm enligt Figur 10 q = utbredd last(egentyngd) som verkar över hela bjälklaget l = total längd [mm](5.10) [N] [mm] [N/mm] [mm] Punktlasten multipliceras med två eftersom två punklaster användes under försöken på SP. Punklasterna verkar med samma avstånd från stöd. Se exempelbild i Figur 10 för att se hur provtryckningarna utfördes. Figur 10 - Utförande av provtryckningsupplag 21

22 5.9 Nedböjningskrav För att nedböjningen ska vara acceptabel så finns det olika krav: l/150 tar hänsyn till tillfälliga punktlaster. Egentyngd från bjälklaget medräknat l/300 ett hårdare krav att uppfylla, tar hänsyn till tillfälliga punktlaster. Egentyngd från bjälklaget medräknat l/400 tar endast hänsyn till den nyttiga lasten. I Tabell 2 i kap 8.10 så redovisas de maximala spännvidderna som ett bjälklag kan ha för de olika nedböjningskraven och bruksklasser (Högskolan i Borås, 2013). Max längd ett bjälklag kan ha med hänsyn till deformationskravet l/400 l 400 = 5ql4 384EI Vilket medför att: 1 l = ( 384EI ) q [m](5.11) 5.10 Spänningar Först beräknas de ingående materialens avstånd till det neutrala lagret. Det neutrala lagret och tyngdpunkten a tp ligger på samma avstånd från ök betong eftersom varken tvärsnittet eller E- modulerna ändras i vertikal riktning. a tp = Avstånd från överkant betong till neutrala lagret a 1 = Avstånd, tyngdpunkt betong till NL a 2 = Avstånd, tyngdpunkt regel till NL a 3 = Avstånd, tyngdpunkt CLT till NL a 1 = a tp h btg 2 [mm] [mm] [mm] [mm] (5.12) a 2 = h btg + h C24 2 a tp (5.13) a 3 = h btg + h C24 + h CLT 2 a tp (5.14) M balk är det dimensionerande moment som verkar på hela tvärsnittet M balk = ql2 + 2 Pab 8 l [Nmm] (5.15) 22

23 σ 1, σ 2 och σ 3 är spänningsförskjutningarna på grund av förbindarna. σ m1, σ m2 och σ m3 är spänningsfördelningen över respektive skikt. Dessa ger den totala spänningsfördelningen över vardera skikt som illustreras i Figur 11. σ 1 = γ 1 E btg a 1 M balk EI ef σ m1 = 0,5 E btg h btg M balk EI ef σ 2 = γ 2 E C24 a 2 M balk EI ef σ m2 = 0,5 E C24 h C24 M balk EI ef σ 3 = γ 3 E CLT a 3 M balk EI ef σ m3 = 0,5 E CLT h CLT M balk EI ef [MPa](5.16) [MPa](5.17) [MPa] [MPa] [MPa] [MPa] σ c = σ m + σ [MPa] (5.18) σ T = σ m σ [MPa] (5.19) σ C är tryckspänningen, σ T är dragspänningen som verkar i ett skikt när bjälklaget böjer. Figur 11 - Spänningsdiagram över tvärsnitt 23

24 5.11 Fördjupning Över ett godtyckligt snitt dx så ser kraftfördelningen ut enligt Figur 12, glidning illustreras i Figur 13. Figur 12 - Kraftjämvikt över ett snitt dx Figur 13 Glidning mellan de olika skikten u = deformationen i x-led w = nedböjningen i y-led s = centrumavstånd för skruv/kramla u s = glidning mellan skikten K ser = Förbindarens styvhet H = Horisontalspänningar längs materialskikt [mm] [mm] [mm] [mm] [N/mm] [N/mm] 24

25 Derivator av x betecknas med När en balk eller bjälklag böjer ner så kan nedböjningen ses som en cirkelsektion med en viss radie, se Figur 14. Större nedböjning ger en cirkel med mindre radie. På samma sätt ger mindre nedböjning större radie. Krökningsradien definieras som ϰ (kappa). Radien är samma för samtliga lager så länge de inte tryckts ut i vertikal-led. ϰ = 1 R [mm -1 ](5.20) Figur 14 - Krökningsradien ϰ (Langesten, 2000) M = ϰ EI ef Där M är det yttre moment som påverkar bjälklaget ϰ = M EI ef = 2 Pab + ql2 l 8 EI ef [mm -1 ](5.21) 25

