Ringar och Kroppar: En introduktion

Ringar och Kroppar: En introduktion Karl-Heinz Fieseler Uppsala 2015 1

Contents 1 Översikt 2 2 Heltalsaritmetik 3 3 Restklassaritmetik 7 4 Ringar 11 5 Homomorfismer 20 6 Bråkräkning 26 7 Polynomringen 28 8 Kvadratiska utvidgningar 33 9 Primitiva rötter 36 10 Enkla kroppsutvidgningar 40 11 Faktorringar 49 12 Från naturliga tal till komplexa tal* 56 13 p-adiska talkroppar* 61 14 Faktoriella ringar 70 15 Gaußiska heltal 75 16 Kvadratiska heltal* 79 1 Översikt Vi börjar med en repetition av heltalsaritmetiken under användning av de första nya begreppen ideal och principalideal, sedan diskuterar vi restklassaritmetiken, där man fixerar ett naturligt tal n, också kallat moduln, och identifierar två heltal om deras differens är delbar genom n. 2

I båda fall finns det två räkneoperationer, addition och multiplikation: Det leder till begreppet ring, en mängd R utrustad med två binära operationer som liknar addition och multiplikation av heltal. Särskilt roliga är ringar, där man också har en division, de kallas för kroppar. Vi försöker skapa nya ringar från en given ring R, får fram kvotkroppen Q(R) (där bråkräkning gäller), och polynomringen R[X]. Sedan är vi intresserade av hur vi kan förstora (eller utvidga) befintliga kroppar, motiverade av det faktum att varje kropp innehåller en minsta kropp, som antingen är Q, kroppen av rationella tal, eller en restklassring Z p med ett primtal p. Vi diskuterar en rad nya exempel, kvadratiska utvidgningar L K till en given kropp K. Allmänt studerar vi enkla utvidgningar L = K[a] K, som består av den givna kroppen K och allt man får med upprepad addition och multiplikation av ett givet element a L och element i K. De beskrivs enklast som faktorringar till polynomringen K[X]. Som lite reklam för allt det där låt oss nämna att vi kan klassificera alla ändliga kroppar: De är bestämda av sin ordning, som kan vara en godtycklig primtalspotens. (Th.11.6). Det följer två icke-obligatoriska avsnitt om konstruktionen av komplexa tal utgående från naturliga tal samt p-adiska talkropparna, som är talteoretiska analoga till reella tal. Till sist kommer vi tillbaka till ämnet vi började med: Vi studerar faktoriella ringar, dvs. ringar, där aritmetikens fundamentalsats gäller, och diskuterar i synnerhet ringen av alla Gaußiska heltal, dvs. komplexa tal, vars real- och imaginärdel är heltal. I själva verket är de Gaußiska heltalen bara ett exempel i en rad ringar, där aritmetikens fundamentalsats inte nödvändigtvis gäller, jfr. det sista (icke-obligatoriska) avsnittet om kvadratiska heltal. Stjärnavsnitten behandlas inte på kursen. 2 Heltalsaritmetik Vi påminner om aritmetikens fundamentalsats: Theorem 2.1. Låt n N >1. Om n = p 1... p r = q 1... q s 3

med primtal p 1 p 2... p r, q 1 q 2... q s, så gäller s = r och p i = q i för i = 1,..., r = s. Det resultat som ligger bakom är följande egenskap för primtal: Theorem 2.2. För ett primtal p N gäller p ab = p a p b. För att visa detta behöver vi lite kunskap om den största gemensamma delaren av två heltal a, b: Definition 2.3. För heltal a, b Z inte samtidigt = 0 definieras deras största gemensamma delare genom sgd(a, b) := max{q N >0 ; q a, q b}. Nästa sats visas med Euklides algoritm, men vi ska härleda den här på ett mer kortfattat (och mindre konstruktivt) sätt: Theorem 2.4. Den största gemensamma delaren av heltal a, b Z med (a, b) (0, 0) kan skrivas som en linjärkombination i a och b med heltalskoefficienter, dvs. sgd(a, b) = ra + sb med lämpliga heltal r, s Z. I synnerhet gäller q a, q b = q sgd(a, b). Bevis till Th.2.2. Vi antar att p inte delar a och visar p b. Eftersom primtalet p bara har p och 1 som positiva delare, har vi 1 = sgd(p, a) = rp + sa med lämpliga heltal r, s Z. Men sedan är delbart med p. b = brp + s(ab) 4

För att visa Th. 2.4 tittar vi på mängden Za + Zb := {ka + lb; k, l Z} av alla linjärkombinationer med heltalskoefficienter i a och b. Den utgör ett ideal : Definition 2.5. En icke-tom delmängd a Z kallas ett 1. ideal om den är sluten både (a) m.a.p. additionen: a + a a, eller med andra ord: x, y a = x + y a, (b) och m.a.p. godtycklig heltalsmultiplikation: Z a a, eller med andra ord: k Z, x a = kx a. 2. principalideal (eller huvudideal) om för något heltal n Z. a = Zn Remark 2.6. 1. 0 a för varje ideal a Z: Om a a, så också a = ( 1)a a och 0 = a + ( a) a. 2. En icke-tom additivt sluten delmängd a Z är ett ideal omm den ligger symmetriskt m.a.p. origo, dvs. omm a = a. Theorem 2.7. Varje ideal a Z är ett principalideal: a = Zn med ett entydigt bestämt naturligt tal n N. 5

Proof. Om a = {0}, så ta n = 0. Om inte, så har vi pga. a = a och tar a >0 := {a a; a > 0} n := min a >0. Eftersom n a och a är sluten m.a.p. godtycklig heltalsmultiplikation, får vi Zn a. Ta nu ett tal a a och använd divisionsalgoritmen Sedan har vi två möjligheter: 1. r = 0 och således a Zn, eller a = qn + r, 0 r < n. 2. r = a qn a >0. Men då följer r min a >0 = n, en motsägelse. Till sist avslutas beviset till Teorem 2.4 med Proposition 2.8. Om Za + Zb = Zn, där (a, b) (0, 0) och n N, så gäller n = sgd(a, b). Proof. Vi har q := sgd(a, b) n, eftersom n delar både a och b. Å andra sidan delar q i sin tur såväl a som b, således också talet n = ra + sb. Men q n q n = q = n. Det återstår att hitta sgd(a, b) = min(za + Zb) >0. Men den här beskrivningen har man inte mycket glädje av: Man kan ju inte pröva sig igenom alla k, l Z med ka + lb > 0. Här hjälper nu Euklides algoritm med vilken vi kan reducera talen a och b. Den bygger på följande enkel, men nyttig anmärkning: 6

Remark 2.9. Om a = qn + r, så gäller Za + Zb = Zb + Zr. Euklides algoritm är nu en iteration av detta steg: 1. Vi får anta a b 0. 2. Om a = b eller b = 0, så blir sgd(a, b) = a. 3. Om däremot a > b > 0, skriver vi a = qb + r och ovanstående anmärkning ger oss sgd(a, b) = sgd(b, r). 4. Och sedan börjar hela proceduren på nytt med paret (b, r) i stället för (a, b). Eftersom a > b > r 0, hamnar vi någon gång i situationen, där en division går jämnt ut. Då är det sista positiva talet i följden a, b, r,... den största gemensamma delaren till a och b. 3 Restklassaritmetik Låt n N >1 vara ett heltal > 1. Definition 3.1. Två heltal a, b Z kallas kongruent modulo n, skrivet som: a b mod (n) eller omm n delar differensen b a. a n b, Remark 3.2. 1... n.. är en ekvivalensrelation. 2. Ekvivalensklassen R n (a) := {b Z; b n a} till ett heltal a Z uppfyller R n (a) = a + Zn := {a + kn; k Z}. 7

