Introduktionskursen grov planering vecka Moment kap. i V99/V95/V89 kap. i T kap. i HJMT 35 Logik 1.3-1.7 1 1 (1.6-1.7 översiktligt) (1.5,1.7-1.8 översiktligt) 36 Mängdlära 1.8.-1.9 2 2 36-37 Talteori 2 3 4 37 Funktioner, relationer 3 stencil 3 38 Induktionsbevis 4 4 5 39 Kombinatorik 5.1-5.5 7 6 40-41 Komplexa tal 6 5 7 42 Polynom 7 6 8 43 Repetition Frågetimmar Fr.o.m. den 9 september tänker jag vara på Högskolan lördagar kl. 9 15, plan C4 Där finns 3 lektionssalar. Jag vill inte hålla föreläsningar. Vi har gott om tryckta böcker för att du ska behöva sitta och skriva av. Det som jag vill ha sagt utöver böckerna försöker jag skriva ner i dessa papper. Boken är överlägsen inte minst i det avseendet att man kan gå fram i sin egen takt man kan vända tillbaka på bladen, när man upptäcker att man inte förstått något. Men det dyker alltid upp frågor och dem reder man ut bäst öga mot öga, så, om du bor i närheten, passa på! Telefon-/e-postlista Det har framkommit önskemål om att jag sammanställer en telefon-/e-postlista över er, kursdeltagare, så att ni ev. kan diskutera matematik sinsemellan. Jag hoppas du inte har några invändningar? Adressändring : Jag (Georgi Tchilikov) sitter i rum C413 (inte C422 som tidigare uppgivet). Fax: 035-157387 (alt. 035-120348 eller 035-126594; om det ena inte fungerar, försök med de andra!) 15
Allmänt: Räkna uppgifter eller läsa teori? Både och! Jag skulle vilja likna teoriläsningen och övningsräknandet vid fram- resp. bakhjulen av en bil. Visserligen kan man höra att en bil har framhjuls- eller bakhjulsdrift, men detta betyder ju inte att övriga två hjul kan ställas i garaget! Det finns ingenting som går upp mot en god teori när det gäller problemlösning! Å andra sidan måste man räkna igenom övningar för att förstå teorin! (Lägg märke till det sista! Det är lätt att tro att vi inom matematikämnet övar för att senare i vårt yrkesliv snabbt kunna utföra vissa (avancerade) beräkningar / algebraiska manipulationer. Så var det mycket riktigt ända in på 1960-talet, men så är det inte längre! Vi har miniräknare och datorer, som är väldigt duktiga på att följa recept. Vad de inte kan göra, och det är där vi, människor, kommer in, är att välja recept. För att göra det behöver man begripa sig på teorin. Vår pappersräknande blir allt mindre ett ändamål i sig, alltmer ett medel att förstå teorin.) Mathematics is not a spectator sport. säger amerikanerna. Matematikböcker läser man med papper och penna i hand. (För att mellansteg är överhoppade eller helt enkelt för att man behöver utföra räkningarna själv för att förstå vad som händer det räcker inte att bara titta på.) Matematikböcker läser man relativt långsamt förvänta dig inte någonting annat! (De snabbläsningstekniker som många finklädda studieteknikkonsulter förespråkar tror jag inte riktigt passar i matematiksammanhang.) Persson&Böiers har skrivit mycket träffande i förordet till sin Analys i en variabel I matematisk text förekommer många gånger uttryck i stil med följer omedelbart, en enkel kontroll, inses lätt, etc. Läsaren rekommenderas att inte ta dessa uttryck alltför bokstavligt, åtminstone inte vid den första genomläsningen. Det finns åtminstone tre goda skäl till att författare skriver på detta sätt. 1) Framställningen blir oöverskådlig och olidligt pedantisk om allting skall förklaras in i minsta detalj. 2) Uttrycken tjänar som en drivfjäder för läsaren att arbeta aktivt, vilket är mycket viktigt. 