Laboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
|
|
- Kurt Samuelsson
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK LABORATION 3 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR F OCH FYSIKER, FMS012/MASB03, VT17 Laboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar Syftet med den här laborationen är att du skall bli mer förtrogen med följande viktiga områden inom matematisk statistik Stora talens lag Centrala gränsvärdessatsen Punktskattningar 1 Förberedelseuppgifter Som förberedelse till laborationen bör du läsa igenom kapitel 5, 6 och 11 samt hela laborationshandledningen. Till laborationens start har du med dig lösningar till förberedelseuppgifterna. a) Redogör för Stora talens lag. b) Redogör för Centrala gränsvärdessatsen. c) Låt X vara antal ögon vid ett tärningskast med p X (k) = 1/6 för k = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Vilken ungefärlig fördelning har summan av antalet ögon vid n oberoende kast då n är stort? (Behövs i avsnitt 3. Centrala gränsvärdessatsen) d) Givet data x 1, x 2,...,x n som är oberoende och exponentialfördelade med väntevärde a, dvs med täthetsfunktionen 1 1 a e x/a, x 0. Härled ML- och MK-skattningarna av a. (Behövs i avsnitt 4.1. ML- och MK-skattning) e) Antag att Z N (μ, σ). Vilken fördelning har R = A + Z då A är ett reellt tal? f) Antag attφär rektangelfördelad på intervallet (0, 2π). Beräkna E(φ). (Behövs i avsnitt 5. Överlagring av vågor med samma frekvens) g) Beräkna exakta värden på E(cosφ) och E(sinφ) dåφhar fördelning enligt föregående uppgift. (Behövs i avsnitt 5. Överlagring av vågor med samma frekvens) h) Antag att X och Y är oberoende med fördelningen N (0,σ). Då kan man visa att Z = X 2 +Y 2 är Exp(1/2σ 2 )-fördelad. Använd detta för att härleda fördelningen för R = Z. (Behövs i avsnitt 5. Överlagring av vågor med samma frekvens) i) Antag att x 1, x 2,...,x n är oberoende observationer av en Rayleighfördelad s.v. med täthetsfunktion f X (x) = x b 2 e x2 /2b 2 ; x 0. Härled ML-skattningen av b. (Behövs i avsnitt 5. Överlagring av vågor med samma frekvens) 1 I kursboken används parameternλ, men här väljer vi att använda väntevärdet (och standardavvikelsen) a = 1/λ.
2 2 Laboration 3, Matstat AK för F och fysiker, VT17 2 Stora talens lag Stora talens lag säger att om X n är medelvärdet av n likafördelade oberoende stokastiska variabler X 1,...,X n med ändlig varians, så gäller P( X n μ X >ε) 0 då n för varjeε > 0, vilket också kan uttryckas som att X n μ X i sannolikhet. Enkelt sagt så kommer medelvärdet av n variabler att avvika från väntevärdet allt mindre då n växer. Ett sätt att illustrera detta är att kasta en tärning många gånger och se att de succesiva medelvärdena konvergerar mot väntevärdet. Simulera först 100 tärningskast. ÐÓÓÖ Ö Ò ½ ½¼¼µ ½µ Funktionen ÐÓÓÖ avrundar nedåt. Tänk ut att varje element i verkligen har en fördelning som ett tärningskast. Ett sätt att räkna ut de succesiva medelvärdena är följande. Ö ÙÑ ÙÑ µº» ½ ½¼¼µ Funktionen ÙÑ ÙÑ ger en vektor där element i är summan av de i första elementen i inparametern, i vårt fall. Notationen º» betyder elementvis division och ½ ½¼¼µ är en vektor med talen 1 t o m 100. Tänk ut att Ö innehåller de succesiva medelvärdena. Plotta dem. ÔÐÓØ Öµ Gör om alltihop med fler kast, t ex 1000 st. Ser allt ut som du väntat dig? Svar:... 3 Centrala gränsvärdessatsen Börja med att hitta på en diskret sannolikhetsfunktion med några möjliga utfall, t ex den likformiga fördelningen över 1 t o m 6, dvs ett tärningskast. Mata sedan in denna sannolikhetsfunktion i form av en vektor. Ô ¼ ½ ½ ½ ½ ½ ½» Nollan finns där för att det blir lättare att hålla reda på saker och ting om det första elementet i vektorn är sannolikheten för att utfallet är noll. Välj gärna någon annan sannolikhetsfunktion än ovanstående förslag. Rita upp sannolikhetsfunktionen med kommandot Ö. Ö ¼ Ð Ò Ø Ôµ¹½ Ôµ Funktionen Ð Ò Ø ger längden av en vektor. Som du vet kan sannolikhetsfunktionen för en summa av två oberoende diskreta stokastiska variabler beräknas genom en diskret faltning, se formelsamlingen. I Matlab finns en funktion, ÓÒÚ, som utför just en sådan faltning (faltning heter convolution på engelska). Ô¾ ÓÒÚ Ô Ôµ Ô ÓÒÚ Ô¾ Ô¾µ Ô ÓÒÚ Ô Ô µ
3 Laboration 3, Matstat AK för F och fysiker, VT17 3 Här blir Ô alltså sannolikhetsfunktionen för en summa av åtta stycken oberoende stokastiska variabler vardera med sannolikhetsfunktionen Ô. Rita upp dessa nya sannolikhetsfunktioner. När börjar det likna en normalfördelning? Räkna nu ut väntevärde och standardavvikelse för en stokastisk variabel med sannolikhetsfunktionen Ô. ÑÙ ÙÑ ¼ µº Ôµ Ñ ÕÖØ ÙÑ ¼ µ¹ñùµº ¾ º Ôµµ Funktionen ÙÑ ger summan av elementen i en vektor, notationen º ¾ betyder elementvis kvadrering av en vektor och ÕÖØ är kvadratroten. Vi kan nu jämföra sannolikhetsfunktionen Ô med den approximativa normalfördelning N (nμ, nσ) (där n = 4) som vi får ur centrala gränsvärdessatsen. Ö ¼ Ð Ò Ø Ô µ¹½ Ô µ ÓÐ ÓÒ ÜÜ ¼ ¼º ¼ ÔÐÓØ ÜÜ ÒÓÖÑÔ ÜÜ ÑÙ ÕÖØ µ Ñ µµ ÓÐ Ó Kommandot ÓÐ ÓÒ gör att det man ritat inte tas bort vid nästa plottning. Approximeras Ô väl av normalfördelningen? Pröva också vad som händer om Ô är en mycket sned fördelning, Ô º º º º º º º Hur många komponenter behövs det nu i summan för att fördelningen väl ska kunna approximeras med en normalfördelning? 4 Punktskattningar 4.1 ML- och MK-skattning Vi skall i den här uppgiften titta lite närmare på två av de vanligaste skattningsmetoderna i statistiken, nämligen ML- och MK-skattning. Vi skall bl.a. se att ML-skattning är ett maximeringsproblem medan MK-skattning kan ses som ett minimeringsproblem. I filen Ñ Ø Ø º Ø har vi 150 mätningar av livslängden (enhet: timmar) av en viss komponent i en bil. Livslängden hos varje komponent antages vara oberoende av varandra. Ladda in data och gör en första undersökning av livslängderna.
