NATIONALEKONOMISKA INSTITUTIONEN Datum: Författare: Victor Marklund och Mattias Öhman. Förlustspiralen

Transkript

1 NATIONALEKONOMISKA INSTITUTIONEN Datum: Uppsala universitet Författare: Victor Marklund och Mattias Öhman Nationalekonomi/Examensarbete C Handledare: Erik Grönqvist Förlustspiralen En studie av riskbeteende i spelet Black Jack

2 Sammanfattning Den traditionella förväntade nyttoteorin har kritiserats för att inte vara realistisk i sina förutsägelser om hur beslut tas vid risk. Eftersom de flesta situationer innefattar någon form av risk är det viktigt att utreda ifall man bör söka efter en alternativ teori. I denna uppsats undersöks hur väl nyttoteorin och en konkurrent till denna, prospektteorin, kan förklara riskbeteendet hos Black Jack-spelare. Detta görs genom en studie av fem individers spelbeteende på en krog i centrala Jönköping. Materialet analyseras både grafiskt och statistiskt genom att undersöka om individernas beteende förändras beroende på utfallet dels i de fem senaste händerna och dels under hela spelomgången. Resultaten tyder på att individer tar bättre beslut om de har en ackumulerad vinst och sämre beslut om de har en ackumulerad förlust under den tidigare spelomgången, vilket är förenligt med prospektteorin. Samtidigt upptäcks en uttröttningseffekt som leder till sämre beslut tagna ju längre man har spelat, som ingen av teorierna förutsäger. En spelare som har en vinst kan kompensera för denna effekt, men en spelare med förlust kommer att ta sämre beslut både på grund av förlusten och på grund av uttröttning i något som kan kallas för en förlustspiral. Nyckelord: Beteendeekonomi, prospektteori, förväntad nyttoteori, riskbeteende, riskaversion, risksökande, loss aversion, Black Jack, förlustspiral. I

3 Innehållsförteckning 1. Inledning Riskteorier Den förväntade nyttoteorin Prospektteorin Hypoteser Nyttoteorin Prospektteorin Spelteori Spelregler för Black Jack Metod Urval Definitioner Databehandling Grafisk metod Statistisk metod Resultat Grafiskt resultat Statistiskt resultat Diskussion och analys Referenser Bilagor Förenklat spelschema Förväntad avkastning Tabelldata II

4 1. Inledning I ekonomisk teori är ett fundamentalt antagande att individer är rationella. I de enklaste tillämplingarna förutsätts även att aktörerna har fullständig information. När individen ställs inför ett val är varje utfall känt och individen kommer att välja det som ger högst nytta. I verkligheten är det svårt att ens i avgränsade problem utgå från att någon har fullständig information. Mikroteorin tar hänsyn till detta genom att introducera förväntningar i vad som kallas förväntad nyttoteori. I denna antas vanligtvis en aktör känna till möjliga utfall samt deras sannolikheter för att med hjälp av dessa beräkna väntevärdet för ett visst val. På samma sätt som tidigare väljer individen det val som ger mest nytta, alltså har högst väntevärde. På senare tid har denna standardteori utsatts för mycket kritik, bland annat från området kallat beteendeekonomi. Inte minst har antagandet om rationalitet ifrågasatts. Kritikerna menar dels att det är en betydande överskattning av människors förmåga att ta till sig stora mängder information, dels att själva värderingen av informationen inte går till så som nyttoteorin antar. Åtskilliga experimentella studier tycks bekräfta denna kritik. 1 Exempelvis tycks aktörers val påverkas av irrelevanta alternativ. Anta att en individ ska välja mellan A och B och det är oklart vilken som ska föredras (båda alternativen har sina respektive fördelar). Om ytterligare ett alternativ, C, läggs till och det är dominerat av A bör individens val mellan A och B inte påverkas. Det visar sig emellertid att en sådan utökning gör att fler tenderar att välja A. Det förklaras med att individer ser alternativen i relation till varandra, snarare än ser till deras nytta och jämför dem. A verkar vara bättre än B, eftersom A åtminstone dominerar C. Redan i slutet av 70-talet presenterades ett alternativ till den förväntade nyttoteorin kallat prospektteorin, som utvecklats av Kahneman och Tversky (1979). Den var ett försök att formulera en teori som kunde beskriva och förklara många av de resultat som man såg inom experimentell ekonomi. Enligt prospektteorin utgår individer från en subjektiv referenspunkt som gör att vinster och förluster bedöms på olika sätt. Individer är förlustaversiva ( loss aversion ) och föredrar att undvika förluster framför att ta risker som kanske leder till vinst. I denna uppsats skall vi pröva hur väl dessa två teorier förklarar en spelares beteende i spelet Black Jack. Det är ett kortspel med två spelare (varav den ena är kasinot) där målet är att få en 1 Ariely, D. (2008) redovisar på ett lättsamt sätt ett stort antal sådana studier. 1

5 summa så nära 21 som möjligt utan att gå över. Detta spel är intressant att studera på grund av dess upplägg. För varje uppsättning kort är det möjligt att beräkna den förväntade avkastningen, vilket gör det till ett matematiskt enkelt spel. Dessutom är risken vid varje hand given och det är heller inte möjligt för spelaren att ta ett mer riskfyllt val för att vinna mer. Det finns således hela tiden ett val som maximerar den förväntade avkastningen för spelaren. 2 För att testa dessa två teorier observerar vi en handfull spelare vid ett Black Jack-bord och hur deras beteende eventuellt förändras efter en tids förlust eller vinst. Vi undersöker vilken, om någon, av de nämnda riskteorierna som bäst kan förklara våra observerade spelares beteende. På grund av tidsfristen avgränsar vi oss till fem spelare och hundra händer vardera. Analysen genomförs genom att vi studerar spelarnas beteende och resultat individuellt i en grafisk analys, vilket blir möjligt med så pass få observerade individer som studien innehåller. Den grafiska analysen tillåter emellertid inte slutsatser om kausalitet utan ger mest en överskådlig blick. Därför genomförs även en statistisk analys där spelarbeteendet undersöks med hänsyn till ett flertal olika variabler. Uppsatsen börjar med en genomgång av riskteorierna och vilket beteende vi förväntar oss att se enligt dessa, sedan formuleras hypoteser för respektive teori. Vidare följer en genomgång av Black Jack och ett metodavsnitt där vi beskriver datainsamlingen och hur vi bearbetat den. Slutligen redovisas vårt resultat följt av en analys. Som bilagor ingår vårt insamlade och bearbetade material, en tabell för väntevärdesavkastning samt ett förenklat spelschema. 2. Riskteorier Inom nationalekonomin förutsätts individen vanligtvis vara rationell i sitt agerande. När beslut måste fattas under osäkerhet kan individen inte i förväg veta vilket utfall ett beslut leder till, vilket försvårar för individen att ex ante veta vilket beslut som kommer att leda till det bästa utfallet. Det finns i huvudsak två teorier ekonomer använder för att studera situationer med risk: Den förväntade nyttoteorin och prospektteorin Den förväntade nyttoteorin Den förväntade nyttoteorin har som utgångspunkt att individen agerar för att maximera sin nytta. När utfallet är oklart antas individen agera med hjälp av sannolikhetsberäkningar. Med 2 Denna strategi kommer ibland att benämnas optimal strategi. 2

