U.U.D.M. Project Report 2016:12 Ändliga kroppar Anna Boman Examensarbete i matematik, 15 hp Handledare: Gunnar Berg Examinator: Veronica Crispin Quinonez Juni 2016 Department of Mathematics Uppsala University
1. BAKGRUND... 3 1.1 ABSTRAKTA ALGEBRANS FRAMVÄXT... 3 2. BEGREPP OCH DEFINITIONER... 3 2.1GRUPP... 3 2.1.1 Cyklisk grupp... 4 2.2 RING... 4 2.3 KROPP... 6 2.4 KONGRUENSRÄKNING OCH RINGEN Z N... 6 2.5 ANTAL MULTIPLIKATIVA INVERSER... 8 2.6 ÄNDLIGA KROPPEN Zp... 9 3. POLYNOM OCH IRREDUCIBILITET... 9 3.1 POLYNOMRINGAR... 9 3.2 IRREDUCIBLA POLYNOM... 9 3.3 KONGRUENSKLASSER OCH MODULORÄKNING MED POLYNOM... 10 3.4 VIKTEN AV IRREDUCIBILITETEN... 11 Slutsats... 13 4. HOMOMORFI OCH ISOMORFI... 13 4.1 HOMOMORFI... 13 4.2 ISOMORFI... 14 5. KONSTRUKTION AV ÄNDLIGA KROPPAR... 15 5.1 PRIMITIVT ELEMENT... 16 5.2 ÄNDLIGA KROPPEN MED pn ELEMENT... 17 5.3 EXISTENSEN AV IRREDUCIBLA POLYNOM... 19 5.4 SLUTSATSER... 20 6. TILLÄMPNINGAR... 21 6.1 EKVATIONSLÖSNING... 21 6.2 KODNING... 21 7. AVSLUTNING... 23 7.1 GALOISKROPPEN, GF(pn)... 23 REFERENSLISTA... 25 TRYCKTA KÄLLOR... 25 ELEKTRONISKA KÄLLOR... 25
ÄNDLIGA KROPPAR Kropp är ett begrepp som betecknar ett system som äger en viss fullständighet, fullkomlighet och slutenhet, varigenom det framträder som ett organiskt helt, som en naturlig enhet. Richard Dedekind
1. Bakgrund 1.1 Abstrakta algebrans framväxt Under 1700-talet var de flesta verksamma matematiker intresserade av lösbarheten för polynomekvationer. Man hade sedan länge räknat ut hur man med hjälp av radikaler kunde lösa en polynomekvation av andra graden och så småningom hittades även lösningen till tredje och fjärdegradsekvationen. Frågan om hur lösningsmetoden för ekvationer av högre grad skulle kunna se ut var något som många matematiker intresserade sig för. Under 1800-talets början var den norske matematikern Niels Henrik Abel fast besluten att hitta lösningen till femtegradsekvationen, emellertid lyckades han istället bevisa det faktum att den var omöjlig att lösa med hjälp av radikaler. Trots detta besked fanns dock frågan kvar: vilka ekvationer går att lösa med hjälp av radikaler och varför? Via Lagrange och Galois ledde denna fråga fram till det vi idag kallar för abstrakt algebra. Gauss var först med att introducera de bakomliggande strukturerna för så kallad moduloräkning och ekvivalensklasser medan Galois byggde vidare på detta vilket ledde fram till det vi idag kallar för ändliga kroppar 1, eller Galoiskroppar. Syftet med denna uppsats är att visa hur dessa ändliga kroppar ser ut i deras algebraiska struktur samt visa hur vi kan konstruera en ändlig kropp. Vidare kommer tillämpningar av dessa diskuteras och några tillämpningar exemplifieras i detalj. 2. Begrepp och definitioner 2.1Grupp För att vi vidare i texten ska kunna tala om kroppar behöver vi förstå den algebraiska strukturen av en kropp och för att kunna göra det behöver vi börja med att definiera begreppet grupp. Definition 1 En mängd G med en binär operation * G, kallas för grupp om mängden G är sluten under operationen * samt om följande 3 egenskaper är uppfyllda: i) * är associativ dvs. a b c = a b c ii) Det finns ett identitetselement e G så att: 1 Hunger Parshall, Karen. The Development of Abstract Algebra (kapitel 2.3).2008, 101-102.
a e = e a = a iii) För varje a G existerar en invers a!! G så att: a a!! = a!! a = e. Om gruppen dessutom uppfyller följande krav har vi att göra med en kommutativ (eller abelsk) grupp: 2 iv) För alla a, b G så: a b = b a (kommutativitet) 2.1.1 Cyklisk grupp En speciell typ av grupper är de cykliska grupperna. En cyklisk grupp är en grupp i vilken alla element genereras av ett enskilt element. Antag att för den multiplikativa gruppen G har vi ett element a G så att för varje b G finns något heltal j så att b = a!. Detta element a kallas för generator för den cykliska gruppen G och vi skriver G = a. Det kan självklart finnas mer än ett element i en grupp som fungerar som generator. 3 Exempel Ett av de enklaste exemplen är heltalen Z tillsammans med den binära operationen addition +, det vill säga gruppen Z, +. Generator i denna grupp är talet 1, i och med att alla tal går att få genom addition av ettor på följande vis 2.2 Ring 1 = 1 2 = 1 + 1 3 = 1 + 1 + 1 Om vi sedan går vidare och studerar ytterligare en algebraisk struktur kallad ring definieras den på följande sätt: Definition 2 En mängd R tillsammans med två binära operationer + och som vi kallar addition och multiplikation, (R, +, ) kallas för ring om de två binära operationerna har följande egenskaper: 4 2 Lidl Rudolf, Niederreiter Harald. Encyclopedia of Mathematics and its Applications: Finite Fields. 1997,2. 3 Lidl, Niederreiter,3. 4 Böiers, Lars Christer. Diskret matematik.2003,134.