4 4 Laboration 3, Matstat AK för F och fysiker, VT17 ÐÓ Ñ Ø Ø º Ø ÔÐÓØ Ñ Ø Ø ³ ³µ Ø Ñ Ø Ø µ Vi är intresserade av att skatta väntevärdet a för komponenten. En variant att göra detta på är att göra en ML-skattning av a. För att kunna göra en ML-skattning måste vi ha en uppfattning vilken fördelning data har. Från liknande experiment som gjorts tidigare har det visat sig att fördelningen för livslängden hos en viss komponent är approximativt exponentialfördelade (med parameter a enligt förberedelseuppgift 4). Alltså, vi antar att livslängden är exponentialfördelad och ställer upp log-likelihoodfunktionen. Hur ser den ut? Svar: l(a) = ln L(a) =... Det finns en m-fil, ÅÄ ÜÔ, som beräknar l(a). Studera m-filens Matlabkommandon och förvissa dig om att den verkligen ger rätt funktion! (ØÝÔ ÅÄ ÜÔ) Rita upp l(a), då 30 a 150. Hur ser funktionen ut och vilket värde på a motsvarar MLskattningen? (Du kan zooma in på delar av figuren för att se tydligare.) Ð Ò Ô ¼ ½ ¼ ¾¼¼µ Ä ÅÄ ÜÔ Ñ Ø Ø µ ÔÐÓØ Äµ Ö Svar:... Nu går vi över och tittar på hur en MK-skattning av a ser ut. Fördelen med MK jämfört med ML är att fördelningen för data ej behöver vara känd. Börja nu med att ställa upp förlustfunktionen, Q(a). Svar: Q(a) =... Programmet Åà ÜÔ är skrivet för att beräkna Q(a). Titta på Matlabkommandona för att kolla att det stämmer! Rita ut Q(a), vilket värde på a motsvarar MK-skattningen? É Åà ÜÔ Ñ Ø Ø µ ÔÐÓØ Éµ Svar:... Både ML- och MK-skattningen av a är enkel att beräkna, se förberedelseuppgift 4). Beräkna aml och amk och jämför med dina figurer. Svar:...
5 Laboration 3, Matstat AK för F och fysiker, VT Skattningen a är en stokastisk variabel! Om vi skulle ta 150 nya mätningar av livslängden hos ovanstående komponenter (dvs ett nytt stickprov) så skulle skattningen av a med säkerhet bli annorlunda, dvs skattningen kan ses som en stokastisk variabel. För att illustrera detta tänker vi oss att vi tar 1000 stickprov med 150 mätningar i varje stickprov. Eftersom vi inte har 1000 riktiga stickprov så får vi nöja oss med att simulera data. Genom att utnyttja funktionen ÜÔÖÒ kan vi enkelt generera exponentialfördelade slumptal. Vi sätter själva det sanna väntevärdet till 100, dvs a = 100 ÐÔ ÜÔÖÒ ½¼¼ Ü ÜÔÖÒ ½ ¼ ½¼¼¼µ Kolonn nummer i i matrisen Ü motsvarar stickprov i. Nu skall vi skatta a för varje stickprov. Det kan göras enkelt enligt Ø Ñ Ò Üµ Element i i vektorn Ø innehåller skattningen av a för stickprov i. Plotta Ø! Hur ser det ut? Vilken ungefärlig fördelning har skattningen av a? Använd dig av kommandona Ø och ÒÓÖÑÔÐÓØ och dina nyförvärvade kunskaper om Stora talens lag och Centrala gränsvärdessatsen för att ta reda på detta.