6 hjälp av dessa kan individen beräkna väntevärdet av att ta ett visst beslut och jämföra detta med alternativa beslut. Det finns tre olika attityder till risk: riskneutralitet, riskaversivitet och risksökande. Eftersom det är nytta som beaktas måste hänsyn tas till att individer kan värdera situationen olika, på samma sätt som vi har olika preferenser för andra varor. En riskaversiv individ kan således vara beredd att delta i ett spel även om det innefattar en stor monetär risk. Figur 2.1 (a): Riskneutral individ Nytta Figur 2.1 (a) visar en riskneutral individ, som varken undviker eller föredrar risk. Om individen har en sannolikhet att antingen få inkomsten I 1 eller u(e(i)) I 2 är inkomstens väntevärde E(I), vilket betyder att individen har den förväntade nyttan u(e(i)). I 1 E(I) I 2 Inkomst Figur 2.1 (b): Riskaversiv individ Nytta û(i) u(e(i)) Figur 2.1 (b) visar en riskaversiv individ, det vill säga en individ som vill undvika risk. Även i detta fall gäller att om individen har möjlighet att få inkomsten I 1 eller I 2 så är inkomstens väntevärde I 1 E(I) I 2 Inkomst E(I). Men till skillnad från (a) så skiljer sig individens nytta av en säker inkomst I, som skulle ge nyttan û(i), och den osäkra inkomsten E(I), som ger den förväntade nyttan u(e(i)). Nytta u(e(i)) û(i) Figur 2.1 (c): Risksökande individ I 1 E(I) I 2 Inkomst Betrakta till sist figur 2.1 (c). Här illustreras en risksökande individ, alltså en individ som föredrar risk. Den förväntade inkomsten E(I) ger i detta fall nyttan u(e(i)) vilken överstiger û(i). Möjligheten att kanske få en hög inkomst är för denna individ en attraktiv egenskap, trots risken för att det kan bli en låg inkomst. 3

7 Skillnaden mellan en riskneutral, en riskaversiv och en risksökande individ kan också beskrivas genom villigheten att ställa upp i ett fair gamble. I ett sådant spel är den förväntade vinsten noll. Ett exempel är ett vad där man singlar slant och vinner 100 kronor om det blir krona och förlorar 100 kronor om det blir klave, (1) En riskneutral individ är indifferent till ett sådant spel, medan en riskaversiv individ inte kommer att acceptera det och en risksökande individ kommer att acceptera det. Ponera att en spelare väljer mellan två olika spel, X och Y. Osäkerhetsfaktorn skiljer sig mellan dessa två spel. Det ena spelet har en hög potentiell vinst men låg sannolikhet att vinna, medan det andra spelet har en lägre potentiell vinst men större sannolikhet att spelaren vinner. Exempel 2.1: Anta att sannolikheten att vinna i spel X är 1 procent. Kostnaden för att spela är 110 kronor. Om spelaren vinner är vinsten kronor. I spel Y är sannolikheten att vinna 5 procent. Spelet kostar 70 kronor. Vinsten är enbart kronor. Därmed kan vi beräkna de båda spelens väntevärde, (2) (3) Vinstens väntevärde i spel X är högre än motsvarande väntevärde i spel Y, samtidigt som kostnaden för att spela X är högre. Inget av spelen är ett fair gamble, vilket betyder att endast en risksökande individ skulle kunna acceptera dem, givet att individer endast ser till potentiell vinst. Individer kan dock som nämnts tidigare värdera själva spelandet så högt att nyttovärdet ändå blir positivt. Det gör det tänkbart att såväl en riskneutral som en riskaversiv person kan välja att spela. Nyttoteorin kräver alltså av individen att den känner till eller uppskattar antalet möjliga utfall samt deras respektive sannolikhet och sedan beräknar valalternativens väntevärde. Det är uppenbart att detta kan bli en mycket komplicerad uppgift redan i så isolerade situationer som spel. 4

8 I Black Jack är det möjligt att på ett motsvarande sätt beräkna väntevärdet av ett val och därigenom bestämma hur man ska göra. 3 Exempel 2.2: Spelaren satsar 10 kr på en hand. Spelaren får en 8:a och en 7:a (8 + 7 = 15) på given där dealern får en 9:a. Spelarens väntevärde av att inte ta ett kort till är (4) Spelarens väntevärde av att ta ett kort till är (5) Givet att spelarens preferenser inte tar hänsyn till något annat än förväntad vinst bör således alternativet att ta ett till kort väljas Prospektteorin Kahneman och Tversky (1979) 4 lade fram ett alternativ till den traditionella nyttoteorin som beskrivits ovan. Prospektteorin tar bland annat hänsyn till att vi människor har begränsad mental kapacitet och tid och därför förenklar de problem vi ställs inför. Prospektteorin är mer komplicerad än nyttoteorin och innefattar delar som inte är relevanta för vår spelsituation. Vi tar därför endast upp det som är nödvändigt för att förstå teorins grunder. Skälet till att prospektteorin utvecklades var att man i experimentell ekonomi kunde se resultat som var svåra att förklara i nyttoteorin. Följande spelexempel kommer från artikeln av Kahneman och Tversky. Exempel 2.3: Individen har att välja mellan följande alternativ. (a) 90 procents sannolikhet att få 3000 kr eller (b) 45 procents sannolikhet att få 6000 kr. Det kan också uttryckas som (6) 3 Väntevärderna kommer från spelschemat för förväntad avkastning. Se bilaga Tversky och Kahneman har vidareutvecklat prospektteorin till vad som kallas kumulativ prospektteori, delvis som svar på att den tidigare teorin kunde strida mot dominans. För denna uppsats är en genomgång av denna utveckling dock av mindre betydelse. 5

