Föreläsning 2: A/ modellera och lösa LP-problem. TAOP14: Föreläsning 2
|
|
- Ove Vikström
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 TAOP14: Föreläsning 2 Problemställning i ord matematisk modell AMPL-modell CPLEX resultatutskrift svar på den givna problemställningen TAOP14: Föreläsning 2 2 Föreläsning 2: A/ modellera och lösa LP-problem Problemställning i ord matema=sk modell AMPL-modell CPLEX resultatutskrid svar på den givna problemställningen 1
2 TAOP14: Föreläsning 2 3 Verkligt problem Iden=fiering, avgränsningar, förenklingar, antaganden Verifiering Validering Förenklat problem Op=meringsmodell Lösning Formulering Lösningsmetod Resultat TAOP14: Föreläsning 2 4 Problemställning i ord matematisk modell Beslut Variabler Mål Målfunk=on Begränsningar Bivillkor 2
3 TAOP14: Föreläsning 2 5 Exempel: Produk=onsplanering Produk=on av två olika produkter. Maximera den totala vinsten. Resurs=llgång vid de två =llverkningsavdelningarna: avd 1: 240h; avd 2: 140h Produkt 1 vinst/enhet: 30 kr resursåtgång avd 1: 4h resursåtgång avd 2: 2h begränsad ederfrågan: 40 st Produkt 2 vinst/enhet: 20 kr resursåtgång avd 1: 3h resursåtgång avd 2: 2h TAOP14: Föreläsning 2 6 Modellformulering Variabeldefini=on: x i = antalet =llverkade av produkt i, i = 1, 2 Matema=sk modell: max z = 30x x 2 då 4x 1 + 3x 2 apple 240 2x 1 + 2x 2 apple 140 x 1 apple 40 x 1, x 2 0 [målfunk)on] [resurs, avd. 1] [resurs, avd. 2] [maxproduk)on] [variabelbegränsningar] 3
4 TAOP14: Föreläsning 2 7 Vid modellering Parametrar: Givna data, beskriver problemet. Resursbegränsningar, priser, =llgångar, ederfrågan Variabler: Det man ska fa/a e/ beslut om / vill ha svar på. Produk=on, försäljning, inköp, lager, transport, blandning Bivillkor: Kopplar samman variabler och parametrar som behöver kommunicera med varandra. Resursbegränsningar, lagerbalans, ederfrågekrav Målfunk=on: Maximera vinst / minimera kostnader Försäljning gånger intäkt minus inköp gånger inköpspris TAOP14: Föreläsning 2 8 Parametrar Alla siffror som är kända, givna från början, beskriver förutsä/ningarna för problemet. Till exempel: Resurser - Tillgångar b kt ( råvara k, =d t ) - Åtgång a kj ( råvara k, produkt j ) Priser - Inköpspriser p kt ( råvara k, =d t ) - Försäljningspriser c jt ( produkt j, =d t ) EDerfrågan - Krav på produk=on d jt ( produkt j, =d t ) Kan vara minimumkrav ( ), maximumkrav ( ) eller exakt ederfrågan (=). 4
5 TAOP14: Föreläsning 2 9 Variabler Det man ska bestämma / kan påverka / vill ha svar på: Produk=on x jt hur mycket ska produceras av produkt j under =dsperiod t Inköp y kt hur mycket ska köpas in av råvara k under =dsperiod t Lager L kt hur mycket finns i lager av råvara k i slutet (början) av =dsperiod t Transport T mnt hur mycket ska transporteras från plats m =ll plats n under =dsperiod t TAOP14: Föreläsning 2 10 Bivillkor Reglerar så a/ ställda krav tvingas a/ uppfyllas : Resursbegränsningar Lagerbalans j J a kj x jt b kt k, t Lk, t 1 + ykt akj x jt = Lkt k, t j J Transportkrav (från varje m) Variabelbegränsningar (=ll varje n) n N T T mnt mnt m M x jt s d mt nt m, t n, t 0 j, t 5
6 TAOP14: Föreläsning 2 11 Målfunk=on Ska minimeras eller maximeras Kan bestå av flera komponenter (intäkter / kostnader). Ska bestå av all=ng som man tjänar på, och allt som kostar Koppla samman varje kostnad / intäkt med en lämplig variabel. Exempelvis: Inköpskostnad (parameter) & inköpsmängd (variabel) p kt * y kt Försäljningspris (parameter) & försäljning (variabel) c jt * x jt Om en viss intäkt / kostnad inte verkar passa ihop med någon av variablerna: Fundera över om någon variabel saknas! TAOP14: Föreläsning 2 12 Formulering av bivillkor Produk=onsplaneringsproblem: I råvaror används ( i = 1,,20 ) J produkter ska =llverkas ( j = 1,...,10 ) T =dsperioder ( t = 1,...,5 ) Förutsä/ningar: Råvarubegränsning: b ijk enheter per vecka Total =llgång av varje enskild råvara: c i Total =llgång av samtliga råvaror: b total EDerfrågekrav på varje produkt: minst d j enheter Total produk=onsmängd: som mest d total enheter 6