3) Uttrycken utgör en viss kontroll av inlärningen: de utelämnade argumenten eller räkningarna bör vara enkla, lätta, etc., när man behärskar stoffet väl. Gå igenom så många övningar som möjligt, utan att vänta på särskild uppmaning! Vad dessa papper innehåller Under rubriken Att lägga märke till försöker jag sammanställa en lista över begrepp, satser och andra stolpar, som du bör lägga märke till, ev. åtföljda av någon kort förklaring/kommentar och/eller sidhänvisning. Snegla i listan, när du läser i din bok, så du vet ungefär vad du skall hålla utkik efter, fast du får vara medveten om att ordningen kan skilja. När du är färdig med hela kapitlet i din bok, använd listan för repetition. Föreställ dig att du själv behöver förklara punkterna på listan för någon annan. Kan du det? Slå upp igen i boken annars. Utförligare kommentarer kring ett visst moment kan finnas i separata avsnitt. Lägger gärna in en del utvikningar av allmänbildande karaktär. Slutligen kommer det att finnas inlämningsuppgifter. Men Inlämningsuppgifterna undviker jag att dela ut med detsamma. Annars är det alltför frestande att man kastar sig över dem direkt. Det håller inte i längden för idrottsmän att bara tävla de måste också ha träningsperioder. På samma sätt är det med studier det går inte att bara tentera, man behöver också öva i lugn och ro. För dig som läser V99: Det finns en tryckfelslista på Anders Vretblads hemsida: http://www.math.uu.se/~vretis 16
Varför läsa logik? Ett skäl: lära känna igen (de fåtal) ordvändningar som matematisk text består utav, och logiska konstruktioner som matematiska resonemang är uppbyggda utav Sammansatta utsagor Inom matematiken sysslar vi med utsagor/påståenden som t.ex. Om funktionen f har minimum eller maximum i x = a och f är deriverbar i x = a, så är f 0 (a) =0 Utsagorna är ofta sammansatta av enklare sådana, f har minimum i x = a, f har maximum i x = a f är deriverbar i x = a f 0 (a) =0 med hjälp av s.k. logiska konnektiv som och, eller, om..., så... i detta exempel små ord, som dock är minst lika viktiga som de andra och har (liksom alla andra ord i en matematisk text) sina mycket bestämda betydelser! Allmängiltighet Vi intresserar oss för generella samband: att 2 3 = 6 får man kunna utantill, men (högskole)matematik sysslar man med först när det handlar om observationer av typen a b = b a för alla heltal (rentav alla komplexa tal) a och b Existens Inte sällan är det oklart om t.ex. ekvationer har någon lösning överhuvudtaget. Det kan då vara värdefullt att kunna avgöra existensfrågan om det finns en lösning eller inte innan man ger sig ut på jakt efter den. Tänk hur snopet det skulle vara att leta efter lösningar som inte finns? Matematiken uppvisar många exempel på s.k. existensbevis, som säger oss att någonting finns, utan att specificera hur man skulle kunna hitta det. Otillfredsställande, men ändå ettstegframåt!ettexempel: 1. Andragradsekvationer x 2 + px + q =0kan ha två rötter, en rot eller ingen rot alls (endast reella tal räknar vi med här med komplexa tal är det annorlunda!) Det följer ur härledningen av den allmänna lösningsformeln x = p r ³p 2 2 ± q. Man ser där att om p 2 2 2 q>0, så har ekvationen 2 rötter p 2 2 q =0, 1 rot 2 q<0, inga rötter p 2 För femtegradsekvationer x 5 + ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e =0, där a, b, c, d, e är givna tal, har ingen lyckats härleda någon motsvarande formel. (Inte nog med det man har faktiskt lyckats bevisa att det inte kan finnas någon lösningsformel, som inbegriper endast de fyra räknesätten och rotutdragningar, så om du försöker härleda en sådan, kan jag redan från början säga dig att du jobbar i onödan! Jag har full förståelse, om du finner det obegripligt hur man skulle kunna bevisa en sådan sak. Det här problemet har bidragit till utvecklingen av en hel självständig gren av matematiken gruppteori. En av de viktigaste insatserna gjorde fransmannen Galois, 1811-1832, innan hann skadades dödligt i en duell endast 21 år gammal. Kan nämnas att Galois också hann med att två gånger bomma antagningsprovet till Frankrikes elithögskola nr.1, Ecole Polytechnique grabben hade vissa problem med att förklara sina geniala idéer för andra.) Ändå skulle man, med stöd av några tankegångar som vi behandlar i Analyskursen, kunna slå fast att alla femtegradsekvationer (oavsett vad a, b, c, d, e är!), har minst en rot! (Detsamma gäller även tredjegradsekvationer, men inte fjärdegradsekvationer. Du kanske har någon idé till förklaring redan nu? 17