9 (7) (8) Av 66 deltagare föredrogs E(a) av 86 procent medan 14 procent föredrog E(b). Betrakta sedan följande situation. Individen har att välja mellan alternativ (c) att betala 3000 kr med 90 procents sannolikhet eller (d) att betala 6000 kr med 45 procents sannolikhet, eller uttryckt (9) (10) (11) 92 procent av deltagarna föredrog i detta fall alternativ E(d). Notera att väntevärdet i (a) och (b) respektive (c) och (d) är samma, samt att det val individerna gör skiljer sig åt i positiva respektive negativa prospekt. Enligt nyttoteorin förväntas en jämn fördelning mellan alternativen, och den bör heller inte se så olika ut beroende på ifall det är frågan om ett positivt eller ett negativt prospekt. Prospektteorin delar upp beslutsfattandet i två olika faser, redigeringsfasen och utvärderingsfasen. I redigeringsfasen söker individer strukturera upp problemet för att kunna förenkla beslutsfattandet. Möjliga utfall kodas antingen som vinster eller förluster i förhållande till en viss subjektiv referenspunkt, som kan vara sakers nuvarande tillstånd. För att minska antalet alternativ kombineras val som har samma sannolikhet och vinst och tolkas som ett och samma. Alternativ som innehåller både säkra och osäkra komponenter segregeras så att den säkra komponenten separeras från den osäkra. Gemensamma faktorer för olika valalternativ ignoreras. Mycket osannolika alternativ antingen ignoreras eller ges för hög vikt. Dominerade alternativ bortses helt ifrån. I utvärderingsfasen beräknas nyttan av de olika (redigerade) valen baserat på deras möjliga utfall och sannolikheter. På samma sätt som i nyttoteorin väljer individer det val som värderas högst, vilket i prospektteorin kallas för värde i stället för nytta. 6

10 Totalvärdet ( Overall value ) av ett prospekt betecknas med V och uttrycks i två skalor ( scales ), π och v. π avser den vikt sannolikheten p får i V, π(p). v avser individens subjektiva värdering av utfall x, v(x). Utfallen jämförs med en referenspunkt och v mäter avvikelsen från denna. För V(x,p; y,q) gäller i ett strikt positivt prospekt (exempel (a) och (b) ovan) att p + q = 1 och x > y > 0. I ett strikt negativt prospekt (exempel (c) och (d) ovan) gäller p + q = 1 och x < 0 < y. Det ger utvärderingsregeln utseendet (12) Värdefunktionens utseende beror på avvikelsen från referenspunkten och är enligt Kahneman och Tversky konkav för vinster och konvex för förluster, samt är brantare för förluster än för vinster. Det ger ett S-format utseende som i figur 2.2 (a). Figur 2.2 (a): Värdefunktionen Figur 2.2 (b): Viktfunktionen Värde π(p) 1,0 Förluster Vinster 0,5 0,5 1,0 p Figur 2.2 (b) representerar en vanligt använd viktfunktion. Låga sannolikheter överskattas och får ett konkavt utseende medan höga sannolikheter underskattas vilket ger kurvan ett konvext utseende. Viktfunktionens utseende beskriver individers tendens att tänka i kategorier. Här kan man tala om fyra olika kategorier: omöjlighet, möjlighet, trolighet och säkerhet. Att små sannolikheter överviktas visar skillnaden mellan kategorierna omöjlighet och möjlighet. Vi betraktar någonting som möjligt även om sannolikheten är ytterst liten (som att köpa lotter i hopp om att vinna pengar). Att höga sannolikheter underviktas pekar på skillnaden mellan trolighet och säkerhet. Även om något är troligt så finns ju risken att misslyckas, och det resulterar i en överbetoning av det osannolika (att man misslyckas). 7

11 Tabell 2.1: Riskbeteende enligt prospektteorin. Vinster Förluster Låga sannolikheter Risksökande Riskaversiv Höga sannolikheter Riskaversiv Risksökande Enligt prospektteorin är människor beredda att ta risker för att undvika förluster trots att risken att förlora är stor. Samtidigt är vi mindre benägna att ta risker när vi kan vinna, trots att sannolikheten för detta är hög. Detta kallas förlustaversion ( loss aversion ). Exempel 2.4: I ett val mellan 8000 kr med 20 procents sannolikhet och 2000 kr med 80 procents sannolikhet blir utvärderingsregeln (13) där (14) I exemplet föredras enligt prospektteorin alternativet att med 80 procents sannolikhet få 2000 kr över alternativet med 8000 kr med 20 procents sannolikhet. Thaler och Ziemba (1988) diskuterar anomalier som är svåra att förklara inom den traditionella nyttoteorin. Exempelvis kan man i studier över hur människor satsar i hästkapplöpning se att favorite-longshot bias 5 blir starkare över dagen, vilket förklaras med att individerna försöker vinna tillbaka förlusterna. I förhållande till referenspunkten har individen sjunkit ner i förlustspektrat och därmed blivit risksökande med ett större risktagande, på det sätt prospektteorin förutsäger. Enligt prospektteorin ser spelbeteendet följaktligen annorlunda ut i Black Jack än det som nyttoteorin förutspår. Spelare som har förlorat i tidigare händer bör bli risksökande på samma sätt som man kunnat se att hästkapplöpningsspelare som har förlorat pengar blir det. Referenspunktens förskjutning mot förlust gör att spelaren hamnar i det risksökande spektrat. Vid vinster förskjuts i stället referenspunkten åt det andra hållet och konsekvensen blir ett riskaversivt beteende. Viktfunktionen gör dessutom att spelaren kommer att överskatta vinstmöjligheterna när förväntad avkastning per krona är låg och vice versa. 5 Favorite-longshot bias syftar på att spelare tenderar att satsa för lite på favoriter och för mycket på longshots. 8

12 3. Hypoteser I Black Jack kan spelaren för att maximera förväntad avkastning spela enligt en sannolikhetstabell. I de allra flesta händer innebär detta att det för spelarens del är fråga om att minimera förväntad förlust. Informationssymmetri råder mellan spelaren och dealern. Strategin för att maximera avkastningen är tämligen välkänd och lättillgänglig. I detta avsnitt ställer vi upp varsin hypotes för nyttoteorin respektive prospektteorin. Dessa hypoteser kommer senare att användas för att se vilken teori som bäst förklarar spelbeteendet Nyttoteorin Givet förutsättningarna i spelet är det inte orimligt att förmoda att de flesta riskaversiva personer avstår från att spela. Det bör även gälla riskneutrala individer, eftersom spelet har en negativ förväntad avkastning. Undantag är de som spelar för spelandets skull, snarare än för att vinna pengar. Vi utgår emellertid från att spelarna har en risksökande attityd. Eftersom en risksökande individ uppskattar risk som innebär en högre potentiell avkastning och den enda möjligheten att göra detta i Black Jack är att öka insatsen kan man tänka sig att de som kan spelet satsar högre belopp än andra. Insatsen beror emellertid på spelarens egen inkomst och är relativ denna, vilket gör att det är svårt att bedöma huruvida detta är fallet. Däremot kan själva spelstrategin observeras. Vi utgår från att en spelare agerar i enlighet med den förväntade nyttoteorin om individen spelar med ett konsekvent risktagande oberoende av tidigare vinster eller förluster Prospektteorin Som nämnts tidigare förväntas spelarna agera annorlunda om prospektteorin är en riktig beskrivning av spelbeteendet. Förlustaversion gör att spelare blir riskaversiva vid vinster och risksökande vid förluster. Samtidigt överskattar individen låga sannolikheter till vinst medan höga sannolikheter för förlust underskattas. På samma sätt som den förväntade nyttoteorin leder till att risksökande individer satsar högre belopp än andra så kan enligt prospektteorin en individ som erfarit förluster tänkas börja satsa mer i förhoppning om att vinna tillbaka förlusterna. I detta fall kan detta beteende observeras, 9