7 TAOP14: Föreläsning 2 13 Formulering av bivillkor Variabeldefini=on: x ijt = Mängd råvara i som ska blandas i produkt j i =dsperiod t, i = 1,,20 j = 1,...,10 t = 1,...,5 Formulera följande bivillkor: a) Användningen av råvara i =ll produkt j får inte övers=ga =llgången b ijt enheter per vecka t b) Användningen av råvara i får inte övers=ga den totala =llgången c i enheter c) Den totala användningen av råvaror får inte övers=ga b total enheter T 2.1 TAOP14: Föreläsning 2 14 Formulering av bivillkor d) Den totala mängden av produkt j ska vara minst d j enheter e) Den totala mängden av produkter får högst vara d total under varje vecka t f) Mängden av råvara i = 2 ska vara densamma som råvara i = 3 =ll produkt j under vecka t = 4 g) Varje enskild produkt som =llverkas får innehålla som mest 30% av råvara i = 8 7
8 TAOP14: Föreläsning 2 15 Exempel: produk=onsplanering II De kommande tre veckorna, t = 1,2,3, är ederfrågan av en viss produkt d 1, d 2, respek=ve d 3. EDerfrågan i vecka t =llgodoses an=ngen genom produk=on eller a/ ta från befintligt lager. Kostnaden a/ =llverka en enhet i vecka t är c t. Vid produk=on används en maskin vars kapacitet är M =mmar varje vecka. För a/ =llverka en enhet vecka t så går det åt h t =mmar. Behöver man y/erligare maskin=mmar kan man leasa en maskin för k kr/=mme. Lagret har en kapacitet på S produkter och det kostar p kronor a/ lagra en enhet från en vecka =ll nästa. Ini=allagret (det som finns kvar i slutet av vecka t=0) betecknas L_init. Formulera problemet som e/ linjärt op=meringsproblem T 2.2 TAOP14: Föreläsning 2 16 LP-modell, produk=onsplanering II min z = 3 c t x t + p L t + k t=1 t=1 t=1 3 3 y t då L t S, t =1,2,3 h t x t M + y t, t =1,2,3 L t 1 + x t d t = L t, t =1,2,3 L 0 = L _init x t, y t 0, t = 1,2,3 L t 0, t = 0,1,2,3 8
9 TAOP14: Föreläsning 2 17 LP-modell, matrisform max z = c T x då Ax b x 0 OBS: I denna modell finns både = - villkor och - villkor x = ( x 1 x 2 x 3 L 0 L 1 L 2 L 3 y 1 y 2 y 3 ) T c = ( c 1 c 2 c 3 0 p p p k k k ) T b = ( S S S M M M d 1 d 2 d 3 L _init ) T TAOP14: Föreläsning 2 18 LP-modell, matrisform A = h h h
10 TAOP14: Föreläsning 2 19 Kom ihåg! Skilj på parametrar (numerisk data) och variabler (det vi ska fa>a beslut om). I en LP-modell får variabler inte mul=pliceras eller divideras med varandra! I bivillkoren, skilj på: - e/ villkor för varje index ( ) - summera över index ( ) TAOP14: Föreläsning 2 20 Matema=sk modell AMPL-modell AMPL = modelleringsspråk som används för a/ formulera en matema=sk modell så a/ e/ datorprogram, tex CPLEX, kan förstå den. Skrivs i en vanlig texpil. Två strategier: Alterna=v 1: Modell och data =llsammans Alterna=v 2: Modell och data var för sig 10
11 TAOP14: Föreläsning 2 21 AMPL Alterna=v 1: Alterna=v 2: max z = 30x x 2 max z = X j2j c j x j då 4x 1 + 3x 2 apple 240 2x 1 + 2x 2 apple 140 x 1 apple 40 x 1, x 2 0 då X a ij x j apple b i, i 2 I j2j x j 0, j 2 J Modell och data =llsammans. Enkelt för små problem. Modell och data var för sig. Smidigare för stora problem, mer generellt. TAOP14: Föreläsning 2 22 AMPL-modell, alt. 1 # Variabeldefinition var x1 >= 0; var x2 >= 0; Tecknet # används framför kommentarer # Målfunktion maximize z : 30*x1 + 20*x2; # Bivillkor subject to Avd_tid1 : 4*x1 + 3*x2 <= 240; Avd_tid2 : 2*x1 + 2*x2 <= 140; Maxproduktion : x1 <= 40; 11
12 TAOP14: Föreläsning 2 23 AMPL-modell, alt. 2, modell set PRODUKTER; set AVDELNING; # Har olika produkter # Har olika avdelningar param Vinst{ PRODUKTER }; # Täckningsbidraget param Maxtid{ AVDELNING }; # Tidstillgång, avd. param a{ PRODUKTER, AVDELNING }; # Tidsåtgång param Maxprod{ PRODUKTER }; # Maxtillverkning var x{ PRODUKTER } >= 0; # Variabeldefinition TAOP14: Föreläsning 2 24 AMPL-modell, alt. 2, modell maximize z : sum{ i in PRODUKTER } Vinst[i]*x[i]; subject to Namn på villkoret För varje... Avd_tid{ j in AVDELNING }: sum{ i in PRODUKTER } a[i,j]*x[i] <= Maxtid[j]; Maxproduktion{i in PRODUKTER}: x[i] <= Maxprod[i]; Summera över... 12
13 TAOP14: Föreläsning 2 25 AMPL-modell, alt. 2, data set PRODUKTER := p1 p2; set AVDELNING := m1 m2; param : Vinst Maxprod := p p ; param : Maxtid := m1 240 m2 140 ; Här specificeras: 2 produkter 2 avdelningar M=1000, ett tillräckligt stort tal param a : m1 m2 := p1 4 2 p2 3 2 ; TAOP14: Föreläsning 2 26 AMPL-modell CPLEX Vi har en modell- och en datafil som beskriver vårt problem. Hur få datorn a/ lösa det? modellfil: mi/problem.mod kommandofil: mi/problem.run datafil: mi/problem.dat 13