Entydighet I de fall ett problem har lösningar kan det vara intressant att veta om de är en eller flera. Detta är frågan om entydighet: om ett problem har en och endast en lösning (inte flera) säger man att lösningen är entydig. (Ex. Tänk på femtegradsekvationerna igen. När vi nu vet att en sådan har en rot, så kan vi släppa en dator lös på jakt efter den med numeriska metoder. Men ifall det skulle finnas flera, vilken rot får vi tag på då?) Symbolerna är inget självändamål, utan endast ett medel att precisera resonemangen Med anledning av ovanstående har man infört några termer och symboler: Konnektiv: negation, inte,ej,... konjunktion och disjunktion eller implikation, om..., så... ekvivalens, om och endast om Kvantorer (kvantifikatorer): allkvantorn för alla existenskvantorn det finns (används sällan)! det finns en och endast en Det viktiga är nu inte symbolerna de är bekvämlighetsförkortningar, man klarar sig långt med vanliga ord också. Det väsentliga är själva problemställningarna att vid läsning ha klart för sig vad författaren försöker göra. Försöker man visa att ett samband gäller för alla tal, eller handlar det om att visa att sambandet är uppfyllt för åtminstone ett tal, eller att det gäller för ett och endast ett tal? Etc. 18
Logik: Att lägga märke till utsaga/påstående en språklig bildning, om vilken vi kan ställa frågan Sant eller falskt? (I mån av tid,läs Anmärkning: Oavgörbarhet på sid.24.) sluten utsaga / öppen utsaga 2 3=6är en sluten utsaga 2 x =6är en öppen utsaga : om den är sann eller inte, beror på värdet på x negation ( inte, ) konjunktion ( och, ) disjunktion ( eller, ) implikation ( om..., så..., ) ekvivalens ( om och endast om, ) sanningsvärdestabeller Om de sammansatta utsagorna skall betraktas som sanna eller inte, beror helt och hållet på om de ingående delutsagorna betraktas som sanna eller inte, däremot inte på delutsagornas innehåll. P Q P P Q P Q P Q P Q sann sann falsk sann sann sann sann sann falsk falsk sann falsk falsk falsk sann sann falsk sann sann falsk falsk falsk falsk falsk sann sann inklusivt eller använder vi i matematiken: P Q betraktas som sann även när både P och Q är sanna. exklusivt eller pratar man i vissa sammanhang, då man menar antingen P eller Q men inte båda, men det är alltså inte aktuellt för vår del. dåå = då och endast då ärettalternativtillomm=omochendastom prioritet För att slippa skriva alltför många parenteser, har man kommit överens om att binder starkare än och, som i sin tur binder starkare än och. Alltså får man skriva P Q S när man menar (( P ) Q) S Dubbelolikheter är konjunktioner 0 <x<2 är en förkortning för (x >0) (x <2) OBS. I en dubbelolikhet skall olikheterna alltid gå åt samma håll. Skriv ALDRIG något som 0 <x>2. Om du menar (x >0) (x >2), så skall du genast förenkla till x>2 (av det följer ju automatiskt att x>0, inte sant?). Om du menar (x >0) (x >2), så förenklar du till x>0. (I vilket fall som helst, överenskommelsen är att dubbelolikheter betecknar konjunktioner, inte disjunktioner!) Matematiska definitioner är ekvivalenser men som T, sid.39 påpekar, är traditionen den att man skriver om, när man egentligen menar om och endast om. Exempel: Definition. Ett heltal n kallas jämnt om det är delbart med 2 Eftersom det är fråga om definition, är det här underförstått att,, om skall tolkas som om och endast om. (Annars, om man tolkar texten bokstavligt, så skulle det betyda att det kan tänkas att även vissa andra tal, som inte är delbara med 2, kallas jämna.) 19