13 eftersom storleken på insatsen ska öka när spelaren tidigare har förlorat. Man kan dessutom förmoda att spelaren tar större risker givet en hand, det vill säga tar chansen att avvika från den optimala strategin på grund av en felaktig uppfattning om sannolikheterna. Vi kommer utgå ifrån att en spelare agerar i enlighet med prospektteorin om individen efter vinster tar mindre risk och efter förluster tar större risk. 4. Spelteori När man ser till spel som studieobjekt måste man först skilja på spel som baseras på skicklighet respektive spel som grundar sig i tur. Exempel 4.1: Schack är ett bra exempel på ett spel som enbart är uppbyggt på skicklighet spelarna emellan då det saknas faktorer andra än de spelarna kontrollerar. I andra änden av skalan kan nämnas lotto eller tärningar som endast avgörs på tur eftersom inget spelaren gör kan ändra chansen till eventuell vinst. Inom kategorin kasinospel finns det både spel som enbart avgörs av tur såsom roulette, tärningar eller enarmade banditer och spel som har mer eller mindre inslag av skicklighet, exempelvis poker och till viss del Black Jack. Det alla spelen har gemensamt är en fördel till huset (exempelvis kasinot). För denna uppsats behövs ett spel som till viss del påverkas av spelaren men som fortfarande har tydliga matematiska principer som styr risken, som är det vi vill undersöka över tid. Det behövs vidare en möjlighet att studera statistiken bakom spelet, all information måste vara öppen, det vill säga råda informationssymmetri. Den hybriden (av spelskicklighet och tur) där spelarens ROI (Return On Investment) kan observeras vid olika val som lämpar sig bäst för ändamålet är Black Jack. Spelaren är statistiskt alltid i underläge gentemot kasinot eftersom det tar en viss procent från varje satsning. Denna fördel som kasinot åtnjuter kan mätas när man väl vet vilka förutsättningar spelet görs under. Denna benämns som house edge och är definierat som medelförlusten (eftersom kasinot, för att vara lönsamt, alltid har en långsiktig fördel) för varje satsning. House edge kommer numera att betecknas som HE. 10

14 Exempel 4.2: Ett kasino med ett HE på -0,51 % innebär att spelaren, för varje satsad hundralapp, kommer förlora 51 öre. Eftersom det i kasinospel finns ett HE som gör spelarens förväntade avkastning negativ är det främst risksökande individer som söker sig till spelande. Black Jack är dock ett av spelen med lägst HE Spelregler för Black Jack Dealern eller huset har en viss samling regler som måste följas och det råder informationssymmetri vilket innebär att det finns ett optimalt spelsystem som en spelare kan använda sig av för att maximera sin chans till vinst/minimera sin risk för förlust. I teorin finns även en möjlighet för spelaren att vända HE till ett positivt värde och få oddsen på sin sida genom korträkning. I praktiken är detta dock svårt att genomgöra. Spelet genomförs med vanliga spelkortlekar med 52 kort i varje. Ett kasino kan använda upp till 8 stycken kortlekar som blandas ihop för att minska risken att spelare håller koll på vilka kort som redan har visats (korträkning). Varje kort i leken har det värdet som anges förutom de klädda korten kung, dam och knekt, som alla är värda 10. Essen har antingen ett värde av 1 eller 11 beroende på vilket som ger spelaren den högsta summan utan att gå över 21. Förhoppningen är att få en högre summa än dealern utan att gå över 21, i princip att komma så nära 21 som möjligt. En runda i BJ inleds med att varje spelare lägger in sin satsning. Efter den initiala satsningen får varje spelare två öppna kort (läggs med valören uppåt så alla kan se korten) och dealern får ett öppet och ett stängt kort (ena kortet uppvänt och den andra vänt nedåt). Nu har spelaren ett antal val beroende på vilka kort han får: 1. Kort: Be om ett till kort så länge han ej gått över Stanna: Stanna på den nuvarande summan. 3. Dela: Om spelaren har två kort med lika värde kan han dela på dessa och lägga ytterligare en satsning under den nya handen. Detta räknas som ytterligare en hand för spelaren som därmed har chans till två vinster. 4. Dubbla: Spelaren lägger ytterligare en satsning under samma hand och får ett stängt kort att lägga till hans hand. Detta förhindrar honom även att göra fler val. 11

15 Målet med spelet är att nå så högt som möjligt utan att gå över 21 och förhoppningsvis få en högre totalsumma än huset, vilket ger vinst. Dealern i sin tur har samma mål men har regler som måste åtföljas. Dessa regler kan karaktäriseras av att han måste dra kort tills han får 17 eller mer. Och om han får över 21 vinner alla spelare som ej kommit över 21. Spelaren och dealern kan få hårda eller mjuka summor. En mjuk summa är en total där esset räknas som en 11:a. Exempel 4.3: Mjuk 17 är en 6:a och ett ess (11) och en hård 17 är en 9:a och en 8:a. I det fallet att spelaren och dealern slutar på samma summa blir det oavgjort och spelaren får behålla sin satsning. Däremot gäller att om både huset och spelaren går över 21 så förlorar spelaren. Får dealern ett ess på given erbjuds spelarna en försäkring emot eventuell dealer- Black Jack. Denna försäkring spelas som en satsning inom handen. Om spelaren tar denna spekulerar han i att dealern kommer få Black Jack. Har han rätt så vinner han, annars förloras försäkringsinsatsen och spelet fortsätter som vanligt Metod De matematiska och statistiska egenskaperna hos Black Jack studerades först av Baldwin et al. (1956) och Thorp (1961). Utvecklingen av dessa strategier och förståelse tvingade kasinon att modifiera sina regler på 1970-talet (Manson et al., 1975). Strategierna vi studerar bygger på hur spelaren spelar sin hand gentemot dealerns visade kort. En spelares optimala strategi är beroende av matematiska vinstförväntningar per satsad enhet pengar Urval Alla observationerna gjordes på en krog i centrala Jönköping, som i uppsatsen vill förbli namnlös. Vi fick tillstånd att observera spelarnas beteende genom att stå bakom dealern och ta anteckningar. Dessa observationer sträcker sig över två kvällar mellan 20:00 och 22:00 en onsdagskväll respektive samma tid en lördagskväll i november Vi tog in observationer för fem olika individer och över 100 händer, i sträck, per individ. Händer där spelarna gjorde val vi bestämt att bortse ifrån tas inte med i materialet. Vi har valt att i materialet använda Wizard of Odds, How to Play Blackjack ( ), ( ). 7 Se Theorem 1 i Epstein (1995, s. 53). 12