3. Vi påminner om att R n (a) = R n (b) a n b. 4. För 0 r < n består R n (r) av alla de heltal som lämnar resten r efter division med n, dvs. a = qn + r. Därför kallas ekvivalensklasserna också för restklasser (eller n-restklasser). Vi får således en partition Z = n 1 i=0 R n (i). 5. Mängden av alla n-restklasser skrivs så här: Z n := {R n (i); i = 0,..., n 1}. Aritmetiska operationer för n-restklasser: Vi vill nu införa en addition och en multiplikation Z n Z n Z n för restklasser. Vi börjar med den elementvisa additionen och multiplikationen av delmängder A, B Z, nämligen A + B := {a + b; a A, b B} och Proposition 3.3. AB := {ab; a A, b B}. 1. R n (a) + R n (b) = R n (a + b), 2. R n (a) R n (b) R n (ab), där 3. R n (ab) = R n (a) R n (b) + Zn. Proof. Vi tittar på summan resp. produkten av två godtyckliga tal a + kn R n (a) och b + ln R n (b) och ser att och (a + kn) + (b + ln) = (a + b) + (k + l)n (a + kn)(b + ln) = ab + (kb + la + kln)n. Eftersom alla element i den elementvisa produkten ligger i samma n-restklass R n (ab), kan vi helt enkelt fylla på med Zn och erhåller hela n-restklassen R n (ab). 8

Remark 3.4. I själva verket är den elementvisa produkten av n-restklasser inte nödvändigtvis igen en n-restklass, t.ex. har vi R n (0) R n (0) = Zn Zn = Zn 2 = R n 2(0). Som addition tar vi nu α : Z n Z n Z n, (R n (a), R n (b)) R n (a + b) = R n (a) + R n (b), den elementvisa summan, medan vid multiplikationen måste vi fylla på den elementvisa produkten: µ : Z n Z n Z n, (R n (a), R n (b)) R n (ab) = R n (a) R n (b) + Zn. En enklare notation: För att underlätta livet inför vi en enklare notation, där moduln n är underförstådd: Vi skriver sådant att a := R n (a) = a + Zn, Z n = {0, 1,..., n 1}. Sedan tar additionen och multiplikationen av n-restklasser följande enkel form: a + b = a + b och a b = ab. Observera: Från och med nu använder vi konventionen, att i strecknotationen.... betecknar inte den elementvisa produkten av två n-restklasser, utan den entydiga n-restklassen den är inkluderad i, dvs: a b = R n (a) R n (b) + Zn = ab. Exempel: Låt oss till sist ange några additions- och multiplikationstabeller: 9

1. Additionstabellen för Z 2 blir + 0 1 0 0 1 1 1 0, medan multiplikationstabellen ser så här ut 0 1 0 0 0 1 0 1. 2. Additionstabellen för Z 3 blir + 0 1 2 0 0 1 2 1 1 2 0 2 2 0 1, medan multiplikationstabellen ser så här ut 0 1 2 0 0 0 0 1 0 1 2 2 0 2 1. 3. Additionstabellen för Z 4 blir + 0 1 2 3 0 0 1 2 3 1 1 2 3 0 2 2 3 0 1 3 3 0 1 2, medan multiplikationstabellen ser så här ut 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 2 0 2 0 2 3 0 3 2 1. 10

Vi avslutar avsnittet med en liten Räkneövning: Vi vill beräkna a 162 för a = 3 Z 121. Receptet är följande: Vi löser upp hela räkningen i en rad steg bestående antingen 1. av en kvadrering b b 2 eller 2. en multiplikation c ca. Man börjar ovanifrån och skriver ner de exponenter n N, för vilka man måste beräkna potenser a n. Efter det beräknar man potenserna nedifrån. Idén är helt enkelt att 1. för n = 2k vi har a n = b 2 med b = a k, eller 2. för n = 2k + 1 vi har a n = b 2 a med b = a k, där man redan har kommit fram till b. n 162 81 80 40 20 10 5 4 2 1 3 n 9 3 1 1 1 1 1 40 9 3. Vi ska se senare att a 110 = 1 för alla a = l, där l inte är delbar med 11. Det skulle ha gett a 162 = a 110+52 = a 110 a 52 = a 52 och sedan har vi tabellen 4 Ringar n 52 26 13 12 6 3 2 1 3 n 9 3 27 9 3 27 9 3 Vi har diskuterat restklassaritmetik för att förbereda nästa definition: Definition 4.1. En ring är en trippel (R, α, µ) bestående av en mängd R och två avbildningar additionen, och multiplikationen, sådant att α : R R R, (a, b) a + b := α(a, b), µ : R R R, (a, b) ab := µ(a, b), 11.

1. den associativa lagen (a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) gäller för både addition och multiplikation, 2. den kommutativa lagen gäller för additionen, a + b = b + a 3. de distributiva lagarna gäller för alla a, b, c R, a(b + c) = ab + ac, (a + b)c = ac + bc 4. det finns ett element 0 R, sådant att för alla a R, a + 0 = 0 5. det finns ett element 1 R, sådant att 1 a = a = a 1, a R, 6. för varje a R finns det ett element b R med a + b = 0. En ring kallas kommutativ om den kommutativa lagen också gäller för multiplikationen: ba = ab. Example 4.2. 1. Z, Q, R, C, Z n är kommutativa ringar. 2. En 2 2-matris med koefficienter i K = Q, R, C, Z p är en tableau ( a b A := c d 12 ) ; a, b, c, d K.

Två matriser kan adderas enligt ( ) ( ) ( ) a b ã b a + ã b + b + := c d c d c + c d + d och multipliceras ( a b c d ) ( ) ( ã b aã + b c a b + b d := c d cã + d c c b + d d Elementet 0 blir nollmatrisen ( 0 0 0 0 och elementet 1 enhetsmatrisen Mängden K 2,2 := E := ) ( 1 0 0 1 { ( a b A := c d utgör då en icke-kommutativ ring. ). ) } ; a, b, c, d K Remark 4.3. 1. Elementen 0, 1 är entydiga och kallas för ringens nolla och ringens etta. Om nämligen 0 resp. 1 skulle ha samma egenskap, fick vi 0 = 0 + 0 = 0 + 0 = 0 och 1 = 1 1 = 1. 2. Elementet b R med a + b = 0 är entydig: Om b är ett element med samma egenskap, så har vi ). b = 0 + b = (a + b) + b = ( b + a) + b = b + (a + b) = b + 0 = b. Elementet b skrivs vanligtvis som a. 3. Nollan uppfyller 0 a = 0 = a 0 för alla a R: Vi har a = 1 a = (1 + 0)a = a + 0 a och adderar a till båda led. 13

4. På samma sätt följer ( 1)a = a( 1) = a från 0 = 0 a = (1 + ( 1))a = a + ( 1)a. 5. Vi har inte krävt 1 0 - men om så är fallet gäller R = {0}. Vi kallar R då för nollringen. Example 4.4. Vi tittar på trippeln (R 3, +, ), där är vektorprodukten. Med additionen går allt bra, men vektorprodukten orsakar problem: Det finns ingen etta, den är inte kommutativ, utan antikommutativ, dvs. u v = v u. Det värsta är väl att den inte ens är associativ: medan (e 1 e 2 ) e 2 = e 3 e 2 = e 1, e 1 (e 2 e 2 ) = e 1 0 = 0. Men, konstigt nog finns det också en algebraisk struktur som generaliserar (R 3, +, ) - trippeln utgör en Lie-algebra. Vi ska nu diskutera olika slags element i en ring R: I fall implikationen kan omvändas: b = 0 = ab = 0 ab = 0 = b = 0 har elementet a R äran att få ett särskilt namn: Definition 4.5. 1. Ett element a R i en kommutativ ring R kallas för en icke-nolldelare omm ab = 0 = b = 0. 2. En icke-trivial ring (inte nollringen), där alla element a 0 är ickenolldelare kallas för ett integritetsområde (integral domain). Example 4.6. 1. Ringarna Z, Q, R, C är integritetsområden. 14