Implikation är på sätt och vis den viktigaste konstruktionen: alla matematiska satser har formen av just en implikation eller ekvivalens, men en ekvivalens är egentligen inte mer än två implikationer. Matematiken uttalar sig inte om hur saker och ting är i verkligheten. Den säger oss bara vad som måste gälla, om vissa antaganden är uppfyllda. Men om antagandena är uppfyllda i verkligeten eller inte, är en fråga för naturvetare att bedöma! Kontraposition Att A B är likvärdigt med B A används mycket ofta i bevis. ( B A kallas kontrapositionen till A B.) Exempel på bevis med kontraposition (T, Exempel 1.1.) Visa att för positiva tal x och y gäller Vi har här en implikation A B med x y>25 = x>5 eller y>5 A : x y>25 A : x y 25 B : x>5 eller y>5 B : x 5 och y 5 Dess kontraposition är alltså x 5 och y 5= x y 25 Denna implikation är enklare att behandla än den ursprungliga. Jag hoppas att du minns följande grundläggande egenskap hos olikheter a b och c>0 = a c b c Med ord: Om båda sidorna av en sann olikhet multipliceras med ett positivt tal, så får man åter en sann olikhet. OBS! Vid multiplikation med negativt tal vänds olikheten! Vi tillämpar den två gånger och får (kom ihåg att vi inskränkte oss till positiva x och y redan från början!) följande två sanna implikationer x 5= x y 5 y y 5= 5 y 5 5=25 Om nu kontrapositionens förutsättning är sann, så är dessa två implikationers förutsättningar sanna och vi kan dra slutsatsen att även högerleden är sanna. Men kombinerar vi högerleden, så får vi just kontrapositionens högerled. alltså är kontrapositionen sann. I vanliga fall skriver man endast x y 5 y 5 5=25 Eftersom kontrapositionen är likvärdig med den ursprungliga implikationen, har vi visat att denna också är sann. Omvändningen till en implikation P Q är implikationen Q P. Den behöver inte alls vara likvärdig med den ursprungliga implikationen!!! P Q : Om det regnar, går jag med paraply. kontrapositionen Q P : Om jag inte går med paraply, så regnar det inte. omvändningen Q P : Om jag går med paraply, så regnar det. Jag kan ju gå med paraply för att skydda mig mot solen! 20
negation av utsagor med kvantorer Läs noga exemplen i V, kap. 1.5 alt. T, kap.1.8. Tro inte at negation bara handlar om att lägga till ett inte / ej! De intressanta fallen är mera komplicerade än så! tautologi kallas en utsaga som är sann för alla tänkbara värden på de ingående delpåståendena, ex. P P motsägelse kallas en utsaga som är falsk för alla tänkbara värden på de logiska variablerna, ex. P P Tautologier som ibland kallas lagar P P Dubbla negationens lag (P Q) P Q De Morgans lagar (P Q) P Q P (Q R) (P Q) (P R) P (Q R) (P Q) (P R) Distributiva lagar Tautologier som används i bevis (terminologin härrör från Aristoteles) [P (P Q)] = Q modus ponens [(P Q) Q] = P modus tollens [(P Q) (Q R)] = (P R) [(P Q) P] = Q ( P motsägelse) = P 21
Rotekvationer (kap.1.7 i Vretblad, kap.1.3 i Thorbiörnson) Personligen har jag invändningar mot ordsammansättningar som falsk rot resp.otillåten lösning. Jagtyckerde förstärker den fördärvliga inställningen att matematik skulle handla om att manipulera symboler (efter någon lärares regler). Ett tal är antingen rot eller inte rot. En lösning är antingen lösning eller ingen lösning alls. Om vi tittar på Vretblads exempel x = x +2 så är ju sanningen den att vi efter kvadreringen löser en annan ekvation x 2 = x +2 ( den kvadrerade ekvationen ) som har två lösningar: x =2,x= 1. I stället för det mystifierande falsk rot / otillåten lösning kan vi säga som det är: x = 1 är en lösning till den kvadrerade ekvationen. Denna är visserligen mycket närbesläktad, men i allmänhet inte ekvivalent med (har inte samma lösningsmängd som) den ursprungliga x = x +2: a 2 = b 2 a = b eller a = b x 2 = x +2 x = x +2eller x = x +2 d.v.s. som lösningar till den kvadrerade ekvationen får vi såväl alla lösningar till vår ursprungliga ekvation som alla lösningar