i) a + b = b + a för alla a, b R ii) iii) iv) a + b + c = a + b + c för alla a, b, c R det finns ett element z i R med egenskapen a + z = a och z + a = a för alla a R till varje element a R finns ett element a! i R så att a + a! = z och a! + a = z v) a b c = a b c för alla a, b, c R vi) a b + c = a b + a c för alla a, b, c R b + c a = b a + c a för alla a, b, c R Det är viktigt att inse att trots att vi kallar de ovan nämnda operationerna för addition och multiplikation kan vi ej anta att det handlar om de vanliga räkneoperationerna för hela tal som vi arbetar med utan vi måste i varje enskilt fall undersöka dess egenskaper vid beräkningar inom en viss ring. Vidare är en ring (R, +, ) kommutativ då multiplikationen är kommutativ, det vill säga då a b = b a för alla a, b R Definition 3 Ett element a z i en ring (R, +, ) kallas en äkta nolldelare om det finns ett element b z i R sådant att: 5 a b = z eller b a = z En ring som saknar äkta nolldelare kallar vi nolldelarfri, och detta inträffar precis när: a b = z a = z eller b = z Definition 4 Ett element u i en ring (R, +, ) kallas för enhetselementet om: 6 a u = a och u a = a för alla a R En ring med ett sådant element kallas för en ring med enhetselement. Slutligen är en sista mycket viktig egenskap för en ring huruvida den innehåller multiplikativa inverser till dess element eller ej 5 Böiers, 137. 6 Böiers, 138.
Definition 5 Ett element a i en ring (R, +, ) med etta kallas inverterbart om det finns ett annat element b R så att a b = u och b a = u Elementet b kallas då för en multiplikativ invers till a. Exempel Ett tydligt och enkelt exempel på vad som menas med multiplikativ invers kan ses om vi tittar på ringen (Q, +, ). Enhetselementet u är i detta fall 1 och den multiplikativa inversen b ges av!! på följande vis: a!! = 1. 2.3 Kropp Vi har nu kommit fram till det begrepp som kommer vara centralt för resten av denna text, nämligen begreppet kropp. Av de definitioner som vi sett ovan kan vi nu definiera en kropp som: Definition 6 En kropp är en kommutativ ring med ett enhetselement i vilken varje element förutom noll är inverterbart. 7 Exempel Några av de vanligaste kropparna är Q, R och C. Tittar vi på de rationella talen Q, det vill säga alla tal som kan skrivas på formen! för a, b Z kan vi intuitivt! inse att kraven för att de ska vara en ring är uppfyllda. Vidare så är enhetselementet talet 1 och den multiplikativa inversen ges av! ty!! = 1.!!! Det vill säga: en kropp är en mängd F på vilken vi definierar två binära operationer +, som vi kallar addition och multiplikation. En kropp har också två viktiga element nämligen nollan och enhetselementet. 8 2.4 Kongruensräkning och ringen Zn Det är av yttersta vikt för förståelsen samt konstruktionen av ändliga kroppar att vi definierar och exemplifierar begreppet kongruensräkning. 7 Böiers, 147. 8 Lidl, Niederreiter,12.
Definition 7 Vi säger att för två godtyckliga heltal a,b samt ett positivt heltal n, är a kongruent med b modulo n om: n (a b) Vi skriver a b mod n vilket innebär att a är kongruent med b när de ger samma rest vid division med n. 9 Det är givet att kongruens modulo n är en ekvivalensrelation där ekvivalensklasserna bildas av de rester som ges vid division med just n på följande vis: a = a + kn; k Z Enligt divisionsalgoritmen kan vi skriva varje heltal m entydigt som m = qn + r, där 0 r n 1 I varje ekvivalensklass kan vi sedan välja en representant r i intervallet 0 r n 1 och denna representant får då representera ekvivalensklassen i fråga. Ekvivalensklasserna blir därför n stycken. I fortsättningen vill vi använda oss av just kongruensräkning modulo n för att bygga vidare på vår förståelse av kroppar. Vi inför mängden Z! som ska tolkas som mängden av ekvivalensklasser som genereras av relationen kongruens modulo n, dvs. Z! = 0, 1, 2,, n 1 Två binära operationer införs sedan på Z! som betecknas och, vilka definieras på följande sätt: 10 a b = a + b samt a b = a b Att (Z!,, ) är en ring och dessutom en kommutativ ring med enhetselement inses relativt enkelt ty räknelagarna följer samma regler som för hela tal, vi kan till exempel se att den kommutativa lagen för addition gäller: a b = a + b = b + a = b a Och de övriga lagarna kan härledas på samma sätt. Vidare så är nollan i ringen Z! elementet som ges av restklassen z = 0 och enhetselementet av u = 1. För att enkelt tydliggöra och exemplifiera hur additionen och multiplikationen beter sig i Z! görs så kallade Cayley tabeller där vi väljer ett godtyckligt n och undersöker 9 Lidl, Niederreiter, 4. 10 Böiers, 153.