6 6 Laboration 3, Matstat AK för F och fysiker, VT17 5 Rayleighfädande radiokanal En tillämpning av centrala gränsvärdessatsen 5.1 Bakgrund och viss bakomliggande teori Vid digitaltransmission över en transmissionskanal kodas 0:or och 1:or på olika sätt. När man använder modulationssystemet 2-PSK (Phase Shift Keying) kodas 0:a och 1:a först till en s.k. basbandssignal enligt följande. ( 0:a s(t) = A sin 2π t ) ( = A sin 2π t ), t [0, ), 1:a s(t) = A sin ( 2π t ) +π = A sin ( 2π t ), t [0, ), där A är amplituden på basbandssignalen och är tidsavståndet mellan sända bitar (kallas bitperioden nedan). Bitperioden är kring 5 mikrosekunder för en GSM-telefon. Vågformerna moduleras sedan, mha amplitudmodulering i en s.k. modulator, upp på bärvågsfrekvens och sänds från sändaren till mottagaren antingen via kabel eller via radio. På signalens väg mot mottagaren kommer den förutom att dämpas även att störas av bl.a. additivt brus. Som ett av de första blocken i mottagaren sitter en s.k. demodulator som modulerar ner signaler från ett snävt frekvensintervall runt rätt bärvågsfrekvens till basbandsfrekvens och sedan lågpassfiltrerar resultatet. Då har i princip basbandssignalen ovan återskapats. En modell för signalen efter demodulatorn att bli ( 0 sänd mottagen signal r(t) = A r sin 2π t ) + Y (t), t [0, ), T ( b 1 sänd mottagen signal r(t) = A r sin 2π t ) +π + Y (t), t [0, ), där Y (t) är en slumpmässig brussignal, en s.k. stokastisk process och där A r är amplituden hos den återskapade basbandssignalen. I mottagaren, efter demodulatorn, sitter en detektor som vid tidpunkten tar beslut om det var en 0:a eller 1:a som sänts. För att kunna göra det har detektorn via en känd testsignalsekvens synkroniserat sig med avseende på bitperiodernas tidslägen, en s.k. koherent detektor. Man kan visa se kurser i Stokastiska processer och Digital transmissionsteori att beslutssignalen i den optimala detektorn (dvs den detektor som minimerar P(felaktigt beslut)) vid tidpunkt är B( ) = A r + Z, om 0 sänd, B( ) = A r + Z, om 1 sänd, där bruset Z kan antas vara normalfördelat Z N (0,σ) eftersom det beror på den slumpmässiga brussignalen under hela bitperioden och hur den tagit sig in i beslutssignalen. Notera att B( ) N (A r,σ) om 0:a sänd och B( ) N ( A r,σ) om 1:a sänd, se förberedelseuppgift 5). Om B( ) > 0 beslutas att 0:a sänd och om B( ) < 0 beslutas att 1:a sänd. Som man förstår så kan bruset göra så att felaktigt beslut tas. Varför?... Hjälper det att skruva upp förstärkningen på demodulatorns utgång så att A r blir större?... Är det något annat som också blir proportionellt större?... Genom att välja A i förhållande till dämpningen i kabeln respektive radioförbindelsen så kan man se till att A r σ så att sannolikheten för felbeslut minimeras. Tyvärr betyder en stor amplitud mycket signalenergi så därför måste man i verkligheten göra en kompromiss mellan signalenergi och sannolikheten för felaktigt beslut. Vid goda överföringsförhållanden kan man dock passa på att s.k. adaptivt minska signalenergin men ändå bibehålla en låg s.k. bitfelshalt. I en radiokanal får man utöver dämpning p.g.a. långa sträckor eller hinder även dämpning av den mottagna signalen p.g.a s.k. flervägsutbredning, även kallad snabb fädning (fading på engelska).
7 Laboration 3, Matstat AK för F och fysiker, VT17 7 På vägen från radiosändaren till radiomottagaren kommer radiosignalerna att ta olika långa vägar genom luften (en viss del av signalen kommer att ta raka vägen från sändaren till mottagaren, medan andra kommer att studsa mot marken och byggnader etc.) och anlända vid mottagaren med olika faslägen. Därför kommer de flervägsutbredda radiosignalerna att interferera med varandra vid mottagarantennen. Flervägsutbredningsförhållandena kan ändras under en bitperiod, om mottagare och sändare rör sig snabbt i förhållande till varandra eller om reflekterande föremål av betydelse rör sig snabbt, t.ex. lågflygande flygplan, vingar hos vindkraftverk, passerande bilar. Detta bortser vi dock från i teorin nedan. Om bärvågens frekvens är ca 1 GHz så kommer en bitperiod på ca 5 mikrosekunder att omfatta ca fem tusen perioder hos bärvågen. De skillnader i gångtid som uppstår mellan de flervägsutbredda radiosignalerna kan därför vara så stora att de ger interferensfenomen på bärvågsfrekvensen utan att de behöver vara så stora att signaler utsända under en bitperiod nämnvärt påverkar den mottagna signalen under nästa bitperiod. Sådana skillander i gångtid och motsvarande fasläge hos ett stort antal adderade vågor och hur deras resulterande amplitud blir skall vi nu studera i nästa avsnitt. 5.2 Överlagring av vågor med samma frekvens - En tillämpning av centrala gränsvärdessatsen Antag att vi adderar ett stort antal vågor, t.ex. ljus eller ljudvågor, som alla har samma amplitud, A och frekvens f, men där faserna kan vara olika, S N (t) = A sin(2πft +φ k ), därφ k är oberoende rektangelfördelade stokastiska variabler på intervallet 0 till 2π. Om vi använder additionsreglerna för trigonometriska funktioner får vi S N (t) = A cosφ k sin(2πft)+ A sinφ k cos(2πft) = = A sin(2πft) cosφ k + A cos(2πft) sinφ k. I förberedelseuppgifterna har du visat att E(cosφ k ) = E(sinφ k ) = 0. Vidare gäller det att E(cos 2 φ k ) = 2π 0 cos 2 φ k 1 2π dφ k = 1 2, V (cosφ k ) = E(cos 2 φ k ) (E(cosφ k )) 2 = 1 2. På samma sätt följer att V (sinφ k ) = 1 2. Eftersom vi har överlagrat ett stort antal vågor kan vi utnyttja Centrala Gränsvärdessatsen som ger att summorna ovan är approximativt normalfördelade X N = A cosφ k Y N = A sinφ k N N (0, A 2 ), N N (0, A 2 ). Vidare gäller det att C( N i=1 cosφ i, N j=1 sinφ j) = 0.