16 händer per individ. Eftersom spelarnas preferenser och bakgrund såsom matematikkunskaper, kön, ålder och riskattityd kan skilja sig åt kommer de att ha olika förståelse för spelet och därmed prestera olika. Det är därför viktigt att vara medveten om vilken grupp människor som har studerats. Alla de observerade var män i 20 till 35 årsåldern. Ingen av de observerade individerna påvisade någon märkbar alkoholpåverkan och drack max en öl under tiden de spelade, det vill säga så vitt vi kunde anta spelade inte alkoholen någon roll i spelbeteendet Definitioner Resultat ΣResultat Spelhandens resultat. Spelhändernas hittills ackumulerade resultat. ROI 1st alt. Return on investment vid det alternativ spelaren har valt. (Hur mycket spelaren i förväntan får tillbaka vid varje enhet satsad.) ROI 2nd alt. Return on investment vid det alternativ spelaren ej har valt. ΔROI Skillnaden alternativen emellan. Spelarens händer och dealerns kort kodades, för att snabbt hinna registerföra observationerna, på följande vis: Tabell 5.1: Händernas kodning. Spelarens summa efter given Dealerns kort efter given 4 = A 5 = B 6 = C 7 = D 2 = A 3 = B 8 = E 9 = F 10 = G 11 = H 4 = C 5 = D 12 = I 13 = J 14 = K 15 = L 6 = E 7 = F 16 = M 17 = N 18 = O 19 = P 8 = G 9 = H 20 = Q 21 = R A2 = S A3 = T 10 = I A = J A4 = U A5 = V A6 = X A7 = Y A8 = Z A9 = Å AA = Ä Exempel 5.1: Spelaren får en 8:a och en 9:a på given då dealern får en 6:a. Detta översätts till 8+9=17=N och 6=E. Ställd inför detta väljer spelaren att stanna (=S). Koden för denna hand blir därför NES. Denna kod används sedan för att se den förväntade ROI för just den handen. 13

17 5.3. Databehandling För att kunna göra om de spelade händerna till hanterbar data behövs först en utgångspunkt, spelarens hand och dealerns kort. På detta följer en reaktion från spelaren i och med vilket val han gör; kort (H, hit) eller stanna, (S, stop). Avgränsningen här görs genom att antalet reaktioner spelaren kan begränsas till enbart kort eller stanna. Det är således tre variabler som behövs för att kunna få ut något av den insamlade datan, två stycken utgångspunkter och en reaktion. I uppsatsen bortser vi ifrån alternativen dubbla och dela för att förenkla det matematiskt med analysen. Statistiken som används tar fortfarande hänsyn till dessa alternativ. Detta ger dock en så pass liten förändring att den i resultatet kan bortses ifrån. Analysen behandlar enbart alternativen kort och stanna (som är de överlägset vanligaste valen). För att förenkla våra förutsättningar är tabellerna 8 med ROI grundade i följande regler: Dealern måste stanna på 17 vare sig det är en hård eller en mjuk summa. Spelet genomförs med sex stycken kortlekar. Spelaren kan dubbla efter en delning och delning kan göras maximalt tre gånger bortsett från ess och spelaren kan enbart dra ett kort för att dela ess. När allt detta har tagits hänsyn till blir HE = -0, %. Dessa regler skiljer sig en aning ifrån reglerna på det ställe vi studerade spelarna på men skillnaden är så marginell att det inte gör någon skillnad för slutsatsen. Eftersom det finns ett optimalt spelschema så finns det statistik bakom detta. Här kommer det att användas ett spelschema från wizardofodds.com som visar vilken ROI olika val har vid alla möjliga utgångslägen. 9 För att passa avgränsningen används en förenklad version av detta schema så att det endast tar hänsyn till de två valen, kort och stanna. 10 Informationen som ges av detta används sedan genom att se till ROI för spelarens val, alltså vad spelaren förväntas vinna eller förlora vid varje satsad enhet subtraherat med det andra valets ROI. 8 Wizard of Odds, Blackjack: Expected return for every play ( ), ( ). 9 Ibid. 10 Se bilaga 9.1. Förenklat spelschema. 14

18 När ΔROI har ett positivt värde innebär det att valet spelaren gjorde var matematiskt och statistiskt korrekt och när det tar ett negativt värde kunde spelaren ha tagit en mindre risk som skulle ha gett honom eller henne ett högre ROI genom att välja det andra alternativet Grafisk metod Eftersom det är så pass få individer studerade i uppsatsen ger det oss möjlighet till en individuell grafisk analys som vid ett större dataset inte hade varit möjlig. Vid ett större dataset skulle eventuella samband kunna visas exempelvis genom att plotta en regressionslinje, men nu finns möjlighet att undersöka var och en av individerna och visa mer data grafiskt. För att kunna uttala sig om kausalitet krävs emellertid även en statistisk analys. Det vi är intresserade av är förändringen i riskbeteendet och hur spridningen av felaktiga beslut ser ut från första till sista giv. Det enda spelaren har möjlighet att påverka är tecknet på ΔROI, inte storleken. Den visar bara om det är ett stort felaktigt beslut eller ett mindre. Detta görs genom att skapa en graf för enbart de beslut som har ett negativt ΔROI. Vi ser här inte enbart till om det tagna beslutet var felaktigt utan även hur pass onödigt stor risk spelaren eventuellt tog. Vi måste även, genom en serie grafer, visa hur spelarens ackumulerade resultat kronologiskt utmärker sig relativt beslutsfattandet, det vill säga om förlusten leder till högre risktagande eller vice versa. Ytterligare en variabel vi vill använda oss av för att analysera den insamlade datan är antalet felbeslut. Den 1/0-kodade grafen över ackumulerat resultat samt spelarhand läggs ihop med grafer som visar antalet och nivån på de felaktiga besluten. Detta visar hur de felaktiga besluten är spridda över de hundra spelade händerna och var, om någonstans, den ackumulerade förlusten började. Man kan dessutom se om det finns någon tendens till klusterbildning Statistisk metod För att kunna undersöka statistiskt vad som ligger bakom den bild som den grafiska undersökningen ger så bearbetades och studerades insamlat material i programmet Minitab. Värdet på ΔROI är negativt ifall spelarna frångick strategin som maximerar förväntad avkastning och positivt om spelarna agerade i enlighet med denna. Denna kodades om till 0 om värdet var negativt och 1 om den var positiv. Eftersom spelarna endast påverkar tecknet vore det missvisande ifall vi utnyttjade det faktiska värdet av ΔROI. 15