hur de binära operationerna beter sig. 11 I följande exempel undersöker vi addition och multiplikation för ringen Z! 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 4 1 1 2 3 4 0 2 2 3 4 0 1 3 3 4 0 1 2 4 4 0 1 2 3 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 2 0 2 4 1 3 3 0 3 1 4 2 4 0 4 3 2 1 Det blir nu uppenbart att ringen Z! i själva verket är en kropp ty varje element utom 0 har en multiplikativ invers samt att vi har ett enhetselement. Och från detta exempel kan denna fundamentala slutsats dras: Sats 1 Z! är en kropp om och endast om n är ett primtal. Bevis Antag att n är ett primtal och låt a vara ett heltal med 0 < a < n, så att a inte är nollelementet i Z!. Eftersom att n är ett primtal är a och n relativt prima. Det följer nu direkt ur Euklides algoritm att a är inverterbart. Alla element utom noll i Z! är därför inverterbara vilket innebär att Z! är en kropp. Antag istället att n ej är ett primtal det innebär att vi kan faktorisera n = m! m! med 1 < m!, m! < n. Här är m! 0, m! 0 medan m! m! = m! m! = n = 0 = z. Detta innebär alltså att ringen har nolldelare och är därmed ingen kropp. 12 2.5 Antal multiplikativa inverser Från satsen och exemplet ovan har vi konstaterat att Z! är en kropp i de fall där n = p = primtal. Vidare är kravet för att en mängd tillsammans med två binära operationer ska vara en kropp att alla element förutom 0 ska ha en multiplikativ invers. Vid undersökning av multiplikationen för Z! kan följande sats formuleras 11 Lidl, Niederreiter, 5. 12 Biggs, N.L. Discrete Mathematics. 1985, 346.
Sats 2 Låt a i Z! vara ett element skilt från 0. Då gäller att a har en multiplikativ invers om och endast om (a, n) = 1. 13 2.6 Ändliga kroppen Z p Sammanfattningsvis har vi funnit att mängden Z! är en kropp om och endast om n är ett primtal. Vi inför notationen för dessa kroppar som Z! där p är ett godtyckligt primtal. Dessa kroppar är det första konkreta exemplet på ändliga kroppar, det vill säga kroppar som innehåller ändligt många element. 3. Polynom och irreducibilitet Fram till nu har vi talat om kroppar främst i anslutning till moduloräkning och de olika ekvivalensklasserna som bildar en kropp för de fall där antalet ekvivalensklasser är ett primtal. Vi ska nu vidga vår förståelse för kroppsbegreppet genom att studera polynomringar och irreducibla polynom och på så sätt närma oss själva konstruktionen av en ändlig kropp 3.1 Polynomringar För en kropp F där nollan betecknas som 0 och enhetselementet som 1 skrivs ett formellt uttryck på formen: f x = a! + a! x + a! x! + + a! x!, i det fall då koefficienterna a! tillhör den ovan nämna kroppen F och där x är en obestämd kallas detta för ett polynom över F. Att x är obestämd betyder att x inte ligger i F samt att x ej har någon relation till F:s element. Vidare så säger man att f är moniskt i det fall då a! = 1. Det finns också det speciella fall där alla koefficienter är noll, och detta benämns som nollpolynomet. 14 3.2 Irreducibla polynom Vi ska nu se att för polynomkroppar har de så kallade irreducibla polynomen, precis som primtalen i föregående del, har stor betydelse för konstruktionen av ändliga kroppar 13 Böiers, 156. 14 Ibid, 299-300.
Exempel Om vi tittar på polynomen över kroppen Z! inser vi att de enda existerande koefficienterna är 0 och 1. Om vi sedan konstruerar de möjliga andragradspolynomen med hjälp av dessa koefficienter får vi dessa 4 polynom över Z! x!, x! + x, x! + 1, x! + x + 1 För att två polynom g(x) och f(x) ska dela varandra måste det finnas ett tredje polynom k(x) så att f x = k(x) g(x) och det skrivs som g(x) f(x). Polynom som ej är konstanta eller en konstant gånger polynomet självt kallas för äkta delare. Att ett polynom är irreducibelt innebär att det saknar äkta delare. Vi ser i exemplet ovan att de två första polynomen har x som en gemensam faktor och vi säger att de är reducibla det vill säga att de går att faktorisera. Även det tredje polynomet är reducibelt i och med att vi kan skriva om på följande sätt x! + 1 = x! 1 = x + 1 x 1 eller x! + 1 = x + 1! = (x + 1) (x + 1). Om vi sedan tittar på det fjärde och sista polynomet inser vi att för att det ska kunna faktoriseras måste det innehålla en förstagradsfaktor vilket enligt faktorsatsen innebär att det finns ett nollställe. I och med att de enda möjliga nollställena är 0 och 1 kan vi testa dem och inser då att ingen av dessa fungerar. Polynomet x! + x + 1 saknar således äkta delare över kroppen Z2 och vi säger då att det är ett irreducibelt polynom. 15 Om vi istället undersöker tredjegradspolynom över Z2 kan vi direkt säga att i alla de fall där konstanttermen är 0 så innehåller polynomet en faktor x och polynomet är då reducibelt. De polynom som bildas då konstanttermen är 1 blir x! + 1, x! + x! + 1, x! + x + 1, x! + x! + x + 1 Det första och det sista polynomet har nollstället 1 vilket innebär att de innehåller faktorn (x 1) och är således reducibla. De två mittersta polynomen har inga nollställen och är därför irreducibla över Z2. Från detta exempel kan vi nu dra den generella slutsatsen att ett polynom av grad 2 och 3 som är reducibelt måste ha ett nollställe. 16 3.3 Kongruensklasser och moduloräkning med polynom Här ska modulobegreppet utvidgas och istället för att räkna med hela tal ska vi se hur kongruens fungerar för polynom. Vi betecknar en kropp som F och ringen av alla polynom med en obestämd x men med koefficienter i F betecknas F x. Vidare är m(x) ett fixt icke-konstant polynom som ligger i F x. Att räkna 15 Böiers, 304-305. 16 Ibid, 305.