2. Icke-nolldelare kan strykas i en ekvation: ax = ay = x = y. 3. En n-restklass a Z n är en icke-nolldelare omm sgd(a, n) = 1. Vi har a b = ab = 0 k Z : ab = kn. Om sgd(a, n) = 1 innebär detta att n b, dvs. b = 0. Å andra sidan om sgd(a, n) = d > 1, har vi n = n 0 d och n an 0, dvs. fast n 0 0. a n 0 = 0, 4. Restklassringen Z n är ett integritetsområde omm n = p är ett primtal, eftersom ett naturligt tal är ett primtal omm alla tal k, 1 k < n är relativ prima till n. Definition 4.7. 1. Ett element a R i en icke-trivial ring R kallas inverterbart eller en enhet omm det finns ett element b R med ab = ba = 1. 2. Mängden R := {a R; b R : ab = ba = 1} av alla inverterbara element kallas för ringens enhetsgrupp. 3. En kommutativ ring med R = R \ {0} kallas en kropp (field). Example 4.8. a 1 := b. 1. Talet b med ab = ba = 1 är entydigt bestämt, vi skriver 2. Enhetsgruppen är sluten m.a.p. multiplikation och inversion. I själva verket gäller (ab) 1 = b 1 a 1, (a 1 ) 1 = a. 3. Enheter är icke-nolldelare: Om a R och ab = 0, hittar vi 0 = a 1 (ab) = (a 1 a)b = 1b = b. 4. I en ändlig (kommutativ) ring är icke-nolldelare redan enheter, eftersom multiplikationen med a, avbildningen µ a : R R, x ax, är injektiv och en injektiv självavbildning av en ändlig mängd är också surjektiv. I synnerhet finns det b R med µ a (b) = 1. 5. Z = {±1}. 15

6. Z n = {a Z n ; sgd(a, n) = 1}. 7. K = Q, R, C och Z p med ett primtal p är kroppar. 8. Vi beräknar r = 70 1 Z 101 :, dvs. vi måste lösa kongruensen 70r 1 mod (101). Vi letar efter r, s Z med (a) 70r + 101s = 1 (b) 70x + 31s = 1 (c) 8x + 31y = 1 (d) 8z y = 1 Vi reducerar 101 mod 70 och byter samtidigt r till x = r + s, sedan reducerar vi 70 mod 31 och byter ut s mot y osv. Till sist tar vi z = 0, y = 1. Det ger x = 4, s = 9, r = 13. Således: 70 1 = 13 Z 101. 9. Determinanten ( a b det : K 2,2 K, A = c d ) det(a) := ad bc, är en multiplikativ avbildning, dvs. Om vi nu för det(ab) = det(a) det(b). ( ) a b A = c d definierar den till A adjungerade matrisen som ( ) d b A :=, c a så visar en liten räkning AA = A A = det(a)e, där vi använder oss av skalärmultiplikationen ( ) ( ) a b λa λb λ := c d λc λd 16

för λ K. Sedan följer (K 2,2 ) = {A K 2,2, det(a) 0}. Bevis: Övning! Kongruenser och ekvationer i någon restklassring: En ekvation αξ = β för ξ = x Z n skrivs klassiskt som ax b mod (n), där x Z, α = a, β = b. Lösningsmängden av kongruensen är en union av restklasser r ξ ν Z, ν=1 där ξ ν, ν = 1,..., r, är lösningarna till αξ = β. Vi har: Example 4.9. Ekvationen 4 ξ = 0 i Z 6 har lösningarna 0, 3, medan lösningarna till kongruensen 4x 0 mod (6) är elemeten i Z6 (3 + Z6) = Z3. Proposition 4.10. Kongruensen ax b mod (n) är lösbar omm sgd(a, n) b. Närmare bestämt: 1. Om sgd(a, n) = 1, är lösningsmängden restklassen a 1 b Z n. 2. Om d = sgd(a, n) och a = a 0 d, n = n 0 d, b = b 0 d, så gäller ax b mod (n) a 0 x b 0 mod (n 0 ). Således, om x 0 Z är en lösning, så är hela lösningsmängden. R n0 (x 0 ) = d 1 k=0 17 R n (x 0 + kn 0 )

Proof. Lösbarhet är ekvivalent med b Za Zn = Z sgd(a, n). Example 4.11. Vi löser kongruensen 251x 125 mod (521) med samma metod som 70x 1 mod (101). 1. 251x 521y = 125 2. 251z 19y = 125 3. 4z 19t = 8. If we take z = 2, we obtain y = 33 and x = 68. So x 68 mod (521) is the solution. Definition 4.12. Funktionen ϕ : N >0 N definierad som { 1, om n = 1 ϕ(n) := Z n, om n 2 kallas för Eulers ϕ-funktion. Lemma 4.13. För en primtalspotens n = p k, k 1, får vi: ϕ(p k ) = p k 1 (p 1). Proof. Komplementet till Z p k utgörs av nolldelarna 0, p, 2p,..., (p k 1 1)p. Således Z p k = Z p k antalet nolldelare = p k p k 1 = p k 1 (p 1). Theorem 4.14 (Lagrange). Låt R vara en kommutativ ring. Om enhetsgruppen R är ändlig, så gäller för alla a R. a R = 1 18

Proof. Avbildningen µ a : R R, x ax, är bijektiv, således x = µ a (x) = (ax) = a R x. x R x R x R x R Eftersom x R x R är en icke-nolldelare, följer 1 = a R. Corollary 4.15 (Fermat s lilla sats). För en restklass a Z n har vi a ϕ(n) = 1. Definition 4.16. Ett element 1. e R kallas för idempotent omm e 2 = e. 2. u R kallas för nilpotent omm det finns n N >0 med u n = 0. 1. 0, 1 är idempotenta. Restklasserna 3, 4 Z 6 är idem- Example 4.17. potenta. 2. Om e R är idempotent, så är det 1 e likaså. 3. I ett integritetsområde är 0, 1 de enda idempotenta, eftersom 0 = e 2 e = e(1 e) innebär e = 0 eller e = 1. 4. En restklass ξ Z p k är nilpotent omm den inte är en enhet. Till sist låt oss nämna: Definition 4.18. En ring R med R = R \ {0} kallas en divisionsring. En icke-kommutativ divisionsring kallas också en skevkropp. Example 4.19. Matriserna i mängden {( ) } z w H := ; z, w C w z C 2,2 utgör en skevkropp. De kallas för kvaternioner. (Bokstaven H påminner om den irländska matematikern William Rowan Hamilton, som uppfann kvaternionerna - men förstås inte som matriser!) De utgör ett reellt (men inte ett komplext) vektorrum med dim H = 4; 19

en bas är E, I, J, K, med enhetsmatrisen E C 2,2 och matriserna ( ) ( ) i 0 0 1 I :=, J := 0 i 1 0, K := ( 0 i i 0 ). Multiplikationen av basmatriserna K, I, J bestäms av relationerna I 2 = J 2 = K 2 = E, IJ = K = JI, JK = I = KJ, KI = J = IK. En rolig iakttagelse: Om vi tar och definierar U = RE, V = RI + RJ + RK, P : H = U V V som projektion på V med kärna U, så blir avbildningen V V V, (A, B) P (AB) vektorprodukten på V = R 3 (där matriserna I, J, K V motsvarar enhetsvektorerna e 1, e 2, e 3 R 3 ). 5 Homomorfismer För att förstå relationen mellan olika slags ringar behövs det ringhomomorfismer : Definition 5.1. Låt R, S vara ringar. En avbildning ϕ : R S kallas en ringhomomorfism omm 1. 2. ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b), ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) för alla a, b R, ϕ(1) = 1, där 1 betecknar ettan i respektive ring R och S. 20

Den kallas en ringisomorfism omm den ytterligare är bijektiv, och R är isomorf med S, skrivet som: R = S, omm det finns en ring isomorfism ϕ : R S. Remark 5.2. 1. För en ringhomomorfism ϕ : R S gäller ϕ(0) = 0, ϕ( a) = ϕ(a) pga. ϕ(a) = ϕ(a + 0) = ϕ(a) + ϕ(0) och 0 = ϕ(0) = ϕ(a + ( a)) = ϕ(a) + ϕ( a). 2. Villkoret ϕ(1) = 1 är alltid uppfyllt om ϕ(1) 0 och S är ett integritetsområde, eftersom idempotenta element 1 är nolldelare. Example 5.3. 1. För varje ring R finns precis en ringhomomorfism χ : Z R. Nödvändigtvis har vi n {}}{ 1 +... + 1, om n > 0 χ(n) = 0, om n = 0 ( 1) +... + ( 1), om n = m < 0 }{{} m Van- Att det är en ringhomomorfism, följer från distributiva lagen. ligtvis skriver man inte χ(n) R, utan bara. n := χ(n), men man skulle inte glömma, att n = 0 kan gälla i R fast det inte är fallet i Z. Till exempel ta R = Z n! 2. För m n definierar en ringhomomorfism. 3. Komplexa konjugationen är en ringisomorfism. Z n Z m, R n (a) R m (a) = R n (a) + Zm C C, z z, 21