14 TAOP14: Föreläsning 2 27 Kommandofil reset; # nollställer tidigare beräkningar options solver cplex ; # väljer lösare model exempel1.mod ; # väljer modell data exempel1.dat ; # väljer data solve; # löser problemet # skriver resultatet till fil display x > exempel1.res; display Avd_tid.slack > exempel1.res; TAOP14: Föreläsning 2 28 CPLEX resultatutskrid Alt. 1, modell och data i samma fil z = x1 = 40 x2 = Avd_tid1.slack = 0 Avd_tid2.slack = 6.67 Alt. 2, separata filer z = x [ * ] := p1 40 p ; Avd_tid.slack [ * ] := m1 0 m2 6.67; 14
15 TAOP14: Föreläsning 2 29 resultatutskrid svar på den givna problemställningen Läs av resultatet och gör en rimlighetsbedömning: Är variabelvärdena rimliga i rela=on =ll vad som är lönsamt?... i rela=on =ll de villkor och krav som finns? Är målfunk=onsvärdet rimligt? Om möjligt, gör en överslagsräkning Jämför med en op=mis=sk ska/ning Jämför med en pessimis=sk ska/ning TAOP14: Föreläsning 2 30 Op=mis=sk ska/ning Måste all=d, med säkerhet, ge e/ värde som är bä/re än det op=mala målfunk=onsvärdet. Strategi: Använd enkel papper och penna räkning Ska/a variablerna så a/ de blir för bra Förenkla målfunk=onen så a/ den ger e/ för bra värde max z = 30x x 2 då 4x 1 + 3x 2 apple 240 2x 1 + 2x 2 apple 140 x 1 apple 40 x 1, x 2 0 T
16 TAOP14: Föreläsning 2 31 Op=mis=sk ska/ning Finns flera olika ska/ningar. Ju fler villkor man tar hänsyn =ll, desto bä/re (starkare) blir ska/ningen. En möjlighet: Ändra c 2 från 20 =ll 30, nu är x 1 och x 2 likvärdiga. Dessutom kräver x 2 mindre resurser än x 1.. Tillverka endast x 2 => x = (0,70) T, z opt = 30*70 = 2100 :- Eller: Ändra koefficient 4 =ll 3 i första bivillkoret: 3x 1 + 3x 2 <= 240 Bivillkoren 3*(x 1 +x 2 ) <= 240 och 2*(x 1 +x 2 ) <= 140 ger a/ vi kan =llverka totalt 70 enheter, och som mest 40 st av x 1 Ger en ska/ning: x = (40,30) T, z opt = 30* *30 = 1800 :- TAOP14: Föreläsning 2 32 Pessimis=sk ska/ning Måste all=d, med säkerhet, ge en lösning som är =llåten med avseende på bivillkoren. Strategi: Använd enkel papper och penna räkning Förenkla problemet utan a/ fler lösningar än de ursprungliga blir =llåtna, troligen fås då färre =llåtna lösningar max z = 30x x 2 då 4x 1 + 3x 2 apple 240 2x 1 + 2x 2 apple 140 x 1 apple 40 x 1, x 2 0 Förenkla målfunk=onen så a/ den ger e/ för dåligt värde T
17 TAOP14: Föreläsning 2 33 Pessimis=sk ska/ning De finns återigen olika ska/ningar. Kom ihåg a/ varje =llåten lösning all=d ger en pessimis=sk ska/ning: x = ( 0, 0) T, z pess = 30*0 + 20*0 = 0 :- x = (40,0) T, z pess = 30* *0 = 1200 :- Eller: Ändra koefficient 3 =ll 4 i första bivillkoret: 4x 1 + 4x 2 <= 240 Bivillkoren 4*(x 1 +x 2 ) <= 240 och 2*(x 1 +x 2 ) <= 140 ger a/ vi kan =llverka totalt 60 enheter, och som mest 40 st av x 1 Ger en ska/ning: x = (40,20) T, z pess = 30* *20 = 1600 :- Slutsats: 1600 <= z* <= 1800 TAOP14: Föreläsning 2 34 Labora=on 1 SyDar =ll a/ ni ska komma igång med AMPL Gå från problemställning i ord =ll resultatutskrid Byggs upp stegvis Förberedelse inför projektuppgiden där ni ska lösa e/ något större problem 17
18 TAOP14: Föreläsning 2 35 Uppsummering Fö. 2 Modellering Parametrar, variabler, bivillkor, målfunk=on AMPL, modelleringsspråk för op=meringsproblem Sista sidorna på dagens föresläsning visar AMPLmodellen för problemet Produk=onsplanering II Upörliga exempel Modellering på Lisam: E/ dokument som försöker beskriva vad man bör tänka på vid modellering Work in progress, kom gärna med feedback och förslag på förbä/ringar TAOP14: Föreläsning 2 36 Produk=onsplanering II min z = 3 c t x t + p L t + k t=1 t=1 t=1 3 3 y t då L t S, t =1,2,3 h t x t M + y t, t =1,2,3 L t 1 + x t d t = L t, t =1,2,3 L 0 = L _init x t, y t 0, t = 1,2,3 L t 0, t = 0,1,2,3 Behöver skapa tre filer. kommandofil: exempel2.run modellfil: exempel2.mod datafil: exempel2.dat 18
19 TAOP14: Föreläsning 2 37 modellfil, del 1 set produkter; # Olika produkter param T; # Antal veckor param c{produkter}; # Produktionskostnad param Efterfrågan{1..T} # Efterfrågan varje vecka param p; # Lagerkostnad param k; # Leasingkostnad param M; # Maskinkapacitet param h{1..t}; # Åtgång vid tillverkning param S; # Lagerkapacitet param L_init; # Initiallager TAOP14: Föreläsning 2 38 modellfil, del 2 # Antal producerade produkter vecka t: var x{1..t} >= 0; # Antal produkter i lager vecka t: Var L{0..T} >= 0; # Antal leasingtimmar vecka t: Var y{1..t} >=0; 19
20 TAOP14: Föreläsning 2 39 modellfil, del 3 minimize z: sum{t in 1..T} (c[t]*x[t] + sum{t in 1..T} p*l[t] + sum{t in 1..T} k*y[t]); subject to Lagerkapacitet{t in 1..T} : L[t] <= S; Maskintid{t in 1..T} : h[t]*x[t] <= M + y[t]; Lagerbalans{t in 1..T}: L[t-1] + x[t] - d[t] = L[t]; Init_lager : L[0] = L_init; 20