26 Definitioner (Svensson, 2015; Larsen, 1967) Normalkrafter över respektive skikt: N 1 = E 1 A 1 u 1 N 2 = E 2 A 2 u 2 N 3 = E 3 A 3 u 3 [N](5.22) [N](5.23) [N](5.24) Moment över respektive skikt: M 1 = E 1 I 1 w [Nmm] (5.25) M 2 = E 2 I 2 w [Nmm] (5.26) M 3 = E 3 I 3 w [Nmm] (5.27) Horisontalkraft mellan skikten: H = K ser u s s [N/mm] (5.28) Tvärsnittets krökning: ϰ = w [mm -1 ] (5.29) Glidning mellan respektive skikt: u s1 = u 2 u 1 + w (y tp2 y tp1 ) u s2 = u 2 u 3 + w (y tp3 y tp2 ) [mm](5.30) [mm](5.31) Där y tp är avstånd mellan tyngdpunkter för de olika materialskikten 26

27 Kraftsamband (Svensson, 2015; Larsen, 1967) Genom att studera Figur 12 och 13 så kan följande uttryck bildas: För att jämvikt ska råda så måste normalkrafterna vara lika med noll: N = N 1 + N 2 + N 3 = 0 [N](5.32) Momentjämvikt över ett snitt är lika med det yttre momentet M påverkar bjälklaget. M = M 1 + M 2 + M 3 N 1 a 1 N 2 a 2 N 3 a 3 M = 2 Pab l + ql2 8 [Nmm](5.33) [Nmm](5.34) Kraftjämvikt över första lamellen, illustreras i Figur 12 N 1 (N 1 + dn 1 ) H 1 dx = 0 H 1 = N 1 [N](5.35) [N/mm](5.36) Deriveras (5.20) så fås: H 1 = E 1 A 1 u 1 [N/mm](5.37) Kombinera med (5.26): K ser,1 s 1 u s1 = E 1 A 1 u 1 u 1 = K ser,1 s 1 E 1 A 1 u s1 [mm -1 ](5.38) u 3 = K ser,2 s 2 E 3 A 3 u s2 [mm -1 ](5.39) (5.31) ger följande: N 2 = (N 1 + N 3 ) [N](5.40) (5.39) kan sättas in i (5.32) för att få M = M 1 + M 2 + M 3 N 1 a 1 + (N 1 + N 3 )a 2 N 3 a 3 M = M 1 + M 2 + M 3 N 1 (a 1 a 2 ) N 3 (a 3 a 2 ) [Nmm](5.41) 27

28 Derivera (5.40) med avseende på x M = M 1 + M 2 + M 3 N 1 (a 1 + a 2 ) N 3 (a 3 + a 2 ) [N](5.42) Derivera (5.20) och (5.22). Sätt in i (5.41) M = M 1 + M 2 + M 3 N 1 (a 1 + a 2 ) N 3 (a 3 + a 2 ) [N](5.43) M = M 1 + M 2 + M 3 E 1 A 1 u 1 (a 1 + a 2 ) E 3 A 3 u 3 (a 3 + a 2 ) [N](5.44) Substituera (5.37) och (5.38), detta ger oss: M = M 1 + M 2 + M 3 + E 1 A 1 K ser,1 s 1 E 1 A 1 u s1 (a 1 + a 2 ) + E 3 A 3 K ser,2 s 2 E 3 3 u s2(a 3 + a 2 ) = M 1 + M 2 + M 3 + K ser,1 (a 1+a 2 ) s 1 u s1 + K ser,2(a 3 +a 2 ) s 2 u s2 [N](5.45) ( ) kan nu användas för att förenkla momenten: M = E 1 I 1 w E 2 I 2 w E 3 I 3 w + K ser,1 (a 1+a 2 ) u s s1 + K ser,2(a 3 +a 2 ) u 1 s s2 [N](5.46) 2 M = (E 1 I 1 E 2 I 2 E 3 I 3 )w + K ser,1 (a 1+a 2 ) s 1 u s1 + K ser,2(a 3 +a 2 ) s 2 u s2 [N](5.47) Där M är det yttre momentet som verkar på bjälklaget, deriverat med avseende på x. (E 1 I 1 E 2 I 2 E 3 I 3 )w Momentkapaciteten för lamellerna utan samverkan multiplicerat med krökningsradien. K ser,1 (a 1 +a 2 ) s 1 u s1 Reduktionsfaktor på grund av kramla K ser,2 (a 3 +a 2 ) s 2 u s2 Reduktionsfaktor på grund av skruv Ekvation (5.46) kan integreras till följande (Larsen ekv(11.29), 1967) w = 5 ql [1 + 48(1 B2 ) EI D 2 l 2 ( 8B2 D 2 l 2 ( 1 cosh( Dl 2B ) 1) + 1)] (5.48)[mm] 28