Definition 5.4. Kärnan till en ringhomomorfism ϕ : R S är mängden ker(ϕ) := ϕ 1 (0) = {x R; ϕ(x) = 0}. Remark 5.5. En ringhomomorfism ϕ : R S är injektiv omm ker(ϕ) = {0}. Villkoret är uppenbarligen nödvändigt pga. ϕ(0) = 0, men det är också tillräckligt: Om ϕ(x) = ϕ(y), så följer ϕ(x y) = ϕ(x) ϕ(y) = 0, i.e. x y ker(ϕ) = {0} och således x y = 0, dvs. y = x. Kärnan utgör ett ideal: Definition 5.6. En icke-tom delmängd a R av en kommutativ ring kallas ett 1. ideal om den är sluten både (a) m.a.p. additionen: a + a a, eller med andra ord: x, y a = x + y a, (b) och m.a.p. multiplikation med ett godtyckligt element i R: R a a, eller med andra ord: a R, x a = ax a. 2. principalideal (eller huvudideal) om för något element b R. a = Rb Ett integritetsområde, där varje ideal är ett principalideal, kallas ett principalidealområde (PID=principal ideal domain). Remark 5.7. 1. a = {0} kallas nollidealet, a = R enhetsidealet. 2. En kommutativ ring R är en kropp, omm noll- och enhetsidealet är de enda idealen. 3. En ringhomomorfism ϕ : K R från en kropp till en icke-trivial ring är alltid injektiv: Pga. ϕ(1) = 1, gäller ker(ϕ) K, således ker(ϕ) = {0}. 22

Definition 5.8. Låt R vara en ring och χ : Z R den naturliga ringhomomorfismen. Karakteristiken char(r) N av ringen R definieras som det naturliga tal n N, sådant att ker(χ) = χ 1 (0) = Zn. Med andra ord: Antingen char(r) = 0 - i så fall är χ : Z R injektiv - eller char(r) = min{k N >0 ; k = 0 i R}. Remark 5.9. För ett integritetsområde R är char(r) = 0 eller ett primtal char(r) = p. Example 5.10. För en kropp K av char(k) = p > 0 definieras Frobeniushomomorfismen som K K, x x p. Uppenbarligen gäller (xy) p = x p y p och 1 p = 1, men också p 1 ( ) p (x + y) p = x p + x k y p k + y p = x p + y p, k k=1 eftersom binomialkoefficienterna ( ) p = k p! k!(p k)! N är delbara med p för k = 1,..., p 1 - primtalet p ingår ju i täljaren, men inte i nämnaren - och således ( ) p = 0 K, 1 k p 1. k Bara - för K = Z p har vi x p = x enligt Lagrange. Så det verkar inte särskilt intressant. I själva verket spelar Frobeniushomomorfismen en central roll i teorin om kroppar av karaktäristik p > 0, och den är lika med identiteten bara för K = Z p. Definition 5.11. Låt R 1,..., R s vara ringar. Den direkta produkten R 1... R s är den kartesiska produkten av mängderna R 1,..., R s tillsammans med den komponentvisa additionen och multiplikationen. 23

vara primtals- Theorem 5.12 (Kinesiska restsatsen). Låt n = p k 1 1... p kr r faktoriseringen av det naturliga talet n N >1. Sedan är ψ : Z n Z p k 1 1 en ringisomorfism.... Z p kr r, a (a + Zpk 1 1,..., a + Zp kr r ) Proof. Eftersom start - och målringen har samma antal element, räcker det att visa att ψ är injektiv, m.a.o. att ker(ψ) = {0}. Men ψ(a) = 0 innebär a för i = 1,..., r, och detta ger n a resp. a = 0. p k i i Corollary 5.13. Låt n = p k 1 1... p kr r Proof. Kinesiska isomorfismen ϕ(n) = ϕ(p k 1 1 )... ϕ(p kr r ) vara primtalsfaktoriseringen. Sedan inducerar en bijektion Z n Z p k 1 1 Z n Z p k 1 1... Z p kr r... Z. p kr r Remark 5.14. För att invertera kinesiska isomorfismen letar vi efter inversa bilderna ξ i Z n till enhetsvektorerna e i Z k p 1... Z 1 p kr. Om vi har lyckats r med den saken, så gäller ψ 1 (a 1,..., a r ) = a 1 ξ 1 +... + a r ξ r. N och löser kongru- För att hitta elementen ξ i Z n tar vi n i := np k i i enserna n i x 1 mod (p k i i ) med, säg, x = l i Z. Sedan blir ξ i = l i n i Z n. Om talen är små kan man förstås pröva sig igenom alla tal ln i, 0 l < p k i i. Example 5.15. Låt n = 84 = 2 2 3 7. Sedan får vi n 1 = 21, n 2 = 28, n 3 = 12 och l 1 = 1, l 2 = 1, l 3 = 3 och således ξ 1 = 21, ξ 2 = 28, ξ 3 = 36. 24

Public key cryptography, RSA-kryptering: (Rivest, Shamir, Adleman) Situationen är följande: Det finns en mottagare, som får budskap från många sändare, men de vill inte att deras budskap läses av de andra sändare. Då kan mottagaren dela ut en offentlig nyckel till kryptering åt alla sändare, medan kunskapen om den nyckeln inte är tillräcklig för dechiffrering. För den behöver man någon information till. Så här kan det fungera: 1. Budskap motsvarar restklasser α Z n för något fast tal n 0. 2. Den offentligt givna nyckeln för krypteringen: Ett tal e N, som levereras av mottagaren, samma åt alla sändare. 3. Kryptering sker med potensavbildningen: Z n Z n, α α e. 4. Vad mottagaren har gjort: Han har tagit fram olika primtal p, q och valt n = pq samt e N, sådant att sgd(e, ϕ(n)) = 1, där ϕ(n) = (p 1)(q 1). Talen p, q är hemliga, och eftersom faktorisering av stora tal är problematiskt, går det praktiskt taget inte att hitta p, q utgående från själva moduln n. 5. Mottagaren dechiffrerar med potensavbildningen där exponenten d uppfyller. 6. Exponenten d väljs sådant att Här behövs faktoriseringen n = pq. 7. Om l 1 mod ϕ(n), så gäller för alla α Z n. Z n Z n, β β d, α = (α e ) d = α ed, α Z n. ed 1 mod (p 1)(q 1). α l = α 25

Proof of 7). Pga. Z n = Zp Z q, α (γ, δ), räcker det att visa γ l = γ, δ l = δ. Låt l = 1 + m(p 1)(q 1). Vi får anta γ 0 och får då γ l = γ (γ p 1 ) m(q 1) = γ 1 m(q 1) = γ. På samma sätt för δ. 6 Bråkräkning Låt R vara ett integritetsområde. På den kartesiska produkten R R \ {0} definierar vi ekvivalensrelationen på följande sätt (a, s) (b, t) : at = bs. Symmetri och reflexivitet är klara, anta nu (a, s) (b, t) (c, u). Det innebär at = bs och bu = ct. Multiplikation med u resp. s leder till atu = bsu = cts resp. au = cs, eftersom R inte har nolldelare 0. Således (a, s) (c, u). Mängden Q(R) := (R R \ {0})/ av dess ekvivalensklasser utgör en kropp, ringen R s kvotkropp. Beteckna med a := [(a, s)] Q(R) s ekvivalensklassen av paret (a, s). Vi kollar att bråkräkningsreglerna ger väldefinierade ringoperationer: Additionen och multiplikationen fungerar så här a s + b at + bs a :=, t st s b ab := t st. Example 6.1. Q = Q(Z). Remark 6.2. Avbildningen ι : R Q(R), a a, är uppenbarligen en 1 injektiv ring homomorfism: Vi kan således uppfatta R som delring till Q(R). Definition 6.3. Låt R vara en ring. En delring R 0 R är en delmängd som 26