19 Spelarnas beteende studeras på flera olika sätt. Dels ett där vi undersöker om det ackumulerade resultatet för de fem tidigare händerna påverkar spelarnas beslut. Dels ett där vi ser om antalet vinster i de fem tidigare händerna har någon påverkan, vilket undersöks genom att vinster kodas om till 1 och förluster till 0. Vi vill dessutom se ifall någon eller några av de enskilda fem tidigare händerna har en särskild påverkan, så fem nya variabler skapades för var och en av de fem tidigare händerna. För att kunna studera en eventuell uttröttningseffekt skapades en linjär variabel för händerna (1-100). Med hjälp av den är det möjligt att studera effekten specifikt och se om den har någon betydelse. Den statistiska analysen som genomförs är en linjär regression som skattas med OLS (Ordinary Least Squares). Två olika modeller används. Modell 1: (15) där α är konstanten, β 1 är koefficienten som ska skattas, i är individ, t är hand, dummy är dummyvariabler och ε är en slumpterm. ΔROIkod står för spelarens beslut. γ står i sin tur för antingen sum_x, sum_res eller x j. sum_x är antalet vinster i de fem senaste händerna. sum_res är ackumulerat resultat i de fem senaste händerna. x är resultatet i hand j, där j står för var och en av de fem senaste händerna. Om koefficienten β 1 framför γ är positiv betyder det att variabeln gör att spelaren tar ett beslut bättre i enlighet med strategin för maximerad avkastning och vice versa. Dummyvariablernas funktion i modellen är att kontrollera för möjligheten att spelarna är olika skickliga, samt att beslut i senare händer kan påverkas av annat än tidigare resultat, exempelvis på grund av att spelarna är trötta och mindre fokuserade. Utan att ta hänsyn till detta skulle de studerade variablerna även innehålla sådana effekter och därmed bli missvisande. Modell 2: (16) där ack_res är det totala ackumulerade resultatet och hand är en variabel för vilken hand i ordningen det är. β 1 och β 2 är koefficienterna som ska skattas. I övrigt lik modell 1. Denna modell undersöker ifall det totala ackumulerade resultatet påverkar spelandet samt om en uttröttningseffekt finns och har en betydelse. Eftersom vi i denna modell vill studera en eventuell uttröttningseffekt finns används inte längre en dummy för händerna. 16

20 6. Resultat Som förväntat finns det ett samband mellan att följa den optimala strategin och huruvida man vinner handen. Sambandet mellan ΔROIkod och resultat kan ges av Pearsons r. Korrelationen var r = 0,200 med p-värde = 0,000. Spelarnas storlek på insatserna i spelen var i stort sett konstant hela vägen och det fanns inget samband mellan insatsstorlek och ackumulerad vinst eller förlust. Det kommer därför inte vidare att beröras. I tabell 6.1 redovisas resultaten för spelarna. Tabell 6.1: Resultat för spelarna. 100 händer. Spelare Statistiskt korrekta beslut Vinster Ackumulerat resultat (kr) n n n n n Som synes innebär ett korrekt beslut enligt den optimala strategin inte att man faktiskt vinner händerna, däremot är sannolikheten för detta större. Det framgår att de två spelarna som i slutändan gick med plus har ett något högre antal korrekta beslut, även om skillnaden är mindre än skillnaden i antalet vinster. I huvudsak har spelarna följt spelschemat Grafiskt resultat Nedan följer den grafiska sammanslagningen av de olika variablerna som insamlats och studerats för att ge en överblick om något möjligt samband finns. När den röda grafen ligger på 1 innebär detta att spelarens ackumulerade resultat är positivt eller neutralt (+/- 0). När grafen ligger på 0 så har spelaren sammantaget gått med förlust. De gröna punkterna symboliserar varje felbeslut (ΔROI < 0) och dess nivå visar hur mycket större risk spelaren tog med respektive val. Ju större avstånd ifrån nollsträcket desto större risk togs (och motsatt: desto bättre hade det alternativet varit). 17

21 Figur 6.1: Spelare n 1 Resultat/Felbeslut. n 1 1 0,5 0-0, Spelade händer (st) ΔROI-kod Ack vinst- /förlust-kod Felbeslut 17 st Spelare n 1 tog under 100 spelade händer 17 stycken felbeslut men bara 3 av dessa innan hand 50. Frekvensen felbeslut tycks även öka ju större den ackumulerade förlusten är. Runt hand 40 börjar spelaren att förlora för att i resten av de 100 händerna aldrig nå tillbaka till nollstrecket igen. Man kan även se en klusterbildning av felbeslut runt hand 75 och framåt. Det är också några händer i början av spelet där han hade en ackumulerad förlust. Det kan noteras att detta skedde trots riktiga beslut, vilket gör det viktigt att återigen påpeka att ett statistiskt riktigt beslut inte innebär att spelaren kommer att vinna. Figur 6.2: Spelare n 2 Resultat/Felbeslut. 1 ΔROI-kod 0,5 n 2 0-0, Ack vinst- /förlust-kod Felbeslut 8 st Spelade händer (st) Spelare n 2 har en jämnare fördelning av felbesluten med en tyngdpunkt på de första 60 händerna. Efter hand 60 togs enbart ett enda felaktigt beslut. Klusterbildningen som sågs för spelare n 1 finns ej här. Han gick även med vinst över alla händer bortsett från den första. Han hade 8 st felbeslut. Figur 6.3: Spelare n 3 Resultat/Felbeslut. n 3 1 0,5 0 ΔROI-kod Ack vinst- /förlust-kod -0, Spelade händer (st) Felbeslut 16 st 18