29 Antaget att u n = u z n Där u är en konstant för glidningen, sammantaget så blir glidningen i ett tvärsnitt linjärt, enbart beroende på höjd ifrån NL. I 0 = B 2 I Där I 0 är yttröghetsmomentet för resp lamell och I är yttröghetsmomentet för hela tvärsnittet. (N D 2 1)K = a E A r A r = A 1A 2 A 3 A 1 + A 2 + A 3 N = antalet lameller K = medelvärde av styvhet för förbindare a = medelcentrumavstånd mellan förbindare K-värdesberäkningar För att räkna ut hur mycket kraft som överförs med hjälp av förbindare så har följande ekvation använts (Svensson, 2015). w tot = w 0 + M Kser,1 s1 A 1 + M Kser,2 s2 A 3 (5.49)[mm] w tot är den faktiska nedböjning som erhölls ifrån provtryckningar på SP. Denna nedböjning kan antas vara lika stor som nedböjningen för ett homogent bjälklag med full samverkan plus de nedböjningsbidrag som fås från förbindarna. Med glidningen känd kan ett samband mellan k 1 och k 2 erhållas. K ser,1 K ser,2 = u s2 u s1 (5.50)[enhetslös] Genom att kombinera (5.48) (5.49) och bryta ut K så erhålls följande uttryck K ser,1 = K ser,2 = M (w tot w 0 ) ( s 1 A 1 + u s2s 2 u s1 A 3 ) M (w tot w 0 ) ( u s1s 1 u s2 A 1 + s 2 A 3 ) (5.51)[N/mm] (5.52)[N/mm] 29

30 Punktlast i kn 6 Analys och resultat 6.1 Exempelnedböjning I Figur 15 presenteras nedböjningen som funktion av punktlasten för bjälklag med varierande verkningsgrad mellan materialskikten. Det teoretiskt styvaste bjälklaget är det homogena, vilket representeras av den ljusblå linjen, där verkningsgraderna är satta till 100 %. Det vekaste bjälklaget representeras av den gröna linjen, med verkningsgrader satta till 0 %, alltså helt utan samverkan. Dessa är framtagna för att illustrera bjälklagets extremvärden. Det faktiska bjälklaget kan således inte hamna utanför dessa extremvärden. Lila respektive gul kurva visar hur nedböjningen skiljer sig om vi låter verkningsgraden vara 100 % för kramlan och noll procent för skruven och vice versa. Intressanta resultat som analyseras vidare i Kapitel 7. Ur data från SP erhölls ett medelvärde för böjstyvheten under 40 % belastning. Via detta medelvärde har en medelnedböjning för försöksbjälklagen räknats ut, presenterad i Figur 15 som den mörkblå kurvan. Den svarta streckade linjen motsvarar det teoretiska bjälklaget erhållet ur beräkningsmodellen. I Figur 15 är verkningsgraderna för exempelbjälklaget anpassade för att överensstämma med medelnedböjningen. Dock med en viss förskjutning eftersom försöksbjälklagen inte undersöktes med egentyngden tagen i beaktning. γ 1 = verkningsgrad för kramla, γ 2 = 1, γ 3 = verkningsgrad för skruv enligt Kap Exempelnedböjning Homogen, γ1=100 % γ2=100 % γ1=0 % γ2=0 % , 0 0 5, , , , , , 0 0 Nedböjning i mm Exempelbjälklag inklusive egentyngd Medelprovtrycknings bjälklag γ1=100 % γ2=0 % γ1=0 % γ2=100 % γ1=50 % γ2=50 % Figur 15 Nedböjning som funktion av punklast 30