8 8 Laboration 3, Matstat AK för F och fysiker, VT17 Att kovariansen verkligen blir 0 kan man övertyga sig om genom följande beräkning C( cosφ i, sinφ j ) = i=1 j=1 = C(cosφ i, sinφ j ) = i=1 j=1 E(cosφ j sinφ j ) = 0, j=1 C(cosφ j, sinφ j ) = j=1 eftersom E(cosφ j sinφ j ) = 2π 1 0 cosφ j sinφ j 2π dφ j = 2π sin 2φ 1 j 2π dφ j = 0. Notera att C(cosφ i, sinφ j ) = 0 då i j, eftersom fasvinklarna är en följd av oberoende stokastiska variabler. (Dubbelsumman ovan kan alltså reduceras till en enkel summa.) Då summorna är approximativt normalfördelade med kovariansen 0, kan vi anta att de också är oberoende. Nu följer det att S N (t) = X N sin(2πft)+y N cos(2πft) = XN 2 + Y N 2 cos(2πft +ψ) = A N cos(2πft +ψ), där A N = X 2 N + Y 2 N, cosψ = Y N X 2 N + Y 2 N, sinψ = X N X 2 N + Y 2 N. Nu är X N och Y N approximativt normalfördelade och oberoende. Enligt förberedelseuppgifterna gäller det att A N = XN 2 + Y N 2 är Rayleighfördelad med täthetsfunktionen f AN (x) = x x2 e 2b b2 2, där b 2 = A 2 N 2. Vi ser här att signalamplituden (A N ), som motsvarar A r i radiofallet i förra stycket, kan bli väldigt liten vid olyckliga omständigheter vilket gör att sannolikheten för felaktigt beslut kan bli mycket stort. För att komma runt sådana problem blir man tvungen att använda sig av någon typ av felkorrigerande kod som klarar av att rätta till enstaka felaktiga beslut. Vi skall inte diskutera kodningsteori mer här, utan vi hänvisar den intresserade till kurser i Radiosystem och Radioteknik, Digital transmissionsteori, Informationsteori och Kodningsteknik.
9 Laboration 3, Matstat AK för F och fysiker, VT Uppgift På institutionen för tillämpad elektroteknik har det gjorts flera mätningar på flervägsutbredning. Den mätning som vi skall titta på har gjorts enligt följande. En lång känd testsekvens har sänds från en radiosändare (bärvågsfrekvens 1800 MHz). Man har sedan gått omkring med en mobil mottagare och mätt upp mottagen signalstyrka i mobilen (enhet: db). Avståndet mellan sändare och mottagare har varit ungefär konstant så att mottagen signalstyrka skulle varit konstant om inte flervägsutbredningen funnits. Vidare har den utsända signaleffekten varit stor så att bruset Z kan försummas, dvs variationen i mottagen signalstyrka beror bara på flervägsutbredningen. I filen Ò finns de data du skall titta på. Endast amplituden visas, dvs vi är inte intresserad om det är 0 (+R) eller 1 ( R) som är sänd utan bara amplituden R. Eftersom mätningarna har enheten db (standard inom radiovärlden) så får vi transformera dem till linjär skala innan vi kan undersöka fördelningen för mottagen signalstyrka. ÐÓ Ò Ò ½¼º Ò»½¼µ ÔÐÓØ Ò µ Plotta histogrammet (kom ihåg att normera så att histogrammet kan jämföras med teoretisk täthetsfunktion vars area under funktionen är 1) och jämför med olika Rayleighfördelningar. Funktionen Ö ÝÐÔ ger dig täthetsfunktionen för en Rayleighfördelning ÐÔ Ö ÝÐÔ Ü ¼ º½ ½ Ö ÝÐÔ Ü µ Ò Ü Ø Ò Üµ Ø Ò» Ð Ò Ø Ò µ º½µ ÔÐÓØ Ü Ü Ø ³ ³µ ºººº Ö ÝÐÔ Ü µ º º º Vilken Rayleighfördelning ser ut att passa bäst? I stället för att leta sig fram bland lämpliga värden på b bör man man i stället göra en ML-skattning av b. Bestäm denna (se förberedelseuppgift 4)). Ser det ut som om mottagen signalstyrka är Rayleighfördelad, dvs är det rimligt att använda denna modell som är baserad på centrala gränsvärdessatsen?
Laboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK LABORATION 3 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR CDIFYSIKER, FMS012/MASB03, HT12 Laboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla
Läs merLaboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK, FÖR I/PI, FMS 121/2, HT-3 Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
Läs merLaboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik Laboration 3 Matematisk statistik AK för CDIFysiker, FMS012/MASB03, HT15 Laboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla
Läs merLaboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR I, FMS 120, HT-00 Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
Läs merLaboration 3: Enkla punktskattningar, styrkefunktion och bootstrap
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 3, HT -06 MATEMATISK STATISTIK FÖR F, PI OCH NANO, FMS 012 MATEMATISK STATISTIK FÖR FYSIKER, MAS 233 Laboration 3: Enkla punktskattningar,
Läs merSyftet med den här laborationen är att du skall bli mer förtrogen med följande viktiga områden inom matematisk statistik
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR I, FMS 01, HT-07 Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen, enkla punktskattningar
Läs merLaboration 1: Grundläggande sannolikhetsteori, simulering och dataanalys
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK LABORATION 1 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR F OCH FYSIKER, FMS012/MASB03, VT15 Laboration 1: Grundläggande sannolikhetsteori, simulering och dataanalys
Läs merLaboration 1: Grundläggande sannolikhetsteori, simulering och dataanalys
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK LABORATION 1 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR CDIFYSIKER, FMS012/MASB03, HT12 Laboration 1: Grundläggande sannolikhetsteori, simulering och dataanalys
Läs merLaboration 2: Sannolikhetsteori och simulering
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK LABORATION 2 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR CDIFYSIKER, FMS012/MASB03, HT13 Laboration 2: Sannolikhetsteori och simulering Syftet med den här
Läs merLaboration 2: Sannolikhetsteori och simulering
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK LABORATION 2 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR F OCH FYSIKER, FMS012/MASB03, VT17 Laboration 2: Sannolikhetsteori och simulering Syftet med den här
Läs merDemonstration av laboration 2, SF1901
KTH 29 November 2017 Laboration 2 Målet med dagens föreläsning är att repetera några viktiga begrepp från kursen och illustrera dem med hjälp av MATLAB. Laboration 2 har följande delar Fördelningsfunktion
Läs merbli bekant med summor av stokastiska variabler.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORÖVNING 2 MATEMATISK STATISTIK FÖR E FMSF20 Syfte: Syftet med dagens laborationen är att du skall: få förståelse för diskreta, bivariate