modulo med polynom istället för med hela tal visar sig bygga på samma tankegång på följande sätt Definition 8 Vi säger att två polynom f x och g(x) är kongruenta modulo m(x) om m x f x g(x) och detta skrivs precis som i fallet med hela tal på följande sätt : f x g x, mod m(x). Alltså, vid division av f(x) och g(x) med m x fås samma rest. Ekvivalensklasserna betecknas som f(x) och om vi antar att graden av m x = n 1 så ges av divisionsalgoritmen att till varje f kan vi entydigt bestämma två polynom q och r så att f x = q x m x + r(x) där grad r < n eller r = 0. Varje ekvivalensklass innehåller således exakt ett polynom av grad r av grad < n och därför kan klasserna betecknas som a! + a! x + a! x! + + a!!! x (!!!), där a! F I de fall där F är ändlig, det vill säga att F innehåller en ändlig mängd element q betecknas detta som F = q och i dessa fall finns just q alternativ för koefficienterna a!. Vidare så ges av multiplikationsprincipen att det då finns q! ekvivalensklasser. Två binära operationer + och införs på ekvivalensklasserna och definieras på följande sätt: f(x) + g(x) = f x + g(x) f(x) g x = f(x) g(x) Tillsammans med räkneoperationerna bildar ekvivalensklasserna modulo m(x) en kommutativ ring med enhetselement. Denna ring betecknar vi F! x / (m x ) och kallar denna ring för kvotring. Från ovan har vi sett att om F = q och grad m x = n så är F x /(m x ) = q!. 3.4 Vikten av irreducibiliteten Det visar sig att de irreducibla polynomen spelar stor roll för huruvida ringen F! x /(m x ) är en kropp eller ej, här kan självklart paralleller dras till vikten av att primtalen: Sats 3 Ringen F! x /(m x ) är en kropp om och endast om polynomet m(x) är irreducibelt över F.
Bevis För att F x /(m x ) ska vara en kropp måste alla krav för detta vara uppfyllda. Ovan har vi visat att ekvivalensklasserna bildar en ring samt att multiplikationen är kommutativ, det krav som blir svårt att visa är att varje ekvivalensklass förutom 0 har en multiplikativ invers och för att detta krav ska vara uppfyllt måste m(x) vara irreducibelt. Detta krav inses i och med att om vi antar att m(x) vore reducibelt skulle det kunna skrivas som: m x = f(x) g(x) där grad f < grad m, grad g < grad m. Detta innebär att f(x) 0, g(x) 0 men 0 = f(x) g(x) och ringen innehåller således nolldelare och är därmed ingen kropp. 17 För att visa tillräckligheten av villkoret på m(x) använder vi Euklides algoritm och säger att det finns polynom q x och k x så att p x q x + k x m x = 1 Med tanke på att vi räknar med ekvivalensklasser inser vi att m(x) = 0, och vi får att p(x) q x = 1 det vill säga att polynomet p(x) och då också ekvivalensklassen p(x) har den multiplikativa inversen q(x). 18 Exempel: För polynomet m x = x! + 4x + 2 är de enda möjligheterna till rationellt nollställe ±1 och ± 2. Emellertid visar insättning av dessa att de inte duger vilket innebär att polynomet m(x) är irreducibelt över Q. Bestäm inversen till x! + x i kroppen Q x /(m x ). Lösning: Med hjälp av Euklides algoritm på polynomen m x och x! + x fås: x! + 4x + 2 = x 1 x! + x + 5x + 2 x! + x = 1 5 x + 3 25 5x + 2 6 25 Ur detta kan vi sedan utläsa att 5x + 2 = 25 6 5x + 2 6 25 6 25 = 1 5 x + 3 25 5x + 2 x! + x = = 1 5 x + 3 25 m x x 1 x! + x x! + x = 17 Böiers, 311. 18 Biggs, 349.
= 1 5 x! + 2 22 x 25 25 x! + x + 1 5 x + 3 25 m x. Multiplikation med!"! ger 1 25 6 1 5 x! + 2 22 x 25 25 x! + x = 5 6 x! + 1 3 x 11 3 x! + x mod m(x) det vill säga 1 = 5 6 x! + 1 3 x 11 3 x! + x och den multiplikativa inversen till x! + x är således!! x! +!!! x.!! Slutsats I och med denna sats kan vi konstatera att för att kunna konstruera en kropp av grad p! behöver vi enbart hitta ett irreducibelt polynom av grad n i F! x. Detta är alltid möjligt vilket vi ska bevisa i kommande del av uppsatsen men nu kan vi konstatera att: 19 i) För varje primtal p och positivt heltal n finns en kropp med q = p! element. ii) Varje ändlig kropp har p! element för något primtal p och något positivt heltal n. iii) Två ändliga kroppar med samma antal element är isomorfa. I kommande del av denna uppsats ska vi undersöka dessa 3 konstateranden och titta närmare på hur konstruktionen av en ändlig kropp går till. 4. Homomorfi och isomorfi För vidare i uppsatsen kunna jämföra algebraiska strukturer med varandra behöver vi definiera begreppen homomorfi och isomorfi. 4.1 Homomorfi En avbildning f: G H av en grupp G till gruppen H kallas för en homomorfi av G på H om f bevarar operationen på G. Det vill säga att för G, och H, så för alla a, b G fås att f a b = f a f b 20. 19 Böiers, 312. 20 Lidl, Niederreiter, 8.