31 Punktlast i kn 6.2 Nedböjningsdata från SP Figur 16 visar nedböjning för provbjälklag WE 3, WE 4 och WE 6. Mörkblå kurva representerar återigen den i Kapitel 6.1 nämnda medelnedböjningen. Deformationen för försöksbjälklagen är i samtliga fall mindre är vad den uträknade medelnedböjning är. Eftersom medelnedböjningen är uträknad via en ur försöksdata erhållen böjstyvhet tas inte den initiala nedböjningen i beaktning. Medelnedböjningen blir således något högre än för de enskilda bjälklagen. 70 Nedböjningsdata från SP Homogen, γ1=100 % γ2=100 % γ1=0 % γ2=0 % Exempelbjälklag 40 WE3 30 WE WE6 Medelprovtrycknin gsbjälklag 0 0, 0 0 5, , , , 0 0 Nedböjning i mm Figur 16 - Nedböjningsdata från SP, Nedböjnings som funktion av punktlast 31

32 Last [kn] 6.3 Sammanställning av glidningsdata I Figur 17 har glidningsprovdata från SP för bjälklag tre, fyra och sex sammanställts. Glidningen mellan lagren presenteras som funktion av punktlasten, P. Eftersom testerna utfördes i brottgränstillstånd har grafen begränsats till 40 % av den fullständiga lasten, då 40 % ungefär motsvarar bjälklagets belastning i bruksgränstillstånd. Den maximala last som erhålls i detta tillstånd kan avläsas till cirka 60 kn. Glidning undersöktes aldrig i testerna ett, två och fem, dessa är således inte med i grafen. Glidningen mellan regeln och betongen är i samtliga tester större än glidningen mellan balken och CLT-skivan vilket tyder på att kramlan som fäster regeln till betongen har sämre verkningsgrad än skruvarna som håller ihop regeln med CLTskivan. Detta stöds också av beräkningarna. 65 Glidning ,5 1 1,5 2 2,5 3 Mittnedböjning/relativ förskjutning [mm] WE 4 - Last - relativ förskjutning balk-clt WE 3 - Last-förskjutning balk-btg WE 3 - Last - förskjutning balk-clt WE 4 - Last relativ förskjutning balk -btg WE6 - Last-förskjutning balk.btg WE 6 - Last- förskjutning balk- CLT Figur 17 - Glidning för testbjälklag WE3, WE4 och WE6 32

33 Kraftvöerföring per längdenhet [N/mm] Kraftvöerföring per längdenhet [N/mm] 6.4 Analys av Kser Ekvation (5.50) och (5.51) ger resultat enligt Figur 18 och 19. I dessa noteras hur kraftöverföringen avtar med ökande punktlast och planar ut för att erhålla ett värde på K. De olika färgerna i Figur 18 och 19 visar de olika bjälklagen som testades på SP. Medelvärdet för K ser redovisas i Tabell 1. Avvikande värden är ej medräknade för att få ett rättvist medelvärde. K ser, Punktlast [kn] WE3 WE4 WE6 Figur 18 - K-värde för kramla som funtion av punktlast K ser, Punktlast [kn] WE3 WE4 WE6 Figur 19 - K-värde för WT-T skruv som funktion av punktlast 33