Läs merDATORÖVNING 2 MATEMATISK STATISTIK FÖR D, I, PI OCH FYSIKER; FMSF45 & MASB03. bli bekant med summor av stokastiska variabler.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORÖVNING 2 MATEMATISK STATISTIK FÖR D, I, PI OCH FYSIKER; FMSF45 & MASB03 Syfte: Syftet med dagens laborationen är att du skall: få förståelse
Läs merLaboration 2: 1 Syfte. 2 Väntevärde och varians hos en s.v. X med fördelningen F X (x) MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR BYGG, FMS 601, HT-08
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR BYGG, FMS 601, HT-08 Laboration 2: Om väntevärden och fördelningar 1 Syfte I denna laboration skall vi försöka
Läs merDatorövning 2 Betingad fördelning och Centrala gränsvärdessatsen
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMS012/MASB03: MATEMATISK STATISTIK, 9 HP, HT-16 Datorövning 2 Betingad fördelning och Centrala gränsvärdessatsen Syftet med den här laborationen
Läs merLaboration 1: Grundläggande sannolikhetsteori, simulering och dataanalys
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik Laboration 1 Matematisk statistik AK för CDIfysiker, FMS012/MASB03, HT15 Laboration 1: Grundläggande sannolikhetsteori, simulering och dataanalys
Läs merLaboration 4: Intervallskattning och hypotesprövning
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK LABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR CDIFYSIKER, FMS012/MASB03, HT12 Laboration 4: Intervallskattning och hypotesprövning Syftet med den
Läs mer1 Syfte. 2 Moment hos och faltning av fördelningar MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR L, FMS 033, HT Angående grafisk presentation
UNDS TEKNISKA ÖGSKOA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR, FMS 33, T-3!"$&' (*) 1 Syfte I den första delen av detta projekt skall vi försöka hitta begripliga tolkningar av
Läs merMatematikcentrum 1(6) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 - Biostatistisk grundkurs VT2014, lp3. Laboration 2. Fördelningar och simulering
Matematikcentrum 1(6) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 - Biostatistisk grundkurs VT2014, lp3 Laboration 2 Fördelningar och simulering Introduktion 2014-02-06 Syftet med laborationen är dels
Läs merMatematisk statistik 9hp Föreläsning 7: Normalfördelning
Matematisk statistik 9hp Föreläsning 7: Normalfördelning Anna Lindgren 29+3 september 216 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS12/MASB3 F7: normalfördelning 1/18 Kovarians, C(X, Y) Repetition Normalfördelning
Läs merLaboration 4: Intervallskattning och hypotesprövning
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK LABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR I, FMS012, HT08 Laboration 4: Intervallskattning och hypotesprövning Syftet med den här laborationen
Läs merSyftet med den här laborationen är att du skall bli mer förtrogen med några viktiga områden inom kursen nämligen
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 3 MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR I, FMS 12, HT-8 Laboration 3: Sannolikhetsteori och simulering Syftet med den här laborationen
Läs merLektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen
Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen När utfallsrummet för en slumpvariabel kan anta vilket värde som helst i ett givet intervall är variabeln kontinuerlig. Det är väsentligt att utfallsrummet
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA INTERVALLSKATTNING. STATISTIK SLUTSATSER. Tatjana Pavlenko.
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 10 STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA SLUTSATSER. INTERVALLSKATTNING. Tatjana Pavlenko 25 april 2017 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Statistisk inferens oversikt
Läs merTvå parametrar: µ (väntevärdet) och σ (standardavvikelsen) µ bestämmer normalfördelningens läge
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik Matematisk statistik AK för ekosystemteknik, FMSF75 OH-bilder 28-9-3 Normalfördelningen, X N(µ, σ) f(x) = e (x µ)2 2σ 2, < x < 2π σ.4 N(2,).35.3.25.2.5..5
Läs merTMS136. Föreläsning 4
TMS136 Föreläsning 4 Kontinuerliga stokastiska variabler Kontinuerliga stokastiska variabler är stokastiska variabler som tar värden i intervall av den reella axeln Det kan handla om längder, temperaturer,
Läs merProjekt 1: Om fördelningar och risker
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR L, FMS 033, HT-02 Projekt 1: Om fördelningar och risker 1 Syfte I den första delen av detta projekt skall vi försöka
Läs merLaboration 1: Grundläggande sannolikhetsteori, simulering och dataanalys
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK LABORATION 1 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR ED, FMS021, VT01 Laboration 1: Grundläggande sannolikhetsteori, simulering och dataanalys Syftet med
Läs merF9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT
Stat. teori gk, ht 006, JW F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT 7.1-7.4) Ordlista till NCT Sample Population Simple random sampling Sampling distribution Sample mean Standard error The central limit theorem Proportion
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik I
SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 6 13 november 2017 1 / 29 Idag Förra gången Mer om väntevärden och varianser (Kap. 5.2 5.3) Beroendemått (Kap. 5.4) Summor, linjärkombinationer
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik I
SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 7 15 november 2017 1 / 28 Lite om kontrollskrivning och laborationer Kontrollskrivningen omfattar Kap. 1 5 i boken, alltså Föreläsning
Läs mer1 Syfte. 2 Moment hos och faltning av fördelningar MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR L, FMS 033, HT-04. 2.2 Angående grafisk presentation
LUNDS TEKNISKA HÖSKOLA ATEATIKCENTRU ATEATISK STATISTIK ATEATISK STATISTIK, AK FÖR L, FS 33, HT-4!"$&' (*) 1 Syfte I den första delen av detta projekt skall vi försöka hitta begripliga tolkningar av begreppen
Läs merTentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 08-12
LINKÖPINGS UNIVERSITET MAI Johan Thim Tentamen i matematisk statistik (9MA21/9MA31, STN2) 212-8-2 kl 8-12 Hjälpmedel är: miniräknare med tömda minnen och formelbladet bifogat. Varje uppgift är värd 6 poäng.