1. är sluten m.a.p. addition och multiplikation och 2. med dessa operationer själv är en ring, 3. till sist krävs 1 R 0, där 1 R är den givna ringens etta. En ringutvidgning S R till den kommutativa ringen R är en ring S som har R som delring. Den kallas en R-algebra, om elementen i R kommuterar med elementen i S, dvs. xy = yx gäller för alla element x R och y S. Remark 6.4. Skillnaden mellan ett ideal a R och en delring R 0 R är följande: 1. En delring R 0 R skulle vara multiplikativt sluten, medan för ideal krävs mer: R a a. 2. För ett ideal krävs inte 1 a. I själva verket, om det gäller, handlar det redan om enhetsidealet a = R. 3. Om R = R 1 R 2 är den direkta produkten av ringarna R 1 och R 2, så är a 1 := R 1 {0} och a 2 := {0} R 2 ideal, men inte delringar. Example 6.5. 1. Om ϕ : R S är en ringhomomorfism, så är ϕ(r) S en delring. 2. Låt χ : Z R vara den naturliga ringhomomorfismen. R 0 := χ(z) R är då den minsta delringen till R. Vi anmärker att χ(z) = Z för char(r) = 0 och χ(z) = Z n för char(r) = n. 3. Om vi identifierar R med RE R 2,2, blir ringen R 2,2 av alla 2 2- matriser med element i R en R-algebra. 4. Q R, R C är delringar. 5. Om R är ett integritetsområde och S R \ {0} en multiplikativ delmängd, dvs. 1 S, x, y S = xy S, så är { a } S 1 R := s Q(R); s S en delring till kvotkroppen Q(R). Den kallas för lokaliseringen av R m.a.p. den multiplikativa delmängden S. 27

Proposition 6.6. Låt R vara ett integritetsområde. Varje injektiv ringhomomorfism ϕ : R K till en kropp K har en entydig utvidgning till en injektiv ringhomomorfism Proof. Övning! ˆϕ : Q(R) K. Corollary 6.7. Varje kropp K har en minsta delkropp P (K), dess primkropp. 1. Om char(k) = 0, så är P (K) = Q, 2. om char(k) = p, så är P (K) = χ(z) = Z p med den entydiga ringhomomorfismen χ : Z K. 7 Polynomringen Följande definition är lite heuristisk, men suggestiv: Definition 7.1. Ett polynom med koefficienter i den kommutativa ringen R (eller över R) är ett formellt uttryck f = n a ν X ν, a 0,..., a n R, ν=0 som kan användas för att definiera en funktion n f S : S S, x f(x) := a ν x ν, ν=0 för varje R-algebra S. Mängden av alla polynom betecknas { n } R[X] := a ν X ν ; a 0,..., a n R, n N. ν=0 28

Remark 7.2. 1. Polynom bestäms av sina koefficienter, dvs. f = n a ν X ν = 0 a 0 =... = a n = 0, ν=0 de adderas och multipliceras på det sedvanliga sättet. Mängden R[X] blir således en kommutativ ring. 2. OBS: Trots notationen f(x) i stället för det lite krångliga f S (x) är polynomet f inte samma sak som funktionen f R : R R, jfr. Prop: 7.3. 3. Utvärdering (eller evaluering?) i ett element a S definierar en ringhomomorfism ε a : R[X] S, f f(a). (Här vi behöver vi att S är en R-algebra!) Ibland kallas den också en substitutionshomomorfism. Bilden av utvärderingshomomorfismen är en kommutativ(!) delring till S och betecknas så här: R[a] := {f(a); f R[X]} S. 4. Om vi utrustar mängden S S av alla funktioner S S med den argumentvisa additionen och multiplikationen, blir den en ring och en ringhomomorfism. Φ : R[X] S S, f f S, En exakt definition av polynom. För pedanter som vill veta vad ett formellt uttryck är för någonting: Eftersom ett polynom bestäms av sina koefficienter är det helt enkelt en följd f = (a 0, a 1,..., a n, 0,...) av element i ringen R med bara ändligt många element 0. Additionen är komponentvis (a 0, a 1,...) + (b 0, b 1,...) := (a 0 + b 0, a 1 + b 1,...), 29

och multiplikationen ges av Cauchyprodukten: (a 0, a 1,...) (b 0, b 1,...) := (a 0 b 0, a 0 b 1 + a 1 b 0, a 0 b 2 + a 1 b 1 + a 2 b 0,...). Uppenbarligen är ettan och avbildningen (1, 0, 0,...) R[X] R R[X], a (a, 0,...), en injektiv ringhomomorfism. Vi förenklar notationen genom att skriva a := (a, 0, 0,...), sådant att Om vi nu ytterligare definierar R R[X]. så får vi X := (0, 1, 0,...), X n = (0,..., 0, }{{} 1, 0,...), n och en godtycklig följd tar formen av en summa (a 0, a 1,..., a n, 0,...) = n a ν X ν. ν=0 En liten rolig anmärkning för folk som tycker om lek: För att definiera ovanstående ringoperationer behövs egentligen inte att följderna har bara ändligt många nollskilda element. Vi får således en ringstruktur även på den större mängden R N := {(a 0, a 1,...); ν N : a ν R} av alla R-värda följder. De resulterande objekten kallas också formella potensserier med koefficienter i R ; de utgör en utvidgningsring R[[X]] R[X]. 30

Nyfikna hänvisas till sista delen av avsnitt 14 om p-adiska tal. Polynom och polynomfunktioner: Nästa proposition jämför polynom och polynomfunktioner: Vi undersöker homomorfismen Φ : R[X] R R, f f R, som avbildar varje polynom f på den tillhörande funktionen f R : R R. Proposition 7.3. Låt R vara ett integritetsområde. 1. Om a R är ett nollställe till polynomet f R[X], alltså f(a) = 0, kan vi faktorisera f = (X a)g med ett polynom g R[X]. 2. Ett polynom f = har högst n nollställen i R. n a ν X ν R[X] \ {0} ν=0 3. Ringhomomorfimen är injektiv för R =. Φ : R[X] R R 4. Om R = q < (dvs. R = F är en ändlig kropp), så gäller ker(φ) = F[X]h med polynomet h := a) = X a F(X q X F[X]. Proof. 1. Vi skriver f = f((x a) + a) = n c ν (X a) ν = (X a)g, ν=1 med g = n ν=1 c ν(x a) ν 1 vi har ju c 0 = f(a) = 0. 31

2. Vi gör induktion följande n, tar ett nollställe a R av f och använder oss av faktoriseringen f = (X a)g. Eftersom R är ett integritetsområde är alla nollställen a till f nollställen till g och vi kan använda oss av induktionshypotesen med n 1 i stället för n. 3. Följer omedelbart med 2.). 4. Inses med successiv faktorisering för f R[X] med f R 0. Lilla Fermat säger att X q X ker(φ) = F[X]h, men h och X q X är normerade av samma grad då måste de ju vara lika! Vi sammanställer nu några grundläggande egenskaper av polynomringar. Vi behöver gradfunktionen: Definition 7.4. Låt R vara en ring. Gradfunktionen definieras för f R[X] genom deg : R[X] N { } { n, if f = n deg(f) := ν=0 a νx ν, a n 0, if f = 0. Remark 7.5. 1. Man har samt deg(f + g) max(deg(f), deg(g)), deg(fg) deg(f) + deg(g) deg(fg) = deg(f) + deg(g) om ett av polynomen f, g är normerat eller R är ett inegritetsområde. 2. Polynomringen R[X] över ett integritetsområde är igen ett integritetsområde. 3. För ett integritetsområde gäller R[X] = R. 4. Ett polynom f R[X] över ett integritetsområde R her högst deg f nollställen. 32