34 Tabell 1 - Medelvärde för K ser K1 K2 WE , ,18 WE , ,30726 WE , ,87752 N/mm N/mm 34

35 7 Diskussion Eftersom bara sex bjälklag testades med samma sorts kramla och skruv så finns det fortfarande mycket forskning kvar att göra. De grafiskt illustrerade glidningsmätningarna i Figur 17 visar att betongskiktet alltid gled mer än vad CLT-skivan gjorde. I Figur 15 syns också att nedböjningen blev större när kramlornas verkningsgrad sattes till 100 % och skruvarnas till 0 % än vad den blev vid ett motsatt scenario. Detta påvisar att kramlorna var sämre än skruvarna på att överföra kraft mellan skikten. Något som kan ha med kramlans utseende att göra. Hade den varit räfflad, gängad eller med ankarmönster istället för slät hade vidhäftningen blivit större. Vilket i sin tur lett till en högre verkningsgrad och ett styvare bjälklag hade kunnat erhållas. Styvare bjälklag leder till minskad nedböjning och glidning, således kan också en högre spännvidd erhållas. Spännvidderna som presenteras i Tabell 2 i kap 8.10 är förvisso konkurrenskraftiga för de olika nedböjningskraven. Skulle högre spännvidder ändå krävas är den enklaste åtgärden att använda mer effektiva kramlor. Eftersom det bara skilde 1,2 procentenheter i samverkan mellan kramlan och skruven hade det även varit intressant att testa med andra skruvar för att se hur samverkan hade skilt sig. Endast en typ av skruv användes i samtliga försök, WT-T skruv ifrån SFS-Intec. I beräkningsmodellen är nedböjningen antagen att vara direkt linjär. I Figur 16 observerades att så inte var fallet. Upp till en last på 20 kn tedde sig bjälklagen icke linjära. Precis vid pålastning var nedböjningen i förhållande liten, för att sedan öka och efter lasten 20 kn inta en linjär skepnad. Beräkningsmodellen är anpassad efter det linjära stadiet och nedböjningen för det framräknade bjälklaget ligger således något högre än för försöksbjälklagen. Vid närmre analys av verkningsgraderna upptäcktes felaktigheter. För tvärsnittet som testades på SP skulle verkningsgraderna matematiskt blivit 3,3 % för kramlorna och 4,5 % för skruvarna. Med dessa värden hade nedböjningen för bjälklaget blivit 71 mm vid en punktlast på maximala 60 kn, men ur försöken avläses en medelnedböjning på 20 mm vid samma last, alltså en väsentlig skillnad. Eftersom verkningsgraderna för kramlorna och skruvarna beräknas enskilt beror de således inte av varandra rent matematiskt. Vi lät därför verkningsgraden för kramlorna vara sina ursprungliga 3,3 % och lät sedan verkningsgraden för skruvarna variera till dess att den teoretiska nedböjningen stämde med nedböjningsdata från SP. Med ett värde på 45 % visade sig nedböjningen bli den eftersöka, alltså 20 mm. Samverkan visade sig således vara större i praktiken än rent matematiskt. Detta beror mest troligt på felaktiga värden på K ser, förbindarnas styvhet. Ur värdet på K ser framgår inte heller hur vidhäftning tas i beaktning. Vid provtryckningarna på SP så var det inte kramlorna eller skruvarna som gav vika utan i fem av sex fall så var det skjuvbrott i reglarna som var avgörande. Detta kan ha berott på defekter och lokala försvagningar i reglarna, några som uppmärksammades innan testerna startades. Givetvis är detta inte något att föredra. Testresultaten blir missvisande när träet plötsligt brister. Excelberäkningarna skiljer sig således i viss mån från testresultaten. Som nämnt tidigare i rapporten så är det nedböjningen som blir dimensionerande för WEbjälklagen. Både trä och betong har sega brott. Något som är vitalt i bjälklag där ett sprött brott kan leda till fruktansvärda olyckor om bjälklaget plötsligt ger vika. I och med det sega brottet kommer deformationer ge obehag långt innan bjälklaget går till brott och eventuella åtgärder kan vidtagas. 35