Läs merDatorövning 1: Fördelningar
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMS012/MASB03: MATEMATISK STATISTIK, 9 HP, VT-17 Datorövning 1: Fördelningar I denna datorövning ska du utforska begreppen sannolikhet och
Läs mer1 Stora talens lag. Laboration 2 Matematisk statistik allmän kurs, MASA01:A, HT Teori. 1.2 Uppgifter
Lunds universitet Matematikcentrum Matematisk statistik Laboration 2 Matematisk statistik allmän kurs, MASA01:A, HT-15 Syftet med denna laboration är att du skall bli förtrogen med två viktiga områden
Läs merMatematisk statistik KTH. Formelsamling i matematisk statistik
Matematisk statistik KTH Formelsamling i matematisk statistik Vårterminen 2017 1 Kombinatorik ) n n! = k k! n k)!. Tolkning: mängd med n element. ) n = antalet delmängder av storlek k ur en k 2 Stokastiska
Läs merLaboration 5: Regressionsanalys. 1 Förberedelseuppgifter. 2 Enkel linjär regression DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK FÖR I, FMS 012, HT-08
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK Laboration 5: Regressionsanalys DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK FÖR I, FMS 012, HT-08 Syftet med den här laborationen är att du skall
Läs merSF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011
Avd. Matematisk statistik Tobias Rydén 2011-09-30 SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011 Förberedelser. Innan du går till laborationen, läs igenom den här handledningen. Repetera också i
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik I
SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 4 7 november 2017 1 / 29 Idag Förra gången Viktiga kontinuerliga fördelningar (Kap. 3.6) Fördelningsfunktion (Kap. 3.7) Funktioner av stokastiska
Läs merFACIT: Tentamen L9MA30, LGMA30
Göteborgs Universitetet GU Lärarprogrammet 06 FACIT: Matematik för lärare, åk 7-9, Sannolikhetslära och statistik, Matematik för gymnasielärare, Sannolikhetslära och statistik 07-0-04 kl..0-.0 Examinator
Läs merLaboration 1: Grundläggande sannolikhetsteori, simulering och dataanalys
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik Laboration 1 Matematisk statistik AK för Π och E, FMS012, HT14/VT15 Laboration 1: Grundläggande sannolikhetsteori, simulering och dataanalys
Läs merSF1900 Sannolikhetsteori och statistik, HT 2017 Laboration 1 för CINEK2
Matematisk Statistik SF1900 Sannolikhetsteori och statistik, HT 2017 Laboration 1 för CINEK2 1 Introduktion Denna laboration är inte poänggivande utan är till för den som vill bekanta sig med MATLAB. Fokusera
Läs merSF1911: Statistik för bioteknik
SF1911: Statistik för bioteknik Föreläsning 6. TK 14.11.2016 TK Matematisk statistik 14.11.2016 1 / 38 Lärandemål Stokastiska modeller för kontinuerliga datatyper Fördelningsfunktion (cdf) Sannolikhetstäthetsfunktion
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAGEN DEN 26:E OKTOBER 206 KL 8.00 3.00. Examinator: Thomas Önskog, 08 790 84 55. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merStokastiska vektorer
TNG006 F2 9-05-206 Stokastiska vektorer 2 Kovarians och korrelation Definition 2 Antag att de sv X och Y har väntevärde och standardavvikelse µ X och σ X resp µ Y och σ Y Då kallas för kovariansen mellan
Läs merMatematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 10: Punktskattningar
Matematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 10: Punktskattningar Anna Lindgren (Stanislav Volkov) 31 oktober + 1 november 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F10: Punktskattning 1/18 Matematisk
Läs mer0 om x < 0, F X (x) = c x. 1 om x 2.
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF193 SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK FÖR 3-ÅRIG Media TIMEH MÅNDAGEN DEN 16 AUGUSTI 1 KL 8. 13.. Examinator: Gunnar Englund, tel. 7974 16. Tillåtna hjälpmedel: Läroboken.
Läs merFöreläsning 7: Punktskattningar
Föreläsning 7: Punktskattningar Matematisk statistik Chalmers University of Technology April 27, 2015 Tvådimensionella fördelningar Definition En två dimensionell slumpvariabel (X, Y ) tillordnar två numeriska
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggande matematisk statistik Kontinuerliga fördelningar Uwe Menzel, 8 www.matstat.de Begrepp fördelning Hur beter sig en variabel slumpmässigt? En slumpvariabel (s.v.) har en viss fördelning, d.v.s.
Läs merTMS136. Föreläsning 7
TMS136 Föreläsning 7 Stickprov När vi pysslar med statistik handlar det ofta om att baserat på stickprovsinformation göra utlåtanden om den population stickprovet är draget ifrån Situationen skulle kunna
Läs merFöreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E Punktskattningar
Föreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E Punktskattningar Stas Volkov Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF20 F8: Statistikteori 1/20 Översikt Exempel Repetition Exempel Matematisk statistik
Läs merProvmoment: Tentamen 6,5 hp Ladokkod: A144TG Tentamen ges för: TGMAI17h, Maskiningenjör - Produktutveckling. Tentamensdatum: 28 maj 2018 Tid: 9-13
Matematisk Statistik 7,5 högskolepoäng Provmoment: Tentamen 6,5 hp Ladokkod: A144TG Tentamen ges för: TGMAI17h, Maskiningenjör - Produktutveckling Tentamensdatum: 28 maj 2018 Tid: 9-13 Hjälpmedel: Miniräknare
Läs merKap 2. Sannolikhetsteorins grunder
Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder Olika händelser och deras mängbetäckningar Sats 2.7 Dragning utan återläggning av k element ur n (utan hänsyn till ordning) kan ske på ( n ) olika sätt k För två händelser
Läs merNågra extra övningsuppgifter i Statistisk teori
Statistiska institutionen Några extra övningsuppgifter i Statistisk teori 23 JANUARI 2009 2 Sannolikhetsteorins grunder 1. Tre vanliga symmetriska tärningar kastas. Om inte alla tre tärningarna visar sexa,
Läs mer(b) Bestäm sannolikheten att minst tre tåg är försenade under högst tre dagar en given vecka.