Definition 7.6. Låt K vara en kropp. Den formella derivatan f K[X] till et polynom f = n ν=0 a νx ν K[X] är polynomet f := n νa ν X ν 1 K[X]. ν=1 Remark 7.7. 1. (f + g) = f + g, (fg) = f g + fg. 2. Låt a K vara ett nollställe till f K[X] \ K. Sedan är a ett enkelt nollställe, dvs. f = (X a)g med g(a) 0, omm f (a) 0. 3. Om char(k) = 0 har vi f = 0 f K. 4. Om char(k) = p har vi f = 0 f K[X p ]. 8 Kvadratiska utvidgningar Varje kropp omfattar antingen Q eller en restklassring Z p med ett primtal p N. Man kan ta det som startpunkt till en klassifikation och måste sedan fråga sig, hur primkropparna kan förstoras eller utvidgas. För att kunna upprepa proceduren, tittar vi inte bara på dem, utan på en godtycklig kropp K och diskuterar det minsta steget i utvidgningsprocessen, enkla utvidgningar. Definition 8.1. Låt K vara en kropp. 1. En ringutvidgning av K kallas enkel om den har formen K[a] K, där a S med en K-algebra S. 2. En enkel utvidgning K[a] K, kallas kvadratisk om K[a] = K + Ka, eller med andra ord om a 2 = λ + µa med λ, µ K. 33

Example 8.2. samt 1. Kvadratiska talkroppar: Vi tar K = Q och S = C a := d, där d Q inte är en kvadrat i Q. För d > 0 är d R >0 ett väldefinierat tal; för d < 0 bestämmer vi d := d i C. Sedan kallas [ ] Q d C en kvadratisk talkropp. Att det verkligen handlar om en kropp ser man så här: 1 C a + b d = a b d [ ] a 2 db Q d, 2 där nämnaren inte försvinner om bara a 0 eller b 0. ( ) α β 2. För A = K γ δ 2,2 är utvidgningen K[A] K kvadratisk: Vi har A 2 = (α + δ)a (αδ βγ)e. 3. Låt nu K = Z 2. Matrisen A = ( 1 1 1 0 ) (Z 2 ) 2,2 uppfyller och ger upphov till kroppen A 2 = A + E med 4 element: {( 0 0 F 4 = 0 0 F 4 := Z 2 [A] = Z 2 E + Z 2 A ) ( 1 0, 0 1 ) ( 1 1, 1 0 Jämför med Z 4! Beräkna Frobeniusautomorfismen! 34 ) ( 0 1, 1 1 )}

Proposition 8.3. För d K låt ( ) 0 1 A = d 0 K 2,2. Sedan gäller 1. A 2 = de 2. och K[A] = KE + KA K 2,2 är en kropp om och endast om d K inte är en kvadrat. Proof. För en icke-kvadrat d K är utvidgningen K[A] en kropp, eftersom (xe + ya)(x ya) = (x 2 dy 2 )E och x 2 dy 2 0 för (x, y) 0 pga. att d K inte är en kvadrat. Om däremot d = c 2, finns det nolldelare i K[A]: (A + ce)(a ce) = A 2 c 2 E = 0. Remark 8.4. 1. Om d Q inte är en kvadrat, gäller Q [ d ] = Q[A]. 2. För konkreta räkningar är det kanske enklast att göra som i fallet K = Q, dvs. vi ersätter matriserna med en symbolisk notation: xe + ya x + y d. Vi skriver också [ ] K d := { x + y } d; x, y K. Example 8.5. 1. R [ 1 ] = C. 35

2. För p 3 mod (4) är 1 inte en kvadrat i K = Z p. Om 1 = a 2, hade vi 1 = a 4k+2 = ( 1) 2k+1 = 1. 3. Således finns det komplexa tal med Z p -koefficienter, kroppen F p 2 := {x + yi; x, y Z p }, med p 2 element, där som vanligt bokstaven i menar samma sak som 1. 4. För p 1 mod (4) har vi inget naturligt val av en icke-kvadrat d Z p, men de finns alltid: T.ex. varje primitiv rot är en icke-kvadrat, se nästa avsnitt. 9 Primitiva rötter Hittills har vi sett några exempel på ändliga kroppar F, och så småningom ska vi komma fram till en fullständig klassifikation, se Th. 11.6. Det avgörande är att förstå den multiplikativa strukturen: Theorem 9.1. Låt F vara en ändlig kropp, q = F. primitiv rot a F, dvs. Sedan finns det en F = a Z = {1, a,..., a q 2 }. Corollary 9.2. Låt p > 2 vara ett udda primtal. Sedan finns det ett element j Z p med j 2 = 1 omm p 1 mod (4). Proof. = : Låt p = 4k + 3 och anta j 2 = 1 gäller för något j Z p. Då ger Th.4.14 1 = j 4k+2 = (j 2 ) 2k+1 = ( 1) 2k+1 = 1, motsägelse! = : Låt a Z p vara en primitiv rot och ta j := a k. Vi har j 4 = 1, så polynomet X 2 1 = (X + 1)(X 1) har j 2 som nollställe, och eftersom j 2 = a 2k 1, måste j 2 = 1. 36

För beviset av Th.9.1 behövs det några förberedningar: Enligt Lagrange s sats Th.4.14 vet vi att a q 1 = 1 gäller för alla a F. Vi visar nu omvändningen: Proposition 9.3. Om a l = 1 gäller för alla a F, så gäller dvs. l är delbart genom q 1. l Z(q 1), Proof. Exponenterna l Z med a l = 1 för alla a F utgör ett ideal således e(f ) := { l Z; a l = 1 a F }, e(f ) = Zn med något n N. Enligt Lagrange gäller q 1 e(f ), dvs. n delar q 1. Polynomet f = X n 1 F[X] försvinner alltså på F och har högst n nollställen, således F n och därmed nödvändigtvis n = F. Example 9.4. Låt oss titta på situationen för en restklassring Z n i stället för F. 1. Enhetsgruppen Z 8 = { 1, 3, 5, 7 } har 4 element, men det gäller redan a 2 = 1 för alla a Z 8. 2. Låt p, q vara två olika udda primtal. Enhetsgruppen har då (p 1)(q 1) element och Z pq = Z p Z q a l = 1 gäller redan för l = (p 1)(q 1)/2, eftersom l är både delbart med p 1 och med q 1. För en närmare undersökning av förhållandena behöver vi: 37

Definition 9.5. För ett element a R i enhetsgruppen av en ring R låt e(a) := {l Z; a l = 1} vara idealet av alla exponenter l Z med a l = 1. Elementet a s ordning definieras som ord(a) := min e(a) >0 N { }, där vi använder oss av konventionen min :=. Example 9.6. 1. Elementen 3, 5, 7 Z 8 har ordning 2. 2. Elementet 2 Z 11 har ordning 10, eftersom 2 Z = {2, 4, 8, 5, 10 = 1, 2 = 9, 4 = 7, 8 = 3, 5 = 6, 1} har 10 element. Ytterligare ord(4) = 5 och ord(10) = 2. 3. För ett komplext tal gäller I själva verket om sgd(k, n) = 1. a = re iϑ C ord(a) < r = 1 ϑ Q 2π. ord(e 2πi(k/n) ) = n Remark 9.7. 1. Vi har ord(a) = omm e(a) = {0} omm a m a n för m n. Så i dettta fall har vi en bijektion Z a Z, k a k. 2. Vi har ord(a) = d < omm e(a) = Zd omm a m = a n m n mod (d). Med andra ord: Vi har en bijektion Z d a Z, k a k och a Z = {1, a,..., a d 1 }. 38