36 Figur 18 och 19 åskådliggör K ser som funktion av punktlasten. Ur figurerna kan det fastställas att spridningen av K ser1 är större än K ser2. Detta beror mest troligt på sprickbildningen i träet, vilket resulterar i bristande vidhäftning kring kramlorna. Ett problem som diskuterats tidigare i kapitlet. Noterbart är att både skruv och kramla i den fjärde provtryckningen överförde minst krafter, medan i de andra två provtryckningarna skiljde sig resultaten åt. 36

37 8 Numeriska beräkningar 8.1 Indata E C24 =11000 MPa Kvalité C24 E CLT =12000 MPa E btg =35000 MPa Kvalité C40/50 ρ C24 =5 kn/m 3 ρ CLT =4 kn/m 3 ρ btg =25 kn/m 3 b 1 =1200 mm b 2 =2x70=140 mm b 3 =1200 mm h 1 =70 mm h 2 =220 mm h 3 =117 mm l=6500 mm Influensbredd=1200 mm s kramla =85 mm s skruv =185 mm K ser, kramla =2000 N/mm K ser, skruv =3400 N/mm Värden och dimensioner är erhållna ur materialdata från SP. 8.2 Egentyngd För att kunna fastställa de laster som kommer verka på bjälklaget måste först en egentyngd för bjälklaget beräknas (5.1): Egt = 0,070 1, ,220 0, ,117 1,200 4 = 2,816 kn m 8.3 Lastnedräkning En lastnedräkning i bruksgränstillstånd görs enligt 6.12 a-b i lastkategori B. Detta ger den nyttiga lasten 2,5 kn/m 2 och reduktionsfaktorn ψ 0 = 0,3. Influensbredd på sagt bjälklag är 1,2 meter. Lasten q räknas ut genom ekvation (5.2): q = 2, , ,2 = 3,72 kn m 37

38 8.4 Effektiva flänsbredder Med betong satt som referensvärde blir effektiva bredden för C24- regeln och CLT-skivan följande: (5.3) b ef2 = = 44 mm b ef3 = = 411,4 mm Tyngdpunkt Vidare kan tyngdpunkten a tp räknas ut: (5.4) a tp = ( ) ( ) + 411,1 117 ( ) ,4 117 = 151,3 mm För att kontrollera att a tp blir samma oavsett referensmaterial beräknas a tp också med C24- regeln som referens. b ef1 = = 3818,2 mm b ef3 = = 1319,1 mm a tp = 3818,2 70 ( ) ( ) ,1 117 ( ) 3818, ,1 117 = 151,3 mm 38

39 8.6 Tröghetsmoment och böjstyvhet Nedan beräknas det gemensamma yttröghetsmomentet I för ett homogent tvärsnitt där verkningsgraderna γ 1, γ 2, γ 3 är satta till 1. Det vill säga för ett tvärsnitt med full samverkan mellan skikten. b ref används som bredd. Betong är referensmaterialet: Ekvation (5.5) I = (151, ) (151, ) 411, , ( ,3) 2 = 3,14E9 mm 4 Genom att multiplicera yttröghetsmomentet I med elasticitetsmodulen E för referensmaterialet betong erhålls böjstyvheten EI för ett homogent tvärsnitt EI 100% = ,14E9 = 1,1E14 Nmm 2 = 1,1E11 knmm 2 Beräkning av yttröghetsmomentet med γ 1, γ 3 satta till noll, alltså med ingen samverkan i tvärsnittet. γ 2 = 1 då det är vår referens för förbindarna. γ 2 är spänningarna inom C24 och motsvarar inte ett materialskikt som γ 1 och γ 3 gör. I = (151, ) (151, ) 411, , ( ,3) 2 = 1,36E8 mm 4 Böjstyvheten för ett tvärsnitt utan samverkan erhålls på samma sätt som tidigare, genom att multiplicera elasticitetsmodulen E med tröghetsmomentet I. EI 0% = ,36E8 = 4,77E12 Nmm 2 = 4,77E9 knmm 2 Böjstyvhetsberäkningar för tvärsnitt utan samverkan respektive full samverkan görs för att få fram de extremvärden ett tvärsnitt kan ha. Beräkningar för ett tvärsnitt med godtycklig verkningsgrad kommer således hamna någonstans mellan dessa två extremtvärden. 39