Föreläsning 2: A/ modellera och lösa LP-problem
TAOP14: Föreläsning 2 Problemställning i ord matematisk modell AMPL-modell CPLEX resultatutskrift svar på den givna problemställningen TAOP14: Föreläsning 2 2 Föreläsning 2: A/ modellera och lösa LP-problem
Läs merFöreläsning 2: A/ modellera och lösa LP-problem. TAOP52: Föreläsning 2. Att modellera och lösa LP-problem
TAOP52: Föreläsning 2 Att modellera och lösa LP-problem TAOP52: Föreläsning 2 2 Föreläsning 2: A/ modellera och lösa LP-problem Problemställning i ord matema=sk modell AMPL-modell CPLEX resultatutskrid
Läs merFöreläsning 2: A/ modellera och lösa LP-problem
TAOP52: Föreläsning 2 Att modellera och lösa LP-problem TAOP52: Föreläsning 2 2 Föreläsning 2: A/ modellera och lösa LP-problem Problemställning i ord matema=sk modell AMPL-modell CPLEX resultatutskrid
Läs merTAOP52: Optimeringslära grundkurs
TAOP2: Optimeringslära grundkurs Nils-Hassan Quttineh Optimeringslära, MAI TAOP2: Föreläsning 1 2 Föreläsning 1: Kurspresenta3on och introduk3on 3ll op3meringslära Vad är op3meringslära och vad kan det
Läs merTAOP14: Optimeringslära grundkurs
TAOP14: Optimeringslära grundkurs Nils-Hassan Quttineh Optimeringslära, MAI TAOP14: Föreläsning 1 2 Föreläsning 1: Kurspresenta3on och introduk3on 3ll op3meringslära Vad är op3meringslära och vad kan det
Läs merTAOP14: Optimeringslära grundkurs
TAOP14: Optimeringslära grundkurs Nils-Hassan Quttineh Optimeringslära, MAI TAOP14: Föreläsning 1 2 Föreläsning 1: Kurspresenta3on och introduk3on 3ll op3meringslära Vad är op3meringslära och vad kan det
Läs merTAOP52: Optimeringslära grundkurs
TAOP2: Optimeringslära grundkurs Nils-Hassan Quttineh Optimeringslära, MAI TAOP2: Föreläsning 1 2 Föreläsning 1: Kurspresenta3on och introduk3on 3ll op3meringslära Vad är op3meringslära och vad kan det
Läs merIntroduktion till modelleringsspråket Ampl
1 Linköpings universitet Optimeringslära grundkurs för Y Matematiska institutionen Introduktion till Ampl Optimeringslära 3 februari 2019 Introduktion till modelleringsspråket Ampl Ampl är ett modelleringsspråk
Läs merLaboration 1 - Simplexmetoden och modellformulering
Linköpings universitet Optimeringslära grundkurs för Y Matematiska institutionen Laboration 1 Optimeringslära 29 januari 2017 Laboration 1 - Simplexmetoden och modellformulering Den första delen av laborationen
Läs merLaboration 1 - Simplexmetoden och Modellformulering
Linköpings universitet Optimeringslära grundkurs för Y Matematiska institutionen Laboration 1 Optimeringslära 30 januari 2013 Laboration 1 - Simplexmetoden och Modellformulering Den första delen av laborationen
Läs merTNSL05 Optimering, Modellering och Planering. Föreläsning 4
TNSL05 Optimering, Modellering och Planering Föreläsning 4 2018-11-14 2 Kursmål: idag Studenten ska efter avslutad kurs kunna: Analysera och formulera optimeringsmodeller inom ekonomiska tillämpningsområden
Läs merOptimering med hjälp av Lego. Mathias Henningsson
Optimering med hjälp av Lego Mathias Henningsson Vem är jag? Mathias Henningsson Lärare Optimeringslära 1996-2007 Produktionsekonomi 2008- Bokförfattare Optimeringslära övningsbok (Studentlitteratur) Arbetar
Läs merSpeciell användning av heltalsvariabler. Heltalsprogrammering. Antingen-eller-villkor: Exempel. Speciell användning av heltalsvariabler
Heltalsprogrammering Speciell användning av heltalsvariabler max z = då c j x j j= a ij x j b i j= x j 0 x j heltal i =,..., m j =,..., n j =,..., n ofta x j u j j =,..., n Oftast c, A, b heltal. Ibland
Läs merTNK049 Optimeringslära
TNK09 Optimeringslära Clas Rydergren ITN Föreläsning Simplemetoden på tablåform och algebraisk form Fas I (startlösning) Känslighetsanalys Tolkning av utdata Agenda Halvtidsutvärdering Simplemetoden (kap..8)
Läs merTentamensinstruktioner
TNSL05 1(9) TENTAMEN Datum: 6 april 2018 Tid: 14-18 Provkod: TEN1 Kursnamn: TNSL05 Optimering, modellering och planering Institution: ITN Antal uppgifter: 5 Betygskrav: För godkänt krävs normalt 12 p,
Läs merLaborationsinformation
Linköpings Tekniska Högskola 2017 03 16 Matematiska institutionen/optimeringslära Kaj Holmberg Laborationsinformation 1 Information om GLPK/glpsol 1.1 Introduktion till GLPK GLPK (GNU Linear Programming
Läs merMIO310 OPTIMERING OCH SIMULERING, 4 p