3. Om a R och R <, så är ord(a) < en delare till enhetsgruppensgruppens ordning R. Bevis till Th.9.1. Vi måste hitta ett element a F med ord(a) = q 1. Låt q 1 = p k 1 1... p ks s vara primfaktoriseringen: För varje i = 1,..., s konstruerar vi ett element a i F av ordning ord(a i ) = p k i i. Sedan är a = a 1... a s enligt nedanstående Prop.9.8 ett element av ordning q 1. Enligt Lagrange s sats Th.4.14 delar ordningen ord(c) för varje c F enhetsgruppens ordning F, dvs. ord(c) = p k 1(c) 1... p ks(c) s med 0 k i (c) k i, och med Prop. 9.3 ser vi, att k i = max {k i (c); c F }, i = 1,..., s. I synnerhet finns det ett element c i, vars ordning är delbart med p k i i, kanske ord(c i ) = l i p k 1 i. Vi tar nu a i := c l i i. Proposition 9.8. 1. Låt ord(a) = m, Sedan gäller ord(a k m ) = sgd(k, m). 2. Om m = ord(a) och n = ord(b) är relativ prim, så gäller Proof. Vi har Låt dvs. 1 = 1 och ord(ab) = mn. 1 = (a k ) l = a kl m kl m sgd(k, m) l. 1 = (ab) l = a l = b l = ord(a l ) = ord(b l ) = m sgd(l, m) = n sgd(l, n), sgd(l, m) = m, sgd(l, n) = n = l Z mn. 39

10 Enkla kroppsutvidgningar För att förstå en enkel utvidgning K[a] K är det viktigt att veta i vilken mån elementet f(a) K[a] bestämmer polynomet f K[X], dvs. vi frågar vad det betyder att f(a) = g(a) gäller för två polynom f, g K[X]. Så det handlar om att förstå kärnan till substitutionshomomorfismen ker(ε a ) K[X] ε a : K[X] K[a], f f(a). Med andra ord: Vi är intresserade av idealet m a := {f K[X]; f(a) = 0} K[X] av alla polynom som annullerar det givna elementet a S. Example 10.1. Titta på a C Q resp. A K n,n KE = K. 1. För a K har vi m a = K[X](X a). 2. Ta nu K = Q C a := i. Vi får m i = Q[X](X 2 + 1), eftersom för f Q[X] har vi f(i) = 0 = f( i) = f(i) = f(i) = 0, således f = (X i)(x + i)g. Att g Q[X] följer från divisionsalgoritmen. 3. För den n-te enhetsroten a = e 2πi/n C Q har vi X n 1 = (X 1)(X n 1 + X n 2 +... + X + 1) m a, samt om n > 1. X n 1 + X n 2 +... + X + 1 m a 40

4. Ett komplext tal a C kallas transcendent omm m a = {0}, i.e. om ψ a : Q[X] Q[a] är en isomorfism. Talen e, π R C är transcendenta, ett icke-trivialt resultat, som först har bevisats på sena 1800-talet. Tillbaka till teorin: Först och främst handlar det om polynomringen själv: Vi måste veta vilka ideal som finns i K[X]: Proposition 10.2. Polynomringen K[X] över en kropp K är ett principalidealområde: För ett icke-trivialt ideal a K[X] har vi a = K[X]f, där f K[X] är ett polynom av minsta grad i a \ {0}. Om vi förutsätter f vara normerat, är f entydigt bestämt. Beviset bygger som i fall av heltalsringen Z på en divisionsalgoritm: Theorem 10.3 (Divisionsalgoritm för polynom). Låt g R[X] vara ett normerat polynom över den kommutativa ringen R. Varje polynom f R[X] skrivs som f = qg + r med entydigt bestämda polynom q, r R[X], deg(r) < n = deg(g). Proof. Entydighet: Låt f = qg + r = qg + r. Sedan: (q q)g = ( r r). Polynomet på högra ledet har grad < n, medan för q q 0 vänstra ledet har minst grad n (eftersom g är normerat). Således q = q och då förstås också r = r. Existens: Vi använder induktion följande deg(f): Om deg(f) < n tar vi q = 0 och r = f. Om deg(f) =: m n, kanske f = b m X m +... + b 0, betraktar vi polynomet f := f b m X m n g. Eftersom det har grad < deg(f), ger induktionshypotesen q, r med f = qg + r och deg( r) < n. Slutligen ta q := q + b m X m n, r := r. 41

Bevis av Prop. 10.2. Låt a K[T ] vara ett ideal. Om a {0}, kan vi välja ett polynom polynom f a \ {0} av minsta grad, och efterrsom K är en kropp, kan vi anta att f är normerat. Sedan har vi a = (f). Inklusionen är självklart. : Ta ett polynom h a. Divisionsalgoritmen 10.3 ger h = qf + r, var deg(r) < deg(f). Men då, pga. r = h qf a, nödvändigtvis r = 0 enligt val av f. Således h = qf K[X]f. Definition 10.4. Låt a S K med m a {0}. Det entydiga normerade polynomet p a K[X] med m a = K[X]p a kallas minimalpolynomet av elementet a S över K. Remark 10.5. 1. För ett polynom f K[X] har vi f(a) = 0 p a f. 2. Imaginära enheten i C Q har minimalpolynom p i = X 2 + 1 Q[X]. 3. Låt a = e 2πi/p C Q med ett primtal p. Då har vi p a = X p 1 + X p 2 +... + X + 1. För beviset hänvisar vi till Exempel 10.12. 4. Minimalpolynomet av ett icke-reellt tal a C R över R är polynomet p a = X 2 (a + a)x + a 2 R[X]. 5. För en matris A K 2,2 \ KE har vi p A = X 2 (a + d)x + (ad bc), eftersom A inte annulleras av ett linjärt polynom, medan vi redan har kollat A 2 (a + d)a + (ad bc)e = 0. 42

( 0 1 6. För A = J = 1 0 ) får vi och för A = ( 0 1 d 0 ) blir p J = X 2 + 1, Slutligen har A = ( 1 1 1 0 För kvadratiska utvidgningar har vi p A = X 2 d. ) (Z 2 ) 2,2 minimalpolynomet p A = X 2 + X + 1 Z 2 [X]. K[a] = K + Ka = {x + ya; x, y K}. Detta kan generaliseras till godtyckliga minimalpolynom p a K]X]. Theorem 10.6. Låt a S K med m a {0} och deg p a = m. Sedan gäller K[a] = K + Ka +... + Ka m 1, och avbildningen Φ a : K m K[a] (c 1,..., c m ) c 1 + c 2 a +... + c m a m 1 är bijektiv. Ytterligare: Om f(a) K[a] med ett polynom f K[X], så gäller f(a) = c 1 + c 2 a +... + c m a m 1, där r = c 1 + c 2 X +... + c m X m 1 K[X] är resten vid polynomdivision av f genom p a, dvs: f = q p a + r. 43

Remark 10.7. Ringen K[a] kan alltså tänkas som K m, där additionen är komponentvis - avbildningen Φ a är ju additiv -, medan multiplikationen styrs helt och hållet av minimalpolynomet p a så här: där (c 1,..., c m ) (d 1,..., d m ) := (r 1,..., r m ), (c 1 +c 2 X+..+c m X m 1 ) (d 1 +d 2 X+..+d m X m 1 ) = q p a +(r 1 +r 2 X+..+r m X m 1 ). Bevis av Prop. 10.6. Om ger substitution av X med a följande: f = q p a + r f(a) = q(a) p a (a) + r(a) = r(a), dvs. vår avbildning K m K[a] är surjektiv. Anta nu att man har två sådana uttryck med samma värde med andra ord för c 1 + c 2 a +... + c m a m 1 = c 1 + c 2 a +... + c m a m 1, f(a) = 0 f = ( c 1 c 1 ) + ( c 2 c 2 )X +... + ( c m c m )X m 1. Således p a f, men eftersom deg(p a ) = m > deg f, innebär detta f = 0 resp. c µ = c µ för µ = 1,.., m. Corollary 10.8. Låt S, T vara K-algebror, a S och b T med p a = p b. Då definierar Ψ := Φ b (Φ a ) 1 : K[a] K m K[b] en ringisomorfism som avbildar a till b; den är en del till det kommutativa diagrammet Ψ K[a] K[b]. K id K 44