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901, SF1905 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 11 JANUARI 2016 KL 14.00 19.00. Kursledare för CINEK2: Thomas Önskog, tel: 08 790 84 55 Kursledare för
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik I
SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 10 27 november 2017 1 / 28 Idag Mer om punktskattningar Minsta-kvadrat-metoden (Kap. 11.6) Intervallskattning (Kap. 12.2) Tillämpning på
Läs merKapitel 4 Sannolikhetsfördelningar Sid Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin
Kapitel 4 Sannolikhetsfördelningar Sid 79-14 Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin Slumpvariabel En variabel för vilken slumpen bestämmer utfallet. Slantsingling, tärningskast,
Läs merF9 Konfidensintervall
1/16 F9 Konfidensintervall Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 18/2 2013 2/16 Kursinformation och repetition Första inlämningsuppgiften rättas nu i veckan. För att
Läs mer0 om x < 0, F X (x) = x. 3 om 0 x 1, 1 om x > 1.
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF9, SF95 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 2:E JANUARI 25 KL 4. 9.. Kursledare: Gunnar Englund, 73 32 37 45 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merTAMS65 - Föreläsning 1 Introduktion till Statistisk Teori och Repetition av Sannolikhetslära
TAMS65 - Föreläsning 1 Introduktion till Statistisk Teori och Repetition av Sannolikhetslära Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen TAMS65 - Mål Kursens övergripande mål är att ge
Läs merTentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M
Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Poäng totalt för del 1: 25 (10 uppgifter) Tentamensdatum 2017-08-22 Poäng totalt för del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 9.00 14.00 Jourhavande lärare: Mykola
Läs merMatematisk statistik TMS064/TMS063 Tentamen
Matematisk statistik TMS64/TMS63 Tentamen 29-8-2 Tid: 4:-8: Tentamensplats: SB Hjälpmedel: Bifogad formelsamling och tabell samt Chalmersgodkänd räknare. Kursansvarig: Olof Elias Telefonvakt/jour: Olof
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 5. Kovarians, korrelation, väntevärde och varians för summor av s.v.:er, normalfördelning (del 1) Jan Grandell & Timo Koski 15.09.2008 Jan Grandell &
Läs merFöreläsning 7: Punktskattningar
Föreläsning 7: Punktskattningar Matematisk statistik Chalmers University of Technology September 21, 2015 Tvådimensionella fördelningar Definition En två dimensionell slumpvariabel (X, Y ) tillordnar två
Läs merThomas Önskog 28/
Föreläsning 0 Thomas Önskog 8/ 07 Konfidensintervall På förra föreläsningen undersökte vi hur vi från ett stickprov x,, x n från en fördelning med okända parametrar kan uppskatta parametrarnas värden Detta
Läs merSF1922/SF1923: SANNOLIKHETSTEORI OCH INTERVALLSKATTNING. STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 24 april 2018
SF1922/SF1923: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 11 INTERVALLSKATTNING. Tatjana Pavlenko 24 april 2018 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Vad är en intervallskattning? (rep.) Den allmänna metoden för
Läs merFöreläsningsanteckningar till kapitel 8, del 2
Föreläsningsanteckningar till kapitel 8, del 2 Kasper K. S. Andersen 4 oktober 208 Jämförelse av två väntevärden Ofte vil man jämföra två eller fler) produkter, behandlingar, processer etc. med varandra.
Läs merMatematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik
Matematisk statistik KTH Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Varterminen 2005 . Kombinatorik n = k n! k!n k!. Tolkning: n k mängd med n element. 2. Stokastiska variabler V X = EX 2 EX 2 =
Läs merFöreläsning 5. Funktioner av slumpvariabler. Ett centralt resultat.
Föreläsning 5. Funktioner av slumpvariabler. Ett centralt resultat. Jesper Rydén Matematiska institutionen, Uppsala universitet jesper.ryden@math.uu.se 1MS008, 1MS777 vt 2016 Ytterligare begrepp Viktiga
Läs merÖvningstentamen i kursen Statistik och sannolikhetslära (LMA120)
Övningstentamen i kursen Statistik sannolikhetslära (LMA0). Beräkna ( ) 04.. Malin har precis yttat, ska skruva ihop sitt rektangulära skrivbord igen. Bordet har ett ben i varje hörn, har två långsidor
Läs merIntroduktion till statistik för statsvetare
"Det finns inget så praktiskt som en bra teori" November 2011 Repetition Vad vi gjort hitills Vi har börjat med att studera olika typer av mätningar och sedan successivt tagit fram olika beskrivande mått
Läs merFöreläsning 7: Punktskattningar
Föreläsning 7: Punktskattningar Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology April 7, 2014 Projektuppgift Projektet går ut på att genomföra ett statistiskt försök och analysera resultaten.
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 8:E JANUARI 2018 KL 14.00 19.00. Examinator: Thomas Önskog, 08 790 84 55. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merMatematisk statistik 9 hp Föreläsning 6: Linjärkombinationer
Matematisk statistik 9 hp Föreläsning 6: Linjärkombinationer Anna Lindgren 27+28 september 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F6: linjärkombinationer 1/21 sum/max/min V.v./var Summa av
Läs merLINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 27 / TEN 2
LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska institutionen EXAM TAMS 27 / TEN 2 augusti 218, klockan 8.-12. Examinator: Jörg-Uwe Löbus (Tel: 79-62827) Tillåtna hjälpmedel är en räknare, formelsamling i matematisk
Läs mer1. För tiden mellan två besök gäller. V(X i ) = 1 λ 2 = 25. X i Exp (λ) E(X i ) = 1 λ = 5s λ = 1 5
LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik Tentamen: 29 7 kl 8 3 Matematikcentrum FMSF45 Matematisk statistik AK för D,I,Pi,F, 9 h Lunds universitet MASB3 Matematisk statistik AK för fysiker, 9 h. För tiden mellan
Läs merLaboration 4: Hypotesprövning och styrkefunktion
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR L, FMS 032, HT-07 Laboration 4: Hypotesprövning och styrkefunktion 1 Syfte I denna laboration
Läs merTentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 14 18
LINKÖPINGS UNIVERSITET MAI Johan Thim Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) 213-1-11 kl 14 18 Hjälpmedel är: miniräknare med tömda minnen och formelbladet bifogat. Varje uppgift är värd
Läs merKap 6: Normalfördelningen. Normalfördelningen Normalfördelningen som approximation till binomialfördelningen
Kap 6: Normalfördelningen Normalfördelningen Normalfördelningen som approximation till binomialfördelningen σ μ 1 Sats 6 A Om vi ändrar läge och/eller skala på en normalfördelning så har vi fortfarande
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1913 MATEMATISK STATISTIK FÖR IT OCH ME ONSDAGEN DEN 12 JANUARI 2011 KL 14.00 19.00. Examinator: Camilla Landén, tel. 7908466. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merträna på att använda olika grafiska metoder för att undersöka vilka fördelningar ett datamaterial kan komma från
Matematikcentrum Matematisk statistik MASB11: BIOSTATISTISK GRUNDKURS DATORLABORATION 1, 1 APRIL 215 FÖRDELNINGAR, SIMULERING OCH FÖRDELNINGSANPASSNING Syfte Syftet med dagens laboration är att du ska
Läs merDel I. Uppgift 1 För händelserna A och B gäller att P (A) = 1/4, P (B A) = 1/3 och P (B A ) = 1/2. Beräkna P (A B). Svar:...