Uppvisat terminsräkning ( ) Ja ( ) Nej Inst. för teknisk ekonomi och logistik Avd. för Produktionsekonomi Jag tillåter att mitt tentamensresultat publiceras på Internet Ja Nej TENTAMEN: MIO0 OPTIMERING
Läs mermin c 1 x 1 + c 2 x 2 då x 1 + x 2 = 1, x 1 {0, 1}, x 2 {0, 1} plus andra bivillkor. Vi måste göra k st av n alternativ:
Heltalsprogrammering Speciell användning av heltalsvariabler max z = då n c j x j j= n a ij x j b i j= x j 0 x j heltal i =,..., m j =,..., n j =,..., n ofta x j u j j =,..., n Oftast c, A, b heltal. Ibland
Läs merDe optimeringsproblem som kommer att behandlas i denna kurs kan alla (i princip) skrivas. 1 2 xt Hx + c T x. minimera
Krister Svanberg, mars 2012 1 Introduktion De optimeringsproblem som kommer att behandlas i denna kurs kan alla (i princip) skrivas på följande allmänna form: f(x) (1.1) x F, där x = (x 1,..., x n ) T
Läs merTentamensinstruktioner
TNSL05 (6) TENTAMEN Datum: augusti 07 Tid: 8- Provkod: TEN Kursnamn: TNSL05 Optimering, modellering och planering Institution: ITN Antal uppgifter: 5 Betygskrav: För godkänt krävs normalt p, betyg kräver
Läs merLaboration 2 - Heltalsoptimering
Linköpings universitet Optimeringslära grundkurs för Y Matematiska institutionen Laboration 2 Optimeringslära 4 februari 203 Laboration 2 - Heltalsoptimering Problemställning Synande av cellprover När
Läs merTAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Datum: 19 april 2017 Tid: 14.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteraturen: Kaj Holmberg:
Läs mermin c 1 x 1 + c 2 x 2 då x 1 + x 2 = 1, x 1 {0, 1}, x 2 {0, 1} plus andra bivillkor. Vi måste göra k st av n alternativ:
Heltalsprogrammering Speciell användning av heltalsvariabler max z = då c j x j a ij x j b i x j 0 x j heltal i =,..., m j =,..., n j =,..., n ofta x j u j j =,..., n Oftast c, A, b heltal. Ibland u j
Läs merLinjärprogramming. EG2205 Föreläsning 7, vårterminen 2015 Mikael Amelin
Linjärprogramming EG2205 Föreläsning 7, vårterminen 2015 Mikael Amelin 1 Kursmål Formulera korttidsplaneringsproblem för vatten- och värmekraftsystem. 2 Tillämpad matematisk programming Korttidsplanering
Läs merLP-problem. Vårt första exempel. Baslösningar representerar extrempunkter. Baslösningar representerar extrempunkter
LP-problem Vårt första exempel Ett LP-problem: max z = c T x då Ax b, x 0. Den tillåtna mängden är en polyeder och konvex. Målfunktionen är linjär och konvex. Så problemet är konvext. Var ligger optimum?
Läs merOptimering. Optimering av transportproblem. Linköpings universitet SL. Campusveckan VT2013
Optimering Optimering av transportproblem Campusveckan VT2013 Linköpings universitet SL 1 Optimering - Distributionsproblem Företaget Kulprodukter AB producerar sina kulor vid fyra olika fabriksanläggningar
Läs merTENTAMEN. Tentamensinstruktioner. Datum: 30 augusti 2018 Tid: 8-12
1( 9) TENTAMEN Datum: 30 augusti 2018 Tid: 8-12 Provkod: TEN1 Kursnamn: Optimering, modellering och planering Institution: ITN Antal uppgifter: 5 Betygskrav: För godkänt krävs normalt 12 p, betyg kräver
Läs merTNSL05 Övningsuppgifter modellering
TNSL05 Övningsuppgifter modellering 1) Ett företag tillverkar och säljer två olika typer av bord. Grundversionen, med skiva i trä, tar 0.6 timmar att sätta ihop, har fyra ben och säljs med 1500 kr i vinst.
Läs mer1(8) x ijt = antal mobiltelefoner av typ i=1,,m, Som produceras på produktionslina 1,, n, Under vecka t=1,,t.
1(8) (5p) Uppgift 1 Företaget KONIA tillverkar mobiltelefoner I en stor fabrik med flera parallella produktionslinor. För att planera produktionen de kommande T veckorna har KONIA definierat följande icke-negativa
Läs merTentamensinstruktioner
TNSL05 1(8) TENTAMEN Datum: 1 april 2016 Tid: XXX Sal: XXX Provkod: TEN1 Kursnamn: TNSL05 Optimering, modellering och planering Institution: ITN Antal uppgifter: 5 Betygskrav: För godkänt krävs normalt
Läs merTentamensinstruktioner. Vid skrivningens slut
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP14/TEN1 OPTIMERINGSLÄRA GRUNDKURS för I och Ii Datum: 13:e januari 2011 Tid: 8.00 13.00 Hjälpmedel: Kurslitteratur av Lundgren m fl: Optimeringslära
Läs merVårt första exempel. LP-dualitet: Exempel. LP-dualitet: Generellt. LP-dualitet: Relationer
Vårt första exempel Variabeldefinition: x 1 = antal enheter Optimus som görs varje timme. x 2 = antal enheter Rullmus som görs varje timme. Matematisk modell: max z = 4x 1 + 3x 2 då 2x 1 + 3x 2 30 (1)
Läs merOptimering och simulering: Hur fungerar det och vad är skillnaden?