Exempel För avbildningen f från Z, + dvs heltalen tillsammans med operationen addition, till Z n, + dvs heltalen modulo n och addition som definieras f a = a ges att f a + b = a + b = a + b = f a + f b för a, b Z Detta innebär att f är en homomorfi. 4.2 Isomorfi En homomorfi som också är en bijektion sägs vara en isomorfi. För två ringar R, +, och (S,, ) säger man att de är isomorfa om det finns en homomorfi f som också är en bijektion. 21 Exempel För ringarna (R, +, ) där R är de reella talen R tillsammans med de vanliga räkneoperationerna addition och multiplikation, och (S,, ) där S är R! tillsammans med operationerna och som definieras på följande sätt a b = a b! a b = a!"#$ funktionen f: R R! definieras som f x = 2! och att den är bijektiv är klart. Uppfyller den dessutom kraven för homomorfi vet vi att ringarna R och S är isomorfa. För de binära operationerna fås f a + b = 2!!! = 2! 2! = f a f b f a b = 2!" = 2!!"#!!!!"#!!!!"#$!!!"#$! = 2 = f a f b Bevisligen har vi homomorfi som också är bijektiv vilket betyder att ringarna R och S är isomorfa. 21 Böiers, 169.
5. Konstruktion av ändliga kroppar Vi ska nu gå vidare med teorin bakom hur man kan konstruera ändliga kroppar utifrån mängder och irreducibla polynom. För att kunna göra detta behöver vi bevisa en rad satser som ligger bakom tillvägagångssättet för konstruktionen. Sats 4 Om F är en ändlig kropp av karakteristik p så är dess additiva grupp isomorf med Z!!, det vill säga produkten av n kopior av Z!. En konsekvens av detta är att F = p! för något n 1. 22 Bevis Givet något element f 0 i F och något positivt heltal r så finns ett element rf = 1 + 1 + + 1 f = f + f + + f i F, där det är r termer i summan. Dessa element utgör den cykliska delgruppen f av den additiva gruppen av F. Eftersom att p = 0 i F blir de enda relevanta värdena av r 0, 1, 2,, p 1och vi kan tänka oss r som ett element i Z!. Låt oss sedan säga att delmängden f!, f!,, f! av F genererar F om alla element i F kan skrivas på formen f = r! f! + r! f! + + r! f! (r!, r!,, r! Z! ) Sådana mängder existerar säkerligen eftersom att hela F är en av dem. Antag att f!, f!,, f! genererar F och ingen annan av dessa f!, f!,, f! äkta delmängder gör det. Då är alla av de p! uttrycken r! f! + r! f! + + r! f! (r!, r!,, r! Z! ) element i F, och varje element i F motsvaras av ett sådant uttryck. Om två olika uttryck representerar samma term i F, låt säga r! f! + r! f! + + r! f! = p! f! + p! f! + + p! f! då kan vi välja det första indexet i så att r! p! och skriva om ekvationen på följande form (r! p! )f! = (p!!! r!!! )f!!! + + (p! r! )f!. 22 Biggs, 346.
Eftersom att r! p! 0 har den en invers i Z!. Vid multiplikation med (r! p! )!! får vi ett uttryck för f! i termer av f!!!,, f!. Alltså kan f! eliminineras från den genererande mängden, i motsättning till antagandet att ingen delmängd f!, f!,, f! genererar F. Vi konstaterar att det finns en bijektion i vilken elementen i F motsvaras av k-tiplarna r!, r!,, r! av elementen i Z!. Eftersom att addition i F motsvaras av addition av k-tiplar, är bijektionen i själva verket en isomorfi av den additiva gruppen av F med den direkta produkten av n kopior! av Z! det vill säga Z!. Sats 5 Om F är en ändlig kropp så är dess multiplikativa grupp cyklisk. Bevis Låt F vara en kropp av ordning q och låt F beteckna dess multiplikativa grupp F\ 0. Om N är den maximala ordningen för ett element i F följer det av allmänna lagar inom teorin för ändliga abelska grupper att alla ordningar av element delar den högsta ordningen av element så att för varje f F uppfylles kravet f! = 1. Därav följer också att alla tal i F är rötter till x! 1. Antalet rötter till ett polynom i en kropp är som mest graden av polynomet och x! 1 har q 1 rötter i F så q 1 N. Eftersom att N är ordningen av ett element i F, vilken är en grupp av ordning q 1 följer det av Lagranges sats att N (q 1) så N q 1 och därav är N = q 1. Det finns alltså element i F med grad q 1 vilket betyder att F är cyklisk. Vi kan nu dra slutsatsen att både den additiva gruppen samt den multiplikativa gruppen av en ändlig kropp är cykliska. 5.1 Primitivt element Att en grupp är cyklisk innebär som tidigare nämnts att alla element i gruppen kan skrivas som en multipel av ett enda element. För en kropp kallas detta element för ett primitivt element till F. Om a 0 är ett element i Z! så betecknar vi med ο(a) det minsta positiva heltalet x som har egenskapen a! = 1. Detta tal x kallas för ordningen av a i Z!. Exempel Om vi tittar på den ändliga kroppen F! och dess multiplikativa grupp. För att hitta dess primitiva element undersöker vi olika tal som ingår i kroppen. Vi börjar med att undersöka talet 2 och kommer ihåg att vi hela tiden räknar med modulo 7, vi får 2! = 2, 2! = 4, 2! = 1