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF9/SF94/SF95/SF96 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAGEN DEN 4:E OKTOBER 08 KL 8.00 3.00. Examinator för SF94/SF96: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66 Examinator för
Läs meren observerad punktskattning av µ, ett tal. x = µ obs = 49.5.
February 6, 2018 1 Föreläsning VIII 1.1 Punktskattning Punktskattning av µ Vi låter {ξ 1, ξ 2,..., ξ n } vara oberoende likafördelade stokastiska variabler (med ett gemensamt µ). ξ =: µ är en punktskattning
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 7 september 2016
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 4 KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER Tatjana Pavlenko 7 september 2016 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Repetition av diskreta stokastiska variabler. Väntevärde
Läs merJörgen Säve-Söderbergh
SF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 8 Binomial-, hypergeometrisk- och Poissonfördelning Exakta egenskaper Approximativa egenskaper Jörgen Säve-Söderbergh Binomialfördelningen
Läs merTAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder
TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Fö2 Punktskattningar Egenskaper Väntevärdesriktig Effektiv Konsistent
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 4. Väntevärde och varians, funktioner av s.v:er, flera stokastiska variabler. Jan Grandell & Timo Koski 10.09.2008 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk
Läs merBlandade problem från elektro- och datateknik
Blandade problem från elektro- och datateknik Sannolikhetsteori (Kapitel 1-10) E1. En viss typ av elektroniska komponenter anses ha exponentialfördelade livslängder. Efter 3000 timmar brukar 90 % av komponenterna
Läs mer1.1 Diskret (Sannolikhets-)fördelning
Föreläsning III. Diskret (Sannolikhets-)fördelning Med diskret menas i matematik, att något antar ett ändligt antal värden eller uppräkneligt oändligt med värden e.vis {, 2, 3,...}. Med fördelning menas
Läs merrepetera begreppen sannolikhetsfunktion, frekvensfunktion och fördelningsfunktion
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMSF25: MATEMATISK STATISTIK KOMPLETTERANDE PROJEKT DATORLABORATION 1, 14 NOVEMBER 2017 Syfte Syftet med dagens laboration är att du ska träna
Läs merMer om konfidensintervall + repetition
1/14 Mer om konfidensintervall + repetition Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 23/2 2011 2/14 Dagens föreläsning Skattningar som slumpvariabler Väntevärde Varians
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik. Flera stokastiska variabler.
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 5. Flera stokastiska variabler. Jan Grandell & Timo Koski 31.01.2012 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 31.01.2012 1 / 30 Flerdimensionella
Läs merLaboration 3: Parameterskattning och Fördelningsanpassning
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 3 MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR BYGG, FMS 601, HT-08 Laboration 3: Parameterskattning och Fördelningsanpassning 1 Syfte Syftet
Läs merStokastiska processer med diskret tid
Stokastiska processer med diskret tid Vi tänker oss en följd av stokastiska variabler X 1, X 2, X 3,.... Talen 1, 2, 3,... räknar upp tidpunkter som förflutit från startpunkten 1. De stokastiska variablerna
Läs merFMSF55: Matematisk statistik för C och M OH-bilder på föreläsning 5, a 2 e x2 /a 2, x > 0 där a antas vara 0.6.
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMSF55: Matematisk statistik för C och M OH-bilder på föreläsning 5, 28-4-6 EXEMPEL (max och min): Ett instrument består av tre komponenter.
Läs merTenta i Statistisk analys, 15 december 2004
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN LÖSNINGAR Avd. Matematisk statistik, ML 15 december 004 Lösningar Tenta i Statistisk analys, 15 december 004 Uppgift 1 Vi har två stickprov med n = 5 st.
Läs mer4 Diskret stokastisk variabel
4 Diskret stokastisk variabel En stokastisk variabel är en variabel vars värde bestäms av utfallet av ett slumpmässigt försök. En stokastisk variabel betecknas ofta med X, Y eller Z (i läroboken används
Läs merLINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 27 / TEN 2
LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska institutionen EXAM TAMS 27 / TEN 2 2 augusti 217, klockan 8-12 Examinator: Jörg-Uwe Löbus (Tel: 79-62827 Tillåtna hjälpmedel är en räknare, formelsamling i matematisk
Läs merHärledning av Black-Littermans formel mha allmänna linjära modellen
Härledning av Black-Littermans formel mha allmänna linjära modellen Ett sätt att få fram Black-Littermans formel är att formulera problemet att hitta lämpliga justerade avkastningar som ett skattningsproblem
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik: HT 2014 Lab 1 för CSAMHS, CINEKI, och CL
Matematisk Statistik SF1901 Sannolikhetsteori och statistik: HT 2014 Lab 1 för CSAMHS, CINEKI, och CL Introduktion Detta är handledningen till Laboration 1, ta med en en utskriven kopia av den till laborationen.
Läs mer