till en annan ekvation, här x = x +2 (T, sid.14, sista paragrafen, skriver mycket missvisande: Man kan tycka att om man lyckas beräkna lösningen till ett problem, så behöver man inte bekymra sig över om det finns någon lösning eller ej. Vaddå lyckas beräkna lösningen vi har löst en annan ekvation och ett annat problem?!) Det gäller nu att på något sätt sortera bort de tal som löser x = x +2, men inte x = x +2. Kontroll genom insättning är ett sätt att åstadkomma detta, men jag skulle akta mig att skriva att man måste göra så ( måste vilket otrevligt ord!) Alternativ: För att eliminera möjligheten a = b, räcker det att se till att a och b har samma tecken. Om du vet att a 2 = b 2 och att a och b har samma tecken, då måste gälla a = b, inte a = b. 2. Exempel (V99, Ex.1.9) x = x +2 Titta litet noggrannare på ekvationen. Du vet att rotutdragning skall ge ett ickenegativt tal: x +2 0. Alltså, genom att stryka alla ev. negativa rötter till den kvadrerade ekvationen, eliminerar du möjligheten att x = x +2och kvar återstår endast rötterna du söker, de till x = x +2. 3. Exempel (V99, Ex.1.10) 6x +1+2= 2x +1 Den kvadrerade ekvationen 6x+1+4 6x +1+4=2x+1 är i detta fall faktiskt ekvivalent med den ursprungliga det kan man se direkt: Båda är definierade för samma x: uttrycken under rottecknen måste vara 0, alltså x 1/6 för båda ekvationerna. Såväl 6x +1+2som 2x +1gerdåpositivatal,såalternativet 6x +1+2= 2x +1är uteslutet! Hyfsar vi till den kvadrerade ekvationen, får vi 6x +1= x 1 Nu ser vi att en ev. lösning x måste uppfylla x 1 0, d.v.s. x 1. Men detta går inte ihop med kravet x 1/6, som vi hade från början för att kvadratrötterna ska vara definierade vår ekvation har ingen lösning! 22
Nu tycker du kanske att det verkar jobbigt att ständigt behöva hålla utkik efter tecken och behöva anpassa resonemangen till ekvationen varenda gång hellre kvadrera så många gånger det behövs och sedan kontrollera genom insättning, säger du. Jovisst, det kan det vara, och jag menar inte heller att du helt ska överge kontrollera genom insättning -metoden. Jag menar dock att det är en nyttig träning att hålla ögonen öppna och försöka anpassa angreppsmetod efter problemställningen. Blind räkning är, som sagt, datorerna tillräckligt duktiga på, och den räcker inte alltid. Kan du med kvadrera och kontrollera genom insättning -metoden klara av t.ex. 4. Lös ekvationen p x2 4x +4=2 x Förtydligande om a 2 = b 2 a = b a = b Du kan antingen tänka på grafen av funktionen y = x 2 eller på följande stycke algebra a 2 = b 2 a 2 b 2 = 0 (a b)(a + b) = 0 a b = 0 eller a + b =0 23
Läsanvisningar särskilt för Thorbiörnson, kap. 0 och 1 kap.0.1 Hoppa över! Den texten begriper man först efter att ha läst såväl Introduktions- som Analyskursen! (Om ens då matematikens grenar är inte alls lika väl avgränsade objekt, som de matematiska begreppen annars.) kap.0.2 Riktar sig nog till läraren snarare än studenten. kap.0.3 En bra sammanställning. Efter Introduktionskursen kommer de där symbolerna att kännas lika naturliga som vanliga bokstäver. sid.7-8 T kunde börjat litet mjukare (med sanningsvärdestabellerna på sid.19, t.ex.; Du kan kanske börja med att titta på min Att lägga märke till-lista först) hoppas du inte blir avskräckt. Du får belöning för mödan, för implikationen som T börjar med är också det viktigaste. sid.8 (paragraferna innan = införs) Mer om det här att P = Q betraktas som sann när P är falsk läser du på sid.11, början på kap.1.3. sid.14 För definition av absolutbeloppet x, se sid.52 Exempel 1.8 Byt ut mot [x 3 och x 3 + x 5] = x 4 För x 3 gäller : x 3 + x 5 x 4 vilket skall tolkas som x 3 och x 3 + x 5= x 4 och x 3 och x 4= x 3 + x 5 Ersätt sedan Ej alla x 4 satisfierar olikheten,... med Vi kan inte säga att alla x 4 uppfyller olikheten,... Exempel 1.9 Byt ut x>1 och x>0 mot x 1 resp. x 