Alltså, elementet 2 är inte det primitiva elementet i den multiplikativa gruppen tillhörande F! i och med att vi enbart får elementen 2, 4 och 1. Däremot så är ordningen för 2 i F! 3 i och med att 2! = 1. Om vi istället undersöker talet 3 får vi 3! = 3, 3! = 2, 3! = 6, 3! = 4, 3! = 5, 3! = 1 Vi kan då konstatera att talet 3 faktiskt är det primitiva elementet för denna multiplikativa grupp samt att ordningen är 6. 5.2 Ändliga kroppen med p n element Vi har konstaterat att för att kunna konstruera en ändlig kropp med p! element behöver vi bara finna ett irreducibelt polynom av grad n i F x. Men än vet vi inte att sådana polynom existerar för varje värde på p och n. 23 Vi ska nu se att det går att beskriva varje ändlig kropp som ett splittringskropp av ett polynom som endast beror på storleken av kroppen. 24 Vidare ska vi bevisa att det finns ett moniskt irreducibelt polynom för varje p och varje n. Sats 6 För ett primtal p och ett moniskt irreducibelt polynom m(x) i F! x av grad n så är ringen F! x /(m x ) en kropp med p! element. 25 Bevis Sidoklasserna modulo m(x) representeras av restklasserna c! + c! x + c! x! + + c!!! x!!!, c! F och det finns således p! av dessa. Eftersom att modulo m(x) är irreducibelt är ringen F! /(m x ) en kropp av samma anledning som att Z! är en kropp då n är ett primtal vilket vi bevisat ovan. För att kunna gå vidare med uppsatsen bör vi definiera två begrepp: utvidgningskropp samt splittringskropp. Definition 9 Låt F vara en kropp. En delmängd K av F som själv är en kropp under operationerna som tillhör F kallas då för underkropp till F. I denna kontext kallas också F för en utvidgningskropp till K. 23 Biggs, 349. 24 Conrad, Keith. Finite Fields,3. 25 Conrad, 1.
Definition 10 Låt f K vara av positiv grad och F vara en utvidgningskropp till K. Vi säger då att f splittas i F om f kan skrivas som en produkt av linjära faktorer i F x. Alltså, om det finns element α!, α!,, α! F så att f x = a x α! x α! x α!, där a är koefficienten framför termen med högst grad i f. Kroppen F är en splittringskropp av f över K om f splittas i F och vidare om F = K(α!, α!,, α! ). En splittringskropp F av f över K innehållande alla rötter av f. är med andra ord den minsta kropp Exempel Om vi tittar på ekvationen x! 2 = 0 så är denna olösbar i Q. Om vi däremot betraktar mängden Q( 2) = a + b 2; a, b Q, som är en utvidgningskropp till Q, så har vi x! 2 = (x 2)(x + 2) och vi har konstruerat en splittringskropp till x! 2. Sats 7 För varje primtal p och varje positivt heltal n finns en ändlig kropp med p! element. Bevis Vi börjar med beviset för att det finns en ändlig kropp med q = p! för alla p och n. Betrakta x! x i F! x och låt F vara dess splittringskropp över F!. Allmänna resultat om kroppar ger existensen av F. Detta polynom har q distinkta rötter i F eftersom dess derivata är qx!!! 1 = 1 i F! x och kan alltså inte ha någon gemensam rot med x! x. Låt sedan S = a F: a! a = 0. Då är S en underkropp till F eftersom 1. S innehåller 0 och 1 2. a, b S implicerar att a b! = a! b! = a b så a b S. Om vi först antar att q = p är ett udda primtal. Ger binomialutveckling a b! = a! +!! a!!! b +!! a!!! b! + +!!!! a b! + b!.!! Alla är heltal och delbara med p eftersom att p finns i täljaren men ej i nämnaren. I F! blir alla alltså noll och a b! = a! + b! = a! b! om p är ett udda primtal. Beviset för q = p! är analogt med detta.
3. För a, b S och b 0 fås att ab!!! = a! b!! = ab!! S. Lemma Varje kropp F av ordning p! är en splittringskropp till x!! x. Bevis Vi vet av sats 5 att F = F 0 är en multiplikativ grupp av ordning p! 1. Detta medför att t 0 uppfyller t!!!! t = 1 det vill säga t!! = t eller t!! t = 0. Följdsats Alla ändliga kroppar med samma antal element är isomorfa. Bevis Detta följer av lemmat ovan samt av att splittringskroppar till ett bestämt polynom över F! är isomorfa. 5.3 Existensen av irreducibla polynom Som tidigare nämnt så kan vi konstruera en ändlig kropp bara vi kan hitta ett moniskt irreducibelt polynom av grad n i F x men hur vet vi att ett sådant polynom finns för alla värden av p och n? Lemma För varje primtal p och något positivt heltal n finns ett moniskt irreducibelt polynom m(x) av grad n i F! x och m(x) kan väljas så att varje nollskilt element av F! /(m x ) är kongruent med en potens av x. 26 Bevis Från sats 7 konstateras att en kropp av grad p! existerar. Vidare så ges av sats 6 att existensen av en kropp av grad p! implicerar existensen av ett moniskt irreducibelt polynom m x i F! x av grad n. Från beviset av sats 6 fås också att x mod m(x) genererar de nollskilda elementen i F! x /(m x ) eftersom att isomorfin identifierar x mod m(x) med en generator för kroppen av grad p!. Exempel Ändliga kroppar av storlek 9 på formen F! x /(m x ) behöver p = 3 och grad m x = 2. De polynom av grad 2 som är moniska och irreducibla i F! x är x! + 1, x! + x + 2 och x! + 2x + 2. För kropparna F! x /(x! + 1) F! x /(x! + x + 2) F! x /(x! + 2x + 2) 26 Conrad, 4.