Proof. Vi har pga. f = q p a + r = q p b + r. Φ b (Φ a ) 1 : f(a) = r(a) r(b) = f(b) Remark 10.9. För nyfikna en liten utblick på Galoisteorin: Det kan ju tänkas att minimalpolynomet p a har fler nollställen i K[a] än bara själva a S. Om b K[a] är ett sådant, så finns det alltså en ringautomorfism σ : K[a] T.ex. om a = d, ta b = d, och = K[b] = K[a], a b, σ K = id K. σ(x + y d) = x y d blir konjugationen. En annan sådan utvidgning, där deg p a = 3, presenteras i Ex.10.15.2. I Galoisteorin konstruerar man, givet ett polynom f K[X], en kroppsutvidgning L K, en sammansättning av ändligt många enkla utvidgningar, sådant att f K[X] blir en produkt av linjära polynom i L[X] K[X] om man väljer L minimal, så kallas L rotkroppen till f. Det man undersöker är denna utvidgningens automorfismer, dvs. ringautomorfismer σ : L L, som gör övre delen till diagrammet K L N(f) id σ σ K L N(f). kommutativ. Automorfismerna kan sammansättas och inverteras - de utgör utvidgningens Galoisgrupp. För x L har vi f(σ(x)) = σ(f(x)), eftersom f K[X]; i synnerhet gäller σ(n(f)) = N(f) för nollställemängden N(f) := {a L; f(a) = 0}. Ifall polynomet f har bara enkla nollställen, kan vi faktiskt identifiera automorfismer till utvidgningen L K med deras restriktion på N(f) L och 45

på det här sättet var det Galois själv har formulerat sin teori: Vid den tiden fanns inte än ringar, homomorfismer och liknande saker. I själva verket är L K ofta själv en enkel utvidgning, t.ex. är det alltid så, om char(k) = 0 eller K = F är en ändlig kropp, men för beräkningar spelar det inte någon stor roll. Corollary 10.10. Antalet element i en ändlig kropp F är en primtalspotens: med p = char(f). F = p m Proof. Ta en primitiv rot a F och låt m = deg(p a ), där p a Z p [X] är minimalpolynomet till a över Z p. Sedan gäller F = Z p [a] = Z p + Z p a +... + Z p a m 1 och således Z p [a] = Z p m = p m. Men nu vill vi veta när K[a] är en kropp. Vi behöver Definition 10.11. Låt K vara en kropp. irreducibelt, om det inte kan faktoriseras Ett polynom f K[X] kallas f = gh med icke-konstanta polynom g, h K[X]. Man säger också att f är irreducibelt över K. Example 10.12. 1. Ett kvadratiskt eller kubiskt polynom f K[X] är irreducibelt omm f inte har något nollställe i K, eftersom i en eventuell faktorisering måste en av faktorerna vara linjär. 2. Polynomet X 2 + 1 R[X] är irreducibelt, men inte X 2 + 1 = (X i)(x + i) C[X]. 46

3. De enda normerade irreducibla polynomen f C[X] är de linjära polynomen f = X a, a C. Se Algebrans fundamentalsats Th.12.3. 4. Polynomet X 3 2 Q[X] är irreducibelt, eftersom det saknar rationella nollställen. 5. Alla rationella nollställen till ett polynom f = X n + n 1 ν=0 a νx ν Z[X] är heltal, i själva verket är de delare till den konstanta termen a 0 Z. Om nämligen f( p ) = 0 med sgd(p, q) = 0, q > 0, så har vi q p n = q ( n 1 ) a ν p ν q n ν 1, ν=0 men q p n innebär q = 1. Och a 0 = p ( p n 1 n 1 ν=1 a νp ν 1) är delbart med p. 6. Polynomet X 3 3X + 1 Q[X] är irreducibelt, eftersom det inte har några rationella nollställen pga. f(±1) 0. 7. Om f(a) = 0 med ett normerat irreducibelt polynom f, så gäller redan p a = f. 8. För ett primtal p är polynomet f = X p 1 +X p 2 +...+X+1 irreducibelt över Q. Bevis: Inlämningsuppgift. Theorem 10.13. För ett element a S i en K-algebra S, sådant att m a {0}, är följande påståenden ekvivalenta: 1. Ringen K[a] är en kropp. 2. Ringen K[a] är ett integritetsområde. 3. Minimalpolynomet p a K[X] till a S är irreducibelt. Proof. 1) = 2) : Självklart! 2) = 3) : Om p a är reducibelt (=icke-irreducibelt), dvs. p a = fg, så har K[a] nolldelare: 0 = p a (a) = f(a)g(a) med f(a) 0 g(a), eftersom p a varken delar f eller g. 47

3) = 1) : Anta f(a) 0 för f K[X]. Betrakta idealet K[X]f + K[X]p a = K[X]g med ett normerat polynom g K[X]. Polynomet g delar det irreducibla polynomet p a ; således g = p a eller g = 1. Men g delar också f och f(a) 0, så nödvändigtvis g = 1. Det finns alltså polynom h, q K[X] med 1 = hf + q p a resp. 1 = h(a)f(a) + q(a)p a (a) = h(a)f(a). Corollary 10.14. Om a S K med ett integritetsområde S, så är antingen 1. K[a] = K[X] motsvarande m a = {0}, eller 2. K[a] är en kropp motsvarande m a {0}. Example 10.15. Vi presenterar två komplexa tal a C Q med deg p a = 3, där utvidgningarna skiljer sig i en intressant detalj. Q[a] = Q + Qa + Qa 2 R 1. Låt a = 3 2 R. Sedan har minimalpolynomet p a = X 3 2, talet a som det enda nollstället i Q[a] R, de andra två, εa, ε 2 a C, är ju inte reella tal! Här är ε := 1 2 ( 1 + i 3) tredje enhetsroten. 2. Det finns ett reellt tal a R med p a = X 3 3X + 1. Polynomet är irreducibelt och har som polynom av udda grad (minst) ett reellt nollställe a R (pga. satsen om de inklämda värdena - inklämda mellan och ). Men nu finns det ett nollställe till i Q[a], nämligen b := a 2 2 a och en tredje också! Kolla det! 48

Theorem 10.16 (Aritmetikens fundamentalsats för polynom). Låt K vara en kropp. 1. För ett irreducibelt polynom p K[X] gäller för g, h K[X]. p gh = p g p h. 2. Varje normerat polynom f K[X] kan faktoriseras f = p 1... p r, som produkt av irreducibla normerade polynom. Faktorerna är entydiga så när som på omkastning. Theorem 10.17. Låt F Z p och L Z p vara ändliga kroppar. Om F = L, gäller redan F = L. Proof. Låt q = F = L. Ta en primitiv rot för a L. Polynomet X q X Z p [X] annullerar hela L, således gäller p a X q X. Men X q X = c F(X c), så det finns b F med p a (b) = 0. Det följer p b = p a och L = K[a] = K[b] = F, där inklusionen K[b] F faktiskt är en likhet pga. K[b] = q = F. 11 Faktorringar Till sist kommer vi fram till ett slags sensmoral: För att skapa enkla utvidgningar till en given kropp K har vi använt oss av en K-algebra S som ett slags universum, plockat fram ett element a S och studerat den kommutativa delringen K[a] S bestående av alla polynom g(a) = n c ν a ν ν=0 49

i a med koefficienter c 0,..., c n K. Skillnaden till själva polynomringen K[X] är att det kan finnas relationer, dvs. g(a) = 0 kan gälla utan att vi har 0 = g K[X]. Jämförelsen av K[a] och K[X] görs med hjälp av substitutionshomomorfismen, den lägre homomorfismen i diagrammet K S K[X] K[a] n ν=0 c νx ν =: g g(a) := n ν=0 c νa ν. I allmänhet är den inte injektiv, dvs. g(a) = 0 innebär inte g = 0. I så fall är dess kärna ett principalideal, som genereras av minimalpolynomet p a K[X], dvs. vi har g(a) = 0 p a g. Med andra ord: Allting är kodat i polynomet p a. Vi kan precisera detta resonemang med hjälp av ett nytt begrepp: Definition 11.1. Låt R vara en kommutativ ring och a R ett ideal. 1. En restklass mod a är en mängd x + a := {x + a; a a}. 2. Mängden R/a := {x + a; x R} av alla restklasser mod idealet a utrustas med två operationer (a) additionen R/a R/a R/a (x + a, y + a) (x + a) + (y + a) = (x + y) + a, som är den elementvisa summan av de två restklasserna x + a och y + a, och 50