40 8.7 Verkningsgrader Beräkningar för verkningsgrader mellan skikten räknas ut enligt följande: γ 2 används som referensvärde, glidningen antas teoretiskt ske i betongen och CLT-skivan för att reducera och förenkla beräkningarna, γ 2 sätts således till ett. Verkningsgrad γ 1, kramla i betong: Ekvation (5.8) γ 1 = (1 + π ) 1 = 0,033 Verkningsgrad γ 2, enbart C24 γ 2 = 1 Verkningsgradγ 3, skruv i CLT-skiva: γ 3 = (1 + π2 E CLT A CLT s skruv K ser,skruv L 2 ) 1 = 0,328 Verkningsgrad γ 3 för skruv mellan C24-regeln och CLT-skivan erhålls genom att matcha nedböjningen med mätdata från SP. γ 3 väljs till 0,328. Om inte tillgång till reell mätdata existerat och γ 3 istället beräknats hade följande erhållits: γ 3 = (1 + π ) 1 = 0,044 Detta diskuteras i kapitel Effektiv Böjstyvhet Med verkningsgraderna γ 1 och γ 3 bestämda räknas nu en reell effektiv böjstyvhet, EI ef ut med ekvation (5.9) enligt följande: EI ef = ( + 0, (151, ) (151, ) , , ,4 117 ( ,3) 2 ) = 2,76E10 knmm EI ef är inte konstant eftersom verkningsgraderna ändrades kontinuerligt under skapandet av beräkningsmodellen. För exakt värde på EI ef hänvisas till beräkningsmodellen i Excel. 40

41 8.9 Nedböjning Eftersom P varierar så är bara egentyngden medräknad nedanför. Ekvation (5.10). y mitt = 5 3,72 6, ,76E4 = 0,00313 m = 3,13 mm 8.10 Nedböjningskrav Max längd ett bjälklag kan ha för att uppfylla de olika nedböjningskrav som finns redovisas i Tabell 2 nedan. De olika kraven tar hänsyn till skilda lastfall. L/150 och L/300 tar med egentyngd och nyttig last medan L/400 bara tar hänsyn till nyttig last. Längderna har räknats ut enligt (5.11). I följande exempel är nedböjningskravet L/300 för lastfall B: ,76E4 l = ( ,72 ) 3 = 12,38 m Tabell 2 - Maximala spännvidder för olika bruksklasser Lastfal l ψ0 qk egt 6.16b - Lastnedräknin g bruksgräns, inflbredd 1,2m w - nedböjnin g L/150 L/300 L/400 B 0,3 2,5 2,8156 3,72 3,13 15,60 12,38 12,08 C1 0,6 2,5 4,62 3,89 14,52 11,52 12,08 C2 0,6 2,5 4,62 3,89 14,52 11,52 12,08 C3 0,6 3 4,98 4,19 14,16 11,24 11,37 C4 0,6 4 5,70 4,80 13,53 10,74 10,33 C5 0,6 5 6,42 5,41 13,01 10,32 9,59 D1 0,8 4 6,66 5,61 12,85 10,20 10,33 D2 0,8 5 7,62 6,42 12,28 9,75 9,59 kn/m2 kn/m kn/m mm m m m 41

42 8.11 Spänningsberäkningar M balk är det yttre moment som verkar på bjälklaget (5.15) M balk = ql Pab l Eftersom P varierar så har bara egentyngden tagits hänsyn till nedanför. M balk = 3,37 6, = 17,80 knm Med hjälp av den redan bestämda tyngdpunkten a tp beräknas nu avstånden från respektive lagers tyngdpunkt till NL, se Figur 19. Värdena som visas i Figur 19 stämmer inte överens med spänningsberäkningarna eftersom de beror av verkningsgraderna vilka har ändrats flera gånger under beräkningsprocessen. Figur 19 - Spänningsdiagram a tp = Avstånd ök betong till NL = 151,3 mm a 1 = Centrum betong till NL (5.12) a 2 = Centrum liv till NL (5.13) a 3 = Centrum CLT till NL (5.14) a 1 = 151, = 116,3 mm a 2 = a 3 = ,3 = 28,7 mm 151,3 = 197,2 mm 42