0. SvaretiFall1skallvara1 x<2. Det slutliga svaret skall vara 2/3 <x<2. Övn. 1.3,1.4 T visar en allmän metod i sin lösning, men det finnsocksåengenvägmed(a + b) 2 = a 2 +2ab + b 2. sid.23, Exempel 1.12 STRYK endast. Skall vara: Funktionen f är positiv om funktionen g är positiv.... Anmärkning: Oavgörbarhet När vi definierar begreppet utsaga, så bortser vi från det praktiska problemet om frågan Sant eller falskt? går att besvara eller inte. T.ex. räknar vi också Beethoven nös exakt 32 gånger år 1827 som en logisk utsaga, även om det verkar uppenbart att dess sanningshalt aldrig kommer att kunna avgöras! Att det går att formulera grammatiskt korrekta påståenden, som dock i praktiken kan vara meningslösa att försöka bevisa eller motbevisa, gäller inte bara vardagslivet utan även matematiken. Ett av 1900-talets mest överraskande och uppmärksammade matematiska resultat handlar faktiskt om detta. Gödels s.k. ofullständighetssats (från 1931 av österrikaren Kurt Gödel, 1906-1978) säger (ungefär) att varje motsägelsefri teori för heltalen tillåter att man i teorins terminologi formulerar påståenden som inte går att vare sig bevisa eller motbevisa inom teorins ramar! Eftersom i stort sett all matematik bygger på heltalen och ingen är intresserad av motsägelsefulla teorier (sådana, för vilka det går att hitta påståenden, som med teorins antaganden kan bevisas vara såväl sanna som falska!), så betyder det att vi får förlika oss med att det skulle finnas påståenden, vars sanningshalt vi inte logiskt kan avgöra, hurmycketviänansträngeross! (Goldbachs förmodan kan mycket väl tänkas vara ett sådant påstående. Haken är väl den att ingen vet vilka dessa oavgörbara påståenden är Gödels sats säger bara att det måste finnas sådana, men den pekar inte ut några konkreta!) 24
Mängdlära I våra läroböcker kan man läsa att teorin för mängder utvecklats av tysken Cantor under 1870-talet och att den dessutom varit vållat en viss uppståndelse, varit kontroversiell, eller dylikt. Det kan vara svårt att förstå, när man läser vidare: union och snitt av mängder, de Morgans lagar inte kan väl något så primitivt ha varit en kontroversiell nyheter för 100 år sedan?! (Betänk att t.ex. räkning med derivator och integraler hade nästan 200 år på nacken vid den tiden!) Sanningen är den att våra läroböcker egentligen inte går in på vad Cantor gjorde! Thorbiörnson antyder med några fotnoter, men det räcker naturligtvis inte. HJMT har i Exempel 2.1 en variant av Russells paradox. Den vållade visst uppståndelse 1902, för den visar att mängdbegreppet faktiskt inte är så enkelt som man tror. Men komplikationerna drabbar oss ändå inte i vår dagliga matematiska gärning, så vi avvaktar med dem till sid. 26. Vad vår mängdlära här handlar om är en räcka (höll på att skriva mängd...) termer och symboler som uppträder litet varstans inom matematiken och som man av den anledningen bör känna till. mängd, element klammernotationen Mängden av fyrfaldiga OS-vinnare i en och samma friidrottsgren ={Al Oerter, Carl Lewis} Mängder har ingen struktur Skiljmellanmängden{1, 2} och det ordnade paret som (1, 2) : {1, 2} = {2, 1}, men (1, 2) 6= (2, 1) (Ordnade par är t.ex. koordinaterna för punkter i planet relativt ett givet koordinatsystem.) : ; är tre alternativa förkortningar för sådana att. x M betyder objektet x tillhör mängden M A B betyder mängden A är en delmängd av mängden B (inklusion) potensmängden till en mängd A är mängden av alla delmängder till A. Om A har n st. element, så har dess potensmängd 2 n element. den tomma mängden N, Z, Q, R, C standardbeteckningar för de talmängder vi i första hand skiljer mellan inom matematiken A #A är två alternativa beteckningar för antalet element i en mängd A intervallbeteckningar, öppna/slutna intervall intervallangivelse med absolutbelopp union av mängder, A B snitt av mängder, A B mängddifferens, AÂB komplement, {A, { U A, A c, Ā distributiva lagarna de Morgans lagar Venndiagram (Cartesisk) produktmängd V, kap.3.1 25