Optimering och simulering: Hur fungerar det och vad är skillnaden? Anders Peterson, Linköpings universitet Andreas Tapani, VTI med inspel från Sara Gestrelius, RIS-SIS n titt i KAJTs verktygslåda Agenda
Läs merTentamensinstruktioner
TNSL05 1(7) TENTAMEN Datum: 1 april 2016 Tid: 14-18 Provkod: TEN1 Kursnamn: TNSL05 Optimering, modellering och planering Institution: ITN Antal uppgifter: 5 Betygskrav: För godkänt krävs normalt 12 p,
Läs merOptimeringslära Kaj Holmberg
Tekniska Högskolan i Linköping TAOP88 Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 9--7 Kaj Holmberg Lösningar Uppgift a: Inför slackvariabler x 5, x 6 och x 7 Starta med slackvariablerna
Läs merTentamensinstruktioner
TNSL05 1(9) TENTAMEN Datum: augusti 017 Tid: 8-1 Provkod: TEN1 Kursnamn: TNSL05 Optimering, modellering och planering Institution: ITN Antal uppgifter: 5 Betygskrav: För godkänt krävs normalt 1 p, betyg
Läs merOptimeringslara = matematik som syftar till att analysera och. Optimeringslara ar en gren av den tillampade matematiken.
Optimal = basta mojliga. Optimeringslara = matematik som syftar till att analysera och nna det basta mojliga. Anvands oftast till att nna ett basta handlingsalternativ i tekniska och ekonomiska beslutsproblem.
Läs merTNSL05 Optimering, Modellering och Planering. Föreläsning 6
TNSL05 Optimering, Modellering och Planering Föreläsning 6 Agenda Kursens status Tolkning av utdata Intro lösningsmetoder Linjära optimeringsproblem (LP) på standardform Algebraisk formulering av LP Konveitet
Läs merLP-dualitet: Exempel. Vårt första exempel. LP-dualitet: Relationer. LP-dualitet: Generellt
Vårt första exempel Variabeldefinition: x 1 = antal enheter Optimus som görs varje timme. x 2 = antal enheter Rullmus som görs varje timme. Matematisk modell: max z = 4x 1 + 3x 2 då 2x 1 + 3x 2 30 (1)
Läs merVinsten (exklusive kostnaden för inköp av kemikalier) vid försäljning av 1 liter fönsterputs är 2 kr för F1 och 3 kr för F3.
TNSL05 (10) (5p) Uppgift 1 Företaget XAJA tillverkar två olika sorters rengöringsprodukter för fönsterputsning, benämnda F1 och F. Förutom vatten, som ingår i båda produkterna är, innehållet ett antal
Läs mer1 Duala problem vid linjär optimering
Krister Svanberg, april 2012 1 Duala problem vid linjär optimering Detta kapitel handlar om två centrala teoretiska resultat för LP, nämligen dualitetssatsen och komplementaritetssatsen. Först måste vi
Läs merVinsten (exklusive kostnaden för inköp av kemikalier) vid försäljning av 1 liter fönsterputs är 2 kr för F1 och 3 kr för F3.
TNSL05 2(8) (5p) Uppgift 1 Företaget XAJA tillverkar två olika sorters rengöringsprodukter för fönsterputsning, benämnda F1 och F2. Förutom vatten, som ingår i båda produkterna är, innehållet ett antal
Läs merTNSL05 Optimering, Modellering och Planering. Föreläsning 5
TNSL5 Optimering, Modellering och Planering Föreläsning 5 Dagordning Kort repetition Graf/nätverk: Begrepp Representation Exempel: Minkostnadsflödeproblem Billigastevägproblem 28--5 4 Hittills Föreläsning
Läs merFlöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet
Flöde i nätverk Graf: G = (N, B) Variabeldefinition: x ij = flöde i båge (i, j). Bågdata för båge (i, j): c ij : flödeskostnad per enhet. u ij : övre gräns för flödet. l ij : undre gräns för flödet. Bivillkor:
Läs merTAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C Datum: 17 januari 01 Tid: 8.00-1.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering.
Läs merLösningar till SF1861 Optimeringslära, 28 maj 2012
Lösningar till SF86 Optimeringslära, 28 maj 202 Uppgift.(a) Då det primala problemet P är så är det motsvarande duala problemet D minimera 3x + x 2 då 3x + 2x 2 6 x + 2x 2 4 x j 0, j =, 2. maximera 6 +
Läs merTAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: januari 01 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar
Läs mer1 LP-problem på standardform och Simplexmetoden
Krister Svanberg, mars 202 LP-problem på standardform och Simplexmetoden I detta avsnitt utgår vi från LP-formuleringen (2.2) från föreläsning. Denna form är den bäst lämpade för en strömlinjeformad implementering
Läs merLösningar till 5B1762 Optimeringslära för T, 24/5-07
Lösningar till 5B76 Optimeringslära för T, 4/5-7 Uppgift (a) Först använder vi Gauss Jordans metod på den givna matrisen A = Addition av gånger första raden till andra raden ger till resultat matrisen
Läs merExaminator: Torbjörn Larsson Jourhavande lärare: Torbjörn Larsson, tel Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP07/TEN1 OPTIMERINGSLÄRA GRUNDKURS för Y Datum: 21 augusti 2012 Tid: 14-19 Hjälpmedel: Inga Antal uppgifter: 7 Uppgifterna är inte ordnade efter svårighetsgrad.
Läs merTAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: januari 0 Tid:.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar i boken
Läs merTAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Datum: januari 0 Tid: 8.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar
Läs merTAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP8/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR Datum: 10 januari 201 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg:
Läs merOptimalitetsvillkor. Optimum? Matematisk notation. Optimum? Definition. Definition
Optimum? När man har formulerat sin optimeringsmodell vill man lösa den Dvs finna en optimal lösning, x, till modellen Nästan alltid: Sökmetoder: Stå i en punkt, gå till en annan (bättre Upprepa, tills
Läs merMIO310 OPTIMERING OCH SIMULERING, 4 p
Uppvisat terminsräkning ( ) Ja ( ) Nej Inst. för teknisk ekonomi och logistik Avd. för Produktionsekonomi Jag tillåter att mitt tentamensresultat publiceras på Internet Ja Nej TENTAMEN: MIO0 OPTIMERING
Läs merTentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP14/TEN 1 OPTIMERINGSLÄRA GRUNDKURS för I, Ii och TB Datum: 24 augusti 2009 Tid: 8.00-13.00 Hjälpmedel: Lundgren m fl: Optimeringslära och/eller Lundgren
Läs merEulercykel. Kinesiska brevbärarproblemet. Kinesiska brevbärarproblemet: Metod. Kinesiska brevbärarproblemet: Modell. Definition. Definition.