22 När vi ser resultatet ifrån spelare n 3 kan man skönja ett liknande mönster som för spelare n 1. Spelarens ackumulerade förlust börjar runt hand 20. Klustereffekten som anades vid spelare n 1 kan ånyo urskiljas men här runt hand 60 och framåt. Den är i denna spelares fall svagare än för spelare n 1. Liksom för den första individen föregås i alla fall klustret av felbeslut av en ackumulerad förlust. Här togs det 16 st felbeslut. Figur 6.4: Spelare n 4 Resultat/Felbeslut. 1 ΔROI-kod n 4 0 Ack vinst- /förlust-kod 0,5-0, Spelade händer (st) Felbeslut 8 st För spelare n 4 är felbesluten, liksom i n 2, förhållandevis väl utspridda men med en tyngdpunkt på den första 70 spelade händerna. n 4 gick dessutom aldrig med förlust under sina hundra händer. Klustereffekten är i detta fall, liksom för spelare n 2, ej närvarande. I detta fall gjordes i likhet med spelare n 2 8 st felbeslut. Figur 6.5: Spelare n 5 Resultat/Felbeslut. 1 ΔROI-kod 0,5 n 5 0-0, Spelade händer (st) Ack vinst- /förlust-kod Felbeslut 15 st Hos spelare n 5 ser vi återigen en av spelarna som gick med förlust. I likhet med n 1 och n 3 så tycks mönstret vara detsamma i och med att ett kluster framträder efter hand 70 och framåt samt att detta har föregåtts av en ackumulerad förlust. Huvudsakligen ligger de inkorrekta besluten i slutet, och de är dessutom mer riskfyllda än när han började spela. Det tar ett tag för spelaren innan han börjar ta fler och större felaktiga beslut efter en sammantagen förlust. För n 5 togs 15 st felbeslut. 19

23 6.2. Statistiskt resultat Nedan redovisas resultaten från den statistiska analysen som genomfördes i Minitab. Tabell 6.2: Modell 1 - Påverkan av antalet vinster i de fem senaste händerna. Antal obs: 500. Antal spelare: 5. Variabel Koefficient Standardfel P-värde sum_x 0, , ,455 * = signifikant på 5 %-nivån ** = signifikant på 1 %-nivån *** = signifikant på 0,1 %-nivån Tabell 6.3: Modell 1 - Påverkan av ackumulerat resultat i de fem senaste händerna. Antal obs: 500. Antal spelare: 5. Variabel Koefficient Standardfel P-värde sum_res 0, , ,480 * = signifikant på 5 %-nivån ** = signifikant på 1 %-nivån *** = signifikant på 0,1 %-nivån Tabell 6.4: Modell 1 - Påverkan av resultatet i de fem senaste händerna. 11 Antal obs: 500. Antal spelare: 5. Variabel Koefficient Standardfel P-värde x 1-0, , ,166 x 2 0, , ,099 x 3-0, , ,700 x 4 0, , ,431 x 5 0, , ,104 * = signifikant på 5 %-nivån ** = signifikant på 1 %-nivån *** = signifikant på 0,1 %-nivån Då endast ett resultat i modell 1 (för x 2 den näst senaste handen) är signifikant ens på 10 %- nivån är det inte möjligt att säga mycket om resultatet. Mer data krävs för att få mer statistisk styrka i testet. x 2 ska tolkas som att en vinst i den näst senaste handen innebär en förbättring av beslutet på 6 procent och vice versa. Den svaga signifikansen är dock problematisk även här. Tabell 6.5: Modell 2 - Påverkan av uttröttningseffekt och ackumulerat resultat. Antal obs: 500. Antal spelare: 5. Variabel Koefficient Standardfel P-värde ack_res 0, , ,010** hand -0, , ,003** * = signifikant på 5 %-nivån ** = signifikant på 1 %-nivån *** = signifikant på 0,1 %-nivån Till skillnad från i modell 1 så ser vi i modell 2 tydligt signifikanta effekter för såväl totalt ackumulerat resultat som för vilken hand i ordningen det är. Det ackumulerade resultatets 11 x 1 respresenterar den senaste handen, x 2 näst senaste handen och så vidare. 20

24 effekt ska tolkas som att ju större ackumulerad vinst en spelare har, desto bättre beslut fattar den och vice versa. En ackumulerad förlust på 100 kronor innebär 7 procents försämring av besluten. Med hjälp av dummyvariabeln för spelarna har hänsyn tagits till att spelarna kan ha spelat olika bra. Händernas påverkan ska tolkas som en uttröttningseffekt. Ju fler händer man har spelat desto sämre beslut fattas. Vid till exempel hand 100 kan man således se drygt 15 procents försämring av besluten. 7. Diskussion och analys Vi är medvetna om att fem individer med 100 observationer till varje knappast är tillräckligt för att ge ett generaliserbart resultat, men vår undersökning är menad att ge en fingervisning om två vanliga riskteoriers förklaringskraft i spelet Black Jack. Om vi haft möjlighet skulle vi utökat materialet dels genom att samla in observationer från fler spelare, dels genom att samla in fler observationer per individ. Ett av problemen med ett litet datamaterial är att effekter som existerar inte når statistiskt signifikans vilket gör att man missar effekter som finns, ett så kallat Typ2-fel. Det är kanske möjligt att få tag på en större mängd data ifrån olika nätkasinon där man kan göra liknande analyser och då få ett mer statistiskt hållbart resultat. En invändning mot studien är att vi inte känner till spelarnas riskattityd och inkomst vilket påverkar hur en spelare agerar. Vårt urval tillhör antagligen en grupp i samhället som tenderar att vara mer risksökande än genomsnittet. Det är dock inte det initiala eller genomsnittliga riskbeteendet vi är intresserade av, utan hur det förändras efter en tids vinster eller förluster. Vissa värdesätter dock själva spelandet högre än pengarna som spelas med. Det kan alltså vara svårt att avgöra ifall spelarens syfte är att vinna pengar eller om det är en stunds underhållning. En annan möjlig invändning mot att studera spelsituationer när man vill testa riskteorier är att det är en avgränsad och relativt okomplicerad situation. Riskteorierna syftar inte bara till att förklara sådana situationer, utan varje situation med risk som en individ ställs inför. Det är en intressant fråga om det är möjligt att generalisera resultat från spelsituationer till andra situationer, men den går utöver vad som är möjligt att undersöka i denna uppsats. Vår utgångspunkt var att prospektteorin kan användas för att förklara hur individer varierar sitt risktagande över tid beroende på hur det har gått tidigare, ett beteende man vanligen inte kan förvänta sig i den förväntade nyttoteorin. Förändringen i beteendet kunde dels bestå i att höja eller sänka insatserna vid varje spel, men också att spela bättre eller sämre enligt den statistiskt optimala strategi som finns i Black Jack. 21