är x ej generator för de nollskilda elementen i den första kroppen men i den andra och tredje kroppen. Alltså, även fast F! x /(x! + 1) är det enklaste valet av dessa tre exempel är det ej valet som kommer av sats 7 när vi letar efter en modell för kroppar av storlek 9 på formen F! x /(m x ). Det är dock viktigt att inse att det ej finns någon formel för att hitta detta irreducibla polynom för varje grad i F! x. Vi kan till exempel inte generellt använda oss av binomialpolynom på formen x! a eftersom att de är reducibla i de fall där p n. Om vi undersöker polynom med 3 termer för ännu större flexibilitet, får vi polynom på formen x! + ax! + b där a, b F och 0 < k < n. Trots detta kan vi fortfarande inte hitta ett irreducibelt polynom för alla grader, till exempel så finns inga irreducibla polynom med tre termer i F! x av grad 8 eller 13. 27 5.4 Slutsatser I och med de satser och bevis som presenterats här i avsnitt 5 kan vi nu dra följande slutsatser angående de ändliga kropparna 28 1. Varje ändlig kropp har primtalsgrad q = p! 2. Det finns i huvudsak endast en ändlig kropp av storlek q 3. Kroppens additiva grupp är Z!! 4. Kroppens multiplikativa grupp är Z!!!. 27 Conrad, 4. 28 Biggs, 353.
6. Tillämpningar 6.1 Ekvationslösning I den teoretiska framställningen av begreppet kropp som gjorts ovan kan det verka som något mycket abstrakt, emellertid visar det sig att det finns relativt många tillämpningsområden för att studera och förstå sig på dessa algebraiska strukturer. Som nämndes i inledningen så är bakgrunden till själva uppkomsten av dessa (ändliga) kroppar ekvationslösning, eller snarare frågeställningar kring huruvida en ekvation kan ha heltalslösningar. Genom att studera de ändliga kropparna blir svaret på denna fråga relativt enkel. Länge undersökte man lösningar till den diofantiska ekvationen X! + Y! = Z! där n > 2 och X, Y, Z är nollskilda heltal. Fermat kom sedan med antagandet att några lösningar till denna ekvation finns inte. Om vi skriver om ekvationen ovan genom att sätta x =!! och y =!! och sedan dividerar hela ekvationen med Z! fås en ny ekvation nämligen : x! + y! = 1 och att lösa denna är då ekvivalent med att hitta nollskilda rationella tal x och y som gäller för ekvationen ovan. Ekvationen kan ses som en kurva i xy-planet där vi är intresserade av de punkter (x, y) som har nollskilda rationella koordinater och ligger på denna kurva. Givet Fermats antagande förväntar vi oss att inga sådana punkter existerar. De punkter som vi söker kallas Q-punkter där Q betecknar kroppen av rationella tal. Om vi istället skulle titta på lösningar över en annan kropp, en ändlig kropp F!! så vet vi från det vi sett att för ett fixt p! finns endast ett ändligt antal par (x, y) som löser ekvationen. Dessa par kan vi i teorin hitta genom att bara substituera alla p! möjligheter för x och alla p! möjligheter för y och se vilka av dessa som löser ekvationen. Alltså, medan det är svårt att veta hur många Q lösningar som finns till en ekvation så är det lätt att veta hur många F!! lösningar som finns, de är bara att räkna dem. 29 En utav de viktigaste och mest användbara anledningarna till att studera de ändliga kropparna är således att de med fördel kan användas vid ekvationslösning. Exempel Alla ekvationer på formen y = f(x) har p! lösningar (x, y) i F!! eftersom att x kan bli tilldelat ett godtyckligt värde i F!! och då är y unikt bestämt. Alltså, om N!,! betecknar antalet F!! lösningar till ekvationen y = f(x) får vi att 6.2 Kodning N!,! = p!. De ändliga kropparna har också mer praktiska och handfasta tillämpningar inom geometri, kombinatorik, samt kodning och kryptologi. I denna sista del av 29 Koblitz Neal. Why Study Equations over Finite Fields? 1982,144.
