Hur skall vi få Torvar att lära sig matematik? WIGGO KILBORN och JAN UNENGE Detta var rubriken för en debatt mellan Wiggo Kilborn och Jan Unenge vid Matematikbiennalen. Utgångspunkten var en artikel av Jan Unenge "Individualiserade baskurser i matematik?", publicerad dels i NÄMNAREN nr 3 76/77, dels i MALM. I denna artikel redogör Unenge för mötet med en elev i årskurs 5, döpt till Torvar. Torvar klarar inte algoritmräkning men behärskar en rad tillämpningsuppgifter matematiskt sett exakt samma uppgifter som han testats på i algoritmräkningen. NÄMNAREN presenterar här en artikel av Wiggo Kilborn där han med utgångspunkt från Unenges artikel ger synpunkter på basfärdighetsproblemet i sammanhanget. Därefter ger Jan Unenge några synpunkter i anslutning till artikeln. Om Torvar Torvar är en elev i årskurs 5, som inte lyckas särskilt bra i skolan. När hans lärare ger honom några uppgifter att lösa går det så här: 50 100 17 och 65 43 65 En tredje uppgift 3 35 blir så småningom rätt, men då har läraren "lotsat" Torvar flera gånger. Frågan är nu: Har Torvar basfärdigheter i ma tematik? Det här är en ytterst viktig fråga för Torvar och hans lärare. Basfärdigheter har med medborgarkompetens att göra och våra skolpolitiker har ansett den frågan så viktig att man tilldelat skolan speciella resurser för dess skull. Hur svarar en vanlig lärare på frågan?
Jag har faktiskt frågat ett tusental lärare under det senaste halvåret. Alla är i stort sett överens. Torvar saknar basfärdigheter i matematik. När jag ställer frågan: Varför? eller Hur vet du det? hänvisar man till den enda officiella handling som idag existerar, SÖ:s handledning Basfärdigheter i matematik. Enligt basfärdighetshandledningen har Torvar långt ifrån basfärdigheter i matematik. Han borde alltså få ta del av de nya resurserna. Ja, så ser det ut i teorien, men verkligheten är en helt annan. Basfärdighetshandledningen var en god start på ett viktigt arbete. Men alla ska veta att prioriteringarna där inte bygger på fakta utan på gissningar om än från erfarna lärare. Innehållet i basfärdighetshandledningen har lika lite som innehållet i läroplanssupplementet utvärderats Inom PUMP-projektet gjorde vi en större räknefärdighetsundersökning. Resultatet av den undersökningen visar att Torvar är i gott sällskap. Det är nämligen så, att 30 35 % av alla elever i åk 5 delar Torvars basfärdighetsproblem. Ska Torvar ha del av basfärdighetsresurserna, så ska alltså vart tredje svenskt barn ha det. Torvars problem kan man tydligen inte köpa sig fri ifrån med nya resurser. Jag vill påstå att det är ett kvalitativt problem som måste lösas genom en annan typ av arbetsinsats grundad på kunskaper om hur barn tänker. Torvar har en progressiv lärare. Han tänker så här. Det är kanske inte algoritmerna som är viktiga. Torvar har kanske livskvalitéer som hjälper honom att lösa problemen utan algoritmer? Han ställer nu mer konkreta frågor till Torvar av typen: Hur mycket ska du ha tillbaka på 50 kr om du handlat för 17 kr? Hur mycket ska du ha tillbaka på 100 kr om du handlat för 65 kr? En ABBA-skiva kostar 35 kr. Hur mycket kostar 3 skivor? Dessa tre uppgifter klarar Torvar i huvudet! Har Torvar kanske ändå basfärdigheter i matematik? När jag ställer den frågan till en större grupp lärare brukar jag få tre olika svar. En liten grupp säger nej, en större grupp ja och en stor, osäker grupp, vet inte! Jag måste dra den (för en skolpolitiker eller SÖ-tjänsteman sannolikt förvånande) slutsatsen att svenska lärare i allmänhet inte vet vad en basfärdighet är. Och det är väl inte så konstigt. Ingen har ens försökt reda ut detta viktiga begrepp! Men detta är i sin tur typiskt för svensk skola under 1970-talet. I stället för att på allvar ta i våra problem försöker vi köpa oss fria från dem (med nya resurser) eller leta efter genvägar typ dialogpedagogik. En noggrannare analys visar att de konkreta frågor Torvar fick inte alls är representativa för vad en basfärdighet är. Men att han löser dem dövar tydligen mångas samvete och det är förståeligt. Torvars lärare som är analytiskt lagd är uppenbart inte nöjd än. Han går vidare till den s k SIA-proppen och där läser han:
"Basfärdigheter och baskunskaper måste analyseras utifrån de allmänna målen för skolan och relateras till såväl elevens fortsatta utbildning som till hans situation som individ och samhällsmedlem under och efter skoltiden." Nu blir frågan, räcker Torvars kunskaper till för detta mål? Låt oss testa det. Skulle Torvar klara de här uppgifterna: Du har 366 kr. Hur mycket får du över om du köper ett par jeans för 177 kr (dvs har du också råd att köpa en jacka för 189 kr?) En resa till Norge kostar 615 kr. Vad kostar det att resa för 3 1/2 personer (dvs 3 vuxna och ett barn mellan 2 och 12 år)? Torvars lärare svarar direkt nej. Det här klarar inte Torvar av. Samtidigt vill jag hävda att dessa uppgiftstyper är ytterst vanliga såväl i samhället som i tillämpade skolämnen. Om inte Torvar klarar av detta, så torde han dels inte kunna uppfylla sina skyldigheter i samhället, dels inte tillvarata sina rättigheter i form av fortsatt utbildning i och efter grundskolan! Mot detta kan man hävda att det är ju bara att fråga i butiken eller ringa till resebyrån. Denna föraktfulla syn på den lågpresterande individen kan jag inte ställa upp på. En sådan person blir ju politiskt och ekonomiskt oerhört manipulerad i vårt samhälle! Om vi nu är överens om att Torvar saknar basfärdigheter vad bör vi då göra? Jo, vi måste analysera vari Torvars problem egentligen består. Detta är nämligen inget privat problem för Torvar utan ett generellt skolproblem som vi delar med flera andra kulturländer. Torvars problem är sannolikt att hans tankeformer inte är generaliserbara. De räcker till för vissa speciella problem men kan inte vidareutvecklas. Detta är i sin tur en följd av att Torvars lärare sannolikt inte lagt sig i hur Torvar tänker utan varit nöjd med att vissa uppgifter för tillfället blivit rätt. Låt mig ta ett exempel. Många lärare är uppenbart nöjda om en elev får 6 8 till 48 med 5 10 sekunders betänketid. Man hävdar att uppgiften blev ju rätt! Ja, uppgiften blev rätt, men detta är på sikt ointressant. Intressantare är om elevens tankeform var sådan att den duger även i tillämpningarna De 5 10 sekundernas betänketid tyder på något annat. Eleven tänker sannolikt
I så fall engagerar eleven en så stor del av sitt arbetsminne med att ta fram just 6 8 = 48 att han sannolikt inte får plats med resten av algoritmen i sitt minne. Och då blir det ofta fel på algoritmen. Att just detta är den vanligaste orsaken till svenska barns oförmåga att multiplicera framgår klart av PUMP-projektets resultat! Nu tillbaka till Torvars tankeformer. En uppfattning av hur Torvar sannolikt tänker, får man av följande undersökning grundad på data från byrå L3:3 på SÖ: Ett representativt urval elever fick 20 uppgifter av följande slag: En grammofonskiva kostar kr. Hur mycket kostar 7 sådana skivor? Ett frimärke kostar 1,30 kr. Hur mycket ska du ha tillbaka på 10 kr om du köper 6 frimärken? Förbluffande många elever löste dessa uppgifter. Det betyder alltså att eleverna sannolikt hittat en genväg, som inte var avsedd. En analys av deras uppställningar ger det här resultatet: 50 % av alla elever i åk 4 och 30 % av alla elever i åk 5 löste alla uppgifter med hjälp av addition Den första av uppgifterna löstes t ex så här + Nu är två frågor intressanta. Hur har alla dessa elever hamnat i den här situationen? Och hur kommer detta att påverka elevernas fortsatta skolgång? När vi inom PUMP-projektet analyserade svenska barns räknefärdigheter utgick vi ifrån att en elev som gör fel på var fjärde uppgift inte behärskar räknesättet. Vi utgick också ifrån att en elev som systematiskt gör så många fel måste känna sig mycket otillfredsställd. Tänk själv om du gjorde fel på var fjärde sak du gör! Att du t ex misslyckas var fjärde gång du försöker växla din bil! Du skulle sannolikt då göra vad eleverna gör, undvika problemet. En elev kan undvika problemet på två smarta sätt. Antingen skriver han av facit vid multiplikationen 7 eller så "plussar" han + + + + + +! Det fascinerande i den här situationen är att just 50 % av eleverna i åk 4 och 30 % av eleverna i åk 5 gör fel på var fjärde uppgift av typen 7. Jag vill därför ställa följande (mycket sannolikt korrekta) hypotes.