Russells paradox För att kunna prata om en mängd måste den vara väldefinierad man måste kunna tala om vilka objekt som tillhör mängden och vilka som inte gör det. De för oss intressanta mängderna är oftast alltför stora, rentav oändliga, så att definiera dem genom att räkna upp alla deras element låter sig inte göras. I stället anger vi vilka egenskaper ett objekt skall ha för att räknas in i mängden. Russells paradox har genom åren formulerats i olika varianter. Den för allmänheten kanske mest kända är följande: Männen i en viss by delas naturligt i två mängder: de som rakar sig själva och de som inte gör det. Byn har endast en barberare och ingen i byn vill gå med skägg, så barberaren har till uppgift att raka alla som inte rakar sig själva. Enkelt, eller hur? Nu inställer sig emellertid frågan: vilken mängd tillhör den manlige barberaren själv? Om han skulle räknas bland dem som inte rakar sig själva, så är han, enligt föreskriften, tvungen att i egenskap av byns barberare raka sig själv.om han skulle räknas bland dem som rakar sig själva, så strider detta mot föreskriften. Motsägelsefullt, hur han än gör?! I originalversionen betraktar Russell mängden av alla mängder som inte är element i sig själva. Nu tycker du kanske att det är absurt med en mängd som är element i sig själv, men det är det faktiskt inte: mängden av alla abstrakta begrepp är väl också ett abstrakt begrepp, ett svenskt dataregister över alla svenska dataregister kan också betraktas som en mängd som innehåller sig själv som element. HJMT:s exempel är en databas över alla databaser som inte refererar till sig själva. Bertrand Russell (1872-1970), drog fram den här paradoxen för Gottlob Frege (1848-1925) den tidens kanske främste logiker (det var han som införde kvantorerna bl.a.) och ivrigaste förespråkare för logicismen uppfattningen att matematik är en gren av logiken just när denne lämnat till tryckpressarna ett försök att härleda matematikens grunder ur logiken, som han filat på i 10 år. Mycket i det arbetet framstod plötsligt som meningslöst i ljuset av Russells paradox. Det blev dödsstöten för Freges produktiva verksamhet han återhämtade sig aldrig, försvann från historiescenen och dog förbittrad. Detta trots att Russell gjort påpekandet i all välmening han var en av Freges närmaste meningsfränder. Det fanns mycket framstående matematiker som inte alls höll med om att matematik skulle kunna reduceras till logik och som nog upplevde ren skadeglädje, när Russells paradox blev känd. Russell själv däremot gjorde under de följande 10 åren ett ännu mera storslaget försök att placera all matematik på logiska grundvalar och däribland angav också möjliga utvägar när det gäller sin paradox. Men inte heller det arbetet lyckades riktigt och logicismen fick sig nog en definitiv knäck där. Russell blev sedermera känd också för mycket annat än matematisk logik: Avskedades från Cambridgeuniversitetet 1916 och rentav satt ett halvår i fängelse för pacifistiska aktiviteter. Drev en experimentalskola på 1920- och 1930-talen. (Var av adlig börd och självförsörjande.) Förespråkade, redan på 1930-talet, äktenskap på försök och liberalare syn på sexualiteten. Hade själv fyra fruar och ett antal kärleksaffärer under årens lopp. En college i New York, som först erbjudit honom anställning 1940, fick strax därefter böja sig för moralväktarnas påtryckningar och förklara honom som oönskad. Fick Nobelpriset i litteratur 1950 för en historiebok över västerlandets filosofi. Dömdes till fängelse för antikärnvapenprotester 1961. Biografiska notiser över historiens alla mera kända matematiker kan man hitta i The MacTutor History of Mathematics Archive, http : //www.vma.bme.hu/mathhist/index.html 26