Eulercykel Definition En Eulercykel är en cykel som använder varje båge exakt en gång. Definition En nods valens är antalet bågar som ansluter till noden. Kinesiska brevbärarproblemet En brevbärartur är
Läs merTAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: juni 0 Tid:.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar i boken får
Läs merTAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP8/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR Datum: januari 01 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering
Läs merOptimering med bivillkor
Optimering med bivillkor Vi ska nu titta på problemet att hitta max och min av en funktionen f(x, y), men inte över alla möjliga (x, y) utan bara för de par som uppfyller ett visst bivillkor g(x, y) =
Läs merMIO310 OPTIMERING OCH SIMULERING, 4 p
Uppvisat terminsräkning ( ) Ja ( ) Nej Inst. för teknisk ekonomi och logistik Avd. för Produktionsekonomi Jag tillåter att mitt tentamensresultat publiceras på Internet Ja Nej TENTAMEN: MIO310 OPTIMERING
Läs merTAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: 19 oktober 2017 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar
Läs merTAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM. Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Datum: 11 januari 2017 Tid: 8.00-13.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteraturen: Kaj Holmberg:
Läs merTentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER för M/EMM Datum: januari 2013 Tid: 14.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar
Läs merOptimeringslära Kaj Holmberg
Tekniska Högskolan i Linköping TAOP88 Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 28--24 Kaj Holmberg Uppgift Lösningar a: Målfunktionen är summan av konvexa funktioner (kvadrater och
Läs merLaborationsuppgift 1 Tillämpad optimeringslära för MMT (5B1722)
Laborationsuppgift 1 Tillämpad optimeringslära för MMT (5B1722) Februari 2004 Avdelningen för Optimeringslära och Systemteori Institutionen för Matematik Kungliga Tekniska Högskolan Stockholm Allmän information
Läs merDynamisk programmering. Dynamisk programmering. Dynamisk programmering. Dynamisk programmering
Betrakta ett lagerhållningsproblem i flera tidsperioder. Vi har tillverkning och försäljning av produkter i varje tidsperiod. Dessutom kan vi lagra produkter mellan tidsperioder, för att utnyttja stordriftsfördelar
Läs merTentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER för M/EMM Datum: 8 januari 201 Tid: 8.00-13.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering
Läs merMIO310 OPTIMERING OCH SIMULERING, 4 p
Uppvisat terminsräkning ( ) Ja ( ) Nej Inst. för teknisk ekonomi och logistik Avd. för Produktionsekonomi Jag tillåter att mitt tentamensresultat publiceras på Internet Ja Nej TENTAMEN: MIO310 OPTIMERING
Läs merTAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Datum: 23 augusti 2016 Tid: 8.00-13.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteraturen: Kaj Holmberg:
Läs merTNK049 Optimeringslära
TNK049 Optimeringslära Clas Rydergren, ITN Föreläsning 6 Det duala problemet Relationer primal dual Optimalitetsvillkor Nätverksoptimering (introduktion) Agenda Motivering av det duala problemet (kap 6.)
Läs merLösningar/svar. Uppgift 1. Tekniska Högskolan i Linköping Optimering av realistiska sammansatta system. Optimeringslära Kaj Holmberg
Tekniska Högskolan i Linköping Optimering av realistiska sammansatta system Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 2017-08-22 Kaj Holmberg Lösningar/svar Uppgift 1 1a: Variabeldefinition:
Läs merGeneral Algebraic Modeling System Översätter direkt från modell till algoritm.
Vad är GAMS? General Algebraic Modeling System Översätter direkt från modell till algoritm. Fördelar: Effektivt Skapa mängd ekvationer med en enda sats Lägg in data en och endast en gång Snabbt skapa prototyper
Läs merTAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: 0 oktober 0 Tid: 8.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar i
Läs merOptimeringslära Kaj Holmberg
Tekniska Högskolan i Linköping Optimering för ingenjörer Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 28-5-3 Kaj Holmberg Lösningar Uppgift a: P: Grafisk lösning ger x = 2/7 = 2 6/7,
Läs merTNK047 [TEN1] OPTIMERING OCH SYSTEMANALYS
TNK047 [TEN1] OPTIMERING OCH SYSTEMANALYS Datum: 22 maj 2012 Tid: 8 12, TP56 Hjälpmedel: Ett A4-blad med text/anteckningar (båda sidor) samt miniräknare. Antal uppgifter: 5; Vardera uppgift kan ge 5p.