uppsatsen är tanken att kort exemplifiera vad kodning är och hur ändliga kroppar används inom detta område. Kodning är något som ursprungligen skapades för att man skulle kunna skicka meddelanden till varandra med så låg felmarginal som möjligt. De senaste decennierna har framstegen inom abstrakt algebra påverkat utvecklingen av just kodning och där har de ändliga kropparna haft stor betydelse. Främst utvecklingen av koder med polynom över F! har spelat stor roll för dagens kodningstekniker. 30 Kodning handlar om att hitta sätt att skicka information över kanaler som ofta har störningar som riskerar att ändra informationen. Man vill därför hitta sätt att skicka informationen samt ta emot denna på ett sätt som reducerar möjligheten för feltolkningar av meddelandet. Man vill alltså hitta metoder som minskar felmarginalerna vid transporten av informationen och här har egenskaper hos ändliga kroppar spelat stor roll när man velat öka pålitligheten. Den information man vill skicka består ofta av en ändlig uppsättnings symboler som är element i ett ändligt alfabet av något slag. Om alfabetet till exempel endast innehåller elementen 0 och 1 kan informationen som skickas ses som ett binärt tal. En av de mest grundläggande idéerna inom algebraisk kodningsteori är att man skickar överflödig information tillsammans med den faktiska informationen som man vill ha fram. Emellertid måste denna överflödiga information läggas till på ett systematiskt sätt för att den som tar emot informationen ska kunna tolka den rätt. Om vi för enkelhetens skull antar att symbolerna i ett meddelande samt i det kodade meddelandet tillhör samma ändliga kropp F! innebär kodning således att man vill koda en uppsättning k symboler a!, a!,, a! där a! F! till ett kodord c!, c!,, c! av n symboler c! F q där n > k. Vi betraktar kodordet som en n- dimensionell vektor c i F!!. Om vi sedan inför en funktion f från F!! till F!! så kallas f för kodningschema och funktionen g från F!! till F!! kallas istället avkodningsschema. Ett vanligt förekommande exempel uppstår då varje uppsättning a!, a!,, a! av symboler kodas till ett kodord på formen a! a! a! c!!! c! där de första k symbolerna tillhör orginalmeddelandet och de ytterligare n k symbolerna i F! är kontrollsymboler. Denna typ av kodningscheman presenteras ofta på följande sätt: Om vi låter H vara en given (n k) n matris med element i F! på formen H = (A, I!!! ) där A är en (n k) k matris och I!!! är identitetsmatrisen av grad n k. Kontrollsymbolerna c!!!,, c! kan sedan beräknas genom ekvationssystemet Hc! = 0 för kodord c. 31 Vi ska nu titta på ett konkret exempel 30 Lidl, Niederreiter, 470-471. 31 Ibid, 472.
Exempel Låt H vara följande 3 7 matris över F! H = 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 Kontrollsymbolerna kan då beräknas genom Hc! = 0. Givet c!, c!, c!, c! fås c! +c! +c! +c! = 0 c! +c! +c! +c! = 0 c! +c! +c! +c! = 0 Kontrollsymbolerna c!, c!, c! kan då beräknas på följande vis c! = c! +c! +c! c! = c! +c! +c! c! = c! +c! +c! Alltså, kodningsschemat i detta fall är den linjära avbildningen från F!! till F!! som ges av a!, a!, a!, a! a!, a!, a!, a!, a! + a! + a!, a! + a! + a!, a! + a! + a! 7. Avslutning 7.1 Galoiskroppen, GF(p n ) Som nämnt i inledningen så var det den tyske matematikern Carl Friedrich Gauss samt fransmannen Evaristé Galois som anses vara grundarna till teorin bakom de ändliga kropparna. Medan Gauss främst bidrog med aritmetiken inom polynomringen F! x och då främst användandet av Euklides algoritm och unik faktorisering, var det Galois som faktiskt konstruerade de ändliga kropparna i hans publikation On the Theory of Nymbers år 1830. I denna text bygger han vidare på de teorier som Gauss hade och bevisar flera viktiga satser inom teoribildningen för de ändliga kropparna. Som också nämnts i inledningen samt tillämpningsavsnittet så var det inom arbetet med ekvationslösning som dessa teorier uppkom och medan Gauss och andra matematiker innan honom enbart jobbat med heltalslösningar för att lösa ekvationer på formen m(x) 0 går Galois vidare och undersöker inkomensurabla lösningar vilket gör att han får fram nya resultat. Genom att anta att m(x) är irreducibelt modulo p samt av grad n, skapar han p! element på formen a + a! x + + a!!! x!!! där koefficienterna a!, är heltal modulo p. Dessa p! element formar som vi vet en
ändlig kropp, eller en Galoiskropp (GF(p! )). Termen Galoiskropp har i stort sett försvunnit och ersatts med ändlig kropp, men den lever i viss mån kvar inom kodningsteroi. Galois visar också att alla element som tillhör kroppen är en rot till x!! x och att varje irreducibelt polynom av grad n är en delare till detta polynom. Det Galois kommer fram till är också det som denna uppsats diskuterat, nämligen att det strukturmässigt endast finns en ändlig kropp med p! element, oavsett vilket irreducibelt polynom vi använder. Det dröjer dock till 1893 innan man bevisar att en ändlig kropp måste vara av primtalsgrad samt att alla ändliga kroppar av samma storlek är isomorfa, detta bevis publiceras av E.H. Moore och i slutet av 1800-talet sammanfattas de grundläggande egenskaperna hos de ändliga kropparna av Dickson. 32 Ändliga kroppar och den abstrakta algebran är med matematikhistoriska mått mätt en väldigt ung vetenskap. Detta tillsammans med de många tillämpningsområdena bidrar till stora möjligheter för vidare forskning inom området. 32 Lidl, Niederreiter. Handbook of Algebra, 323-324.
Referenslista Tryckta källor Biggs, L. Norman. Discrete Mathematics. New York: Oxford University Press, 1985. Böiers, Lars- Christer. Diskret Matematik. 2. uppl. Lund: Studentlitteratur, 2003. Hunger Parshall, Karen (2008). The Development of Abstract Algebra (kapitel 2.3). I The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press. Koblitz, Neal. Why Study Equations over Finitie Fields? Mathematics Magazine, Vol. 55, No. 3 i Mathematical Association of America. 1982, sid 144-149. Lidl, Rudolf och Niederreiter, Harald. Encyclopedia of Mathematics and its Applications: Finite Fields. 2. Uppl. Cambridge University Press, 1997. Lidl, Rudolf och Niederreiter, Harald. Finite Fields and their Applictions. I Handbook of Algebra vol 1, Hazewinkel, Michiel, 323-367. Amsterdam: 1996 Elektroniska källor Conrad, Keith. Finite Fields. Tillgänglig: http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/galoistheory/finitefields.pdf