43 Dessa spänningsberäkningar förutsätter att P=0. Se Excelark för fler resultat. σ 1 = 0, ,6 17,8E3 2,76E10 σ m1 = 0, ,8E3 2,76E10 = 0,09 MPa (5.15) = 0,79 MPa (5.16) σ c1 = 1,27 + 0,18 = 0,88 MPa (5.17) σ T1 = 1,27 0,18 = 0,71 MPa (5.18) σ 2 = σ m1 = a2 17,8E3 2,76E10 0, ,8E3 2,76E10 σ c2 = 1,25 + ( 0,19) = 0,99 MPa σ T2 = 1,25 ( 0,19) = 0,58 MPa = 0,2 MPa = 0,78 MPa σ 3 = σ m3 = 0, a3 17,8E3 2,76E10 0, ,8E3 2,76E10 σ c2 = 0,73 + 0,32 = 0,96 MPa σ T2 = 0,73 0,32 = 0,05 MPa = 0,5 MPa = 0,45 MPa 43

44 8.12 Krökningsradien: Krökningsradien för ett bjälklag är samma genom hela tvärsnitten så länge skikten inte glipar (5.57) ( ) 2 + ϰ = ,75E13 3, = 1,18E 6 mm 1 Krökningsradien är beroende av punktlasterna så nedan visas bara en av flera beräkningar. Genom att kombinera (5.32) med (5.23), (5.24) och (5.25) så kan momenten som verkar över respektive lamell beräknas. M 1 = M 2 = M 3 = ,18E 6 = 1,42E6 Nmm = 1,42 knm 1,18E 6 = 1,62E6 Nmm = 1,62 knm 1,18E 6 = 2,27E6 Nmm = 2,27 knm 8.13 K-värdesberäkningar Följande räkneexempel är gjort för WE3 med punktlasten 60kN. K 1 = (18,36 5,06) ( , , ) = N mm K 2 = (18,36 5,06) ( 2, , ) = N mm (5.50)[N/mm] (5.51)[N/mm] 44

45 9 Referenser BBR 22, Boverket [Online ] Avaliable at: Cambridge, Dissemination of IT for the Promotion of Materials Science (DoITPoMS) University of Cambridge [Online ] Avaliable at: Carling, Olle., Glidning i: Dimensionering av träkonstruktioner. Solna, ss Eurokod 1, Eurokod 1: Laster på bärverk - Del 1-1: Allmänna laster - Tunghet, egentyngd, nyttig last för byggnader Högskolan i Borås., Lastnedräkning i: Formelsamling byggnadsmekanik, laster enligt Eurokod, ss Johannesson, P & Vretblad, B., Byggstatik. i: Byggformler och tabeller. Täby: Liber AB, Stockholm, ss Johannesson, P & Vretblad, B., Hållfasthetslära. i: Byggformler och tabeller. Täby: Liber AB, Stockholm, ss Järnmark, H & Jedid, W., Samverkansbjälklag betong-massivträ, Högskolan i Borås, Sverige. Borås. Langesten, B Spänningar i: Betongkonstruktion 3. Gävle: Liber Utbildning, ss Larsen, H.J., Glidning i: Beregning af traekonstruktione, Teknisk förlag, Köpenhamn, ss Lukaszewska, E., Development of prefabricated timber-concrete composite floors, Luleå: LTU. Lunds Tekniska Högskola, Sammansatta konstruktionselement i: Träkonstruktioner 4. KFS i Lund AB, ss Nagy, Agnes., Lektor vid Högskolan i Borås. Intervju Richart, F & Williams, C. B. J., Tests of composite timber and concrete beams, Urbana, Illinois: University of Illinois engineering station. Svensson, Staffan., Professor vid Högskolan I Borås. Intervju Svensk Betong, Svensk Betong. [Online] Available at: [ ] 45