Läs merLösningar till SF1861/SF1851 Optimeringslära, 24/5 2013
Lösningar till SF86/SF85 Optimeringslära, 4/5 03 Uppgift (a) Inför de 3 variablerna x ij = kvantitet (i sorten ton) som fabrik nr i åläggs att tillverka av produkt nr j, samt t = tiden (i sorten timmar)
Läs merTAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C. Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C Datum: 1 januari 01 Tid: 8.00-1.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering
Läs merTentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER för M/EMM Datum: 0 augusti 201 Tid: 8.00-1.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering
Läs merTAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Datum: augusti 0 Tid:.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar
Läs merTentamensinstruktioner
TNSL05 1(7) TENTAMEN Datum: 21 april 2017 Tid: 14-18 Provkod: TEN1 Kursnamn: TNSL05 Optimering, modellering och planering Institution: ITN Antal uppgifter: 5 Betygskrav: För godkänt krävs normalt 12 p,
Läs merTentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER för EMM Datum: 2 augusti 2011 Tid: 8.00-1.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar
Läs merSF1545 Laboration 1 (2015): Optimalt sparande
Avsikten med denna laboration är att: SF1545 Laboration 1 (215: Optimalt sparande - snabbt komma igång med träning på matlabprogrammering (uttnyttja gärna alla schemalagda laborationstillfällen, - lösa
Läs mer5B1817 Tillämpad ickelinjär optimering. Kvadratisk programmering med olikhetsbivillkor Active-set metoder
5B1817 Tillämpad ickelinjär optimering Föreläsning 7 Kvadratisk programmering med olikhetsbivillkor Active-set metoder A. Forsgren, KTH 1 Föreläsning 7 5B1817 2006/2007 Kvadratisk programmering med olikhetsbivillkor
Läs merTNK049 Optimeringslära
TNK049 Optimeringslära Clas Rydergren, ITN Föreläsning 1 Kursintroduktion Ämnesintroduktion Terminologi Tillämpningar Agenda Vilka personer medverkar i kursen? Kursupplägg Lärobok Laborationer Återkoppling
Läs merTekniska Högskolan i Linköping Optimering av realistiska sammansatta system. Optimeringslära Kaj Holmberg.
Tekniska Högskolan i Linköping Optimering av realistiska sammansatta system Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 2015-01-14 Kaj Holmberg Lösningar/svar Uppgift 1 1a: Givna data:
Läs merOptimering på dator. Laborationsinstruktion Systemanalysgruppen, 1998 Uppsala universitet. Handledarens kommentarer.
Laborationsinstruktion Systemanalysgruppen, 1998 Uppsala universitet Optimering på dator Namn Handledarens kommentarer Grupp Inskrivningsår Utförd den Godkänd den Signum Leif Gustafsson 1985 Thomas Persson
Läs merEtt linjärprogrammeringsproblem på allmän form ser ut som
Linjärprogrammering Ett linjärprogrammeringsproblem på allmän form ser ut som Minimera n j=1 c jx j x j 0 n j=1 a ijx j b i i =1, 2,...,m Variant: Vi kan vilja maximera istället. Vi kommer att studera
Läs merOptimering med bivillkor
Kapitel 9 Optimering med bivillkor 9.1. Optimering med bivillkor Låt f(x) vara en funktion av x R. Vi vill optimera funktionen f under bivillkoret g(x) =C (eller bivllkoren g 1 (x) =C 1,..., g k (x) =C
Läs merTAOP61 Projekt 2. Kaj Holmberg (LiU) TAOP61 Optimering 28 oktober / 14
TAOP61 Projekt 2 Kaj Holmberg (LiU) TAOP61 Optimering 28 oktober 2016 1 / 14 TAOP61 Projekt 2 Optimering av elmotorutnyttjandet i en laddhybrid med hjälp av dynamisk programmering. Kaj Holmberg (LiU) TAOP61
Läs merFlöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet
Flöde i nätverk Graf: G = (N, B) Variabeldefinition: x ij = flöde i båge (i, j). Bågdata för båge (i, j): c ij : flödeskostnad per enhet. u ij : övre gräns för flödet. l ij : undre gräns för flödet. Bivillkor:
Läs merTAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: augusti 0 Tid:.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar i boken
Läs merOptimering av olika slag används inom så vitt skilda områden som produktionsplanering,
Anders Johansson Linjär optimering Exempel på användning av analoga och digitala verktyg i undervisningen Kursavsnittet linjär optimering i Matematik 3b kan introduceras med såväl analoga som digitala
Läs merTräd. Sats. Grafer. Definition. En fullständig graf har en båge mellan varje par av noder. Definition
Grafdefinitioner Träd N = {i}: noder (hörn) = {(i, j)}, i N, j N: bågar (kanter) Graf: G = (N, ) efinitioner Väg: Sekvens av angränsande bågar. ykel: Väg som startar och slutar i samma nod. En enkel väg
Läs merHemuppgift 2, SF1861 Optimeringslära för T, VT-10
Hemuppgift 2, SF1861 Optimeringslära för T, VT-1 Kursansvarig: Per Enqvist, tel: 79 6298, penqvist@math.kth.se. Assistenter: Mikael Fallgren, werty@kth.se, Amol Sasane, sasane@math.kth.se. I denna uppgift
Läs merOptimeringslära Kaj Holmberg
Tekniska Högskolan i Linköping Optimering för ingenjörer Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 26-6- Kaj Holmberg Lösningar Uppgift Hinkpackning (hink = tur med cykeln. Jag använder
Läs merk 1 B k 2 C ges av dx 1 /dt = k 1 x 1 x 1 (0) = 100 dx 2 /dt = k 1 x 1 k 2 x 2 x 2 (0) = 0 dx 3 /dt = k 2 x 2 x 3 (0) = 0
Radioaktivt sönderfall 2D124 numfcl, Fö 5 Ekvationerna som beskriver hur ett radioaktivt ämne A sönderfaller till ämnet B som i sin tur sönderfaller till C ges av dx 1 /dt = k 1 x 1 x 1 () = 1 dx 2 /dt
Läs merFlöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet. Slutsats.
Flöde i nätverk Graf: G = (N, B) Variabeldefinition: x ij = flöde i båge (i, j). Bågdata för båge (i, j): c ij : flödeskostnad per enhet. u ij : övre gräns för flödet. l ij : undre gräns för flödet. Bivillkor:
Läs merTAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Datum: 18 januari 2019 Tid: 8.00-13.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteraturen: Kaj Holmberg:
Läs merTAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Datum: 26 augusti 2014 Tid: 8.00-13.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg:
Läs mer