25 Det går att se ett samband mellan antalet felaktiga beslut och den ackumulerade förlusten, vilket är en bekräftelse på att matematiken bakom Black Jack-spelschemat är korrekt. Det intressanta är om det går att se ett omvänt kausalt samband att tidigare vinster och förluster i sig påverkar spelarna till att spela bättre eller sämre. Först gjorde vi därför en grafisk analys för att se om det fanns något skäl att tro att ett sådant samband fanns och för att få en bild som en statistisk analys inte riktigt kan ge. När vi ser till graferna över det ackumulerade resultatet (ΣResultat) och riskskillnaden (ΔROI) tycks det som att man kan ana ett mönster. De individer vars spelande resulterade i vinst höll ett förhållandevis jämnare beslutstagande gentemot spelarna som sammantaget förlorade. De hade även en aning lägre frekvens av felaktiga beslut. Förklaringen kan vara så enkel att ett dåligt beslutstagande leder till förlust. Statistiskt sett kommer spelaren med ett lägre ROI att få ett sämre resultat. Men vad vi också kan se i den grafiska analysen är att felbesluten kronologiskt tycks tendera att komma efter att spelarna har fått en ackumulerad förlust. I den statistiska analysen som följde studerade vi flera variabler. Det gick inte att se något samband mellan spelbesluten och ackumulerat resultat när vi undersökte effekten av de fem senaste händerna. Att vi studerade just fem tidigare händer kan förvisso ses som godtyckligt, men syftet var att se om individerna reagerade på omedelbar feedback. Dessutom kunde man tänka sig att någon som lyckats få en ackumulerad vinst i dessa händer men totalt sett fortfarande ligger på förlust skulle reagera på det förra snarare än det senare. Vår undersökning ger ingen möjlighet att dra sådana slutsatser. Vi fann däremot att det ackumulerade resultatet för alla tidigare händer spelade roll för hur spelarna agerade. Ju större ackumulerad förlust desto sämre beslut fattar spelaren och vice versa. I prospektteorin betyder det att spelarnas referenspunkt är deras ursprungsnivå före de började spela. Dessutom hittade vi en uttröttningseffekt som innebär att ju längre tid man spelar desto sämre beslut tar man. Som framgår i det grafiska resultatet hamnade tre av spelarna på ett relativt tidigt stadium på en ackumulerad förlust. Konsekvensen blir att både effekten av den ackumulerade förlusten och uttröttningseffekten drar åt samma håll och försämrar spelandet i en form av förlustspiral. De två spelarna som fick en ackumulerad vinst spelade i stället jämnare. I deras fall drar effekten av det ackumulerade resultatet och uttröttningseffekten åt olika håll, och det tycks som att den förra effekten var tillräckligt stark för att de skulle fortsätta ta riktiga beslut. 22

26 Vårt resultat ger således en indikation på att prospektteorin delvis kan förklara spelarnas beteende. Vi såg aldrig någon särskild variation i storleken på insatserna, men risktagandet ökade om en spelare hade en ackumulerad förlust i den meningen att de chansade mer. Ett sådant beteende kan man inte förvänta sig enligt nyttoteorin eftersom det i Black Jack inte finns någonting att vinna på att avvika från den optimala strategin. Det finns inte som i prospektteorin en mekanism som tar hänsyn till referenspunkt och viktning. Vare sig prospektteorin eller den förväntade nyttoteorin förklarar dock en uttröttningseffekt särskilt väl. Visserligen försöker man i prospektteorin ta hänsyn till att vi människor har en begränsad mental kapacitet (i vilket skulle kunna ingå att vi tar sämre beslut när vi är trötta). Även i nyttoteorin kan det nog vara möjligt att resonera kring uttröttningseffekter. Men inte i någon av teorierna finns sådana effekter explicit närvarande. Inom psykologin menar man att uppmärksamhet även handlar om att bibehålla en hög vakenhetsgrad. 12 Sviktar denna leder det ofta till sämre beslut. Man kan spekulera om att om vi haft möjlighet att studera individernas uppmärksamhetsgrad så hade vi kunnat se att den över tid försämrades, vilket då hade förklarat varför vi kan se en uttröttningseffekt. En sådan förefaller inte alls orimlig med tanke på att individerna aktivt spelade över en timme var. Att kunna vara uppmärksam under hela den tiden torde vara svårt. Uttröttningseffekten skulle förmodligen kunna förklaras av studier inom fältet neuroekonomi. För denna uppsats finns inte tiden eller platsen att göra en djupdykning inom detta område, men det vore klart intressant. Inom neuroekonomin studerar man beslutsfattande genom att observera hjärnaktiviteten när individer ställs inför ett val, och man borde då kunnat observera skillnaden i vakenhet och uppmärksamhet över tid. Det är heller inte orimligt att man skulle kunna ge en fördjupad förklaring till varför prospektteorin har rätt i sin förutsägelse om hur individerna reagerar på ackumulerad vinst och förlust. Kanske innebär den positiva feedback individen får av att veta att den har vunnit pengar att det är lättare att hålla sig motiverad. Den negativa feedback man får av att veta att man har förlorat pengar kanske gör att man inte längre litar på sitt förnuft och väljer att avvika från den tidigare strategin trots att den i längden vore att föredra. Här skulle vidare forskning vara intressant. Vår slutsats efter att ha studerat detta ämne är spela inte för länge! 12 Se kapitlet om kognitionspsykologi i Hwang, P. (2005). 23

27 8. Referenser Ariely, D. (2008), Predictably Irrational, Harper Collins Publishers, London. Baldwin, R. R., Wilbert E. C., Maisel, H. och McDermott J. P. (1956), The Optimal Strategy in Blackjack, Journal of the American Statistical Association, vol. 51 (275), Epstein, Richard, A. (1995), The Theory of Gambling and Statistical Logic, Academic Press, New York. Hwang, P. et al. (2005), Vår tids psykologi, Natur och Kultur, Stockholm. Kahneman, D. och Tversky, A. (1979), Prospect theory: An analysis of decision under risk, Econometrica, vol. 47, Manson, A. R., Barr, A. J. och Goodnight, J.H. (1975), Optimum Zero-Memory Strategy and Exact Probabilities for 4-Deck Blackjack, The American Statistician, vol. 29 (2), Thaler, R. H. och Ziemba, W. T. (1988), Anomalies: Parimutuel Betting Markets: Racetracks and Lotteries, The Journal of Economic Perspectives, vol. 2 (2), Thorp, E. (1961), A Favorable Strategy for Twenty-One, Proceedings of the National Academy of Sciences, vol. 47, Wizard of Odds, Blackjack: Expected return for every play ( ), ( ). Wizard of Odds, How to Play Blackjack ( ), ( ). 24