De här elevernas lärare har gjort följande misstag 1 De har inte tagit reda på om eleverna verkligen behärskar multiplikation. 2 De har inte lagt sig i hur eleverna tänker och hur de räknar. 3 De har därmed gjort eleverna till "plussare"! Detta är problem som man inte löser med nya personella resurser. Det som saknas är en adekvat lärarutbildning! Men dessa elever kanske klarar sig på högstadiet i alla fall? Med hjälp av en miniräknare går det ju att undvika problemen! Svaret är tyvärr nej, åtminstone på den utvecklingsnivå vi står just nu. Miniräknaren är bara ett räknetekniskt hjälpmedel, den hjälper inte eleven att tänka. Låt mig exemplifiera detta med att i korthet beskriva en lektionsinspelning gjord av Bengt Johansson, Göteborg. Man ska lösa uppgiften: "En resa till Alperna kostar 615 kr. Hur mycket kostar det för fyra personer att göra den resan?" Läraren: Vilket räknesätt ska du använda? Eleven (i åk 5): Multiplikation. Läraren: Varför det? Eleven: Det står där (pekar på rubriken). Läraren: Jaha. Eleven: 615 x 615. Läraren: Nej, vad gör du nu? Eleven: x 615 x 615. Nej, det blir en massa bakvända 3:or (Error). Det går inte. Läraren: Jo visst går det att lösa uppgiften om du och jag och Lisa och Pia... Eleven: Javisst 615 + 615 + 615 + 615 (!!) Eleven är uppenbart en "plussare". Med hjälp av rubriken och facit kan han lotsas genom vissa uppgiftstyper och få dem rätt utan att förstå. Men så fort han lämnas åt sig själv visar det sig att han inte behärskar tankeformen multiplikation. Frågan är nu hur långt han kommer med miniräknaren som "plussare". Klarar han t ex resan för 3 1/2 person? Vad gör vi då åt Torvars problem? Om detta har jag självklart åsikter plus en del kunskaper grundade på PUMP-projektets resultat. Men viktigare än den här frågan är att vi skaffar oss så goda kunskaper om elevers tankeformer att vi med säkerhet kan lösa Torvars problem. För detta krävs en målinriktad forskning. Vi får väl liksom i biennalrevyn "Där fick du π" ringa till SÖ tills vi möter den där pryo-eleven som beviljar den miljon som behövs!
Problemen kring Torvar Efter debatten vid Matematikbiennalen var det flera åhörare som uttryckte sin förvåning över att Wiggo Kilborn och jag tycktes vara så överens om så mycket. Mot den bakgrunden vill jag därför notera att jag även här delar många av de synpunkter Wiggo Kilborn framför i artikeln ovan. Det måste vara angeläget att man försöker analysera begreppet basfärdigheter och får fram klara mål för matematikundervisningen. De senaste turerna kring denna fråga förefaller mig lovande jag tänker då på det vidgade basfärdighetsbegrepp som skolkonsulenten Peder Claesson framfört bl a i SÖ:s Läroplansdebatt. Till basfärdigheter hör självklart att elever med hjälp av papper och penna skall kunna klara vissa grundläggande uträkningar, typ (enklare) algoritmer och de resultat som Kilborn redovisar i sin artikel är ju ur den synpunkten skrämmande. I basfärdighetshandledningen skedde emellertid en olycklig sammanblandning av mål och medel. Det är ett självklart mål att t ex alla elever någon gång under grundskolan måste lära sig att behärska viss algoritmräkning. Däremot kan och måste metoden diskuteras. I basfärdighetshandledningen anges t ex att det är en basfärdighet att "med konkret material lägga talet 396", vilket leder till associationer att barn måste kunna med något laborativt material åskådliggöra ett tresiffrigt tal. Det är väl positionssystemet som spökar i bakgrunden. Dessa träklossar kan vara ett medel för att ge förståelse men det finns säkert andra. Torvar som tycks behärska räknande med pengar kanske kan få viss förståelse om man anknyter mer till hans associationsbanor. Problemet är ju som Kilborn också är inne på att vi vet så lite om hur eleverna associerar, hur deras föreställningsvärld ser ut (när det står matematik på schemat). Vi vet inte hur många "plussare" vi har i klasserna, vi vet inget om deras talbegrepp. Problemet med Torvar är också att han under sina 5 första skolår tydligen aldrig förmåtts hoppa upp på lärarens metodiktåg utan åkt på ett parallellspår, där bland annat räknande med pengar trots allt givit honom en viss praktisk matematikkunskap. Tänk om det kanske finns något tredje spår där metodiken lyckas fånga upp den vagn där Torvar och hans uppenbarligen många kamrater åker! Där har lärarutbildningen en viktig uppgift. Men också SÖ. Wiggo hoppas att matematikrevyns PRYO-elev skall dyka upp i verkligheten på SÖ. Man kanske också kunde tänka sig att beslutsfattarna blev PRYO-elever ute i skolan och började förstå behovet av forskning i ämnesmetodik. För att fortsätta spinna på revyteman så är det ju dessvärre så att när det gäller inlärningsproblem och elevernas tankeformer passar Hasse Alfredssons revyreplik bra: "Det har vi ingen aaaning om..."